利用_几何画板_辅助_两条异面直线所成的角_的教学

“异面直线所成的角”（第二课时）教学设计双流中学数学组 邱国界教材分析：异面直线及异面直线的夹角这一节设置为两课时，这是第二课时的教学设计．异面直线的夹角是由两条相交直线的夹角扩充而生成的，由平移原理可知，当两条异面直线在空间的位置确定后，它们的夹角的大小也就随之确定了．这对于初学立体几何的学生来说，是较难理解的，对“异面直线还有夹角”这一概念感到陌生和新鲜，是学习的一个难关．教学中应通过现实生活中的例子，说明如何抽象出异面直线的夹角概念．强调异面直线的夹角的存在性和学习的必要性．异面直线的夹角的范围是000~90，不含00．最后，通过教科书中正方体的练习，逐步深入理解异面直线及其夹角，使学生较好地掌握这一内容．要计算异面直线a b 、的夹角的大小，必须通过平移转化为相交直线''a b 、的夹角．如何实现“转化”是学习中的一个难关．根据异面直线夹角的定义，在空间任取一点O 实现转化固然可以，而在实际操作中，可将点O 取在a 或b 上．两条异面直线互相垂直，即它们的夹角是直角，这是两条直线是异面直线时的一种特殊位置情况．应向学生指出：今后如果说两条直线互相垂直，它们可能相交，也可能异面．对于本节的学习，仍然应注意概念的形成过程，让学生去完成意义建构，而决不单纯以记忆结论为目的，要注重空间想象能力的形成过程，并有意识地加以引导、培养.教学目标：1、知识目标：（1）掌握异面直线所成角的概念；（2）能求出一些较特殊的异面直线所成的角； （3）了解异面直线垂直． 2、能力目标：（1）空间能力的进一步形成； （2）平面向空间的推广能力； （3）空间向平面的转化能力．3、情感目标：通过理论与实际的结合，培养学生实事求是的态度；同时在实际生活中不断发现问题，解决问题，培养学生的创新精神，为自己的人生垫定扎实的基础．学情分析：学生已有知识：空间四大公理、等角定理、异面直线的概念与判断；已有能力：立体空间的想象、抽象思维能力（但这种能力欠缺）；情感定位：初步接触立体几何，有较强的兴趣，对一门新的数学分支充满了激情．教学重点：异面直线所成的角概念的形成及应用教学难点：异面直线所成的角的发现与概念形成，将异面直线所成角转化为平面角 授课类型：新授课授课方式：探索法、引导法、讨论法教法设计：创设问题的现实情境，通过启发、引导学生发现异面直线所成的角的存在性，通过由特殊到一般、从具体到抽象，培养学生观察、分析、归纳、抽象、概括等逻辑思维能力与空间想象课时安排：1课时教 具：FLASH多媒体课件、实物投影仪、实物教具 教学过程： 一、创设情境：多媒体课件给出嫦娥奔月的轨迹图，通过动画说明空间中异面直线的方向存在差异，也即空间异面直线的“角度”的存在性，即本节课的课题：异面直线所成的角（异面直线的夹角）．（设计意图：建构主义教学模式在高中数学中的力能否吸引到教学内容上的关键所在．嫦娥奔月刚刚成功，中国人所拍摄的第一幅月球照片也刚刚公布，这是中国人的骄傲，也是每个中国人所熟知的事情，也是这段时间人们谈论最多的话题，因此，以此为情境引入，能一下抓住学生的注意力，激发学生的学习热情，引导学生积极主动地参与学习、思考．）二、新知形成过程：1、质疑一：平移会改变这两条异面直线原有的方向吗？2、质疑二：怎样度量异面直线的方向的差异呢？3、质疑三：相交直线中，选取哪个角作为度量结果呢？4、质疑四：两直线交点的位置会影响这个度量值吗？5、提问：你可以怎样定义异面直线夹角呢？（设计意图：这一版块属于建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概念课中的教性学习是一种以问题为载体、以主动探究为特征的学习活动，是学生在教师的指导下在学习和社会生活中自主地发现问题、探究问题、获得结论的过程．在这个环节中，既让学生独立思考与学习，同时也采用协作学习的方式来解决所提出的问题，最后形成异面直线夹角的概念．问题5的提出就目的是培养学生的归纳总结能力，并体会到学习的乐趣．）三、形成新知：1、形成异面直线所成角的定义．异面直线所成的角：已知两条异面直线a b 、，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，''a b 、所成的角的大小与点O 的选择无关，我们把''a b 、所成的锐角（或直角）叫异面直线a b 、所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在两条异面直线中的一条上．2、异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线a b 、 垂直，记作a b ⊥．两直线垂直含异面垂直与共面垂直．3、两条异面直线所成角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦． （设计意图：异面直线概念的得出在前面三步的进行下也就成了顺理成章的事了，只有用严格的数学语言来对一个知识下了定义才能方便我们对该知识的使用，也正是将一个数学概念顺理成章的学生自己构建在了自己的已有的知识体系中，这正是建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概四、新知应用：正方体ABCD A B C D ''''-中： （1）求直线AB 与B C ''夹角的度数；（2）求直线BA '与CC '夹角的度数； （3）求直线BA '与'AD 夹角的度数． 学生活动：讨论、思考、求解；教师活动：参与讨论共同解决；强调解题的思维与书写步骤的完整．解：（1）由//B C BC ''，可知ABC ∠等于异面直线AB 与B C ''的夹角，易知ABC ∠=090，所以异面直线AB 与B C ''的夹角为90；（2）由//BB CC ''，可知B BA ''∠等于异面直线BA '与CC '的夹角，所以异面直线BA '与CC '的夹角为45；（3）连结',''BC A C ，则'//'AD B C ，则''C BA ∠等于异面直线BA '与'AD 的夹角，易知''A BC ∆为正三角形，所以异面直线BA '与'AD 的夹角为60． 形成能力：1、点O 通常取为两条异面直线中的一条线段的端点或中点；2、求异面直线所成的角的方法： （1）平移直线相交——作； （2）确定角——证； （3）求解角——求．D'C'B'A'DCBA（了能解题，能用，在解题中体会概念的精妙之处，在用中反思概念的合理性．独立思考与合作学习，既发挥了个人的能力也共享了集体的智慧，让每个学生在学习过程中都学有所长，愉快地学习；在建构主义理论下，以任何一种学习模式组织教学，都有一个学习效果的评价，其中包括是否完成对所学知识的意义建构，即是说学以致用，异面直线的夹角来源于生活，形成了数学概念，同时还要回到生活中去，能解决实际问题．故设计的这组练习题是检查学生对异面直线的夹角的掌握情况的，同时也是对异面直线夹角概念的巩固．）六、巩固提高：1、教材16P 练习题第4题：如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中：（1）哪些棱所在直线与直线'AA 成异面直线且互相垂直？ （2）已知'1AB AA ==，求异面直线'BA 与'CC 所成角的度数．2、空间四边形ABCD 中，AD BC ==，,E F 分别是,AB CD 的中点，6EF =，求异面直线AD 与BC 所成的角．注：此题所给的解法是利用余弦定理求解，这是常用也是通用方法，称为解三角形，而此题数据特殊，EGF ∆为等腰三角形，故也可在直角三角形中求解EGF ∠的大小．解：取AC 中点G ，连结,,EG FG EF ，∵,E F 分别是,AB CD 的中点，∴//,//,EG BC FGAD 且1122EG BC FG AD ==== ∴异面直线,AD BC 所成的角即为,EG FG 所成的角，在EGF ∆中，2221cos 22EG FG EF EGF EG FG +-∠==-⋅， ∴120EGF ∠=，异面直线,AD BC 所成的角为60． 形成能力：(1)异面直线所成的角是锐角或直角，当EGF ∆内角EGF ∠是钝角时，则异面直线AD BC 、所成的角是它的补角．(2)此题在平移时用到的是“双移”，手段是利用三角形中位线与底边平行，从而达到平移直线的目的．（3）在平移直线时，合理选择平移点→确定平面→找、移或连．（设计意图：对一个概念的真正撑握必然是经过反复再反复的过程，在实践中把握本质，故在此GFED CBAD'C'B'A'DC B A设计了这个环节．概念不变，但题目千变万化，在这个问题上，采用随机进入式教学；由于事物的复杂性和问题的多面性，要做到对事物内在性质和事物之间相互联系的全面了解和掌握、即真正达到对所学知识的全面而深刻的意义建构是很困难的．往往从不同的角度考虑可以得出不同的理解．为克服这方面的弊病，在教学中就要注意对同一教学内容，要在不同的时间、不同的情境下、为不同的教学目的、用不同的方式加以呈现．换句话说，学习者可以随意通过不同途径、不同方式进入同样教学内容的学习，从而获得对同一事物或同一问题的多方面的认识与理解．让学生思考、探索、讨论，获得多种解题思路，再展现出来，教师引导完成解法，并比较各种做法的差异与优缺点，从而提升学生的题解能力．）七、小结升华：本节课你有什么收获？异面直线夹角的概念及用平移的方法求异面直线所成的角，步骤是：作、证、算；异面直线夹角是二维到三维的推广，而求解异面直线夹角是三维向二维的转化．（设计意图：识升华，最终完成知识建构的重要环节，课后延伸可帮助学生建立自己的知识网络，对本节课起到辅助与延伸的作用，在建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概念课中的教学模式中必不可少．）八、课后巩固：1、教材16P 习题第6、7题．2、（选做）在长方体D C B A ABCD '''-中，4AB =，2BC =，'2AA =，求异面直线B D '与AC 所成的角的余弦值．九、板书设计十、教学反思 （见前面网页处）D'C'B'A'DCBA。

河南省优质课教案《两条异面直线所成的角》濮阳市第一高级中学罗永进20XX年9月9.2两条异面直线所成的角[教学目的]：1、知识目标：理解空间两异面直线所成角的定义、范围，并会作出、求出两异面直线所成角。

2、能力目标：培养学生的识图、作图能力、在习题讲解中，培养学生的空间想象能力以及解决问题和分析问题的能力。

3、情感目标：在对学生进行创造性思维培养的同时，激发学生对科学文化知识的探求热情和逻辑清晰的辩证主义观点。

[教学重点和难点]：教学重点：对异面直线所成角的定义的理解和应用。

教学难点：如何在实际问题中求出异面直线所成的角。

[课时安排]：共一课时[教学过程]：一、新课引入利用多媒体课件引入新课：两异面直线所成的角二、讲授新课（一）、异面直线所成的角的定义1、实验：一张纸上画有两条能相交的直线ａ、ｂ（但交点在纸外）．现给你一副三角板和量角器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上的线段，问如何能量出ａ、ｂ所成的角的大小？2、实验：现在有两条异面直线ａ、ｂ，它们之间有一定的角度关系，你用什么方法可以度量它们的角度。

3、异面直线所成的角的定义已知异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别作a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角．问题1：过点O引a′∥a和b′∥b的方法和依据是什么？问题2：由于点O可以任意选取，那么按此方法做出的角能有多少个？它们的大小有什么关系？注意：（1）异面直线所成的角只和两条异面直线的位置有关，而和点O 位置的选择无关。

（2）注意把握异面直线所成角的范围，即0°＜α≤90°（3）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。

今后再说两条直线互相垂直时，它们可能相交，也可能异面。

（二）异面直线所成角的求法[典例剖析]：例题1：如图：表示正方体1111D C B A ABCD -，求异面直线11CC BA 和所成的角。

异面直线所成的角的方法归纳(1)求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识(余弦定理、正弦定理、射线定理(cosQ = cos0cos0))求解，整个求解过程可概括为：一找二证三求。

(2)求异面直线所成角的步骤：%1选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置斩点。

%1求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。

%1因为异面直线所成的角。

的范围是0° VOW90。

，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。

3、“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

4、利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。

g方法总结：直接平移法、中位线平移、补形平移法、向量法例：长方体ABCD—AiBiGD 1 中，若AB=BC=3, AA1=4,求异面直线B]D与BCi所成角的大小。

选题意图，通过该题，让学生进一步理解异面直线所成角的概念, 熟练掌握异面直线所成角的求法。

分析：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。

解法一：如图①连结BiC交BCi于0,过0图①DF*,点作OE 〃DBi ，则ZBOE 为所求的异面直线DB|与BQ 所成的角。

连 结 EB,由已矢OW B )D= 734 , BC!=5, BE=^ , A cos ZB0E=^^ Z.2170/Dnr?— 7V34 / BOE= arc cos ---170解法二：如图②，连DB 、AC 交于。

点，过0点作OE 〃DB“过E 点 作EF 〃CB,则匕OEF 或其补角就是两异面直线所成的角，过。

点作0M 〃 DC ,连结MF 、OFo 则 0F 二遮，cos Z20EF=-嘤，.•・异面直线BJ)与BG 所成的角为1707^34arc cos ------ 。

"湖南师范大学附属中学高三数学总复习教案：两条异面直线所成的角 "教学目标1．记忆并理解余弦定理；2．应用余弦定理来求异面直线所成的角．教学重点和难点这节课的重点是以异面直线所成的角的概念为指导作出相应的角，然后用余弦定理解这个角所在的三角形求出这个角的余弦．这节课的难点是使学生初步理解当cosθ＞0时，0°＜θ＜90°，当cosθ=0时，θ=90°，当cosθ＜0时，90°＜θ＜180°．教学设计过程一、余弦定理师：余弦定理有哪两种表述的形式？它们各有什么用途？生：余弦定理有两种表述的形式，即：a2=b2＋c2-2bccos Ab2=c2+a2-2cacos Bc2=a2＋b2-2abcos C第一种形式是已知两边夹角用来求第三边，第二种形式是已知三边用来求角．师：在立体几何中我们主要用余弦定理的第二种形式，即已知三角形的三边来求角．在余弦定理的第二个形式中，我们知道b2＋c2可以等于a2；也可以小于a2；也可以大于a2．那么，我们想当b2+c2=a2时，∠A等于多少度？为什么？生：当b 2＋c 2=a 2时，由勾股定理的逆定理可知∠A=90°． 师：当b 2＋c 2＞a 2时，∠A 应该是什么样的角呢？ 生：因为cosA ＞0，所以∠A 应该是锐角． 师：当b 2＋c 2＜a 2时，∠A 应该是什么样的角呢？ 生：因为这时cosA ＜0，所以∠A 应该是钝角．师：对，关于这个问题，我们只要求同学们有初步的理解即可．初步理解后应该记住、会用．现在明确提出当cos θ=0时，θ=90°，θ是直角；当cos θ＞0时，0°＜θ＜90°，θ是锐角当cos θ＜0时，90°＜θ＜180°，θ是钝角．下面请同学们回答下列问题：生：θ等于60°， 等于120°．师：这时θ和 是什么关系？ 生：θ和 是互为补角． 师：再回答下列问题：生：θ1等于45°， 1等于135°，θ1+1=180°；θ2等于30°，2=150°，θ2+2=180°．师：一般说来，当cos θ=-cos 时，角θ与角 是什么关系？生：角θ与角 是互补的两个角．即一个为锐角，一个为钝角，且θ＋=180°．（关于钝角的三角函数还没有定义，所以这里采用从特殊到一般的方法使学生有所理解即可）二、余弦定理的应用例1 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．求异面直线A1B和AD1所成的角的余弦．（如图1）师：首先我们要以概念为指导作出这个角，A1B和AD1所成的角是哪一个角？生：因为CD1∥A1B，所以∠AD1C即为A1B与AD1所成的角．师：∠AD1C在△AD1C中，求出△AD1C的三边，然后再用余弦定理求出∠AD1C的余弦．师：我们要再一次明确求异面直线所成的角的三个步骤：第一是以概念为指导作出所成的角；第二是找出这个角所在的三角形；第三是解这个三角形．现在我们再来看例2．例2 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∠C1BC=45°，∠B1AB=60°．求AB1与BC1所成角的余弦．（如图2）师：在这例中，我们除了首先要以概念为指导作出异面直线所成的角以外，还要注意把所给的特殊角的条件转化为长方体各棱之间的关系，以便于我们用余弦定理．生：因为BC1∥AD1，所以AB1与BC1所成的角即为∠D1AB1．根师：现在我们来看例3．例3 已知正方体的棱长为a，M为AB的中点，N为B1B的中点．求A1M与C1N所成的角的余弦．（如图3）（1992年高考题）师：我们要求A1M与C1N所成的角，关键还是以概念为指导作出这个角，当一次平移不行时，可用两次平移的方法．在直观图中，根据条件我们如何把A1M用两次平移的方法作出与C1N所成的角？生：取A1B1的中点E，连BE，由平面几何可知BE∥A1M1，再取EB1的中点F，连FN由平面几何可知FN∥BE，所以NF∥A1M．所以∠C1NF即为A1M与C1N所成的角．师：还可以用什么方法作出A1M与C1N所成的角？生：当BE∥A1M后，可取C1C中点G，连BG，则BG∥C1N，师：这两种解法都要用两次平移来作出异面直线所成的角，现在我们来看例4．例4 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC1与BD所成的角的余弦．（如图4）师：根据异面直线所成的角的概念，再根据长方体的基本性质，如何作出AC1与BD所成的角。

两条异面直线所成的角一、素质教育目标（一）知识教学点1．两异面直线所成角的定义及两异面直线互相垂直的概念．2．两异面直线的公垂线和距离的概念及两异面直线所成角及距离的求法．（二）能力训练点1．利用转化的思想，化归的方法掌握两异面直线所成角的定义及取值范围，并体现了定义的合理性．2．利用类比的方法掌握两异面直线的公垂线和距离等概念，应用在证题中体现了严格的逻辑思维，并会求两条异面直线所成角与距离．（三）德育渗透点进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：两异面直线所成角的定义；两异面直线的公垂线及距离的概念；两异面直线所成角和距离的求法．2．教学难点：两异面直线所成角及距离的求法．3．教学疑点：因为两条异面直线既不相交，但又有所成的角，这对于初学立体几何的学生来说是难以理解的．讲解时，应首先使学生明了学习异面直线所成角的概念的必要性．三、课时安排1课时．四、教与学的过程设计（一）复习提问引入课题师：上新课前，我们先来回忆：平面内两条相交直线一般通过什么来反映它们之间的相互位置关系？生：通过它们的夹角．如图1－46，a、b的位置关系与a′、b′的位置关系是不一样的，a、b的夹角比a′、b′的夹角来的小．师：那么两条异面直线是否也能用它们所成的角来表示它们之间相互位置的不同状况．例如要表示大桥上火车行驶方向与桥下轮船航行方向间的关系，就要用到两条异面直线所成角的概念．（二）异面直线所成的角师：怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？生：可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示．如图1－47，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角．师：针对这个定义，我们来思考两个问题．问题1：这样定义两条异而直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的．若在空间中，再取一点O′，过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等．即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性．注意：有时，为了方便，可将点O 取在a或b上．问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否有矛盾？答：没有矛盾．当a、b相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广．师：在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直（出示模型：正方体）．例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面．（三）两条异面直线的距离师：（出示模型）观察模型，思考问题：a与b，a′与b所成角相等，但是否就表示它们之间的相互位置也一样呢？生：不是．它们之间的远近距离不一样，从而得到两条异面直线的相互位置除了用它们所成的角表示，还要用它们之间的距离表示．师：那么如何表示两条异面直线之间的距离呢？我们来回忆在平面几何中，两条平行线间的位置关系是用什么来表示的？生：用两平行线间的距离来表示．师：对．如图1－50，要知道它们的距离，先要定义它们的公垂线，如图1－50：a∥b，a′∥b′，c⊥a，c′⊥a′，则a、b与a′、b′的公垂线分别为c、c′，且线段AB、A′B′的长度分别是a、b与a′、b′之间的距离．对两条异面直线的距离，我们可以应用类似的方法先定义它们的公垂线．定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．师：根据定义，思考问题．问题1：和两条异面直线都垂直的直线有多少条？答：无数条．因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．问题2：两条异面直线的公垂线有几条？答：有且只有一条（出示正方体骨架模型），能和AA′、 B′C′都垂直相交的只有A′B′一条；能和AB与面A′C′内过点A′的直线都垂直相交的直线只有一条AA′．师：有了两条异面直线公垂线的概念，我们就可以定义两条异面生成的距离．定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离．如图1－52中的线段AB的长度就是异面直线a、b间的距离．下面，我们来完成练习和例题．（四）练习例设图1－53中的正方体的棱长为a，（1）图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线？（2）求直线BA′和CC′所成的角的大小．（3）求异面直线BC和AA′的距离．解：（l）∵A′平面BC′，而点B，直线CC′都在平面BC′∴直线BA′与CC′是异面直线．同理，直线C′D′、D′D、DC、AD、B′C′都和直线BA′成异面直线．（2）∵CC′∥BB′，∴BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角．∵=∠A′BB′=45°，∴BA′和CC′所成的角是45°．（3）∵AB⊥AA′，AB∩AA′=A，又∵AB⊥BC，AB∩BC=B，∴AB是BC和AA′的公垂线段．∵AB=a，∴BC和AA′的距离是a．说明：本题是判定异面直线，求异面直线所成角与距离的综合题，解题时要注意书写规范．【练习】（P．16练习1、3．）1．（1）两条直线互相垂直，它们一定相交吗？答：不一定，还可能异面．（2）垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？答：三种：相交，平行，异面．3．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线．解：（五）总结本节课我们学习了两条异面直线所成的角，以及两条异面直线间的距离和有关概念．并学会如何求两条异面直线所成角及距离，懂得将其转化为平面几何问题来解决．五、作业P．17-18中9、10．。

异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移〔尤其是图中出现了中点〕：补形平移法：补形法〞是立体几何中一种常见的方法,通过补形,可将问题转化为易丁研究的几何体来处理,利用补形法〞找两异面直线所成的角也是常用的方法之一.直接平■移法1.在空间四边形ABCD中,AD = BC = 2, E, F分别为AB、CD的中点,EF=女,求AD、BC所成角的大小.解：设BD的中点G,连接FG, EG.在△ EFG中EF=龙FG = EG= 1•.. / EGF= 120°二AD 与BC 成60°的角.2.正ABC的边长为a, S为ABC所在平面外的一点,SA= SB= SC= a, E, F分别是SC 和AB的中点.求异面直线SA和EF所成角.答案：4503. S是正三角形ABC所在平面外的一点,如图SA= SB= SC,且ASB = BSC= CSA=2 , M、N分别是AB和SC的中点.求异面直线SM与BN所成的角的余弦值.证实：连结CM,设Q为CM的中点,连结QN那么QN // SM/ QNB是SM与BN所成的角或其补角连结BQ,设SC= a,在^ BQN中BN =亭a NQ = :SM =字a BQ=乎 a. .COSZ QNB = BN2NQ2BQ22BN NQ 10 54.如图,在直三棱柱ABC — A1B1C1中,Z BCA = 90°, M、N分别是A1B1和A1C1的中点,假设BC = CA = CC1,求BM与AN所成的角.解：连接MN,作NG // BM交BC 丁G,连接AG , 易证/ GNA就是BM与AN所成的角.设：BC = CA = CC I = 2,贝U AG = AN =成5 , GN = BM = <6 , cosZGNA = 26 j %穿.5. 如图,在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 〔、CD 的中点.求AE 与D i F 所成的角.证实：取AB 中点G,连结A 1G, FG,由于F 是CD 的中点,所以GF 里AD, 乂 A1D1JLA D,所以 GF £=A 1D 1,故四边形GFD 1A 1是平行四边形,A 1G// D 1F .设A 1G 与AE 相交丁 H,那么Z A 1HA 是AE 与D 1F 所成的角由于 E 是 BB 1 的中点,所以 RtAA 1AG^AABE, / GA 〔A= / GAH ,从而ZA 1HA=9(J , 即直线AE 与D 1F 所成的角为直角.6.如图1 — 28的正方体中,E 是A D 勺中点(1) 图中哪些棱所在的直线与直线 BA'成异面直线？ (2) 求直线BA'和CC 所成的角的大小； (3) 求直线AE 和CC 所成的角的正切值； (4) 求直线AE 和BA'所成的角的余弦值解：(1)A 平面BC ,乂点B 和直线CC 都在平■面BC 内,且B CC ,:.直线BA'与CC 是异面直线同理,正方体12条棱中的C'D' DD 、DC 、AD 、B' C'所在的直线都和直线BA'成异面直线(2) CC // BB', BA'和BB'所成的锐角就是BA'和CC 所成的角/ A BB' =45°L BA'和 CC 所成的角是 45°(3) : AA' // BB' // CC ,故AE 和AA'所成的锐角/ A A 昵AE 和CC 所成的角在RtAAA' E 中,tanZ A AE 建 =1 ,所以AE 和CC 所成角的正切值是-AA 22⑷取B' C 勺中点F,连EF 、BF,那么有EF = A B = AB,II••• ABFE 是平行四边形,从而 BF = AE,即BF // AE 且BF=AE. ••• BF 与BA'所成的锐角/ A B 晰是AE 和BA'所成的角设正方体各棱长为2,连A' R 利用勾股定理求出△ A BF 勺各边长分别为 A A2^2 , A 片BF = v5 ,由余弦定理得： cos"' BF (2'2)2 S 2 ('5)27.长方体ABCD — A 1B 1C 1D 1中,假设AB=BC=3 , AA 〔=4,求异面直线B 1D 与BC 1所成角的大 小.解法一：如图④,过B 1点作B 1E// BC 1交CB 的延长线丁 E 点-.10 5那么Z DB i E 或其补角就是异面直线 DB 1与BC 1所成角,连结DE 交AB 丁 M , DE=2DM=3山, cosZ DB i E=「^34/ DB i E= arc cos 7/34 0170解法二：如图⑤,在平■面D 1DBB 1中过B 点作BE // DB 1交D 1B 1的延长线丁 E,那么Z C 1BE 就是异面直线DB 1与BC 1所成的角,连结 C 1E,在△B 1C 1E 中,ZC 1B 1E=135.,C 1E=3^5 , cos Z C 1BE=^4,二 Z C 〔BE= arc cos^4.170170PA 矩形ABCD ,PA=AB=8, BC=10,求AD 与PC 所成角的余切值为.练习：8.如图,1709.在长方体ABCD- A侣1C1D1中,假设棱B B I=BC=1,AB=面,求D B和AC所成角的余弦值. 中位线平■移法：构造三角形找中位线,然后利用中位线的性质,将异面直线所成的角转化为平■面问题,解三角形求之.解法一：如图①连结B i C 交BC 1 丁 0,过0点作OE// DB 1,贝UZ BOE 为所求的异面直线 DB i与 BC 1 所成的角.连结 EB,由有 B 〔D= J34 , BC 1=5, BE= -■— , • - cos / BOE='2170Z BOE= arc cos 7'34170解法二：如图②,连DB 、AC 交于.点,过.点作OE// DB 1,过E 点作EF// C 〔B ,贝UZ OEF73成其补角就是两异面直线所成的角,过 .点作OM // DC,连结MF 、OF .那么OF=』32cos / OEF= 7也,异面直线B 1D 与BC 1所成的角为arc cos 7^34.170解法三：如图③,连结D 1B 交DB 1 丁 O,连结D 1A ,贝U 四边形ABC 1D 1为平行四边形.在平 行四边形ABC 1D 1中过点O 作EF// BC 1交AB 、D 1C 1 丁 E 、F,那么Z DOF 或其补角就是异 , 3 5在△ ADF 中 DF= 3^ ,2734• . / DOF= arc cos --------170 课堂练习10.在正四面体ABCD 中,E 是棱BC 的中点,求异面直线 AE 和BD 所成角的余弦值.170面直线DB 1与BC 1所成的角cos Z DOF= ^34 ,170在图形外补作一个相同的几何体,以例丁找出平行线补形平移法:在直角△ AOP 中, cos 在直角△ ABC 中, cos在直角△ ABP 中, cos 所以 cos 1 cos 2 所以 cos 1 cos 2AO AP cosAO. AP AB. AOAB.APAB AB— — cosAO AP 证实：设PA 是a 的斜线,OA 是PA 在a 上的射影,解法一：如图⑥,以四边形 ABCD 为上底补接一个高为4的长方体ABCD-A 2B 2C 2D 2,连结D 2B ,那么DB i// D 2B, Z C 1BD 2或其补角就是异面直线 DB i 与BC i 所成的角,连C 1D 2,7、34cos / C i BD 2= 一 一,.••异面直线 DB i 与BC i 所成的角是170 arc cos 空.170MA C 1D 2C 2 为 RtA, 课堂练习：11.求异面直线A i C i 与BD i 所成的角的余弦值.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的面BC i 上补上一个同样大小的长 方体,将A i C i 平移到BE,那么Z D i BE 或其补角就是异面直 线 A i C i 与 BD i 所成的角,在△ BD i E 中, BD i =3, 「"一 '二、利用模型求异面直线所成的角模型1引理：平■面a 的一条斜线a 与平面a 所成的角为 如平■面a 内的一条直线b 与 斜线a 所成的角为0,与它的射影a'所成的角为 也.求证：cos 0 = cos 0 cos ?.在平面的斜线a 上取一点P,过点P 分别作直线c 、b 的垂线PO 、PB,垂足为O 、B.连接 OB, WJ OB±b.OB//b,如下图.那么Z PAOW i, ZPAB=0, Z OABW 2, 过点.在平■面a 内作OB±AB,垂足为B,连结PB .可知 PB±AB .所以 cos 1= °A , cos 0 £B , cos 2= ^ABPA PAOA所以 cos 0 = cos 6 cos°0利用这个模型来求两条异面直线 a 和b 所成的角,即引理中的角 0. 需：过a 的一个平■面a,以及该平面的一条斜线b 以及b 在a 内的射影.12.如图,MAL 平面ABC D,四边形ABCD 是正方形,且 MA=AB=a ,试求异面直线 MB 与 AC 所成的角.解：由图可知,直线 MB 在平■面ABCD 内的射影为AB, 直线MB 与平■面ABCD 所成的角为45°, 直线AC 与直线MB 的射影AB 所成的角为45°, 所以直线AC 与直MB 所成的角为0,满足1cos 0 =cos45 - 8罗5所以直线AC 与MB 所成的角为6013.三棱柱ABC AEG 的侧棱与底面边长都相等,A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点,那么异面直线AB 与CC I 所成的角的余弦值为( ,八、3E 、.55、 7(A) —(B) ；(C)—444由三角余弦定理,易知 cos cos A 1AD cos14.如图,在立体图形 P-ABCD 中,底面 ABCD AB=BC=a , AD=2a,且 PA 项面 ABCD , PD 与底面成 30°角,AE ± PD 于 D AE 与CD 所成的角的大小.解：过E 作AD 的平行线EF 交AD 丁 F,由PAL 底面ABCD 可知,直线AE 在平■面ABCD 内的射影为 AF,直线AE 与平■面ABCD 所 成的角为/ DAE ,其大小为60°,射影AF 与直线CD 所成的角为/ CDA ,其大小为45°,所以直线与直线所成的角0满足cos 0 =cos60° - cos452°,斯以其大小为arccos —解：设BC 的中点为D,连结A 1D, AD,易知DAB 也竺3 .应选D 是一个直角梯形,/ BAD=90A 1A AB,AD//BC ,求异面直线oo模型2 定理：四面体ADBCD两相对棱AC、BD问的火角为,那么有c AD 11 4 EC a -AE 3- DC aCQS^- -----------------------------------2 AC‘ED证实：BD?AC| BD BD COS 而 BD BA AD BD?AC| BA AD ?AC| BA? AC AD?AC|2_222_22 222AB 2AC 2BC 2AD 2AC 2CD 2AD 2BC 2AB215.长方体 ABCD — A i B i C i D i 中,AB=AA i =2cm, AD=1cm ,求异面直线A i C i 与 BD i 所成的 角.二、向量法求异面直线所成的角i6.如图,在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中,E 、F 分别是相邻两侧面 BCC i B i 及CDD i C i 的中央.求A i E 和B i F 所成的角的大小.解法一：〔作图法〕作图关键是平移直线,可平移其中一条直线,也可平移两条直线到某个点 上. 作法：连结B i E,取B i E 中点G 及A i B i 中点H, 连结GH,有GH/ZA i E .过F 作CD 的平行线RS, 分别交CC i 、DD i 丁点R 、S,连结SH,连结GS 由 B i H/ZC i D i /ZFS, B i H=FS,可得 B i F/ZSH . 在AGHS 中,设正方体边长为a .6GH=；a 〔作直线 GQ//BC 交 BB i 丁点 Q,连QH,可知ZXGQH 为直角三角形〕,2 2 2AD 2 + EC a - AE a - DC所以有:2AC,ED解：连结BC i 、A iB 在四面体为召,易求得叵I由定理得: CD 25所以HS=；a 〔连AiS ,可知zXHAiS 为直角三角形〕,GS=X? a 〔作直线GP 交BC 丁点P,连1PD,可知四边形GPDS 为直角梯形〕.••• Cos^Z GHS=一.6... ............... ... .................................. 1 所以直线A i E 与直线B i F 所成的角的余弦值为-. 6 解法二：〔向量法〕 分析：由于给出的立体图形是一个正方体, 所以可以在空间建立直角坐标系,从而可以利用 点的坐标表示出空间中每一个向量,从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的火角. 以B 为原点,BC 为x 轴,BA 为y 轴,BB i 为z 轴,设BC 长度为2 那么点Ai 的坐标为〔0, 2, 2〕,点E 的坐标为〔I, 0, I 〕, 点Bi 的坐标为〔0, 0, 2〕,点F 的坐标为〔2, i, I 〕;所以向量 萌的坐标为〔-I, 2, I 〕,向量BF 的坐标为〔2, i, -I 〕, 所以这两个向量的火角0满足 …A EA i B i F _ 〔 i 〕 2 2 i i 〔 i 〕 _ i COS . : ——-. 二 . 二——. |ER| |B i F| 〔 i 〕2 〔2〕2 〔i 〕2、〔2〕2 〔i 〕2 〔 i 〕2 6 所以直线A i E 与直线B i F 所成的角的余弦值为1 6 I7.空间四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a , M 、N 分别为BC 和AD 的中点,设AM 和CN 所成的角为a,求COS a 的值.〔平■移法也可〕 解：由得,空间向量 AB , AC , AD 不共面, 且两两之间的火角均为60°.由向量的加法可以得到 AM = i 〔 AB + AC 〕, NC = i AD + AC 2 2 所以向量AM 与向量NC 的火角0 〔即角a 或者a 的补角〕 AM NC ¥两足cos 0 ——,其中 | AM | | NC |B——一 i , = =、 , i 一 一、 AM NC = § ( AB + AC ) • ( - AD + AC ) i / i ---- •.. J —i -( AB AD + AB AC + ( AD 22 2i 2( i i i 八 i 2a i -+ +i) =—a ; 24 2 4 2AC + AC AC ) |AM |2=i ( A B + A C )| NC |2= ( i AD + AC 2-(AB + AC ) =i (i+i+i) a 2=3 a 2; 2 4 4i — — x —AD + AC ) 2 =-+i i a 2=— ai 2.所以 cos a =| cos 21= 4 2 4 3 i8.空间四边形 ABCD 中,AB=CD=3 , E 、F 分别是BC 、AD 上的点,且BE: EC=AF :FD=1: 2, EF=、/7,求AB 和CD 所成的角的大小.解：取AC 上点G,使AG : GC=1: 2.连结EG 、FG, 可知 EG//AB , FG//CD, 3EG=2AB, 3FG=CD . 由向量的知识可知 EF =EG +GF =2BA +!C D ,3 3 设向量BA 和CD 的火角为ft那么由 | EF |2= ( 2BA + 1CD ) •( -BA +1CD ) =4+1+4cosO=Z3 3 3 3 得cos 9【,所以AB 和CD 所成的角为60219.(思考题)如图,平■行六面体 ABCD —A i B i C i D i 中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧棱AA I 长为b,且AA 1与AB 、AD 的火角都是120°. 求：(1)AC I 的长； ⑵直线BD 1与AC 所成的角的余弦值.技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用解：(I )|AC J 2 丽丽 (AA 1 A C)(A A 1 A C)(AA I AB AD)(AA I AB AD) 2 2 2| AA I |2 | AB|2 | AD |2 2AA I AB 2AA I AD 2AB AD由得：|AAJ 2 b 2,| AB |2 | AD |2 a 2AC BD 1 (AB AD)(AA 1 AD AB)AB AA 1 AD AA 1 ABAD _ 2 _ 2AD 2 AB 2 AB ADab2|BD I |2 BD I BD I (AA I AD AB)(AA I AD AB)| AA I |2 | AD|2 | AB |22AA I AD 2 ABAD 2AA IAB 2a 2 b 2判断是非:(1)(3)(8)(10)正确,其余错;选择：1(C) ; 2(D) ; 3(D) ; 4(D).杆 5. (2)相交,(5)平行,其余异面；(6): (D),取 AB 中AA 1,AB AA 1, AD 120 , AB, AD 90AA AB bacos120 1 .ab, AA 1 AD b a cos120 21-ab,AB AD 2_2一 2| AC I | 2ab 2 2ab,―_ 22_| AC I | . 2a b 2ab.(2)依题意得,| AC | •、2a, AC AB ADBD 1 AD BA AA 1 AD AB 0,|BD 1| 一 2a 2 b 2 cos BD 〔,ACBD 1 AC |BD I ||AC| 22. 4a 2b•.•BD I 与AC 所成角的余弦值为b, 4a 2 2b 2点M , CC I中点N,连B I E和B I F; (7)答案：(A),延长B I A I至M使A岷AD,连MA取 AB 中点 N. 8(D) ; 9(E) ; 10(D) ; 11(C); 三. 4,取 AD 中点 E,那么Z MEN = 90°;3四. 迎,取AC 中点F,连EF 、BF,求得BE=】AD = 5, BF = 1AC = 3也；5 2'2,五. 道,分别取AC 、B 1C 1的中点P 、Q,那么PMQN 是矩形,设CC i = MQ = a,那么MP = -a ；52六. 1,取 AC 中点 F,连 EF 、BF, WJ EF= 4, BE = BF = 3.6异面直线所成的角---作业班级：姓名：学号：、判断是非(以下命题中,正确的打错误的打“X 〞)1. 没有公共点的两条直线的位置关系是()(A)平行 (B)异面 (C)平行或异面 (D)不能确定2. 分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是 () (A)异面(B)平行(C)平行或异面(D)平' 行或异面或相交3. 两条异面直线指的是()(A)在空间不相交的两条直线(B)某一平■面内的一条直线和这个平■面外的一条直线(C)分别位丁两个不同平面的两条直线 (D)不同在任一平■面内的两条直线4. a 、b 是异面直线,b 、c 也是异面直线,那么a 、c 的位置是()(A)异面 (B)异面或平行(C)异面或相交 5.说出正方体中各对线段的位置关系：(1) AB 和 CC I ； (2)A I C 和 BD I ；(3)A I A 和 CB I ； (4) A 1C 1 和 CB I ;⑸ A I B I 和 DC;(6)BD I 和 DC.(I) 梯形的四个顶点在同一平■面内；(3)平行丁同一直线的两直线平行; (5)两条直线确定一个平■面； (7)无公共点的两直线异面； (9)两异面直线可以同时平■行丁一直线；(II) 不同在一个平■面内的两直线异面;(2)对边相等的四边形是平■行四边形； (4)垂直丁同一直线的两直线平■行； (6)经过三点可以确定一个平■面； (8)两异面直线无公共点；(10)两异面直线可以同时垂直丁一直线；(12)互相垂直的两条直线必可确定一平(D)相交、平■行或异面6.在棱长为1的正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1 中,M 和 N 分别为 A I B I 和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是()(A)：(B)亲(C)：(D)|2 10 5 57.如图,A1B1C1—ABC是直三棱柱(三侧面为矩形),ZBCA=90,点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点假设BC=CA=CC1,那么BD1与AF1所成角的余弦值是30 1 30 15(A) (B) (C)——(D)——10 2 15 10B T8.正方体ABCD — A1B1C1D1中,直线BC1与AC(A)相交且垂直(B)相交但不垂直(C)异面且垂直(D)异面但不垂直9.设a、b、c是空间中的三条直线,下面给出四个命题：那么a和c也相交;①如果aL b 、b±c,那么all c ； ②如果a 和b 相交,b 和c 相交, 四.如图,四面体 ABCD 中,AB ± BC, AB ±BD , BC ±CD ,且 AB = BC = 6, BD = 8, E是AD 中点,求BE 与CD 所成角的余弦值③如果a 、b 是异面直线,c 、b 是异面直线,那么a 、c 也是异面直线; ④如果a 和b 共面,b 和c 共面,贝U a 和c 也共面, 在上述四个命题中,真命题的个数是()(A)4 (B)3 (C)210. 如果直线l 和n 是异面直线,那么和直线(A)不一定存在(C)总共可能有一条,也可能有两条1、(D)1n 都垂直的直线 (B)总共只有一条 (D)有无穷多条(E)011.如图,四面体SABC 的各棱长都相等,如果EF 与SA 所成的角等丁 (A)90 0(B)60 0(C)45(D)30E 、F 分别为SC 、AB.如图,四面体 ABCD 中,AC ±BD,且 AC = 4, BD = 3, M 、求MN 和BD 所成角的正切值的中那么异面直线五.如图,正三棱柱的九条棱都相等,三个侧面都是正方体, M、N分别是BC和A i C i的中点.求MN与CC i所成角的余弦值.六.如图,四面体ABCD 中,E 为AD 中点,假设AC = CD = DA = 8, AB = BD = 5, BC = 7, 求BE与CD所成角的余弦值.。

9．2两条异面直线所成的角[教学目的]：1、知识目标：理解空间两异面直线所成角的定义、范围，并会作出、求出两异面直线所成角。

2、能力目标：培养学生的识图、作图能力、在习题讲解中，培养学生的空间想象能力以及解决问题和分析问题的能力。

3、情感目标：在对学生进行创造性思维培养的同时，激发学生对科学文化知识的探求热情和逻辑清晰的辩证主义观点。

[教学重点和难点]：教学重点：对异面直线所成角的定义的理解和应用。

教学难点：如何在实际问题中求出异面直线所成的角。

[课时安排]：共一课时[教学过程]：一、新课引入师：同学们，我们来共同欣赏一幅动画。

请仔细观察画面，两条汽车路线与飞机航线的相对位置关系是空间两直线位置关系中的哪一种？又有哪些不同？（请同学们共同回答）师：本节课我们就来学习两条异面直线所成的角。

（板书课题：9.2两条异面直线所成的角）二、讲授新课（一）、异面直线所成的角1、引言：师：为了解决这个问题，我们先来做两个实验。

下面我们做第一个实验：一张纸上画有两条能相交的直线ａ、ｂ（但交点在纸外）．现给你一副三角板和量角器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上的线段，问如何能量出ａ、ｂ所成角的大小？师：请同学们按照实验要求进行实验，并说出实验的操作方法？师：（找一个学生回答后，接着放动画演示）请问这三种方法下得出的结果是否相同？为什么相同？（引导学生回顾等角定理）师：下面我们再做第二个实验，现在有两条异面直线ａ、ｂ，它们之间有一定的角度关系，你用什么方法可以度量它们的角度。

（请同学们思考）师：通过这个实验我们找出了作异面直线所成角的方法。

那么接下来，该如何来概括异面直线所成角的定义呢？请同学们组织好语言，举手回答。

（在同学回答的同时，及时补充修正。

最后和全休同学一块儿来熟悉定义，老师板书定义）2、异面直线所成角的定义：【用多媒体显示定义】已知异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角．师：针对这个定义，请同学们来思考两个问题。