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一维单原子链晶格振动解析步骤一维单原子链模型是固体物理中的经典模型之一，用于描述晶体中原子的振动行为。
在这个模型中，原子由质量为m的核和劲度系数为K的弹性相互作用构成。
通过对一维单原子链的晶格振动进行分析，可以更好地理解固体中的声子模式和声子色散关系。
下面将介绍一维单原子链晶格振动解析步骤：第一步：建立模型首先，我们要建立一维单原子链的模型。
假设晶格常数为a，原子间距为a/2，一维晶格中的每个原子都沿着x轴定位。
原子间的相互作用由弹簧模型描述，即相邻原子间的相互作用劲度系数为K。
这个模型是一个简单的原子链模型，可以通过它来研究晶格振动的基本性质。
第二步：求解运动方程接下来，我们需要求解原子在这个一维单原子链中的运动方程。
假设第n个原子的位移为Un(t)，那么根据牛顿第二定律，可以得出该原子的运动方程为：m*Un’’(t) = -K*(Un(t+0) - 2*Un(t) + Un(t-0))上式中，Un’’(t)表示Un对时间的二阶导数，-K*(Un(t+0) -2*Un(t) + Un(t-0))表示受到的弹性相互作用力。
第三步：假设解的形式由于原子在一维单原子链中的振动属于谐振动问题，我们可以假设原子的位移满足解的形式为：Un(t) = An*exp(i*(k*n*a - ω*t))其中，An是振幅，k是波数，ω是角频率，n是原子的编号。
将这个解代入到运动方程中，可以得到关于角频率ω和波数k的关系式，即声子色散关系。
声子色散关系描述了声子的能量随波数变化的关系，是描述晶体中声子性质的重要工具。
第四步：得到声子色散关系将解的形式代入运动方程，我们可以得到关于角频率ω和波数k的关系式。
具体地，我们可以得到一维单原子链中的声子色散关系为：ω(k) = 2*sqrt(K/m)*|sin(ka/2)|声子色散关系描述了一维单原子链中的声子能量随波数变化的规律。
从这个关系式可以看出，一维单原子链中的声子有声学支和光学支两种振动模式，它们的能量随波数的变化方式不同。
不均匀分布的一维双原子晶格的本征模式不均匀分布的一维双原子晶格的本征模式引言：晶格是固体中原子或分子的周期性排列，是固体结构的基础。
而双原子晶格是指晶格中包含两种不同原子的晶格结构。
本文将探讨一维双原子晶格的本征模式，并讨论其不均匀分布对晶格振动的影响。
一、一维双原子晶格的结构一维双原子晶格是由两种不同原子交替排列而成的晶格结构。
这两种原子可以具有不同的质量、电荷或其他性质。
在晶格中，原子之间通过键结合在一起，形成晶格的周期性结构。
二、一维双原子晶格的本征模式本征模式是指晶格振动中的特定模式，其频率和振幅由系统本身的性质决定。
在一维双原子晶格中，由于存在两种不同原子，不同的原子会对晶格振动产生影响。
1. 声学模式声学模式是指晶格中原子在同一方向上以相同的频率和相位振动。
在一维双原子晶格中，声学模式可以分为两种：长波声学模式和短波声学模式。
长波声学模式是指原子在晶格中以相同频率和相位的平面波形式振动，其频率较低。
而短波声学模式是指原子在晶格中以相同频率和相位的立体波形式振动，其频率较高。
2. 光学模式光学模式是指晶格中原子在同一方向上以相反的频率和相位振动。
在一维双原子晶格中，光学模式可以分为两种：长波光学模式和短波光学模式。
长波光学模式是指原子在晶格中以相反频率和相位的平面波形式振动，其频率较低。
而短波光学模式是指原子在晶格中以相反频率和相位的立体波形式振动，其频率较高。
三、不均匀分布对本征模式的影响在一维双原子晶格中，如果两种原子的分布不均匀，即两种原子的间距不一致，将会影响本征模式的性质。
1. 频率的变化不均匀分布会导致晶格中原子的周期性变化，从而导致本征模式的频率发生变化。
当两种原子的分布越不均匀，频率变化越大。
2. 振幅的变化不均匀分布还会影响本征模式的振幅。
当两种原子的分布不均匀时，原子的振动会受到相邻原子的影响，振幅会发生变化。
3. 色散关系的变化色散关系是指本征模式的频率与波矢之间的关系。
一维简单晶格声子非线性局域态
彭好军;邹红梅;周光辉
【期刊名称】《湖南师范大学自然科学学报》
【年(卷),期】2001(024)004
【摘要】利用量子相干态表象和多重尺度与准连续近似方法,研究了考虑格点间相互作用势展开至4阶项的一维简单晶格模型,求得了该晶格系统脉冲与扭结2种包络形式的声子非线性局域态,与用经典方法研究同一系统所得结果一致.
【总页数】4页(P49-52)
【作者】彭好军;邹红梅;周光辉
【作者单位】湖南医学高等专科学校基础医学系,;湖南医学高等专科学校基础医学系,;湖南师范大学物理系,
【正文语种】中文
【中图分类】C731
【相关文献】
1.一维Klein-Gordon晶格中非线性局域模稳定性研究 [J], 刘洋;邓磊;杨植宗;谢艳丁
2.浅谈缺陷层对一维晶格声子输运的影响 [J], 吕桦
3.一维Klein Gordon 双原子晶格的传播非线性局域模(英文) [J], 邹红梅;彭好军;周光辉
4.表面局域态对一维声子晶体中水平剪切波传输特性的影响 [J], 郁殿龙;刘耀宗;邱静
5.一维杆状声子晶体振动中的表面局域态研究 [J], 郁殿龙;刘耀宗;王刚;温激鸿;邱静
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一维晶格振动的局域模研究
戚云泽
( 大庆师范学院物理与电气信息工程学院, 级物理教育班黑龙江大庆163712)
摘要: 近年来, 纳米材料和单分子操纵技术越来越受到人们的关注。
经过原子、分子操纵, 实现在纳米尺度上对材料进行加工, 完成单原子、单分子电子器件的制作, 一直是人们追求的目标。
随着单分子操纵技术的不断发展, 人们对单个分子进行操作的梦想已经成为了现实。
我们已经能够由不同于以往的从下到上的思想用一个个的原子逐步构建我们所需要的原子器件。
这也使得经过改变材料的微观结构对材料的各种基本性质进行调控成为可能。
对材料性质的认识和调控离不开对小尺度材料的晶格振动、声子结构和电子结构的研究。
本文主要对一维原子链的晶格振动进行了细致的研究。
关键字: 一维原子链, 杂质, 晶格振动、局域模
作者简介: 戚云泽( 1989--) , 男, 黑龙江省鹤岗市人, 大庆师范学院物电学院学生,
0 引言
研究材料的晶格振动, 首先就要研究最简单的情况——完整晶格中的晶格振动情况。
晶体内的原子并不是处在自己的平衡位置上固定不动的, 而是围绕其平衡位置做振动。
由于晶体内原子间存在着相互作用力, 各个院子的振动也并非是孤立的, 而是相互联系的, 因此在晶体中形成了各种模式的波。
由于晶格的周期性条件, 模式所取的能量值不是连续的而是分立的。
对于这些分立的振动模式, 可用一系列孤立的简谐振子来描述。
和光子的情形相似, 这些谐振子的能量量子ω
称为声子, 其中ω是振动模式的角频率。
1一维单原子链中的晶格振动
晶格具有周期性。
因而, 晶格的振动模具有波得形式, 称为格波。
格波和一般的连续介质波具有共同的波的特征, 但也有它不同的特点。
图1-1所示的单原子链能够看作是一个最简单的晶格, 在平衡时相邻原子距离为a( 即晶格常数为a) , 每个原胞内含有一个原子, 都具有相同的质量m, 原子限制在沿链的方向运动。
由于热运动各原子离开它的平衡位置, 用μn
代表第n 个原子离开平衡位置的位移, 第n 个原子和第n+1个原子间的相对位移是μμn n _1+, 下面先求由于原子间的相互作用, 原子所受的恢复力与相对位移的关系。
图1-1 一维单原子链
设在平衡位置是, 两原子间的相互作用势能为U( a) ; 原子偏离平衡位置时, 两原子间距离变为r=a+δ, δ为相对位移从μμn
n _1+, 势能变为U( a+δ) , 我们把U( a+δ) 在平衡位置附近用泰勒级数展开, 得到:
......2221)()()(2
+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=δδδr d U d dr dU a
a a U a U r U ( 1-1)
其中U( a) 为常数, 0=⎭⎬⎫⎩⎨⎧dr dU a
( 因为r=a 是为平衡位置, U 处于最低点) 。
由于我们考虑的是微振动, δ很小, 故上述展开式可近似的只保留到δ2
项。
这种近似称为简谐近似, 因此可得出二原子间作用力为简谐力的结论, 对( 1-1) 求导可得出二原子间的恢复力:
βδδδ
-=-=-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r d U d a d dU dr dU f 22 (1-2) 上式中⎭⎬⎫⎩⎨⎧=r d U d a
22β称为恢复力常数。
在简谐近似下, 相邻原子间的作用力为
βδ-=f , 表明存在于相邻原子间的事正比与相对位移的弹性恢复力。
运用牛顿运动定律直接解运动方程, 求解链的振动模。
对于链中的第n 个原子, 她受到左右两个相邻原子对它的作用力, 左方第( n-1) 个原子与它的相对位移为μμδ1--=n n ,
对应的作用力为
)(1
1μμβ----=n n n f , 右方第( n+1) 个原子与它的相对位移为μμδn n -=+1, 对应的恢复力为)(11μμβn
n n f --=++, 从而得到: ()()μμμμ
μββ1122-+---=n n n n n t d d m ()
μμμβn n n 211-+=-+ (1-3) 每个原子对应一个方程, 若原子链中有N 个原子, 则有N 个方程, 式( 1-3) 实际上代表着N 个联立的线性齐次方程。
设方程组( 1-3) 的解是一振幅为A, 角频率为ω的简谐振动:
e naq ax i nq A )(-=μ
其中ω, A 为常数。
代入方程( 1-3) , 有
()[]e e e e i naq t i nq n t i naq t i naq t i A A A A m
)(])1([)()(22------+=ωωωωβω ( 1-4)
即
[]⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-=aq m aq m 214cos 12sin 22β
βω ( 1-5) 式( 1-5) 与n 无关, 表明N 个联立的方程都归结为同一个方程。
也就是说, 只要ω与q 之间满足( 1-5) 式的关系, ( 1-4) 式就表示了联立方程的解。
一般把ω与q 之间的关系称为色散关系如图( 1-2)
图( 1-2)
不同原子之间有位相差。
相邻原子之间的位相差为aq 。
式中qna 表示第n 个原子振动的位相因子。
如果把式中的aq 改变一个( 2π) 的整数倍, 所有的原子的振动实际上完全没有任何不同。
为了满足波函数单值性的要求我们能够把aq 限制在下面的范围内:
ππ≤<-aq (1-6)
即 a q a π
π
≤<- ( 1-7)
这个范围以外q 值, 并不能提供其它不同的波。
这是, 我们一般把q 的取值范围称为布里渊区。
格波的这个特点能够用图1-3说明。
( 为了便于图示, 以下的图中吧每个原子的位移画在垂直于链的方向。
) 图中实线表示把原子振动看成a q 2π=
的波, 虚线表示完全相同的原子振动, 同样能够当做是a q 25π=
的波, 二者aq 相差2π.按照前一种方式, 两相邻原子振动位相差是2
π, 后一种方式相当于认为它们的位相差为)22(π
π+, 效果当然是完全一样的。
