2020届高三理数一轮讲义：5.1-平面向量的概念及线性运算(含答案)

§5.1　平面向量的概念及线性运算最新考纲　1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.通过实例，掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.3.通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μ a )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .概念方法微思考1．若b 与a 共线，则存在实数λ使得b ＝λa ，对吗？提示　不对，因为当a ＝0，b ≠0时，不存在λ满足b ＝λa .2．如何理解数乘向量？提示　λa 的大小为|λa |＝|λ||a |，方向要分类讨论：当λ>0时，λa 与a 同方向；当λ<0时，λa 与a 反方向；当λ＝0或a 为零向量时，λa 为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？提示　如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb .题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(　√　)(2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．(　√　)(3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .(　×　)(4)若向量与向量是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．(　×　)AB → CD →(5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．(　√　)(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　×　)题组二　教材改编2．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且＝a ，＝b ，则＝________，＝OA → OB → DC → BC →________.(用a ，b 表示)答案　b －a －a －b解析　如图，＝＝－＝b －a ，DC → AB → OB → OA →＝－＝－－＝－a －b .BC → OC → OB → OA → OB →3．在平行四边形ABCD 中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD 的形状为________．AB → AD → AB → AD →答案　矩形解析　如图，因为＋＝，AB → AD → AC →－＝，AB → AD → DB → 所以||＝||.AC → DB →由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形．题组三　易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案　A解析　若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.答案　12解析　∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则Error!解得λ＝μ＝.126．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝AB ，BE ＝BC .若＝λ1＋λ2(λ1，λ21223DE → AB → AC →为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案　12解析　＝＋＝＋DE → DB → BE → 12AB → 23BC→＝＋(＋)＝－＋，12AB → 23BA → AC → 16AB → 23AC → ∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.162312题型一　平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且＝，则ABCD 为平行四边形；AB → DC →④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中真命题的序号是________．答案　③解析　①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；③正确，因为＝，所以||＝||且∥；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以AB → DC → AB → DC → AB → DC →四边形ABCD 为平行四边形；④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．故填③.2．判断下列四个命题：①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案　A解析　只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．题型二　平面向量的线性运算命题点1　向量加、减法的几何意义例1 (2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )A．a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|>|b|答案　A解析　方法一　∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b .∴a·b ＝0.∴a ⊥b .故选A.方法二　利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD 中，设＝a ，＝b ，AB → AD →由|a ＋b |＝|a －b |知，||＝||，AC → DB →从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b .故选A.命题点2　向量的线性运算例2 (1)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设＝a ，＝b ，AB → AD →则向量等于( )BF →A.a ＋b B ．－a －b13231323C ．－a ＋bD.a －b 13231323答案　C解析　＝＝(＋)BF → 23BE → 23BC → CE →＝＝－a ＋b ，23(b －12a )1323故选C.(2)(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则等于( )EB →A.－B.－34AB → 14AC → 14AB → 34AC →C.＋D.＋34AB → 14AC → 14AB → 34AC →答案　A解析　作出示意图如图所示．＝＋＝＋EB → ED → DB → 12AD → 12CB → ＝×(＋)＋(－)1212AB → AC → 12AB → AC → ＝－.34AB → 14AC →故选A.命题点3　根据向量线性运算求参数例3　在锐角△ABC 中，＝3，＝x ＋y ，则＝________.CM → MB → AM → AB → AC →x y 答案　3解析　由题意得＋＝3(－)，CA → AM → AB → AM →即4＝3＋，AM → AB → AC →亦即＝＋，AM → 34AB → 14AC → 则x ＝，y ＝.3414故＝3.x y思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1 (1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且＝2，＝3，若＝a ，BD → DC → CE → EA → AB →＝b ，则等于( )AC → DE →A.a ＋bB.a －b 13512131312C ．－a －bD ．－a ＋b135********答案　C解析　＝＋＝＋DE → DC → CE → 13BC → 34CA→＝(－)－13AC → AB → 34AC→＝－－＝－a －b ，故选C.13AB → 512AC → 13512(2)(2018·威海模拟)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若＝x ＋yAB → AE → (x ，y ∈R )，则x －y ＝________.AF →答案　2解析　由题意得＝＋＝＋，AE → AB → BE → AB → 12AD →＝＋＝＋，AF → AD → DF → AD → 12AB → 因为＝x ＋y ，AB → AE → AF →所以＝＋，AB → (x ＋y 2)AB → (x 2＋y )AD → 所以Error!解得Error!所以x －y ＝2.题型三　共线定理的应用例4 设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )，AB → BC → CD →求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1)证明　∵＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )，AB → BC → CD →∴＝＋＝2a ＋8b ＋3(a －b )BD → BC → CD →＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5，AB → ∴，共线．AB → BD →又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)解　假设k a ＋b 与a ＋k b 共线，则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1.引申探究　1．若将本例(1)中“＝2a ＋8b ”改为“＝a ＋m b ”，则m 为何值时，A ，B ，D 三点共线？BC → BC →解　＋＝(a ＋m b )＋3(a －b )＝4a ＋(m －3)b ，BC → CD →即＝4a ＋(m －3)b .BD →若A ，B ，D 三点共线，则存在实数λ，使＝λ.BD → AB →即4a ＋(m －3)b ＝λ(a ＋b )．所以Error!解得m ＝7.故当m ＝7时，A ，B ，D 三点共线．2．若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？解　因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ<0)．所以Error!所以k ＝±1.又λ<0，k ＝λ，所以k ＝－1.故当k ＝－1时两向量反向共线．思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练2 已知O ，A ，B 是不共线的三点，且＝m ＋n (m ，n ∈R )．OP → OA → OB →(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明　(1)若m ＋n ＝1，则＝m ＋(1－m )＝＋m (－)，OP → OA → OB → OB → OA → OB →∴－＝m (－)，OP → OB → OA → OB →即＝m ，∴与共线．BP → BA → BP → BA →又∵与有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线．BP → BA →(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使＝λ，BP → BA →∴－＝λ(－)．OP → OB → OA → OB →又＝m ＋n .OP → OA → OB →故有m ＋(n －1)＝λ－λ，OA → OB → OA → OB →即(m －λ)＋(n ＋λ－1)＝0.OA → OB →∵O ，A ，B 不共线，∴，不共线，OA → OB →∴Error!∴m ＋n ＝1.1．对于非零向量a ，b ，“a ＋2b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案　A解析　若a ＋2b ＝0，则a ＝－2b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋2b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．2．已知向量＝a ＋3b ，＝5a ＋3b ，＝－3a ＋3b ，则( )AB → BC → CD →A ．A ，B ，C 三点共线B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线答案　B解析　∵＝＋＝2a ＋6b ＝2，BD → BC → CD → AB →∴与共线，由于与有公共点B ，BD → AB → BD → AB →因此A ，B ，D 三点共线，故选B.3.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 上的一个靠近点B 的三等分点，那么等于( )EF →A.－B.＋12AB → 13AD →14AB → 12AD → C.＋ D.－13AB → 12DA →12AB → 23AD →答案　D解析　在△CEF 中，有＝＋.EF → EC → CF → 因为点E 为DC 的中点，所以＝.EC → 12DC →因为点F 为BC 上的一个靠近点B 的三等分点，所以＝.CF → 23CB →所以＝＋＝＋EF → 12DC → 23CB → 12AB → 23DA →＝－，故选D.12AB → 23AD →4．(2018·唐山模拟)在△ABC 中，点G 满足＋＋＝0.若存在点O ，使得＝，GA → GB → GC → OG → 16BC →且＝m ＋n ，则m －n 等于( )OA → OB → OC →A ．2B ．－2C ．1D ．－1答案　D解析　∵ ＋＋＝0，GA → GB → GC →∴－＋－＋－＝0，OA → OG → OB → OG → OC → OG →∴＝＝＝，OG → 13(OA → ＋OB → ＋OC → )16BC → 16(OC → －OB → )可得＝－－，OA → 12OC → 32OB →∴m ＝－，n ＝－，m －n ＝－1，故选D.32125.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，＝a ，＝b ，则AB → AC → AD →等于( )A ．a －b B.a －b 1212C ．a ＋b D.a ＋b 1212答案　D 解析　连接OC ，OD ，CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆O 半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以＝＋＝＋＝a ＋b ，故选D.AD → AO → AC → 12AB → AC → 126.如图，在△ABC 中，＝，P 是BN 上的一点，若＝m ＋，则实数m 的值为( )AN → 13AC → AP → AB → 211AC →A. B.911511C. D.311211答案　B解析　注意到N ，P ，B 三点共线，因此＝m ＋＝m ＋，AP → AB → 211AC → AB → 611AN →从而m ＋＝1，所以m ＝.6115117．若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________.AB → AC → AB → AC → AB → AC →答案　23解析　因为||＝||＝|－|＝2，AB → AC → AB → AC →所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以|＋|为△ABC 的边BC 上的高的2倍，AB → AC →所以|＋|＝2.AB → AC →38．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC 的形OB → OC → OB → OC → OA →状为________．答案　直角三角形解析　因为＋－2＝－＋－OB → OC → OA → OB → OA → OC → OA →＝＋，－＝＝－，AB → AC → OB → OC → CB → AB → AC →所以|＋|＝|－|，AB → AC → AB → AC →即·＝0，AB → AC →故⊥，△ABC 为直角三角形．AB → AC →9．若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且＝3，设＝λ＋μ，则λ的值为________．CM → MB → AM → AB → AC →答案　34解析　由题设知＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ，CM MB则＝＝＝，MN AC BN BA BM BC 14从而＝，AN AB 34又＝λ＋μ＝＋＝＋，AM → AB → AC → AN → NM → 34AB → 14AC →所以λ＝.3410．(2019·钦州质检)已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，＝2e 1－3e 2，＝λe 1＋6e 2，MN → NP →若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________.答案　－4解析　因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得＝k ，MN → NP →所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，可得Error!解得λ＝－4.11．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且＋＝－2，求△ABC 与△AOC 的面积之OA → OC → OB → 比．解　取AC 的中点D ，连接OD ，则＋＝2，OA → OC → OD →∴＝－，OB → OD →∴O 是AC 边上的中线BD 的中点，∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设＝a ，AB →＝b ，试用a ，b 表示向量.AC → AO →解　方法一　由D ，O ，C 三点共线，可设＝k 1＝k 1(－)＝k 1DO → DC → AC → AD → (b －12a )＝－k 1a ＋k 1b (k 1为实数)，12同理，可设＝k 2＝k 2(－)BO → BF → AF → AB →＝k 2＝－k 2a ＋k 2b (k 2为实数)， ①(12b －a )12又＝＋＝－a ＋BO → BD → DO → 12(－12k 1a ＋k 1b )＝－(1＋k 1)a ＋k 1b ， ②12所以由①②，得－k 2a ＋k 2b ＝－(1＋k 1)a ＋k 1b ，1212即(1＋k 1－2k 2)a ＋b ＝0.12(12k 2－k 1)又a ，b 不共线，所以Error!　解得Error!所以＝－a ＋b .BO → 2313所以＝＋AO → AB → BO →＝a ＋＝(a ＋b )．(－23a ＋13b )13方法二　延长AO 交BC 于点E ，O 为△ABC 的重心，则E 为BC 的中点，所以＝＝×(＋)＝(a ＋b )．AO → 23AE → 2312AB → AC → 1313．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若＝λ＋μ(λ，μDE → AB → AD →为实数)，则λ2＋μ2等于( )A. B. C ．1 D.5814516答案　A解析　＝＋＝＋DE → 12DA → 12DO → 12DA → 14DB →＝＋(＋)＝－，12DA → 14DA → AB → 14AB → 34AD →所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝，故选A.14345814．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若＝λ＋μ(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )OC → OA → OB →A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，]D ．(－1,0)2答案　B解析　设＝m ，则m >1，OC → OD →因为＝λ＋μ，OC → OA → OB →所以m ＝λ＋μ，OD → OA → OB →即＝＋，OD → λm OA → μm OB →又知A ，B ，D 三点共线，所以＋＝1，即λ＋μ＝m ，λm μm所以λ＋μ>1，故选B.15．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足＝OP → 13，则点P 一定为△ABC 的( )(2OA → ＋12OB → ＋12OC → )A ．BC 边中线的中点B ．BC 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．BC 边的中点答案　B解析　设BC 的中点为M ，则＋＝，12OC → 12OB →OM → ∴＝(＋2)＝＋，OP → 13OM → OA → 13OM → 23OA →即3＝＋2，也就是＝2，OP → OM → OA → MP → PA →∴P ，M ，A 三点共线，且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点．16．设W 是由一平面内的n (n ≥3)个向量组成的集合．若a ∈W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量．有下列命题：①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a ，b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c ＝－a －b ，使得W ＝{a ，b ，c }中的每个元素都是极大向量；③若W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量，且W 1，W 2中无公共元素，则W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是________．答案　②③解析　①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a ，b ，c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量时，W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．。

第五章平面向量【真题典例】§5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理挖命题【考情探究】分析解读从近几年的高考试题来看,高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,重点考查向量的概念、几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件和向量的坐标运算,此类问题一般难度不大.向量的有关概念、向量的线性运算、平面向量基本定理、向量的坐标运算等知识是平面向量的基础,高考主要考查基础运用,其中线性运算、坐标运算、平面向量基本定理是高考的重点与热点,要熟练掌握.破考点【考点集训】考点一平面向量的线性运算及其几何意义1.(2018河北唐山二模,4)已知O是正方形ABCD的中心.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则=()A.-2B.-C.-D.答案A2.(2018吉林调研,8)已知a,b是不共线的非零向量,=λa+b,=a+μb(λ,μ∈R),若A,B,C三点共线,则λ,μ的关系一定成立的是()A.λμ=1B.λμ=-1C.λ-μ=1D.λ+μ=2答案A3.(2019届广东普宁一中10月月考,9)在△OAB中,若点C满足=2,=λ+μ,则+=()A. B. C. D.答案D考点二平面向量基本定理及向量的坐标运算1.(2018河北衡水中学五调,8)已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则m的取值范围是()A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,+∞)D.(-∞,2)∪(2,+∞)答案D2.(2019届湖北重点中学第一次联考,5)已知向量a=(-2,1),b=(-1,3),则()A.a∥bB.a⊥bC.a∥(a-b)D.a⊥(a-b)答案D3.(2018河北武邑中学期中,8)已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,AC=2,D是△ABC内一点,且∠DAB=60°,设=λ+μ(λ,μ∈R),则=()A. B.C.3D.2答案A炼技法【方法集训】方法1向量共线问题的求解方法1.(2018福建漳州二模,5)已知点C(1,-1),D(2,x),若向量a=(x,2)与的方向相反,则|a|=()A.1B.2C.2D.答案C2.(2017河北石家庄二中月考,7)M是△ABC所在平面内一点,++=0,D为AC的中点,则的值为()A. B. C.1 D.2答案B3.(2017福建福州3月质检,6)设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则+的最小值为()A.4B.6C.8D.9答案C方法2利用平面向量基本定理解决问题的方法1.(2018陕西部分名校摸底考试,7)如图,在△ABC中,=,P是BN上一点,若=m+,则实数m的值为()A. B. C. D.答案D2.(2018天津和平一模,5)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为()A. B. C.2 D.答案B3.(2017河南中原名校4月联考,7)如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若=λ+μ(λ,μ为实数),则λ2+μ2=()A. B. C.1 D.答案A过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一平面向量的线性运算及其几何意义1.(2018课标全国Ⅰ,7,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=()A.-B.-C.+D.+答案A2.(2017课标全国Ⅱ,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则()A.a⊥bB.|a|=|b|C.a∥bD.|a|>|b|答案A3.(2014课标Ⅰ,6,5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=()A. B. C. D.答案A考点二平面向量基本定理及向量的坐标运算1.(2015课标Ⅰ,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)答案A2.(2016课标全国Ⅱ,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=.答案-6B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一平面向量的线性运算及其几何意义(2014福建,10,5分)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则+++等于() A. B.2 C.3 D.4答案D考点二平面向量基本定理及向量的坐标运算1.(2015四川,2,5分)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=()A.2B.3C.4D.6答案B2.(2015福建,7,5分)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+k b.若b⊥c,则实数k的值等于()A.-B.-C.D.答案A3.(2015广东,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·=()A.5B.4C.3D.2答案A4.(2015湖南,9,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|++|的最大值为()A.6B.7C.8D.9答案B5.(2017山东,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=.答案-3C组教师专用题组考点一平面向量的线性运算及其几何意义(2013四川,12,5分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ=.答案2考点二平面向量基本定理及向量的坐标运算1.(2014广东,3,5分)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=()A.(-2,1)B.(2,-1)C.(2,0)D.(4,3)答案B2.(2014北京,3,5分)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=()A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)答案A3.(2013广东,10,5分)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解,有如下四个命题:①给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;②给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μc;③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μc;④给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a=λb+μc.上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案B4.(2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上,且=m+n(m,n∈R).(1)若m=n=,求||;(2)用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.解析(1)∵m=n=,=(1,2),=(2,1),∴=(1,2)+(2,1)=(2,2),∴||==2.(2)∵=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n),∴两式相减,得m-n=y-x.令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.【三年模拟】时间:45分钟分值:65分一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2019届湖南顶级名校摸底考试,4)如图,已知=,=,=4,=3,则=()A.-B.-C.a-D.-答案D2.(2018辽宁六校协作体期中联考,4)设非零向量a,b,下列四个条件中,使=成立的充分条件是()A.a∥bB.a=2bC.a∥b且|a|=|b|D.a=-b答案B3.(2019届宁夏顶级名校10月联考,10)已知向量=(3,1),=(-1,3),=m-n(m>0,n>0),若m+n=1,则||的最小值为()A. B. C. D.答案C4.(2019届安徽皖中名校10月联考,9)在△ABC中,点D是AC上一点,且=4,P为BD上一点,向量=λ+μ(λ>0,μ>0),则+的最小值为()A.16B.8C.4D.2答案A5.(2018江西宜春联考,11)设O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足=+λ+,λ∈[0,+∞),则点P的轨迹经过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心答案D6.(2019届河北邯郸重点中学9月联考,11)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为120°,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,若=x+y,则x+y的最大值是()A. B.1 C. D.2答案D二、填空题(每小题5分,共15分)7.(2018中原名校9月联考,15)如图,在△ABC中,点M是BC的中点,N在边AC上,且=2,AM与BN相交于点P,则=.答案48.(2019届广东惠州第一次调研,13)已知向量a=(2,1),b=(x,-1),且a-b与b共线,则x的值为.答案-29.(2019届广东深圳外国语学校10月模拟,15)已知a,b是两个不共线的非零向量,且a与b起点相同.若a,t b,(a+b)三向量的终点在同一直线上,则t=.答案三、解答题(共20分)10.(2018湖北重点高中协作体联考,18)在边长为1的正三角形ABC中,设e1=,e2=,点D满足=.(1)试用e1,e2表示;(2)若a=x e1+y e2(x,y∈R,且x≠0),求的最大值.解析(1)由题知=,∴=+=+=+(-)=+=e1+e2.(2)∵x,y∈R,且x≠0,∴====,故当=-时,取最大值.11.(2018河南许昌、平顶山两市联考,21)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,M为平面上任意一点,A,B,C三点满足=+.(1)求证:A,B,C三点共线,并求的值;(2)已知A(1,sin x),B(1+sin x,sin x),M,x∈(0,π),且函数f(x)=·+-·||的最小值为,求实数m的值.解析(1)∵=+,∴-=(-),∴=.又∵,有公共点B,∴A,B,C三点共线.∵=,∴=3.(2)∵A(1,sin x),B(1+sin x,sin x),M,O(0,0),∴=(1,sin x),=,∴·=1+sin x+sin2x,又=(sin x,0),x∈(0,π),∴||=sin x,∴f(x)=·+-·||=sin2x+2msin x+1.设t=sin x.∵x∈(0,π),∴t∈(0,1],∴y=t2+2mt+1=(t+m)2+1-m2.①当-m≤0,即m≥0时,y=t2+2mt+1无最小值,不合题意;②当0<-m≤1,即-1≤m<0时,当t=-m时,y min=1-m2=,∴m=-舍去;③当-m>1,即m<-1时,当t=1时,y min=2+2m=,∴m=-,此时m>-1,不合题意.综上可知,m=-.。

2020年高考文科数学一轮总复习：平面向量的概念及线性运算第1讲平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．[注意](1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向．(2)任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0.2．向量的线性运算交换律：结合律：的相反向量|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．常用知识拓展1．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．2.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)AB →＋BC →＋CD →＝AD →.( )(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (5)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(6)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ 如图，设P ，Q 两点把线段AB 三等分，则下列向量表达式错误的是( )A.AP →＝13AB →B.AQ →＝23AB →C.BP →＝－23AB →D.AQ →＝BP →解析：选D.由数乘向量的定义可以得到A ，B ，C 都是正确的，只有D 错误． (教材习题改编)如图，▱ABCD 的对角线交于点M ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示MD →为( )A ．12a ＋12bB ．12a －12bC ．－12a －12bD ．－12a ＋12b解析：选D.MD →＝12BD →＝12(b －a )＝－12a ＋12b ，故选D.(教材习题改编)化简：(1)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →＝________． (2)NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝________．解析：(1)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →.(2)NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0. 答案：(1)AB →(2)0已知平面内四点A ，B ，C ，D ，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ的值为________．解析：依题意知点A ，B ，D 三点共线，于是有13＋λ＝1，λ＝23.答案：23平面向量的有关概念(师生共研)给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中真命题的序号是________．【解析】 ①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②是错误的，|a |＝|b |，但a ，b 方向不确定，所以a ，b 的方向不一定相等或相反． ③是正确的，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形．④是错误的，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．【答案】 ③平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量．给出下列命题：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同；④若非零向量a 与非零向量b 的方向相同或相反，则a ＋b 与a ，b 之一的方向相同． 其中叙述错误的命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C.对于②：当a ＝0时，不成立；对于③：当a ，b 之一为零向量时，不成立；对于④：当a ＋b ＝0时，a ＋b 的方向是任意的，它可以与a ，b 的方向都不相同．故选C.平面向量的线性运算(师生共研)(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( )A.34AB →－14AC →B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC → (2)(一题多解)如图，在直角梯形ABCD 中，DC →＝14AB →，BE →＝2EC →，且AE →＝rAB →＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 (1)法一：如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB→＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.法二：EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.(2)法一：根据图形，由题意可得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(BA →＋AD →＋DC →)＝13AB→＋23(AD →＋DC →)＝13AB →＋23(AD →＋14AB →)＝12AB →＋23AD →.因为AE →＝rAB →＋sAD →，所以r ＝12，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3.法二：因为BE →＝2EC →，所以AE →－AB →＝2(AC →－AE →)，整理，得AE →＝13AB →＋23AC →＝13AB →＋23(AD →＋DC →)＝12AB →＋23AD →，以下同法一．法三：如图，延长AD ，BC 交于点P ，则由DC →＝14AB →得DC ∥AB ，且AB ＝4DC ，又BE →＝2EC →，所以E 为PB 的中点，且AP →＝43AD →.于是AE →＝12(AB →＋AP →)＝12(AB →＋43AD →)＝12AB →＋23AD →.以下同法一． 【答案】 (1)A (2)C向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．1．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( )A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C ．23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB →解析：选A.因为2AC →＋CB →＝0，所以A 为BC 的中点，所以2OA →＝OC →＋OB →，所以OC →＝2OA →－OB →.2．已知D 为三角形ABC 的边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．解析：因为D 为边BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PD →， 又P A →＋BP →＋CP →＝0， 所以P A →＝PB →＋PC →＝2PD →， 所以AP →＝－2PD →， 所以λ＝－2. 答案：－2平面向量共线定理的应用(典例迁移)设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．【解】 (1)证明：因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 所以BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →， 所以AB →，BD →共线，又它们有公共点B ， 所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为k a ＋b 与a ＋k b 共线， 所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， 所以k －λ＝λk －1＝0，所以k 2－1＝0， 所以k ＝±1.[迁移探究] (变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？ 解：因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线， 所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ<0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，k λ＝1，所以k ＝±1.又λ<0，k ＝λ，所以k ＝－1. 故当k ＝－1时，两向量反向共线．[提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．1．设e 1，e 2是两个不共线的向量，则向量a ＝2e 1－e 2与向量b ＝e 1＋λe 2(λ∈R )共线的充要条件是( )A ．λ＝0B ．λ＝－1C ．λ＝－2D ．λ＝－12解析：选D.因为a ＝2e 1－e 2，b ＝e 1＋λe 2，e 1，e 2不共线， 由a ，b 共线⇔b ＝12a ⇔b ＝e 1－12e 2⇔λ＝－12.2.如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于点K ，其中AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK→＝λAC →，则λ的值为( )A.29B.27 C.25D.23解析：选A.因为AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，所以AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知， AC →＝AB →＋AD →，所以AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →) ＝λ⎝⎛⎭⎫52AE →＋2AF → ＝52λAE →＋2λAF →， 由E ，F ，K 三点共线，可得52λ＋2λ＝1，所以λ＝29，故选A.[基础题组练]1．向量e 1，e 2，a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，则a －b ＝( )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2解析：选C.结合图形易得，a ＝－e 1－4e 2，b ＝－2e 1－e 2，故a －b ＝e 1－3e 2. 2．在下列选项中，“a ∥b ”的充分不必要条件是( ) A ．a ，b 都是单位向量 B ．|a |＝|b | C ．|a ＋b |＝|a |－|b |D ．存在不全为零的实数λ，μ，使λa ＋μb ＝0解析：选C .a ，b 都是单位向量，但方向可能既不相同，又不相反，故A 错误；|a |＝|b |但方向不定，故B 错误；|a ＋b |＝|a |－|b |，若a ，b 都是非零向量，则a ，b 反向共线，且|a |≥|b |；若a ，b 中恰有一个零向量，则a ≠0，b ＝0；若a ＝b ＝0，则a ，b 也符合|a ＋b |＝|a |－|b |，所以“|a ＋b |＝|a |－|b |”⇒“a ∥b ”，而“a ∥b ” ⇒/ “|a ＋b |＝|a |－|b |”，故C 正确；D 选项中“存在不全为零的实数λ，μ，使λa ＋μb ＝0”⇔“a ∥b ”．3．已知平面内一点P 及△ABC ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( )A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上D ．点P 在△ABC 外部解析：选C.由P A →＋PB →＋PC →＝AB →得P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →，即PC →＝－2P A →，故点P 在线段AC 上．4．(2019·山东临沂模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：选D.因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →.设AB →＝mAC →(m ≠0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝m ，1＝mμ，所以λμ＝1，故选D.5．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是________．解析：BC →＝AC →－AB →，当AB →，AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3；当AB →，AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13；当AB →，AC →不共线时，3<|BC →|<13.综上可知3≤|BC →|≤13.答案：[3，13]6．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)．解析：如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .答案：b －a －a －b7．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确命题的个数为________．解析：BC →＝a ，CA →＝b ，AD →＝12CB →＋AC →＝－12a －b ，故①错；BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，故②正确；CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；所以AD →＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0.故④正确．所以正确命题的序号为②③④. 答案：38．如图，EF 是等腰梯形ABCD 的中位线，M ，N 是EF 上的两个三等分点，若AB →＝a ，BC →＝b ，AB →＝2DC →.(1)用a ，b 表示AM →； (2)证明A ，M ，C 三点共线．解：(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝a ＋b ＋⎝⎛⎭⎫－12a ＝12a ＋b ， 又E 为AD 中点， 所以AE →＝12AD →＝14a ＋12b ，因为EF 是梯形的中位线，且AB →＝2DC →， 所以EF →＝12(AB →＋DC →)＝12⎝⎛⎭⎫a ＋12a ＝34a ， 又M ，N 是EF 的三等分点，所以EM →＝13EF →＝14a ，所以AM →＝AE →＋EM →＝14a ＋12b ＋14a＝12a ＋12b . (2)证明：由(1)知MF →＝23EF →＝12a ，所以MC →＝MF →＋FC →＝12a ＋12b ＝AM →，又MC →与AM →有公共点M ，所以A ，M ，C 三点共线．[综合题组练]1．(2019·广州市综合测试(一))设P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP →＝2P A →，则△P AB 与△PBC 的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.34解析：选B.因为CP →＝2P A →，所以|CP →||P A →|＝21，又△P AB 在边P A 上的高与△PBC 在边PC 上的高相等，所以S △P AB S △PBC ＝|P A →||CP →|＝12.2.如图，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点，给出下列向量：①OA →＋2OB →；②12OA →＋13OB →；③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →；⑤34OA →－15OB →.若这些向量均以O 为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．③⑤解析：选B.在ON 上取点C ，使得OC ＝2OB ，以OA ，OC 为邻边作平行四边形OCDA ，则OD →＝OA →＋2OB →，其终点不在阴影区域内，排除A ，C ；取OA 上一点E ，作AE ＝14OA ，作EF ∥OB ，交AB 于点F ，则EF ＝14OB ，由于EF <13OB ，所以34OA →＋13OB →的终点不在阴影区域内，排除选项D ，故选B.2020年高考文科数学一轮总复习 第 11 页 共 11 页 3．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB →＝2DC →.因为点E 在线段CD 上，所以DE →＝λDC →(0≤λ≤1)．因为AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →， 所以2μλ＝1，即μ＝λ2.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12 4．已知A 1，A 2，A 3为平面上三个不共线的定点，平面上点M 满足A 1M →＝λ(A 1A 2→＋A 1A 3→)(λ是实数)，且MA 1→＋MA 2→＋MA 3→是单位向量，则这样的点M 有________个．解析：由题意得，MA 1→＝－λ(A 1A 2→＋A 1A 3→)，MA 2→＝MA 1→＋A 1A 2→，MA 3→＝MA 1→＋A 1A 3→，所以MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＝(1－3λ)·(A 1A 2→＋A 1A 3→)，设D 为A 2A 3的中点，则(1－3λ)·(A 1A 2→＋A 1A 3→)与A 1D →为共起点且共线的一个向量，显然直线A 1D 与以A 1为圆心的单位圆有两个交点，故这样的点M 有2个，即符合题意的点M 有2个．答案：2。

高考数学一轮复习学案：5.1 平面向量的概念及线性运算（含答案）5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算最新考纲考情考向分析1.了解向量的实际背景2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3.理解向量的几何表示4.掌握向量加法.减法的运算，并理解其几何意义5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.主要考查平面向量的线性运算加法.减法.数乘向量及其几何意义.共线向量定理常与三角函数.解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题.填空题为主，属于中低档题目偶尔会在解答题中作为工具出现.1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度或称模平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量非零向量a的单位向量为a|a|平行向量共线向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则或几何意义运算律加法求两个向量和的运算3交换律abba；4结合律abcabc减法求a与b的相反向量b的和的运算abab数乘求实数与向量a的积的运算6|a||||a|；7当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a08aa；9aaa；10abab3.共线向量定理向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.知识拓展1一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2A2A3A3A4An1AnA1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量2若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP12OAOB3.OAOBOC，为实数，若点A，B，C共线，则1.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量2|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关3若ab，bc，则ac.4若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上5当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立6若两个向量共线，则其方向必定相同或相反题组二教材改编2P86例4已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OAa，OBb，则DC______，BC________.用a，b表示答案baab 解析如图，DCABOBOAba，BCOCOBOAOBab.3P108B组T5在平行四边形ABCD中，若|ABAD||ABAD|，则四边形ABCD的形状为________答案矩形解析如图，因为ABADAC，ABADDB，所以|AC||DB|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形题组三易错自纠4对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析若ab0，则ab，所以ab.若ab，则ab0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件5设向量a，b不平行，向量ab 与a2b平行，则实数____________.答案12解析向量a，b不平行，a2b0，又向量ab与a2b平行，则存在唯一的实数，使aba2b 成立，即aba2b，则，12，解得12.6设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，AD12AB，BE23BC.若DE1AB2AC1，2为实数，则12的值为________答案12解析DEDBBE12AB23BC12AB23BAAC16AB23AC，116，223，即1212.题型一题型一平面向量的概念平面向量的概念1给出下列四个命题若|a||b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a||b|且ab.其中正确命题的序号是ABCD答案A解析不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；正确ABDC，|AB||DC|且ABDC，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形，反之，若四边形ABCD为平行四边形，则ABDC且|AB||DC|，ABDC；正确ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac；不正确当ab且方向相反时，即使|a||b|，也不能得到ab，故|a||b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.故选A.2设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是A0B1C2D3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.思维升华向量有关概念的关键点1向量定义的关键是方向和长度2非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制3相等向量的关键是方向相同且长度相等4单位向量的关键是长度都是一个单位长度5零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线题型二题型二平面向量的线性运算平面向量的线性运算命题点1向量的线性运算典例1在ABC中，ABc，ACb，若点D满足BD2DC，则AD等于A.23b13cB.53c23bC.23b13cD.13b23c答案A解析BD2DC，ADABBD2DC2ACAD，3AD2ACAB，AD23AC13AB23b13c.2xx青海西宁一模如图，在ABC中，点D在BC 边上，且CD2DB，点E在AD边上，且AD3AE，则用向量AB，AC表示CE为A.29AB89ACB.29AB89ACC.29AB79ACD.29AB79AC答案B解析由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得CEAEAC13ADAC13AB13BCAC13AB13ACABAC29AB89AC.命题点2根据向量线性运算求参数典例1在ABC中，点M，N满足AM2MC，BNNC.若MNxAByAC，则x________，y______.答案1216解析MNMCCN13AC12CB13AC12ABAC12AB16ACxAByAC，x12，y16.2在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC3CD，点O 在线段CD上与点C，D不重合，若AOxAB1xAC，则x的取值范围是A.0，12B.0，13C.12，0D.13，0答案D解析设COyBC，AOACCOACyBCACyACAByAB1yAC.BC3CD，点O在线段CD上与点C，D不重合，y0，13，AOxAB1xAC，xy，x13，0.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略1向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合三角形法则2求已知向量的和一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则3求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值跟踪训练1如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上的一个靠近点B的三等分点，那么EF等于A.12AB13ADB.14AB12ADC.13AB12DAD.12AB23AD答案D解析在CEF中，有EFECCF.因为点E为DC 的中点，所以EC12DC.因为点F为BC上的一个靠近点B的三等分点，所以CF23CB.所以EF12DC23CB12AB23DA12AB23AD，故选D.2如图，直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且与对角线AC交于点K，其中，AE25AB，AF12AD，AKAC，则的值为______答案29解析AE25AB，AF12AD，AB52AE，AD2AF.由向量加法的平行四边形法则可知，ACABAD，AKACABAD52AE2AF52AE2AF，E，F，K三点共线，5221，29.题型三题型三共线向量定理的应用共线向量定理的应用典例设两个非零向量a与b不共线1若ABab，BC2a8b，CD3ab，求证A，B，D三点共线；2试确定实数k，使kab和akb共线1证明ABab，BC2a8b，CD3ab，BDBCCD2a8b3ab2a8b3a3b5ab5AB，AB，BD共线又它们有公共点B，A，B，D三点共线2解假设kab与akb共线，则存在实数，使kabakb，即kak1b.又a，b是两个不共线的非零向量，kk10.消去，得k210，k1.引申探究若将本例1中“BC2a8b”改为“BCamb”，则m为何值时，A，B，D三点共线解BCCDamb3ab4am3b，即BD4am3b.若A，B，D三点共线，则存在实数，使BDAB.即4am3bab4，m3，解得m7.故当m7时，A，B，D三点共线思维升华1证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线2向量a，b 共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a，b不共线跟踪训练1xx资阳模拟已知向量ABa3b，BC5a3b，CD3a3b，则AA，B，C三点共线BA，B，D三点共线CA，C，D三点共线DB，C，D三点共线答案B解析BDBCCD2a6b2a3b2AB，BD，AB共线，又有公共点B，A，B，D三点共线故选B.2已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l 上，则使等式x2OAxOBBC0成立的实数x的取值集合为A0BC1D0，1答案C解析BCOCOB，x2OAxOBOCOB0，即OCx2OAx1OB，A，B，C三点共线，x2x11，即x2x0，解得x0或x1.当x0时，x2OAxOBBC0，此时B1，C两点重合，不合题意，舍去故x1.故选C.容易忽视的零向量典例下列叙述错误的是________填序号若非零向量a与b方向相同或相反，则ab与a，b之一的方向相同；|a||b||ab|a与b方向相同；向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba；ABBA0；若ab，则ab.错解展示中两个向量的和仍是一个向量，所以ABBA0.错误答案现场纠错解析对于，当ab0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同对于，当a，b之一为零向量时结论不成立对于，当a0且b0时，有无数个值；当a0但b0或a0但b0时，不存在对于，由于两个向量之和仍是一个向量，所以ABBA0.对于，当0时，不管a与b的大小与方向如何，都有ab，此时不一定有ab.故均错答案纠错心得在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量.。

5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理【真题典例】挖命题【考情探究】分析解读 1.向量的线性运算及其几何意义、向量的坐标表示是高考的重点考查对象(例:2017浙江10题).2.向量与其他知识的交汇成为高考命题的趋势,向量与平面几何、解析几何、三角函数、解三角形等的结合成为高考命题的亮点.3.预计2020年高考中平面向量的线性运算会重点考查,复习时应加以重视.破考点【考点集训】考点一平面向量的线性运算及几何意义1.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,10)在△ABC中,已知∠C=,||<||,=λ+(1-λ)(0<λ<1),则||取最小值时( )A.||>||>||B.||>||>||C.||>||>||D.||>||>||答案 B2.(2017浙江镇海中学模拟练习(二),9)在△ABC中,+=4,||=2,记h(λ)=,则{h(λ)}的最大值为( )A.1B.C.D.答案 B考点二平面向量基本定理及坐标表示1.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,6)已知两向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),其中0<β<α<,则|a+b|+|a-b|的取值范围是( )A.(2,2)B.(2,2)C.(2,4)D.(2,4)答案 A2.(2017浙江金华十校调研,16)设单位向量a,b的夹角为α,且α∈,若对任意的(x,y)∈{(x,y)||xa+yb|=1,x,y≥0},都有|x+2y|≤成立,则a·b的最小值为.答案炼技法【方法集训】方法1 平面向量线性运算的解题方法1.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,10)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°.动点P在以C为圆心,1为半径的圆上,且=λ+μ,λ,μ∈R,则λ+μ的最大值是( )A. B.C.2D.3答案 D2.(2017浙江镇海中学模拟卷(六),16)已知向量a,b,|a|=2, |b|=1,向量c=xa+2(1-x)b(x∈R),若|c|取最小值时,向量m满足(a-m)·(c-m)=0,则|m|的取值范围是.答案方法2 平面向量的坐标运算的解题方法1.(2018浙江镇海中学期中,9)在平面内,·=·=·=6,动点P,M满足||=2,=,则||的最大值是( )A.3B.4C.8D.16答案 B2.(2017浙江名校(衢州二中)交流卷五,16)在平面内,已知向量a=(1,3),b=(4,-3),c=(6,5),若非负实数x,y,z满足x+y+z=1,则向量p=xa+yb+zc的模的取值范围是.答案[,]过专题【五年高考】统一命题、省(区、市)卷题组考点一平面向量的线性运算及几何意义1.(2017课标全国Ⅱ文,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则( )A.a⊥bB.|a|=|b|C.a∥bD.|a|>|b|答案 A2.(2017北京理,6,5分)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A3.(2015课标Ⅰ,7,5分)设D为△ABC所在平面内一点,=3,则( )A.=-+B.=-C.=+D.=-答案 A4.(2015陕西,7,5分)对任意向量a,b,下列关系式中的是( )A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案 B5.(2014福建,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是( )A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)答案 B6.(2017天津文,14,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为.答案考点二平面向量基本定理及坐标表示1.(2017课标全国Ⅲ理,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD 相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为( )A.3B. 2C.D.2答案 A2.(2018课标全国Ⅲ理,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=.答案3.(2017山东文,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=.答案-34.(2015北京,13,5分)在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=,y=.答案;-5.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为.答案-36.(2014北京,10,5分)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=. 答案教师专用题组考点一平面向量的线性运算及几何意义1.(2015四川,7,5分)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4.若点M,N满足=3,=2,则·=( )A.20B.15C.9D.6答案 C2.(2014课标Ⅰ,15,5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为.答案90°考点二平面向量基本定理及坐标表示1.(2015课标Ⅱ,13,5分)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.答案2.(2014陕西,13,5分)设0<θ<,向量a=(sin 2θ,cos θ),b=(cos θ,1),若a∥b,则tan θ=.答案3.(2014湖南,16,5分)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的最大值是.答案+1【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共4分)1.(2019届浙江温州高三适应性测试,4)在△ABC中,D是线段BC上一点(不包括端点),=λ+(1-λ),则( )A.λ<-1B.-1<λ<0C.0<λ<1D.λ>1答案 C二、填空题(单空题4分,多空题6分,共36分)2.(2019届金丽衢十二校高三第一次联考,15)若等边△ABC的边长为2,平面内一点M满足:=+,则·=.答案-23.(2019届浙江嘉兴9月基础测试,14)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=1,|b|=2,若(a+λb)∥(2a+b),则λ=.若(a+μb)⊥(2a+b),则μ=.答案;-4.(2018浙江嘉兴第一学期期末,14)在直角△ABC中,AB=AC=2,D为AB边上的点,且=2,则·=;若=x+y,则xy=.答案4;5.(2018浙江重点中学12月联考,15)已知矩形ABCD,AB=2,BC=1,点E是AB的中点,点P是对角线BD上的动点,若=x+y,则·的最小值为,x+y的最大值是.答案1;56.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),12)已知平行四边形ABCD,||=2||=2,且·=1,=,=2,则·=; 若DE和AF交于点M,且=x+y,则x+y=.答案;7.(2018浙江稽阳联谊学校高三联考(4月),17)在△ABC中,AB=4,AC=3,BC=2,点H为三角形的垂心,若=x+y,则的值是.答案-8.(2018浙江湖州、衢州、丽水第一学期质检,17)设点P是△AB C所在平面内一动点,满足=λ+μ,3λ+4μ=2(λ,μ∈R,λμ≠0),||=||=||.若|AB|=3,则△ABC面积的最大值是.答案9。

第1节平面向量的概念及线性运算考试要求 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示和基本要素；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.知识梳理1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb相反；当λ＝0时，λa ＝03.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . [微点提醒]1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →，特别地， 一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.2.若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →).基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( ) 解析 (2)若b ＝0，则a 与c 不一定平行.(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2.(必修4P78A6改编)给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等.则所有正确命题的序号是( ) A.①B.③C.①③D.①②解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误. 答案 A3.(必修4P92A12改编)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM →B.2OM →C.3OM →D.4OM →解析 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →. 答案 D4.(2019·东莞调研)如图所示，已知AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列等式中成立的是( )A.c ＝32b －12aB.c ＝2b －aC.c ＝2a －bD.c ＝32a －12b解析 因为AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，所以OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋32AB →＝OA →＋32(OB →－OA →)＝32OB →－12OA→＝32b －12a . 答案 A5.(2018·上海静安区月考)若四边形ABCD 满足AD →＝12BC →且|AB →|＝|DC →|，则四边形ABCD 的形状是( ) A.等腰梯形 B.矩形 C.正方形D.菱形解析 因为AD →＝12BC →，所以AD →∥BC →，且|AD →|＝12|BC →|，所以四边形ABCD 为以AD 为上底，BC为下底的梯形.又|AB →|＝|DC →|，所以梯形ABCD 的两腰相等.因此四边形ABCD 是等腰梯形. 答案 A6.(2019·菏泽调研)设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a )共线，则λ＝________.解析 依题意知向量a ＋λb 与2a －b 共线，设a ＋λb ＝k (2a －b )，则有(1－2k )a ＋(k ＋λ)b＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－2k ＝0，k ＋λ＝0，解得k ＝12，λ＝－12.答案 －12考点一 平面向量的概念【例1】 (1)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( )A.a ＝2bB.a ∥bC.a ＝－13bD.a ⊥b(2)给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( ) A.②③B.①②C.③④D.②④解析 (1)由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b|b |·|a |≠0，则a 与b 共线且方向相反，因此当向量a 与向量b 共线且方向相反时，能使a |a |＋b|b |＝0成立.对照各个选项可知，选项A 中a 与b 的方向相同；选项B 中a 与b 共线，方向相同或相反；选项C 中a 与b 的方向相反；选项D 中a 与b 互相垂直.(2)①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|， AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →.③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件. 综上所述，正确命题的序号是②③. 答案 (1)C (2)A规律方法 对于向量的有关概念应注意以下几点：(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的，它们均与起点无关；非零向量的平行具有传递性；相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有传递性. (2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以比较大小.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈.(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量.【训练1】 (1)如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →(2)给出下列说法：①非零向量a 与b 同向是a ＝b 的必要不充分条件； ②若AB →与BC →共线，则A ，B ，C 三点在同一条直线上； ③a 与b 是非零向量，若a 与b 同向，则a 与－b 反向； ④设λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线. 其中错误说法的序号是________.解析 (1)根据相等向量的定义，分析可得AD →与BC →不平行，AC →与BD →不平行，所以AD →＝BC →，AC →＝BD →均错误，PE →与PF →平行，但方向相反也不相等，只有EP →与PF →方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，所以EP →＝PF →.(2)根据向量的有关概念可知①②③正确，④错误. 答案 (1)D (2)④考点二 平面向量的线性运算 多维探究角度1 向量的线性运算【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → 解析 ∵E 是AD 的中点，∴EA →＝－12AD →，∴EB →＝EA →＋AB →＝－12AD →＋AB →，又知D 是BC 的中点， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)，因此EB →＝－14(AB →＋AC →)＋AB →＝34AB →－14AC →.答案 A角度2 利用向量线性运算求参数【例2－2】 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于( )A.1B.34C.23D.12(2)在锐角△ABC 中，CM →＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x y＝________.解析 (1)∵E 为线段AO 的中点， ∴BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12×12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →， ∴λ＋μ＝12＋14＝34.(2)由题设可得AM →＝CM →－CA →＝34CB →＋AC →＝34(AB →－A C →)＋AC →＝34AB →＋14AC →， 则x ＝34，y ＝14.故xy ＝3.答案 (1)B (2)3规律方法 1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果.【训练2】 (1)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.a －12bB.12a －bC.a ＋12bD.12a ＋b(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.解析 (1)连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点， 得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .(2)DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12.答案 (1)D (2)12考点三 共线向量定理及其应用 【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线. (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.规律方法 1.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.2.向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立.【训练3】 (1)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A.λ＋μ＝2B.λ－μ＝1C.λμ＝－1D.λμ＝1(2)(一题多解)已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为( )A.{0}B.∅C.{－1}D.{0，－1}解析 (1)因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →，设AB →＝mAC →(m ≠0)，则λa ＋b ＝m (a ＋μb )，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝m ，1＝mμ，所以λμ＝1.(2)法一 若要x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立，BC →必须与x 2OA →＋xOB →共线，由于OA →－OB →＝BA →与BC →共线，所以OA →和OB →的系数必须互为相反数，则x 2＝－x ，解得x ＝0或x ＝－1，而当x ＝0时，BC →＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去.故x ＝－1.法二 ∵BC →＝OC →－OB →，∴x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0， 即OC →＝－x 2OA →－(x －1)OB →，∵A ，B ，C 三点共线，∴－x 2－(x －1)＝1，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.当x ＝0时，x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去.故x ＝－1. 答案 (1)D (2)C[思维升华]1.向量线性运算的三要素向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”. 2.三个常用结论(1)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则AB →＋DC →＝2EF →；(3)对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1.注意向量共线与三点共线的区别. [易错防范]1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.基础巩固题组 (建议用时：35分钟)一、选择题1.已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA →＋OB →＋BO →＋CO →；④AB →－AC →＋BD →－CD →，其中结果为零向量的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由题知结果为零向量的是①④，故选B. 答案 B2.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A.0B.BE →C.AD →D.CF →解析 由题图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →. 答案 D3.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A.a 与λa 的方向相反 B.a 与λ2a 的方向相同 C.|－λa |≥|a |D.|－λa |≥|λ|·a解析 对于A ，当λ＞0时，a 与λa 的方向相同，当λ＜0时，a 与λa 的方向相反，B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小. 答案 B4.已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( ) A.A ，B ，C B.A ，B ，D C.B ，C ，DD.A ，C ，D解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线. 答案 B5.设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.BC →B.12AD → C.AD →D.12BC → 解析 如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →.答案 C6.(2019·唐山二模)已知O 是正方形ABCD 的中心.若DO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λμ＝( ) A.－2B.－12C.－ 2D. 2解析 DO →＝DA →＋AO →＝CB →＋AO →＝AB →－AC →＋12AC →＝AB →－12AC →，∴λ＝1，μ＝－12，因此λμ＝－2.答案 A7.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为( )A.1B.2C.3D.4解析 ∵O 为BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2. 答案 B8.在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 解析 设CO →＝yBC →，因为AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →. 因为BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，所以y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13， 因为AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，所以x ＝－y ，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 答案 D 二、填空题9.如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA →相等的向量有________个.解析 根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA →相等的向量有CB →，DO →，EF →，共3个.答案 310.设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.答案 1211.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＋y ＝________. 解析 由题中条件得，MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →， 所以x ＝12，y ＝－16，因此x ＋y ＝12－16＝13.答案 1312.(2019·清华大学自主招生能力测试)设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为________. 解析 ∵D 为AB 的中点， 则OD →＝12(OA →＋OB →)，又OA →＋OB →＋2OC →＝0，∴OD →＝－OC →，∴O 为CD 的中点. 又∵D 为AB 的中点，∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4.答案 4能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( ) A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段AB 的反向延长线上C.点P 在线段AB 的延长线上D.点P 不在直线AB 上解析 因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B. 答案 B14.(2019·青岛二模)设D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，则DA →＋2EB →＋3FC →＝( ) A.12AD → B.32AD → C.12AC →D.32AC → 解析 因为D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，所以DA →＋2EB →＋3FC →＝12(BA →＋CA →)＋2×12(AB →＋CB →)＋3×12×(AC →＋BC →)＝12BA →＋AB →＋CB →＋32BC →＋32AC →＋12CA →＝12AB →＋12BC →＋AC →＝12AC →＋AC →＝32AC →.答案 D15.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.解析 由已知条件得MB →＋MC →＝－MA →，如图，延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点.同理E ，F 分别是AC ，AB 的中点，因此点M 是△ABC 的重心， ∴AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，则m ＝3.答案 316.(2019·郑州模拟)设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________.解析 由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB →＝λBD →. 又AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2， 所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2) ＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2， 又e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ（3－k ），2＝－λ（2k ＋1），解得k ＝－94.答案 －94新高考创新预测17.(多填题)在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA →＋MB →＋MC →＝0.”设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心. 若aMA →＋bMB →＋33cMC →＝0，则内角A 的大小为________，当a ＝3时，△ABC 的面积为________.解析 由aMA →＋bMB →＋33cMC →＝aMA →＋bMB →＋33c (－MA →－MB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －33c MA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －33c MB →＝0，且MA →与MB →不共线，∴a －33c ＝b －33c ＝0，∴a ＝b ＝33c .△ABC 中，由余弦定理可求得cosA ＝32，∴A ＝π6.若a ＝3，则b ＝3，c ＝33，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×33×12＝934. 答案 π6 934。

2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第01讲 平面向量的概念及线性运算 ---讲1.平面向量的实际背景及基本概念：理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念.2. 向量的线性运算：掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.3.高考预测：（1）以考查向量的线性运算、共线为主，且主要是在理解它们含义的基础上，进一步解题，如利用向量的线性运算求参数等； （2）考查单位向量较多.（3）常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线等问题；也易同解析几何知识相结合，以工具的形式出现．. 4.备考重点：(1) 理解相关概念是基础，掌握线性运算的方法是关键；(2) 注意与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题，注意运用数形结合的思想方法.知识点1．向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．【典例1】（2019·重庆高二期末）下列命题中，正确的个数是（ ） ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若a ，b 满足b a >且a 与b 同向，则a b >； ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若a b b c ∥，∥，则a c ∥．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】对于①，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误；对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；对于④，向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；∥，∥，，则a与c不一定平行．对于⑤，0b 时，a b b c综上，以上正确的命题个数是0．故选A．【易错提醒】有关平面向量概念的注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点．(5)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．【变式1】设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.知识点2．平面向量的线性运算一．向量的线性运算二．向量的数乘运算及其几何意义1．定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝|λ||a |；②当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0. 2．运算律：设λ，μ是两个实数，则： ①；②；③.【典例2】（2018年新课标I 卷理）在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.【总结提升】平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．【变式2】（2019·浙江高一期末）已知点G 为ABC ∆的重心，若AB a =，AC b =，则BG =( ) A ．2133a b + B ．2133-+a b C ．2133a b - D ．2133a b -- 【答案】B 【解析】设D 是AC 中点，则，又G 为ABC ∆的重心，∴23BG BD =．故选B ．知识点3．共线向量共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa .【典例3】（2019·浙江高一期末）在梯形ABCD 中，已知AB CD ∥，2AB DC =，点P 在线段BC 上，且2BP PC =，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为，，所以，所以.故选C. 【规律方法】1.平面向量共线定理的三个应用2.求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)直线的向量式参数方程：A ，P ，B 三点共线⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内任一点，t ∈R )． 【变式3】（2019·广东高考模拟（文））如图所示，ABC 中，BD 2DC =，点E 是线段AD 的中点， 则AC (= )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】如图所示，，1DC BD 2，，，．故选：C ．考点1 向量的有关概念【典例4】给出下列命题：①a b ＝的充要条件是||a b |＝|且a b //； ②若向量a 与b 同向，且||a b |>|，则a b >；③由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； ④若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； ⑤起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ⑥任一向量与它的相反向量不相等． 其中真命题的序号是________． 【答案】⑤【解析】①当a 与b 是相反向量时，满足||a b |＝|且a b //，但a ≠b ，故①假； ②向量不能比较大小，故②假； ③0与任意向量平行，故③假；④当a 与b 中有零向量时，由于零向量的方向是任意的，故④假； ⑤由相等向量定义知，⑤真； ⑥0的相反向量仍是0，故⑥假． 【易错提醒】(1)非零向量a 与a |a |的关系：a |a |是与a 同方向的单位向量，－a|a |是与a 反方向的单位向量．(2)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．(3)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件． (4)几个重要结论①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； ②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． 【变式4】给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量； ②若是不共线的四点，则AB ＝DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】 ①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线． ②正确．∵AB ＝DC ，∴|AB |＝|DC |且AB ∥DC . 又∵是不共线的四点， ∴四边形ABCD 是平行四边形．反之，若四边形ABCD 是平行四边形，则AB CD ∥且AB 与DC 方向相同，因此AB ＝DC . ③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当0λμ＝＝时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． 选C .考点2 平面向量的线性运算【典例5】（2019·浙江高一月考）如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则（ ）A ．0B ．0C ．AED ．EA【答案】A，OB OE =-本题正确选项：A 【总结提升】1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．【变式5】（2019·广东高考模拟（理））已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足，所以=+OA =12OA OB （-）3+ （OA OC -）+OA =0，所以，故选：A考点3 利用向量线性运算求参数【典例6】（2019·北京高考模拟（文））设E 为V ABC 的边AC 的中点，，则,m n 的值分别为( ) A ．11,2- B ．1,12- C ．1,12-D ．11,2【答案】A 【解析】 ∵1BE 2=（BA BC +）-1AB AC 2+∴m 1,=-n 12=【总结提升】利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．【变式6】（2019·山东高考模拟（文））在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若，则λμ+的值为（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．1【答案】B 【解析】 由题得，.故选：B考点4 共线向量及其应用【典例7】设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． 【答案】（1）见解析；（2）k ＝±1. 【解析】(1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →， ∴AB →，BD →共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)假设k a ＋b 与a ＋k b 共线，则存在实数λ，使k a＋b＝λ(a＋k b)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1.【总结提升】共线向量定理应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．【变式7】设是不共线的两个向量，已知，，则( )A．三点共线B．三点共线C．三点共线D．三点共线【答案】D【解析】由题意，则，即，所以，所以三点共线.。

5.1 平面向量的概念及线性运算一．向量的有关概念 名称定义表示方法 注意事项向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)向量AB 或a ；模||AB 或||a平面向量是自由向量零向量 长度等于0的向量，方向是任意的 记作0零向量方向是任意的单位向量 长度等于1个单位的向量常用e 表示 非零向量a 的单位向量是||a a 平行向量 方向相同或相反的非零向量 a 与b 共线可记为λ=a b0与任一向量平行或共线共线向量平行向量又叫共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量=a b两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量 长度相等且方向相反的向量=-a b 0的相反向量为0二．向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )【套路秘籍】---千里之行始于足下减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μ a )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾； (加法平行四边形)起点相同连对角； (减法三角形)共起点，连终点，指向被减． 三．向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . 四．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．考向一 概念辨析【例1】判断下列各命题正确的是 ： (1)单位向量都相等；(2)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关；(3)若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； (4)若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线； (5)两向量a ，b 相等的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【答案】（2）（3) 【解析】(1)不正确．(2)正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．(3)正确，∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB ∥DC .又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 是平行四边形．反之，若四边形ABCD 是平行四边形，则AB 綊DC ，且AB →与DC →方向相同．因此AB →＝DC →.(4)不正确，当b ＝0时，a 与c 可以不共线．(5)不正确，当a ∥b ，但方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b .【举一反三】 1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．【套路总结】1．相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． 2．共线向量即平行向量，它们均与起点无关．相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量． 3．向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． 4．非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是a 方向上的单位向量．5．向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小． 6.零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．其中真命题的序号是________． 【答案】 ③【解析】 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；③正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．考向二 平面向量的线性运算【例2】在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c (2)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝______. (3)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0【答案】（1） A （2） 12 －16（3）D【解析】（1） ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋A B →，∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .（2）MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，∴x ＝12，y ＝－16.（3）设CO →＝yBC →，∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →. ∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ＝－y ，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.【举一反三】1.如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，点E 在AD 边上，且AD ＝3AE ，则用向量AB →，AC →表示CE →为( )A.29AB →＋89AC →B.29AB →－89AC →C.29AB →＋79AC →D.29AB →－79AC → 【答案】 B【解析】 由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得CE →＝AE →－AC →＝13AD →－AC →＝13(AB →＋13BC →)－AC →＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤AB →＋13(AC →－AB →)－AC →＝29AB →－89AC →.【套路总结】 平面向量的线性运算1.进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．学.科*网3.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；2.如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.【答案】 34【解析】 ∵E 为线段AO 的中点，∴BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →，∴λ＋μ＝12＋14＝34.3.在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 【解析】 由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，∴AB →＝2DC →. ∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝λDC →(0≤λ≤1)．∵AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋λDC →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →，∴2μ＝λ，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.4.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB →＝xAE →＋yAF →(x ，y ∈R)，则x －y ＝________. 【答案】 2【解析】 由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB →，因为AB →＝xAE →＋yAF →，所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y2＝1，x2＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝－23，所以x －y ＝2.考向三 共线定理及其运用【例3-1】 已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R)．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 【答案】见解析【解析】(1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)，∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线．又∵B P →与B A →有公共点B ，∴A ，P ，B 三点共线．(2)若A ，P ，B 三点共线，存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)． 又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →，即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.【例3-2】 (1)已知D 为△ABC 的边AB 的中点．点M 在DC 上且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为________．（2）已知ABC ∆的重心为O ，过O 任做一直线分别交边,AB AC 于,P Q 两点，设,AP mAB AQ nAC ==，则49m n +的最小值是________．（3）已知数列{}n a 为等差数列，且满足12107OA a OB a OC =+，若AB AC λ=（R λ∈），点O 为直线BC 外一点，则1009a =（ ）【答案】（1） 3∶5 （2）253 （3）12【解析】（1）由5AM →＝AB →＋3AC →，得2AM →＝2AD →＋3AC →－3AM →，即2(AM →－AD →)＝3(AC →－AM →)，即2DM →＝3MC →，故DM →＝35DC →，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5，故S △ABM ∶S △ABC ＝3∶5.11111343494()9()333333m n λλλλ+=+++=++≥1343252333λλ+⋅=，当且仅当32λ=时等号成立，即55,69m n ==时49m n +取得最小值253．（3）∵数列{a n }为等差数列，满足12107OA a OB a OC =+，其中A ，B ，C 在一条直线上，O 为直线AB 外一点，∴a 1+a 2017=1，∵数列{a n }是等差数列，∴{a n }的1009121072a a a =+=1， 100912a =【举一反三】1.如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．【套路总结】共线向量定理的主要应用：(1)证明向量共线：对于非零向量a ，b ，若存在实数λ，使a =λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB AC λ=，则A ，B ，C 三点共线． 【注】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．【答案】12【解析】∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.2.在△ABC 中，O 为其内部一点，且满足OA →＋OC →＋3OB →＝0，则△AOB 和△AOC 的面积比是( )A ．3∶4B ．3∶2C ．1∶1D ．1∶3 【答案】 D【解析】 根据题意，如图，在△ABC 中，M 为AC 的中点，则OA →＋OC →＝2OM →，又由OA →＋OC →＋3OB →＝0，则有2OM →＝－3OB →； 从而可得B ，O ，M 三点共线，且2OM ＝3BO ；由2OM ＝3BO 可得，S △AOC S △ABC＝OM BM ＝35，S △AOB ＋S △BOC ＝25S △ABC ， 又由S △AOB ＝S △BOC ，则S △AOB ＝15S △ABC ，则S △AOB S △AOC＝13.故选D. 3．已知点D 为△ABC 所在平面上一点，且满足A D →＝15A B →－45C A →，若△ACD 的面积为1，则△ABD的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【解析】 由A D →＝15A B →－45C A →，得5AD →＝A B →＋4A C →，所以A D →－A B →＝4(A C →－A D →)，即B D →＝4D C →.所以点D 在边BC 上，且|B D →|＝4|D C →|，所以S △ABD ＝4S △ACD ＝4.4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， P 、A 、B 三点共线，且32016OP a OA a OB =+，则2018S =__________． 【答案】10091．下列说法正确的是（ ）A ．若||=||a b ，则a 、b 的长度相等且方向相同或相反B ．若向量AB 、CD 满足||||AB CD >，且AB 与CD 同向，则AB CD >C ．若a b ≠，则a 与b 可能是共线向量D ．若非零向量AB 与CD 平行，则A 、B 、C 、D 四点共线 【答案】C【解析】对于A 选项，模相等的向量，方向不一定相同或者相反，也可能垂直，或者成其它的角度，故A 选项错误.对于B 选项，向量不能用大于或者小于号相连，向量的模可以比较大小，故B 选项错误.对于C 选项，不相等的向量可以共线，故C 选项正确.对于D 选项，平行向量,对应的四点不一定是共线的，故D 选项错误.综上所述，本小题选C.2．在四边形ABCD 中，AB AD =且BA CD =，则四边形ABCD 的形状一定是（ ）A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行【答案】C【解析】因为BA CD =，所以//,BA CD BA CD =,四边形是平行四边形又AB AD =，所以AB AD =,四边形是菱形，故选C.3．下列说法中正确的是（ ） A ．单位向量都相等B ．平行向量不一定是共线向量C ．对于任意向量a ，b ，必有a b a b +≤+D ．若a ，b 满足a b >且a 与b 同向，则a b >【答案】C【解析】对于A,单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误，对于B,平行向量就是共线向量，对于C,若a ，b 同向共线，a b a b +=+，若a ，b 反向共线，a b a b +<+，若a ，b 不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边知a b a b +<+，综上可知对于任意向量a ，b ，必有a b a b +≤+正确，对于D,两个向量不能比较大小，故错误.故选C.4．下列结论正确的是（ ） A ．a ⃗=b ⃗⃗⇒|a ⃗|=|b ⃗⃗| B ．a ⃗⋅b ⃗⃗=a ⃗⋅c ⃗⇒b ⃗⃗=c ⃗ C ．a ⃗//b ⃗⃗，b ⃗⃗//c ⃗⇒a ⃗//c ⃗ D ．|a ⃗|>|b ⃗⃗|⇒a ⃗>b⃗⃗ 【答案】A【解析】逐一考查所给的说法： 若a ⃗=b ⃗⃗，则|a ⃗|=|b⃗⃗|，选项A 说法正确； 若a ⃑=0⃗⃑，则由a ⃗⋅b ⃗⃗=a ⃗⋅c ⃗不一定能得到b ⃗⃗=c ⃗，选项B 说法错误；若b ⃗⃑=0⃗⃑，则由a ⃗//b ⃗⃗，b ⃗⃗//c ⃗不一定能得到a ⃗//c ⃗，选项C 说法错误； 两个向量无法比较大小，故结论a ⃗>b⃗⃗错误，选项D 说法错误；故选：A . 5．如图，在平行四边形ABCD 中，点E F 、满足2,2BE EC CF FD ==，EF 与AC 交于点G ，设AG GC λ=，则λ=（ ）A ．97B ．74C ．72D ．92【答案】C【解析】设H 是BC 上除E 点外的令一个三等分点，连接FH ，连接BD 交AC 于O ，则//BD FH .在三角形CFH 中，,CG FG 是两条中线的交点，故G 是三角形CFH 的重心，结合23CH CF BH DF ==可知24.5CG CO =，由于O 是AC 中点，故224.529CG AC ==⨯.所以72AG CG =，由此可知72λ=，故选C.6．AB BD AC +-=（ ）A ．ACB ．CDC ．ABD ．DB【答案】B【解析】依题意AB AC BD CB BDCD-+=+=，故选B.7.设D 为△ABC 的边AB 的中点，P 为△ABC 内一点，且满足，AP →＝AD →＋25BC →，则S △APD S △ABC＝( )A.35B.25C.15D.310 【答案】 C【解析】 如图∵AD →＋25BC →＝AD →＋DP →＝AP →，∴D P →＝25B C →，∠ADP ＝∠ABC ，∵D 是AB 的中点，∴AD ＝12AB .∴S △APDS △ABC ＝12·AD ·DP sin ∠ADP 12·AB ·BC sin ∠ABC ＝15.故选C.8.A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0) 【答案】 B【解析】 设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μmOB →，又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1.故选B. 10.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且OP →＝3OA →－OB→2，则( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上 【答案】 B【解析】 OP →＝3OA →－OB →2＝32OA →－12OB →＝OA →＋12(OA →－OB →)＝OA →＋12BA →，即OP →－OA →＝AP →＝12BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上．故选B.11．若O 为△ABC 所在平面内一点，且OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则S △OBC ∶S △AOC ∶S △ABO ＝( )A ．3∶2∶1B ．2∶1∶3C ．1∶3∶2D ．1∶2∶3 【答案】 D【解析】 如图所示，延长OB 到D ，使得BD ＝OB ，延长OC 到E ，使得CE ＝2OC .连接AD ，DE ，AE . ∵OA →＋2OB →＋3OC →＝0，∴点O 为△ADE 的重心．∴S △OBC ＝16S △ODE ＝16×13S △ADE ＝118S △ADE ；S △AOC ＝13S △OAE ＝13×13S △ADE ＝19S △ADE ；S △ABO ＝12S △OAD ＝12×13S △ADE ＝16S △ADE .∴S △OBC ∶S △AOC ∶S △ABO ＝118∶19∶16＝1∶2∶3.故选D.12.在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14 D ．1 【答案】 A【解析】 设BM →＝tBC →，则AN →＝12AM →＝12(AB →＋BM →)＝12AB →＋12BM →＝12AB →＋12tBC →＝12AB →＋t 2(AC →－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－t 2AB →＋t 2AC →∴λ＝12－t 2，μ＝t 2∴λ＋μ＝12.故选A.13在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 【答案】 D【解析】 设C O →＝yBC →，则AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →，∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13， ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.故选D.14.若M 为△ABC 内一点，AM →＝13AB →＋14AC →，则△ABM 和△ABC 的面积之比为( )A.14B.13C.12D.23 【答案】 A【解析】 设AD →＝13AB →，AE →＝14AC →，以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADME ，延长EM 交BC 与F ，连接BM .则EF ∥AB ，∴S △ABM S △ABC＝AE AC ＝14.故选A.15．在ABC ∆中，O 为其内部一点，且满足30OA OC OB ++=，则AOB ∆和AOC ∆的面积比是（ ） A ．3：4 B ．3:2C ．1:1D ．1:3【答案】D 【解析】取AC 中点M ,则由30OA OC OB ++= 得23OM OB =- ,所以2||3OM OB =,O 在线段BM 上,因此::2:213AOBAOCAOBAOMSSSSOB OM ===： ，选D.16．已知ABC ∆，点M 是边BC 的中点，若点O 满足230OA OB OC ++=，则（ ）A ．0OM BC •=B ．0OM AB •=C ．//OM BCD ．//OM AB【答案】D【解析】点M 是边BC 的中点，可得2OM OB OC =+，230OA OB OC ++=，可得OA OC ++2（OB OC +）23OA OBOA +=-+40OM =， 即2（OA OB -）+120OM =，可得AB =6OM ，即OM ∥AB ，故选：D ．17．如图，在ABC ∆中，设,AB a AC b ==，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP ma nb =+，则m n +=（ ）A ．12B ．23C ．67D ．1【答案】C【解析】由题意可得2,2AP QP QB QR ==，122AB a AQ QB AP QR ==+=+，① 1322AC AP PC AP RP AP QP QR AP AP QR AP QR b =+=+=+-=+-=-=，② 由①②解方程求得2477AP a b =+. 再由AP ma nb =+可得246,,777m n m n ==+=. 18．四边形OABC 中，CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=12OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=a ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=b ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑= A ．a –12b B ．12a –bC ．b +12aD ．b –12a【答案】D【解析】由CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=12OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑，可得OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+12OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=b +12a ， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=b +12a −a =b −12a ，故选D.19．点P 在ΔABC 所在平面上，且满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑，则SΔPAB S ΔABC =（ ） A ．12 B ．13C ．14D ．23【答案】B【解析】因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=2(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑),所以3PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑,所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑,CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑共线，且3|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑|=|CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑|，所以S ΔPAB S ΔABC=13.故选B. 20．如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则OA OC OE ++=（ ）A ．0B ．0C ．AED ．EA【答案】A【解析】OA OC OB +=，OB OE =- 0OA OC OE OB OE ∴++=+=本题正确选项：A 21．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =A ．3144AB AD + B ．1344AB AD + C ．12AB AD + D ．3142AB AD + 【答案】D【解析】根据题意得：1()2AF AC AE =+，又AC AB AD =+，12AE AB =，所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+.故选D.22．已知点P 是ABC ∆所在平面内一点，且满足()()cos cos AB AC AP R AB BAC Cλλ=+∈，则直线AP 必经过ABC ∆的( ) A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】D【解析】 ()cos cos AB AC AP R AB B AC C λλ⎛⎫⎪=+∈ ⎪⎝⎭两边同乘以向量BC ,得AP BC ∴⊥ (1,2]t ∈即点P 在BC 边的高线上，所以P 的轨迹过△ABC 的垂心，故选D.23.在ABC ∆中，1,3AN NC P =是BN 上的点，若29AP mAB AC =+，则实数m 的值为___________.【答案】19【解析】因为13AN NC =，所以14AN AC =，即4AC AN =，所以 2899AP mAB AC mAB AN =+=+．又因为,,P B N 三点共线，所以819m +=， 所以19m =． 24如图，直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且与对角线AC 交于点K ，NCABP其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为______．【答案】 29【解析】 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知，AC →＝AB →＋AD →， ∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫52AE →＋2AF →＝52λAE →＋2λAF →，∵E ，F ，K 三点共线，∴52λ＋2λ＝1，∴λ＝29.25.如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R)，则m －n ＝________.【答案】 －2【解析】 由于BD ＝2DC ，则BC →＝－3CD →，其中BC →＝AC →－AB →，CD →＝AD →－AC →， 那么BC →＝－3CD →可转化为AC →－AB →＝－3(AD →－AC →)，可以得到－2AC →＝－3AD →＋AB →，即AC →＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n ＝32，那么m －n ＝－12－32＝－2.26．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是________．【答案】 (1，＋∞)【解析】 设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μmOB →，又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1.27．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝⎛⎭⎪⎫2OA →＋12OB →＋12OC →，则△ABC 的面积和△PBC 的面积之比为________． 【答案】 3∶2【解析】 设BC 的中点为M ，则12OC →＋12OB →＝OM →， ∴OP →＝13(OM →＋2OA →)＝13OM →＋23OA →，即3OP →＝OM →＋2OA →，OP →－OM →＝2OA →－2OP →，也就是MP →＝2PA →， ∴P ，M ，A 三点共线，且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点，∴S △ABC ∶S △PBC ＝3∶2.28.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．【答案】 2【解析】 连接AO ，∵O 是BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →)． 又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →.∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n 2＝1.∴m ＋n ＝2.。

§5.1平面向量的概念及线性运算最新考纲 1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.通过实例，掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.3.通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算3.向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . 概念方法微思考1．若b 与a 共线，则存在实数λ使得b ＝λa ，对吗？ 提示 不对，因为当a ＝0，b ≠0时，不存在λ满足b ＝λa . 2．如何理解数乘向量？提示 λa 的大小为|λa |＝|λ||a |，方向要分类讨论：当λ>0时，λa 与a 同方向；当λ<0时，λa 与a 反方向；当λ＝0或a 为零向量时，λa 为零向量，方向不确定． 3．如何理解共线向量定理？提示 如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √ ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × ) 题组二 教材改编2．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________.(用a ，b 表示) 答案 b －a －a －b解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .3．在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________． 答案 矩形解析 如图，因为AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →， 所以|AC →|＝|DB →|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形． 题组三 易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件． 5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案 12解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.题型一 平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中真命题的序号是________． 答案 ③解析 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；③正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． 故填③.2．判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |.其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 只有④正确．思维升华 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．题型二 平面向量的线性运算命题点1 向量加、减法的几何意义例1 (2017·全国Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a |>|b |答案 A解析 方法一 ∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b . ∴a·b ＝0.∴a ⊥b . 故选A.方法二 利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知，|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b . 故选A.命题点2 向量的线性运算例2 (1)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则向量BF →等于( )A.13a ＋23b B ．－13a －23bC ．－13a ＋23bD.13a －23b 答案 C解析 BF →＝23BE →＝23(BC →＋CE →)＝23⎝⎛⎭⎫b －12a ＝－13a ＋23b ， 故选C.(2)(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →等于( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → 答案 A解析 作出示意图如图所示．EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 故选A.命题点3 根据向量线性运算求参数例3 在锐角△ABC 中，CM →＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →，则x y ＝________.答案 3解析 由题意得CA →＋AM →＝3(AB →－AM →)， 即4AM →＝3AB →＋AC →， 亦即AM →＝34AB →＋14AC →，则x ＝34，y ＝14.故x y＝3. 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1 (1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →等于( ) A.13a ＋512b B.13a －1312b C ．－13a －512bD ．－13a ＋1312b答案 C解析 DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA →＝13(AC →－AB →)－34AC → ＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b ，故选C.(2)(2018·威海模拟)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB →＝xAE →＋yAF →(x ，y ∈R )，则x －y ＝________. 答案 2解析 由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB →，因为AB →＝xAE →＋yAF →，所以AB →＝⎝⎛⎭⎫x ＋y 2AB →＋⎝⎛⎭⎫x 2＋y AD →，所以⎩⎨⎧x ＋y2＝1，x2＋y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝43，y ＝－23，所以x －y ＝2.题型三 共线定理的应用例4 设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →， ∴AB →，BD →共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)解 假设k a ＋b 与a ＋k b 共线， 则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1. 引申探究1．若将本例(1)中“BC →＝2a ＋8b ”改为“BC →＝a ＋m b ”，则m 为何值时，A ，B ，D 三点共线？ 解 BC →＋CD →＝(a ＋m b )＋3(a －b )＝4a ＋(m －3)b ， 即BD →＝4a ＋(m －3)b .若A ，B ，D 三点共线，则存在实数λ，使BD →＝λAB →. 即4a ＋(m －3)b ＝λ(a ＋b )．所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝λ，m －3＝λ，解得m ＝7.故当m ＝7时，A ，B ，D 三点共线．2．若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？ 解 因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ<0)．所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，kλ＝1，所以k ＝±1.又λ<0，k ＝λ，所以k ＝－1. 故当k ＝－1时两向量反向共线．思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练2 已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明 (1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)， ∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)， 即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线．又∵BP →与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →， ∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)． 又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →， 即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.1．对于非零向量a ，b ，“a ＋2b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若a ＋2b ＝0，则a ＝－2b ，所以a ∥b . 若a ∥b ，则a ＋2b ＝0不一定成立， 故前者是后者的充分不必要条件．2．已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线 答案 B解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2AB →， ∴BD →与AB →共线，由于BD →与AB →有公共点B ， 因此A ，B ，D 三点共线，故选B.3.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 上的一个靠近点B 的三等分点，那么EF →等于( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD → 答案 D解析 在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →. 因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 上的一个靠近点B 的三等分点， 所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D. 4．(2018·唐山模拟)在△ABC 中，点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0.若存在点O ，使得OG →＝16BC →，且OA →＝mOB →＋nOC →，则m －n 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1 答案 D解析 ∵ GA →＋GB →＋GC →＝0， ∴OA →－OG →＋OB →－OG →＋OC →－OG →＝0，∴OG →＝13()OA →＋OB →＋OC →＝16BC →＝16()OC →－OB →， 可得OA →＝－12OC →－32OB →，∴m ＝－32，n ＝－12，m －n ＝－1，故选D.5.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b 答案 D解析 连接OC ，OD ，CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆O 半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b ，故选D.6.如图，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为( )A.911B.511C.311D.211答案 B解析 注意到N ，P ，B 三点共线， 因此AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1，所以m ＝511.7．若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝________. 答案 2 3解析 因为|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2， 所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以|AB →＋AC →|为△ABC 的边BC 上的高的2倍， 所以|AB →＋AC →|＝2 3.8．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________． 答案 直角三角形解析 因为OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →， 所以|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|， 即AB →·AC →＝0，故AB →⊥AC →，△ABC 为直角三角形．9．若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且CM →＝3MB →，设AM →＝λAB →＋μAC →，则λ的值为________． 答案 34解析 由题设知CMMB＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ，则MN AC ＝BN BA ＝BM BC ＝14， 从而AN AB ＝34，又AM →＝λAB →＋μAC →＝AN →＋NM →＝34AB →＋14AC →，所以λ＝34.10．(2019·钦州质检)已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________. 答案 －4解析 因为M ，N ，P 三点共线， 所以存在实数k 使得MN →＝kNP →， 所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，可得⎩⎪⎨⎪⎧2＝kλ，－3＝6k ，解得λ＝－4.11．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，求△ABC 与△AOC 的面积之比．解 取AC 的中点D ，连接OD ，则OA →＋OC →＝2OD →， ∴OB →＝－OD →，∴O 是AC 边上的中线BD 的中点，∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.解 方法一 由D ，O ，C 三点共线， 可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝⎛⎭⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)，同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k 2⎝⎛⎭⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)， ① 又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫－12k 1a ＋k 1b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ， ②所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝⎛⎭⎫12k 2－k 1b ＝0. 又a ，b 不共线，所以⎩⎨⎧12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0，解得⎩⎨⎧k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b .所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )． 方法二 延长AO 交BC 于点E ，O 为△ABC 的重心，则E 为BC 的中点， 所以AO →＝23AE →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(a ＋b )．13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于( )A.58B.14 C ．1 D.516 答案 A解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →， 所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A.14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(1，2] D ．(－1,0)答案 B解析 设OC →＝mOD →，则m >1， 因为OC →＝λOA →＋μOB →， 所以mOD →＝λOA →＋μOB →， 即OD →＝λm OA →＋μm OB →，又知A ，B ，D 三点共线， 所以λm ＋μm ＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1，故选B.15．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝⎛⎭⎫2OA →＋12OB →＋12OC →，则点P 一定为△ABC 的( )A ．BC 边中线的中点B ．BC 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．BC 边的中点 答案 B解析 设BC 的中点为M ， 则12OC →＋12OB →＝OM →， ∴OP →＝13(OM →＋2OA →)＝13OM →＋23OA →，即3OP →＝OM →＋2OA →，也就是MP →＝2P A →， ∴P ，M ，A 三点共线，且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点．16．设W 是由一平面内的n (n ≥3)个向量组成的集合．若a ∈W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量．有下列命题： ①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a ，b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c ＝－a －b ，使得W ＝{a ，b ，c }中的每个元素都是极大向量；③若W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量，且W 1，W 2中无公共元素，则W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量． 其中真命题的序号是________． 答案 ②③解析 ①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a ，b ，c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量时，W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．。