尖子生辅导高中数学

2010高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:一、裂项放缩例1.1求的值;2求证:.解析:1因为,所以2因为,所以奇巧积累:1 2 34 5 6 7 8 9 10 11111213 14 15 15 例2.1求证: 2求证: 3求证: 4 求证:解析:1因为,所以2 3先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案4首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的,所以例3.求证: 解析:一方面:因为,所以另一方面: 当时,,当时,,当时,,所以综上有例 4.2008年全国一卷设函数.数列满足..设,整数.证明:解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则,否则若,则由知,,因为,于是例5.已知,求证: 解析:首先可以证明: 所以要证只要证:故只要证,即等价于,即等价于而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知,,求证:.解析:所以从而例7.已知,,求证:证明: ,因为,所以所以二、函数放缩例8.求证: 解析:先构造函数有,从而因为所以例9.求证:1 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案函数构造形式: ,例10.求证:解析:提示:函数构造形式:当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数,首先:,从而,取有,,所以有,,…,,,相加后可以得到:另一方面,从而有取有,,所以有,所以综上有例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:加强命题例13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到:,令有,令有,所以,所以,令有,所以,所以例14. 已知证明.解析: ,然后两边取自然对数,可以得到然后运用和裂项可以得到答案放缩思路:。

2020-2021年高二数学选择性必修二尖子生同步培优题典第四章数列单元检测A 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注：本检测满分150分。

其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。

一、单选题1，2，，4，…，则是这个数列的（）A．第8项B．第9项C．第10项D．第11项【答案】B【解析】【分析】将数列中的每一项都写成n，即可判断.【详解】，2，3，4，... ，由此可归纳该数列的通项公式为nna=，又9=，则其为该数列的第9项.故选：B.【点睛】本题考查了由数列的前几项归纳出其通项公式，属于基础题.2．记等差数列{}n a的前n项和为n S，若52a=，25468a a a a-=，则20S=（）A．180B．180-C．162D．162-【答案】B【解析】【分析】先利用等差数列的通项公式，求出等差数列的首项和公差，再根据前n项和公式即可求出20S. 【详解】52a =，24628a a a-=，11114226840a da d a d a d+=⎧∴⎨+--=+⎩,解得11114226840a d a d a d a d +=⎧⎨+--=+⎩，2d ∴=-，110a =，201019228a ，()12020201802a a S +⋅∴==-.故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质和前n 项和公式，考查学生的运算求解能力，属于基础题. 3．在数列{}n a 中，112a =，111n n a a -=-（2n ≥，n ∈+N ），则2020a =（ ）A ．12B ．1C ．1-D ．2【答案】A 【解析】 【分析】通过递推式求出数列前几项可得数列为周期数列，利用数列的周期性可得答案. 【详解】2111121a a =-=-=-，3211112a a =-=+=，431111122a a =-=-=， 可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，202036731112a a a ⨯+∴===. 故选：A. 【点睛】本题考查数列的周期性，关键是通过递推式求出前几项观察出周期，是基础题.4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，352620,64a a a a +==，则5S =（ ） A ．B ．C ．42D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据2664a a =，利用等比数列的性质得到3564a a =,结合3520a a +=，利用根与系数的关系构造二次方程求解得到35,a a 的值，进而得到等比数列的首项和公比，然后利用求和公式计算即得所求. 【详解】由于在等比数列{}n a 中，由2664a a =可得：352664a a a a ==， 又因为3520a a +=，所以有：35,a a 是方程220640x x -+=的二实根，又0,1n a q >>，所以35a a <， 故解得：354,16a a ==，从而公比3122,1,a q a q ==== 那么55213121S -==-，故选：D ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，等比数列的性质，等比数列的求和，属中档题. 5．两等差数列{}n a 和{}n b ，前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b ++的值为（ ） A ．14924B ．7914C ．165 D ．5110【答案】A 【解析】 【分析】在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以结合此性质可得：2202171521a a Sb b T +=+，再根据题意得到答案．【详解】解：在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以1212202171521121121()2121()2a a a a Sb b T b b ⨯+⨯+==+⨯+⨯，又因为723n n S n T n +=+，所以22071514924a ab b +=+．故选：A ． 【点睛】本题主要考查等差数列的下标和性质，属于中档题． 6．等比数列{}n a 中（ ） A ．若12a a <，则45a a < B ．若12a a <，则34a a < C ．若32S S >，则12a a < D ．若32S S >，则12a a >【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的公比分析即可求出答案. 【详解】等比数列{}n a 中，20q >，∴当12a a <时，可得2212a q a q <，及34a a <，故B 正确；但341a a q =和352a a q =不能判断大小（3q 正负不确定），故A 错误；当32S S >时，则12312+++a a a a a >，可得30a >，即210a q >，可得10a >，由于q 不确定，不能确定12,a a 的大小，故CD 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列通项公式和求和公式的应用，属于基础题.7．函数()2cos 2f x x x =--{}n a ，则3a =（ ） A ．1312πB ．54π C ．1712πD ．76π 【答案】B 【解析】 【分析】先将函数化简为()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭再解函数零点得4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，再求3a 即可.【详解】解：∵()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭∴ 令()0f x =得：2263x k πππ-=+或22263x k πππ-=+，k Z ∈， ∴4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，∴ 正数零点从小到大构成数列为：12355,,,4124a a a πππ===故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题. 8．已知函数()cos lnxf x x x ππ=+-，若22018201920192019f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1009ln 0,0)a b a b π+>>（，则11a b+的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A 【解析】 【分析】 根据()()2ln f x fx ππ+-=，采用倒序相加的方法可得2018ln S π=，从而得到2a b +=，根据基本不等式求得最小值. 【详解】由题可知：()()()()2cos lncos ln ln 2ln x xf x f x x x x xππππππππ-+-=++-+==- 令22018201920192019S f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又20182017201920192019S f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是有22ln 2ln 2ln 22018ln S ππππ=++⋅⋅⋅+=⨯ 2018ln S π⇒= 因此2a b += 所以()()11111112222222a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当1a b ==时取等号本题正确选项：A 【点睛】本题考查倒序相加法求和、利用基本不等式求解和的最小值问题.关键是能够通过函数的规律求得a 与b 的和，从而能够构造出基本不等式的形式.二、多选题9．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S a b c ==++．当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+． 当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴= 所以当0c 时，{}n a 是等差数列，不可能是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列． 故选：AC 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．10．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*12n n a S n N +=∈，则有（ ） A ．13n n S -=B ．{}n S 为等比数列C ．123n n a -=⋅D ．21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【分析】根据,n n a S 的关系，求得n a ，结合等比数列的定义，以及已知条件，即可对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和满足()*12n n a S n N +=∈，当2n ≥时，12n n a S -=，两式相减，可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-， 可得13n n a a +=，即13,(2)n na a n +=≥， 又由11a =，当1n =时，211222a S a ===，所以212a a =， 所以数列的通项公式为21,1232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩；当2n ≥时，11123322n n n n a S --+⋅===，又由1n =时，111S a ==，适合上式，所以数列的{}n a 的前n 项和为13n n S -=；又由11333nn n n S S +-==，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列， 综上可得选项,,A B D 是正确的. 故选：ABD. 【点睛】本题考查利用,n n a S 关系求数列的通项公式，以及等比数例的证明和判断，属综合基础题. 11．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误； 而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>， 又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的. ∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确； 故选：BD. 【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题.12．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+- 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ， 再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假． 【详解】∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去）， ∴a ij ＝a i 1•3j ﹣1＝[2+（i ﹣1）×m ]•3j ﹣1＝（3i ﹣1）•3j ﹣1，∴a 67＝17×36，∴S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn )11121131313131313nn n n a a a ---=+++---（）（）（） 12=（3n ﹣1）•2312n n +-（） 14=n （3n +1）（3n ﹣1） 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前n 项和公式的应用，属于中档题．三、填空题13．已知数列{}n a 的通项公式是246n a n =-，那么n S 达到最小值时n 为________. 【答案】22或23. 【解析】 【分析】利用数列的单调性求得满足题意的n 即可. 【详解】246n a n =-，∴数列{}n a 是递增数列.令()1246021460n n a n a n +=-≤⎧⎨=+-≥⎩，解得：2223n ≤≤，∴22n =或23n =，则可知n S 达到最小值时n 为22或23. 故答案为：22或23. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和最值的求法，属于基础题.14．我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是__________．【答案】405 【解析】 【详解】 【分析】前9圈的石板数依次组成一个首项为9，公差为9的等差数列，9989994052S ⨯=⨯+⨯= 15．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1，4进行“扩展”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……；第n 次得到数列1，1x ，2x ，…，i x ，4，并记()212log 14n i a x x x =⋅⋅⋅⋅⋅，其中21n t =-，*n ∈N .则{}n a 的通项n a =___________. 【答案】31n + 【解析】 【分析】先由()212log 14n t a x x x =⋅⋅⋅⋅，结合题意得到132n n a a +=-，再设13()n n a t a t ++=+求出1t =-，得到数列{}1n a -是首项为3，公比为3的等比数列，进而可求出结果.【详解】由题意，根据()212log 14n t a x x x =⋅⋅⋅⋅，可得()1211122log 1(1)((4)4)t t n a x x x x x x x +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3333312214log 324n t x x x a ⎛⎫⋅⋅⋅⋅==-⎪⎝⎭， 设13()n n a t a t ++=+，即132n n a a t +=+，可得1t =-，则数列{}1n a -是首项为2121log 413a -=-=，公比为3的等比数列，故13n n a -=，所以31,n n a n N +=+∈.故答案为：31n +.【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等比数列的性质以及通项公式即可，属于常考题型.16．如图，互不相同的点12,,,n A A A 和12,,,,n B B B 分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等.设n n OA a =.若11a =，22a =，则数列{}n a 的通项公式是________.【答案】32n a n =-【解析】【分析】根据三角形相似和所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等，找到与n a 相关的递推公式，再由递推公式求得通项公式.【详解】由于11//,n n n n A B A B ++ 所以11,n n n n OA B OA B ++梯形11n n n n A B B A ++ 的面积为11n n OA B ++∆的面积減去n n OA B △的面积，2222i i j j OA B i i OA B j jSOA a S OA a == 则可得 222211,n n n n a a a a +--=- 即递推公式为222112,n n n a a a +-=+故2{}n a 为等差数列，且公差d =2221a a -3=，故21(1)332n a n n =+-⨯=-，得32n a n =-故答案为: 32n a n =-【点睛】本题主要考查数列在平面几何中的应用，根据几何关系寻找递推有关系是解决问题的关键，属于中档题.四、解答题17．在①112n n a a +=-，②116n n a a +-=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的n S 存在最大值，则求出最大值；若问题中的n S 不存在最大值，请说明理由.问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】【分析】若选①，求出数列{}n a 是首项为4，公比为12-的等比数列，求出通项公式和前n 项和，通过讨论n 的奇偶性，求出其最大值即可；若选②，求出数列{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列，求出通项公式和前n 项和，求出其最大值即可； 若选③，求出217242n n n a -+=，当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值. 【详解】解：选① 因为112n n a a +=-，14a =，所以{}n a 是首项为4.公比为12-的等比数列， 所1211422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当n 为奇数时，141281113212n n n S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+， 因为81132n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增加而减少，所以此时n S 的最大值为14S =. 当n 为偶数时，81132n n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且81814323n n S ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭ 综上，n S 存在最大值，且最大值为4.选② 因为116n n a a +-=-，14a =.所以{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列， 所以11254(1)666n a n n ⎛⎫=+--=-+ ⎪⎝⎭. 由125066n -+≥得25n ≤， 所以n S 存在最大值.且最大值为25S （或24S ）， 因为25252412545026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为50. 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-，所以217a a -=-，326a a -=-，…19n n a a n --=-， 则2121321(79)(1)171622n n n n n n n a a a a a a a a --+---+=-+-+=-+-=， 又14a =，所以217242n n n a -+=. 当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.【点睛】此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题 18．数列{}n a 的前n 项和()2=1003n S n n n N *-+∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1) ()()102110122n n a nn ⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩ (2) ()()22100350100500351n n n n T n n n ⎧-++≤⎪=⎨-+≥⎪⎩【解析】【分析】(1) 当1n =时，1102a =，利用1n n n a S S -=-得到通项公式，验证1a 得到答案.(2)根据{}n a 的正负将和分为两种情况，50n ≤和51n ≥，分别计算得到答案.【详解】(1)当1n =时，11=10013=102a s =-+，当2n ≥时，()()221=10010011=1012n n n a S S n n n n n -=-------. 综上所述()()102110122n n a n n ⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩. (2)当50n ≤时，n n b a =，所以123n n T a a a a =+++⋅⋅⋅+39997951012n =++++⋅⋅⋅+-()()991012331002n n n n +-=+=+-， 当51n ≥时，n n b a =-，123505152n n T a a a a a a a =+++⋅⋅⋅+---⋅⋅⋅-()5012312n n T a a a a a -=-+++⋅⋅⋅++()50063100n n =---21005003n n =-+.综上所述()()22100350100500351n n n n T n n n ⎧-++≤⎪=⎨-+≥⎪⎩. 【点睛】本题考查了利用1n n n a S S -=-求通项公式，数列的绝对值和，忽略1n =时的情况是容易犯的错误.19．已知数列{}n a 满足12a =，1122n n n a a ++=+.（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）设2n n na b =，证明：122311111n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+<. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由1122n n n a a ++=+变形得：11122n n n na a ++=+，可得证明. （2）由（1）知：2n n n ab n ==,∴()1111111n n b b n n n n +==-++,用裂项相消可求和,从而可证明. 【详解】 （1）由1122n n n a a ++=+变形得：11122n n n na a ++=+ 又12a =，故112a = ∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项1为公差的等差数列. （2）由（1）知：2n n n a b n == ∴()1111111n n b b n n n n +==-++ ∴122311111111112231n n b b b b b b n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111n =-<+ ∴122311111n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+< 【点睛】本题考查根据数列的递推公式证明数列为等差数列，考查用裂项相消法求和，属于基础题. 20．设{}n a 是公比大于1的等比数列，12314++=a a a ，且21a +是1a ，3a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21log 2n n n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n n a =；（2）()1122n n T n +=-⋅-.【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为()1q q >，根据题中条件列出方程组，求出首项和公比，即可得出通项公式；（2）先由（1）得到2nn b n =-⋅，再由错位相减法，即可得出结果.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为()1q q >.依题意，有()21321a a a +=+，将()13221a a a +=+代入12314++=a a a 得()222114a a ++=，得24a =.联立1232144a a a a ++=⎧⎨=⎩得21111144a a q a q a q ⎧++=⎨=⎩ 两式两边相除消去1a 得22520q q -+=， 解得2q 或12q =（舍去）， 所以1422a ==， 所以，111222n n n n a a q --==⨯=，（2）因为21log 22n n n n b a n ⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭所以，231222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯①23412122232(1)22n n n T n n +-=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯② ①-②，得23122222n n n T n +=++++-⨯()111212222212n n n n n n +++-=-⨯=-⋅--.所以，数列{}n b 的前n 项和11222n n n T n ++=-⋅-.【点睛】 本题主要考查求等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和，涉及等差中项的应用，属于常考题型.21．已知数列{}n a 的前n 项和为23122n S n n =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列[]lg n n b a =，[]x 表示不超过x 的最大整数，求{}n b 的前1000项和1000T .【答案】（1）32n a n =-；（2）10002631T =.【解析】【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可求出；（2）根据数列特点采用分组求和法求解.【详解】（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()221313111322222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎣⎦， 将1n =代入上式验证显然适合，所以32n a n =-.（2）因为410a =，34100a =，3341000a =，333410000a =，所以0,131,4332,343333,3341000n n n b n n ≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩， 所以100003130230036672631T =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查n a 和n S 的关系，考查分组求和法，属于基础题.22．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n n n n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．【答案】（Ⅰ）n a n =，12n nb -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949n n n n +--+⨯. 【解析】【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211n k k c-=∑和21n k k c =∑的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由11a =，()5435a a a =-，可得d =1.从而{}n a 的通项公式为n a n =.由()15431,4b b b b ==-，又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2，从而{}n b 的通项公式为12n nb -=. (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=， 故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++， 从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<， 所以221n n n S S S ++<. (Ⅲ)当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n n n n a b n c a a n n n n-+-+--===-++， 当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==， 对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nn n k k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和223111211352321444444n n k k n n k k k n n c-==---==+++++∑∑ ① 由①得22314111352321444444n k n n k n n c +=--=+++++∑ ②由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑， 由于11211121221121156544144334444123414nn n n n n n n ++⎛⎫- ⎪--+⎝⎭--=-⨯--⨯=-⨯-， 从而得：21565994n k n k n c =+=-⨯∑. 因此，2212111465421949n nn n k k k n k k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑. 所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.。

高一数学单元测试AB 卷期末模拟卷01（B 能力卷）（ 考试时间：120分钟 试卷满分：150分）姓名_____________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．复数()()12z i i =+-，则z =（ ）A ．3i +B ．3i -C ．4i +D ．4i -【答案】B【详解】因为(1)(2)2213z i i i i i =+-=-++=+，所以3z i =-.故选：B.2．如图，已知3AB BP =，用OA ，OB 表示OP ，则OP 等于（ ）A ．1433OA OB - B ．1433OA OB + C ．1433OA OB -+ D ．1433OA OB -- 【答案】C【详解】解：3AB BP =， ()11413333OP OB BP OB AB OB OB OA OB OA ∴=+=+=+-=-， 故选：C. 3．有17名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前8名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道17名同学成绩的（ ）A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差【答案】C【详解】由题设，17名同学参加百米竞赛，要取前8名参加决赛，则成绩从高到低排列，确定17名同学成绩的中位数，即第9名的成绩便可判断自己是否能进入决赛. 故选：C. 4．已知水平放置的ABC 按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中2B O C O ''''==，3A O ''=，那么ABC 是一个（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．三边互不相等的三角形【答案】B【详解】 A O ''在y '轴上，B C ''在x '轴，因此AO BC ⊥，在原图形中23,4AO BC ==，60ABC ACB ∠=∠=︒，三角形为等边三角形．故选：B ．5．已知,a b 满足25,1045,a b a b a b +=⋅=+=+则a 与b 夹角的余弦值为（ ）A 25B 5C ．12D 3【答案】A【详解】由题意，向量,a b 满足25,1045a b a b a b +=⋅=+=+， 可得22221045a b a b a b +=++⋅=+，所以2210a b +=，又由()222220a b a b a b +=++=，所以5a b =，设向量a 与b 夹角为θ，则25cos 5a b ba θ⋅==. 故选：A.6．如图，AB 为圆锥底面直径，点C 是底面圆O 上异于,A B 的动点，已知OA=3，圆锥侧面展开图是圆心角为3π的扇形，当PB 与BC 所成角为3π时，PB 与AC 所成角为（ ）A ．3πB ．6πC ．4πD ．56π 【答案】C【详解】设圆锥母线长为l ，则323l ππ=，解得2l =，PB PC =，PB ∴与BC 所成角3PBC π∠=，2BC ∴=， Rt ABC ∆∴中22AC =作BD AC 与圆O 交于点D ，连接AD ，四边形ABCD 为平行四边形，22BD AC ==，连接PD ，则PBD ∠为PB 与AC 所成角，PBD ∆中2PD PB ==，可得PD PB ⊥，4PBD π∴∠=，故选：C. 7．垃圾分类是对垃圾进行处置前的重要环节通过分类投放、分类收集，我们可以把有用物资从垃圾中分离出来重新回收、利用，变废为宝.某小区的分类垃圾箱如图所示，每组垃圾箱有四个垃圾投放桶，分别为有害垃圾、厨余垃圾、可回收垃圾、其他垃圾.该小区业主手提两袋垃圾，分别为有害垃圾和厨余垃圾，分别将其随机投入两个不同的垃圾投放桶，则恰有一袋投放正确的概率为（ ）A ．19B ．16C ．13D ．12【答案】C【详解】 记有害垃圾、厨余垃圾、可回收垃圾、其他垃圾四个垃圾投放桶分别为1，2，3，4，则两袋垃圾中恰有一袋投放正确的情况有（1，3），（1，4），（3，2），（4，2），共4种，而随机投放的情况有（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），共12种，所以所求概率41123P ==. 故选：C ．8．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，N 为BC 的中点.当点M 在平面11DCC D 内运动时，有//MN 平面1A BD ，则线段MN 的最小值为（ ）A ．1B ．62C ．2D ．3【答案】B【详解】取CD 中点P ，1DD 中点Q ，连接PQ 、PN 、QN ，如图所示：因为P 、N 分别为CD 、BC 中点，所以PN BD ∕∕，同理，P 、Q 分别为CD 、1DD 中点，所以11PQ DC A B ∕∕∕∕， 又PQ PN P ⋂=，,PQ PN ⊂平面PQN ，1A B BD B ⋂=，1,A B BD ⊂平面1A BD ，所以平面PQN ∕∕平面1A BD ，因为//MN 平面1A BD ，所以MN ⊂平面PQN ，又点M 在平面11DCC D 内运动，所以点M 在平面PQN 和平面11DCC D 的交线上，即M PQ ∈，在PQN 中，2PN =1122PQ CD ==22(2)26QN =+= 所以2221cos 22PN PQ QN NPQ PQ PN +-∠==-⨯， 所以120NPQ ∠=︒，所以N 点到PQ 的最小距离()6sin 180120d PN =⋅︒-︒=. 所以线段MN 的最小值为6. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．百年大计，教育为本.十四五发展纲要中，教育作为一个专章被提出.近日，救育部发布2020年全国教育事业统计主要结果.其中关于高中阶段教育（含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构）近六年的在校规模与毛入学率情况图表及2020年高中阶段教育在校生结构饼图如下，根据图中信息，下列论断正确的有（ ）（名词解释：高中阶段毛入学率≡在校生规模÷适龄青少年总人数×100%）A ．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长B ．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人C ．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万D ．2020年，普通高中的在校生超过2470万人【答案】BD【详解】对A ，在前四年有下降的过程，故A 错误；对B ，六年的在校生总数为24037，平均值为4006以上，故B 正确；对C ，39950.1054680.895⨯≈，未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上，故C 错误； 对D ，41280.6012481⨯≈，故D 正确.故选：BD10．已知复数1z i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．z =B ．复数z 的共轭复数为1z i =-C ．20211122i i z =+ D ．22z = 【答案】ABC【详解】对A ，z = A 正确；对B ，根据共轭复数的定义，1z i =-，B 正确；对C ，由41i =，所以2021(1)1111(1)(1)222⋅-+====+++-i i i i i i z i i i ，C 正确； 对D ，22(1)121=2=+=+-z i i i ，故D 错误.故选：ABC.11．已知,,a b c 是三个平面向量，则下列叙述错误的是（ ）A ．若a b =，则a b =±B ．若a b a c ⋅=⋅，且0a ≠，则b c =C ．若//,//a b b c ，则//a cD ．若a b ⊥，则a b a b +=- 【答案】ABC 【详解】A ，若a b =，可取()1,2a =，()2,1b =，则a b ≠±，故A 错误；B ，若a b a c ⋅=⋅，且0a ≠，当a b ⊥，a c ⊥ 时，则b 与c 不一定相等，故B 错误；C ，若//,//a b b c ，当0b =时，a 与c 不一定平行，故C 错误；D ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，所以22222a b a b a b a b +=++⋅=+， 22222a b a b a b a b -=+-⋅=+，故a b a b +=-，故D 正确.故选：ABC12．已知正方体1111ABCD A BC D -中，以下结论正确的有（ ）A ．点P 在直线BC 1上运动时，三棱锥A -D 1PC 的体积不变B ．点P 在直线BC 1上运动时，直线AP 与平面AD 1C 所成角的大小不变C ．点P 在直线BC 1上运动时，二面角P -AD 1-C 的大小不变D ．M 是平面1111D C B A 上到点D 和C 1距离相等的点，则点M 的轨迹是过点D 1的直线【答案】ACD【详解】因为11A D PC P AD C V V --=，11//BC AD ，且1BC ⊄平面1AD C ，1AD ⊂平面1AD C ，所以1//BC 平面1AD C ，所以1BC 上的点到平面1AD C 的距离相等，所以三棱锥1A D PC -的体积不变，故A 正确；由图可知，当点P 在直线1BC 上运动时，直线AB 与平面1AD C 所成角和直线1AC 与平面1AD C 所成角不相等，故B 错误；因为AP ⊂平面11BC D A ，所以二面角1P AD C --的大小等于平面11BC D A 与平面1AD C 所成角的大小，所以二面角1P AD C --的大小不变，故C 正确；因为M 是平面1111D C B A 上到点D 和1C 距离相等的点，所以点M 的轨迹是平面1111D C B A 与线段1DC 的垂直平分线1DC 所在平面的交线，即点M 的轨迹是平面1111D C B A 与平面11A D C 的交线11A D ，所以点M 的轨迹是过点1D 的直线，故D 正确；三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．某圆柱两个底面面积之和等于其侧面面积，则该圆柱底面半径与高的比值为________．【答案】1【详解】设圆柱底面半径为r ，高为h ，由题意222r rh ππ=，所以r h =，即1r h=．14．已知复数z 满足||||z i z i ++-=z 的最小值是_______．【答案】1【详解】由复数的几何意义，可得||||z i z i ++-=z 在椭圆2212y x +=上， 而z 表示椭圆上的点到椭圆对称中心()0,0的距离，当且仅当复数z 位于椭圆短轴端点(1,0)±时，z 取得最小值，z 的最小值为1． 故答案为：1．15．在ABC 中，2AB =，3AC =，且ABC 的面积为32，则BAC ∠=__________. 【答案】6π或56π 【详解】 ABC 中，2AB =，3AC =，且ABC 的面积为32， 所以13sin 22AB AC A ⋅⋅∠=，所以1323sin 22A ⨯⨯∠=，整理得：1sin 2A ∠=， 因为()0,A π∈，所以6BAC π∠=或56π， 故答案为：6π或56π 16．已知三棱柱111,ABC A BC -侧棱1AA ⊥底面,,ABC E F 分别是1,AB AA 的中点，且12,,4AC BC AC BC AA ==⊥=，过点E 作一个截面与平面1BFC 平行﹐则截面的周长为________________________．32225【详解】如图，取AF 中点G ，分别在1CC ，BC 上取点H ，M ，使1111,44HC CC BM BC ==， 连接,,,EG GH HM EM ，又,F G 分别是1,AA AF 中点，114FG AA ∴=， 又1111//,AA CC AA CC =，11//,FG HC FG HC ∴=，∴四边形1FGHC 为平行四边形， 1/GH FF ∴，1GH FC =，//GH ∴平面1BFC ，1111113,,//,444HC CC BM BC MH BC MH BC ==∴=，//MH ∴平面1BFC ， 又MH GH H ⋂=，∴平面//EGHM 平面1BFC ，又1AA ⊥平面ABC ，2AC BC ==，,E F 分别是1,AB AA 的中点，1,4AC BC AA ⊥=， 122,2AB AF AF ∴===， 2211322EG BF AF AB ∴==+=22111122GH FC A F AC ==+= 2211113335442HM BC BB B C ==+= 在BEM △中，11,242BM BC BE ===45EBM ∠=， 22211252cos 452224224EM BM BE BM BE ∴=+-⋅=+-⨯=，5EM ∴= ∴所求截面的周长为353225322252EG GH HM EM +++==32225四、解答题：本小题共6小题，共70分。

2024学年湖北宜昌市葛洲坝中学高三下学期尖子生专题训练（三）数学试题试卷 考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （c ,0）（c ＞0），且离心率等于5，若该双曲线的一条渐近线被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为25，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．221205x y -= B ．22125100x y -= C ．221520x y -= D ．221525x y -= 2．若复数z 满足i 2i z -=，则z =（ ）A ．2B ．3C ．2D ．5 3．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则U M N =（ ） A ．[]0,1 B ．(]0,1 C ．[)0,1 D ．(],1-∞4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．163B ．6C ．203D ．223 5．已知实数ln333,33ln 3(n ),l 3a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b << 6．抛物线()220y px p =>的准线与x 轴的交点为点C ，过点C 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，使得A 是BC 的中点，则直线l 的斜率为（ ）A ．13±B ．223±C ．±1D ． 3±7．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．12B ．13 C ．23 D ．568．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．()722+πB ．()1022+πC ．()1042+πD ．()1142+π 9．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b10．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图像如图所示，若5AB =，点A 的坐标为(1,2)-，若将函数()f x 向右平移(0)m m >个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ）A ．12B ．1C ．3πD ．2π 11．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向右平移5π6个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位 D ．向左平移5π12个长度单位 12．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

它产 生 浓 厚 的兴 趣 ， 发 了 求 知 欲 ． 者 ， 适 当 采 用 新 激 再 应 颖 有 趣 的教 学 方 式 ， 如 多媒 体 教 学 ． 特 点 是 可 以 使 例 其
其 自信心大大提高 ， 针对其 弱项进行 针对 辅导． 再 第二 ， 培养 自信最好的途径莫过于 成功的体验 了， 教师应 该积 极 为学生创造 成功 的机 会 ， 给予成 功 的奖 励 ， 哪怕是 一 句 口头表扬 ， 他们体验 成功 的喜 悦． 于他们在学 习 让 对
解 题 时 总 感 觉迷 雾 重 重 ， 从 下 手 ， 至 产 生 畏 惧 感 ． 无 甚 而
目的是使学生能够善于发现 和认 识高 中数学 的新知识 、
新 思 想 、 事 物 、 方 法 ， 握 其 中 的 基 本 规 律 ， 而 提 新 新 掌 从 高其 学 习能 力． 培 养 学 生 的创 新 思 维 能 力 ， 先 要 提 要 首
由于初 中和高 中是 两个不 同的学 习阶段 ， 前者为相
对 依 靠 教 师 阶 段 ， 者 为 相 对 独 立 阶 段 ． 高 中数 学 和 后 而 初 中 数 学 相 比 ， 难 度 陡 然 上 升 ， 理 解 和 各 种 能 力 的 其 对
高 中数学较 为枯 燥 ， 学科难 度大 ， 从而导 致他们讨厌 数 学， 对其失去兴趣而学习能力下降． 因此 ， 应该充 分发挥
枯燥的教学内容在计算机 的帮助下“ 起来 ， 大地增 动” 极 强 了教学 的直观性 、 味性 ， 教师的教学更 富感染 力 趣 使
和生 动 性 ， 而 有 效 培 养 了学 生 的 学 习兴 趣 ， 助 于 学 从 有
乃是对所学 教材 的兴 趣 ． 可 见兴趣 对学 生 的学 习起 一”
着 巨大 的推 动 作 用 ， 学 生 学 习 积 极 性 中 一 个 最 积 极 、 是 最 活跃 的心 理 因 素 ． 阶段 高 中 学 生 处 于 青 春 发 育 期 ， 现 这 一 类 人 群普 遍 的特 点 是 躁 动 ， 理 承 受 能 力 差 ， 之 心 加

2020年江苏省南通市尖子生班高考数学模拟试卷（一）（3月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={x||x|≤1,x ∈Z}，B ={x|0≤x ≤2}，则A ∩B =_________2. 高一某班在合唱比赛中被各评委打出的分数如茎叶图所示，去掉一个最高分和最低分后，所剩数据的平均值为______．3. 复数z 满足(1+i)z =|√3−i|，则z − =________．4. 一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子抛掷二次，观察向上的点数，则二次点数之和等于10的概率为_________．5. 执行如图所示的流程图，则输出的M 应为______6. 曲线x 2+4y 2=4关于点M(3,5)对称的曲线方程为__________．7. 已知cos(α−π3)=13，则sin(2α−π6)=______．8. 已知矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，则(AE⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 9. 已知F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上的一点，PF ⊥x 轴，若|PF|=34|AF|，则该椭圆的离心率是____.10. 棱长为4的正方体的所有棱与球O 相切，则球的半径等于_______。

11. 已知a >0，函数f(x)=|√2−x 2+12|x −2a |−5|在[−1,1]上的最大值为2，则a =______．12. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S n =3a n −2 (n ∈N ∗)，则a 5= ______ ．13. 设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线l 垂直于x 轴，交椭圆于A ，B 两点且|AB|=1，P 是椭圆上一点，∠F 1PF 2的最大值为120°，当∠F 1PF 2=60°时，S △F 1PF 2=________．14. 已知x 2+4y 2+kz 2=36(其中k >0)且t =x +y +z 的最大值是7，则k =__________．二、解答题（本大题共11小题，共146.0分）15.如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠CAD=π4，AC=72，cos∠ADB=−√210(1)求sin∠C的值；(2)若△ABD的面积为7，求AB的长．16.如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF//DE，DE=2AF．(Ⅰ)求证：AC⊥平面BDE；(Ⅱ)求证：AC//平面BEF．17.某学校准备对一块空地ABCD进行绿化改造，其中AD=30m，AB=20m，∠A=90°.同时决定从该空地中划出一个直角三角形地块AEF建学生活动中心(点E,F分别在线段AB,AD上)，且直角三角形AEF的周长为30m，设△AEF的面积为S．(1)设AE=xm，求S关于x的函数关系式，并指出函数的定义域；(2)求直角三角形地块AEF面积S的最大值．18.已知点P(−2,1)在椭圆C：x2a2+y22=1(a>0)上，动点A，B都在椭圆上，且直线AB不经过原点O，直线OP经过弦AB的中点．(1)求椭圆C的方程和直线AB的斜率；(2)求△PAB面积的最大值．19.已知函数f(x)=a(x2−1)−lnx．(1)若y=f(x)在x=2处的切线与y垂直，求a的值；(2)若f(x)≥0在[1,+∞)上恒成立，求a 的取值范围．20. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且 a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n =(n −1)S n +2n(n ∈N ∗).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若p ，q ，r 是三个互不相等的正整数，且p ，q ，r 成等差数列，试判断a p −1，a q −1，a r −1是否成等比数列？并说明理由．21. 已知矩阵A =[12−14]，向量α⃗ =[53]，计算A 5α．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =√32t +m y =12t(t 是参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，且直线l 与圆C 相切，求实数m 的值．23.已知正实数a，b，c满足a+b2+c3=1，求证：1a2+1b4+1c6≥27．24.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=√3，BC=1，AA1=2，E为A1D的中点．(1)求直线EC1与A1B所成角的余弦值；(2)若F为BC的中点，求直线EC1与平面FA1D1所成角的正弦值．25.设实数c>0，整数p>1，n∈N∗．(1)证明：当x>−1且x≠0时，(1+x)p>1+px；(2)数列{a n}满足a1>c1p，a n+1=a n+a，证明：a n>a n+1>c1p．-------- 答案与解析 --------1.答案：{0,1}解析：【分析】本题考查了交集及其运算，是基础题．【解答】解：集合A ={x||x|≤1,x ∈Z}={−1,0,1}，B ={x|0≤x ≤2}，所以，A ∩B ={0,1}，故答案为{0,1}．2.答案：90解析：解：由题意所剩数据：85，87，90，91，93，94，所以平均数x =16(85+87+90+91+93+94)=90，故答案为：90．求出所剩数据，取平均数即可．本题考查了茎叶图和平均数公式，属于基础题． 3.答案：1+i解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算与共轭复数的概念，属于基础题．设出z =a +bi ，得到关于a ，b 的方程组，求出z 的共轭复数即可．【解答】解：设z =a +bi ．则(1+i)z =(1+i)(a +bi)=(a −b)+(a +b)i ．又|√3−i|=√3+1=2，所以{a +b =0a −b =2，解得a =1，b =−1， 所以z − =1+i ，故答案是z − =1+i ．4.答案：112解析：【分析】本题考查古典概型概率计算，属于基础题目．利用基本事件数与总事件数之比得出即可．【解答】解：抛掷1颗骰子两次，向上的点数构成6×6=36个基本事件，两次点数之和等于10，包含(4,6)，(5,5)，(6,4)三个基本事件．故所求概率为336=112．故答案为112．5.答案：2解析：解：由题意，执行程序框图，可得i=1，满足条件，则M=11−2=−1，i=2，满足条件，则M=11−(−1)=12，i=3，满足条件，则M=11−12=2，i=4不满足条件，退出循环，输出M的值为2．故答案为：2模拟执行程序，依次写出每次循环得到的M，i的值，当i=4不满足条件，退出循环，输出M的值为2．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的功能是解答此类问题的关键，属于基础题．6.答案：(x−6)2+4(y−10)2=4解析：解：设曲线上坐标为(x0,y0)，其关于点M的对称点坐标为(x,y)x关于点M的对称点为x0，y关于点M的对称点为y0则有：x+x02=3,y+y02=5解得x0=6−x,y0=10−y把点(x0,y0)带入椭圆方程x2+4y2=4，得(x−6)2+4(y−10)2=4故答案为：(x−6)2+4(y−10)2=47.答案：−79解析：解：cos(α−π3)=13，sin(2α−π6)=sin[2(α−π3)+π2]=cos2(α−π3) =2cos 2(α−π3)−1=2×(13)2−1=−79． 故答案为：−79．利用诱导公式以及二倍角的余弦化简求解即可．本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，考查计算能力． 8.答案：−92解析：解：如图所示，A(0,0)，B(2,0)，E(2,12)，F(1,1)，D(0,1)．∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,12)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1)． ∴(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,32)⋅(−2,1)=−6+32=−92． 故答案为：−92．建立坐标系，利用向量的坐标运算和数量积运算即可得出．本题考查了向量的坐标运算和数量积运算，属于基础题． 9.答案：14解析：【分析】本题考查了椭圆的性质及几何意义，属于基础题．根据P 点坐标及|PF|=34|AF|，可得b 2a =34(a +c)，求解即可． 【解答】解：根据椭圆几何性质可知|PF|=b 2a ， |AF|=a +c ， 所以b 2a =34(a +c) ，即4b 2=3a 2+3ac ，又因为b 2=a 2−c 2，所以有4(a 2−c 2)=3a 2+3ac ，整理可得4c 2+3ac −a 2=0 ，两边同除以a 2得： 4e 2+3e −1=0 ，所以(4e −1)(e +1)=0，由于0<e <1，所以e =14．故答案为14．10.答案：2√2解析：【分析】本题考查了正方体的棱相切的球的直径是正方体的面对角线的长．根据正方体的棱相切的球的直径是正方体的面对角线的长即可求解．【解答】解：正方体的棱相切的球的直径是正方体的面对角线的长为：√42+42=4√2，故R =2√2，故答案为2√2．11.答案：52或7−√102解析：【分析】本题考查绝对值函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及导数求单调性、极值和最值，考查运算能力，属于难题．由题意可得f(0)≤2，求得a 的范围，去掉一个绝对值，再由最值的取得在顶点和端点处，计算可得a 的值，检验可得a 的值．【解答】解：a >0，函数f(x)=2+12|x −2a |−5|在区间[−1,1]上的最大值是2，可得f(0)≤2，即|√2+a −5|≤2，解得3−√2≤a ≤7−√2，即有f(x)=|√2−x 2−12x +a −5|，−1≤x ≤1，由f(x)的最大值在顶点或端点处取得，即f(−1)=2，即|a −72|=2，解得a =32(舍去)或112；f(1)=2，即|a −92|=2，解得a =52或a =132(舍去)；由y =√2−x 2−12x 的导数为y ′=√2−x 2−12， 当0<x <1时，函数y 递减，可得y ∈(12,√2)， 当−1<x <0，由√2−x 2−12=0，可得x =−√105，可得y =√2−x 2−12x 在x =−√105处取得极大值√102，可得y =√2−x 2−12x 的值域为[12,√102]，由|√102+a −5|=2，解得a =7−√102或3−√102(舍去)， 当a =52时，f(x)=|√2−x 2−12x −52|，−1≤x ≤1， 由y =√2−x 2−12x −52的值域为[−2,√10−52]，可得f(x)的值域为[5−√102,2]符合题意；当a =32时，f(x)=|√2−x 2−12x −72|，−1≤x ≤1， 由y =2−12x −72的值域为[−3,√10−72]，可得f(x)的值域为[7−√102,3]不符合题意；当a =7−√102时，f(x)=|√2−x 2−12x +2−√102|，−1≤x ≤1， 由y =√2−x 2−12x +2−√102的值域为[52−√102,2]，可得f(x)的值域为[5−√102,2]符合题意．故答案为：52或7−√102．12.答案：162解析：解：∵2S n =3a n −2， ∴2S n−1=3a n−1−2(n ≥2)， 两式相减得：2a n =3a n −3a n−1， ∴a nan−1=3(n ≥2)，又2a 1=3a 1−2， ∴a 1=2，∴数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴a 5=2×34=162． 故答案为：162．由2S n =3a n −2可得2S n−1=3a n−1−2(n ≥2)，两式相减，可判断数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，从而可得a5的值．本题考查数列的求和及等比关系的确定，求得数列{a n}是以2为首项，3为公比的等比数列是关键，考查推理运算能力，属于中档题．13.答案：√33解析：【分析】本题主要考查了椭圆的几何性质，属于中档题．解焦点三角形求ΔF1PF2的面积．【解答】解：由题意，过F2的直线l垂直于x轴，交椭圆于A，B两点且|AB|=1，故b2a =12，当点P在短轴定点时，∠F1PF2的最大值为120°，故，故a=2b，解得a=2，b=1，c=√3，椭圆方程为x24+y2=1，当∠F1PF2=60°时，|PF1|+|PF2|=4，=(|PF1|+|PF2|)2−3|PF1||PF2|，即12=16−3|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|=43，=12×43×√32=√33，故答案为√33．14.答案：9解析：∵由柯西不等式得(x2+4y2+kz2)(1+14+1k)≥(x+y+z)2，又t max=7，∴36(54+1k)=49，∴k=9.15.答案：解：(1)因为cos∠ADB=−√210,所以sin∠ADB=7√210，又因为，所以sin∠C=sin(∠ADB−π4)=sin∠ADBcosπ4−cos∠ADBsinπ4=7√210⋅√22+√210⋅√22=45．(2)在△ADC中，由正弦定理得ADsin∠C =ACsin∠ADC，故AD=AC⋅sin∠Csin∠ADC =AC⋅sin∠Csin(π−∠ADB)=AC⋅sin∠Csin∠ADB=72×457√210=2√2．．在△ADB中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2−2AD⋅BD⋅cos∠ADB=8+25−2×2√2×5×(−√210)=37．所以AB=√37．解析：(1)由同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，由∠C=∠ADB−π4.利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解．(2)先由正弦定理求AD的值，再利用三角形面积公式求得BD，与余弦定理即可得解AB的长度．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值，正弦定理，三角形面积公式等知识的综合应用，考查了数形结合能力和转化思想，考查了计算能力，属于中档题．16.答案：证明：(Ⅰ)因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，因为DE∩BD=D，所以AC⊥平面BDE．(Ⅱ)设AC∩BD=O，取BE的中点G，连接FG，OG，所以OG//DE且OG=12DE．因为AF//DE，DE=2AF，所以AF//OG且AF=OG，从而四边形AFGO是平行四边形，所以FG//AO．因为FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF，所以AO//平面BEF，即AC//平面BEF．解析：【分析】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，是中档题．(Ⅰ)利用线面垂直的判定定理证明；(Ⅱ)利用平行四边形的性质证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行．17.答案：解：(1)设AF=ym，则x+y+√x2+y2=30，所以√x2+y2=30−(x+y)，即450−30(x+y)+xy=0，所以y=30(15−x)30−x，所以S=12xy=15x(15−x)30−x．因为0<x<30，0<y<30，所以0<x<15，即函数的定义域为(0,15)．(2)设t=30−x，则x=30−t，15<t<30，所以S=15(30−t)(t−15)t =−15(t+450t−45)．因为t+450t ≥2√t⋅450t=30√2，当且仅当t=15√2∈(15,30)时，取“=”，所以S≤−15(30√2−45)=675−450√2，即S的最大值为．答：当AE=30−15√2m时，直角三角形地块AEF面积S的最大值．解析：本题考查函数模型的应用，属一般题目．(1)根据题意得出解析式S=12xy=15x(15−x)30−x，再进一步求定义域即可(2)表示面积为S=15(30−t)(t−15)t =−15(t+450t−45)，再由基本不等式求最值即可．18.答案：解：(1)将P(−2,1)代入x 2a 2+y 22=1，得22a2+122=1，解得a 2=8， ∴椭圆方程为x 28+y 22=1，设直线AB ：y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，A ，B 的中点为M(x 0,y 0)， 由{y =kx +m x 28+y 22=1，得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−8=0，x 0=12(x 1+x 2)=−4km 1+4k 2，y 0=kx 0+m =m1+4k 2，直线OP 经过弦AB 的中点，则k OM =k OP ，y 0x 0=−12，m −4m =−12，∴k AB =12． (2)当k =12时，由△=16−4m 2>0，得−2<m <2，x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−4， |AB|=√1+122|x 1−x 2|=√1+122⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√1+122⋅√4−m 2，点P 到直线AB ：y =12x +m 的距离d =√1+122，△PAB 面积S =12|AB|d =|m −2|√4−m 2=√−(m −2)3(m +2)， 设f(m)=−(m −2)3(m +2)，(−2<m <2)，则f′(m)=−[3(m −2)3(m +2)+(m −2)3]=−4(m −2)2(m +1)， 解得f(m)max =f(−1)=27， ∴S max =√27=3√3．解析：(1)将P(−2,1)代入x 2a 2+y 22=1，得椭圆方程为x 28+y 22=1，设直线AB ：y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，A ，B 的中点为M(x 0,y 0)，由{y =kx +mx 28+y 22=1，得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−8=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式，能求出椭圆C 的方程和直线AB 的斜率．(2)当k =12时，由△=16−4m 2>0，得−2<m <2，x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−4，|AB|=√1+12|x 1−x 2|=2√1+12⋅√4−m 2，点P 到直线AB ：y =12x +m 的距离d =√1+22△PAB 面积S =12|AB|d =|m −2|√4−m 2=√−(m −2)3(m +2)，设f(m)=−(m −2)3(m +2)，(−2<m <2)，利用导数性质能求出△PAB 面积的最大值．本题考查椭圆方程、直线斜率的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式、弦长公式、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．19.答案：解：(1)∵f(x)的定义域为(0,+∞)，f ′(x)=2ax −1x ，∴f′(2)=0，即a=18．(2)∵f′(x)=2ax−1x，①当a≤0时，f′(x)<0，∴f(x)在[1,+∞)上单调递减，∴当x>1时，f(x)<f(1)=0矛盾．②当a>0时，f′(x)=2ax2−1x，令f′(x)>0，得x>2a ；f′(x)<0，得0<x<2a．(i)当2a >1，即0<a<12时，x∈2a)时，f′(x)<0，即f(x)递减，∴f(x)<f(1)=0矛盾．(ii)当√2a ≤1，即a≥12时，x∈[1,+∞)时，f′(x)>0，即f(x)递增，∴f(x)≥f(1)=0满足题意．综上：a≥12．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值及其切线斜率，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，令f′(2)=0，解得a．(2)f′(x)=2ax−1x，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性、最值即可得出．20.答案：解：(1)∵a1+2a2+3a3+⋯+na n=(n−1)S n+2n，∴当n=1时，有a1=(1−1)S1+2，解得a1=2.…(1分)由a1+2a2+3a3+⋯+na n=(n−1)S n+2n，①得a1+2a2+3a3+⋯+na n+(n+1)a n+1=nS n+1+2(n+1)，②…(2分)②−①得：(n+1)a n+1=nS n+1−(n−1)S n+2.③…(3分)以下提供两种方法：法1：由③式得：(n+1)(S n+1−S n)=nS n+1−(n−1)S n+2，即S n+1=2S n+2；…(4分)∴S n+1+2=2(S n+2)，…(5分)∵S1+2=a1+2=4≠0，∴数列{S n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．∴S n+2=4×2n−1，即S n=4×2n−1−2=2n+1−2.…(6分)当n≥2时，a n=S n−S n−1=(2n+1−2)−(2n−2)=2n，…(7分)又a1=2也满足上式，∴a n=2n.…(8分)法2：由③式得：(n+1)a n+1=nS n+1−(n−1)S n+2=n(S n+1−S n)+S n+2，得a n+1=S n+2.④…(4分)当n≥2时，a n=S n−1+2，⑤…(5分)⑤−④得：a n+1=2a n.…(6分)由a1+2a2=S2+4，得a2=4，∴a2=2a1.…(7分)∴数列{a n}是以a1=2为首项，2为公比的等比数列．∴a n=2n…(8分)(2)解：∵p，q，r成等差数列，∴p+r=2q.…(9分)假设a p−1，a q−1，a r−1成等比数列，则(a p−1)(a r−1)=(a q−1)2，…(10分)即(2p−1)(2r−1)=(2q−1)2，化简得：2p+2r=2×2q.(∗)…(11分)∵p≠r，∴2p+2r>2√2p×2r=2×2q，这与(∗)式矛盾，故假设不成立．…(13分)∴a p−1，a q−1，a r−1不是等比数列．…(14分)解析：(1)由a1+2a2+3a3+⋯+na n=(n−1)S n+2n，类比得a1+2a2+3a3+⋯+na n+(n+ 1)a n+1=nS n+1+2(n+1)，两式作差可求得：(n+1)a n+1=nS n+1−(n−1)S n+2③．法1：由：(n+1)a n+1=nS n+1−(n−1)S n+2⇒S n+1=2S n+2，而S1+2=4⇒数列{S n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列⇒S n，继而可求得a n；法2：由(n+1)a n+1=nS n+1−(n−1)S n+2⇒a n+1=S n+2，当n≥2时，a n=S n−1+2，两式作差，同理可证数列{a n}是以a1=2为首项，2为公比的等比数列，从而求得a n；(2)p，q，r成等差数列⇒p+r=2q，假设a p−1，a q−1，a r−1成等比数列，可由(a p−1)(a r−1)=(a q−1)2⇒2p+2r=2×2q.(∗)利用基本不等式可得2p+2r>2√2p×2r=2×2q，这与(∗)式矛盾，从而可得a p−1，a q−1，a r−1不是等比数列．本题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，属于难题．]21.答案：[371307解析：【分析】本题考查了矩阵与变换、特征向量，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．令f(λ)=∣∣∣λ−1−21λ−4∣∣∣=λ2−5λ+6=0，解得λ=2或3.分别对应的一个特征向量为[12]；[11].设[35]=m[12]+n[11]解得m ，n ，即可得出． 【解答】解：∵f(λ)=∣∣∣λ−1−21λ−4∣∣∣=λ2−5λ+6，由f(λ)=0，解得λ=2或3． 当λ=2时，对应的一个特征向量为α1=[12]； 当λ=3时，对应的一个特征向量为α2=[11]． 设[35]=m[12]+n[11]，解得{m =2n =1．∴A 5α=2×25[12]+1×35[11]=[371307]．故答案为[371307]． 22.答案：解：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，所以x 2+y 2=4x ，即圆C 的方程为(x −2)2+y 2=4．又由{x =√32t +my =12t (t 是参数)消t ，得x −√3y −m =0，由直线l 与圆C 相切， 所以|2−m |2=2，解得：m =−2或m =6．解析：本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程，根据直线和圆相切的性质求出m 的值．23.答案：证明：因为正实数a ，b ，c 满足a +b 2+c 3=1，所以1≥3√ab 2c 33，即ab 2c 3≤127， 所以1ab 2c 3≥27，因此1a 2+1b 4+1c 6≥331a 2b 4c 6≥27．解析：由正实数a ，b ，c 满足a +b 2+c 3=1，运用三元均值不等式，可得ab 2c 3≤127，再由均值不等式即可得证．本题考查不等式的证明，注意运用三元均值不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 24.答案：解：(1)以A 1为坐标原点，{A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，设直线EC 1与A 1B 所成角为θ，θ∈(0,π2],则各点坐标为A 1(0,0，0)，D(0,1，2)，E(0,12,1)，C 1(√3,1，0)，B(√3,0，2)，所以，EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,12,−1)，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，2)， 所以，cosθ=|EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√172×√7=2√119119．所以，直线EC 1与A 1B 所成角的余弦值为2√119119; (2)由题意，B(√3,0，2)，C(√3,1，2)，D 1(0,1，0)， 则A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，0)，因为F 为BC 中点，所以F(√3,12,2)，则A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√3,12,2)， 设平面FA 1D 1的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ·A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ·A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即{√3x +12y +2z =0y =0, 令x =2，则y =0，z =−√3，所以n⃗ =(2,0，−√3)是平面FA 1D 1的一个法向量， 由题(1)知，EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,12,−1)，所以cos <EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=n⃗⃗ ·EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |·|EC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =√3√7·√172=6√357119，所以直线EC 1与平面FA 1D 1所成角的正弦值为6√357119．解析：本题考查利用空间向量求解线面角，线线角，属于中档题．(1)以A 1为坐标原点，{A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量得出结果;(2)求得平面FA 1D 1的一个法向量为n ⃗ ，即可求出直线EC 1与平面FA 1D 1所成角的正弦值．25.答案：(1)见解析(2)见解析解析：【分析】(1)利用数学归纳法证明当x>−1且x≠0时，(1+x)p>1+px.(2)利用数学归纳法证明a n>a n+1>c 1 p．【详解】证明：(1)用数学归纳法证明如下．①当p=2时，(1+x)2=1+2x+x2>1+2x，原不等式成立．②假设p=k(k≥2,k∈N∗)时，不等式(1+x)k>1+kx成立．当p=k+1时，(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+ 1)x．所以当p=k+1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x>−1，x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1+x)p>1+px均成立．(2)先用数学归纳法证明an >c1p．①当n=1时，由题设知a1>c1p成立．②假设n=k(k≥1,k∈N∗)时，不等式ak >c1p成立．由a n+1=a n+a易知a n>0，n∈N∗．当n=k+1时，=+a=1+．由ak >c1p>0得−1<−<<0．由(1)中的结论得=>1+p·=．因此a>c，即ak+1>c1p，所以当n =k +1时，不等式an >c1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n，不等式an >c1p均成立．再由=1+可得<1，即a n+1<a n．综上所述，an >a n+1>c1p，n∈N∗．【点睛】(1)本题主要考查数学归纳法证明不等式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)不等式的证明常用的方法有比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法和反证法，要根据具体情况灵活选择．第21页，共21页。

如下示意图象：
如图有三个交点，
故选 A ．
点评： 考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．
8．（ 2014?海口二模）设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（ 2） =0，当 x＞ 0 时，有
恒
成立，则不等式 x2f（ x）＞ 0 的解集是（
）
A ．（ ﹣ 2， 0） ∪ （2， +∞）B ． （ ﹣2， 0） ∪ （ 0， 2） C． （﹣ ∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（ ﹣ ∞，﹣ 2） ∪ （ 0，2）
x 1， x 2 是方程
2
3x +2ax+b=0
的两根，从而关于
f （ x）的方程 3（ f（ x ））2+2af（ x ）
解答：
+b=0 有两个根，作出草图，由图象可得答案．
解：
f′（
x） =3x
2
+2ax+b
，
x
1，
x2
是方程
2
3x +2ax+b=0
的两根，不妨设
x 2＞x 1，
由 3（ f（ x ））2+2af（ x ） +b=0，则有两个 f （ x）使等式成立， x 1=f （ x1），x 2＞ x 1=f （ x1），
，
即
①．
设该直线交抛物线于 M （
由题意可知
，得
），则 C1 在点 M 处的切线的斜率为
．
，代入 M 点得 M （
）
把 M 点代入 ① 得：
．
解得 p= ．
故选 D． 点评： 本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的

高一数学教案五篇教案：教学文书教案：电力术语教案：明清来华传教士和教会的案件下面是我为大家整理的高一数学教案五篇，欢迎大家与参考，盼望对大家有所关心。

第1篇: 高一数学教案一、指导思想与理论依据数学是一门培育人的思维，进展人的思维的重要学科。

因此，在教学中，不仅要使同学"知其然'而且要使同学"知其所以然'。

所以在同学为主体，老师为主导的原则下，要充分揭示猎取学问和方法的思维过程。

因此本节课我以建构主义的"创设问题情境提出数学问题尝试解决问题验证解决方法'为主，主要采纳观看、启发、类比、引导、探究相结合的教学方法。

在教学手段上，则采纳多媒体帮助教学，将抽象问题形象化，使教学目标体现的更加完善。

二、教材分析三角函数的诱导公式是一般高中课程标准试验教科书（人教A版）数学必修四，第一章第三节的内容，其主要内容是三角函数诱导公式中的公式（二）至公式（六）。

本节是第一课时，教学内容为公式（二）、（三）、（四）。

教材要求通过同学在已经把握的任意角的三角函数的定义和诱导公式（一）的基础上，利用对称思想发觉任意角、终边的对称关系，发觉他们与单位圆的交点坐标之间关系，进而发觉他们的三角函数值的关系，即发觉、把握、应用三角函数的诱导公式公式（二）、（三）、（四）。

同时教材渗透了转化与化归等数学思想方法，为培育同学养成良好的学习习惯提出了要求。

为此本节内容在三角函数中占有特别重要的地位。

三、学情分析本节课的授课对象是本校高一（1）班全体同学，本班同学水平处于中等偏下，但本班同学具有擅长动手的良好学习习惯，所以采纳发觉的教学方法应当能轻松的完成本节课的教学内容。

四、教学目标（1）基础学问目标：理解诱导公式的发觉过程，把握正弦、余弦、正切的诱导公式；（2）力量训练目标：能正确运用诱导公式求任意角的正弦、余弦、正切值，以及进行简洁的三角函数求值与化简；（3）创新素养目标：通过对公式的推导和运用，提高三角恒等变形的力量和渗透化归、数形结合的数学思想，提高同学分析问题、解决问题的力量；（4）共性品质目标：通过诱导公式的学习和应用，感受事物之间的一般联系规律，运用化归等数学思想方法，揭示事物的本质属性，培育同学的唯物史观。

⾼中数学题库之导数与积分综合部分（百题尖⼦⽣⾼考数学分类汇编）⾼中数学题库之导数与积分综合部分（百题尖⼦⽣⾼考数学分类汇编）⼀、选择题（共30⼩题；共150分）1. 设函数f x=x e x，则A. x=1为f x的极⼤值点B. x=1为f x的极⼩值点C. x=?1为f x的极⼤值点D. x=?1为f x的极⼩值点2. 设f?x是函数f x的导函数，将y=f x和y=f?x的图象画在同⼀个直⾓坐标系中，不可能正确的是A. B.C. D.3. 函数f x的定义域为开区间a,b，导函数f?x在a,b内的图象如图所⽰，则函数f x在开区间a,b内有极⼩值点A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 设函数f x在R上可导，其导函数为f?x，且函数y=1?x f?x的图象如图所⽰，则下列结论中⼀定成⽴的是．A. 函数f x有极⼤值f2和极⼩值f1B. 函数f x有极⼤值f?2和极⼩值f1C. 函数f x有极⼤值f2和极⼩值f?2D. 函数f x有极⼤值f?2和极⼩值f25. 由曲线y=x，直线y=x?2及y轴所围成的图形的⾯积为A. 103B. 4 C. 163D. 66. 已知函数y=f?xx的图象如图所⽰（其中f?x是定义域为R的函数f x的导函数），则以下说法错误的是A. f?1=f??1=0B. 当x=?1时，函数f x取得极⼤值C. ⽅程xf?x=0与f x=0均有三个实数根D. 当x=1时，函数f x取得极⼩值7. 函数f x=x2?2x e x的图象⼤致是A. B.C. D.8. 函数f x =x 3+kx 2?7x 在区间 ?1,1 上单调递减，则实数k 的取值范围是A. ?∞,?2B. ?2,2C. ?2,+∞D. 2,+∞9. 已知奇函数f x 在R 上是增函数，g x =xf x ．若a =g ?log 25.1 ，b =g 20.8 ，c =g 3 ，则a ，b ，c 的⼤⼩关系为 A. a10. 设f x ，g x 在 a ,b 上可导，且f? x >g? x ，则当aA. f x >g xB. f xC. f x +g a >g x +f aD. f x +g b >g x +f b11. 若 x ?2xn的展开式中第2项与第4项的⼆项式系数相等，则直线y =nx 与曲线y =x 2围成的封闭区域的⾯积为A. 223B. 12C. 323D. 3612. 给出下列四个结论：① sin 2π0xdx =0；②命题“? x ∈R ，x 2?x >0”的否定是“? x ∈R ，x 2?x ≤0”；③“若am 2④集合A = x x ?2 + x ?3 <3 ，B = x x ?a 2<1 ，则“a ∈ 2,3 ”是“B ?A ”的充要条件．则其中正确结论的序号为 A. ①③B. ①②C. ②③④D. ①②④13. 已知函数f x =?π2x，g x =x cos x ?sin x ，当x ∈ ?3π,3π时，⽅程f x =g x 的根的个数是 A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 14. 若曲线f x =x 4?x 在点P 处的切线平⾏于直线3x ?y =0，则点P 的坐标为 A. ?1,2B. 1,?3C. 1,0D. 1,515. 过函数f x =13x 3?x 2图象上⼀个动点作函数的切线，则切线倾斜⾓的范围为A. 0,3π4 B. 0,π2 ∪ 3π4,π C. 3π4,πD. π2,3π416. 设函数f x=e x+x?2，g x=ln x+x2?3．若实数a，b满⾜f a=0，g b=0，则A. g a<0B. f b<0C. 0D. f b17. f x在x=x0处可导，则limΔx→0f x0+Δx?f x0ΔxA. 与x0，Δx有关B. 仅与x0有关，⽽与Δx⽆关C. 仅与Δx有关，⽽与x0⽆关D. 与x0，Δx均⽆关18. 已知函数f x=ax?1?x+2e?x+2恰有两个零点，则实数a的取值范围是A. a>0B. a≥?12C. ?12219. 已知直线ax?by?2=0与曲线y=x3在点P1,1处的切线互相垂直，则a b为A. 23B. ?23C. 13D. ?1320. 设函数f x=2x+ln x，则A. x=12为f x的极⼤值点 B. x=12为f x的极⼩值点C. x=2为f x的极⼤值点D. x=2为f x的极⼩值点21. 已知双曲线x2a2?y2b2=1a>0,b>0与函数y=x的图象交于点P，若函数y=x的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F?1,0，则双曲线的离⼼率为A. 5+12B. 5+22C. 3+12D. 3222. 函数f x=x3+ax2+a+6x+1在R上存在极值，则实数a的取值范围是A. ?3≤a≤6B. a≥6或a≤?3C. ?3D. a>6或a23. 设函数f x在R上的导函数为f?x，且2f x+xf?x>x2．下⾯的不等式在R上恒成⽴的是A. f x>0B. f x<0C. f x>xD. f x24. 已知集合A=x log4xB,使得x3=1?x2．则下列命题中为真命题的是A. p∧qB. ?p∧qC. p∧?qD. ?p∧?q25. 定义在R上的函数f x满⾜f4=1，f?x为f x的导函数．已知y=f?x的图象如图所⽰，若两个正数a，b满⾜f2a+b<1，则b+1a+1的取值范围是A. 15,13B. ?∞,13 ∪ 5,+∞C. 13,5D. ?∞,326. 已知在实数集R 上的可导函数f x ，满⾜f x +2 是奇函数，且1f? x>2，则不等式f x >12x ?1的解集是 A. ?∞,2B. 2,+∞C. 0,2D. ?∞,127. 集合M 由满⾜以下条件的函数f x 组成：对任意x 1,x 2∈ ?1,1 ，都有 f x 1 ?f x 2 ≤4 x 1?x 2 ．对于两个函数f 1 x =x 2?2x +5,f 2 x = x ,以下关系成⽴的是 A. f 1 x ∈M ,f 2 x ∈M B. f 1 x ?M ,f 2 x ?M C. f 1 x ?M ,f2 x ∈MD. f 1 x ∈M ,f 2 x ?M28. 设函数f x 满⾜x 2f? x +2xf x =e xx，f 2 =e 28，则x >0时f x A. 有极⼤值，⽆极⼩值 B. 有极⼩值，⽆极⼤值 C. 既有极⼤值⼜有极⼩值D. 既⽆极⼤值也⽆极⼩值29. 设函数f x 在R 上存在导函数f? x ，若对?x ∈R ，有f ?x +f x =x 2，且当x ∈ 0,+∞ 时，f? x >x ．若f 2?a ?f a ≥2?2a ，则a 的取值范围是A. ?∞,1B. 1,+∞C. ?∞,2D. 2,+∞30. 已知f? x 是奇函数f x 的导函数，f ?1 =0，当x >0时，xf? x ?f x >0，则使得f x >0成⽴的x 的取值范围是A. ?∞,?1 ∪ 0,1B. ?1,0 ∪ 1,+∞C. ?1,0 ∪ 0,1D. ?∞,?1 ∪ 1,+∞⼆、填空题（共30⼩题；共150分）31. 已知函数f x =x 3?3ax +b 的单调递减区间为 ?1,1 ，其极⼩值为2，则f x 的极⼤值是．32. 曲线y =e x 在x =0处的切线⽅程是 .33. 已知函数f x =2e x +12ax 2+ax +1有⼀个极值，则实数a 的取值范围为．34. 已知函数f x =ax ln x ,x ∈ 0,+∞ ，其中a 为实数，f? x 为f x 的导函数．若f? 1 =3，则a 的值为． 35. 函数f x =ln x x的单调递减区间是．36. 设x 0∈ a ,b ，y =f x 在x 0处可导是y =f x 在 a ,b 内可导的条件．37. 设a >0，若曲线y = x 与直线x =a ，y =0所围成封闭图形的⾯积为a 2，则a = ． 38. 函数y =x +2cos x 在区间 0,π2 上的最⼤值是． 39. 已知a =0πsin x+cos x d x ，则⼆项式 a x x6的展开式中含x 2项的系数是． 40. 曲线y =x 2与直线y =x 所围成的封闭图形的⾯积为．41. 已知函数p x =ln x +1，q x =e x ，若q x 1 =p x 2 成⽴，则x 2?x 1的最⼩值为．。

高中数学导数尖子生辅导（填选压轴）一．选择题（共30小题）1．（2013•文昌模拟）如图是f（x）=x3+bx2+cx+d的图象，则x12+x22的值是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的极值；函数的图象与图象变化．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：先利用图象得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x，求出其导函数，利用x1，x2是原函数的极值点，求出x1+x2=，，即可求得结论．解答：解：由图得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x，∴f'（x）=3x2﹣2x﹣2∵x1，x2是原函数的极值点所以有x1+x2=，，故x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2==．故选D．点评：本题主要考查利用函数图象找到对应结论以及利用导数研究函数的极值，是对基础知识的考查，属于基础题．2．（2013•乐山二模）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x3﹣1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（）A．α＞β＞γB．β＞α＞γC．γ＞α＞βD．β＞γ＞α考点：导数的运算．专题：压轴题；新定义．分析：分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值范围即可．解答：解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=3x2，由题意得：α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，①∵ln（β+1）=，∴（β+1）β+1=e，当β≥1时，β+1≥2，∴β+1≤＜2，∴β＜1，这与β≥1矛盾，∴0＜β＜1；②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0时等式不成立，∴3γ2＞0∴γ3＞1，∴γ＞1．∴γ＞α＞β．故选C．点评：函数、导数、不等式密不可分，此题就是一个典型的代表，其中对对数方程和三次方程根的范围的讨论是一个难点．3．（2013•山东）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．解答：解：由，得x2=2py（p＞0），所以抛物线的焦点坐标为F（）．由，得，．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知，得，代入M点得M（）把M点代入①得：．解得p=．故选D．点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．4．（2013•安徽）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f （x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（）A．3B．4C．5D．6考点：利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：由函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解得个数．解答：解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，∴△=4a2﹣12b＞0．解得=．∵x1＜x2，∴，．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，∴此方程有两解且f（x）=x1或x2．不妨取0＜x1＜x2，f（x1）＞0．①把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）﹣x1的图象，∵f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解．②把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象，∵f（x1）=x1，∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解．综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3个实数解．即关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的只有3不同实根．故选A．点评：本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程解得个数、平移变换等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．5．（2013•湖北）已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．解答：解：∵=lnx+1﹣2ax，（x＞0）令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．．①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=，∵x，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．∴x=是函数g（x）的极大值点，则＞0，即＞0，∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．∵，f′（x1）=lnx1+1﹣2ax1=0，f′（x2）=lnx2+1﹣2ax2=0．且f（x1）=x1（lnx1﹣ax1）=x1（2ax1﹣1﹣ax1）=x1（ax1﹣1）＜x1（﹣ax1）=＜0，f（x2）=x2（lnx2﹣ax2）=x2（ax2﹣1）＞=﹣．（）．故选D．点评：熟练掌握利用导数研究函数极值的方法是解题的关键．6．（2013•辽宁）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值考点：函数在某点取得极值的条件；导数的运算．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：先利用导数的运算法则，确定f（x）的解析式，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论．解答：解：∵函数f（x）满足，∴∴x＞0时，dx∴∴令g（x）=，则令g′（x）=0，则x=2，∴x∈（0，2）时，g′（x）＜0，函数单调递减，x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，函数单调递增∴g（x）在x=2时取得最小值∵f（2）=，∴g（2）==0∴g（x）≥g（2）=0∴≥0即x＞0时，f（x）单调递增∴f（x）既无极大值也无极小值故选D．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．7．（2013•安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af （x）+b=0的不同实根个数是（）A．3B．4C．5D．6考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；压轴题；导数的综合应用．分析：求导数f′（x），由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．解答：解：f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，不妨设x2＞x1，由3（f（x））2+2af（x）+b=0，则有两个f（x）使等式成立，x1=f（x1），x2＞x1=f（x1），如下示意图象：如图有三个交点，故选A．点评：考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．8．（2014•海口二模）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有恒成立，则不等式x2f（x）＞0的解集是（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）考点：函数的单调性与导数的关系；奇偶函数图象的对称性；其他不等式的解法．专题：综合题；压轴题．分析：首先根据商函数求导法则，把化为[]′＜0；然后利用导函数的正负性，可判断函数y=在（0，+∞）内单调递减；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（﹣∞，0）内的正负性．则x2f（x）＞0⇔f（x）＞0的解集即可求得．解答：解：因为当x＞0时，有恒成立，即[]′＜0恒成立，所以在（0，+∞）内单调递减．因为f（2）=0，所以在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以在（﹣∞，﹣2）内恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）内恒有f（x）＜0．又不等式x2f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．所以答案为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．故选D．点评：本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征．9．（2014•重庆三模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f′′（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=，则g（）+=（）A．2011 B．2012 C．2013 D．2014考点：导数的运算；函数的值；数列的求和．专题：压轴题；导数的概念及应用．分析：正确求出对称中心，利用对称中心的性质即可求出．解答：解：由题意，g′（x）=x2﹣x+3，∴g″（x）=2x﹣1，令g″（x）=0，解得，又，∴函数g（x）的对称中心为．∴，，…∴g（）+=2012．故选B．点评：正确求出对称中心并掌握对称中心的性质是解题的关键．10．（2014•上海二模）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）考点：导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题．分析：先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立”转换成当x＞0时，f'（x）≥2恒成立，然后利用参变量分离的方法求出a的范围即可．解答：解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立则当x＞0时，f'（x）≥2恒成立f'（x）=+x≥2在（0，+∞）上恒成立则a≥（2x﹣x2）max=1故选D．点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与划归的数学思想，属于基础题．11．（2012•桂林模拟）已知在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[﹣1，4]C．[﹣1，1]D．（﹣∞，1）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题．分析：要是一个分段函数在实数上是一个增函数，需要两段都是增函数且两个函数的交点处要满足递增，当x小于0时，要使的函数是一个减函数，求导以后导函数横小于0，注意两个端点处的大小关系．解答：解：∵要是一个分段函数在实数上是一个增函数．需要两段都是增函数且两个函数的交点处要满足递增，当x＜0时，y′=3x2﹣（a﹣1）＞0恒成立，∴a﹣1＜3x2∴a﹣1≤0∴a≤1，当x=0时，a2﹣3a﹣4≤0∴﹣1≤a≤4，综上可知﹣1≤a≤1故选C．点评：本题考查函数的单调性，分段函数的单调性，解题的关键是在两个函数的分界处，两个函数的大小关系一定要写清楚．12．（2012•河北模拟）定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）=1﹣（x﹣3）2，若函数f（x）的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则c等于（）A．1B．2C．1或2 D．4或2考点：利用导数研究函数的极值；抽象函数及其应用．专题：计算题；压轴题．分析：由已知可得分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，根据三点共线，则任取两点确定的直线斜率相等，可以构造关于c的方程，解方程可得答案．解答：解：∵当2≤x≤4时，f（x）=1﹣（x﹣3）2当1≤x＜2时，2≤2x＜4，则f（x）=f（2x）=[1﹣（2x﹣3）2]此时当x=时，函数取极大值当2≤x≤4时，f（x）=1﹣（x﹣3）2此时当x=3时，函数取极大值1当4＜x≤8时，2＜x≤4则f（x）=cf（x）=c（1﹣（x﹣3）2，此时当x=6时，函数取极大值c∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，即点（，），（3，1），（6，c）共线，∴解得c=1或2．故选C点评：本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．13．（2012•桂林模拟）设a∈R，函数f（x）=e x+a•e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（）A．l n2 B．﹣ln2 C．D．考点：简单复合函数的导数．专题：压轴题．分析：已知切线的斜率，要求切点的横坐标必须先求出切线的方程，我们可从奇函数入手求出切线的方程．解答：解：对f（x）=e x+a•e﹣x求导得f′（x）=e x﹣ae﹣x又f′（x）是奇函数，故f′（0）=1﹣a=0解得a=1，故有f′（x）=e x﹣e﹣x，设切点为（x0，y0），则，得或（舍去），得x0=ln2．点评：熟悉奇函数的性质是求解此题的关键，奇函数定义域若包含x=0，则一定过原点．14．（2012•太原模拟）已知定义在R上的函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且x∈（﹣∞，0）时，f （x）+xf′（x）＜0成立，（其中f′（x）是f（x）的导函数），a=（30.3）f（30.3），b=（logπ3）．f（logπ3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质；导数的乘法与除法法则．专题：计算题；压轴题．分析：由“当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立”知xf（x）是减函数，要得到a，b，c的大小关系，只要比较的大小即可．解答：解：∵当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立即：（xf（x））′＜0，∴xf（x）在（﹣∞，0）上是减函数．又∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，∴函数y=f（x）是定义在R上的奇函数∴xf（x）是定义在R上的偶函数∴xf（x）在（0，+∞）上是增函数．又∵=﹣2，2=．∴＞30.3•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3）即＞30.3•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3）即：c＞a＞b故选C．点评：本题考查的考点与方法有：1）所有的基本函数的奇偶性；2）抽象问题具体化的思想方法，构造函数的思想；3）导数的运算法则：（uv）′=u′v+uv′；4）指对数函数的图象；5）奇偶函数在对称区间上的单调性：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．本题结合已知构造出h（x）是正确解答的关键所在．15．（2012•广东模拟）已知f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f′（x）对于x∈R恒成立，且e为自然对数的底，则（）A．f（1）＞e•f（0），f（2012）＞e2012•f（0）B．f（1）＜e•f（0），f（2012）＞e2012•f（0）C．f（1）＞e•f（0），f（2012）＜e2012•f（0）D．f（1）＜e•f（0），f（2012）＜e2012•f（0）考点：导数的运算．专题：计算题；压轴题．分析：构造函数y=的导数形式，并判断增减性，从而得到答案．解答：解：∵f（x）＜f'（x）从而f'（x）﹣f（x）＞0 从而＞0即＞0，所以函数y=单调递增，故当x＞0时，=f（0），整理得出f（x）＞e x f（0）当x=1时f（1）＞e•f（0），当x=2012时f（2012）＞e2012•f（0）．故选A．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的关系，函数单调性的关系，考查转化、构造、计算能力．16．（2012•无为县模拟）已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），，若有穷数列（n∈N*）的前n项和等于，则n等于（）A．4B．5C．6D．7考点：导数的运算；数列的求和．专题：压轴题．分析：利用导数研究函数的单调性得到a的范围，再利用等比数列前n项和公式即可得出．解答：解：∵=，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），∴=＜0，即函数单调递减，∴0＜a＜1．又，即，即，解得a=2（舍去）或．∴，即数列是首项为，公比的等比数列，∴==，由解得n=5，故选B．点评：熟练掌握导数研究函数的单调性、等比数列前n项和公式是解题的关键．17．（2012•福建）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；②f（x2）在[1，]上具有性质P；③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]其中真命题的序号是（）A．①②B．①③C．②④D．③④考点：利用导数求闭区间上函数的最值；抽象函数及其应用；函数的连续性．专题：压轴题；新定义．分析：根据题设条件，分别举出反例，说明①和②都是错误的；同时证明③和④是正确的．解答：解：在①中，反例：f（x）=在[1，3]上满足性质P，但f（x）在[1，3]上不是连续函数，故①不成立；在②中，反例：f（x）=﹣x在[1，3]上满足性质P，但f（x2）=﹣x2在[1，]上不满足性质P，故②不成立；在③中：在[1，3]上，f（2）=f（）≤，∴，故f（x）=1，∴对任意的x1，x2∈[1，3]，f（x）=1，故③成立；在④中，对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有=≤≤=[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，∴[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，故④成立．故选D．点评：本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误时，只需举出反例即可．说明一个结论正确时，要证明对所有的情况都成立．18．（2013•文昌模拟）设动直线x=m与函数f（x）=x3，g（x）=lnx的图象分别交于点M、N，则|MN|的最小值为（）A．B．C．D．l n3﹣1考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；压轴题．分析：构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），求出导函数，令导函数大于0求出函数的单调递增区间，令导函数小于0求出函数的单调递减区间，求出函数的极小值即最小值．解答：解：画图可以看到|MN|就是两条曲线间的垂直距离．设F（x）=f（x）﹣g（x）=x3﹣lnx，求导得：F'（x）=．令F′（x）＞0得x＞；令F′（x）＜0得0＜x＜，所以当x=时，F（x）有最小值为F（）=+ln3=（1+ln3），故选A点评：求函数的最值时，先利用导数求出函数的极值和区间的端点值，比较在它们中求出最值．19．（2011•枣庄二模）设f′（x）是函数f（x）的导函数，有下列命题：①存在函数f（x），使函数y=f（x）﹣f′（x）为偶函数；②存在函数f（x）f′（x）≠0，使y=f（x）与y=f′（x）的图象相同；③存在函数f（x）f′（x）≠0使得y=f（x）与y=f′（x）的图象关于x轴对称．其中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3考点：导数的运算；函数奇偶性的判断．专题：计算题；压轴题．分析：对于三个命题分别寻找满足条件的函数，三个函数分别是f（x）=0，f（x）=e x，f（x）=e﹣x，从而得到结论．解答：解：存在函数f（x）=0，使函数y=f（x）﹣f′（x）=0为偶函数，故①正确存在函数f（x）=e x，使y=f（x）与y=f′（x）的图象相同，故②正确存在函数f（x）=e﹣x使得y=f（x）与y=f′（x）的图象关于x轴对称，故③正确．故选D．点评：本题主要考查了函数的奇偶性以及函数图象的对称性，解题的关键就是寻找满足条件的函数，属于基础题．20．（2011•武昌区模拟）已知f（x）是定义域为R的奇函数，f（﹣4）=﹣1，f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（a+2b）＜1，则的取值范围是（）A．B．C．（﹣1，10）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数的单调性与导数的关系；斜率的计算公式．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：先由导函数f′（x）是过原点的二次函数入手，再结合f（x）是定义域为R的奇函数求出f（x）；然后根据a、b的约束条件画出可行域，最后利用的几何意义解决问题．解答：解：由f（x）的导函数f′（x）的图象，设f′（x）=mx2，则f（x）=+n．∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，即n=0．又f（﹣4）=m×（﹣64）=﹣1，∴f（x）=x3=．且f（a+2b）=＜1，∴＜1，即a+2b＜4．又a＞0，b＞0，则画出点（b，a）的可行域如下图所示．而可视为可行域内的点（b，a）与点M（﹣2，﹣2）连线的斜率．又因为k AM=3，k BM=，所以＜＜3．故选B．点评：数形结合是数学的基本思想方法：遇到二元一次不定式组要考虑线性规划，遇到的代数式要考虑点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．这都是由数到形的转化策略．21．（2011•雅安三模）下列命题中：①函数，f（x）=sinx+（x∈（0，π））的最小值是2；②在△ABC 中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰或直角三角形；③如果正实数a，b，c满足a + b＞c则+＞；④如果y=f（x）是可导函数，则f′（x0）=0是函数y=f（x）在x=x0处取到极值的必要不充分条件．其中正确的命题是（）A．①②③④B．①④C．②③④D．②③考点：函数在某点取得极值的条件；不等关系与不等式；三角函数中的恒等变换应用．专题：常规题型；压轴题．分析：根据基本不等式和三角函数的有界性可知真假，利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos（A+B）=0或sin（A﹣B）=0，推断出A+B=或A=B，则三角形形状可判断出．构造函数y=，根据函数的单调性可证得结论；由函数极值点与导数的关系，我们易判断对错．解答：解：①f（x）=sinx+≥2，当sinx=时取等号，而sinx的最大值是1，故不正确；②∵sin2A=sin2B∴sin2A﹣sin2B=cos（A+B）sin（A﹣B）=0∴cos（A+B）=0或sin（A﹣B）=0∴A+B=或A=B∴三角形为直角三角形或等腰三角形，故正确；③可构造函数y=，该函数在（0．+∞）上单调递增，a+b＞c则+＞，故正确；④∵f（x）是定义在R上的可导函数，当f′（x0）=0时，x0可能f（x）极值点，也可能不是f（x）极值点，当x0为f（x）极值点时，f′（x0）=0一定成立，故f′（x0）=0是x0为f（x）极值点的必要不充分条件，故④正确；故选C．点评：考查学生会利用基本不等式解题，注意等号成立的条件，同时考查了极值的有关问题，属于综合题．22．（2011•万州区一模）已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数）在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值是（）A．﹣37 B．﹣29 C．﹣5 D．以上都不对考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：常规题型；压轴题．分析：先求导数，根据单调性研究函数的极值点，在开区间（﹣2，2）上只有一极大值则就是最大值，从而求出m，通过比较两个端点﹣2和2的函数值的大小从而确定出最小值，得到结论．解答：解：∵f′（x）=6x2﹣12x=6x（x﹣2），∵f（x）在（﹣2，0）上为增函数，在（0，2）上为减函数，∴当x=0时，f（x）=m最大，∴m=3，从而f（﹣2）=﹣37，f（2）=﹣5．∴最小值为﹣37．故选：A点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b）比较而得到的，属于基础题．23．（2010•河东区一模）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（2）=0，当x＞0时有，则不等式x2•f（x）＞0的解集是（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，2）∪（2，+∞）考点：函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质．专题：计算题；压轴题．分析：首先根据商函数求导法则，把化为[]′＜0；然后利用导函数的正负性，可判断函数y=在（0，+∞）内单调递减；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（﹣∞，0）内的正负性．则x2f（x）＞0⇔f（x）＞0的解集即可求得．解答：解：因为当x＞0时，有恒成立，即[]′＜0恒成立，所以在（0，+∞）内单调递减．因为f（2）=0，所以在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以在（﹣∞，﹣2）内恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）内恒有f（x）＜0．又不等式x2f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．所以答案为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．故选B．点评：本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征．24．（2010•惠州模拟）给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）=（f′（x））′，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（）A．f（x）=sinx+cosx B．f（x）=lnx﹣2x C．f（x）=﹣x3+2x﹣1 D．f（x）=﹣xe﹣x考点：利用导数研究函数的单调性．专题：压轴题．分析：对ABCD分别求二次导数，逐一排除可得答案．解答：解：对于f（x）=sinx+cosx，f′（x）=cosx﹣sinx，f″（x）=﹣sinx﹣cosx，当x∈时，f″（x）＜0，故为凸函数，排除A；对于f（x）=lnx﹣2x，f′（x）=，f″（x）=﹣，当x∈时，f″（x）＜0，故为凸函数，排除B；对于f（x）=﹣x3+2x﹣1，f′（x）=﹣3x2+2，f″（x）=﹣6x，当x∈时，f″（x）＜0，故为凸函数，排除C；故选D．点评：本题主要考查函数的求导公式．属基础题．25．（2010•黄冈模拟）已知f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f′（x）对于x∈R恒成立，则（）A．f（2）＞e2f（0），f（2010）＞e2010f（0）B．f（2）＜e2f（0），f（2010）＞e2010f（0）C．f（2）＞e2f（0），f（2010）＜e2010f（0）D．f（2）＜e2f（0），f（2010）＜e2010f（0）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：压轴题．分析：先转化为函数y=的导数形式，再判断增减性，从而得到答案．解答：解：∵f（x）＜f'（x）从而f'（x）﹣f（x）＞0 从而＞0从而＞0 从而函数y=单调递增，故x=2时函数的值大于x=0时函数的值，即所以f（2）＞e2f（0）．同理f（2010）＞e2010f（0）；故选A．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．26．（2010•龙岩二模）已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，f（x）g （x）=a x，f（1）g（1）+f（﹣1）g（﹣1）=．在区间[﹣3，0]上随机取一个数x，f（x）g（x）的值介于4到8之间的概率是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性；几何概型．专题：计算题；压轴题．分析：根据函数积的导数公式，可知函数f（x）g（x）在R上是减函数，根据f（x）g（x）=a x，f（1）g（1）+f （﹣1）g（﹣1）=．我们可以求出函数解析式，从而可求出f（x）g（x）的值介于4到8之间时，变量的范围，利用几何概型的概率公式即可求得．解答：解：由题意，∵f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0，∴[f（x）g（x）]'＜0，∴函数f（x）g（x）在R上是减函数∵f（x）g（x）=a x，∴0＜a＜1∵f（1）g（1）+f（﹣1）g（﹣1）=．∴∴∵f（x）g（x）的值介于4到8∴x∈[﹣3，﹣2]∴在区间[﹣3，0]上随机取一个数x，f（x）g（x）的值介于4到8之间的概率是故选A．点评：本题的考点是利用导数确定函数的单调性，主要考查积的导数的运算公式，考查几何概型，解题的关键是确定函数的解析式，利用几何概型求解．27．（2010•成都一模）已知函数在区间（1，2）内是增函数，则实数m的取值范围是（）A．B．C．（0，1]D．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：压轴题．分析：首先求出函数的导数，然后根据导数与函数增减性的关系求出m的范围．解答：解：由题得f′（x）=x2﹣2mx﹣3m2=（x﹣3m）（x+m），∵函数在区间（1，2）内是增函数，∴f′（x）＞0，当m≥0时，3m≤1，∴0≤m≤，当m＜0时，﹣m≤1，∴﹣1≤m＜0，∴m∈[﹣1，]．故选D．点评：掌握函数的导数与单调性的关系．28．（2009•安徽）设函数f（x）=x3+x2+tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′（1）的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[，]C．[，2]D．[，2]考点：导数的运算．专题：压轴题．分析：利用基本求导公式先求出f′（x），然后令x=1，求出f′（1）的表达式，从而转化为三角函数求值域问题，求解即可．解答：解：∵f′（x）=sinθ•x2+cosθ•x，∴f′（1）=sinθ+cosθ=2sin（θ+）．∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]．∴sin（θ+）∈[，1]．∴2sin（θ+）∈[，2]．故选D．点评：本题综合考查了导数的运算和三角函数求值域问题，熟记公式是解题的关键．29．（2009•天津）设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，下面的不等式在R内恒成立的是（）A．f（x）＞0 B．f（x）＜0 C．f（x）＞x D．f（x）＜x考点：导数的运算．专题：压轴题．分析：对于这类参数取值问题，针对这些没有固定套路解决的选择题，最好的办法就是排除法．解答：解：∵2f（x）+xf′（x）＞x2，令x=0，则f（x）＞0，故可排除B，D．如果f（x）=x2+0.1，时已知条件2f（x）+xf′（x）＞x2成立，但f（x）＞x 未必成立，所以C也是错的，故选A故选A．点评：本题考查了运用导数来解决函数单调性的问题．通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力．30．（2009•陕西）设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x n的值为（）A．B．C．D．1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率．专题：计算题；压轴题．分析：欲判x1•x2•…•x n的值，只须求出切线与x轴的交点的横坐标即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．解答：解：对y=x n+1（n∈N*）求导得y′=（n+1）x n，令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=k（x n﹣1）=（n+1）（x n﹣1），不妨设y=0，则x1•x2•x3…•x n=××，故选B．点评：本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究曲线上某点切线方程、数列等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．高中数学导数尖子生辅导（解答题）一．解答题（共30小题）1．（2014•遵义二模）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间；（2）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．解答：解：（I）令g（x）=2x2+2x+a，其对称轴为．由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，其充要条件为，得（1）当x∈（﹣1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x1）内为增函数；（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；（II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x22+2x2）∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22﹣（2x22+2x2）ln（1+x2）设，则h'（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x）（1）当时，h'（x）＞0，∴h（x）在单调递增；（2）当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减．∴故．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于基础题．2．（2014•武汉模拟）己知函数f（x）=x2e﹣x（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；根据实际问题选择函数类型；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；压轴题；转化思想；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用导数的运算法则即可得出f′（x），利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义，即可求出函数的极值；（Ⅱ）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求出与x轴交点的横坐标，再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x2e﹣x，∴f′（x）=2xe﹣x﹣x2e﹣x=e﹣x（2x﹣x2），令f′（x）=0，解得x=0或x=2，令f′（x）＞0，可解得0＜x＜2；令f′（x）＜0，可解得x＜0或x＞2，故函数在区间（﹣∞，0）与（2，+∞）上是减函数，在区间（0，2）上是增函数．∴x=0是极小值点，x=2极大值点，又f（0）=0，f（2）=．故f（x）的极小值和极大值分别为0，．（II）设切点为（），则切线方程为y﹣=（x﹣x0），令y=0，解得x==，因为曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数，∴（＜0，∴x0＜0或x0＞2，令，则=．①当x0＜0时，0，即f′（x0）＞0，∴f（x0）在（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x0）＜f（0）=0；②当x 0＞2时，令f′（x0）=0，解得．当时，f′（x0）＞0，函数f（x0）单调递增；当时，f′（x0）＜0，函数f（x0）单调递减．故当时，函数f（x 0）取得极小值，也即最小值，且=．综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是（﹣∞，0）∪．点评：本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域，综合性强，考查了推理能力和计算能力．3．（2014•四川模拟）已知函数f（x）=lnx+x2．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a＞1，h（x）=e3x﹣3ae x x∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；（Ⅲ）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．问：函数F（x）在点（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．考点：函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；压轴题；导数的概念及应用．分析：（Ⅰ）先根据题意写出：g（x）再求导数，由题意知，g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，即由此即可求得实数a的取值范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用换元法令t=e x，则t∈[1，2]，则h（t）=t3﹣3at，接下来利用导数研究此函数的单调性，从而得出h（x）的极小值；（Ⅲ）对于能否问题，可先假设能，即设F（x）在（x0，F（x0））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx ﹣x2﹣kx结合题意，列出方程组，证得函数在（0，1）上单调递增，最后出现矛盾，说明假设不成立，即切线不能否平行于x轴．。

• 数学1：集合、函数概念与基本初等函数I （指数函数、对数函数、幂函数）。 • 数学2：立几初步、平几初步。 • 数学3：算法初步、统计、概率。 • 数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面上 的向量、三角恒等变换。 • 数学5：解三角形、数列、不等式。
选修课程 • 系列1， • 系列2， • 系列3， • 系列4。
▲系列4：由10个专题组成。 选修4-1：几何证明选讲。 选修4-2：矩阵与差分。 选修4-3：数列与差分。 选修4-4：坐标系与参数方程。 选修4-5：不等式选讲。 选修4-6：初等数论初步。 选修4-7：优选法与试验设计初步。 选修4-8：统筹法与图论初步。 选修4-9：风险与决策。 选修4-10：开关电路与布尔代数。
●
▲系列1：由2个模块组成(文科)
• 选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线 与方程、导数及其应用。
• 选修1-2：统计案例、推理与证明、 数系的扩充与复数的引入、框图。
▲系列2：由3个模块组成(理科)
• 选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方 程、空间中的向量与立体几何。
• 选修2-2：导数及其应用、推理与证明、 数系的扩充与复数的引入。
感想: 学为人师，行为世范
曾有三所高校以优越的条件调孙维刚
去任教，他不为所动；领导多次安排重要
岗位给他升迁的机会，他痛快地拒绝了。
出去作报告，他总会说，２２中是他成长
的沃土，“孙维刚教改实验”是一项集体 教育实验。
感想:
在他的追悼会上，播放的也 不是哀乐，而是他生前最喜欢
的《莫斯科郊外的晚上》。因
初高中数学衔接内容
6. 解方程组 7. 判别式和韦达定理
8. 中点坐标和两点间距离
9. 三人”二次” 10. “一次分式”函数

万唯数学初二尖子生和压轴题初二是学生数学学习的关键时期，也是为高中数学打下坚实基础的阶段。

在这个阶段，有一些学生因为天赋或者学习态度出众，被称为尖子生。

他们在数学学习中表现突出，思维敏捷，能够迅速解决复杂的数学问题。

而作为数学教育机构的代表，万唯数学为初二尖子生们设计了一套特别的数学题目，旨在挑战他们的数学思维，提高他们的解题能力。

同时，为了更好地检验学生的数学水平，万唯数学还为他们准备了压轴题。

初二尖子生题目是根据学生的数学水平和能力量身定制的。

这些题目包含了初二数学课程的各个知识点，题目的难度相对较高，要求学生具备较高的解题能力。

这些题目不仅能够帮助学生巩固基础知识，还能够提高学生的思维能力和解题技巧。

学生们在解答这些题目的过程中，需要灵活运用各种数学方法和技巧，通过多种途径解决问题。

这样的训练不仅可以帮助学生培养解题的能力，还能够培养学生的逻辑思维能力和创新精神。

压轴题是万唯数学为初二尖子生们准备的最后一道难题。

这道题目的难度非常大，不仅需要学生具备扎实的数学基础，还需要学生具备非常高的解题能力和思维能力。

这道题目通常是综合性的，涉及多个数学知识点，需要学生在有限的时间内快速解答出来。

这样的题目对学生的综合素质和解题能力提出了更高的要求，考察了学生的逻辑思维能力、数学思维能力和解题的能力。

解决这道题目的过程，可以让学生更好地理解数学的本质和数学知识的联系，培养学生的创新思维和解决问题的能力。

通过解答初二尖子生题目和压轴题，学生能够更好地巩固数学知识，提高解题能力。

这些题目的设置能够激发学生的学习兴趣，培养学生对数学的热爱和探索精神。

同时，这些题目的解答过程也是学生思维锻炼的过程，能够培养学生的逻辑思维能力、创新思维能力和解决问题的能力。

初二尖子生和压轴题的设计，不仅考察了学生的数学水平，也培养了学生的综合素质和解题能力。

总之，万唯数学为初二尖子生们设计的题目能够挑战他们的数学思维，提高他们的解题能力。