15-等比数列前n项和3ppt

15.等比数列前n 项和教学目标 班级：_____ 姓名：____________1.理解并掌握等比数列前n 项和公式.2.掌握等比数列前n 项和的性质，并能应用性质解决相关问题.教学过程一、等比数列前n 项和公式.1.等比数列前n 项和公式:________________________________注意事项：（1）n S 的求解，分1=q 和1≠q 两种情况，注意讨论.（2）等比数列共有5个量，知三求二.2.等比数列前n 项和的性质.（1）等比数列前n 项和公式)1(1)1(1≠--=q q q a S n n 可化为)1(1111≠⋅---=q q qa q a S n n ， 可知，若A Aq S nn -=（0≠A ），则{}n a 为等比数列. （2）{}n a 为等比数列，则n S ，n n S S -2，n n S S 23-成等比数列（其中n S ，n n S S -2，n n S S 23-各项均不为0）.（3）若等比数列{}n a 共有2n 项，则q S S =奇偶.（4）{}n a 是公比为q 的等比数列，对任意的*∈N n m ,有p m m p m S q S S +=+.（5）{}n a 是公比为q 的等比数列，n T 为数列的前n 项之积，则,...,,232n n n n n T T T T T 成等比数列. 二、等比数列前n 项和的应用.例1：设)(2...222)(1374*+∈++++=N n n f n ，则)(n f =__________.练1：在正项等比数列{}n a 中，811=a ，165=a ，求它的前5项和.例2：已知等差数列}{n a 的通项公式为n a n =，等比数列}{n b 的通项公式为n n b 2=，求数列}{n n b a ⋅的前n 项和n S .例3：在等比数列{}n a 中，公比2=q ，前2012项的和902012=S ，则__________...2012642=++++a a a a练3：已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10=m S ，302=m S ，求m S 3.作业：等比数列{}n a 的前6项和216=S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列，求通项公式n a .。

2.5 等比数列的前n 项和（1）教材分析本节内容是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．与等差数列前n 项公式一样，等比数列前n 项和公式也是数列求和的化简式，用这个公式可以方便地求出等比数列的前n 项和．教学中可从公式的形成、特点等方面与等差数列进行类比．当然，本节公式的推导与等差数列前n 项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破．本节课重点是公式的推导、公式的特点和公式的运用．难点是由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式．课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解等比数列前n 项和公式的推导、公式的特点和公式的运用．教学目标重点：使学生掌握等比数列的前n 项和公式，用等比数列的前n 项和公式解决实际问题．难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式．知识点：等比数列前n 项和公式的推导过程、公式的特点．能力点：通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．教育点：通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点．自主探究点：如何利用相应方法推导出等比数列前n 项和公式以及在此基础上应用公式解决与之有关的问题．考试点：等比数列前n 项和公式以及在此基础上应用公式解决与之有关的问题．易错易混点：对于1 q 这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错．拓展点：公式推导所使用的“错位相减法”蕴含的数学思想．教具准备：多媒体课件课堂模式：学案导学一、引入新课话说灰太狼想在森林里开一个公司，但苦于资金有限，于是准备去找喜羊羊投资，喜羊羊一口答应：“行，从今天开始我连续30天往你的公司注入资金，第一天投资10000元，第二天投资20000元，第三天投资30000元，总之以后每天都比上一天多投资10000元，但作为回报，在投资的第一天起你必须返还我1元钱，第二天返还我2元钱……即后一天返还的钱数为前一天的两倍,30天后我们两清．”问：灰太狼会吃亏么？【师生活动】教师引导学生分析喜羊羊与灰太狼提出的两种方案：这在30天内喜羊羊投资与灰太狼向喜羊羊返还的钱数分别记为30'30,S S ，则每天投资的钱数构成等差数列且一月的投资总额为465000021000029301000030'30=⨯⨯+⨯=S 而每天返还的钱数则构成了一个等比数列且一月的返还总额为?22221293230=+++++= S那么如何求这个和呢？从而引出课题《等比数列的前n 项和》.【设计意图】】设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性．故事内容紧扣本节课的主题与重点，也和实际生活有一定联系．【设计说明】此处应结合思路板书上述两个求和的式子，方便学生下一步思考．二、探究新知师：同学们，你们知道30天后是喜羊羊还是灰太狼亏本吗？带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和．这时我对他们的这种思路给予肯定．【设计意图】：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍．同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔．在肯定他们的思路后，教师提问学生：29322,,2,2,2,1 是什么数列？有何特征？ 应归结为什么数学问题呢？探究一：把29323022221+++++= S 记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）探究二： 如果把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以2则有 30323022222++++= S 记为（2）式．比较（1）(2）两式，你有什么发现？生：经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了． 师：这就是错位相减法．【设计意图】：留出时间让学生充分地比较，等比数列前n 项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机．学生在经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法的简洁，更让学生感到数学方法的魅力．师：同学们请反思，为什么（1）式两边要同乘以2呢？此时顺势引导学生将结论一般化，公比为q ，如何求前n 项和n S ？ 这里，让学生自主完成，学生得到公式qq a a S nn --=111，教师在巡视过程中对个别学生进行指导，然后投影学生习作，加以点评．【设计意图】：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感．在学生推导完成后，教师继续提问师：由nn q a a S q 11)1(-=-对不对？这里对q 有没有什么要求？生：1≠q 此时.师：那等比数列中的公比能不能为1？1=q 时是什么数列？此时?=n S （这里引导学生对q 进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础．）生：1=q 时为常数列，此时1na S n =师：结合等比数列的通项公式11-=n n qa a ,如何把n S 用q a a n ,,1表示出来？（引导学生得出公式的另一形式） 生：qq a a S n n --=11 【设计意图】：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力．三、理解新知 学生总结，教师板书⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=--=)1(;)1(;11)1(111q na q q q a a q q a S n n n 【设计意图】：为准确地运用新知，做必要铺垫．四、运用新知例1 求等比数列,161,81,41,21前8项和； 解：由已知可得，此数列是首项为,21公比为21的等比数列，其前8项和为888211211)211(21-=--=S 变式一：此数列的前多少项和是6463？ 变式二：求此数列第5项到第10项的和．师生活动：首先，学生独立思考，自主解题，再投影他们的解答，其它同学进行评价，然后师生共同进行总结．【设计意图】：采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识．例2 求和1321-+++++n aa a a 解：当1=a 时，n aa a a n =+++++-1321 当1≠a 时，aa a a a a nn --=+++++-111132 【设计意图】解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想．师：最后回到初始的引入问题，可以计算出303021+-=S ，显然灰太狼比较吃亏．师：再来思考， 多少天以内灰太狼才不吃亏？【设计意图】把引入课题时的悬念给予释疑，并对此引例加以变式，有助于学生克服疲倦、继续积极思维．五、课堂小结以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答.本节课我们学习了哪些公式？涉及到哪些数学思想方法？学生作答：1、 知识点：⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=--=)1(;)1(;11)1(111q na q q q a a q q a S n n n 2、 思想：分类讨论的思想3、 方法：错位相减法教师总结：公式的证明用到了一个新的方法——错位相减法，而错位相减法也是数列求和的一种重要方法．提醒学生，“知新”时，也要“温故”，在应用中加强对公式的理解，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．教师用多媒体展示：数学就像人类的一部特制的精密的大型望远镜或显微镜一样，它大大延伸了人们洞察自然地能力，看到了不掌握数学的人无法看到的那个世界，能使人看到那些不懂数学的人无法看到的东西．－－－张楚廷《数学文化》【设计意图】以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力．同时加强对学生学法指导与数学文化修养的指导．六、布置作业必做：人教A 版课本61页 A 组 1、4（1）选作：1、“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？2、求和：12321-++++n nx x x【设计意图】出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间．七、教后反思1.本教案的亮点是引例问题与课堂设计．引例来源于生活，能吸引学生在解决问题的过程中掌握知识点与方法；而本堂课的设计采用“问题――探究”的教学模式，自然流畅，符合学生认知规律，而且利用多媒体及学案辅助教学，使学生思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率．2.本节课弱项是课堂时间有限，没有充分进行训练，这就要求学生在课下多多训练，以完成对知识和方法的巩固提高．3.由于学情不同，建议教师使用本案是灵活掌握．八、板书设计。