异面直线所成角

异面直线所成角的几种求法仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。

因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。

在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。

一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。

求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。

解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。

作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ， 连结GH ，有GH//A 1E 。

过F 作CD 的平行线RS ， 分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS 。

由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。

在△GHS 中，设正方体边长为a 。

GH=46a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ， B A CD FEB 1 A 1 D 1C 1G HSRPQ仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3连QH ，可知△GQH 为直角三角形），HS=26a （连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形）， GS=426a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。

∴Cos ∠GHS=61。

所以直线A 1E 与直线B 1F解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用 点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。

以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，设BC 长度为2。

求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A ）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。

还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版（B ）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。

例：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角。

解法1：平移法设A 1C 1与B 1D 1交于O ，取B 1B 中点E ，连接OE ，因为OE//D 1B ，所以∠C 1OE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角△C 1OE 中211E B C B E C 2312221BD 21OE 25C A 21OC 22212111221111=+=+==++⋅====()552325222325OEOC 2E C OE OC OE C cos 2221212211=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-+=∠所以55a r c c o sOE C 1=∠所以 所以异面直线111BD C A 与所成的角为55arccos图1解法2：补形法在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面BC 1上补上一个同样大小的长方体，将AC 平移到BE ，则∠D 1BE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角，在△BD 1E 中，BD 1=3，5BE =，5224E D 221=+=()()555325253BE BD 2E D BE BD BE D cos 2221212211-=⨯⨯-+=⋅-+=∠所以异面直线A 1C 1与BD 1所成的角为55arccos图2解法3：利用公式21cos cos cos θθθ⋅=设OA 是平面α的一条斜线，OB 是OA 在α内的射影，OC 是平面α内过O 的任意一条直线，设OA 与OC 、OA 与OB 、OB 与OC 所成的角分别是θ、θ1、θ2，则21cos cos cos θθθ⋅=（注：在上述题设条件中，把平面α内的OC 换成平面α内不经过O 点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D 1B 在平面ABCD 内射影是BD ，AC 看作是底面ABCD 内不经过B 点的一条直线，BD 与AC 所成的角为∠AOD ，D 1B 与BD 所成角为∠D 1BD ，设D 1B 与AC 所成角为θ，AOD cos BD D cos cos 1∠⋅∠=θ，55BD BD BD D cos 11==∠。

异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

直接平移法1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。

在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。

2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角ABC DA 1B 1C 1D 1EF连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS∠QNB＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG∥BM 交BC 于G ，连接AG ，易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6，cos∠GNA＝1030562556=⨯⨯-+。

向量法求空间角求空间角的大小，是立体几何的重点、难点，也是高考中的热点。

运用向量解决这类问题，可以把几何关系转化为向量问题，从而求出角的大小。

向量法的最大优点是思路清晰，过程简捷，可以不去直接做出角，从而降低了对空间想象能力和逻辑思维能力的要求。

下面对用向量求空间角分类例说。

一、两条异面直线所成的角 1、 求角的方法：设两条异面直线为L 1、L 2所成的角为θ。

向量a ρ，b ρ分别21l l 、的方向向量。

因为两条异面直线所成的角θ∈（0，2π]，所以cos θ>0。

又因为向量a ρ，b ρ的夹角，<a ρ，b ρ>∈[]π，0， cos<a ρ，b ρ>的值的符号不定，所以cos θ=><b a ρρ,cos =ba ba ρρρρ⋅2、例题例1、（09福建 17）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ABCD ⊥平面，NB ABCD ⊥平面，且MD=NB=1，E 为BC 的中点求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值解析：如图以D 为坐标原点，建立空间直角坐标D xyz -依题意，得1(0,0,0)(1,0,0)(0,0,1),(0,1,0),(1,1,0),(1,1,1),(,1,0)2D A M C B NE 。

10cos ,10||||NE AM NE AM NE AM <>==-⨯u u u v u u u u vu u u v u u u u v g u u u uv u u u u v Q ， 所以异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为1010评析：此题中利用向量的坐标法求出两向量的夹角的余弦值为负值，但两条异面直线所成的角的余弦值却为正值。

二、直线和平面所成的角 1、求角的方法：直线与平面所成的角为θ，a ρ是直线l 的方向向量，b ρ是平面α的一个法向量，则sin θ=><b a ρρ，cos =ba ba ρρρρ⋅说明：两种情况都成立，所以在做题时无需考虑斜线的方向向量和平面的法向量的方向 2、例题例2、(09辽宁18) （本小题满分12分）BANM如图，己知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内， M ，N 分别为AB , DF 的中点，若平面ABCD⊥平面DCEF 求直线MN 与平面DCEF 所成角的正弦值；解：设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2，以D 为坐标原点，分别以射线DC ，DF ，DA 为x ，y ，z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图.设直线MN 与平面DCEF 所成角为θ。

如何求异面直线所成的角立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作→证→求。

其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。

Ⅰ、用平移法作两条异面直线所成的角一、端点平移法例1、在直三棱柱111C B A ABC -中，090CBA ∠=,点D ,F 分别是11A C ,11A B 的中点，若1AB BC CC ==,求CD 与AF 所成的角的余弦值。

解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ，//DF EC 且DF EC =∴四边形DFEC 为平行四边形//EF DC ∴EFA ∴∠（或它的补角）为CD 与AF 所成的角。

设2AB =,则EF =AF =EA =故2222EF FA EA EFA EF FA +-∠==arccos10EFA ∴∠=二、中点平移法例2、在正四面体ABCD 中, M ,N 分别是BC ,AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。

解：连结MD ，取MD 的中点O ，连结NO ，1O 、N 分别MD 、AD 为的中点，∴NO 为DAM ∆的中位线， ∴//NO AM ，ONC ∴∠（或它的补角）为AM 与CN 所成的角。

设正四面体ABCD 的棱长为2，则有2NO =，CN =2CO =, 故2222cos 23NO CN CO ONC NO CN +-∠== 2arccos 3ONC ∴∠=三、特殊点平移法例3、如图，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知4AB =，20CD =，7EF =，13AF BE FD EC ==，求异面直线AB 与CD 所成的角。

解：在BD 上取一点G ，使得13BG GD =，连结EG FG 、，在BCD ∆中，13BE BG EC GD ==，故//EG CD ，同理可证：//FG ABFGE ∴∠（或它的补角）为AB 与CD 所成的角。

异面直线所成角求解方法：平面投影与夹角计算
在立体几何中，求解异面直线所成的角，可以采用以下步骤：
1.确定两条异面直线，并选择其中一条作为基准。

2.在这条基准直线上选择一个点，作为求解异面直线所成角的起点。

3.分别过这条基准直线上的点和另一条异面直线作平面，这两个平面会相交
于一条直线。

4.计算这条交线与基准直线的夹角，即为异面直线所成的角。

具体来说，假设两条异面直线分别为$l_1$和$l_2$，其中$l_1$为基准直线，点$P$在$l_1$上，过点$P$和$l_2$作平面$\alpha$和$\beta$，两平面相交于直线$m$。

由于$m$与$l_1$的夹角是异面直线$l_1$和$l_2$所成的角，记作$\angle l_1 m l_2$。

为了求解$\angle l_1 m l_2$，可以在平面$\alpha$上过点$P$作直线$n \parallel l_2$，交直线$m$于点$Q$。

由于$\angle l_1 PQ$是两平面$\alpha$和$\beta$的夹角，也是直线$l_1$和直线$m$的夹角，记作$\angle l_1 m l_2'$。

因此，异面直线所成的角$\angle l_1 m l_2 = \angle l_1 m l_2'$。

通过以上步骤，我们可以求解出异面直线所成的角。

【高中数学】高中数学知识点：异面直线所成的角异面直线所成角的定义：直线a和B是具有不同平面的直线。

如果它们通过空间中的任意点O并分别引导直线a′和B′B，则直线a′和B′形成的锐角（或直角）称为直线a和B与不同平面形成的角，如下图所示。

两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。

在不同平面上直线形成的角度定义中，空间中的点O是可选的，与点O的位置无关。

求异面直线所成角的步骤：a、通过定义构造角度，一个可以固定，另一个可以平移，或者两个可以同时平移到特定位置，并且可以在特定位置选择顶点。

b、证明作出的角即为所求角；c、使用三角形来寻找角度。

特别提醒:（1）两条直线在不同平面上形成的角度与点O（平移后两条直线的交点）的选择无关(2)两异面直线所成角θ的取值范围是0<θ≤90．（3）判断空间中两条直线是不同平面直线的方法① 判断定理：平面外a点与平面内B点之间的连线与平面内的直线，但B点是不同的平面直线；② 相反的证明：不可能证明两条直线是共面的线线角的求法：（1）定义方法：使用“平移变换”使其成为两条相交直线形成的角度。

当不同平面上的直线垂直时，使用直线平面垂直度的定义或三垂线定理和逆定理来确定角度为90．(2)向量法：设两条直线所成的角为θ（锐角），直线l一和l二的方向向量分别为高中数学相关知识点：直线与平面的夹角直线与平面所成的角的定义：① 直线和平面形成三个角：a．斜线和平面所成的角：一条直线与平面α相交，但不和α垂直，这条直线叫做平面α的斜线．斜线与α的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面α内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．b、垂直线与平面之间的角度：如果直线与平面垂直，则它们形成的角度为直角。

c．一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为0零.② 取值范围：0≤ θ≤90．求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。

求异面直线所成角的步骤
1. 确定直线的方向向量：首先找到直线上的两个点，计算这两个点的坐标差值，得到直线的方向向量。

2. 求两个面的法向量：找到两个平面的方程，然后将方程转化为法向量的形式。

3. 计算直线与两个平面的法向量的夹角：使用向量的点乘公式，计算直线的方向向量与两个平面的法向量的点乘，得到两个夹角的余弦值。

4. 通过余弦值得到角度：使用反余弦函数，计算出两个夹角的角度值。

注意：根据夹角的符号可判断当异面直线存在时，夹角的位置关系。

异面直线所成角概念&性质：在三维空间中，当两条直线不在同一个平面上时，它们所成的角称为异面直线所成角。

异面直线所成角与二维平面中直线所成角有着一定的区别。

在二维平面中，直线之间只能是相交或平行，而在三维空间中，两条直线可能相交，也可能平行，因此在考虑两条异面直线所成角的问题时，需要考虑两条直线是否平行，如果平行则不存在所成角。

我们可以通过斜线与平面的关系来确定两条直线是否平行，具体方法有以下两种：1. 方向向量法：设异面直线L1和L2分别由向量a1和a2表示，判断直线是否平行可以通过检查两个向量的数量积是否为零。

当a1·a2=0时，L1和L2平行。

2. 法向量法：设L1过点P1(x1, y1, z1)，方向向量为a1=(a, b, c)；L2过点P2(x2, y2, z2)，方向向量为a2=(d, e, f)。

设L1所在平面的法向量为n1=(m, n, p)，L2所在平面的法向量为n2=(q, r, s)。

要判断L1和L2是否平行，可以检查两个法向量的数量积是否为零，即m·q + n·r + p·s=0。

如果两条异面直线不平行，则它们所成的角可以通过以下步骤计算：1. 找到两条直线的公共点，并将其命名为点O。

2. 分别取一条直线上的两个点，分别命名为A和B；再分别取另一条直线上的两个点，分别命名为C和D。

其中，A、C在直线L1上，B、D在直线L2上。

3. 计算向量OA和OD的数量积，记为a，计算向量OB和OD的数量积，记为b。

则两条直线所成的角θ可通过以下公式计算：θ= arccos(a / |OA|·|OD|) = arccos(b / |OB|·|OD|)。

4. 由于计算角度时需要使用反余弦函数arccos，所以角度θ的范围在[0, π]之间。

结论：异面直线所成角是三维空间中的一个重要概念，在几何学和物理学中起着重要的作用。

异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。

因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。

在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。

一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是相邻两侧面BCC1B1及CDD1C1的中心。

求A1E和B1F所成的角的大小。

解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线1 到某个点上。

作法：连结B1E，取B1E中点G及A1B1中点H，连结GH，有GH//A1E。

过F作CD的平行线RS， B1 S 分别交CC1、DD1于点R、S，连结SH，连结GS。

Q 由B1H//C1D1//FS，B1H=FS，可得B1F//SH。

E 在△GHS中，设正方体边长为a。

GH=6a（作直线GQ//BC交BB1于点Q， 4B P连QH，可知△GQH为直角三角形）， HS=6a（连A1S，可知△HA1S为直角三角形）， 226a（作直线GP交BC于点P，连PD，可知四边形GPDS为直角梯形）。

41GS=∴Cos∠GHS=1。

61。

6所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体，所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角。

以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，设BC长度为2。

第 1 页共 4 页则点A1的坐标为（0，2，2），点E的坐标为（1，0，1），点B1的坐标为（0，0，2），点F的坐标为（2，1，1）；所以向量EA，向量B1的坐标为（2，1，-1）， 1的坐标为（-1，2，1）所以这两个向量的夹角θ满足cosθ11=(-1)⨯2+2⨯1+1⨯(-1)(-1)2+(2)2+(1)2⋅(2)2+(1)2+(-1)21 6=-1。

设向量a是直线a的一个方向向量，向量b是直线b的一个方向向量，直线a,b 所成角的余弦值是通过公式：cos<向量a，向量b>=[向量a·向量b]/|向量a||向量b||。

再用sinθ=√1-cos^2(θ)公式求出sinθ，弦值是在直角三角形中,对边的长比上斜边的长的值。

任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

异面直线。

1、直线a，b是异面直线，经过空间一点O，分别引直线A//a,B//b,相交直线A，B所成的锐角（或直角）叫做异面直线a,b所成的角。

2、异面直线所成角的计算。

（1）平移其中一条或两条使其相交。

（2）连接端点，使角在一个三角形中。

（或者平行四边形等可以轻易求出角与角关系的基本平面几何形中）。

（3）计算三条边长，用余弦定理或正弦定理计算余弦值。

（4）若余弦值为负，则取其相反数。