3.1一维晶格振动

2
aq 2 sin m 2
可以发现，上面的解与n无关，表明N个联立方程都归结

为同一个方程。只要ω与q之间满足上式的关系，我们给定的
试探解就表示了联立方程的解。 通常把ω与q之间的关系称为色散关系。或者把ω(q)作为q的
函数称为晶格振动谱，可以通过实验的方法测得或根据原子
间相互作用力的模型从理论上进行计算。
§3.1 一维晶格的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
晶格具有周期性，因此晶格的振动模具有波的形式， 称为格波。格波和一般连续介质波有共同的特征，但也有
它不同的特点。
1.一维单原子链的振动方程及其解
(1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距为a（即
原胞体积为a），原子质量为m。原子限制在沿链的方向 运动。原子间的力常数均为β。
u (r ) u (a )
按一般简谐振动把近似互作用能保留到二次项
1 d 2u 2 du u (r ) u (a) 2 2 dr a dr a 2 du d u 在上式中 0, 2 dr a dr a
2n
Q原子： M


2n1 2n1 22n
2 n 1
2 n 1 2 n 2 2 n 1 2 n
2n2 2n 22n1
上面两个方程是原子运动的典型方程，当原子链包含N个原胞
π π q a a
上述q以外的值，并不能提供其它不同的波。
格波波数q的不唯一性特点可以如图说明：
a
4a
μ
a
4a 5
q 2a
5 xq 2a
3. 玻恩---卡门周期性边界条件及波矢q的取值 (1)玻恩---卡门周期性边界条件 对于无穷长的链，可以利用上面的运动方程。但对于有 限长的链，两端的原子与内部原子的情况不同，导致运动方 程不同，使得方程解变得复杂，因此要利用玻恩---卡门周期 性边界条件。
nq iAe
..
.
i t naq
nq (i ) 2 Aei t naq
2 Aei ( wt naq )
mA 2 e
带入上面的运动方程：
i t naq
2 Ae

i t naq
Ae
i t n 1 aq
2 cos aq m 2
2
M 2 2 2 cos aq
0
mM 4 2 (m M ) 2 4 2 sin 2 aq 0
2 2 2 2 ( m M ) [ 2 ( m M )] 16 mM sin aq 2 2mM mM 4m M 2 [1 1 sin aq ] 2 mM (m M )
2.试探解的物理意义：
nq Ae
i (t naq )
一般连续介质波
Ae
i ( wt 2
x

)
Ae
i ( wt qx )
nq Ae
i (t naq )
其中ω是波的圆频率，λ是波长，q=2π/λ称为波数。 相同点：形式类似。 不同点： 1）连续介质波中的 x 表示空间任一点，而试
第n-2个原子
第n-1个原子
第n个原子
第n+1个原子
第n+2个原子
a
μn-2
μn-1
μn
μn+1
μn+2
用…μn-1、 μn、 μn+1 …分别表示序号为… n-1、 n、 n+1 …原 子在t时刻偏离平衡位置的位移。 (2)振动方程和解 假设只有近邻原子间存在相互作用，r=a+δ。其中δ表示 对平衡位置a的偏离。 u（r）为原子间的互作用势能。
Ae
i t n 1 aq

m 2 (2 e iaq eiaq )
[2 (cosaq i sin aq) (cosaq i sin aq)] 2 aq (2 2 cos aq) 4 sin 2
2 4 2 aq (1 cos aq ) sin ( ) 所以 m m 2
n n1
n n1
f1 (n n1 )
右边第n+1个原子与它的相对位移和作用力：
f 2 (n n1 )
因此可以得到第n个原子的经典动力学方程如下：
m n n 1 n n 1 n
模型
动力学方程
一维无限长原子链，m，a， n-2 m
..
n-1 m
n
n+1
n+2
试探解
m n n 1 n n 1 n
a
n Aei t naq
色散关系
2
m sin aq 2
波矢q范围
B--K条件 波矢q取值

mM 4m M 2 [1 1 sin aq ] 2 mM (m M )
2
mM 4m M 2 [1 1 sin aq ] 2 mM (m M )
2
+-----光学支格波，或称ωO ------声学支格波，或称 ωA
3.波矢q的取值
2 n Aei t 2 na q
2 q h Na
注意：晶格振动波矢只能取分立的值
由于
π π q a a 2 h 即 a Na a N N 所以 h 2 2
结论：由 N 个原胞组成的一维单原子链，波矢 q 可以取 N 个
不同的值，每个q对应一个格波，共有N个不同的格波。 波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目 每个q对应一种频率，即对应于一种振动模，即由N个原胞 组成的一维单原子链具有 N 种振动模 , 对应着该晶体中的自 由度数。
e iaq eiaq cosaq i sin(aq) cosaq i sin aq 2 cosaq
带入上式，化简得：
2 cosaqA M 2 B 0 m 2 A 2 cosaqB 0
2 2
若A，B不全为零，必须其系数行列式为零，即:
..
2n n1 n1 n1 n1 2n
每个原子对应一个方程，若原子链有N个原子，则有N个方
程，上式实际上代表着N个联立的线性齐次方程。
下面将验证方程具有格波形式的解。给出试探解：
nq Aei (t naq )
其中ω，A为常数。
t 时刻时
u (r ) u (a )
1 d 2u 2 1 d 3u 3 du u (a) 2 3 6 dr a dr a 2 dr a
将势能函数在平衡位置展成级数：
4.色散关系
aq 2 sin m 2
1）ω 是q的偶函数：(-q)= (q) 2） 是波矢q的周期性函数： (q)= (q+2π/a)

3) ω 是q的单值函数
m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2π / a π / a
0
π/a
2π / a
例1.求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原 子质量为m，恢复力常数为(只考虑近邻原子间的相互作用)。 解:设最近邻原子间的恢复力系数为，则:


m 2 Aei ( t 2naq ) {Bei[t (2n1)aq] Bei[t (2n1)aq] 2 Aei (t 2naq ) }
M 2 Bei[t (2n1)aq] {Aei[t (2n2)aq] Aei (t 2naq ) 2Bei[t (2n1)aq]}
探解中只取 na 格点的位置。由此可知，一个格波解表
示所有原子同时做频率为ω的振动，不同原子之间有位 相差，为aq； 2）格波波数 q 的不唯一性：将试探解的 aq 改变 2 π的整 数倍，所有原子的振动实际上没有不同。这表明 aq 可
以限制在下面范围：
aq
q 的取值范围常称为布里渊区。
则有
1 u (r ) u (a) 2 2
在上述近似下，相邻原子间的相互作用力:
du du f dr d
β被称为弹性恢复力系数或力常数。弹性恢复力系数
下面考察第n个原子的经典运动方程,它受到左右两个近邻 原子对它的作用力： 左边第n-1个原子与它的相对位移和作用力：
时，它实际代表2N个方程的联立方程组。具有下面的格波解： i t 2 na q
2 n Ae
2 n1 Bei[t ( 2 n1) aq]
2.色散关系
把上面两个解带入下列方程组：
m 2 n ( 2 n 1 2 n 1 2 2 n ) M 2 n 1 ( 2 n 2 n 2 2 2 n 1 )
由格波解可以知道相邻原胞之间的位相差为2aq。同样，如 果把 2 aq 改变 2 π 的整数倍，所有原子的振动实际上是相同 的，因此表明q的取值限制如下：
2aq


2a
q

2a
化简得：
m 2 A e iaq e iaq B 2 A


M 2 B eiaq eiaq A 2 B
可以发现，上述方程与n无关，这表明所有联立方程都归结 为同一对方程，具有上述的格波解。上式看成是以A、B为未


知数的线性齐次方程：
根据欧拉方程得到：
Naq 2π s
5 5 <s 2 2
π π q a a

5 5 <s 2 2