高中数学优等生辅导题目

2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）专题09 圆锥曲线姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．椭圆22154x y +=的长轴长是（ ）A ．2B ．4C ．D ．10【答案】C【解析】因为椭圆的方程是22154x y +=， 所以25a =，解得a =，所以长轴长是2a =2．双曲线22221124x y m m−=+−的焦距是（ ）A ．4B ．C ．8D ．【答案】C【解析】由题意可得，c 2�a 2+b 2�m 2+12+4�m 2�16 �c ＝4 焦距2c �8 3．抛物线214y x =的焦点坐标是（ ）A ．1,016B ．()1,0C ．1-,016D ．()0,1【答案】D 【解析】214y x =即24x y =，所以其焦点在y 轴正半轴，坐标为()0,1 4．抛物线212x y =的准线方程为（ ） A ．18y =− B ．18y =C ．12x =−D ．12x =【答案】A【解析】解：由于抛物线22x py =的准线方程为2p y =−， 则有抛物线212x y =的准线方程是18y =−． 5．已知12F F 、是双曲线2222:1x y E a b−=的左、右焦点，过点1F 且与x 轴垂直的直线与双曲线左支交于点,M N ，已知2MF N ∆是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）．A B ．2C ．1+D ．2+【答案】C【解析】由题意得222222210,11b c c a ac e e e e a=⇒−=⇒−−=>⇒=6．焦点在x 轴上的椭圆222125x y a +=焦距为8，两个焦点为12,F F ，弦AB 过点1F ，则2ABF 的周长为（ ）A ．20B ．28C ．D ．【答案】D【解析】解：因为焦点在x 轴上的椭圆222125x y a += 焦距为8，所以22254a −=，解得a =如图，根据椭圆的定义可得122AF AF a +=，122BF BF a +=，所以22211224ABF C AB AF BF AF BF AF BF a =++=+++== 故选：D7．抛物线24y x =的焦点到双曲线221x y −=的渐近线的距离为（ ）A ．12BCD ．2【答案】B【解析】因为抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线为0x y ±=，所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为d8．已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点（设点A 在第一象限），分别过,A B 作准线的垂线，垂足分别为11,A B ，若1AFA 为等边三角形，1BFB 的面积为1S ，四边形11A B BF 的面积为2S ，则12S S =（ ）A ．13B ．14C ．16D ．17【答案】D【解析】由条件可得1160AFx AFA A FO °∠=∠=∠=，1130BFB OFB °∠=∠=，直线AB的方程为2p yx − ，与22y px =联立，消去y ，整理得2233504p x px −+=，解得6p x =或32p x =，故3,,26p pA B ，则1|2|||623p p p BF BB ==+=，则1BFB的面积为11262p p S =×+ 11A B BF的面积为2S p p=+−⋅=，故1217S S =．二、多选题9．已知抛物线()220y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和p 的值可以是( ) A ．2 B ．6C ．4D ．8【答案】AC【解析】设M 的横坐标为x ，由题意，32px +=，28px =，解得2p =或4p =. 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221412x y −=，则（ ）A ．实轴长为2 B．渐近线方程为y =C ．离心率为2D ．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3【答案】BC【解析】由双曲线方程221412x y −=，得2a =，b =4c ==，所以实轴长24a =，故选项A 错误；渐近线方程为b y x a=±，故选项B 正确； 离心率2cea==，故选项C 正确； 准线方程21a x c=±=±，取其中一条准线1x =，y =与1x =的交点(A ，点A到直线y =的距离dD 错误.11．已知F 是抛物线2:16C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则（ ）A ．C 的准线方程为4x =−B ．F 点的坐标为()0,4C ．12FN = D．三角形ONF 的面积为（O 为坐标原点）【答案】ACD【解析】如图，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线l 与x 轴交于点F ′，作MB l ⊥于点B ，NA l ⊥于点A . 由抛物线的解析式可得准线方程为4x =−，F 点的坐标为()4,0，则4AN =，8FF ′=，在直角梯形ANFF ′中，中位线62AN FF BM′+==，由抛物线的定义有6MF MB ==，结合题意，有6MN MF ==，故6612FN FM NM =+=+=，ON =，142QNF S =×=△.12．已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得y =，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y =，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；三、填空题13．双曲线2213x y −=的焦距长为_______．【答案】4【解析】1,a b==，222c a b =+ ，2c ∴=，焦距长24c=.14．以双曲线22145x y −=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_____．【答案】22195x y +=【解析】由双曲线的相关性质可知，双曲线22:145x y C -=的焦点为(3,0)±，顶点为(20)±,，所以椭圆的顶点为(3,0)±，焦点为(20)±,，因为2225b a c =-=，所以椭圆的方程为22195x y +=15．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，C ：()(2216x a y −+−=过点F 且与l相切，则p =______. 【答案】2或6【解析】解：02p F，在()(2216x a y −+−=上所以(220162p a −+−=，即22pa −=（1）， ()(2216x a y −+−=和与l 相切，42pa +=（2）， 由（1）（2）得，所以2p =或6p =16．如图，椭圆E 的左右焦点为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆过原点，且与椭圆E 在第一象限交于点P ，若过P ､1F 的直线l 与圆2F 相切，则直线l 的斜率k =______；椭圆E 的离心率e =______.1 【解析】连接2PF ，由于l 是圆2F 的切线，所以12PF PF ⊥.在12Rt PF F 中，212PF OF OF c ===， 所以21212PF F F =，所以126PF F π∠=，所以直线l的斜率6tan πk ==. 1PF =，根据椭圆的定义可知1212212F F c cea aPF PF ====−+.四、解答题17．求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆2212x y +=有相同的焦点，且经过点3(1,)2（2）经过(2,(A B 两点 【解析】（1）椭圆2212x y +=的焦点坐标为(1,0)±，∵椭圆过点3(1,)2，∴24a ==，∴2,a b ==，∴椭圆的标准方程为22143x y +=.（2）设所求的椭圆方程为221(0,0,)x y m n m n m n+=>>≠．把(2,(A B 两点代入， 得：14213241mnm n+=+= ，解得81m n ==，， ∴椭圆方程为2218x y +=．18．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b−=>>的一个焦点在直线:3120l y ++=上，且其一条渐近线与直线l 平行，求该双曲线的方程.【解析】依题意得，双曲线的焦点在y 轴上，又直线l 与y 轴的交点为(0,4)−，所以双曲线的一个焦点坐标为(0,4)−，即4c ==.又因为直线l的斜率为a b =224,12a b ==， 故双曲线的方程为221412y x −=.19．已知抛物线22(0)y px p =>的准线方程为1x =−. （Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）直线:1l y x =−交抛物线于A 、B 两点，求弦长AB .【解析】（Ⅰ）依已知得12p =，所以2p =； （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，由214y x y x =− =消去y ，得2610x x −+=， 则126x x +=，121x x =，所以AB =8=. 20．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b −=>>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同，且经过点(2,3)． （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程和其渐近线方程； （Ⅱ）设直线l 经过点(0,1)−，且斜率为k ．求直线l 与双曲线C 有两个公共点时k 的取值范围．【解析】（Ⅰ）由已知，双曲线的焦点为(2,0)−和(2,0)根据定义有：221a a −⇒= 故21a =，24c =，23b =，从而所求双曲线C 的方程为2213y x −=其渐近线方程为：y =.（Ⅱ）由22133y kx x y =− −= 得：()223240k x kx −+−=当230k −≠，即k ≠时，若>0∆，即()()22244(4)31240k k k ∆=−−−=−>24022k k ⇒−>⇒−<<时， 直线与双曲线相交，有两个公共点；所以，当22k −<<，且k ≠时，直线与双曲线有两个公共点．21．已知椭圆M ：22219x y b+=（0b >）的一个焦点为()2,0，设椭圆N 的焦点恰为椭圆M 短轴上的顶点，且椭圆N 过点． （1）求N 的方程；（2）若直线2y x =−与椭圆N 交于A ，B 两点，求AB ．【解析】（1）由椭圆M ：22219x y b+=（0b >）的一个焦点为()2,0，得2c =，且222945b a c =−=−=，∴椭圆N 的焦点为(0,，(．又椭圆N 过点，∴椭圆N∴椭圆N 1．∴N 的方程为2216y x +=；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立22216y x y x =− +=消去y ，整理得27420x x −−=， 则1247x x +=，1227x x =−， ∴127AB =. 22．已知动圆Q 经过定点()0,F a ，且与定直线:l y a =−相切（其中a 为常数，且0a >）.记动圆圆心Q 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线？ （2）设点P 的坐标为()0,a −，过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，证明：AFM AFN ∠=∠.【解析】（1）设(),Q x y，由题意得y a =+，化简得24x ay =， 所以动圆圆心Q 的轨迹方程为24x ay =， 它是以F 为焦点，以直线l 为准线的抛物线.（2）不妨设()2,04t A t t a >. 因为24x y a=，所以2x y a ′=， 从而直线PA 的斜率为2402t a t a t a+=−，解得2t a =，即()2,A a a ， 又()0,F a ，所以//AF x 轴.要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=. 设直线m 的方程为y kx a =−，代入24x ay =并整理， 得22440x akx a −+=.所以()221610a k ∆=−>，解得1k <−或1k >. 设()11,M x y ，()22,N x y ，则124x x ak +=，2124x x a =. ()()2112121212FM FN x y a x y a y a y a k k x x x x −+−−−+=+= ()()()21121212122222x kx a x kx a a x x k x x x x −+−+==− 224204a ak k a ⋅=−=. 故存在直线m ，使得AFM AFN ∠=∠， 此时直线m 的斜率的取值范围为()(),11,−∞−∪+∞.。

2021年高考数学尖子生培优 专题01 集合与逻辑、复数一、单选题（共8题；共16分）1.设集合A={x|x 2-3x-4<0}；B={x||x-1|<3，x ∈N}，则A∩B ( )A. {1，2，3}B. {0，1，2，3}C. {x|x-1<x<4}D. {x|-2<x<4}【答案】 B【考点】交集及其运算2.已知集合 A ， B 是实数集 R 的子集，定义 A −B ={x|x ∈A,x ∉B} ，若集合 A ={y|y =1x ，13≤x ≤1} ， B ={y|y =x 2−1,−1≤x ≤2} ，则 B −A = （ ）A. [−1,1]B. [−1,1)C. [0,1]D. [0,1)【答案】 B【考点】集合的含义，元素与集合关系的判断3.若复数 z 满足 z(i −1)=2i ，则下列说法正确的是（ ）A. z 的虚部为 −iB. z 为实数C. |z|=√2D. z +z̅=2i 【答案】 C【考点】虚数单位i 及其性质，复数代数形式的乘除运算，复数求模4.对于全集 U 的子集 A 定义函数 f A (x)={1(x ∈A)0(x ∈∁U A)为 A 的特征函数,设 A,B 为全集 U 的子集,下列结论中错误的是( )A. 若 A ⊆B, 则 f A (x)≤f B (x)B. f ∁RA (x)=1−f A (x) C. f A∩B (x)=f A (x)⋅f B (x) D. f A∪B (x)=f A (x)+f B (x)【答案】 D【考点】元素与集合关系的判断，子集与真子集5.给出下列四个结论：①对于命题 p:∀x ∈R ， x 2+x +1>0 ，则 ¬p:∃x 0∈R ， x 02+x 0+1≤0 ②“ x =1 ”是“ x 2−3x +2=0 ”的充分不必要条件；③命题“若 x 2−3x +2=0 ，则 x =1 ”的逆否命题为：“若 x ≠1 ，则 x 2−3x +2≠0 ”；④若命题 p ∧q 为假命题，则 p ， q 都是假命题；其中正确结论的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】 C【考点】复合命题的真假，命题的否定，必要条件、充分条件与充要条件的判断6.已知命题 p ：“若 ΔABC 为锐角三角形，则 sinA <cosB ”；命题 q ：“ ∃x 0∈R ，使得 asinx 0+cosx 0⩾3 成立”若命题 p 与命题 q 的真假相同，则实数 a 的取值范围是（ ）A. (−∞,−2√2)∪(2√2,+∞)B. (−∞,−√3)∪(√3,+∞)C. (−2√2,2√2)D. (−√3,√3)【答案】 C【考点】命题的真假判断与应用7.欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cosθ和sinθ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z满足(e iπ−z̅)⋅i=1+i2021，则|z|=（）A. √2B. √5C. 2√2D. 3【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模8.记不等式组{x+y⩾6,2x−y≥0表示的平面区域为D.命题p:∃(x,y)∈D,2x+y⩾9；命题q:∀(x,y)∈D,2x+y⩽12.下面给出了四个命题（）① p∨q② ¬p∨q③ p∧¬q④ ¬p∧¬q这四个命题中，所有真命题的编号是（）A. ①③B. ①②C. ②③D. ③④【答案】A【考点】命题的真假判断与应用二、多选题（共4题；共12分）9.已知复数z=a+√3i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|=2则下列结论正确的是（）．A. z3=8B. z的虚部为√3C. z的共轭复数为1+√3iD. z2=4【答案】A,B【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数求模10.给出下列四个命题，其中正确的是（）A. ∀x∈(−∞,0),2x>3xB. ∀x∈Q,13x2+12x+1∈QC. ∃α,β∈R,使得sin(α+β)=sinα+sinβD. ∃x,y∈Z，使得x−2y=10【答案】A,B,C,D【考点】全称量词命题，存在量词命题11.已知集合M={m|m=i n,n∈N}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（）A. (1−i)(1+i)B. 1−i1+i C. 1+i1−iD. (1−i)2【答案】B,C【考点】复数代数形式的混合运算12.已知下列命题：p1:∃x>0，使lg(x2+14)≤lgx；p2:若sinx≠0，则sinx+1sinx≥2恒成立；p3:x+y=0的充要条件是xy=−1.下列命题中为假命题的是（）A. p1∧p2B. (¬p1)∧p2C. p1∨(¬p2)D. p2∨p3【答案】A,B,D【考点】复合命题的真假，命题的真假判断与应用三、填空题（共4题；共4分）13.在平面直角坐标系中，点集A＝{（x，y）|x2+y2≤1}，B＝{（x，y）|x≤4，y≥0，3x﹣4y≥0}，则点集Q＝{（x，y）|x＝x1+x2，y＝y1+y2，（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}所表示的区域的面积为________．【答案】18+π【考点】集合的含义，元素与集合关系的判断14.命题p:∃x0∈[−1,1]，x02+m−1≤0为真命题，则实数m的取值范围是________.【答案】(-∞,1]【考点】存在量词命题，命题的真假判断与应用15.设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1+z2=√3+i，则|z1−z2|=________.【答案】2√3【考点】复数相等的充要条件，复数求模16.下列命题（i为虚数单位）中：①已知a,b∈R且a=b，则(a−b)+(a+b)i为纯虚数；②当z是非零实数时，|z+1z|≥2恒成立；③复数z=(1−i)3的实部和虚部都是－2；④如果|a+2i|<|−2+i|，则实数a的取值范围是−1<a<1；⑤复数z=1−i，则1z +z=32+12i；其中正确的命题的序号是________.【答案】②③④【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，复数求模四、解答题（共6题；共55分）17.已知集合A={x|3≤x<6}，B={x|2<x<9}．（1）求∁R(A∩B)，(∁R B)∪A；（2）已知C={x∣a<x<a+1}，若C⊆B，求实数a的取值集合．【答案】（1）解：∵A∩B={x|3≤x<6},∴C R(A∩B)={x|x<3，或x≥6}∵C R B={x≤2或x≥9}，∴(C R B)∪A={x∣x≤2或3≤x<6或x≥9}（2）解：∵C⊆B如图示，∴{a≥2a+1≤9，解之得2≤a≤8,∴a∈[2,8]，【考点】集合关系中的参数取值问题，交、并、补集的混合运算18.已知集合A={x|y=√x−1}，B={y|y=3x−1}.（1）求A∩B；（2）若M={x|mx+4<0}且(A∩B)⊆M，求实数m的取值范围．【答案】（1）解：由题意，A={x|y=√x−1={x|x>1}，B={y|y=3x−1}={y|y>0}，∴A ∩B ={x|x >1}=(1,+∞)（2）解： ∵A ∩B ⊆M ，即 (1,+∞)⊆M ， M ={x|mx +4<0} ， ∴m <0 ， M ={x|mx +4<0}={x|x >−4m } ，所以 {−4m ≤1m <0，解得 m ≤−4 【考点】集合关系中的参数取值问题，交集及其运算19.设命题p ：实数x 满足 x 2−(2a +1)x +2a ≤0 ，其中 a >0 ，命题q ：实数x 满足 |x −3|<2 . （1）若 a =1 ，且 p ∧q 为真，求实数x 的取值范围.（2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】 （1）解： a =1 时， (A 1,A 5) 为真，p 为真： x 2−3x +2≤0⇒1≤x ≤2 ，q 为真： |x −3|<2⇒1<x <5 ，所以 (A 1,A 5) 为真： 1<x ≤2 .（2）解： p:(x −2a)(x −1)≤0 ，q:1<x <5 ，因为q 是p 的充分不必要条件，所以 2a ≥5 ，即 a ≥52 .【考点】复合命题的真假，必要条件、充分条件与充要条件的判断20.已知集合 A ={x|(x −2)(x −3)≤0} ， B ={x|a <x <3a ，且 a >0} ． （1）若 x ∈A 是 x ∈B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围；（2）若命题“ A ∩B ≠∅ ”为假命题，求实数a 的取值范围【答案】 （1）解：因为集合 A ={x|(x −2)(x −3)≤0} ， ∴A ={x|2≤x ≤3} ， 因为 x ∈A 是 x ∈B 的充分不必要条件，所以 A ⊊B ，又因为 a >0 ，所以 3a >a ，所以 B ≠∅ ，所以 {a <23a >3，解得 1<a <2 ， ∴ 实数a 的取值范围为 (1，2) ；（2）解：命题“ A ∩B ≠∅ ”为假命题，即满足“ A ∩B =∅ ”为真，∴a ≥3 或 3a ≤2 ，又 ∵a >0 ，得 0<a ≤23 或 a ≥3 ，∴ 实数a 的取值范围为 (0,23]∪[3,+∞) .【考点】命题的真假判断与应用，必要条件、充分条件与充要条件的判断 21.已知复数 z =(m 2−3m +2)+(m −1)i (i 为虚数单位).（1）若z 是纯虚数，求实数 m 的值；（2）在复平面内，若z 所对应的点在直线 y =2x +1 的上方，求实数m 的取值范围.【答案】 （1）解： ∵z 是纯虚数， ∴{m 2−3m +2=0m −1≠0， 解得 {m =1或m =2m ≠1， ∴ m =2（2）解：z 所对应的点是 (m 2−3m +2,m −1) ，∵ z 所对应的点在直线 y =2x +1 的上方，即 m −1>2(m 2−3m +2)+1 ， 化简得 2m 2−7m +6<0 ，即 (m −2)(2m −3)<0 ，∴ 32<m <2 .【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义22.已知i 是虚数单位，复数 z =(1−i)3(1+2i)23−4i 满足方程 |z|2+z̅−z =a +bi ( a,b ∈R )，求实数a ､b 的值.【答案】 解： z =(1−i)3(1+2i)23−4i =−2i(1−i)(−3+4i)3−4i =2i(1−i)(3−4i)3−4i=2i(1−i)=2+2i ，所以 |z|2+z̅−z =(√22+22)2+2−2i −(2+2i)=8−4i ，由 |z|2+z̅−z =a +bi ，所以 a =8 ， b =−4 .【考点】复数相等的充要条件，复数代数形式的乘除运算，复数求模。

专题01 函数的单调性题组一 函数的单调性例题1-1 已知函数()122xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ）A ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数解题思路：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟踪训练1-1 函数()()22log 32f x x x =-+的单调递增区间是（ ）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()2,+∞D ．(),1-∞解题思路：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________例题1-2 已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭解题思路：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟踪训练1-2 若函数,1()(34)1,1x a x f x a x x ⎧>=⎨-+≤⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．34,45⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭解题思路：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________题组二 函数的单调性综合运用1、已知函数()2f x x ax =-（1）若在区间[)1,+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值．2、已知函数()224lg 43y x x x =--+-的定义域为M ． （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）当x M ∈时，求函数1()4328x x f x +=-⋅+的最小值及此时x 的值．3、已知函数1()log [(1)2]af x a x =--（0a >且1a ≠）．（1）求()f x 的定义域；（2）若()0f x >在51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数a 的取值范围．专题01 函数的单调性题组一 函数的单调性例题1-1 已知函数()122xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ）A ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数【详解】因为()22xxf x -=-的定义域是R ，()()22xx f x f x --=-=-f x 为奇函数，又()f x 是R 上的增函数， 故选：B.跟踪训练1-1 函数()()22log 32f x x x =-+的单调递增区间是（ ）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()2,+∞D ．(),1-∞【详解】函数()()22log 32f x x x =-+，所以2320x x -+>，解得1x <或2x >， 所以()f x 定义域为()(),12,-∞⋃+∞又因函数()()22log 32f x x x =-+是复合函数，其外层函数2log y t =为增函数，所以要使()f x 为增函数，则内层232t x x =-+是增函数， 则32x >所以可得()f x 单调增区间为()2,+∞ 故选：C .例题1-2 已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭【详解】由题意可知31001(31)14log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-⨯+≥⎩，即130117a a a ⎧<⎪⎪<<⎨⎪⎪≥⎩，则11,73a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故选：B跟踪训练1-2 若函数,1()(34)1,1x a x f x a x x ⎧>=⎨-+≤⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．30,4⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．34,45⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭【详解】因为函数,1()(34)1,1x a x f x a x x ⎧>=⎨-+≤⎩是R 上的减函数，所以01340341a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪-+≥⎩，解得3445a <≤，所以实数a 的取值范围是34,45⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故选：C.题组二 函数的单调性综合运用1、已知函数()2f x x ax =-（1）若在区间[)1,+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值．【详解】解：（1）函数()2f x x ax =-的对称轴方程为2a x =，因为函数()f x 区间[)1,+∞上是增函数，所以12a≤ 所以2a ≤； （2）①当12a≤即2a ≤时，函数()f x 区间[]1,2上是增函数， 所以()()min 11f x f a ==-； ②当22a≥即4a ≥时，函数()f x 区间[]1,2上是减函数， 所以()()min 242f x f a ==-； ③当122a<<即24a <<时， 函数()f x 区间1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在,22a ⎛⎫⎪⎝⎭上时增函数 所以()2min24a a f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，综上所述：当2a ≤时，()()min 11f x f a ==-， 当4a ≥时，()()min 242f x f a ==-； 当24a <<时，()2min24a a f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；2、已知函数()224lg 43y x x x =--+-的定义域为M ． （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）当x M ∈时，求函数1()4328x x f x +=-⋅+的最小值及此时x 的值．【详解】 （Ⅰ）要使()224lg 43y x x x =--+-有意义，则2240430x x x ⎧-≥⎨-+->⎩，解得12x <≤， 所以(1,2]=M ；（Ⅱ）由题意，函数()21()43282(1,628,2]x x xx x f x +=-⋅+=-⋅+∈，令(,224]xt =∈，则()()22831,6(2,4]t h t t t t +=--∈=-， 所以当3t =即2log 3x =时，函数()h t 取最小值1-， 所以函数()f x 的最小值为1-，此时2log 3x =.3、已知函数1()log [(1)2]af x a x =--（0a >且1a ≠）．（1）求()f x 的定义域；（2）若()0f x >在51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数a 的取值范围．【详解】 (1)因为1()log [(1)2]af x a x =--，所以(1)20a x -->，因为0a >且1a ≠，当01a <<时，10a -<，解不等式(1)20a x -->可得21x a <-； 当1a >时，10a ->，解不等式(1)20a x -->可得21x a >-； 综上，当01a <<时，函数的定义域为2,1a ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭；当1a >时，函数的定义域为2,1a ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭； (2)当01a <<时，10a -<，11a>，所以函数1()log [(1)2]a f x a x =--在定义域内单调递减；又且()0f x >在514⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立，所以只需152415log (1)204a a a ⎧<⎪-⎪⎨⎡⎤⎪-->⎢⎥⎪⎣⎦⎩，无解；当1a >时，10a ->，101a<<，所以函数1()log [(1)2]a f x a x =--在定义域内单调递减；又()0f x >在51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以只需12115log (1)204a a a ⎧>⎪-⎪⎨⎡⎤⎪-->⎢⎥⎪⎣⎦⎩，即35(1)214a a >⎧⎪⎨--<⎪⎩，解得1735a <<，综上所述实数a 的取值范围为173,5⎛⎫⎪⎝⎭.。

高中数学培优训练一高等数学一直以来被莘莘学子认为是不可逾越的大山，其实不然，只要掌握适当的方法与技巧，多进行一些培优训练，多对思维做一些培优性的练习，就一定能克服困难，成为“学霸”，轻松解决试卷中的培优题！！！1．已知椭圆C，12,F F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，且21F PF ∆（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆TT 的两条切线交椭圆于F E ,两点，当圆心在x 轴上移动且()1,3t ∈时，求EF 的斜率的取值范围．2．若函数()f x 是定义域D 内的某个区间I 上的增函数，且在I 上是减函数，则称()y f x =是I 上的“单反减函数”（1）判断()f x 在(]0,1上是否是“单反减函数”；（2）若()g x 是[)1,+∞上的“单反减函数”，求实数a 的取值范围．3．如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，底面ABCD 是梯形，其中 BC AD //，AD BA ⊥，AC 与BD 交于点O ，M 是AB 边上的点，且BM AM 2=，已知4==AD PA ，3=AB ，2=BC ．（1）求平面PMC 与平面PAD 所成锐二面角的正切；（2）已知N 是PM 上一点，且//ON 平面PCD ，求 4．已知等差数列{}n a 满足121, a a =、73a -、8a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和1n n T a =-（其中a 为正常数）（1）求{}n a 的前项和n S ；（2）已知*2a N ∈，1122n n n I a b a b a b =++⋅⋅⋅+，求n IA PB C OMN5．设(),R f x a b λ∈=⋅，其中()cos ,sin ,sin cos ax x b x λ⎛==- ，已知()f x 满足（1）求函数()f x 的单调递增区间；（26．（本题满分14分）各项为正的数列{}n a 满足 （1）取1n a λ+=，求证：数列（2）取2λ=时令，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，求证：对任意正整数n ，12n n n T S ++为定值7．（本题满分15分）函数2()22(,,0)f x ax bx a b a b a =--+∈>R ，()22g x ax b =-（1时，求(sin )f θ的最大值； （2）设0a >时，若对任意θ∈R ，都有|(sin )|1f θ≤恒成立，且(sin )g θ的最大值为2，求()f x 的表达式．8．（本题满分15（1）求椭圆方程；（2）Rt ABC ∆以(0,)A b 为直角顶点，边,AB BC 与椭圆交于,B C 两点，求ABC ∆ 面积的最大值．9．（本题满分14分）已知函数R a x a x a x x f ∈++-=,ln )12()(2（1）当,1=a 求)(x f 的单调区间； （2）a ＞1时，求)(x f 在区间[]e ,1上的最小值； （3）,)1()(x a x g -=若使得))(00x g x f （≥成立，求a 的范围． 10．（本小题满分13分）已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 以及椭圆焦点及左、右顶点均在圆22:1O x y +=上．（1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（2）过点F 的直线交抛物线1C 于A 、B 两不同点,交y 轴于点N ，已知1212,,:NA AF NB BF λλλλ==+求证为定值．11．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前项n 和为n S ，点))(,(*∈N n S n n 均在函数x x x f 23)(2-=的图象上。

高中数学培优辅差计划高中数学培优辅差计划世纪呼唤新课改，当前，数学教学正处在一个大的变革之中，作为教师，我们要努力探讨如何在数学教学中进行素质教育和培养学生的创新精神，如何为学生的终身发展打好基础。

下面是小编整理的高中数学培优辅差计划，欢迎阅读和参考！高中数学培优辅差计划(一)一、指导思想提高优生的自主和自觉学习能力，进一步巩固并提高中等生的学习成绩，帮助差生取得适当进步，让差生在教师的辅导和优生的帮助下，逐步提高学习成绩，并培养较好的学习习惯，形成基本能力。

二、学生情况分析本班共有学生33人，从前半期的学习情况及知识掌握情况看，大部分学生学习积极性高，学习目的明确，上课认真，各科作业能按时按量完成，且质量较好，如岳义云、王麟淳、胡思懿、易睿鸿等，且担任班干部能起到较好的模范带头作用，但也有少部分学生如韩宇山、赵逸、胡敬昆、罗俊为等，基础知识薄弱，学习态度欠端正，书写较潦草，作业有时不能及时完成，因此后半期除在教学过程中要注重学生的个体差异外，我准备在提高学生学习兴趣上下功夫，通过培优辅差的方式使优秀学生得到更好的发展，潜能生得到较大进步。

三、具体措施1、认真备好每一次培优辅差教案，努力做好学习过程的趣味性和知识性相结合。

2、加强交流，了解潜能生、优异生的家庭、学习的具体情况，尽量排除学习上遇到的困难。

3、沟通思想，切实解决潜能生在学习上的困难。

4、坚持辅差工作，每周不少于一次。

5、根据学生的个体差异，安排不同的作业。

6.请优生介绍学习经验，差生加以学习。

7.课堂上创造机会，用优生学习思维、方法来影响差生。

对差生实施多做多练措施。

优生适当增加题目难度。

8.采用激励机制，对差生的每一点进步都给予肯定，并鼓励其继续进取，在优生中树立榜样，给机会表现，调动他们的学习积极性和成功感。

充分了解差生现行学习方法，给予正确引导，朝正确方向发展，保证差生改善目前学习差的状况，提高学习成绩。

四、培优名单易睿鸿甘榄玉王麟淳方力斌胡雪牟星宇五、补差名单：李璘璘王琴李昕睿刘思敏周木恒徐李。

高中数学培优试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=2x^2-4x+3，求f(2)的值为：A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，求第10项a10的值：A. 23B. 27C. 29D. 31答案：A3. 计算下列定积分的值：∫(0,2) (x^2 - 3x + 2) dx：A. 0B. 4C. 6D. 8答案：C4. 若复数z满足|z-1|=2，则z的模长|z|的最小值为：A. 1B. √3C. 2D. √5答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 函数y=x^3-3x^2+4x-5的极值点个数为_______。

答案：26. 一个圆的半径为5，圆心在原点，求该圆的面积为_______。

答案：25π7. 已知函数f(x)=x^2-2x+1，求f(x)的对称轴方程为_______。

答案：x=18. 若直线y=3x+2与抛物线y^2=4x相交于点A和B，求线段AB的中点坐标为_______。

答案：(1, 5/3)三、解答题（每题15分，共30分）9. 已知等比数列{bn}的前三项依次为b1=2，b2=4，b3=8，求该数列的通项公式。

答案：bn=2^n10. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求函数f(x)的单调递增区间。

答案：(-∞, 1)和(2, +∞)四、证明题（每题15分，共15分）11. 证明：若a, b, c为实数，且满足a^2+b^2+c^2=1，则(a+b+c)^2≤3。

答案：证明如下：由柯西-施瓦茨不等式可知，对于任意实数a, b, c有(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)≥(a+b+c)^2，即(a^2+b^2+c^2)(3)≥(a+b+c)^2。

又因为a^2+b^2+c^2=1，所以(a+b+c)^2≤3。

五、应用题（每题15分，共15分）12. 某商场进行促销活动，规定顾客每消费满100元即可获得一张优惠券，每张优惠券可以抵用10元。

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1数列一、选择题A ．﹣5B ．﹣7C ．﹣9D ．﹣11【答案】B【解析】数列{a n }为等差数列，设首项为 a 1，公差为 d ，∵a 3＝5，S 4＝24，∴a 1+2d ＝5，4a 1+4 3 d ＝24，2联立解得 a 1＝9，d ＝﹣2，则 a 9＝9﹣2×8＝﹣7．A ．7B ．8C ．15D ．162a 2 ，a 3 成等【答案】C【解析】由数列因为，所以为等比数列，且，解得：成等差数列，所以，根据等比数列前 n 项和公式，即，．A ． 第 2 天B ． 第 3 天C ． 第 4 天D ． 第 5 天【解析】第一天共挖1 + 1 = 2 ，前二天共挖2 + 2 + 0.5 = 4.5 ，故前3天挖通，故两鼠相遇在第3天.A．7 B．10 C．63 D．18【答案】C【解析】等差数列{a n }的首项为a1 ，公差为d所以S= 3a +3⨯ 2d = 3a + 3d ，a =a + 5d ，3 1 2 1 6 1所以3a1 + 3d - 2a1 +a1 + 5d = 2a1 + 8d = 14 ，所以a1 + 4d = 7，即a5 =7 ，所以S=(a1 +a9 ) ⨯ 9 = 9a= 63..9 2 5差中项是（）n 1 2 2 65 7 11A．2 B．2C．2D．6【答案】A【解析】 a 与a 的等差中项是 a =-2 + 3⨯3=5.2 6 4 2 2n 2 5 4A．-12B．-21C．2 D．218(a 1 + a )【解析】由等比数列的性质可得： a = a q 3 ，即： 1 = 2 ⨯ q 3，解得： q = 1.5242A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】C【解析】由 S 8 < S 10 < S 9 得， a 9 > 0 ， a 10 < 0， a 9 + a 10 > 0，所以公差大于零.又 S 17 = 17 (a 1 + a 17 ) 2= 17a 9 > 0 ， S 19 =19(a 1 + a 19 ) 2=19a 10 < 0 ，S 18 = = 9 (a 9 + a 10 ) > 0，2= （ ）A ．1B ． -1n n35C ．2D ． 12【答案】A(a 1 + a 9 ) ⋅ 9 【解析】 S 9 = 2 = 5 ⋅ 9= 1，故选 A.S 5(a 1 + a 5 ) ⋅ 59 52A ． 9B ． 8C ． 6D ． 4【答案】B6 3 3 9 6∴ S 3 , S 6 - S 3 , S 9 - S 6 也是等比数列，且 S 9 - S 6 = a 7 + a 8 + a 9 ，∴(S - S )2= S ⋅ (S - S )，(S + 2)2S 2 + 4S + 4 4可得： S 9 - S 6 =3= 3 3 = S SS 3 + + 4S 333≥ 4 = 8 ，当且仅当 S 3 = 2 时取等号，∴ a 7 + a 8 + a 9 的最小值为8.A ．4040B ．4041C ．4042D ．4043【答案】A【解析】∵ a 2020 ⋅ a 2021 < 0，∴ a 2020 和 a 2021 异号，又数列{a n }是等差数列，首项 a 1 > 0 ，∴{a n }是递减的数列， a 2020 > 0, a 2021 < 0 ，a+ a> 0，∴ S= 4040(a 1 + a 4040 ) = 2020(a + a ) > 0，20202021404022020 2021S = 4041(a 1 + a 4041 ) = 4041a< 0 ，4041 22021∴满足 S n > 0 的最大自然数 n 为 4040．n+n和最大项分别是（）S ⎭ ⎩ n【答案】C【解析】因为 y ==1+在(-∞, 80）上单调减，在( 80, +∞) 单调减，所以当 x ∈ (-∞, 80）时 y ∈ (-∞,1) ，此时a n ∈[a 8 , a 1 ] ⊂ (-∞,1) ，当 x ∈ ( 80, +∞) 时 y ∈ (1, +∞) ，此时a n ∈[a 50 , a 9 ] ⊂ (1, +∞) ，因此数列｛ a n ｝的前 50 项中最小项和最大项分别为 a 8 , a 9 ，选 C.S n = 2n -1 ，则 a 5= （）T n n +1b 5191737A ．11 B ．10 C ．2D ． 5【答案】B【解析】解：∵ S 是等差数列{a }的前 n 项和，∴S = 9(a 1 + a 9 ) = 9 ⨯ 2a 5 = 9a ， 即 a = S 9 ，n n 9 2 2 5 59∵ T 是等差数列{b }的前 n 项和，∴ T= 9(b 1 + b 9 ) = 9 ⨯ 2b 5 = 9b ，即b = T 9 ，nn∴a 5 = S 9 = 2 ⨯ 9 -1 = 17 ，92 25 59 b 5 T 9 9 +1 10a =S n + 2(n -1)(n ∈ N *) ，则数列⎧ 1 ⎫的前 10 项的和是（ ）⎨ + 3n ⎬9510 A ．290B ．C ．D ．201111【答案】Cx - 79 x - 80 80 - 79x - 80nnn( 1 ) 2n ⎝ ⎭ ( )【解析】由a n =S n+ 2(n -1) (n ∈ N * )得 S n = na n - 2n (n -1) ，当 n ≥ 2 时， a n = S n - S n -1 = na n - (n - 1)a n -1 - 4(n - 1) ，整理得 a n - a n -1 = 4 ，所以{a n }是公差为 4 的等差数列，又a 1 = 1， 所以 a n = 4n -3(n ∈ N * )，从而 S n a + a + 3n = + 3n = 2n + 2n = 2n (n +1) ，2所以1 =1= 1 ⎛ 1 - 1 ⎫ ，⎪ S n + 3n 2n (n +1) 2n n +1数列 ⎧ 1 ⎫ 的前 10 项的和S = 1 ⎛1- 1 ⎫ = 5 . ⎨ S + 3n ⎬ 2 11 ⎪ 11⎩ n ⎭⎝ ⎭n n n nB n2n +1则使a n ≥ λ恒成立的实数λ的最大值为（）b nA ．1B ． 123C ．1D ．2【答案】Ba 1 + a 2 n -1a 1+ a2 n -1⋅ (2n -1)【解析】由题意可得a n= 2 = 2 b n b 1 + b 2 n -1 b 1 + b2 n -1 ⋅ (2n -1) 2 2=A 2n -1 = 2n -1 = 1 - 1 ．B 2n -1 2(2n -1)+1 2 2(4n -1)设 f (n ) = 1 - 1 2 2 4n -1 ， n ∈ N * ，因为函数 f (n ) 是增函数，n所以当 n = 1时，函数 f (n ) 取最小值，所以 f (n )≥ f (1) = 1． 31 故实数λ的最大值为 ．3则 1 + 1 + + 1 等于（ ）b 1 b 2 b nnA ．n -1n -1 B ．nn +1 C ．nnD ．n +1【答案】D【解析】已知{a n }是等差数列，且a 2 + a 4 = 6,a 5 = 5 ，所以 2a 1 + 4d = 6, a 1 + 4d = 5 ，解得 a 1 = 1, d = 1，所以 a n = a 1 + (n -1)d = n ， 所以b n = n (n +1)，所以1=1= 1 - 1 ，b nn (n +1) n n +1所 以 1 +1 + + 1 ， b 1 b2 b n= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... + 1 - 1 ，1 2 2 3 3 4n n +1= 1 -1 = n + 1 nn + 1n n a ⎩ n (n -1)d 2 =A ． S = 2n 2- 6nB ． S = n 2- 3nC ． a n = 4n - 8D ．a n = 2n【答案】AC【解析】设等差数列{a }的公差为 d ，则⎧S 3 = 3a 1 + 3d = 0，解得⎧a 1 = -4 ，n⎨ ⎩ 4 a 1 + 3d = 8⎨d = 4∴a n = a 1 + (n -1)d = -4 + 4(n -1) = 4n - 8， S = na 1 += -4n + 2n (n - 1)= 2n- 6n .2(a n - a n -1 - 2)(a n - 2a n -1) = 0，下面选项中关于数列{a n }的命题正确的是（）A ．{a n }可以是等差数列B ．{a n }可以是等比数列C ．{a n }可以既是等差又是等比数列D ．{a n }可以既不是等差又不是等比数列【答案】ABD【解析】解：因为(a n - a n -1 - 2)(a n - 2a n -1) = 0,所以 a n - a n -1 - 2 = 0 或 a n - 2a n -1 = 0 ,即： a n - a n -1 = 2 或 a n = 2a n -1①当 a n ≠ 0, a n -1 ≠ 0 时,{a n }是等差数列或是等比数列.② a n = 0或 a n -1 = 0时,{a n }可以既不是等差又不是等比数列C．当 d > 0 时， a10 +a22 > 0D．当d < 0 时，a10>a22【答案】BC【解析】因为S =S ，所以10a+10 ⨯ 9d = 20a +20 ⨯19d ，解得a =-29d .10 20 1 2 1 2 1 2对选项A，因为无法确定a1 和d 的正负性，所以无法确定S n 是否有最大值，故A 错误.对选项B，S= 30a +30 ⨯ 29d = 30 ⨯⎛-29d⎫+15⨯ 29d = 0 ，30 1 2 2 ⎪⎝⎭故 B 正确.对选项C，a +a =2a = 2 (a+15d )= 2 ⎛-29d +15d⎫=d > 0 ，10 22 16 1 2 ⎪⎝⎭故 C 正确.对选项D，a =a + 9d =-29d +18d =-11d ，10 1 2 2 2a 22 =a1+ 21d =-29d +42d =13d ，2 2 2因为d < 0 ，所以a10=-11d ，a2 22=-13d ，2a 10 <a22，故D 错误.A．q = 2B． a = 2n C． S10 = 2047D．a n+a n +1<a n +2n 2n 2n 2n -1 2n【解析】由题意2q 3 = 4q + 2q 2 ，得 q 2 - q - 2 = 0，解得q = 2 （负值舍去），选项 A 正确；a = 2 ⨯ 2n -1= 2n ，选项 B 正确；2 ⨯ (2n -1) S = = 2n +1 - 2 ，所以 S 10 = 2046 ，选项 C 错误； n2 -1a n + a n +1 = 3a n ，而 a n +2 = 4a n > 3a n ，选项 D 正确．18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（）A ．此数列的第 20 项是 200B ．此数列的第 19 项是 182C ．此数列偶数项的通项公式为 a = 2n2D ．此数列的前n 项和为 S n = n ⋅ (n -1)【答案】AC【解析】观察此数列，偶数项通项公式为 a = 2n 2，奇数项是后一项减去后一项的项数，a = a - 2n，由此可得a = 2 ⨯102 = 200 ，A 正确； a = a - 20 = 180 ，B 错误；C 正确； S = n (n -1) = n 2 - n 是 201920n一个等差数列的前 n 项，而题中数列不是等差数列，不可能有 S n = n ⋅ (n -1) ，D 错．二、 解答题（1）求{a n }的通项公式；n n n n1- (-2) n m n【解析】（1）设{a } 的公比为q ，由题设得 a = qn -1．由已知得 q 4 = 4q 2 ，解得q = 0 （舍去）， q = -2 或q = 2 ．故a = (-2)n -1 或 a = 2n -1．（2）若 a n = (-2)n -1，则 S n n= ．由 S m= 63得(-2) 3= -188 ，此方程没有正整数解．若 a = 2n -1，则 S = 2n-1．由 S = 63得2m = 64，解得 m = 6． 综上， m = 6．a 1 =b 1 = 1, a 2 + a 4 = 10,b 3 = a 5 ．（1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前 n 项和．【解析】（1）设等差数列{a n }公差为 d ，正项等比数列{b n }公比为q ，因为 a 1 = b 1 = 1, a 2 + a 4 = 10,b 3 = a 5 ，所以1+ d +1+ 3d = 10, q 2 = 1+ 4d ∴ d = 2, q > 0∴ q = 3因此 a n = 1+ (n -1) ⨯ 2 = 2n -1, b n = 1⨯ 3n -1= 3n -1 ；（2）数列{b n }的前 n 项和S n = 1 - 3n= 1 (3n - 1) 1 - 3 2= (n +1)a (n ∈ N * )．mn n（2）令b =4，求数列{b }的前 n 项和T ．n(a + 2)(a+ 2)n nnn +1【解析】解：（1）因为 2S = (n +1)a (n ∈ N *)，所以 2S n -1 = na n -1 (n ≥ 2)，两式作差可得2a n = (n +1)a n - na n -1 (n ≥ 2)，整理得(n -1)a= na(n ≥ 2)，则a n=n(n ≥ 2)，nn -1a n -1n -1故a = a ⨯ a 2 ⨯ a 3 ⨯ ⨯ a n= 2 ⨯ 2 ⨯ 3 ⨯ ⨯ n= 2n (n ≥ 2)，a 1 a 2a n -11 2n -1当 n = 1时， a 1 = 2 满足上式，故 a n = 2n ．（2）由（1）可知b =4 = 4 = 1 = 1 - 1 ，n(a + 2)(a + 2) (2n + 2)(2n + 4) (n +1)(n + 2) n +1 n + 2n n +1则T = b + b + b + + b = ⎛1 - 1 ⎫ + ⎛ 1 - 1 ⎫ + ⎛ 1 - 1 ⎫ + + ⎛ 1 - 1 ⎫ ． n 1 2 3n 2 3 ⎪ 3 4 ⎪ 4 5 ⎪ n +1 n + 2 ⎪ = 1 - 1 = n． ⎝⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭2 n + 2 2n + 4(n ∈ N *).（1）证明：数列{a n - 2}为等比数列；（2）若b n = a n ⋅ l og 2 (a n - 2)，数列{b n }的前项和为T n ，求T n .n1n n n n 2 n 1 2 3两式相减得： a n = 2a n - 2a n -1 + 2 ，∴a n = 2a n -1 - 2 ，即： a n - 2 = 2(a n -1 - 2)，又 n = 1时， S 1 = a 1 = 2a 1 + 2 - 6 ，解得： a 1 = 4 ，∴ a 1 - 2 = 2 ≠ 0 ， a n - 2 ≠ 0a n - 2a n -1 - 2= 2 ，∴数列{a n - 2}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列.（2）由（1）得： a - 2 = 2 ⨯ 2n -1= 2n ，∴ a = 2n+ 2 ，又b = a ⋅ log (a - 2)，∴ b = n (2n+ 2)，∴ T = b + b + b + ⋅⋅⋅b = (1⨯ 2 + 2⨯ 22 + 3⨯ 23 + ⋅⋅⋅ + n ⨯ 2n)+ 2(1+ 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + n )，设 A n = 1⨯ 2 + 2⨯ 22+ 3⨯ 23+ ⋅⋅⋅ + (n -1)⋅ 2n -1+ n ⋅ 2n ，则2A n = 1⨯ 2 + 2⨯ 2 + ⋅⋅⋅ + (n -1)⨯ 2 + n ⨯ 2 ， 2 3 n n +12 (1 - 2n ) 两式相减可得： - A n = 2 + 22 + 23 + ⋅⋅⋅ + 2n - n ⨯ 2n +1=- n ⨯ 2n +1 ， 1- 2∴A n= (n -1)⋅ 2n +1+ 2，又1+ 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + n = n (n +1)，2∴T n = (n -1)⋅ 2n +1+ 2 + n (n +1).n n n ∴nnb 列，数列{b }满足∑a b = (n -1)2n+1．ni i i =1（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求证：数列{b n }是等比数列；（3）若数列{c }满足c = a n ，且c (m ∈ N *)为整数，求 m 的值．nn mn【解析】（1）因为 a 1 = 1， a 4 ， a 6 ， a 9 成等比数列，所 以 a 2= a ⋅ a649即(1+ 5d )2= (1+ 3d )(1+ 8d ),解得： d = 1或 d = 0 （舍去） 所以 a n = 1+ n -1 = n ，（2）因为∑a i b i= (n -1)2 +1，ni =1所以 a 1b 1 + a 2b 2 + + a n b n= (n -1)⋅2n+1，①a 1b 1 + a 2b 2 + + a n -1b n -1 = (n - 2)⋅ 2n -1 +1 (n ≥ 2) ②① -②得： a n b n = (n -1)⋅ 2n- (n - 2)⋅ 2n -1= n ⋅ 2n -1 (n ≥ 2) ,又a n = n ，所以b n = 2n -1(n 2)，n当 n = 1时， a b = 1，即b = 1，也适合b = 2n -1 ，1 1 1 nn -1 *所以b n = 2 (n ∈ N ) ,b 2n由n +1 = = 2 知数列{b n }是公比为 2 的等比数列.b 2n -1（3）c n = a n b n = n ，2n -1当 n = 1时， c 1 =1， n = 2 时， c 2 = 1，当n ≥ 3时，由 n < 2n -1 知c n < 1，不是整数，所以c m (m ∈ N*)为整数则 m = 1或 m = 2 .。