高中数学优等生辅导题目
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2021年高考数学尖子生培优题典(新高考专版)专题09 圆锥曲线姓名:__________________ 班级:______________ 得分:_________________一、单选题1.椭圆22154x y +=的长轴长是( )A .2B .4C .D .10【答案】C【解析】因为椭圆的方程是22154x y +=, 所以25a =,解得a =,所以长轴长是2a =2.双曲线22221124x y m m−=+−的焦距是( )A .4B .C .8D .【答案】C【解析】由题意可得,c 2�a 2+b 2�m 2+12+4�m 2�16 �c =4 焦距2c �8 3.抛物线214y x =的焦点坐标是( )A .1,016B .()1,0C .1-,016D .()0,1【答案】D 【解析】214y x =即24x y =,所以其焦点在y 轴正半轴,坐标为()0,1 4.抛物线212x y =的准线方程为( ) A .18y =− B .18y =C .12x =−D .12x =【答案】A【解析】解:由于抛物线22x py =的准线方程为2p y =−, 则有抛物线212x y =的准线方程是18y =−. 5.已知12F F 、是双曲线2222:1x y E a b−=的左、右焦点,过点1F 且与x 轴垂直的直线与双曲线左支交于点,M N ,已知2MF N ∆是等腰直角三角形,则双曲线的离心率是( ).A B .2C .1+D .2+【答案】C【解析】由题意得222222210,11b c c a ac e e e e a=⇒−=⇒−−=>⇒=6.焦点在x 轴上的椭圆222125x y a +=焦距为8,两个焦点为12,F F ,弦AB 过点1F ,则2ABF 的周长为( )A .20B .28C .D .【答案】D【解析】解:因为焦点在x 轴上的椭圆222125x y a += 焦距为8,所以22254a −=,解得a =如图,根据椭圆的定义可得122AF AF a +=,122BF BF a +=,所以22211224ABF C AB AF BF AF BF AF BF a =++=+++== 故选:D7.抛物线24y x =的焦点到双曲线221x y −=的渐近线的距离为( )A .12BCD .2【答案】B【解析】因为抛物线的焦点为(1,0),双曲线的渐近线为0x y ±=,所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为d8.已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于,A B 两点(设点A 在第一象限),分别过,A B 作准线的垂线,垂足分别为11,A B ,若1AFA 为等边三角形,1BFB 的面积为1S ,四边形11A B BF 的面积为2S ,则12S S =( )A .13B .14C .16D .17【答案】D【解析】由条件可得1160AFx AFA A FO °∠=∠=∠=,1130BFB OFB °∠=∠=,直线AB的方程为2p yx − ,与22y px =联立,消去y ,整理得2233504p x px −+=,解得6p x =或32p x =,故3,,26p pA B ,则1|2|||623p p p BF BB ==+=,则1BFB的面积为11262p p S =×+ 11A B BF的面积为2S p p=+−⋅=,故1217S S =.二、多选题9.已知抛物线()220y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和p 的值可以是( ) A .2 B .6C .4D .8【答案】AC【解析】设M 的横坐标为x ,由题意,32px +=,28px =,解得2p =或4p =. 10.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线221412x y −=,则( )A .实轴长为2 B.渐近线方程为y =C .离心率为2D .一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3【答案】BC【解析】由双曲线方程221412x y −=,得2a =,b =4c ==,所以实轴长24a =,故选项A 错误;渐近线方程为b y x a=±,故选项B 正确; 离心率2cea==,故选项C 正确; 准线方程21a x c=±=±,取其中一条准线1x =,y =与1x =的交点(A ,点A到直线y =的距离dD 错误.11.已知F 是抛物线2:16C y x =的焦点,M 是C 上一点,FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点,则( )A .C 的准线方程为4x =−B .F 点的坐标为()0,4C .12FN = D.三角形ONF 的面积为(O 为坐标原点)【答案】ACD【解析】如图,不妨设点M 位于第一象限,设抛物线的准线l 与x 轴交于点F ′,作MB l ⊥于点B ,NA l ⊥于点A . 由抛物线的解析式可得准线方程为4x =−,F 点的坐标为()4,0,则4AN =,8FF ′=,在直角梯形ANFF ′中,中位线62AN FF BM′+==,由抛物线的定义有6MF MB ==,结合题意,有6MN MF ==,故6612FN FM NM =+=+=,ON =,142QNF S =×=△.12.已知曲线22:1C mx ny +=.( ) A .若m >n >0,则C 是椭圆,其焦点在y 轴上 B .若m =n >0,则CC .若mn <0,则C是双曲线,其渐近线方程为y = D .若m =0,n >0,则C 是两条直线 【答案】ACD【解析】对于A ,若0m n >>,则221mx ny +=可化为22111x y m n+=, 因为0m n >>,所以11m n<, 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆,故A 正确;对于B ,若0m n =>,则221mx ny +=可化为221x y n+=, 此时曲线C的圆,故B 不正确; 对于C ,若0mn <,则221mx ny +=可化为22111x y m n+=, 此时曲线C 表示双曲线,由220mx ny +=可得y =,故C 正确; 对于D ,若0,0m n =>,则221mx ny +=可化为21y n=,y =,此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线,故D 正确;三、填空题13.双曲线2213x y −=的焦距长为_______.【答案】4【解析】1,a b==,222c a b =+ ,2c ∴=,焦距长24c=.14.以双曲线22145x y −=的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为_____.【答案】22195x y +=【解析】由双曲线的相关性质可知,双曲线22:145x y C -=的焦点为(3,0)±,顶点为(20)±,,所以椭圆的顶点为(3,0)±,焦点为(20)±,,因为2225b a c =-=,所以椭圆的方程为22195x y +=15.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ,准线为l ,C :()(2216x a y −+−=过点F 且与l相切,则p =______. 【答案】2或6【解析】解:02p F,在()(2216x a y −+−=上所以(220162p a −+−=,即22pa −=(1), ()(2216x a y −+−=和与l 相切,42pa +=(2), 由(1)(2)得,所以2p =或6p =16.如图,椭圆E 的左右焦点为1F ,2F ,以2F 为圆心的圆过原点,且与椭圆E 在第一象限交于点P ,若过P 、1F 的直线l 与圆2F 相切,则直线l 的斜率k =______;椭圆E 的离心率e =______.1 【解析】连接2PF ,由于l 是圆2F 的切线,所以12PF PF ⊥.在12Rt PF F 中,212PF OF OF c ===, 所以21212PF F F =,所以126PF F π∠=,所以直线l的斜率6tan πk ==. 1PF =,根据椭圆的定义可知1212212F F c cea aPF PF ====−+.四、解答题17.求适合下列条件的椭圆标准方程:(1)与椭圆2212x y +=有相同的焦点,且经过点3(1,)2(2)经过(2,(A B 两点 【解析】(1)椭圆2212x y +=的焦点坐标为(1,0)±,∵椭圆过点3(1,)2,∴24a ==,∴2,a b ==,∴椭圆的标准方程为22143x y +=.(2)设所求的椭圆方程为221(0,0,)x y m n m n m n+=>>≠.把(2,(A B 两点代入, 得:14213241mnm n+=+= ,解得81m n ==,, ∴椭圆方程为2218x y +=.18.已知双曲线22221(0,0)y x a b a b−=>>的一个焦点在直线:3120l y ++=上,且其一条渐近线与直线l 平行,求该双曲线的方程.【解析】依题意得,双曲线的焦点在y 轴上,又直线l 与y 轴的交点为(0,4)−,所以双曲线的一个焦点坐标为(0,4)−,即4c ==.又因为直线l的斜率为a b =224,12a b ==, 故双曲线的方程为221412y x −=.19.已知抛物线22(0)y px p =>的准线方程为1x =−. (Ⅰ)求p 的值;(Ⅱ)直线:1l y x =−交抛物线于A 、B 两点,求弦长AB .【解析】(Ⅰ)依已知得12p =,所以2p =; (Ⅱ)设()11,A x y ,()22,B x y ,由214y x y x =− =消去y ,得2610x x −+=, 则126x x +=,121x x =,所以AB =8=. 20.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b −=>>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同,且经过点(2,3). (Ⅰ)求双曲线C 的标准方程和其渐近线方程; (Ⅱ)设直线l 经过点(0,1)−,且斜率为k .求直线l 与双曲线C 有两个公共点时k 的取值范围.【解析】(Ⅰ)由已知,双曲线的焦点为(2,0)−和(2,0)根据定义有:221a a −⇒= 故21a =,24c =,23b =,从而所求双曲线C 的方程为2213y x −=其渐近线方程为:y =.(Ⅱ)由22133y kx x y =− −= 得:()223240k x kx −+−=当230k −≠,即k ≠时,若>0∆,即()()22244(4)31240k k k ∆=−−−=−>24022k k ⇒−>⇒−<<时, 直线与双曲线相交,有两个公共点;所以,当22k −<<,且k ≠时,直线与双曲线有两个公共点.21.已知椭圆M :22219x y b+=(0b >)的一个焦点为()2,0,设椭圆N 的焦点恰为椭圆M 短轴上的顶点,且椭圆N 过点. (1)求N 的方程;(2)若直线2y x =−与椭圆N 交于A ,B 两点,求AB .【解析】(1)由椭圆M :22219x y b+=(0b >)的一个焦点为()2,0,得2c =,且222945b a c =−=−=,∴椭圆N 的焦点为(0,,(.又椭圆N 过点,∴椭圆N∴椭圆N 1.∴N 的方程为2216y x +=;(2)设()11,A x y ,()22,B x y , 联立22216y x y x =− +=消去y ,整理得27420x x −−=, 则1247x x +=,1227x x =−, ∴127AB =. 22.已知动圆Q 经过定点()0,F a ,且与定直线:l y a =−相切(其中a 为常数,且0a >).记动圆圆心Q 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程,并说明C 是什么曲线? (2)设点P 的坐标为()0,a −,过点P 作曲线C 的切线,切点为A ,若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ,N 两点,证明:AFM AFN ∠=∠.【解析】(1)设(),Q x y,由题意得y a =+,化简得24x ay =, 所以动圆圆心Q 的轨迹方程为24x ay =, 它是以F 为焦点,以直线l 为准线的抛物线.(2)不妨设()2,04t A t t a >. 因为24x y a=,所以2x y a ′=, 从而直线PA 的斜率为2402t a t a t a+=−,解得2t a =,即()2,A a a , 又()0,F a ,所以//AF x 轴.要使AFM AFN ∠=∠,只需0FM FN k k +=. 设直线m 的方程为y kx a =−,代入24x ay =并整理, 得22440x akx a −+=.所以()221610a k ∆=−>,解得1k <−或1k >. 设()11,M x y ,()22,N x y ,则124x x ak +=,2124x x a =. ()()2112121212FM FN x y a x y a y a y a k k x x x x −+−−−+=+= ()()()21121212122222x kx a x kx a a x x k x x x x −+−+==− 224204a ak k a ⋅=−=. 故存在直线m ,使得AFM AFN ∠=∠, 此时直线m 的斜率的取值范围为()(),11,−∞−∪+∞.。
2021年高考数学尖子生培优题典(新高考专版)专题06 不等式姓名:__________________ 班级:______________ 得分:_________________一、 选择题1.不等式112x <的解集为( ) A .(,2)−∞ B .(2,)+∞C .(0,2)D .(,0)(2,)−∞+∞【答案】D【解析】112x <等价于202x x−<即()20x x −>, 故不等式的解为0x <或2x >,故解集为()(),02,−∞+∞ ,选D.2.设,a b ∈R ,若0a b −>,则下列不等式中正确的是( ) A .0b a −> B .330a b +<C .220a b −<D .0b a +>【答案】D【解析】利用赋值法:令1,0a b ==排除A,B,C,选D. 3.若正实数,a b ,满足1a b +=,则33b a b+的最小值为( )A .2B .C .5D .【答案】C【解析】根据题意,若正实数,a b ,满足1a b +=,则33333235333b b a b b a a b a b a b ++=+=+++= ,当且仅当334b a ==时等号成立, 即33b a b+的最小值为5; 4.已知0,0,22x y x y >>+=,则xy 的最大值为( )A .12B .1CD .14【答案】A【解析】解:∵x >0,y >0,且2x +y =2,∴xy =12(2x •y )≤12(22x y +)2=12,当且仅当x =12,y =1时取等号, 故则xy 的最大值为12,故选A 5.若点P (x , y )在以A (-3,1),B (-1,0),C (-2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界),则21y x −−的取值范围是 A .1[,1]2B .1(,1)2C .1[,1]4D .(1,14)【答案】D【解析】根据已知的条件可知,点A,B ,C 围成的三角形ABC ,其内动点P (x,y ),那么所求的为动点P 与定点M (1,2)两点的斜率的取值范围,则根据已知中的三点A ,B,C 的坐标,分别求解12,1,43AMBM CM k k k ===,则利用倾斜角与斜率的关系,结合正切函数图象可得,21y x −−的取值范围是(1,14),选D. 6.已知不等式ax 2+bx +2>0的解集为{x |-1<x <2},则不等式2x 2+bx +a <0的解集为( )A .1|12x x −<<B .{1x <−或12x >C .{x |-2<x <1}D .{x |x <-2或x >1}【答案】A【解析】由题意知x =-1,x =2是方程ax 2+bx +2=0的根,则-1+2=-b a ,-1×2=2a, 解得a =-1,b =1.所以2x 2+bx +a =2x 2+x -1<0,解得-1<x <12. 7.已知a b >,则下列各式一定正确的是( ) A .lg lg a x b x > B .22ax bx > C .22a b > D .22x x a b ⋅>⋅【答案】D【解析】因为2x 恒为正数,故选D .8.若直线ax +2by -2=0(a >0,b >0)始终平分圆x 2+y 2-4x -2y -8=0的周长,则1a+2b 的最小值为( ) A .1 B .5C .D .3+【答案】D【解析】由题意知圆心C (2,1)在直线ax +2by -2=0上, ∴2a +2b -2=0,整理得a +b =1,∴1a +2b =12ab + ⋅(a +b )=3+b a +2a b ≥3+3+当且仅当b a =2a b,即b =2,a -1时,等号成立.∴1a +2b的最小值为3+.9.若关于x 的方程()94340xxa ++⋅+=有解,则实数a 的取值范围是( )A .(,8][0,)−∞−+∞B .(),4−∞−C .[8,4)−−D .(,8]−∞−【答案】D【解析】由9(4)340x x a ++⋅+=,得443(4)0,(4)3433xxx x a a +++=∴−+=+≥(当且仅当32x =时等号成立),解得8a ≤−10.函数()21f x nx x =+− (0,)bx a b a R +>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是( )A .BC .1D .2【答案】D【解析】11()2()2f x x b k f b b x b ′′=+−∴==+≥= ,当且仅当1b =时取等号,因此切线斜率的最小值是2,选D.11.已知a ,b ∈R 且ab ≠0,对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0,则( ) A .a <0 B .a >0C .b <0D .b >0【答案】C【解析】因为0ab ≠,所以0a ≠且0b ≠,设()()()(2)f x x a x b x a b =−−−−,则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b ===+ 当0a >时,则23x x <,1>0x ,要使()0f x ≥,必有2a b a +=,且0b <, 即=−b a ,且0b <,所以0b <;当0a <时,则23x x >,10x <,要使()0f x ≥,必有0b <. 综上一定有0b <.12.设,,a b c 为实数,且0a b <<,则下列不等式正确的是( ) A .11a b< B .22ac bc <C .b a a b> D .22a ab b >>【答案】D【解析】对于A ,令1112,1,,12a b a b=−=−=−=−,故A 错误; 对于B ,当0c 时,则220ac bc ==,故B 错误;对于C ,则11a b>,1,2b a =−=−,则b aa b <,故C 错误; 对于D ,20,a b aab <∴ 且2ab b >,故D 正确,故选D.13.在关于x 的不等式2(1)0x a x a −++<的解集中至多包含2个整数,则a 的取值范围是 ( )A .(3,5)−B .(2,4)−C .[3,5]−D .[2,4]−【答案】D【解析】 因为关于x 的不等式2(1)0x a x a −++<可化为(1)()0x x a −−<, 当1a >时,不等式的解集为1x a <<, 当1a <时,不等式的解集为1<<a x ,要使得解集中至多包含2个整数,则4a ≤且2a ≥−, 所以实数a 的取值范围是[2,4]a ∈−,故选D.14.已知0x >,0y >,23x y +=,则23x y xy+的最小值为( )A .3−B .1+C 1D 1+【答案】B【解析】已知0x >,0y >,23x y +=,则22223(2)22111x y x x y y x xy y x yxy xy xy y x +++++===+++= ,当且仅当222x y = 时,即当3x =−,且y =故23x y xy+的最小值为1+15.已知函数()212x x f x e e mx +−=−−在R 上为增函数,则m 的取值范围为( )A .(,−∞B .)+∞C .(,−∞D .)+∞【答案】C【解析】因为函数()212x x f x ee mx +−=−−在R 上为增函数,所以()212220x x f x e e m +−+′=−≥在R 上恒成立, 即21222x x e e m +−≥+在R 上恒成立,因为21222x x e e +−≥+14x =−时取“=”号,所以m 的取值范围为(,−∞,16.函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的偶函数、奇函数,且()()2xf xg x e +=,若存在2(]0,x ∈,使不等式()()20f x mg x −≤成立,则实数m 的最小值为( )A .4B .C .8D .【答案】B【解析】∵()()2xf xg x e +=,①∴()()2xf xg x e −−+−=,又函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的偶函数、奇函数, ∴()2()x f x g x e −−=,②由①②得1()()2x x f x e e −=+,1()()4x x g x e e −=−, 不等式()()20f x mg x −≤为2211()()024x x x x e e m e e −−+−−≤,(*), 设x x t e e −=−,这是一个增函数,当02]x ∈(,时,221(0,]t e e∈−, (*)变为21202t mt +−≤,22(2)22()t m t t t+≥=+,若存在2(]0,x ∈,使不等式()()20f x mg x −≤成立,则为:存在221(0,]t e e∈−,使22()m t t ≥+成立,由于22()2t t+≥×,当且仅当2t t =,即t =时等号成立,∴22()2t +的最小值是.∴m ≥. 故选:B.17.(多选题)下列命题为真命题的是() A .若0a b >>,则22ac bc >B .若0a b <<,则22a ab b >>C .若00a b c >><且,则22c ca b> D .若a b >且11a b>,则0ab < 【答案】BCD【解析】选项A :当0c 时,不等式不成立,故本命题是假命题;选项B: 2222,00a b a ba ab ab b a ab b a b << ⇒>⇒>∴>><< ,所以本命题是真命题;选项C: 22222211000,0c c a b a b c a b a b >>⇒>>⇒<<<∴> ,所以本命题是真命题; 选项D: 2111100,00b aa b b a ab a b a b ab−>⇒−>⇒>>∴−<∴< ,所以本命题是真命题,所以本题选BCD.18.(多选题)设1,1a b >>,且()1ab a b −+=,那么( )A .+a b 有最小值)21B .+a b 有最大值)21+C .ab 有最大值3+D .ab 有最小值3+【答案】AD【解析】解:①由题已知得:22a b ab + ≤,故有2()4()40a b a b +−+−≥,解得2a b +≥+或2a b +≤−+(舍),即2a b +≥(当且仅当1a b ==+时取等号),A 正确;②因为a b +≥,所以()a b −+≤−,()ab a b ab −+≤−又因为()1ab a b −+=1ab ≤−21ab ⇒≤−+,)221≤1⇒−≥1≥3ab ⇒≥+ab有最小值3+,D 正确.故选AD19.(多选题)已知函数2()(0)f x x ax b a =++>有且只有一个零点,则( ) A .224a b −≤ B .214a b+≥ C .若不等式20x ax b +−<的解集为()12,x x ,则120x x >D .若不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ,且124x x −=,则4c = 【答案】ABD【解析】因为2()(0)f x x ax b a =++>有且只有一个零点,故可得240a b =−= ,即可240a b =>.对A :224a b −≤等价于2440b b −+≥,显然()220b −≥,故A 正确;对B :21144a b b b +=+≥=,故B 正确; 对C :因为不等式20x ax b +−<的解集为()12,x x ,故可得120x x b =−<,故C 错误; 对D :因为不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ,且124x x −=,则方程2 0x ax b c ++−=的两根为12,x x ,4,故可得4c =,故D 正确.20.(多选题)设,x y R +∈,S x y =+,P xy =,以下四个命题中正确的是( ).A .若P 为定值m ,则S 有最大值B .若S P ,则P 有最大值4C .若S P ,则S 有最小值4D .若2S kP ≥总成立,则k 的取值范围为4k ≤ 【答案】CD【解析】P 为定值m 时,S 应有最小值A 不正确;当S P 时,x y xy xy +=⇒≥min 244xy P ⇒≥⇒≥⇒=,∴B 不正确;2min ()444x y S P x y xy x y S +=⇒+=≤⇒+≥⇒=,当且仅当2xy ==,等号成立,∴C 正确; 由22S S kP k P⇒≤≥,又2222224S x y xy xy xy P xy xy +++=≥=, ∴2min 4S P= ,∴4k ≤,∴D 正确. 二、 解答题21.已知正数a ,b ,c 满足1abc =,求证:(2)(2)(2)27a b c +++≥.【解析】证明:由正数a ,b ,c 满足1abc =, 则(2)(2)(2)a b c +++(11)(11)(11)a b c ++++++333≥27=27=(当且仅当1a b c ===时等号成立),22.已知不等式(1)若对于所有的实数不等式恒成立,求的取值范围;(2)设不等式对于满足的一切的值都成立,求的取值范围. 【解析】(1)不存在这样的使得不等式恒成立(2){xx |−1+√72<xx <1+√32} (1)当mm =0时,1−2xx <0,即当xx >12时不等式不恒成立,不满足条件当mm ≠0时,设ff (xx )=mmxx 2−2xx −mm +1,由于ff (xx )<0恒成立,则有�mm <04−4mm (1−mm )<0 解得mm ∈φφ综上所述,不存在这样的使得不等式恒成立.(2)由题意−2≤mm ≤2,设gg (xx )=(xx 2−1)mm +(1−2xx ),则有�gg (−2)<0gg (2)<0 即�−2xx 2−2xx +3<02xx 2−2xx −1<0,解得−1+√72<xx <1+√32 所以的取值范围为{xx |−1+√72<xx <1+√32}23.已知函数()21f x x x =−−+.(1)解不等式()2f x <;(2)若正实数m ,n 满足3m n +=,试比较122m n +与()32f x −的大小,并说明理由. 【解析】(1)①当1x ≤−时,()()212x x −−++<,无解; ②当12x −<<时,()()212x x −−−+<,122x −<<; ③当2x ≥时,()()212x x −−+<,恒成立,2x ≥, 所以该不等式的解集为12x x>−. (2)因为|()21213x x x x −−+≤−−+≤, 当有仅当()()210x x −⋅+≥,即1x ≤−或2x ≥时取“=”, 所以()33f x −≤≤,即()933222f x −≤−≤. 又1212112322233222m n n m m n m n m n + ++⋅+++≥ , 当且仅当22n m m n =,即1m =,2n =时取等号, 所以()12322f x m n +≥−. 24.已知函数()211f x x x =−++. (1)求不等式()2f x x ≤+的解集;(2)若函数()y f x =的最小值记为m ,设0a >,0b >,且有a b m +=.求1212a b +++的最小值.【解析】解(1)因为()3,1,12112,1,213,.2x x f x x x x x x x −<− =−++=−+−≤≤ >从图可知满足不等式()2f x x ≤+的解集为[]0,1.(2)由图可知函数()y f x =的最小值为32,即32m =. 所以32a b +=,从而9122a b +++=, 从而()()112121212912a b a b a b +=++++ ++++ ()21222339129a b a b + +=++≥+= ++ 当且仅当()21212a b a b ++=++,即a b ∴1212a b +++25.某工厂生产某种商品的年固定成本为250万元,每生产()x x N ∗∈千件需另投入成本为()C x (万元).当年产量不足80千件时,21()103C xx x =+(万元);当年产量不小于80千件时,10000()511450C x x x=+−(万元).通过市场分析,每件售价为500元最为合适. (1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式; (2)该产品年产量为多少千件时,该厂所获利润最大?【解析】(1)依题意2**110080,3()1000051145080,x x x x N C x x x x N x +<<∈ = +−≥∈, 2**140250080,350()25010000120080,x x x x N L x C x x x x N x −+−<<∈ =−−= −−+≥∈, (2)由(1)得当*080,x x N <<∈时,221140250(60)95033L x x x =−+−=−−+, 当60x =时,max 950L =万元, 当*80,x x N ≥∈时,10000()120012001000L x x=−++≤−+=, 当且仅当10000100x x=时,等号成立,即max 1000L =万元 所以利润的最大值为1000万元.答:该产品年产量为100千件时,该厂所获利润最大.。
专题01 函数的单调性题组一 函数的单调性例题1-1 已知函数()122xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则()f x ( )A .是偶函数,且在R 上是增函数B .是奇函数,且在R 上是增函数C .是偶函数,且在R 上是减函数D .是奇函数,且在R 上是减函数解题思路:______________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟踪训练1-1 函数()()22log 32f x x x =-+的单调递增区间是( )A .3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C .()2,+∞D .(),1-∞解题思路:______________________________________________________________________________________________________________________________________________________例题1-2 已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是( ) A .(0,1) B .11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D .1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭解题思路:______________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟踪训练1-2 若函数,1()(34)1,1x a x f x a x x ⎧>=⎨-+≤⎩是R 上的减函数,则实数a 的取值范围是( )A .30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B .3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C .34,45⎛⎤ ⎥⎝⎦D .4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭解题思路:______________________________________________________________________________________________________________________________________________________题组二 函数的单调性综合运用1、已知函数()2f x x ax =-(1)若在区间[)1,+∞上是增函数,求实数a 的取值范围; (2)求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值.2、已知函数()224lg 43y x x x =--+-的定义域为M . (Ⅰ)求M ;(Ⅱ)当x M ∈时,求函数1()4328x x f x +=-⋅+的最小值及此时x 的值.3、已知函数1()log [(1)2]af x a x =--(0a >且1a ≠).(1)求()f x 的定义域;(2)若()0f x >在51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,求实数a 的取值范围.专题01 函数的单调性题组一 函数的单调性例题1-1 已知函数()122xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则()f x ( )A .是偶函数,且在R 上是增函数B .是奇函数,且在R 上是增函数C .是偶函数,且在R 上是减函数D .是奇函数,且在R 上是减函数【详解】因为()22xxf x -=-的定义域是R ,()()22xx f x f x --=-=-f x 为奇函数,又()f x 是R 上的增函数, 故选:B.跟踪训练1-1 函数()()22log 32f x x x =-+的单调递增区间是( )A .3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C .()2,+∞D .(),1-∞【详解】函数()()22log 32f x x x =-+,所以2320x x -+>,解得1x <或2x >, 所以()f x 定义域为()(),12,-∞⋃+∞又因函数()()22log 32f x x x =-+是复合函数,其外层函数2log y t =为增函数,所以要使()f x 为增函数,则内层232t x x =-+是增函数, 则32x >所以可得()f x 单调增区间为()2,+∞ 故选:C .例题1-2 已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是( ) A .(0,1)B .11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D .1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭【详解】由题意可知31001(31)14log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-⨯+≥⎩,即130117a a a ⎧<⎪⎪<<⎨⎪⎪≥⎩,则11,73a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故选:B跟踪训练1-2 若函数,1()(34)1,1x a x f x a x x ⎧>=⎨-+≤⎩是R 上的减函数,则实数a 的取值范围是( )A .30,4⎛⎫⎪⎝⎭B .3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C .34,45⎛⎤ ⎥⎝⎦D .4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭【详解】因为函数,1()(34)1,1x a x f x a x x ⎧>=⎨-+≤⎩是R 上的减函数,所以01340341a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪-+≥⎩,解得3445a <≤,所以实数a 的取值范围是34,45⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故选:C.题组二 函数的单调性综合运用1、已知函数()2f x x ax =-(1)若在区间[)1,+∞上是增函数,求实数a 的取值范围; (2)求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值.【详解】解:(1)函数()2f x x ax =-的对称轴方程为2a x =,因为函数()f x 区间[)1,+∞上是增函数,所以12a≤ 所以2a ≤; (2)①当12a≤即2a ≤时,函数()f x 区间[]1,2上是增函数, 所以()()min 11f x f a ==-; ②当22a≥即4a ≥时,函数()f x 区间[]1,2上是减函数, 所以()()min 242f x f a ==-; ③当122a<<即24a <<时, 函数()f x 区间1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数,在,22a ⎛⎫⎪⎝⎭上时增函数 所以()2min24a a f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,综上所述:当2a ≤时,()()min 11f x f a ==-, 当4a ≥时,()()min 242f x f a ==-; 当24a <<时,()2min24a a f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭;2、已知函数()224lg 43y x x x =--+-的定义域为M . (Ⅰ)求M ;(Ⅱ)当x M ∈时,求函数1()4328x x f x +=-⋅+的最小值及此时x 的值.【详解】 (Ⅰ)要使()224lg 43y x x x =--+-有意义,则2240430x x x ⎧-≥⎨-+->⎩,解得12x <≤, 所以(1,2]=M ;(Ⅱ)由题意,函数()21()43282(1,628,2]x x xx x f x +=-⋅+=-⋅+∈,令(,224]xt =∈,则()()22831,6(2,4]t h t t t t +=--∈=-, 所以当3t =即2log 3x =时,函数()h t 取最小值1-, 所以函数()f x 的最小值为1-,此时2log 3x =.3、已知函数1()log [(1)2]af x a x =--(0a >且1a ≠).(1)求()f x 的定义域;(2)若()0f x >在51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,求实数a 的取值范围.【详解】 (1)因为1()log [(1)2]af x a x =--,所以(1)20a x -->,因为0a >且1a ≠,当01a <<时,10a -<,解不等式(1)20a x -->可得21x a <-; 当1a >时,10a ->,解不等式(1)20a x -->可得21x a >-; 综上,当01a <<时,函数的定义域为2,1a ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭;当1a >时,函数的定义域为2,1a ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭; (2)当01a <<时,10a -<,11a>,所以函数1()log [(1)2]a f x a x =--在定义域内单调递减;又且()0f x >在514⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上恒成立,所以只需152415log (1)204a a a ⎧<⎪-⎪⎨⎡⎤⎪-->⎢⎥⎪⎣⎦⎩,无解;当1a >时,10a ->,101a<<,所以函数1()log [(1)2]a f x a x =--在定义域内单调递减;又()0f x >在51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,所以只需12115log (1)204a a a ⎧>⎪-⎪⎨⎡⎤⎪-->⎢⎥⎪⎣⎦⎩,即35(1)214a a >⎧⎪⎨--<⎪⎩,解得1735a <<,综上所述实数a 的取值范围为173,5⎛⎫⎪⎝⎭.。
高中数学培优训练一高等数学一直以来被莘莘学子认为是不可逾越的大山,其实不然,只要掌握适当的方法与技巧,多进行一些培优训练,多对思维做一些培优性的练习,就一定能克服困难,成为“学霸”,轻松解决试卷中的培优题!!!1.已知椭圆C,12,F F 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上任意一点,且21F PF ∆(1)求椭圆C 的方程;(2)设圆TT 的两条切线交椭圆于F E ,两点,当圆心在x 轴上移动且()1,3t ∈时,求EF 的斜率的取值范围.2.若函数()f x 是定义域D 内的某个区间I 上的增函数,且在I 上是减函数,则称()y f x =是I 上的“单反减函数”(1)判断()f x 在(]0,1上是否是“单反减函数”;(2)若()g x 是[)1,+∞上的“单反减函数”,求实数a 的取值范围.3.如图,在四棱锥ABCD P -中,⊥PA 底面ABCD ,底面ABCD 是梯形,其中 BC AD //,AD BA ⊥,AC 与BD 交于点O ,M 是AB 边上的点,且BM AM 2=,已知4==AD PA ,3=AB ,2=BC .(1)求平面PMC 与平面PAD 所成锐二面角的正切;(2)已知N 是PM 上一点,且//ON 平面PCD ,求 4.已知等差数列{}n a 满足121, a a =、73a -、8a 成等比数列,数列{}n b 的前n 项和1n n T a =-(其中a 为正常数)(1)求{}n a 的前项和n S ;(2)已知*2a N ∈,1122n n n I a b a b a b =++⋅⋅⋅+,求n IA PB C OMN5.设(),R f x a b λ∈=⋅,其中()cos ,sin ,sin cos ax x b x λ⎛==- ,已知()f x 满足(1)求函数()f x 的单调递增区间;(26.(本题满分14分)各项为正的数列{}n a 满足 (1)取1n a λ+=,求证:数列(2)取2λ=时令,记数列{}n b 的前n 项和为n S ,数列{}n b 的前n 项之积为n T ,求证:对任意正整数n ,12n n n T S ++为定值7.(本题满分15分)函数2()22(,,0)f x ax bx a b a b a =--+∈>R ,()22g x ax b =-(1时,求(sin )f θ的最大值; (2)设0a >时,若对任意θ∈R ,都有|(sin )|1f θ≤恒成立,且(sin )g θ的最大值为2,求()f x 的表达式.8.(本题满分15(1)求椭圆方程;(2)Rt ABC ∆以(0,)A b 为直角顶点,边,AB BC 与椭圆交于,B C 两点,求ABC ∆ 面积的最大值.9.(本题满分14分)已知函数R a x a x a x x f ∈++-=,ln )12()(2(1)当,1=a 求)(x f 的单调区间; (2)a >1时,求)(x f 在区间[]e ,1上的最小值; (3),)1()(x a x g -=若使得))(00x g x f (≥成立,求a 的范围. 10.(本小题满分13分)已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 以及椭圆焦点及左、右顶点均在圆22:1O x y +=上.(1)求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程;(2)过点F 的直线交抛物线1C 于A 、B 两不同点,交y 轴于点N ,已知1212,,:NA AF NB BF λλλλ==+求证为定值.11.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前项n 和为n S ,点))(,(*∈N n S n n 均在函数x x x f 23)(2-=的图象上。
高中数学培优试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 若函数f(x)=2x^2-4x+3,求f(2)的值为:A. 1B. 3C. 5D. 7答案:B2. 已知等差数列{an}的首项a1=3,公差d=2,求第10项a10的值:A. 23B. 27C. 29D. 31答案:A3. 计算下列定积分的值:∫(0,2) (x^2 - 3x + 2) dx:A. 0B. 4C. 6D. 8答案:C4. 若复数z满足|z-1|=2,则z的模长|z|的最小值为:A. 1B. √3C. 2D. √5答案:B二、填空题(每题5分,共20分)5. 函数y=x^3-3x^2+4x-5的极值点个数为_______。
答案:26. 一个圆的半径为5,圆心在原点,求该圆的面积为_______。
答案:25π7. 已知函数f(x)=x^2-2x+1,求f(x)的对称轴方程为_______。
答案:x=18. 若直线y=3x+2与抛物线y^2=4x相交于点A和B,求线段AB的中点坐标为_______。
答案:(1, 5/3)三、解答题(每题15分,共30分)9. 已知等比数列{bn}的前三项依次为b1=2,b2=4,b3=8,求该数列的通项公式。
答案:bn=2^n10. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1,求函数f(x)的单调递增区间。
答案:(-∞, 1)和(2, +∞)四、证明题(每题15分,共15分)11. 证明:若a, b, c为实数,且满足a^2+b^2+c^2=1,则(a+b+c)^2≤3。
答案:证明如下:由柯西-施瓦茨不等式可知,对于任意实数a, b, c有(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)≥(a+b+c)^2,即(a^2+b^2+c^2)(3)≥(a+b+c)^2。
又因为a^2+b^2+c^2=1,所以(a+b+c)^2≤3。
五、应用题(每题15分,共15分)12. 某商场进行促销活动,规定顾客每消费满100元即可获得一张优惠券,每张优惠券可以抵用10元。
高考数学尖子生培优题典(新高考专版)专题04 平面向量姓名:__________________ 班级:______________ 得分:_________________一、 选择题A .2B .2-C .1D .1-【答案】A【解析】解:∵a b ⊥;∴20a b x ⋅=-+=; ∴x=2.A .()2,1-B .()2,1-C .()2,0D .()4,3【答案】B【解析】由题意得()()()3,11,22,1b a -=-=-,故选B.A B C D .【答案】A【解析】解:由a b a b -=+,得0a b ⋅=,所以10-+=,则m =.∴()21a =-= A .1 B .3C .1或3D .4【答案】C【解析】根据题意,得()24,3a b m -=-,由()2b a b ⊥-,得()430m m --=.解得1m =或 3.m =故选C.A .14B .12C .1D .2【答案】A【解析】因为()1,a m =,()2,1b =, 所以()31,31a b m -=-,因为()//3c a b -,所以()3141m -⨯=-,解得14m =,A .6π B .4π C .3π D .2π 【答案】A【解析】由已知可得:22a b a -= ,得3a b = ,设向量a 与b 的夹角为θ ,则3cos .2a b a bθ==⨯ 所以向量a 与b 的夹角为6π A .1 B .1- C .6- D .6【答案】D【解析】因为()()2112a b =-=-,,, 所以()()23,0(2,1)3206a b a +⋅=⋅-=⨯+=A .13AB AC +B .13AB AC -C .2133AB AC + D .1233AB AC + 【答案】C【解析】因为D 是BC 上一点,且13BD BC =,则()11213333AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+.A .12-B .12C .4-D .4【答案】D所以20,12cos40,4a b b πλλλ⋅-=∴⨯⨯-=∴=A .3144AB AD + B .1142AB AD -+ C .12AB AD + D .3144AB AD -+ 【答案】B【解析】()111111222224BF BC CF BC CE BC BE BC BC BE BC BA =+=+=+-=+=+1124AD AB =-A .23BG BE =B .3AB AC AG +=C .12DG AG =D .0GA GB GC ++=【答案】C【解析】因为AD ,BE ,CF 分别是边BC ,CA ,AB 上的中线,它们交于点G , 所以点G 是ABC 的重心.选项A :因为点G 是ABC 的重心,所以23BG BE =,因此23BG BE =,所以本选项正确; 选项B :因为AD 是边BC 上的中线,所以2AB AC AD +=,又因为点G 是ABC 的重心,所以有2332AG AD AD AG =⇒=,因此3AB AC AG +=,所以本选项正确; 选项C :因为点G 是ABC 的重心,所以2AG DG =,因此1122DG GA AG ==-,所以本选项不正确; 选项D :因为AD 是边BC 上的中线,点G 是ABC 的重心,所以有20GA GB GF CG GA GB GC +==⇒++=,因此本选项正确.AB C D 【答案】D【解析】由题可知2sin sin cos cos A B A C C A =,2sin sin A B B =,则sin A =,3A π=或23π.又AG =,延长AG 交BC 于点D ,所以AD =因为()12AD AB AC =+,所以()2214AD AB AC =+,即()2221||2cos 4AD b c bc A =++,当3A π=时,3c =,所以ABC ∆的面积为1sin 2bc A =23A π=时,4c =,所以ABC ∆的面积为1sin 2bc A =.A .911B .511C .311D .211【答案】C 【解析】由13AN NC =,可得4AC AN =, 所以281111AP mAB AC mAB AN =+=+, 又,,B P N 三点共线,由三点共线定理,可得:8111m +=, 311m ∴=,A .(3,6)-B .(3,6)-C .(6,3)-D .(6,3)-【答案】A【解析】设(,)b x y =,则cos1802,a b x y =-(1)2x y -=- (1)=(2), 由(1)(2)可解得x=-3,y=6故选A ; A .30 B .60︒ C .120︒D .150︒【答案】A【解析】设a 与b 夹角为θ,[]0,θπ∈()()3a b a b -⊥-∴()()30a b a b -⋅-=整理可得:()()22403aa b b-⋅+=,即22403a a b b -⋅+=1a =,代入22403a a b b -⋅+=可得2340a b b -⋅+=可得:24cos 30a b b θ-+=,即24cos 03b b θ-+=整理可得:3cos 2444343b b bbθ=+≥⨯=当且仅当344b b=,即3b =取等号故cos θ≥,结合[]0,θπ∈, 根据余弦函数图象可知θ最大值:6πA B C .5D .13【答案】B【解析】由已知326//0,,4p q x x ∴--⨯=∴=-,(2,3),||13p q p q +=-+=.故选:B .A .两个有共同始点且相等的向量,其终点可能不同B .若非零向量AB 与CD 共线,则A 、B 、C 、D四点共线C .若非零向量a 与b 共线,则a b =D .四边形ABCD 是平行四边形,则必有AB CD = 【答案】ABC【解析】A 中,相等向量的始点相同,则终点一定也相同,所以A 中命题不正确;B 中,向量AB 与CD 共线,只能说明AB 、CD 所在直线平行或在同一条直线上,所以B 中命题不正确;C 中,向量a 与b 共线,说明a 与b 方向相同或相反,a 与b 不一定相等,所以C 中命题不正确;D 中,因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AB 与CD 是相反向量,所以||||AB CD =,所以D 中命题正确.A .AB AC ⊥;B .四边形ABCD 为平行四边形;C .AC 与BD 夹角的余弦值为; D .85AB AC +=【答案】BD【解析】由(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)A B C D ,所以()2,3AB =-,()7,1AC =,()2,3DC =-, ()3,7BD =,对于A ,143110AB AC ⋅=-=≠,故A 错误;对于B ,由()2,3AB =-,()2,3DC =-,则AB DC =, 即AB 与DC 平行且相等,故B 正确;对于C ,cos ,50AC BD AC BD AC BD⋅===C 错误;对于D ,()||9,2AB AC +=-=,故D 正确;A .若a →与b →垂直,则1m =-B .若//a b →→,则a b →→⋅的值为5-C .若1m =,则a b →→-=D .若2m =-,则a →与b →的夹角为60︒【答案】BC【解析】对于选项A :由a b ⊥,可得()()1120m ⨯-+-⋅=,解得12m =-,故A 错误, 对于选项B :由//a b →→,可得()()1210m ⨯--⨯-=,解得2m =,∴()1,2b =-,∴()()11225a b ⋅=⨯-+-⨯=-,故B 正确;对于选项C :若1m =,则()2,3a b -=-,则a b →→-=,故C 正确:若2m =-,对于选项D :()1,2b =--:设a 与b 的夹角为θ,则3cos 55a b a bθ⋅===⨯,故D 错误.A .0AB AC AD +-=B .0DA EB FC ++=C .若3||||||AB AC ADAB AC AD +=,则BD 是BA 在BC 的投影向量 D .若点P 是线段AD 上的动点,且满足BP BA BC λμ=+,则λμ的最大值为18【答案】BCD 【解析】如图所示:对选项A ,20AB AC AD AD AD AD +-=-=≠,故A 错误.对选项B ,111()()()222DA EB FC AB AC BA BC CA CB ++=-+-+-+ 111111222222AB AC BA BC CA CB =------1111110222222AB AC AB BC AC BC =--+-++=,故B 正确.对选项C ,||AB AB ,||AC AC ,||ADAD 分别表示平行于AB ,AC ,AD 的单位向量, 由平面向量加法可知:||||AB ACAB AC +为BAC ∠的平分线表示的向量.因为3||||||ABACADAB AC AD +=,所以AD 为BAC ∠的平分线, 又因为AD 为BC 的中线,所以AD BC ⊥,如图所示:BA 在BC 的投影为cos BD BA B BA BD BA ,所以BD 是BA 在BC 的投影向量,故选项C 正确.对选项D ,如图所示: 因为P 在AD 上,即,,A P D 三点共线,设(1)BP tBA t BD ,01t ≤≤. 又因为12BD BC =,所以(1)2t BP tBA BC .因为BP BA BC λμ=+,则12tt λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩,01t≤≤.令21111()2228t y t t ,当12t =时,λμ取得最大值为18.故选项D 正确.二、 解答题(1)用a ,b 表示OC ,DC ;(2)若OE OA λ=,求λ.【解析】解:(1)∵2OC OB OA +=,∴22OC OA OB a b =-=-, 252233DC OC OD a b b a b =-=--=-.(2)∵(2)(2)CE OE OC a a b a b λλ=-=--=-+,又由E 在CD 上,CE 与DC 共线,∴存在实数μ,使CE DC μ=.即5(2)23a b a b λμ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭,则22513λμμ-=⎧⎪⎨=-⎪⎩.解方程组,得45λ=.(1)若m n ,求k 的值;(2)当=2k 时,求m 与n 夹角的余弦值.【解析】解 (1)由题意,得12(),)2,1(m k k n ==,---+.因为m n ,所以()12)12(k k ⨯⨯+=---,解得3k =-.(2)当2k =时,,)3(4n -=.设m 与n 的夹角为θ,则||||m ncos m n θ⋅=5==.所以m 与n . (1)若,a b 为锐角,求x 的范围;(2)当(2)(2)a b a b +⊥-时,求x 的值. 【解析】(1)若,a b 为锐角,则0a b ⋅>且,a b 不同向20,2a b x x ⋅=+>∴>- 当12x =时,,a b 同向122x x ∴>-≠且(2)2(12,4),(2)(2,3)a b x a b x +=+-=-∴21)(2)340x x +-+⨯=(,223140x x -++=即,722x x ==-解得:或 已知ABC ∆的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,设向量(,)m a b =,(sin ,n B = sin )A ,(2,2)p b a =--.(1)若//m n ,求证:ABC ∆为等腰三角形;(2)若m p ⊥,边长2c =,角π3C =,求ABC ∆的面积. 【解析】⑴因为,所以sin sin a A b B =,即··22a b a b R R =,其中R 是ABC ∆的外接圆半径, 所以a b =,所以ABC ∆为等腰三角形.⑵因为m p ⊥,所以()()220a b b a -+-=.由余弦定理可知,()22243a b ab a b ab =+-=+-,即()2340ab ab --=解方程得:4ab =(1ab =-舍去)所以11sin 4sin 223S ab C π==⨯⨯=(1)求向量n ;(2)若向量n 与向量()1,0q =的夹角为2π,向量2cos ,2cos 2C p A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中,,A B C 为ABC 的内角,且2B A C =+.求n p +的取值范围. 【解析】(1)设(),n x y =,由1m n ⋅=-,可得1x y +=-,①n 与向量m 夹角为34π,有3cos 4m m n n π⋅=⋅⋅,1n ∴=,则221x y +=,② 由①②解得10x y =-⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=-⎩,即()1,0n =-或()0,1n =-; (2)由n 与q 垂直知,()0,1n =-,由2B A C =+ , 知22,,0333B A C A πππ=+=<<,若()0,1n =-,则 2cos ,2cos 1(cos ,cos )2Cn p A A C ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭ 则22221cos 21cos 2()cos cos 22n ACn p A C p ++=+=+=++1411cos 2cos 21cos 22323A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由203A π<<,则52333A πππ<+<,则11cos 232A ⎛⎫-≤+< ⎪⎝⎭π,则1151cos 22234A ⎛⎫≤++< ⎪⎝⎭π,故215,24n p ⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭,得222n p ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭+.。
空间几何体的表面积和体积培优班专题资料考点一 几何体的表面积(1)一个正方体的棱长为m ,表面积为n ,一个球的半径为p ,表面积为q .若m p =2,则n q=( ) A.8πB.6πC.π6D.π8解析 由题意可以得到n =6m 2,q =4πp 2,所以n q =6m 24πp 2=32π×4=6πB. 答案 B(2)某一几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A .54B .58C .60D .63解析 由三视图可知,该几何体是一个棱长为3的正方体截去一个长、宽、高分别为1,1,3的长方体,所以该几何体的表面积S 表=6×32+2×1×3=60. 答案 C(3)(2015·陕西,5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为A .3πB .4πC .2π+4D .3π+4解析 由三视图可知原几何体为半圆柱,底面半径为1,高为2,则表面积为:S =2×12π×12+12×2π×1×2+2×2=π+2π+4=3π+4. 答案 D(4)(2015·安徽,7)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )A .1+ 3B .2+ 3C .1+2 2D .2 2解析 由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图,如图,∴该四面体的表面积为S 表=2×12×2×1+2×34×(2)2=2+3,故选B. 答案 B(5)(2015·新课标全国Ⅱ,9)已知A ,B 是球O 的球面上两点,∠AOB =90°,C 为该球面上的动点,若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为( ) A .36πB .64πC .144πD .256π解析 如图,要使三棱锥O -ABC 即C -OAB 的体积最大,当且仅当点C 到平面OAB 的距离,即三棱锥C -OAB 底面OAB 上的高最大,其最大值为球O 的半径R ,则V O -ABC 最大=V C -OAB 最大=13×12S △OAB ×R =13×12×R 2×R =16R 3=36,所以R =6,得S 球O =4πR 2=4π×62=144π,选C. 答案 C(6)(2014·重庆,7)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A .54B .60C .66D .72解析 该几何体的直观图如图所示,易知该几何体的表面是由两个直角三角形,两个直角梯形和一个矩形组成的,则其表面积S =12×3×4+12×3×5+2+52×5+2+52×4+3×5=60.选B.答案 B(7)(2014·浙江,3)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是( )A .90 cm 2B .129 cm 2C .132 cm 2D .138 cm 2解析 由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成(如图),其表面积为S =3×5+2×12×4×3+4×3+3×3+2×4×3+2×4×6+3×6=138(cm 2).答案 D(8)(2014·大纲全国,8)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( ) A.81π4B .16πC .9πD.27π4解析 设球的半径为R ,由题意可得(4-R )2+(2)2=R 2,解得R =94,所以该球的表面积为4πR 2=81π4.故选A.(9)(2014·安徽,7)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( )A .21+ 3B .18+3C .21D .18解析 根据题意作出直观图如图,该多面体是由正方体切去两个角而得到的,根据三视图可知其表面积为6(22-12×1×1)+2×34×(2)2=6×72+3=21+ 3.故选A.答案 A(10)(2012·安徽,12)某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是________.解析 由三视图可知,该几何体为底面是直角梯形且侧棱垂直于底面的棱柱,故该几何体的表面积为S=2×12×(2+5)×4+[2+5+4+42+(5-2)2]×4=92.答案 92考点二 几何体的体积(1)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的x 的值是( )A .2 B.92 C.32D .3解析 根据三视图判断几何体为四棱锥,其直观图是:V =13×1+22×2x =3⇒x =3. 故选D. 答案 D(2)(2015·山东,7)在梯形ABCD 中,∠ABC =π2,AD ∥BC ,BC =2AD =2AB =2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3B.4π3C.5π3D .2π解析 如图,由题意,得BC =2,AD =AB =1.绕AD 所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体.所求体积V =π×12×2-13π×12×1=53π.答案 C(3)(2015·重庆,5)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.13+π B.23+π C.13+2π D.23+2π解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体,V =12π×12×2+13⎝⎛⎭⎫12×1×2×1=π+13,选A.答案 A (4)(2015·新课标全国Ⅱ,6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16D.15解析 如图,由题意知,该几何体是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1被过三点A 、B 1、D 1的平面所截剩余部分,截去的部分为三棱锥A -A 1B 1D 1,设正方体的棱长为1,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为111111A A B D B C D ABCDV V --=1111111111A AB D A BCD ABCD A A B D V V V ----=13×12×12×113-13×12×12×1=15,选D.答案 D(5)某几何体的三视图如图所示,它的体积为()A .72πB .48πC .30πD .24π解析 由三视图可知,该几何体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体,球的半径为3,圆锥的底面半径为3,高为4,则根据体积公式可得几何体的体积为30π,故选C.答案 C(6)(2014·陕西,5)已知底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( ) A.32π3B .4πC .2πD.4π3解析 如图为正四棱柱AC 1.根据题意得AC =2,∴对角面ACC 1A 1为正方形,∴外接球直径2R =A 1C =2,∴R =1,∴V 球=4π3,故选D.答案 D(7)(2014·湖北,8)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ,计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A.227B.258C.15750D.355113解析 圆锥的体积V =13πr 2h =13π⎝⎛⎭⎫L 2π2h =L 2h 12π,由题意得12π≈752,π近似取为258,故选B.答案 B(8)(2014·新课标全国Ⅱ,6)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm ,高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.13解析 由三视图知该零件是两个圆柱的组合体.一个圆柱的底面半径为2 cm ,高为4 cm ;另一个圆柱的底面半径为3 cm ,高为2 cm.则零件的体积V 1=π×22×4+π×32×2=34π(cm 3).而毛坯的体积V =π×32×6=54π(cm 3),因此切削掉部分的体积V 2=V -V 1=54π-34π=20π(cm 3),所以V 2V =20π54π=1027.故选C.答案 C (9)(2012·新课标全国,11)已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上, △ABC 是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且SC =2,则此棱锥的体积为( ) A.26B.36C.23D.22解析 如图,H 为△ABC 的外接圆圆心,则∠BHC =120°,设△ABC 的外接圆半径为r ,则1=BC 2=HC 2+HB 2-2HC ·HB ·cos 120°=3r 2, ∴r =33. 连接OH ,根据球的截面性质知,OH ⊥平面ABC ,∴OH =OC 2-CH 2=1-13=63∵O 为SC 的中点,∴S 到平面ABC 的距离为2OH =263,∴V S ABC =13S △ABC ×263=13×34×263=26.答案 A(10)(2015·江苏,9)现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为________.解析 设新的底面半径为r ,由题意得13πr 2·4+πr 2·8=13π×52×4+π×22×8,解得r =7.答案7(11)(2014·江苏,8)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1,S 2,体积分别为V 1,V 2,若它们的侧面积相等,且S 1S 2=94,则V 1V 2的值是________.解析 设圆柱甲的底面半径为r 1,高为h 1,圆柱乙的底面半径为r 2,高为h 2.由题意得S 1S 2=πr 21πr 22=94,∴r 1r 2=32. 又∵S 甲侧=S 乙侧,即2πr 1h 1=2πr 2h 2,∴h 1h 2=r 2r 1=23, 故V 1V 2=S 1h 1S 2h 2=S 1S 2·h 1h 2=94×23=32答案 32(12)(2013·江苏,8)如图,在三棱柱A 1B 1C 1ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,AC ,AA 1的中点,设三棱锥F ADE 的体积为V 1,三棱柱A 1B 1C 1ABC 的体积为V 2,则V 1∶V 2=________.解析 由题意可知点F 到面ABC 的距离与点A 1到面ABC 的距离之比为1∶2,S △ADE ∶S △ABC =1∶4. 因此V 1∶V 2=13AF ·S △AED 2AF ·S △ABC=1∶24.答案 1∶24。
湖南省2019届高三(现高二)尖子生数学辅优试卷(三)注意事项:1、本试卷为高二文理科尖子生辅优试卷,题目涵盖范围为高考范围。
2、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.)1.某年级有1000名学生,随机编号为0001,0002,…,1000,现用系统抽样方法,从中抽出200人,若0122号被抽到了,则下列编号也被抽到的是( B ) A .0116B .0927C .0834D .07262.有命题m :“∀x 0∈(0,13),01031()lo g 2x x <”;命题n :“关于x 的不等式210a x x ++<的解集是空集,则实数a 的取值范围是104a <≤”,则在命题p 1:m ∨n , p 2:m ∧n ,p 3:(¬m )∨n 和p 4:m ∧(¬n )中,真命题是( D )123.,,A p p p 234.,,B p p p 13.,C p p 14.,D p p3.“a=-7”是直线l 1:(3+a )x +4y =5-3a 和直线l 2:2x +(5+a )y =8平行的( C ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件4.对于直线m ,n 和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是( C ) A .m ⊥n ,m ∥α,n ∥β B .m ⊥n ,α∩β=m ,n ⊂α C .m ∥n ,n ⊥β,m ⊂αD .m ∥n ,m ⊥α,n ⊥β5.右边程序执行后输出的结果是( B )A .-1B .0C .1D .26.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题: 松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等. 下图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a ,b 分别为5,2, 则输出的n=( C )正视图1 12222侧视图俯视图 A .2 B .3 C .4 D .57.如图,在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子, 恰有120粒落在阴影区域内,则该阴影部分的面积约为(B ) A. B.C .D .8. 已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示, 则该几何体的体积为( D )A.B.3D. 39.有一个正方体棱长为1,点A 为这个正方体的一个顶点,在这个正方体内随机取一个点P ,则点P 到点A 的距离大于1的概率为( D ) A .1B .C .1D .110.先阅读下面的文字:“求的值时,采用了如下方法:令=x ,则有x =,两边同时平方,得1+x =x2,解得x =(负值已舍去)”可用类比的方法,求得1+的值等于(A )A. B .C .D .11. 已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ,且|BC|=|CF 2|,则双曲线的渐近线方程为( C ) A.y=±3x B.y=±2x C .y=±(+1)x D .y=±(﹣1)x12. 已知双曲线﹣=1(a >0,b >0)与抛物线y 2=8x 有一个共同的焦点F ,且两曲线的一个交点为P ,若|PF|=5,则点F 到双曲线的渐进线的距离为( A )A .B .2C .D .3二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13. 如右表是某单位1﹣4月份水量(单位:百吨)的一组数据:由散点图可知,用水量y 与月份x 之间有较强的线性相关关系,其线性回归直线方程是0.7y x a =-+,由此可预测 该单位第5个月的用水量是 百吨. 14.已知=2,=3,=4,…若=6,(a ,t均为正实数),则归纳以上等式,可推测a ,t 的值,a +t= .15. 已知正四棱锥的底面边长为1,高为1,则这个正四棱锥的外接球的表面积为 . 16. 已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b ab-=>>的右焦点F 也是抛物线22:2(0)C yp x p =>的焦点,1C 与2C 的一个交点为P ,若P F x ⊥轴,则双曲线1C 的离心率为 三、解答题:(本大题6小题,共70分。
高中数学培优试题及答案一、选择题(每题5分,共40分)1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5,则f(-1)的值为:A. -8B. -2C. 0D. 2答案:B2. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3,公差d = 2,则a5的值为:A. 9B. 11C. 13D. 15答案:C3. 若复数z = 1 + i,则|z|的值为:A. √2B. 2C. √3D. 3答案:A4. 已知双曲线C:x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1(a > 0,b > 0),若其渐近线方程为y = ±(1/2)x,则a与b的关系为:A. a = 2bB. a = √2bC. a = √3bD. a = √5b答案:A5. 已知函数f(x) = ln(x + √(x^2 + 1)),则f'(x)的值为:A. 1/(2x + 2√(x^2 + 1))B. 1/(2x - 2√(x^2 + 1))C. 1/(√(x^2 + 1) + x)D. 1/(√(x^2 + 1) - x)答案:C6. 已知向量a = (2, 3),b = (-1, 2),则a·b的值为:A. 4B. 1C. -1D. -4答案:B7. 若直线l:y = 2x + 3与圆C:(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4相交,则圆心到直线的距离d的取值范围为:A. 0 < d < 2B. 0 < d < √5C. 0 < d < 3D. 0 < d < 4答案:B8. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c,且满足a^2 + b^2 = 6,a + b + c = 5,则c的取值范围为:A. 1 < c < 3B. 2 < c < 4C. 3 < c < 4D. 1 < c < 4答案:A二、填空题(每题5分,共20分)9. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2,求f'(x) = ______。
一、选择题1、若A={3,4,5},B={1,2},f为集合A到集合B的映射,则这样的映射f的个数为()A、8个B、6个C、9个D、12个2、已知I=R,A={x||x-a|≤2},B={x||x-1|≥3}且A∩B= ,则实数a的取值范围是()A、0≤a≤2B、0<a<2C、0≤a≤1D、0<a<13、已知函数,则它的定义域是()A、[-2,0)∪(0,2]B、C、D、(0,2]4、函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在(-∞,0)上递增,n=f(a2+a+1),则m,n的大小关系是()A、m>nB、m<nC、a>0时,m>nD、不能确定5、设a、b、c 分别是方程的实数根,则()A、a>b>cB、b>a>cC、b>c>aD、c>a>b6、已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x-a-x+2,且g(b)=a,则f(2)=()A、a2B、2C、D、7、数的大小顺序为()A、a>b>cB、a<b<cC、a<c<bD、c<a<b8、如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大,则称甲不亚于乙,在100个小伙子中如果某人不亚于其它99人,就称它为棒小伙子,那么,100个小伙子中的棒小伙子最多可能有()A、1个B、2个C、50个D、100个二、填空题9、如果质数p、q满足关系式3p+5q=31,那么 = ___________.10、非空集合则具备这样性质的集合s共有______个.11、若,则a0+a2+a4+a6=______.12、一个学校中有2001个学生,每人都学习法语或西班牙语,其中学习西班牙语的学生数在总人数中所占的比例介于80%与85%之间;学习法语的学生数在总人数中所占的比例介于30%与40%之间,设两门都学的学生数的最小值为m,最大值为M,则M-m的值为_____________.三、解答题13、设-1≤x≤0,求函数y=2x+2-3×4x的最大值及最小值.14、已知A={x|x2-7x+10≤0},B={x|x2+ax+b<0},且A∩B≠,A∪B={x||x -3|<4≤2x},写出集合s={x|x=a+b}.15、设其中ai ∈N(i=1,2,3,4,5),a1<a2<a3<a4<a5,且A∩B={a1,a4},a1+a4=10,又A∪B元素之和为224,求A.16、函数f(n)是定义在正整数集上,并取非负整数值,且对所有m,n,有f(m +n)-f(m)-f(n)=0或1,以及f(2)=0,f(3)>0,f(9999)=3333,求f(1982).1、设-1≤x≤0,求函数y=2x+2-3×4x的最大值及最小值.2、已知A={x|x2-7x+10≤0},B={x|x2+ax+b<0},且A∩B≠,A∪B={x||x-3|<4≤2x},写出集合s={x|x=a+b}.3、设其中ai ∈N(i=1,2,3,4,5),a1<a2<a3<a4<a5,且A∩B={a1,a4},a1+a4=10,又A∪B元素之和为224,求A.4、函数f(n)是定义在正整数集上,并取非负整数值,且对所有m,n,有f(m+n)-f(m)-f(n)=0或1,以及f(2)=0,f(3)>0,f(9999)=3333,求f(1982).一、选择题1、如果,则α一定在()A、第一、三象限B、第二、四象限C、第三、四象限D、第一、二象限2、在ΔABC中,arccos(sinA)+arccos(sinB)+arccos(sinc)的值域是()A、B、C、D、3、对任意都有()A、B、C、D、4、ΔABC中,已知则cosC的值是()A、B、C、或D、-5、已知sinα+sinβ=1,cosα+cosβ=0,则cos2α+cos2β的值是()A、1B、C、D、6、已知a>3,则函数y=(sinx+a)(cosx+a)的最小值是()A、a2-aB、(a-1)2C、D、二、填空题:7、tan20°(csc10°-1)=_______________.8、已知loga x=sec20°,logbx=sec60°,logcx=sec100°,logdx=sec140°,那么logabcdx= ______________.9、在ΔABC中,记BC=a,CA=b,AB=c,若9a2+9b2-19c2=0,则________.10、ΔABC中,已知a+c=2b,则_______________.11、设ΔABC内角,则cosA·cosC的取值范围是_______________.12、若x≥0,y≥0,z≥0,,且,则3y+z-5x=_______________.1、已知函数,求函数f(x)的最大值.2、若,其中A∈(0,π),B∈(0,π),求A、B.3、设且x+y+z=,求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值.4、设a、b、c为ΔABC的三条边a≤b≤c,R和r分别为ΔABC的外接圆半径和内切圆半径,令f=a+b-2R-2r,试用角C的大小来判定f的符号。
2020-2021年高二数学选择性必修二尖子生同步培优题典4.2 等比数列 解析版学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 注意事项:本卷共16小题,6道单选题,3道多选题,3道填空题,4道解答题。
一、单选题1.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,()*3log n S n n N =∈,则数列{}na 是( )A .公比为3的等比数列B .公差为3的等差数列C .公比为13的等比数列 D .既非等差数列,也非等比数列【答案】D 【解析】 【分析】由3log n S n =得3nn S =,然后利用n a 与n S 的关系即可求出n a【详解】因为3log n S n =,所以3nn S =所以当1n =时,113a S ==2n ≥时,1113323n n n n n n a S S ---=-=-=⋅所以13,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩故数列{}n a 既非等差数列,也非等比数列 故选:D 【点睛】要注意由n S 求n a 要分两步:1. 1n =时11a S =,2. 2n ≥时1n n n a S S -=-. 2.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,若存在*m N ∈,满足228m m S S =,22212m m a m a m +=-,则数列{}n a 的公比为( ) A .12B .13C .2D .3【答案】D 【解析】【分析】 先判断1q ≠,由228m m S S =,利用等比数列求和公式可得27m q =,结合22212m m a m a m +=-可得3m =,从而根据327q =可得结果.【详解】设等比数列公比为q 当1q =时,2228mmS S =≠,不符合题意, 当1q ≠时,()()21211128,12811m mm m m a q S q q S q a q--=∴⋅=+=--, 得27mq =,又2221221,22m m m a m m q a m m ++=∴=--, 由221272m m +=-,得3m =, 327,3q q ∴=∴=,故选D.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式的应用,意在考查对基本公式的掌握与应用,考查了分类讨论思想的应用,属于中档题.解有关等比数列求和的题的过程中,如果公比是参数一定要讨论1q ≠与1q =两种情况,这是易错点.3.音乐与数学有着密切的联系,我国春秋时期有个著名的“三分损益法”:以“宫”为基本音,“宫”经过一次“损”,频率变为原来的32,得到“微”,“微”经过一次“益”,频率变为原来的34,得到“商”……依此规律损益交替变化,获得了“宫”“微”“商”“羽”“角”五个音阶.据此可推得( ) A .“商”“羽”“角”的频率成公比为34的等比数列 B .“宫”“微”“商”的频率成公比为32的等比数列 C .“宫”“商”“角”的频率成公比为98的等比数列 D .“角”“商”“宫”的频率成公比为12的等比数列 【答案】C 【解析】 【分析】根据文化知识,分别求出相对应的频率,即可判断出结果.【详解】设“宫”的频率为a,由题意经过一次“损”,可得“徵”的频率为32 a,“徵”经过一次“益”,可得“商”的频率为98 a,“商”经过一次“损”,可得“羽”频率为2716a,最后“羽”经过一次“益”,可得“角”的频率是8164a,由于a,98a,8164a成等比数列,所以“宫、商、角”的频率成等比数列,且公比为98,故选:C.【点睛】本题考查等比数列的定义,考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题.4.设,.若p:成等比数列;q:,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件【答案】A【解析】对命题p:成等比数列,则公比且;对命题,①当时,成立;②当时,根据柯西不等式,等式成立,则,所以成等比数列,所以是的充分条件,但不是的必要条件.考点:等比数列的判定,柯西不等式,充分条件与必要条件.5.已知数列{}n a :12,212,222,232,312,.322.,332,342,352,362,372,412,422…的前n 项和为n S ,正整数1n ,2n 满足:①11111212n a -=,②2n 是满足不等式1019n S >的最小正整数,则12n n +=( ) A .6182 B .6183C .6184D .6185【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知,数列{}n a 的规律为:分母为2k 的项有21k -项.将数列{}n a 中的项排成杨辉三角数阵且使得第k 行每项的分母为2k,该行有21k-项,那么1111212-位于数阵第11行最后一项,通过计算得1n ;设数阵中第k 行各项之和为k b ,则212k k b -=,故通过计算可得满足1019n S >的最小正整数2n ,即可得出最后结果. 【详解】由题意可知,数列{}n a 的规律为:分母为2k 的项有21k -项.将数列{}n a 中的项排成杨辉三角数阵且使得第k 行每项的分母为2k ,该行有21k -项,如下所示:对于①,1111212-位于数阵第11行最后一项,对应于数列{}n a 的项数为()()()()11121121221212111408312--+-++-=-=-,∴14083n =;对于②,数阵中第k 行各项之和为k b ,则()12121222122k kk k k k b ⎛⎫-+- ⎪-⎝⎭==, 且数列{}k b 的前k 项之和()121212212121221222222k k k k kk T +--------=+++==, 11102102101810192T --==<,而121121124083101922T --==>,故恰好满足1019n S >的项n a 位于第11行. 假设n a 位于第m 项,则有()1011111112112101810192222m m mT +++++=+>, 可得出()14096m m +>.由于64634032⨯=,64454160⨯=, 则636440966465⨯<<⨯,∴64m =. 因为前10行最后一项位于{}n a 的第()()()()10121021221212110203612--+-++-=-=-项,因此,满足1019n S >的最小正整数22036642100n =+=, 所以12408321006183n n +=+=. 故选:B 【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和公式,考查了学生的归纳推理能力和运算求解能力.6.已知函数2()2f x x =,()()()1122,0,,0,,,0n n A x A x A x ,*n N ∈为x 轴上的点,且满足11x =,112n n x x -=,过点12,,,n A A A 分别作x 轴垂线交()y f x =于点12,,,n B B B ,若以1,,p p p A B A +为顶点的三角形与以1,,q q q A B A +为顶点的三角形相似,其中p q <,则满足条件的p ,q 共有( ) A .0对 B .1对 C .2对 D .无数对【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得11(,0)2n n A -,12311(,)22n n n B --,+11(,0)2n nA ,23131112tan 122n n n n n n n n n nA B A A B A A -+-+∠===,由1p p p A B A +△与1q q q A B A +△相似得到11tan =tan p p p q q q A A B A A B ++∠∠或11tan =tan()2p p p q q q A A B A A B π++∠-∠,再分情况讨论即可得到答案.【详解】如图,由题意,11112n n n x x q--==,n B 的纵坐标为223122nn x -⨯=, 所以11(,0)2n n A -,12311(,)22n n n B --,+11(,0)2n n A ,23131112tan 122n n n n n nn n n nA B A A B A A -+-+∠===, 1p p p A B A +△与1q q q A B A +△均为直角三角形,故1p p p A B A +△与1q q q A B A +△相似 11tan =tan p p p q q q A A B A A B ++⇔∠∠或11tan =tan()2p p p q q q A A B A A B π++∠-∠.当11tan =tan p p p q q q A A B A A B ++∠∠时,3311()22p q p q --=<,无解;当11tan =tan()2p p p q q q A A B A A B π++∠-∠时,11tan tan 1p p p q q q A A B A A B ++∠⋅∠=,所以61162p q p q +-=⇔+=.故存在两对满足条件的p ,q ,分别为1p =,5q =或2p =,4q =.故选:C 【点睛】本题考查数列与函数的应用,考查学生分类讨论思想,数学运算能力,是一道中档题.二、多选题7.数列{}n a 为等比数列( ). A .{}1n n a a ++为等比数列 B .{}1n n a a +为等比数列 C .{}221n n a a ++为等比数列D .{}n S 不为等比数列(n S 为数列{}n a 的前n 项) 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例,反证,或按照等比数列的定义逐项判断即可. 【详解】解:设{}n a 的公比为q ,A. 设()1nn a =-,则10n n a a ++=,显然{}1n n a a ++不是等比数列.B.2211n n n n a a q a a +++=,所以{}1n n a a +为等比数列.C. ()()24222221222211n n n n n n a q q a a q a a a q +++++==++,所以{}221n n a a ++为等比数列. D. 当1q =时,n S np =,{}n S 显然不是等比数列; 当1q ≠时,若{}n S 为等比数列,则()222112n n n S S n S -+=≥,即()()()211111111111n n n a q a q a q q q q-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以1q =,与1q ≠矛盾,综上,{}n S 不是等比数列. 故选:BCD. 【点睛】考查等比数列的辨析,基础题.8.设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并且满足条件11a >,671a a >,67101a a -<-,则下列结论正确的是( ) A .01q << B .8601a a << C .n S 的最大值为7S D .n T 的最大值为6T【答案】ABD 【解析】 【分析】先分析公比取值范围,即可判断A ,再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断C,D. 【详解】若0q <,则67670,00a a a a <>∴<与671a a >矛盾; 若1q ≥,则11a >∴671,1a a >>∴67101a a ->-与67101a a -<-矛盾; 因此01q <<,所以A 正确;667710101a a a a -<∴>>>-,因此2768(,1)0a a a =∈,即B 正确; 因为0n a >,所以n S 单调递增,即n S 的最大值不为7S ,C 错误;因为当7n ≥时,(0,1)n a ∈,当16n ≤≤时,(1,)n a ∈+∞,所以n T 的最大值为6T ,即D 正确; 故选:ABD 【点睛】本题考查等比数列相关性质,考查综合分析判断能力,属中档题. 9.已知数列{} n a 满足11a =,121++=+n n a a n ,*n N ∈, n S 是数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和,则下列结论中正确的是( ) A .()21121n nS n a -=-⋅ B .212n n S S =C .2311222n n n S S ≥-+ D .212n n S S ≥+【答案】CD 【解析】【分析】根据数列{} n a 满足11a =,121++=+n n a a n ,得到1223+++=+n n a a n ,两式相减得:22n n a a +-=,然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式,再逐项判断. 【详解】因为数列{} n a 满足11a =,121++=+n n a a n ,*n N ∈, 所以1223+++=+n n a a n , 两式相减得:22n n a a +-=,所以奇数项为1,3,5,7,….的等差数列; 偶数项为2,4,6,8,10,….的等差数列; 所以数列{} n a 的通项公式是n a n =,A. 令2n =时, 311111236S =++=,而 ()1322122⨯-⋅=,故错误; B. 令1n =时, 213122S =+=,而 11122S =,故错误;C. 当1n =时, 213122S =+=,而 31132222-+=,成立,当2n ≥时,211111...23521n n S S n =++++--,因为221n n >-,所以11212n n >-,所以111111311...1 (352148222)n n n ++++>++++=--,故正确;D. 因为21111...1232n n S S n n n n -=+++++++,令()1111...1232f n n n n n =+++++++,因为()111111()021*******f n f n n n n n n +-=+-=->+++++,所以()f n 得到递增,所以()()112f n f ≥=,故正确;故选:CD 【点睛】本题主要考查等差数列的定义,等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用,还考查了转化求解问题的能力,属于较难题.三、填空题10.若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点,且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p q +的值等于________. 【答案】9 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p ,ab=q ,再由a ,b ,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列列关于a ,b 的方程组,求得a ,b 后得答案. 【详解】由题意可得:a+b=p ,ab=q , ∵p>0,q >0, 可得a >0,b >0,又a ,b ,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列, 也可适当排序后成等比数列, 可得①或②. 解①得:;解②得:.∴p=a+b=5,q=1×4=4, 则p+q=9. 故答案为9.点评:本题考查了一元二次方程根与系数的关系,考查了等差数列和等比数列的性质,是基础题. 【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a ,b 均为正值,当他们与-2成等差数列时,共有6种可能,当-2为等差中项时,因为,所以不可取,则-2只能作为首项或者末项,这两种数列的公差互为相反数;又a,b 与-2可排序成等比数列,由等比中项公式可知-2必为等比中项,两数列搞清楚以后,便可列方程组求解p ,q .11.等比数列{}n a 的公比01q <<,21724a a =,则使12312111n na a a a a a a ++++>+++成立的正整数n 的最大值为______ 【答案】18 【解析】 【分析】求出数列前n 项的和,根据不等式之间的关系求解可得答案.【详解】解:由等比数列{}n a 的公比01q <<,21724a a =,可得()2162311a q a q =,可得:911a q =,则10a >,且91a q -=,由{}n a 为等比数列,可得1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11a 为首项,公比为1q 的等比数列, 则原不等式等价为:1111[1()](1)111n n a q a q q q-->--, 因为01q <<,把91a q -=,2181a q -=代入整理得:181(1)(1)n n n q q q q --->-,可得:181n q q -->,181n -<-,即:19n <,由n ∈+N ,故答案为:18.【点睛】本题主要考查数列与不等式的综合,计算量大,属于中档题型.12.平面直角坐标系中,已知点()()013,1,5,2P P .且()*1112n n n n P P P P n N +-=-∈,当n →+∞时,点n P 无限趋近于点M ,则点M 的坐标是____________. 【答案】135,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先计算01P P 的坐标,再求出1n n P P -的坐标,利用向量的和可求点n P 的坐标,利用基本极限可求M 的坐标.【详解】因为()012,1P P =,故1101111112,222n n n n n P P P P ----=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 因为011210n n n P P PP P P P P -+++=,故()1001121111112,2,222212,n n n n n P P P P PP P P ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝=++++⎭=01121122441221,,113323321122n n n n n P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭==---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪++ ⎪⎝⎭, 故n P 的坐标为1341521,332332n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 因为1lim 02n n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭,故135,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为:135,33⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查向量的和、等比数列的通项、等比数列的前n 项和以及数列的极限,注意根据基本极限来求M 的坐标,本题综合度高,为难题.四、解答题13.设数列{}n a 、{}n b 都有无穷项,{}n a 的前n 项和为()21352n S n n =+,{}n b 是等比数列,34b =且632b =.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)记n n na cb =,求数列{}nc 的前n 项和为n T . 【答案】(1)31n a n =+;()1*,2n n b n N -=∈(2)137142n n -+- 【解析】【分析】(1)由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求出n a ,根据定义求出数列{}n b 的公比,从而可求出n b ; (2)由题意得1312n n n c -+=,再用错位相减法求和即可. 【详解】解:(1)当1n =时,1a =1S =4;当2n ≥时,()22111353(1)5(1)22n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=+--+-⎣⎦1[3(21)5]312n n =-+=+,且14a =亦满足此关系,∴{}n a 的通项为()*31,n a n n N=+∈, 设{}n b 的公比为q ,则3638b q b ==,则2q , ∴()31*32n n n b b q n N --=⋅=∈;(2)由题意,1312n n n n a n c b -+==, 而214710323112422n n n n n T ---+=+++⋯++, 27101331281242n n n T -+=++++, 两式相减,有21111318312422n n n n T --+⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭, 2111313783214222n n n n n ---++⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式的求法,考查错位相减法求和,属于中档题. 14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足233n n S a =-.(1)证明数列{}n a 是等比数列;(2)若数列{}n b 满足3log n n b a =,记数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭前n 项和为n T ,证明112n T ≤<. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据233n n S a =-,利用数列通项与前n 项和关系,得到13n n a a -=,再利用等比数列的定义求解.(2)由(1)得到3n n a =,则()1111111n n b b n n n n +==-⋅++,然后利用裂项相消法求得n T 1111n n n =-=++,再根据{}n T 为递增数列求解.【详解】(1)由题意得,当()*2n n N ≥∈时,1222n n n a S S -=-,()11333333n n n n a a a a --=---=-∴13n n a a -=,即13n n a a -=, 当1n =时,1112233a S a ==-,∴130a =≠故{}n a 是以3为首项,3为公比的等比数列(2)由(1)可知3n n a =,∴33l 3log og n n n b a n ===, ∴()1111111n n b b n n n n +==-⋅++ ∴()()1111112233411n T n n n n =+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯-+11111111112233411n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111n n n =-=++ 因为()*2n n N ≥∈时,()111101n n n n T T b b n n -+-==>⋅+, 所以{}n T 为递增数列,故112n T T ≥=因为*n N ∈,则101n >+,故1111n T n =-<+ 所以112n T ≤< 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系,等比数列的定义,裂项相消法求和,还考查了运算求解的能力,属于中档题.15.已知数列{}n a 满足12a =,210a =,212n n n a a a ++=+,n *∈N .(1)证明:数列{}1n n a a ++是等比数列;(2)求数列{}n a 的通项公式;(3)证明:1211134n a a a +++<. 【答案】(1)证明见解析;(2)()1221n n n a +=+⋅-;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)由212n n n a a a ++=+,得2112n n n na a a a ++++=+,即可得到本题答案;(2)由1132n n n a a +++=⋅,得11122222n n n n a a ++⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭,即可得到本题答案;(3)当1n =时,满足题意;若n 是偶数,由12123111111111n n n a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫+++<+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,可得1211134n a a a ++⋯+<;当n 是奇数,且3n ≥时,由1211231111111111n n n n a a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫++++=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,可得1211134n a a a ++⋯+<,综上,即可得到本题答案. 【详解】(1)因为212n n n a a a ++=+,所以()2112n n n n a a a a ++++=+,因为12120a a +=≠,所以2112n n n n a a a a ++++=+, 所以数列{}1n n a a ++是等比数列; (2)因为1132n n n a a +++=⋅,所以1113222n n n na a +++⋅=, 所以11122222n n n n a a ++⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭, 又因为12a =,所以1212a -=-,所以22n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1-为首项, 12-为公比的等比数列,所以11222n n n a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,所以()1221n n n a +=+⋅-;(3)①当1n =时,11324n a =<; ②若n 是偶数, 则1213211113122222242142n n n n n nn n a a +++⋅+=+=<⋅+-⋅+-, 所以当n 是偶数时,121211111111n n n a a a a a a a ++++<++++ 123111111n n a a a a a +⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 241311124222n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+⋅+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 11334124414<+⋅=-; ③当n 是奇数,且3n ≥时, 121211111111n n na a a a a a a -+++=++++ 123111111n n a a a a a -⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2411311124222n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+⋅+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11334124414<+⋅=-; 综上所述,当n *∈N 时,1211134n a a a +++<. 【点睛】本题主要考查利用构造法证明等比数列并求通项公式,以及数列与不等式的综合问题.16.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若3a ,232a ,12a 成等差数列,且1152a ≠,430S =. (1)求等比数列{}n a 的通项公式(2)若2log n n b a =,111(1)n n n n c b b +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,求n c 前2020项和2020T ; (3)若112(1)n n n n d d a -+=-,13521m m P d d d d -=++++,2462m m Q d d d d =++++,m G 是m P 与m Q 的等比中项且0m G >,对任意*,s t ∈N ,s t G G ρ-≤ ,求ρ取值范围.【答案】(1)2n n a =;(2)20202021-;(3)1[2,)+∞.. 【解析】【分析】(1)设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠.可知若1q =时,原题意不成立;当1q ≠时,由已知列关于首项与公比的方程组,求得首项与公比,则等比数列的通项公式可求;(2)2log n n b a n ==,11111(1)()(1)()1n n n n n c b b n n +=-+=-++,由裂项相消法求和; (3)由已知可得,212n n d d +=-,利用等比数列的求和公式分别求得m P 与m Q ,得到m G ,再由数列的函数特性分类求出m G 的范围,则答案可求.【详解】(1)设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠.若1q =,由430S =,求得1152a =,与1152a ≠矛盾; 若1q ≠,由已知有21114132(1)301a q a q a a q q ⎧=+⎪⎨-=⎪-⎩,解得122a q =⎧⎨=⎩. ∴2n n a =;(2)2log n n b a n ==,11111(1)()(1)()1n n n n n c b b n n +=-+=-++, 则20201232020T c c c c =+++⋯+11111112020(1)()()()22334202020212021=-+++-+-⋯++=-; (3)由已知可得,11121()21()2n n n nn n d d d d -+++⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,则212n n d d +=-.111[1()]212[1()]1321()2m m m d P d --==----,221[1()]212[1()]1321()2m m m d Q d --==----.21[1()]32m m G ==--. 当m 为偶数时,21(1)32m m G =-单调递增,1()2m min G =,1[2m G ∈,2)3; 当m 为奇数时,21(1)32m m G =+单调递减,()1m max G =,2(3m G ∈,1]. 故11()()122m max m min G G ρ-=-=. ρ∴取值范围为1[2,)+∞. 【点睛】本题考查等差数列的性质,考查等比数列的通项公式与前n 项和的求法,训练了裂项相消法求数列的前n 项和以及数列的单调性与最值,是难题.。
湖南省2019届高三(现高二)尖子生数学辅优试卷(二十七)注意事项:1、本试卷为高二文理科尖子生辅优试卷,题目涵盖范围为高考范围。
2、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
1.已知函数y f x =+()1定义域是[]-23,,则y f x =-()21的定义域是( A ) A .[]052, B. []-14, C. []-55, D. []-37,2.已知函数f (x )=2ax 2+4(a -3)x +5在区间(-∞,3)上是减函数,则a 的取值范围是 ( D ).A .⎝ ⎛⎭⎪⎫0,34B .⎝ ⎛⎦⎥⎤0,34C .⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,34D .⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,34 3.已知函数f (x )为R 上的减函数,则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)的实数x 的取值范围是 ( C ).A .(-1,1)B .(0,1)C .(-1,0)∪(0,1)D .(-∞,-1)∪(1,+∞) 4.若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数,则下列关系式中成立的是( D ) A .)2()1()23(f f f <-<- B .)2()23()1(f f f <-<- C .)23()1()2(-<-<f f f D .)1()23()2(-<-<f f f5.设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为( B )A .10B .11C .12D .136.设abc >0,二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的图象可能是 ( D ).7.为了得到函数(2)y f x =-的图象,可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移,这个平移是( D )A .沿x 轴向右平移1个单位B .沿x 轴向右平移12个单位 C .沿x 轴向左平移1个单位 D .沿x 轴向左平移12个单位 8.已知3()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数,若(2)2f -=,则(2)f 的值等于( D ) A .2- B .4- C .6- D .10- 1、已知函数f (log 2x)=x ,则f (21)等于( C ) A.22B.42C. 2D.41 2、已知函数f (x)=lg(x+12+x ),则( D ) A. f (x)为偶函数,且在(-∞,0)内递减 B. f (x)无奇偶性,且在(0,+∞)内递增 C. f (x)无奇偶性,且在(-∞,0)内递减D. f (x)为奇函数,且在定义域内递增3、设a=log 0.70.8,b=log 1.10.9,c=1.10.9,则a, b, c 的大小关系为( C ) A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. b>a>c4、已知f(x)是以2为周期的偶函数,且当x∈(0,1)时,f(x)=2x-1,则f(log 212)的值为( A ) A.31B.34 C.2 D.115、已知函数f(x)=mx 2+(m -3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧,则实数m 的取值范围是 ( D ) A .(0,1] B .(0,1) C .(-∞,1) D .(-∞,1]6、函数y =( B )A .奇函数B .偶函数C .非奇非偶函数D .既是奇函数又是偶函数7、设函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥<-,)0()0(7)21(x x x x若f(a)<1,则实数a 的取值范围是( C )A.(-∞,-3)B.(1,+∞)C.(-3,1)D.(-∞,-3) (1,+∞) 8、已知函数f (x)=)(log 221a ax x --在(-∞, 1-3)上是增函数,则实数a 的取值范围为( C ) A. (0, 1)B. (2-23,+∞)C. [2-23, 2]D. (-∞, 2)二、填空题:本大题共4小题;每小题5分,共20分,把答案填在题中的横线上。
2021年高三数学暑假培优暨竞赛辅导(5) Word 版含答案1、已知数列,,前n 项部分和满足,则2、如果二次方程 N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有 个3、下列三数的大小关系4、设无穷数列 的各项都是正数, 是它的前 项之和, 对于任意正整数 , 与 2 的等差中项等于 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为5、设为正整数n (十进制)的各数位上的数字的平方之和,比如.记,,则=6、函数 R ) 的最小值是7、方程的解集合为8、数列满足:,且对每个,是方程的两根,则 .9、已知数列满足关系式,则的值是___________________10、设)}8(log ,log ,2min{log ,1,122x y S y x y x =>>则S 的最大值为11、已知函数在时有最大值1,,并且时,的取值范围为. 试求m ,n 的值.12、已知,设,记(1)求的表达式;(2)定义正数数列。
试求数列的通项公式。
13、已知x、y、z均为正数(1)求证:(2)若,求的最小值14、已知数列中,,前n 项之和为.若24321(1)(21)2322n n n a n S n n n n ++⋅=+⋅+++++,试求及的表达式(用关于n 的最简式子表示).答案:1、解:.于是 221(21)(23)8(1)n n n a S S n n n -=-=---=-,()2、7解:由 , 知方程的根为一正一负.设 ,则 , 即 .由于 N*, 所以 或 . 于是共有7组 符合题意.3、解: 因为 ,。
令,则。
又因为,所以 。
再令,则,而,所以 。
综上所述,有 。
4、N*)解:由题意知 , 即 . ……… ①由 得 , 从而 .又由 ① 式得 , ……… ②于是有 ,整理得 . 因 , 故.所以数列 是以 为首项、 为公差的等差数列,其通项公式为 ,即 . 故填 N*).5、145解:将记做,于是有→→→→→→→→→→→164204214589583716402006 从16开始,是周期为8的周期数列。
高中数学优等生的培养路径摘要:在高中数学教学中,对优等生的培养是很重要的,培养优等生也有路径可寻。
只有教师运用高效的教学方法,才能使学生得到良好的学习。
本人根据多年的高中数学教学实践经验,在本文中对高中数学优等生培养路径的问题做一个浅析。
关键词:高中数学;优等生;培养路径在数学中,有些学生的天赋是较高的,教师要发现学生的数学天赋,并采用恰当的培养方法,这样才能促进数学优等生的培养。
在高中数学对优等生的培养要抓紧学生的性格特点,要根据学生的性格特点施教,这样有利于数学优等生的培养。
在培养优等生的过程中,教师要很好的把控学生,这样可以促进学生高效的学习,对学生的培养作用很大。
在培养优等生的过程中,教师要采用适合的教学方法,适合的教学方法可以大大的促进教学效率,对学生的培养有很好的作用。
一、高中数学优等生的性格特点对于学生而言,从小有数学学习的好奇心,这是一个可遇不可求的好苗子。
这样的学生在起初对于数学学习方面,有特别主动的表现。
这是一种内驱力,不断驱动他对于数学知识进行探索,在好奇心的驱使下,学生可以对于问题一究到底,直到水落石出。
学生如果在数学学习方面成绩突出,可以判断其为优等生。
而同时也导致了优等生自身有优越感,很容易看不起简单的题目,所以导致基础知识掌握不够牢固,可能在基础问题上失分,但是却用更难的题目进行弥补,有时候甚至出现得不偿失的情况。
所以在教学中也不能忽略其对于基础知识的学习。
对于优等生而言,他们自身能力比较强,好奇心比较强,对于学习中遇到的疑惑,他们的钻研性比一般学生要高。
在这种好奇心的驱动下,激励他们不断的奋进,提升自己的综合能力。
例如在教学正态分布的章节时,可以采取引入高斯的例子。
他在一次工厂的实习中发现,对于同一个零件,需要30多道程序,而加工一个零件的师傅,在长短上面的偏差各不相同,那么如果拓展到无穷多道程序,最终加工出来的零件长度的取值分布是怎样的呢?这就类似于高尔顿板的模型,每一次小球下落,向左或者向右的概率都是二分之一,而落下最后的时候,中间小球最多。
1 / 92021年高考数学尖子生培优题典(新高考专版)专题07 立体几何姓名:__________________ 班级:______________ 得分:_________________一、 选择题1.(2020·浙江海宁·高三一模)已知l ,m 是两条不同的直线,α是平面,且//m α,则( ) A .若//l m ,则//l α B .若//l α,则//l m C .若l m ⊥,则l α⊥D .若l α⊥,则l m ⊥2.(2017·齐齐哈尔市第八中学校高三月考(理))若直线l 的一个方向向量()a 222=-,,,平面α的一个法向量为()b 111=-,,,则() A .l αB .l α⊥C .l α⊂D .A 、C 都有可能3.(2020·渝中·重庆巴蜀中学高一期末)已知//a α,b α⊂,则直线a 与直线b 的位置关系是( ) A .平行B .相交或异面C .异面D .平行或异面4.(2020·安徽马鞍山·高三三模(文))已知正方体1111ABCD A B C D -2,直线1AC ⊥平面α,平面α截此正方体所得截面中,正确的说法是( ) A .截面形状可能为四边形B .截面形状可能为五边形C .截面面积最大值为3D .截面面积最大值为3325.(2020·广东东莞·高三其他(文))在一个圆柱内挖去一个圆锥,圆锥的底面与圆柱的上底面重合,顶点是圆柱下底面中心.若圆柱的轴截面是边长为2的正方形,则圆锥的侧面展开图面积为( )A 5πB 6πC .3πD .4π2 / 96.(2020·浙江西湖·学军中学高三其他)设l ,m 是条不同的直线,α是一个平面,以下命题正确的是( ) A .若//l α,//m α,则//l m B .若//l α,m l ⊥,则m α⊥ C .若l α⊥,m l ⊥,则//m αD .若l α⊥,m α⊥,则//l m7.(2020·全国高二课时练习)在空间直角坐标系中,已知(1,2,3)A ,,(3,2,1)C ,(4,3,0)D ,则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A .垂直B .平行C .异面D .相交但不垂直8.(2018·闽侯县第八中学高三期末(理))在正三棱柱111ABC A B C -中,若12AB BB =,则1AB 与1C B 所成角的大小为( ) A .60B .75C .105D .909.(2020·东湖·江西师大附中高三一模(理))在平行六面体1111ABCD A B C D -中,M 为11A C 与11B D 的交点,若,AB a AD b ==,1AA c =,则与BM 相等的向量是()A .1122a b c ++ B .1122a b c --+ C .1122a b c -+ D .1122-++a b c 10.(2019·云南高三一模(理))一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为2cm ,则球的表面积是( ) A .28cm πB .212cm πC .216cm πD .220cm π11.(2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考(文))如图所示,在正方体1AC 中,E ,F 分别是1DD ,BD的中点,则直线1AD 与EF 所成角的余弦值是( )3 / 9A .12 B 3C .63D .6212.(2020·四川省南充高级中学高三月考(理))如图,平面ABCD ⊥平面ABEF ,四边形ABCD 是正方形,四边形ABEF 是矩形,且AF =12AD =a ,G 是EF 的中点,则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为( )A 6B 3C 6D 2 13.(2020·全国高三(理))在正方体1111ABCD A B C D 中,点E 是棱11BC 的中点,点F 是线段1CD 上的一个动点.有以下三个命题:4 / 9①异面直线1AC 与1B F 所成的角是定值; ②三棱锥1-B A EF 的体积是定值;③直线1A F 与平面11B CD 所成的角是定值. 其中真命题的个数是( ) A .3B .2C .1D .014.(2020·全国高二课时练习)正方体1111ABCD A B C D -中,动点M 在线段1A C 上,E ,F 分别为1DD ,AD 的中点.若异面直线EF 与BM 所成的角为θ,则θ的取值范围为( )A .[,]63ππB .[,]43ππC .[,]62ππD .[,]42ππ15.(2018·山东崂山·青岛二中高三期末(理))在直三棱柱111ABC A B C -中,1111122AA A B B C ==,且AB BC ⊥,点M 是11A C 的中点,则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为( )A .13B .223C .324D .1216.(多选题)(2020·山东潍坊·高三其他)已知m ,n 是两条不重合的直线,α,β,γ是三个两两不重合的平面,则下列命题正确的是( )5 / 9A .若m α⊥,n β⊥,//αβ,则//m nB .若αγ⊥,βγ⊥,则//αβC .若//m β,βn//,,m n α⊂,则//αβD .若n ⊂α,n β⊥,则αβ⊥17.(多选题)(2020·安徽金安·六安一中高一期末(理))如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,线段11B D 上有两个动点E 、F ,且12EF =,则下列结论中正确的是( )A .AC BE ⊥B .//EF 平面ABCDC .三棱锥A BEF -的体积为定值D .AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等18.(多选题)(2020·山东济宁·高三月考)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,60DAB ︒∠=,侧面PAD 为正三角形,且平面PAD ⊥平面ABCD ,则下列说法正确的是( )A .在棱AD 上存在点M ,使AD ⊥平面PMB B .异面直线AD 与PB 所成的角为90°C .二面角P BC A --的大小为45°6 / 9D .BD ⊥平面PAC19.(多选题)(2020·全国高二课时练习)设a ,b ,c 是空间一个基底,则( )A .若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ⊥cB .则a ,b ,c 两两共面,但a ,b ,c 不可能共面C .对空间任一向量p ,总存在有序实数组(x ,y ,z ),使p xa yb zc =++D .则a +b ,b +c ,c +a 一定能构成空间的一个基底20.(多选题)(2020·全国高三其他)如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,线段11B D 上有两个动点E 、F ,且12EF =,则下列结论中正确的是( )A .AC BE ⊥B .//EF 平面ABCDC .AEF 的面积与BEF 的面积相等D .三棱锥ABEF -的体积为定值二、 解答题7 / 921.(2020·江苏南通·高三其他)如图,在三棱锥P ABC -中,PC ⊥平面,10,6,8ABC AB BC AC PC ====,E ,F 分别是,PA PC 的中点,求证:(1)//AC 平面BEF ; (2)PA ⊥平面BCE .22.(2020·全国高三(文))如图所示:在三棱锥V ABC -中,平面VAB ⊥平面ABC ,VAB ∆为等边三角形,AC BC ⊥且2AC BC ==,O M 分别为,AB VA 的中点.(1)求证:平面MOC ⊥平面VAB ; (2)求三棱锥V ABC -的体积.23.(2020·河北唐山·高三月考(文))如图,四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,2PD DC ==,点E,F 分别为AD ,PC 的中点.8 / 9(Ⅰ)证明://DF 平面PBE ; (Ⅱ)求点F 到平面PBE 的距离.24.(2020·海南高考真题)如图,四棱锥P -ABCD 的底面为正方形,PD ⊥底面ABCD .设平面P AD 与平面PBC 的交线为l .(1)证明:l ⊥平面PDC ;(2)已知PD =AD =1,Q 为l 上的点,QB 2,求PB 与平面QCD 所成角的正弦值.25.(2020·江苏高三专题练习)如图,在直三棱柱中111A B C -A BC 中,AB ⊥AC , AB=AC=2,1AA =4,点D 是BC 的中点.(1)求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值;(2)求平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值.9 /9。
例1、集合A={z|z18=1},B={w|w18=1}都是复单位根的集合.C={zw|z∈A,w ∈B}也是复单位根的集合,问集合C中含有多少个元素?
例2、设U={1,2,3,…,1995},A U,且当x∈A时,19x A,求card(A)的最大值.
例3、设A={1,2,3,…,2n,2n+1}.B是A的一个子集,且B中的任意三个不同元素x,y,z都有x+y≠z,求card(B)的最大值.
例4、将与105互质的所有正整数从小到大排列成数列,求这个数的第1000项.
例5、设U={1,2,…,100},求最小的自然数n,使得U的每个n元子集都含有4个两两互质的数.
例1、设Sn表示正整数集合{1,2,…,n}的一切子集的元素之和(规定空集元素和为0),求S2003.
例2、一个集合含有10个互不相同的两位数.试证:这个集合必有两个公共元素的子集合,此两子集的各数之和相等.
例3、把含有12个元素的集合分成6个子集,每个子集都含有2个元素,有多少种分法?
例4、设S={a1,a2,…,a n}是整数集,其中n>1.对于S的非空子集A,定义P(A)为A的一切整数的乘积.设m(S)表示P(A)的算述平均数.这是A遍历S的一切非空子集.若m(S)=13,且有一切正整数am+1使得m(S∪{a n+1})=49,试确定a1,a2,…,a n及a n+1的值.
黄冈中学竞赛训练题高中数学(15)
例1、设集合M={x|0≤x≤11,x∈Z},集合F={(a,b,c,d)|a,b,c,d∈M},
映射f:F→Z.使得(a,b,c,d)ab-cd.已知(u,v,x,y)39,(u,y,x,v)66,求x,y,u,v的值.
例2、已知集合求一个A与B的一一对应f,并写出其逆映射.
例3、设X={1,2,…,100},对X的任一非空子集M,M中的最大数与最小数的和称为M的特征,记得m(M).求X的所有非空子集的特征的平均数.
例4、把△ABC的各边n等分,过各分点分别作各边的平行线,得到一些由三角形的边和这些平行线所组成的平行四边形,试计算这些平行四边形的个数.
例5、在一个6×6的棋盘上,已经摆好了一些1×2的骨牌,每一个骨牌都恰好覆盖两个相邻的格子.证明:如果还有14个格子没有被覆盖,则至少能再放进一步骨牌.。