异面直线所成的角求法总结加分析

异面直线所成角的几种求法仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。

因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。

在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。

一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。

求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。

解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。

作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ， 连结GH ，有GH//A 1E 。

过F 作CD 的平行线RS ， 分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS 。

由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。

在△GHS 中，设正方体边长为a 。

GH=46a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ， B A CD FEB 1 A 1 D 1C 1G HSRPQ仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3连QH ，可知△GQH 为直角三角形），HS=26a （连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形）， GS=426a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。

∴Cos ∠GHS=61。

所以直线A 1E 与直线B 1F解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用 点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。

以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，设BC 长度为2。

异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

直接平移法1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。

在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。

2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角ABC DA 1B 1C 1D 1EF连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS∠QNB＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG∥BM 交BC 于G ，连接AG ，易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6，cos∠GNA＝1030562556=⨯⨯-+。

构造异面直线所成角的几种方法二、例题讲解例1已知ａ、ｂ、ｃ是两两异面的三条直线，且ａ⊥ｂ，ｄ是ａ、ｂ的公垂线．若ｃ⊥ａ，那么ｃ与ｄ有何位置关系?并说明理由．讲解：构造恰当的几何体是判断空间诸条直线位置关系的最佳思维选择，因为几何体具有直观和易于判断之优点．根据本题的特点，可考虑构造正方体．构造正方体ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，如图7-1所示，因为AB与CC１异面且垂直，BC是它们的公垂线，所以可记ＡＢ、ＣＣ１、ＢＣ分别为ａ、ｂ、ｄ．图7-1因为ｃ与ａ、ｂ均异面，且ｃ⊥ａ，注意到ａ⊥侧面ＡＤＤ１Ａ１，因此侧面ＡＤＤ１Ａ１内的任一直线均与ａ垂直．从图中可以看出，侧面ＡＤＤ１Ａ１内的Ａ１Ｄ１和Ａ１Ｄ均与ａ、ｂ异面，且均与ａ垂直，所以可记Ａ１Ｄ１或Ａ１Ｄ为ｃ．此时由Ａ１Ｄ１∥Ｂ１Ｃ１∥ＢＣ知ｃ∥ｄ；由Ａ１Ｄ与BC异面知ｃ与ｄ为异面直线．综上可知ｃ与ｄ平行或异面．正方体是一个很简单且很重要的几何模型．构造它可直观、简捷地判断线线、线面关系，特别是有关异面直线的问题易于解决．下面一组题目供思考练习：（1）无论怎样选择平面，两条异面直线在该平面内的射影都不可能是（）．A．两条平行直线B．两条相交直线C．一条直线和直线外一点D．两个点（2）在空间中，记集合M={与直线l不相交的直线}，集合N={与直线l平行的直线}，则M与N 的关系是（）．A．M=N B．M N C．M N D．不确定（3）a、b、c是空间中的三条直线，则下述传递关系中，为真命题的是（）．A．若a∥b,b∥c，则a∥cB．若a⊥b,b⊥c,则a⊥cC．若a与b相交，b与c相交，则a与c相交D．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面（4）同时与两条异面直线都相交的两条直线一定不是（）．A．异面直线B．相交直C．平行直线D．垂直直线（5）如图7-2所示，正方体ABCD-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，EF是异面直线Ａ１Ｄ和AC的公垂线，则直线EF和BＤ１的关系是（）．图7-2Ａ．异面Ｂ．平行Ｃ．相交且垂直Ｄ．相交且不垂直例2在正三棱柱ＡＢＣ-Ａ１Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝ＢＢ１，则AB１与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为（）．Ａ．60°Ｂ．90°Ｃ．105°Ｄ．75°讲解：根据题设作出图形（图7-3）．欲求异面直线AB１与C１Ｂ所成角的大小，需进行异面直线的平移，而平移既可在体内进行，也可通过补形（补面、补体）向体外发展．若考虑体内平移，则常常通过作出中位线达到平移目的，从而有：图7-3解法1．设ＡＢ、Ｂ１Ｂ、Ｂ１Ｃ１的中点依次为Ｐ、Ｈ、Ｆ，连结PH、ＨＦ．显然有ＰＨ∥＝（1／2）ＡＢ１，ＨＦ∥＝（1／2）Ｃ１Ｂ，则∠ＰＨＥ即为所求异面直线所成的角．连结PF，并设BB１＝1，则正三棱柱的底面边长为．易求得ＰＨ＝ＨＦ＝（／2）．取BC的中点E，连结PE、ＥＦ．易知△ＰＥＦ是Ｒｔ△．在Ｒｔ△ＰＥＦ中，求得ＰＦ２＝（3／2）．显然有ＰＨ２＋ＨＦ２＝ＰＦ２．故∠ＰＨＥ＝90°，选Ｂ．若考虑体外平移，则可通过补面或补体来实现平移．从而又有如下两种方法：解法2．如图7-4，延长AB到D，使ＢＤ＝ＡＢ，作ＤＤ１∥＝ＡＡ１，连B１Ｄ１、ＢＤ１．图7-4∵ＡＢ∥＝Ｂ１Ｄ１，∴ＡＢ１∥ＢＤ１．则∠Ｃ１ＢＤ１即为所求异面直线所成的角．易求得ＢＣ１＝ＢＤ１＝，Ｃ１Ｄ１＝2·ｓｉｎ60°＝．又∵ＢＣ１２＋ＢＤ１２＝Ｃ１Ｄ１２，∴∠Ｃ１ＢＤ１＝90°．解法3．可从B１作一射线与BC１平行，由于这样一条射线虽然位置确定，并在侧面BB１Ｃ１Ｃ所在平面上，但却位于已知三棱柱外面，因而无法寻求与已知条件的联系．为了解决这一难点，可在已知三棱柱的下面作一个同样的三棱柱．作直三棱柱Ａ１Ｂ１Ｃ１-Ａ２Ｂ２Ｃ２，使Ｃ１为ＣＣ２之中点（图7-5），连结Ｂ１Ｃ２、ＡＣ２，图7-5∵ＢＢ１∥＝Ｃ１Ｃ２，∴Ｃ１Ｂ∥Ｃ２Ｂ１，则∠ＡＢ１Ｃ２即为所求异面直线所成的角．易求得∠ＡＢ１Ｃ＝90°．究竟选择体内还是体外平移，应“因图而异”，总之以简洁、直观为宜．若能注意到知识间的相互渗透，本题也可通过建立直角坐标系，利用解析法求解，请读者不妨一试．例3正四面体ABCD的棱长为a,E为CD上一点，且CE／ED＝1／2，求异面直线AE与BC间的距离．讲解：求异面直线间的距离通常有三种方法，一是定义法，二是公式法，三是转化法．这里宜用方法三．异面直线间的距离可转化为平行线面间的距离，进而可以转化为点到面的距离，再用等体积法求解．如图7-6，在面BCD内过点E作EF∥BC交BD于F．连结AF，则BC∥面AEF，所以异面直线BC与AE间的距离就等于BC到平面AEF的距离，也就等于点B到平面AEF的距离，设其为d，连结BE，设正四面体的高为h.图7-6∵V B-AEF＝ＶＡ-ＢＥＦ，∴（1／3）S△AEF·d=（1／3）S△BEF·h，∴d=（S△BEF·h／S△AEF）.过点A作AO⊥面BCD于O，∵DE／EC＝2／1且EF∥BC，∴O必在EF上．∵h=（／3）a，易求得EF=（2／3）a，S△AEF＝（1／2）EF·AO＝（／9）a２，S△BEF＝（／18）a２，∴d=（／6）a.即异面直线AE与BC间的距离为（／6）a.用等体积法求点到面的距离，首先应构造以该点为顶点，以该平面内某个三角形为底面的三棱锥．其次求体积时，一般需换底面，换底面应本着新的底面上的高容易求出的原则．三、专题训练1．ａ、ｂ是异面直线，过不在ａ、ｂ上的任一点Ｐ，①一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都相交；②一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都垂直；③一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都平行；④一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都异面．其中正确的个数是（）．Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．32．如图7-7，正三棱锥Ｖ-ＡＢＣ中，D、E、F分别是ＶＣ、ＶＡ、ＡＣ的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）．图7-7Ａ．π／6Ｂ．π／3Ｃ．π／2Ｄ．随P点的变化而变化3．将锐角B为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线折成二面角θ，若θ∈［60°，120°］，则两条对角线之间的距离的最值为（）．A．d max=（3／2）a,d min=（／4）a B．d max=（3／4）a,d min=（／4）aC．d max=（／4）a,d min=（1／4）a D．d max=（／2）a,d min=（3／4）a4．图7-8是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①ＢＭ与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．图-8以上四个命题中，正确命题的序号是（）．Ａ．①②③Ｂ．②④Ｃ．③④Ｄ．②③④5．如图7-9，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等．如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于____________.图7-96．空间四边形ABCD中，ＡＤ＝ＢＣ，Ｍ、Ｎ分别为AB、CD的中点，又MN和AD成30°角，则AD和BC所成角的度数是____________．7．异面直线ａ、ｂ所成的角为θ（0＜θ＜（π／2）），Ｍ，Ｎ∈ａ，Ｍ１，Ｎ１∈ｂ，ＭＭ１⊥ｂ，ＮＮ１⊥ｂ，若ＭＮ＝ｍ，则Ｍ１Ｎ１＝____________．8．如图7-10，不共面的三条直线ａ、ｂ、ｃ相交于P，Ａ、B∈ａ，Ｃ∈ｂ，Ｄ∈c，且Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ均异于P．证明：直线AD与BC异面．图7-109．如图7-11，拼接一副三角板，使它们有公共边BC，且使两个三角板所在平面互相垂直．若∠CAB ＝90°，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＣＢＤ＝90°，∠ＢＤＣ＝60°，求AD与BC所成的角．图7-1110．已知ａ、ｂ是两条异面直线，那么空间是否存在这样的直线ｌ，使ｌ上任意一点P到ａ、ｂ的距离都相等．若存在，给出证明，若不存在，说明理由．求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A ）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。

异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

直角平移法：1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。

在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。

2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 正确答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN ，则QN ∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6， cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+。

如何求异面直线所成的角立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作→证→求。

其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。

Ⅰ、用平移法作两条异面直线所成的角一、端点平移法例1、在直三棱柱111C B A ABC -中，090CBA ∠=,点D ,F 分别是11A C ,11A B 的中点，若1AB BC CC ==,求CD 与AF 所成的角的余弦值。

解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ，//DF EC 且DF EC =∴四边形DFEC 为平行四边形//EF DC ∴EFA ∴∠（或它的补角）为CD 与AF 所成的角。

设2AB =,则EF =AF =EA =故2222EF FA EA EFA EF FA +-∠==arccos10EFA ∴∠=二、中点平移法例2、在正四面体ABCD 中, M ,N 分别是BC ,AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。

解：连结MD ，取MD 的中点O ，连结NO ，1O 、N 分别MD 、AD 为的中点，∴NO 为DAM ∆的中位线， ∴//NO AM ，ONC ∴∠（或它的补角）为AM 与CN 所成的角。

设正四面体ABCD 的棱长为2，则有2NO =，CN =2CO =, 故2222cos 23NO CN CO ONC NO CN +-∠== 2arccos 3ONC ∴∠=三、特殊点平移法例3、如图，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知4AB =，20CD =，7EF =，13AF BE FD EC ==，求异面直线AB 与CD 所成的角。

解：在BD 上取一点G ，使得13BG GD =，连结EG FG 、，在BCD ∆中，13BE BG EC GD ==，故//EG CD ，同理可证：//FG ABFGE ∴∠（或它的补角）为AB 与CD 所成的角。

异面直线所成角求法总结加分析异面直线之间的角有三种情况：垂直角、斜面角和平行角。

下面将对这三种角的概念、性质和求法进行总结和分析。

一、垂直角：垂直角是指两条异面直线相交时，形成的对立的角，其角度为90度。

垂直角的性质如下：1.对于两条异面直线来说，如果它们是垂直的，则它们所成的角度必定是90度。

2.两条垂直的直线称为互相垂直。

3.垂直角的两边是相互垂直的，一边减去90度后得到另一边所成的角度。

求法：已知两条异面直线，求它们的垂直角可以使用以下方法：1.根据两条直线的方向向量，计算它们的点积。

若点积为0，则两条直线是垂直的。

2.若两条直线的方程式已知，可以将两条方程式相乘后化简，得到一个二次方程。

如果该二次方程的判别式为0，则两条直线是垂直的。

二、斜面角：斜面角是指两条异面直线相交时，形成的不是对立的角，其角度不等于90度。

斜面角的性质如下：1.对于两条异面直线来说，如果它们不是垂直的，则它们所成的角度不等于90度。

2.斜面角的度数可以通过几何或三角函数求解。

求法：已知两条异面直线，求它们的斜面角可以使用以下方法：1.根据两条直线的方向向量，计算它们的夹角。

可以使用向量的点积或夹角公式求解。

2.若两条直线的方程式已知，可以将两条方程式中的方向向量代入夹角公式中求解。

三、平行角：平行角是指两条异面直线之间的对应角，如果两个对应角的度数相等，则这两条异面直线是平行的，平行角的性质如下：1.对于两条异面直线来说，如果它们是平行的，则它们所成的对应角度相等。

2.平行角的两边分别平行于两条异面直线。

求法：已知两条异面直线，求它们的平行角可以使用以下方法：1.根据两条直线的方向向量，计算它们的夹角。

如果夹角为0度，则两条直线是平行的。

2.若两条直线的方程式已知，可以将两条方程式中的方向向量代入夹角公式中求解。

综上所述，垂直角是指两条异面直线相交时形成的90度角；斜面角是指两条异面直线相交时形成的非90度角；平行角是指两条异面直线之间对应角的度数相等。

异面直线所成的角的两种求法初学立几的同学，遇到的第一个难点往往便是求异面直线所成的角。

难在何处? 不会作！下面介绍两种求法一.传统求法 ------- 找、作、证、求解。

求异面直线所成的角，关键是平移点的选择及平移面的确定。

平移点的选择：一般在其中一条直线上的特殊位置，但有时选在空间适当位置会更简便平移面的确定: 般是过两异面直线中某条直线的个平面，有时还要根据平面基本性质将直观图中的部分平面进行必要的伸展，有时还用“补形”的办法寻找平移面。

例1 设空间四边形ABCD E、F、G H分别是AC BC DB DA的中点，若AB=12-.2 , CD= 4、2，且四边形EFGH勺面积为12 .3 , 求AB和CD所成的角.n 解？由三角形中位线的性质知，HG/ AB HE// CD••• / EHG就是异面直线AB和CD所成的角.••• ? EFGH是平行四边形，H* - AB = 62，2HP1, CD= 2 3,2••• ? S EFGH = HG HE- sin / EHG= 12 6 sin / EHG 「12 6 sin / EH& 12 ,3.••• ? sin / EH& —,故/ EH &45°2••• ? AB 和CD 所成的角为45°注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可例2.点A 是BCD 所在平面外一点，AD 二BCE 、F 分别是AB CD 的中点，且EF —2 AD,2 求异面直线AD 和BC 所成的角。

（如图）解：设G 是AC 中点，连接DG FG 因D 、F 分别是AB CD 中点，故 EG/ BC 且 EG 」BC, FG// AD 且 2 FG 」AD 由异面直线所成角定义可知 EG 与 FG 所成2锐角或直角为异面直线 AD BC 所成角，即/ EGF 为所求。

由BC 二ADD EG 二GF^AD 又EF=AD 由余弦定理可得 cos /EGF=0即/ EGF=902注：本题的平移点是 AC 中点G,按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行 线，然后在厶EFG 中求角。

异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法高中数学　1.理解异面直线所成的角的概念，会运用平移的方法求异面直线所成的角.2.掌握直线与平面所成角的求法．一、异面直线所成的角例1　如图，已知在三棱锥A －BCD 中，AD ＝1，BC ＝，且AD ⊥BC ，对角线3BD ＝，AC ＝，求异面直线AC 与BD 所成的角的大小．13232解　取AB ，AD ，DC ，BD 的中点分别为E ，F ，G ，M ，连接EF ，FG ，GM ，ME ，EG .则MG 綊BC ，EM 綊AD .1212因为AD ⊥BC ，所以EM ⊥MG .在Rt △EMG 中，有EG ＝＝1.(12)2＋(32)2由作图可知，∠EFG 为异面直线AC 与BD 所成的角(或补角)．在△EFG 中，因为EF ＝BD ＝，FG ＝AC ＝，121341234所以EF 2＋FG 2＝EG 2，所以EF ⊥FG ，即AC ⊥BD .所以异面直线AC 与BD 所成的角等于90°.反思感悟　求异面直线所成的角的方法求异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生三角形，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．跟踪训练1　如图，在每个面都为等边三角形的四面体S －ABC 中，若点E ，F 分别为SC ，AB 的中点，试求异面直线EF 与SA 所成的角．解　如图，连接CF ，SF ，设四面体S －ABC 的棱长为a ，则SF ＝CF ＝a .32因为E 为SC 的中点，所以EF ⊥SC .在Rt △SEF 中，SE ＝SC ＝a ，1212所以EF ＝＝a .SF 2－SE 222取SB 的中点为D ，连接ED ，FD .则∠DFE 为异面直线EF 与SA 所成的角(或补角)．因为BC ＝SA ＝a ，而FD ∥SA ，且FD ＝SA ，ED ∥CB ，且ED ＝CB ，1212所以FD ＝ED ＝a ，所以FD 2＋ED 2＝EF 2.12故△DEF 是等腰直角三角形，可得∠EFD ＝45°，即异面直线EF 与SA 所成的角是45°.二、直线与平面所成的角例2　如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ＝AC ＝BC ，PA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，O 为PB 的中点，求直线CO 与平面PAC 所成角的余弦值．解　如图，取PC 的中点为E ，连接EO ，则OE ∥BC .∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC .又AC ⊥BC ，AC ∩PA ＝A ，∴BC ⊥平面PAC .又OE ∥BC ，∴OE ⊥平面PAC ，∴∠OCE 为直线CO 与平面PAC 所成的角．设PA ＝AC ＝BC ＝2，则OE ＝1，CE ＝，OC ＝，23∴cos ∠OCE ＝＝.CE OC 63∴直线CO 与平面PAC 所成角的余弦值为.63反思感悟　求斜线和平面所成的角的步骤(1)作(或找)：作(或找)出斜线在平面上的射影，作射影要过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与题目中已知量有关，这样才能便于计算．(2)证：证明某平面角就是斜线和平面所成的角．(3)算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．跟踪训练2　已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，求侧棱和底面所成的角的余弦值．解　如图，设正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，则侧棱长为2a .设O 为底面△ABC 的中心，则∠SAO 为SA 和平面ABC 所成的角．在Rt △SOA 中，因为AO ＝×a ＝a ，233233所以cos ∠SAO ＝＝＝，AO SA 33a 2a 36即侧棱和底面所成的角的余弦值为.361．知识清单：(1)异面直线所成的角．(2)直线与平面所成角的求解方法．2．方法归纳：转化与化归．3．常见误区：无法将空间角转化为相交直线所成的角．1.如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，直线D ′A 与BB 1所成的角可以表示为( )A ．∠DD ′AB ．∠AD ′C ′C ．∠ADB ′D ．∠DAD ′答案　A2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与AD 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案　C解析　如图，连接BC 1，A 1C 1.因为BC 1∥AD 1，所以异面直线A 1B 与AD 1所成的角即为直线A 1B 与BC 1所成的角．在△A 1BC 1中，A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，所以∠A 1BC 1＝60°，故异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°.3.如图所示，AB 是⊙O 的直径，PA ⊥⊙O 所在的平面，C 是圆上一点，且∠ABC ＝30°，PA ＝AB ，则直线PC 和平面ABC 所成角的正切值为________．答案　2解析　因为PA ⊥平面ABC ，所以AC 为斜线PC 在平面ABC 上的射影，所以∠PCA 即为PC 和平面ABC 所成的角．在△PAC 中，因为AC ＝AB ＝PA ，所以tan ∠PCA ＝＝2.1212PA AC 4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 和平面BB 1D 1D 所成的角的大小为________．答案　π6解析　如图，连接A 1C 1交B 1D 1于点O ，连接BO .因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1O ⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥A 1O .又因为A 1O ⊥B 1D 1，BB 1∩B 1D 1＝B 1，BB 1⊂平面BB 1D 1D ，B 1D 1⊂平面BB 1D 1D ，所以A 1O ⊥平面BB 1D 1D ，所以∠A 1BO 就是A 1B 和平面BB 1D 1D 所成的角．设正方体的棱长为a ，则A 1B ＝a ，A 1O ＝.22a2又因为∠A 1OB ＝90°，所以sin ∠A 1BO ＝＝，A 1O A 1B 12又∠A 1BO ∈，所以∠A 1BO ＝，[0，π2]π6所以A 1B 和平面BB 1D 1D 所成的角是.π6课时对点练1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AC 1与CD 所成的角的余弦值为( )A. B. C. D.32331263答案　B2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AA 1，AB 的中点，则异面直线EF 与C 1D 所成角的大小是( )A. B. C. D.π6π4π3π2答案　D解析　如图，在正方体中，连接A 1B ，CD 1，且CD 1∩C 1D ＝O .因为E ，F 分别是棱AA 1，AB 的中点，所以EF ∥A 1B .又A 1B ∥CD 1，所以EF ∥CD 1，所以∠COD 即为异面直线EF 与C 1D 所成的角(或补角)．因为平面CDD 1C 1为正方形，所以∠COD ＝，所以异面直线EFπ2与C 1D 所成角的大小为.π23.在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .若AB ＝AC ＝AA 1＝1，BC ＝，则异面直2线A 1C 与B 1C 1所成的角为( )A ．60°B ．30°C ．90°D ．45°答案　A 解析　因为几何体是棱柱，BC ∥B 1C 1，则直线A 1C 与BC 所成的角就是异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ，连接BA 1(图略)，∵AB ＝AC ＝AA 1＝1，∴BA 1＝，CA 1＝.22∴△BCA 1是等边三角形，∴异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为60°.4．若斜线段AB 的长是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB 与平面α所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．120°答案　A解析　斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO 即是斜线段AB 与平面α所成的角．因为AB ＝2BO ，所以cos ∠ABO ＝＝，BO AB 12所以∠ABO ＝60°.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1和平面ACD 1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.23332363答案　D解析　如图，不妨设正方体的棱长为1，上、下底面的中心分别为O 1，O ，则OO 1∥BB 1，O 1O 和平面ACD 1所成的角就是BB 1和平面ACD 1所成的角，即∠O 1OD 1，则cos ∠O 1OD 1＝＝＝.O 1O OD 1132636．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，则平面AD 1E 与平面ABCD 的交线与直线C 1D 1所成角的正切值为( )A. B. C. D ．2122332答案　A解析　延长D 1E 与直线CD 相交于F ，连接AF ，则平面AD 1E 与平面ABCD 的交线为AF ，而C 1D 1∥CD ，∴∠AFD 为平面AD 1E 与平面ABCD 的交线与直线C 1D 1所成的角，∵E 是棱CC 1的中点，且DD 1∥CC 1，∴CD ＝CF ，∴tan ∠AFD ＝＝.AD DF 127.如图，在三棱锥D －ABC 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB，CD 的中点，EF ＝，则3AD 与BC 所成的角的大小为______．答案　60°解析　如图(1)，取BD 的中点G ，连接GE ，GF .因为BE ＝EA ，BG ＝GD ，所以GE ∥AD ，GE ＝AD ＝1.12因为DF ＝FC ，DG ＝GB ，所以GF ∥BC ，GF ＝BC ＝1.12所以∠EGF (或其补角)是异面直线AD 与BC 所成的角．在△GEF 中，GE ＝1，GF ＝1，EF ＝(如图(2))，3取EF 的中点O ，连接GO ，则GO ⊥EF ，EO ＝EF ＝，1232所以sin ∠EGO ＝＝，EO EG 32所以∠EGO ＝60°，所以∠EGF ＝2∠EGO ＝120°，所以异面直线AD 与BC 所成的角为180°－120°＝60°.8．如图，正四棱锥P －ABCD 的体积为2，底面积为6，E 为侧棱PC 的中点，则直线BE 和平面PAC 所成的角为________．答案　60°解析　如图，在正四棱锥P －ABCD 中，连接BD ，交AC 于O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，则在正四棱锥中，BO ⊥平面PAC .连接OE ，DE ，则∠BEO 是直线BE 和平面PAC 所成的角．∵正四棱锥P －ABCD 的体积为2，底面积为6，∴V ＝×6×PO ＝2，则高PO ＝1.13∵底面积为6，∴BC ＝，OC ＝OB ＝，63则侧棱PB ＝PC ＝＝＝2.1＋(3)24∵E 为侧棱PC 的中点，∴取OC 的中点H ，连接EH ，则EH ⊥OC ，则EH ＝PO ＝，OH ＝OC ＝，12121232则OE ＝＝＝1.EH 2＋OH 2(12)2＋(32)2在Rt △BOE 中，tan ∠BEO ＝＝＝，OB OE 313则∠BEO ＝60°.9.如图，S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝，M ，N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．π2解　如图所示，连接CM ，设Q 为CM 的中点，连接QN ，则QN ∥SM .∴∠QNB 是异面直线SM 与BN 所成的角或其补角．连接BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中，BN ＝a ，NQ ＝SM ＝a ，BQ ＝a ，521224144∴cos ∠QNB ＝＝.BN 2＋NQ 2－BQ 22BN ·NQ 105即异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为.10510．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值．解　如图，取AA 1的中点M ，连接EM ，BM .因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形，所以EM ∥AD .又在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1，所以EM ⊥平面ABB 1A 1，从而直线BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，∠EBM 即为直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角．设正方体的棱长为2a ，则EM ＝AD ＝2a ，BE ＝＝3a .(2a )2＋(2a )2＋a 2于是在Rt △BEM 中，sin ∠EBM ＝＝，EM BE 23即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为.2311.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成的角的余弦值为( )A. B.101035C. D.2245答案　D解析　如图，连接A 1C 1，BC 1，则BC 1∥AD 1，那么∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．又|A 1B |＝|C 1B |＝＝，|A 1C 1|＝，12＋2252由余弦定理可得cos ∠A 1BC 1＝＝.5＋5－22×5×54512．如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为的中点，则异面直线AE 与BC 所成的角BC︵ 的余弦值为( )A. B. C. D.335530666答案　D解析　如图，取BC 的中点H ，连接EH ，AH ，∠EHA ＝90°.不妨设AB ＝2，则BH ＝HE ＝1，AH ＝，所以AE ＝.连接ED ，ED ＝.因为BC ∥AD ，所以异面直线AE566与BC 所成的角即为∠EAD (或其补角)．在△EAD 中，cos ∠EAD ＝＝.6＋4－62×2×66613．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 为CC 1的中点，那么异面直线OE 与AD 1所成的角的余弦值等于( )A. B. C. D.62223363答案　D解析　如图所示，取BC 的中点F ，连接EF ，OF ，BC 1.因为E 为CC 1的中点，EF ∥BC 1∥AD 1，故∠OEF 即为异面直线OE 与AD 1所成的角(或其补角)，不妨设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则在△OEF 中，EF ＝，OE ＝，OF ＝1，23故∠OFE ＝90°，故cos ∠OEF ＝＝.EF OE 6314.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，H 为EF 的中点，沿AE ，EF ，FA 将正方形折起，使B ，C ，D 重合于点O ，在构成的四面体OAEF 中，下列结论错误的是( )A ．AO ⊥平面EOFB ．直线AH 与平面EOF 所成角的正切值为22C ．四面体OAEF 的内切球的表面积为πD ．异面直线OH 与AE 所成角的余弦值为1010答案　C解析　翻折前，AB ⊥BE ，AD ⊥DF ，故翻折后，AO ⊥OE ，AO ⊥OF ，又OE ∩OF ＝O ，∴AO ⊥平面EOF ，故A 正确；连接OH ，AH ，如图，则∠OHA 为AH 与平面EOF 所成的角．∵OE ＝OF ＝1，∴EF ＝＝，∴OE ⊥OF ，又H 是EF 的中点，∴OH ＝EF ＝.12＋1221222又OA ＝2，∴tan ∠OHA ＝＝2，故B 正确；OAOH 2设四面体OAEF 的表面积为S ，体积为V ，内切球半径为r ，则V ＝S ·r .又V ＝S △OEF ·OA ＝1313××1×1×2＝，S ＝2××1×2＋×1×1＋××＝4，∴r ＝，解得r ＝，∴1312131212122322431314内切球的表面积为4πr 2＝，故C 错误；π4取AF 的中点，连接OP ，HP .∵点P 是AF 的中点，点H 是EF 的中点，∴PH ∥AE ，∴∠OHP 为异面直线OH 与AE 所成的角或其补角．∵OE ＝OF ＝1，OA ＝2，∴OP ＝AF ＝，PH ＝AE ＝，OH ＝，1252125222再取OH 的中点M，连接PM ，则PM ⊥OH ，∴cos ∠OHP ＝＝＝，故D 正确．MH PH 12OH PH 101015．(多选)如图，设E ，F 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱DC 上两点，且AB ＝2，EF ＝1，则下列说法中正确的是( )A ．异面直线D 1B 1与EF 所成的角为60°B ．三棱锥D 1－B 1EF 的体积为定值C ．平面B 1EF 与平面A 1B 1C 1D 1所成的二面角的大小为45°D ．直线D 1B 1与平面B 1EF 所成的角为30°答案　BCD解析　由于EF ∥C 1D 1，因此异面直线D 1B 1与EF 所成的角就是D 1B 1与C 1D 1所成的角，为45°，A 错误；△D 1EF 的面积不变，B 1到平面D 1EF 即平面D 1DCC 1的距离不变，因此三棱锥B 1－D 1EF 的体积不变，即三棱锥D 1－B 1EF 的体积为定值，B 正确；平面B 1EF 即为平面A 1B 1CD ，∠D 1A 1D 为平面A 1B 1CD 与平面A 1B 1C 1D 1所成的二面角的平面角，∠D 1A 1D ＝45°，C 正确；连接AD 1交A 1D 于M ，连接B 1M (图略)，由正方体性质知A 1B 1⊥AD 1，A 1D ⊥AD 1，而A 1B 1∩A 1D ＝A 1，因此AD 1⊥平面A 1B 1CD ，因此∠D 1B 1M 是直线B 1D 1与平面A 1B 1CD 即平面B 1EF 所成的角，在Rt △MB 1D 1中，D 1M ＝D 1B 1，所以∠D 1B 1M ＝30°，D 正确．1216.如图，点P 为平面ABC 外一点，AP ，AB ，AC 两两互相垂直，过AC 的中点D 作ED ⊥平面ABC ，且ED ＝1，PA ＝2，AC ＝2，连接BP ，BE ，多面体B －PADE 的体积是.33(1)画出平面PBE 与平面ABC 的交线，并说明理由；(2)求BE 和平面PADE 所成的角的正切值．解　(1)如图，延长PE 交AC 于点F ，∵AP ，AB ，AC 两两互相垂直，∴PA ⊥平面ABC .∵DE ⊥平面ABC ，∴DE ∥PA ，∴＝＝，∴F 与C 重合．DF AF DE PA 12∵C ∈PE ，C ∈AC ，PE ⊂平面PBE ，AC ⊂平面ABC ，∴C 是平面PBE 与平面ABC 的公共点．又B 是平面PBE 与平面ABC 的公共点，∴BC 是平面PBE 与平面ABC 的交线．(2)如图，连接AE .∵AP ，AB ，AC 两两互相垂直，∴AB ⊥平面PAC ，∴∠BEA 为BE 和平面PADE 所成的角．∵V B －PADE ＝S 梯形ADEP ·AB13＝××(1＋2)×1×AB ＝，131233∴AB ＝.233又∵AE ＝＝，AD 2＋DE 22∴tan ∠BEA ＝＝.AB AE 63。

异面直线所成的角的求法法一：平移法例1：在正方体1111ABCD A B C D -中，求下列各对异面直线所成的角。

（1）1AA 与BC ； （2）1DD 与1A B ； （3）1A B 与AC 。

法二：中位线例2：在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，且AB ⊥CD ，点M 、N 分别为BC 、AD 的中点，求直线AB 与MN 所成的角。

变式：在空间四边形ABCD 中，点M 、N 分别为BC 、AD 的中点，AB ＝CD ＝2，且MN ＝2，求直线AB 与CD 所成的角。

习题1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角． 5．如图1—28的正方体中，E 是A′D′的中点(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线? (2)求直线BA′和CC′所成的角的大小； (3)求直线AE 和CC′所成的角的正切值；(4)求直线AE 和BA′所成的角的余弦值法三：补形法 例3：如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°且PA=AC=BC ，求下列各对异面直线所成的角的正切值.（1）PB 与AC ；(2)AB 与PC 。

法四：空间向量法例4：在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1,BB CD 的中点，求证：1AE D F⊥ 变式1. 如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。

求异面直线所成角的基本方法
答案：几何法和向量法求所成角
一、几何法
1.平移法。

将两条直线或其中一条平移（找出平行线）至它们相交，把异面转化为共面，用余弦定理或正弦定理来求（一般是余弦定理）。

一般采用平行四边形或三角形中位线来构造平行线。

2.三余弦定理法。

运用三余弦定理关键是要找出一条直线a所在的平面α和另一条直线b在该平面α内的射影，求出b与α所成角以及a与b的射影b‘所成角，进而求a与b所成角。

3.三棱锥法。

三棱锥（四面体）中两条相对的棱互为异面直线，设有四面体ABCD，其中AD与BC互为异面直线，那么它们所成角θ满足以下关系：
运用该公式也可以求异面直线所成角。

二、向量法
1.向量几何法。

运用向量的加减法规则，把要求的异面直线用向量表示，并运用向量的运算法则（例如分配律、共线向量）来求出cosθ
2.向量代数法。

当容易找到三条两两垂直的直线时，可以以它们的交点为坐标轴原点建立直角坐标系，运用代数方法计算。

如何求异面直线所成的角
在高一阶段，我们常用的方法有以下三种：
（1）直接平移法：通常的思路是：在两条异面直线其中一条上面选一个端点，引另一条的平行线。

（2）中位线平移（尤其是图中出现了线段的中点时）
（3）补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。