09届高三文科数学三角函数数列与导数试卷

欢迎阅读2009年导数高考题一、选择题1.(2009年广东卷文)函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 A. )2,(-∞ B.(0,3) C.(1,4) D. ),2(+∞ 【答案】D2解:又0'|x x y ==3.[x =4.)在点(1,（[解析]：由2()2(2)88f x f x x x =--+-得2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--， 即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =，∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=选A5.（2009安徽卷文）设，函数的图像可能是【解析】可得2,()()0x a x b y x a x b ===--=为的两个零解.当x a <时,则()0x b f x <∴<当a x b <<时,则()0,f x <当x b >时,则()0.f x >选C 。

【答案】C6．（2009江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于 A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25-64 D ．74-或7答案：A即y =当0x =当0x =7.（200921x +，则曲线y A ．4 答案：A8.（2009立的是A 【答案】 析问题和解决问题的能力。

9.(2009湖北卷理)设球的半径为时间t 的函数()R t 。

若球的体积以均匀速度c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径A.成正比，比例系数为CB. 成正比，比例系数为2CC.成反比，比例系数为CD. 成反比，比例系数为2C 【答案】D【解析】由题意可知球的体积为34()()3V t R t π=，则'2'()4()()c V t R t R t π==，由此可得'4()()()cR t R t R t π=，而球的表面积为2()4()S t R t π=， 所以'2'()4()8()()v S t R t R t R t ππ==表＝， 即''''228()()24()()()()()()c c v R t R t R t R t R t R t R t R t ππ⨯表＝＝＝＝，故选Dx解解12.（2009陕西卷文）设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n x x x ⋅⋅⋅的值为(A)1n (B) 11n + (C) 1nn + (D) 1 答案:B解析: 对1*'()(1)n n y x n N y n x +=∈=+求导得,令1x =得在点（1，1）处的切线的斜率1k n =+,在点（1，1）处的切线方程为1(1)(1)(1)n n y k x n x -=-=+-,不妨设0y =,1n n n x +=则1212311 (23411)n n n x x x n n n -⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=++, 故选 B. 13.（2009天津卷理）设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x =A 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点。

2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）函数y=（x≤0）的反函数是（）A．y=x2（x≥0）B．y=﹣x2（x≥0）C．y=x2（x≤0）D．y=﹣x2（x≤0）2．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则?U（M∪N）=（）A．{5，7}B．{2，4}C．{2，4，8}D．{1，3，5，6，7}3．（5分）函数y=log2的图象（）A．关于直线y=﹣x对称B．关于原点对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称4．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A．B．C．D．5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5D．257．（5分）设a=lge，b=（lge）2，c=lg，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a 8．（5分）双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．B．2C．3D．69．（5分）若将函数y=tan（ωｘ+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωｘ+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种11．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若a1=1，S6=4S3，则a4= ．14．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为．15．（5分）已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积= ．16．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知等差数列{a n}中，a3a7=﹣16，a4+a6=0，求{a n}前n项和s n．18．（12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C 的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（3）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．21．（12分）设函数f（x）=x3﹣（1+a）x2+4ax+24a，其中常数a＞1，（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．22．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）函数y=（x≤0）的反函数是（）A．y=x2（x≥0）B．y=﹣x2（x≥0）C．y=x2（x≤0）D．y=﹣x2（x≤0）【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】直接利用反函数的定义，求出函数的反函数，注意函数的定义域和函数的值域．【解答】解：由原函数定义域x≤0可知A、C错，原函数的值域y≥0可知D错，故选：B．【点评】本题考查反函数的求法，反函数概念，考查逻辑推理能力，是基础题．2．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则?U（M∪N）=（）A．{5，7}B．{2，4}C．{2，4，8}D．{1，3，5，6，7}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题．【分析】先求集合M∪N，后求它的补集即可，注意全集的范围．【解答】解：∵M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，∴M∪N={1，3，5，6，7}，∵U={1，2，3，4，5，6，7，8}，∴?U（M∪N）={2，4，8}故选：C．【点评】本题考查集合运算能力，本题是比较常规的集合题，属于基础题．3．（5分）函数y=log2的图象（）A．关于直线y=﹣x对称B．关于原点对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3M：奇偶函数图象的对称性．【专题】31：数形结合．【分析】先看函数的定义域，再看f（﹣x）与f（x）的关系，判断出此函数是个奇函数，所以，图象关于原点对称．【解答】解：由于定义域为（﹣2，2）关于原点对称，又f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故函数为奇函数，图象关于原点对称，故选：B．【点评】本题考查函数奇偶性的判断以及利用函数的奇偶性判断函数图象的对称性．4．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A．B．C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦，求得sinA和cosA 的关系式，进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值．【解答】解：∵cotA=∴A为钝角，cosA＜0排除A和B，再由cotA==，和sin2A+cos2A=1求得cosA=，故选：D．【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】由BA1∥CD1，知∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，设AA1=2AB=2，则A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5D．25【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．7．（5分）设a=lge，b=（lge）2，c=lg，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a【考点】4M：对数值大小的比较；4O：对数函数的单调性与特殊点．【分析】因为10＞1，所以y=lgx单调递增，又因为1＜e＜10，所以0＜lge＜1，即可得到答案．【解答】解：∵1＜e＜3＜，∴0＜lge＜1，∴lge＞lge＞（lge）2．∴a＞c＞b．故选：C．【点评】本题主要考查对数的单调性．即底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减．8．（5分）双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．B．2C．3D．6【考点】IT：点到直线的距离公式；KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，即x±y=0，圆心（3，0）到直线的距离d==，∴r=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的性质、点到直线的距离公式．9．（5分）若将函数y=tan（ωｘ+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωｘ+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωｘ+φ）的图象变换．【专题】11：计算题．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωｘ+）的图象重合，比较系数，求出ω=6k+（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωｘ+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x﹣）+]=tan （ωｘ+）∴﹣ω+kπ＝∴ω=k+（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin=．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种【考点】D5：组合及组合数公式．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，故选：C．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法．11．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN ⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为，故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下【考点】LC：空间几何体的直观图．【专题】16：压轴题．【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．【解答】解：如图所示．故选B【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若a1=1，S6=4S3，则a4= 3 ．【考点】87：等比数列的性质；89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题．【分析】根据S6=4S3可求得q3，进而根据等比数列的通项公式，得到答案．【解答】解：设等比数列的公比为q，则由S6=4S3知q≠1，∴S6==．∴q3=3．∴a1q3=3．故答案为：3【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题．属基础题．14．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为 6 ．【考点】DA：二项式定理．【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x，y 的指数都为1求出x3y3的系数【解答】解：，只需求展开式中的含xy项的系数．∵的展开式的通项为令得r=2∴展开式中x3y3的系数为C42=6故答案为6．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．15．（5分）已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积= ．【考点】J7：圆的切线方程．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】判断点A在圆上，用点斜式写出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距，从而求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积．【解答】解：由题意知，点A在圆上，切线斜率为==﹣，用点斜式可直接求出切线方程为：y﹣2=（x﹣1），即x+2y﹣5=0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以，所求面积为．【点评】本题考查求圆的切线方程的方法，以及求直线与坐标轴围成的三角形的面积．16．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于8π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案．【解答】解：设球半径为R，圆C的半径为r，．因为．由得R2=2故球O的表面积等于8π故答案为：8π，【点评】本题考查学生对空间想象能力，以及球的面积体积公式的利用，是基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知等差数列{a n}中，a3a7=﹣16，a4+a6=0，求{a n}前n项和s n．【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【专题】34：方程思想．【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求出a1、d，进而代入等差数列的前n项和公式求解即可．【解答】解：设{a n}的公差为d，则，即，解得，因此S n=﹣8n+n（n﹣1）=n（n﹣9），或S n=8n﹣n（n﹣1）=﹣n（n﹣9）．【点评】本题考查等差数列的通项公式及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解．18．（12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=（负值舍掉），从而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB=及B=π﹣（A+C）得cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，∴sinAsinC=．又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故，∴或（舍去），于是B=或B=．又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=．【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C 的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC 中求出GC即可．【解答】解：如图（I）连接BE，∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E为B1C的中点，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．（II）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．作AG⊥BD于G，连GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨设，则AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD?AB=BD?AG，易得设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C与平面BCD所成的角为30°．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（3）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．【考点】B3：分层抽样方法；C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】11：计算题．【分析】（1）根据分层抽样原理，要从甲、乙两组各10人中共抽取4名工人，则从每组各抽取2名工人．（2）从甲组抽取2人的结果有C102种，恰有1名女工人的结果有C41C61种，代入等可能事件的概率公式即可（3）从甲乙各10人虫各抽2人的结果有C102C102种，而4名工人中恰有2名男工人的情况分①两名男工都来自甲，有C62C62②甲乙各抽1名男工C61C41C41C61③两名男工都来自乙有C42C42种结果【解答】解：（1）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人．（2）记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则（3）A i表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0，1，2Bj表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j名男工人，j=0，1，2B表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人．A i与B j独立，i，j=0，1，2，且B=A0?B2+A1?B1+A2?B0故P（B）=P（A0?B2+A1?B1+A2?B0）=P（A0）?P（B2）+P（A1）?P（B1）+P（A2）?P（B0）==【点评】本题考查概率统计知识，要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概率的能力，第一问直接利用分层统计原理即可得人数，第二问注意要用组合公式得出概率，第三问关键是理解清楚题意以及恰有2名男工人的具体含义，从而正确分类求概率．21．（12分）设函数f（x）=x3﹣（1+a）x2+4ax+24a，其中常数a＞1，（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减可确定函数的单调性．（2）先将问题转化为求函数在x≥0时的最小值问题，再结合（1）中的单调性可确定f（x）在x=2a或x=0处取得最小值，求出最小值，即可得到a的范围．【解答】解：（1）f'（x）=x2﹣2（1+a）x+4a=（x﹣2）（x﹣2a）由a＞1知，当x＜2时，f'（x）＞0，故f（x）在区间（﹣∞，2）是增函数；当2＜x＜2a时，f'（x）＜0，故f（x）在区间（2，2a）是减函数；当x＞2a时，f'（x）＞0，故f（x）在区间（2a，+∞）是增函数．综上，当a＞1时，f（x）在区间（﹣∞，2）和（2a，+∞）是增函数，在区间（2，2a）是减函数．（2）由（1）知，当x≥0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值．=，f（0）=24a由假设知即解得1＜a＜6故a的取值范围是（1，6）【点评】本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性．22．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离为则，解得c=1又，∴（II）由（I）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P在椭圆上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴，x1+x2=，即当；当【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．。

三角函数（09年全国卷1文）（1）o585sin 的值为(A) 22-(B)22(C)32-(D)32（09年全国卷1文）（4）已知tan a =4,cot β=13,则tan(a+β)= (A)711(B)711-(C) 713(D) 713-（09年全国卷1文）(10) 如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为(A)6π(B)4π(C)3π(D)2π （09年全国卷1文）(18)(本小题满分12分)在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、.已知222a c b -=，且sin 4cos sin B A C =，求b .（09年全国卷2文）（4）已知△ABC 中，12cot 5A =-，则cos A = (A) 1213 (B) 513 (C) 513-(D) 1213-（09年全国卷2文）（9）若将函数)0)(4tan(>+=ωπωx y 的图像向右平移6π个单位长度后，与函数)6tan(πω+=x y 的图像重合，则ω的最小值为(A)61 (B)41 (C)31 (D)21（09年全国卷2文）（18）（本小题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，23cos )cos(=+-B C A ,ac b =2，求B. （10年全国卷1文）(1)cos300︒= (A)32-(B)-12(C)12(D)32（10年全国卷1文）(14)已知α为第二象限的角，3sin 5a =,则tan 2α= . （10年全国卷1文）(18)(本小题满分12分)已知ABC ∆的内角A ，B 及其对边a ，b 满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．（10年全国卷2文）（3）已知2sin 3α=，则cos(2)πα-=(A) 53-(B) 19-(C)19(D)53（10年全国卷2文）（13）已知α是第二象限的角，1tan 2α=，则cos α=___________. （10年全国卷2文）（17）（本小题满分10分）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33=BD ，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=.求AD. （11年全国卷1文）11．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则 A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称（11年全国卷1文）15．ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_________． （11年全国卷2文）5、已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z =－x+y 的取值范围是（A ）(1－3，2)（B ）(0，2)（C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)（12年全国卷1文）（9）已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）π4（B ）π3（C ）π2（D ）3π4（12年全国卷1文）（17）（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，A a C a c cos sin 3-=（1）求A （2）若a =2，△ABC 的面积为3，求b ,c（12年全国卷2文）（3）若函数()sin([0,2])3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则=ϕ （A ）2π（B ）32π （C ）23π （D ）35π（12年全国卷2文）（4）已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α=（A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）2524（12年全国卷2文）（15）当函数sin 3cos (02)y x x x π=-≤<取得最大值时，x =___________. （12年全国卷2文）（17）(本小题满分10分)ABC ∆中，内角A 、B 、C 成等差数列，其对边a 、b 、c 满足223b ac =，求A 。

2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin585°的值为（）A．B．C．D．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g（1）=（）A．0B．1C．2D．47．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种8．（5分）设非零向量、、满足，则=（）A．150°B．120°C．60°D．30°9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．412．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=．15．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于．16．（5分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是（写出所有正确答案的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公比是正数的等比数列{b n}的前n项和为T n，已知a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3﹣S3=12，求{a n}，{b n}的通项公式．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．21．（12分）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．22．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin585°的值为（）A．B．C．D．【考点】GE：诱导公式．【分析】由sin（α+2kπ）=sinα、sin（α+π）=﹣sinα及特殊角三角函数值解之．【解答】解：sin585°=sin（585°﹣360°）=sin225°=sin（45°+180°）=﹣sin45°=﹣，故选：A．【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】由已知中cotβ=，由同角三角函数的基本关系公式，我们求出β角的正切值，然后代入两角和的正切公式，即可得到答案．【解答】解：∵tana=4，cotβ=，∴tanβ=3∴tan（a+β）===﹣故选：B．【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正切函数，其中根据已知中β角的余切值，根据同角三角函数的基本关系公式，求出β角的正切值是解答本题的关键．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选：C．【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g（1）=（）A．0B．1C．2D．4【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】将x=1代入即可求得g（1），欲求f（1），只须求当g（x）=1时x的值即可．从而解决问题．【解答】解：由题令1+2lgx=1得x=1，即f（1）=1，又g（1）=1，所以f（1）+g（1）=2，故选：C．【点评】本小题考查反函数，题目虽然简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力．7．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．【专题】5O：排列组合．【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法．故共有345种选法．故选：D．【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！8．（5分）设非零向量、、满足，则=（）A．150°B．120°C．60°D．30°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，两个向量的模长相等可构成菱形的两条相邻边，三个向量起点处的对角线长等于菱形的边长，这样得到一个含有特殊角的菱形．【解答】解：由向量加法的平行四边形法则，∵两个向量的模长相等∴、可构成菱形的两条相邻边，∵∴、为起点处的对角线长等于菱形的边长，∴两个向量的夹角是120°，故选：B．【点评】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题．向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体．9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选：D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选：A．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，各项的通项公式为：T r=C n r a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．+1【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n ﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆．14．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=24．【考点】83：等差数列的性质．【分析】先由S9=72用性质求得a5，而3（a1+4d）=3a5，从而求得答案．【解答】解：∵∴a5=8又∵a2+a4+a9=3（a1+4d）=3a5=24故答案是24【点评】本题主要考查等差数列的性质及项与项间的内在联系．15．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于16π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由题意求出圆M的半径，设出球的半径，二者与OM构成直角三角形，求出球的半径，然后可求球的表面积．【解答】解：∵圆M的面积为3π，∴圆M的半径r=，设球的半径为R，由图可知，R2=R2+3，∴R2=3，∴R2=4．∴S=4πR2=16π．球故答案为：16π【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口，解题重点所在，仔细体会．16．（5分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是①或⑤（写出所有正确答案的序号）【考点】I2：直线的倾斜角；N1：平行截割定理．【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题．【分析】先求两平行线间的距离，结合题意直线m被两平行线l1与l2所截得的线段的长为，求出直线m与l1的夹角为30°，推出结果．【解答】解：两平行线间的距离为，由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°﹣30°=15°．故填写①或⑤故答案为：①或⑤【点评】本题考查直线的斜率、直线的倾斜角，两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公比是正数的等比数列{b n}的前n项和为T n，已知a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3﹣S3=12，求{a n}，{b n}的通项公式．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】11：计算题．【分析】设{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q＞0，由题得，由此能得到{a n}，{b n}的通项公式．【解答】解：设{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q＞0，由题得，解得q=2，d=2∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，bn=3•2n﹣1．【点评】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前n项和，基础题．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】12：应用题．【分析】根据题意，记“第i局甲获胜”为事件A i（i=3，4，5），“第j局甲获胜”为事件B i（j=3，4，5），（1）“再赛2局结束这次比赛”包含“甲连胜3、4局”与“乙连胜3、4局”两个互斥的事件，而每局比赛之间是相互独立的，进而计算可得答案，（2）若“甲获得这次比赛胜利”，即甲在后3局中，甲胜2局，包括3种情况，根据概率的计算方法，计算可得答案．【解答】解：记“第i局甲获胜”为事件A i（i=3，4，5），“第j局甲获胜”为事件B i（j=3，4，5）．（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则A=A3•A4+B3•B4，由于各局比赛结果相互独立，故P（A）=P（A3•A4+B3•B4）=P（A3•A4）+P（B3•B4）=P（A3）P（A4）+P（B3）P （B4）=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52．（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件H，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B=A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5，由于各局比赛结果相互独立，故P（H）=P（A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5）=P（A3•A4）+P（B3•A4•A5）+P（A3•B4•A5）=P（A3）P（A4）+P（B3）P（A4）P（A5）+P（A3）P（B4）P（A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648【点评】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，解题之前，要分析明确事件间的关系，一般先按互斥事件分情况，再由相互独立事件的概率公式，进行计算．21．（12分）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题．【分析】（1）利用导数求解函数的单调性的方法步骤进行求解．（2）根据已知，只需求出f（x）在点P处的导数，即斜率，就可以求出切线方程．【解答】解：（Ⅰ）令f′（x）＞0得或；令f′（x）＜0得或因此，f（x）在区间和为增函数；在区间和为减函数．（Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），由l过原点知，l的方程为y=f′（x0）x，因此f（x0）=f′（x0）x0，即x04﹣3x02+6﹣x0（4x03﹣6x0）=0，整理得（x02+1）（x02﹣2）=0，解得或．所以的方程为y=2x或y=﹣2x【点评】本题比较简单，是一道综合题，主要考查函数的单调性、利用导数的几何意义求切线方程等函数基础知识，应熟练掌握．22．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．。

2009年高考题（三角函数文科）一、选择题1．（全国卷Ⅰ文1） 585sin 的值为( )A ．22-； B ．22 ； C ．23- ； D ．231．（全国卷Ⅰ文4）已知4tan =α，31cot =β，则=+)tan(βα A ．117 ； B ．117- ； C ．137 ； D ．137-2．（全国卷Ⅰ文10）如果函数)2cos(3ϕ+=x y 的图象关于点)0,34(π中心对称，那么||ϕ的最小值为（ ）A ．4π ；B ．6π ；C ．3π ；D ．2π4．（全国卷Ⅱ文4）已知ABC ∆，512cot -=A ，则=A cos （ ）A ．1312 ；B ．135 ；C ．135- ；D ．1312-6．（全国卷Ⅱ文9）若将函数)4tan(πω+=x y (0>ω)的图象向右平移6π个单位长度后，与函数)6tan(πω+=x y 的图象重合，则ω的最小值为( )A ．61 ；B ．41 ；C ．31 ；D ．218．（北京卷文6）“6πα=”是“212cos =α”的（ ）A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 5．（重庆卷文6）下列关系中正确的是( )A ． 168sin 10cos 11sin << ；B ． 10cos 11sin 168sin << ；C ． 10cos 168sin 11sin << ；D ． 11sin 10cos 168sin <<6．（四川卷文4）已知函数)2sin()(π-=x x f (R x ∈)，下面结论错误的是( )A ．函数)(x f 的最小正周期为π2；B ．函数)(x f 在区间]2,0[π上是增函数；C ．函数)(x f 的图象关于直线0=x 对称；D ．函数)(x f 是奇函数7．（湖北卷文7）将函数2)62cos(-+=πx y 的图象F 按向量平移到F '，F '的函数解析式为)(x f y =，当)(x f y =为奇函数时，向量可以等于( )A ．)2,6(-π ；B ．)2,6(π ； C ．)2,6(--π ； D ．)2,6(π-9．（江西卷文4）函数x x x f cos )tan 31()(+=的最小正周期为( )A ．π2 ；B ．23π ； C ．π ； D ．2π10．（陕西卷文2）若2tan =α，则ααααcos 2sin cos sin 2+-的值为( )A ．0 ；B ．43 ；C ．1 ；D ．4511．（山东卷文3）将函数x y 2sin =的图象向左平移4π个单位后，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为( )A ．x y 2cos 2= ；B ．x y 2sin 2= ；C ．)42sin(1π++=x y ； D ．x y 2cos = 12．（广东卷文7）已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c若26+==c a ，且 75=∠A ，则=b ( )A ．2 ；B ．324+ ；C ．324- ；D ．26-12．（广东卷文9）函数1)4(cos 22--=πx y 是( )A ．最小正周期为π的奇函数 ；B ．最小正周期为π的偶函数；C ．最小正周期为2π的奇函数 ； D ．最小正周期为2π的偶函数12．（天津卷文7）已知函数)4sin()(πω+=x x f (R x ∈，0>ω)的最小正周期为π将函数)(x f y =的图象向左平移||ϕ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的一个值是( )A ．2π ； B ．83π ； C ．4π ； D ．8π13．（浙江卷文10）已知a 是实数，则函数ax a x f sin 1)(+=的图象不可能是( )14．（福建卷文7）已知锐角ABC ∆的面积为33，4=BC ，3=AC ，则角C 的大小为 ( )A ． 75 ；B ． 60 ；C ． 45 ；D ． 3015．（安徽卷文9）设函数θθθtan 2cos 33sin )(23++=x x x f ，其中]125,0[πθ∈，则导数)1(f '的取值范围是( )A ．]2,2[- ；B ．]3,2[ ；C ．]2,3[ ；D ．]2,2[16．（辽宁卷文8）已知2tan =θ，则=-+θθθθ22cos 2cos sin sin ( )A ．34-； B ．45 ； C ．43- ； D ．5417．（海南、宁夏卷文4）有四个关于三角函数的命题：1p ：R x ∈∃，212cos 2sin 22=+x x ；2p ：R y x ∈∃,，y x y x sin sin )sin(-=-；3p ：),0(π∈∀x ，x xsin 22cos 1=- 4p ：2cos sin π=+⇒=y x y x其中的假命题是( )A ．1p ，4p ；B ．2p ，4p ；C ．1p ，3p ；D ．2p ，3p二、填空题 2．（北京卷文9）若54sin -=θ，0tan >θ，则=θcos8．（湖南卷文14）在锐角ABC ∆中，1=BC ，A B 2=，则AACcos 的值等于 7．（江苏卷文4）函数)sin()(ϕω+=x A x f (A ，ω，ϕ为常数，0>A ，0>ω) 在闭区间]0,[π-2．（辽宁卷文14）已知函数)sin()(ϕω+=x x f (>ω如图所示，则=ω 5．（海南、宁夏卷文16）已知函数)sin(2)(ϕω+=x x f 的图象如图所示，则=)127(πf三、解答题 1．（全国卷Ⅰ文18）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知b c a 222=-，且，C A B sin cos 4sin =求b ． 3．（全国卷Ⅱ文18）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，23cos )cos(=+-B C A ，ac b =2，求B ． 5．（北京卷文15）已知函数x x x f cos )sin(2)(-=π． （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间]2,6[ππ-上的最大值和最小值． 4．（重庆卷文16）设函数x x x x f ωωω22cos 2)cos (sin )(-+=(0>ω)的最小正周期为32π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数)(x g y =的图象是由)(x f y =的图象向右平移2π个长度单位得到，求)(x g y =的单调区间．5．（四川卷文17）在ABC ∆中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对的边分别 为a 、b 、c ，且55sin =A ，1010sin =B（Ⅰ）求B A +的值；（Ⅱ）若12-=-b a ，求a 、b 、c 的值．6．（湖北卷文16）在锐角ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且A c a sin 23=． （Ⅰ）确定角C 的大小；（Ⅱ）若7=c ，且ABC ∆的面积为233，求b a +的值．7．（湖南卷文16）已知向量)sin 2cos ,(sin θθθ-=，)2,1(=． （Ⅰ）若//，求θtan 的值；（Ⅱ）若||||=，πθ<<0，求θ的值．8．（江西卷文19）在ABC ∆中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，6π=A ，b c 2)31(=+．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若31+=⋅CA CB ，求a ，b ，c ．9．（陕西卷文17）已知函数)sin()(ϕω+=x A x f ，R x ∈(其中0>A ，0>ω，20πϕ<<)的周期为π，且图象上一个最低点为)2,32(-πM ． （Ⅰ）求)(x f 的解析式； （Ⅱ）当]12,0[π∈x 时，求)(x f 的最值．10．（山东卷文17）已知函数x x x f sin 2cos sin 2)(2-=ϕ(πϕ<<0)在π=x 处取最小值． （Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知1=a ，2=b ，23)(=A f ，求角C ．11．（广东卷文16）已知向量)2,(sin -=θ与)cos ,1(θ=互相垂直，其中)2,0(πθ∈（Ⅰ）求θsin 和θcos 的值；（Ⅱ）若ϕϕθcos 53)cos(5=-，20πϕ<<，求ϕcos 的值．12．（江苏卷文15）向量)sin ,cos 4(αα=)cos 4,(sin ββ=，)sin 4,(cos ββ-=．（Ⅰ）若与2-垂直，求)tan(βα+的值； （Ⅱ）求||+的最大值；（Ⅲ）若16tan tan =βα，求证：b a //．13．（天津卷文17）ABC ∆中，5=BC ，3=AC ，A C sin 2sin =．（Ⅰ）求AB 的值；（Ⅱ）求)42sin(π-A 的值．14．（浙江卷文18）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足5522cos=A ，3=⋅ （Ⅰ）求ABC ∆的面积； （Ⅱ）若1=c ，求a 的值．15．（福建卷文19）已知函数)sin()(ϕω+=x x f ，其中0>ω，2||πϕ<（Ⅰ）若0sin 43sincos 4cos=-ϕπϕπ，求ϕ的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数)(x f 的图象相邻两条对称轴之间的距离等于3π，求函数)(x f 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数)(x f 的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．16．（安徽卷理16）在ABC ∆中，2π=-A C ，31sin =B ． （Ⅰ）求A sin 的值；（Ⅱ）设6=AC ，求ABC ∆的面积．17．（辽宁卷文18）如图，A 、B 、C 、D 四点都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为 75， 30，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为 60，km AC 1.0=． 试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B 、D 的距离． (计算结果精确到km 01.0，414.12≈，449.26≈)18．（海南、宁夏卷文17）如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量，已知m AB 50=，m BC 120=，于A 处测得水深m AD 80=，于B 处测得水深m BE 200=，于C 测得水深m CF 110=，求DE F ∠的余弦值．。

高三数学文科滚动测试1一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1 若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．1或1-或0 2 要得到)42sin(3π+=x y 的图象只需将3sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移8π个单位D ．向右平移8π个单位3．已知函数)sin(ϕω+=x A y 在同一周期内，9π=x 时取得最大值21，49x π=时取得最小值－21，则该函数解析式为（ ）A ．)63sin(21π+=x y B ．)63sin(21π+=x y C ．)63sin(21π-=x y D ．)63sin(21π-=x y 4．已知等差数列{}n a 满足1231010a a a a ++++=，则有（ ）A ．11010a a +>B ．11010a a +<C ．11010a a +=D ．5151a = 5．数列2311,,,,,,n a a a a -的前n 项的和为（ ）A ．11na a --B ．111n a a +--C ．211n a a+--D ．以上均不正确6．某数列既成等差数列也成等比数列，那么该数列一定是 （ ）A ．公差为0的等差数列B ．公比为1的等比数列C ．常数数列1，1，1…D ．以上都不对7．已知数列{}n a 的前n 项和为242n S n n =-+，则该数列的通项公式为 （ ）A ．*85()n a n n N =+∈ B ．*85()n a n n N =-∈C ．85(2)n a n n =+≥D ． *5,(1)85,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨-≥∈⎩8．下列函数中，以π为周期的偶函数是（ ）A ．|sin |x y =B ．||sin x y =C ．)32sin(π+=x y D ．)2sin(π+=x y9．函数22cos y x =的一个单调增区间是 （ ）A ．π3π44⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．ππ44⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，10．某工厂六年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂六年来这种产品的总产量．．．C 与时间t 的函数关系可用图象表示的是（ ）A. B. C. D.11．如果函数),,(,)(23R c b a c bx ax x x f ∈+++=在R 上不单调，则 （ ）A ．b a 32< B ．b a 32≤ C ．b a 32>D ．b a 32≥12．偶函数))((R x x f ∈满足：0)1()4(==-f f ，且在区间[0,3]与),3[+∞上分别递减和递增，则不等式0)(3<x f x 的解集为（ ）A ．),4()4,(+∞⋃--∞B ．)4,1()1,4(⋃--C ．)0,1()4,(-⋃--∞D ．)4,1()0,1()4,(⋃-⋃--∞二、填空题（本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。

高三文科数学三角函数数列与导数试卷（完卷时间：120分钟，满分：150分）命题及审题：周建梅一、选择题（每小题5分，共60分）： 1.sin15cos75cos15sin105+等于（ ）Ａ．0Ｂ．12Ｄ．12．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 2－1（n ≥1），则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5等于（ ）A ．－1B ．1C ．0D ．23．{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9的值是（ ）A ．24B ．27C ．30D ．33 4．函数y ＝Asin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π＝的图象如图所示，则y 的表达式为（ ） A ．y ＝2sin(611x 10π+) B ．y ＝2sin(611x 10π-)C ．y ＝2sin(2x ＋6π)D ．y ＝2sin(2x －6π)5.函数y ＝f(x)的图象在点P （1，f(1)）处的切线方程为y ＝－2x ＋10, 导函数为()f x '，则f(1)＋(1)f '的值为 ( )A. －2B.2 C .6 D. 86．已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7＝－12，a 4＋a 6＝－4，则S 20为（ ）A ．180B ．－180C ．90D ．－90 7．函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为( )A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．（0，2）8．由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1＋a 4， a 2＋a 5， a 3＋a 6…是（ ）A ．公差为d 的等差数列B ．公差为2d 的等差数列C ．公差为3d 的等差数列D ．非等差数列 9. 曲线3231y x x =-+在点（1，－1）处的切线方程为（A ．34y x =- B.32y x =-+ C.43y x =-+ 10．设函数f(x)在定义域内可导，y ＝f(x)的图象如图1可能为（ ）11．函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a ＝ ( )A ．2B ．3C ．4D ．5A B C D12. 要得到)42sin(3π+=x y 的图象只需将y ＝3sin2x 的图象（ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位C ．向左平移8π个单位D ．向右平移8π个单位二、填空题（每小题4分，共16分）：13．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为________. 14．首项是125，从第10项开始比1大，则该等差数列的公差d 的取值范围是__________. 15．若函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝－1时有极大值，在x ＝3时有极小值，则a ＝____，b ＝____． 16．等差数列{}n a 中，30216131074=++++a a a a a ,则其前19项和19S ＝_________. 三、解答题（共74分）： 17．（本小题共12分）（1）在等差数列}{n a 中，已知94=a ，69-=a ，求满足63=n S 的所有的n 的值。

2009年安徽省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2009•安徽）i是虚数单位，i（1+i）等于（）A．1+i B．﹣1﹣i C．1﹣i D．﹣1+i【考点】虚数单位i及其性质．【专题】计算题．【分析】两个复数相乘，类似于单项式乘以多项式的乘法法则，用i去乘以1+i的每一项，得到积，把虚数单位的乘法再算出结果．【解答】解：i（1+i）=i+i2=﹣1+i．故选D．【点评】本题考查复数的乘法运算，考查复数的乘方运算，是一个基础题，复数的这种问题通常出现在大型考试的前几个选择和填空中．2．（5分）（2009•安徽）若集合A={x|（2x+1）（x﹣3）＜0}，B={x∈N|x≤5}，则A∩B是（）A．{1，2，3} B．{0，1，2} C．{4，5} D．{1，2，3，4，5}【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】分别求出集合A中不等式的解集和集合B中解集的自然数解得到两个集合，求出交集即可．【解答】解：集合A中的不等式（2x+1）（x﹣3）＜0可化为或解得﹣＜x＜3，所以集合A=（﹣，3）；集合B中的不等式x≤5的自然数解有：0，1，2，3，4，5，所以集合B={0，1，2，3，4，5}．所以A∩B={0，1，2}故选B【点评】此题考查了集合交集的运算，是一道基础题．3．（5分）（2009•安徽）不等式组，所表示的平面区域的面积等于（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；数形结合．【分析】先根据约束条件画出可行域，求三角形的顶点坐标，从而求出表示的平面区域的面积即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，由得交点A的坐标为（1，1）．又B、C两点的坐标为（0，4），（0，）．故S△ABC=（4﹣）×1=．故选C．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求平面区域的面积，属于基础题．4．（5分）（2009•安徽）“a+c＞b+d”是“a＞b且c＞d”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由不等式的基本性持得a＞b且c＞d时必有a+c＞b+d．若a+c＞b+d时，则可能有a＞d且c＞b【解答】解：∵a＞b且c＞d∴a+c＞b+d．若a+c＞b+d时，则可能有a＞d且c＞b，故选A．【点评】本题考查不等式的基本性质，解题时要认真审题，仔细解答．5．（5分）（2009•安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A．﹣1 B．1 C．3 D．7【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案．【解答】解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，∴a3=35，a4=33，∴d=a4﹣a3=﹣2．∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用．解题的关键是利用等差数列中等差中项的性质求得a3和a4．6．（5分）（2009•安徽）下列曲线中离心率为的是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】通过验证法可得双曲线的方程为时，．【解答】解：选项A中a=，b=2，c==，e=排除．选项B中a=2，c=，则e=符合题意选项C中a=2，c=，则e=不符合题意选项D中a=2，c=则e=，不符合题意故选B【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了双曲线方程中利用，a，b和c的关系求离心率问题．7．（5分）（2009•安徽）直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+9=0垂直，则l的方程是（）A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y+7=0 C．2x﹣3y+5=0 D．2x﹣3y+8=0【考点】直线的点斜式方程．【专题】计算题．【分析】因为直线l与已知直线垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，由已知直线的斜率求出直线l的斜率，然后根据（﹣1，2）和求出的斜率写出直线l的方程即可．【解答】解：因为直线2x﹣3y+9=0的斜率为，所以直线l的斜率为﹣，则直线l的方程为：y﹣2=﹣（x+1），化简得3x+2y﹣1=0故选A【点评】此题考查学生掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道基础题．8．（5分）（2009•安徽）设a＜b，函数y=（x﹣a）2（x﹣b）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据解析式判断y的取值范围，再结合四个选项中的图象位置即可得出正确答案．【解答】解：由题，=（x﹣a）2的值大于等于0，故当x＞b时，y＞0，x＜b时，y≤0．对照四个选项，C选项中的图符合故选C．【点评】本题考查了高次函数的图象问题，利用特殊情况x＞b，x＜b时y的符号变化确定比较简单．9．（5分）（2009•安徽）设函数f（x）=x3+x2+tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′（1）的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[，]C．[，2]D．[，2]【考点】导数的运算．【专题】压轴题．【分析】利用基本求导公式先求出f′（x），然后令x=1，求出f′（1）的表达式，从而转化为三角函数求值域问题，求解即可．【解答】解：∵f′（x）=sinθ•x2+cosθ•x，∴f′（1）=sinθ+cosθ=2sin（θ+）．∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]．∴sin（θ+）∈[，1]．∴2sin（θ+）∈[，2]．故选D．【点评】本题综合考查了导数的运算和三角函数求值域问题，熟记公式是解题的关键．10．（5分）（2009•安徽）考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于（）A．1 B．C．D．0【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】由题意利用正方体画出三角形并判断出形状和两个三角形的关系，得出所求的事件为必然事件，故求出它的概率．【解答】解：正方体六个面的中心任取三个只能组成两种三角形，一种是等腰直角三角形，如图甲．另一种是正三角形如图乙．若任取三个点构成的是等腰直角三角形，剩下的三个点也一定构成等腰直角三角形，若任取三个点构成的是正三角形，剩下的三点也一定构成正三角形．这是一个必然事件，因此概率为1，故选A．【点评】本题考查了利用正方体定义事件并求出概率，关键画出图形判断出两个三角形的形状和关系．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2009•安徽）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在y轴上，且M 到A与到B的距离相等，则M的坐标是（0，﹣1，0）．【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离．【专题】计算题；方程思想．【分析】根据点M在y轴上，设出点M的坐标，再根据M到A与到B的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得AM，BM，解方程即可求得M的坐标．【解答】解：设M（0，y，0）由12+y2+4=1+（y+3）2+1可得y=﹣1故M（0，﹣1，0）故答案为：（0，﹣1，0）．【点评】考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统化，属基础题．12．（5分）（2009•安徽）程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是127．【考点】设计程序框图解决实际问题．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算a 值，并输出满足条件a＞100的第一个a值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量a的值的变化情况进行分析，不难给出答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：a 是否继续循环循环前1/第一圈 3 是第二圈7 是第三圈15 是第四圈31 是第五圈63 是第六圈127 否故最后输出的a值为：127故答案为：127【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．13．（5分）（2009•安徽）从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题．【分析】本题是一个古典概率试验发生包含的基本事件可以列举出共4种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件可以列举出共3种；根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个古典概率∵试验发生包含的基本事件为2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5共4种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件为2，3，4；2，4，5；3，4，5共3种；∴以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．故答案为：【点评】本题考查古典概型，考查三角形成立的条件，是一个综合题，解题的关键是正确数出组成三角形的个数，要做到不重不漏，要遵循三角形三边之间的关系．14．（5分）（2009•安徽）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若=λ+μ，其中λ、μ∈R，则λ+μ=．【考点】向量的共线定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】设=，=，表示出和，由=（+），及=λ+μ，解出λ和μ的值．【解答】解析：设=，=，那么=+，=+，又∵=+，∴=（+），即λ=μ=，∴λ+μ=．故答案为：．【点评】本题考查向量的共线定理的应用，用=和=作为基底，表示出，也表示出λ+μ，利用=λ+μ，解出λ和μ的值．15．（5分）（2009•安徽）对于四面体ABCD，下列命题正确的是①④⑤．（写出所有正确命题的编号）．①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．【考点】异面直线的判定；命题的真假判断与应用；三垂线定理；棱锥的结构特征．【专题】综合题；压轴题．【分析】结合图形，容易得到①④⑤是正确的，对②③分析判断即可．【解答】解：①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；满足异面直线的定义，正确；②中的四面体如果对棱垂直，则垂足是△BCD的三条高线的交点；所以不正确；③中如果AB与CD垂直，则两条高的垂足重合．④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积，显然正确；⑤对应边中点的连线是平行四边形对角线的交点，是正确的．故答案为：①④⑤【点评】本题考查异面直线，三垂线定理，棱锥的结构特征，考查空间想象能力逻辑思维能力，是基础题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2009•安徽）在△ABC中，C﹣A=，sinB=．（1）求sinA的值；（2）设AC=，求△ABC的面积．【考点】运用诱导公式化简求值；正弦定理的应用．【专题】综合题．【分析】（1）由已知C﹣A=和三角形的内角和定理得到A与B的关系式及A的范围，然后两边取余弦并把sinB的值代入，利用二倍角的余弦函数公式化简得到一个关于sinA的方程，求出方程的解即可得到sinA的值；（2）要求三角形的面积，根据面积公式S△ABC=AC•BC•sinC中，AC已知，BC和sinC未知，所以要求出BC和sinC，由AC及sinA和sinB的值根据正弦定理求出BC，先根据同角三角函数间的关系由sinA求出cosA，然后由C与A的关系式表示出C，两边取正弦得到sinC与cosA相等，即可求出sinC，根据面积公式求出即可．【解答】解：（1）由C﹣A=和A+B+C=π，得2A=﹣B，0＜A＜．故cos2A=sinB，即1﹣2sin2A=，sinA=．（2）由（1）得cosA=．又由正弦定理，得，•AC=×=3．∵C﹣A=，∴C=+A，sinC=sin（+A）=cosA，∴S△ABC=AC•BC•sinC=AC•BC•cosA=××3×=3．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系、二倍角的余弦函数公式、诱导公式及三角形的面积公式和正弦定理，是一道综合题．做题时应注意角度的变换．17．（12分）（2009•安徽）某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A．将其与原有的一个优良品种B进行对照试验．两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：品种A：357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，412，414，415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，445，451，454品种B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，394，395，397，397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430（1）画出茎叶图；（2）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？（3）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．【考点】茎叶图；极差、方差与标准差．【专题】计算题；作图题．【分析】（1）把两组数据的百位和十位做茎，个位做叶，得到茎叶图，由于两组数据比较多，注意不要漏掉数字．（2）样本不大，画茎叶图很方便，此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录新的数据．（3）通过观察茎叶图可以看出：品种A的亩产平均数（或均值）比品种B高；品种A的亩产标准差（或方差）比品种B大，得到品种A的亩产稳定性较差．【解答】解：（1）把两组数据的百位和十位做茎，个位做叶，得到茎叶图，（2）由于每个品种的数据都只有25个，样本不大，画茎叶图很方便；此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录新的数据．（3）通过观察茎叶图可以看出：①品种A的亩产平均数（或均值）比品种B高；②品种A的亩产标准差（或方差）比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差．【点评】本题考查画出茎叶图，考查茎叶图的优点，考查从茎叶图上观察两组数据的平均数和稳定程度，是一个统计的综合题，注意写数据时做到不重不漏．18．（12分）（2009•安徽）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与y=x+2相切．（1）求a与b；（2）设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，直线l过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1与点P．求PF1线段垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并说明曲线类型．【考点】直线与圆的位置关系；轨迹方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；转化思想．【分析】（1）由题意以原点为圆心，椭圆短轴长为半径的圆与y=x+2相切．圆心到直线的距离等于半径，以及离心率解得a与b．（2）求出焦点坐标，设出P求出N，再设M、（x，y），利用垂直关系可求得轨迹方程．【解答】解：（1）e=，∴=，又b==，∴a=，b=．（2）由（1）知F1，F2分别为（﹣1，0），（1，0），由题意可设P（1，t），（t≠0）那么线段PF1中点为N（0，），设M（x，y）是所求轨迹上的任意点，由=（﹣x，﹣y），=（﹣2，﹣t）则，消t得y2=﹣4x（x≠0）其轨迹为抛物线除原点的部分．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，轨迹方程，椭圆的性质等知识，是综合性较强的题目．19．（12分）（2009•安徽）已知数列{a n}的前n项和S n=2n2+2n，数列{b n}的前n项和T n=2﹣b n（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n2•b n，证明：当且仅当n≥3时，c n+1＜c n．【考点】数列的应用．【分析】（1）由题意知a1=S1=4，a n=S n﹣S n﹣1化简可得，a n=4n，n∈N*，再由b n=T n﹣T n﹣1=（2﹣b n）﹣（2﹣b n），可得2b n=b n﹣1知数列b n是等比数列，其首项为1，公比为的等比数列，由此可知数列{a n}与{b n}的通项公﹣1式．（2）由题意知，=．由得，解得n≥3．由此能够导出当且仅当n≥3时c n+1＜c n．【解答】解：（1）由于a1=S1=4当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n2+2n）﹣[2（n﹣1）2+2（n﹣1）]=4n，∴a n=4n，n∈N*，又当x≥n时，Tn=2﹣b n，∴b n=2﹣T n，b n=T n﹣T n﹣1=（2﹣b n）﹣（2﹣b n﹣1），∴2b n=b n﹣1∴数列b n是等比数列，其首项为1，公比为，∴．（2）由（1）知，=．由得＜1，解得n≥3．又n≥3时，c n＞0恒成立．因此，当且仅当n≥3时c n+1＜c n．【点评】由可求出b n和a n，这是数列中求通项的常用方法之一，在求出b n和a n后，进而得到c n，接下来用作商法来比较大小，这也是一常用方法．20．（13分）（2009•安徽）如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，E和F是l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC，E′和F′是平面ABCD内的两点，E′E和F′F都与平面ABCD垂直，（1）证明：直线E′F′垂直且平分线段AD：（2）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面体ABCDEF的体积．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；组合几何体的面积、体积问题．【专题】计算题；证明题；压轴题；分割补形法．【分析】（1）根据EA=ED且EE'⊥平面ABCD证出E'D=E'C，则点E'在线段AD的垂直平分线上，同理证出F'在线段BC的垂直平分线上，再由ABCD是正方形证出结论；（2）根据图形连接EB、EC，由题意证出BE=FC=2，则多面体ABCD可分割成正四棱锥E﹣ABCD和正四面体E﹣BCF，根据条件求出这两个几何体的体积，求V E﹣BCF需要换低求出．【解答】解：（1）∵EA=ED且EE'⊥平面ABCD，∴E'D=E'A，∴点E'在线段AD的垂直平分线上，同理点F'在线段BC的垂直平分线上．又∵ABCD是正方形，∴线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线即点E′F′都居线段AD的垂直平分线上，∴直线E′F′垂直平分线段AD．（2）连接EB、EC，设AD中点为M，由题意知，AB=2，∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，∴ME=，BE=FC=2，则多面体ABCD可分割成正四棱锥E﹣ABCD和正四面体E﹣BCF两部分，在Rt△MEE′中，由于ME'=1，ME=，∴EE'=，∴V E﹣ABCD=S正方形ABCD•EE'=×4×=，∵V E﹣BCF=V C﹣BEF=V C﹣BEA=V E﹣ABC=S△ABC•EE'==，∴多面体ABCDEF的体积为V E﹣BCF+V E﹣ABCD=2．【点评】本题是关于线面垂直与组合体体积的求法综合题，利用线面垂直和线段相等证明垂直平分；用分割法可求得多面体体积，体现的是一种部分与整体的基本思想，求三棱锥的体积时常用换低来求解，考查了推理论证和逻辑思维能力．21．（14分）（2009•安徽）已知函数，a＞0，（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a=3，求f（x）在区间[1，e2]上值域．期中e=2.71828…是自然对数的底数．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）求出函数的导数，对参数的取值范围进行讨论，即可确定函数的单调性．（II）由（I）所涉及的单调性来求在区间[1，e2]上的单调性，确定出函数的最值，即可求出函数的值域．【解答】解：（I）∵函数，a＞0∴f′（x）=1+﹣，x＞0令t=＞0y=2t2﹣at+1（t≠0）①△=a2﹣8≤0，即：0＜a≤2，y≥0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数②△=a2﹣8＞0，即：a＞2，y=0有两个不等根由2t2﹣at+1＞0，得或t＞，又x＞0∴或x＜0或x＞由2t2﹣at+1＜0，得∴综上：①0＜a≤2，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数②a＞2函数f（x）上是增函数，在上是减函数，（2）当a=3时，由（1）知f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，故函数在[1，2]是奇函数，在[2，e2]上是增函数又f（1）=0，f（2）=2﹣3ln2，f（e2）=e2﹣∴f（x）在区间[1，e2]上值域是[2﹣3ln2，e2﹣]【点评】本题主要考查函数的单调性及值域，比较复杂的函数的单调性，一般用导数来研究，将其转化为函数方程不等式综合问题解决，研究值域时一定要先确定函数的单调性才能求解．。