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久期、凸度的定义及数学推导目录1久期D (1)1.1久期定义 (1)1.2久期表达式 (2)1.3久期作用 (2)1.3.1 衡量加权平均期限 (2)1.3.2 测度利率敏感性 (3)2 凸度C (5)2.1凸度定义 (5)2.2表达式 (5)2.3数学原理 (5)1久期D1.1久期定义久期是债券价格相对于债券收益率的敏感性（一）麦考利久期Dm：最早的久期衡量指标，其本质是通过计算债券偿还现金流的加权平均年限，来衡量债券价格变化敏感度。
（二）修正久期D *：对麦考林久期进行了修正，加入考虑了到期收益率r 。
比如到期收益率是5%，那么修正久期就要在麦考林久期的基础上，除以1.05。
（三）美元久期D **：对修正久期进一步修正，加入了债券价格P ，比如债券价格95，那么美元久期就要在修正久期的基础上，乘以95。
1.2久期表达式 麦考利久期：t P r t ∑==+=n t 1t t )1/(CF Dm 公式（1） 修正久期： D * =Dm/(1+r) 公式（2）美元久期： D ** =D *P 公式（3）【CFt ：债券每期现金流】；【r ：到期收益率或市场利率】；【t ：债券期数】。
1.3久期作用1.3.1 衡量加权平均期限麦考利久期Dm 是对债券实际平均期限的一个简单概括统计，使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间,其权重是各期现值在债券价格中所占的比重；1.3.1.1 数学原理从公式（1）t P r t ∑==+=nt 1t t )1/(CF Dm 出发： Dm 是时间t 的加权平均值，第t 期的权重为P r t t )1/(CF +； 比如t=2时第二期的权重为P r 22)1/(CF +；求证：权重加总求和∑==+n t 1t t )1/(CF P r t =∑==+n t 1t t )1/(CF p 1t r （带入债券定价公式： P )1/(CF n t 1t t =+∑==t r ） =P p1 =11.3.2 测度利率敏感性当利率发生变化时，迅速对债券价格变化或债券资产组合价值变化作出大致的估计。
Yield ModDur ice ∆⨯≈∆Pr %Y MoneyDur P ∆⨯=∆久期公式总结1、麦考利久期Macaulay Durationn PV(bond)FV)PV(C PV(bond))PV(C PV(bond))PV(C YY)Δ(P ΔPMacDur n ⨯+++⨯+⨯=++= 2111212、修正久期Modified durationrMacDur Y P P ModDur +=∆∆=1/注：r 指的是periodic yield3、近似修正久期 Approximate modified duration02P y P P ur ApproxModD ⨯∆⨯-=+-注：P-：利率下降1%对应的债券的价格； P+：利率上升1%对应债券的价格4、近似麦考利久期 Approximate Macaulay duration )1(r ur ApproxModD ur ApproxMacD +⨯=注：r 指的是periodic yield5、货币久期（美元久期）Money Duration/Dollar Duration Y P ice ModDur MoneyDur ∆∆=⨯=Pr6、PVBP (Price Value of a Basis Point)2+--=P P PVBP注：P-：利率下降1bps 对应的债券的价格； P+：利率上升1bps 对应债券的价格7、有效久期 Effective duration)(2P Curve P P uration EffectiveD ⨯∆⨯-=+-注：含权债券的利率风险需使用有效久期来衡量8、债券组合久期 Bond portfolio Duration332211D W D W D W Duration Portfolio +++= 注：Wi 指的是债券组合中单个债券的市值的权重9、凸度()⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⨯⨯+∆⨯-≈∆221Pr %Yield Con Yield ModDur ice注：△Y 是考虑利率变动的方向的，如果利率下跌那么△Y 小于010、近似凸度 Approximate convexity()020ield 2P Y P P P ApproxCon ⨯∆-+=+-11、货币凸度 Money convexityice Convexity M Pr ity oneyConvex ⨯=。
久期与修正久期例1、按70.357元的价格、9%的到期收益率、6%的息票率出售25年期限的债券，其麦考来久期为11.10，修正久期为10.62年。
如果该种债券的到期收益率由9%上升到9.1%,即变动0.1个百分点（10个基准点），那么债券的价格近似变动额为（）元。
解答：价格变动额=修正久期*（9%—9.1%）*原来的价格=10.62*（—0.1%）*70.357= —0.719134例2、某债券的久期是2.5年，修正久期是2.2年，如果债券的到期收益率上升了0.5%，那么该债券的价格变动近似变化数为：解答：债券价格变动的近似变化数=—2.2*0.5%= —1.1%到期收益率某贴现债券面值1000元，期限180天，以10.5%的年贴现率公开发行，到期收益率为：解答：发行价格=1000*（1—10.5%）*180／360=947.5到期收益率=［（1000—947.5）／947.5］*365／180=11.24贴现甲以75元的价格买入某企业发行的面额为100元的三年期贴现债券，持有两年以后试图以10.05的收益率转给乙，而乙可以接受的10%作为买入的最终收益率，那么在（ ）元价格水平上，双方可能达成这笔交易。
A、 90.80B、90.87C、90.92D、90.95解答：设定甲以10.5%作为其卖出债券所应获得的持有期收益率，那么他的卖价就是：75*（1+10.50%）＾2=90.83；元设定乙以10%作为买入债券的最终收益率，那么他愿意支付购买的价格为：100／（1+10%）=90.91元；最终成交价格则在90.83元和90.91元之间通过双方协商达成。
选 B利率不变增长模型2007年某公司每股股息为1.8元，预计未来该公司股票的股息将以5%的速度增长，假设必要收益率为11%，则该股票的价值为（）元解答 利用不变增长模型：V=1.8*（1+5%）／（11% — 5%）=31.5元已获利息倍数某公司2008年税后利润201万元，所得税税率为25%，利息费用为40万元，则该公司2008年已获利息倍数为：解答 利息保障倍数=［201／（1-25%）／40］／40=7.7资本资产定价模型 资产估值A公司今年每股股息为0.5元，预期今后每股股息将以每年10%的速度稳定增长。
久期利率风险和信用风险是债券面临的最主要风险，久期就是用来衡量利率风险的重要指标。
久期的概念是由弗雷德里克·麦考利（Frederic Macaulay）提出的，包括麦考利久期（Macaulay Duration）和修正久期（Modified Duration）。
久期的推导公式债券的定价公式为：P为债券价格，C为定期支付的票面利息，F为票面价格，r为到期收益率（利率），N为付息次数, T为相邻两次付息时间的间隔更完整的公式如下：m为当前距离最近一次付息日的期限（单位：年）债券的久期定义如下，即现金流的加权平均时间：修正久期定义如下：如何理解久期与修正久期的意义呢？可以从价格对到利率的偏导数入手可见债券对利率的偏导数与久期之间的关系如下：即Macauley久期的物理意义：价格变动的百分比与（1+r）变动百分比的比值，即价格的（1+r）弹性，（1+r）变动1%时，价格变化D%。
这个概念在实际使用中不是特别直观，如果有个概念能直接描述利率r变动1%时，价格的变化率为多少就更好了，所以引出了修正久期：修正久期的物理意义：价格变动的百分比与利率变动的比值，即利率变动1%（100bps），带来的价格的变化率（收益率的变化）。
举个例子假设利率 R=4%，麦考利久期 D=2。
那么如果（1+R）在自身增加了1%，（即从1.04变成了1.0504，R变成5.04%），那么价格会减少2%。
这个D有个不好的地方，1+4%在自身水平上增加了1%并不直观，这时候修正久期MD就用上了。
MD=D/（1+r）=2/(1+4%)=1.923,那么根据上面MD的定义公式，利率增加1%（即100bps，变成5%），那么价格就会减少1.923%。
所以久期和修正久期其实描述的是同一件事情，只是修正久期简化了久期的描述。
你不需要说（1+4%）在自身水平增加1%，价减少2%，而可以说利率增加了1个百分点，价格减少1.923%。
所以，久期是衡量利率风险（interest rate risk）的，久期大，利率风险高，证券价格受利率变化的影响大。
修正久期对于给定的到期收益率的微小变动，债券价格的相对变动与其麦考利久期成比例。
当然，这种比例关系只是一种近似的比例关系，它的成立是以债券的到期收益率很小为前提的。
为了更精确地描述债券价格对于到期收益率变动的灵敏性，又引入了修正久期模型（Modified Duration Model）。
修正久期被定义为：从这个式子可以看出，对于给定的到期收益率的微小变动，债券价格的相对变动与修正久期之间存在着严格的比例关系。
所以说修正久期是在考虑了收益率项y 的基础上对Macaulay 久期进行的修正，是债券价格对于利率变动灵敏性的更加精确的度量。
修正久期大抵抗利率上升风险强，下降弱；久期小抵抗利率上升风险弱，下降强。
也就是说判断利率上升，买修正久期大，也就是长期债券判断利率下降，买修正久期小的，也就是短期债券EXCEL可以通过财务函数mduration计算久期（Duration）目录[隐藏]∙1久期(Duration)的概念∙2马考勒久期的计算公式∙3久期的计算过程举例[1]∙4马考勒久期定理∙5马考勒久期与债券价格的关系∙6债券凸性与马考勒久期之间的关系∙7修正马考勒久期∙8久期的用途∙9债券的久期与剩余期限∙10参考文献[编辑]久期(Duration)的概念久期的概念最早是马考勒(Macaulay)在1938年提出来的，所以又称马考勒久期（简记为D）。
马考勒久期是使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。
它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重是各期现金值在债券价格中所占的比重。
具体的计算将每次债券现金流的现值除以债券价格得到每一期现金支付的权重，并将每一次现金流的时间同对应的权重相乘,最终合计出整个债券的久期。
[编辑]马考勒久期的计算公式(公式1)其中，D是马考勒久期，B是债券当前的市场价格，PV（Ct）是债券未来第t期可现金流（利息或资本）的现值，T是债券的到期时间。
需要指出的是在债券发行时以及发行后，都可以计算马考勒久期。
久期、凸度的定义及数学推导目录1久期D (1)1.1久期定义 (1)1.2久期表达式 (2)1.3久期作用 (2)1.3.1 衡量加权平均期限 (2)1.3.2 测度利率敏感性 (3)2 凸度C (5)2.1凸度定义 (5)2.2表达式 (5)2.3数学原理 (5)1久期D1.1久期定义久期是债券价格相对于债券收益率的敏感性（一）麦考利久期Dm：最早的久期衡量指标，其本质是通过计算债券偿还现金流的加权平均年限，来衡量债券价格变化敏感度。
（二）修正久期D *：对麦考林久期进行了修正，加入考虑了到期收益率r 。
比如到期收益率是5%，那么修正久期就要在麦考林久期的基础上，除以1.05。
（三）美元久期D **：对修正久期进一步修正，加入了债券价格P ，比如债券价格95，那么美元久期就要在修正久期的基础上，乘以95。
1.2久期表达式 麦考利久期：t P r t ∑==+=n t 1t t )1/(CF Dm 公式（1） 修正久期： D * =Dm/(1+r) 公式（2）美元久期： D ** =D *P 公式（3）【CFt ：债券每期现金流】；【r ：到期收益率或市场利率】；【t ：债券期数】。
1.3久期作用1.3.1 衡量加权平均期限麦考利久期Dm 是对债券实际平均期限的一个简单概括统计，使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间,其权重是各期现值在债券价格中所占的比重；1.3.1.1 数学原理从公式（1）t P r t ∑==+=nt 1t t )1/(CF Dm 出发： Dm 是时间t 的加权平均值，第t 期的权重为P r t t )1/(CF +； 比如t=2时第二期的权重为P r 22)1/(CF +；求证：权重加总求和∑==+n t 1t t )1/(CF P r t =∑==+n t 1t t )1/(CF p 1t r （带入债券定价公式： P )1/(CF n t 1t t =+∑==t r ） =P p1 =11.3.2 测度利率敏感性当利率发生变化时，迅速对债券价格变化或债券资产组合价值变化作出大致的估计。
CFA一级考试知识点第八部分固定收益证券债券五类主要发行人超国家组织supranational organizations，收回贷款和成员国股金还款主权（国家）政府sovereign/national governments，税收、印钞还款非主权（地方）政府non-sovereign/local governments（美国各州），地方税收、融资、收费。
准政府机构quasi-governments entities（房利美、房地美）公司（金融机构、非金融机构）经营现金流还款Maturity到期时间、tenor剩余到期时间小于一年是货币市场证券、大于一年是资本市场证券、没有明确到期时间是永续债券。
计算票息需要考虑付息频率，未明确的默认半年一次付息。
双币种债券dual-currency bonds支付票息时用A货币，支付本金时用B货币。
外汇期权债券currency option bongds给予投资人选择权，可以选择本金或利息币种。
本金偿还形式子弹型债券bullet bond，本金在最后支付。
也称为plain vanilla bond（香草计划债券）摊销性债券amortizing bond，分为完全摊销和部分摊销。
偿债基金条款sinking found provision，也是提前收回本金的方式，债券发行方在存续期间定期提前偿还部分本金，例如每年偿还本金初始发行额的6%。
票息支付形式固定票息债券fixed-rate coupon bonds，零息债券会折价发行，面值与发行价之差就是利息，零息债券也称为纯贴现债券pure discount bond。
梯升债券step – up coupon bonds票息上升递延债券deferred coupon bonds/split coupon bonds，期初几年不支付，后期才开始支付票息。
（前期资金紧张或研发型项目）实物支持债券payment-in-kind/PIK coupon bonds票息不是现金，而是实物。
久期的计算与应用久期是衡量固定收益证券价格对利率变动敏感程度的指标，它是一种风险度量工具，对于投资者来说非常重要。
在这篇文章中，我们将探讨久期的计算方法和应用。
一、久期的计算1. Macaulay久期Macaulay久期是用来衡量证券的平均期限的度量指标。
它是以每个现金流的金额乘以与该现金流发生的时间的乘积，并将所有这些乘积相加后除以证券的当前价格来计算的。
具体计算公式如下：Macaulay久期 = （C1 * t1 + C2 * t2 + … + Cn * tn）/ P其中，C为每个现金流的金额，t为现金流发生的时间，n为现金流总数，P为当前证券价格。
例如，假设一个固定付息的债券，每年支付100美元的利息，到期时间为3年，当前的市场价格为950美元。
计算方法如下：Macaulay久期 = （100 * 1 + 100 * 2 + 100 * 3）/ 950 = 1.947这意味着债券的净现值在市场利率上升或下降1%时，会增加或减少约1.947%。
2.修正久期修正久期是对Macaulay久期进行修正，以衡量价格变动对应的百分比变化。
它考虑了债券的现金流量的敏感性，并对久期进行调整。
修正久期的计算公式为：修正久期 = Macaulay久期 / (1 + YTM/n)其中，YTM为债券的到期收益率，n为每年的现金流总数。
例如，假设一个到期时间为3年的债券，每年支付100美元的利息，当前的市场价格为950美元，到期收益率为4%。
计算方法如下：Macaulay久期 = （100 * 1 + 100 * 2 + 100 * 3）/ 950 = 1.947修正久期=1.947/(1+0.04/3)=1.909这意味着债券的价格在市场利率上升或下降1%时，会增加或减少约1.909%。
二、久期的应用久期是一个重要的风险指标，对固定收益证券的投资者来说具有重要的应用价值。
1.风险管理久期可以帮助投资者衡量利率风险，即证券价格对利率变动的敏感程度。
债券久期计算例:假设债券A刚发行,其面值为1000元,市场利率(贴现率8%),票面利率为8%,期限为十年。
债券B就是5年前发行得,其面值为1000元,票面利率12%,期限为15年,还有10年到期。
计算:1债券A与债券B得价格2 计算债券A与B得久期三种方法(1)运用久期得定义:久期作为现金流支付时间得加权平均(2)将久期瞧作债券价格对贴现率得弹性(3)运用久期函数3计算债券A,B得修正久期4 如果市场利率上升10%,即从8%上升到8、8%,求债券A与债券B 得价格得变化久期(Duration)一、久期(Duration)得概念久期得概念最早就是马考勒(Macaulay)在1938年提出来得,所以又称马考勒久期(简记为D)。
马考勒久期就是使用加权平均数得形式计算债券得平均到期时间。
它就是债券在未来产生现金流得时间得加权平均,其权重就是各期现金值在债券价格中所占得比重。
具体得计算将每次债券现金流得现值除以债券价格得到每一期现金支付得权重,并将每一次现金流得时间同对应得权重相乘,最终合计出整个债券得久期。
保罗·萨缪尔森、约翰·斯克斯与瑞丁敦在随后得若干年独立地发现了久期这一理论范畴,特别就是保罗·萨缪尔森与瑞丁敦将久期用于衡量资产/负债得利率敏感性得研究,使得久期具有了第二种含义,即:资产针对利率变化得价格变化率。
久期--得第二个含义就是债券投资管理中得一个极其重要得策略----“免疫策略”得理论基础,根据该策略,当交易主体债券组合得久期与债权得持有期相等得时候,该交易主体短期内就实现了“免疫”得目标,即短期内得总财富不受利率波动得影响。
但就是运用这一策略得前提则就是,现有久期概念能否正确地衡量未来任何利率变动情景下债券价格得变动情况。
二、马考勒久期得计算公式(公式1)其中,D就是马考勒久期,B就是债券当前得市场价格,PV(Ct)就是债券未来第t期可现金流(利息或资本)得现值,T就是债券得到期时间。
本章习题1．简述利率敏感性的六个特征。
2．简述久期的法则。
3．凸性和价格波动之间有着怎样的关系？4．简述可赎回债券与不可赎回债券的凸性之间的区别。
5．简述负债管理策略中免疫策略的局限性。
6．简述积极的债券投资组合管理中互换策略的主要类型。
7．一种收益率为10%的9年期债券，久期为7.194年。
如果市场收益率改变50个基点，则债券价格变化的百分比是多少？8．某种半年付息的债券，其利率为8%，收益率为8%，期限为15年，麦考利久期为10年。
（1）利用上述信息，计算修正久期。
（2）解释为什么修正久期是计算债券利率敏感性的较好方法。
（3）确定修正久期变动的方向，如果：a．息票率为4%，而不是8%b．到期期限为7年而不是15年。
（4）说明在给定利率变化的情况下，修正久期与凸性是怎样用来估计债券价格变动的？第九章本章习题答案1. 在市场利率中，债券价格的敏感性变化对投资者而言显然十分重要。
为了了解利率风险的决定因素，可以参见图9-1。
该图表示四种债券价格相对于到期收益变化的变化百分比，它们有不同的息票率、初始到期收益率以及到期时间。
这四种债券的情况表明，当收益增加时，债券价格下降；价格曲线是凸的，这意味着收益下降对价格的影响远远大于等规模的收益增加。
通过观察，可以得出以下两个特征：（1）债券价格与收益呈反比，即：当收益升高时，债券价格下降；当收益上升时，债券价格上升。
（2）债券的到期收益升高会导致其价格变化幅度小于等规模的收益下降。
比较债券A和B的利率敏感性，除到期时间外，其他情况均基本相同。
图9-1表明债券B比债券A期限更长，对利率更敏感。
这体现出其另一特征：（3）长期债券价格对利率变化的敏感性比短期债券更高。
这不足为奇，例如，如果利率上涨，则当前贴现率较高，债券的价值下降。
由于利率适用于更多种类的远期现金流，则较高的贴现率的影响会更大。
值得注意的是，当债券B的期限是债券A的期限的6倍的时候，它的利率敏感性低于6倍。
债券组合利率敏感性的测度：久期作者：龙华根来源：《商情》2012年第22期【摘要】通常情况下，长期债券比短期债券对利率波动更为敏感。
久期是一种定性分析债券组合对利率敏感性的方法，因此久期成为利率风险暴露程度的重要测度指标，对利率风险管理具有很重要的意义。
【关键词】久期利率敏感性债券价格变化修正久期1.久期的概念久期也称持续期，是1938年由弗雷德里克·麦考利(FrederickMacaulay)提出的。
它是以未来时间发生的现金流，按照目前的收益率折现成现值，再用每笔现值乘以其距离债券到期日的年限求和，然后以这个总和除以债券目前的价格得到的数值。
2.久期的数学表达若将麦考利久期标记为D,则其中t表示时间，ωt表示与在时间t上支付的现金流（标为CFt）相联系的权重，有，式中y为债券的到期收益率。
3.久期在债券组合管理中之所以重要的原因首先，久期是资产组合有效平均期限的一个简单测度指标；其次，久期被看作资产组合免于利率风险的一个重要工具；第三，久期是债券组合利率敏感性的测度。
4.久期在债券组合利率敏感性测度中的应用当利率变化时，债券价格变化的比率与到期收益率的变化相关：，式中ΔP表示债券价格的变化，P表示债券价格，D表示麦考利久期，Δ（1+y）表示到期收益率的变化，y表示到期收益率。
即价格变化率等于（1+债券收益率）的变化率乘以债券的久期。
因此，债券价格的易变性与债券的久期成比例，久期自然也成为利率风险暴露程度的测量指标。
若将“修正久期”定义为D*=D/（1+y），则上式重新表述为即债券价格变化的百分比恰好等于修正久期与债券到期收益率的变化之乘积。
由于债券价格变化的百分比同修正久期成比例，因此修正久期可以用来测度债券在利率变化时的风险暴露程度。
5.久期和债券价格对利率变化的敏感性之间的关系如果久期真的是测度价格敏感性的有用尺度，那么久期和期限相同的息票债券的价格敏感性与零息债券的价格敏感性应该有相同的利率风险。
八一八“久期”有多讨厌！品职CFA学霸笔记Vol.16CFA考试对固定收益部分的考察可以算是重点、难点之一。
根据协会每次考试后的统计，固定收益这门课被视为学得难、考得难的科目之一。
尽管一级的绝对难度无法与二级、三级媲美，但是一级涵盖的知识点是最多的，很多内容将在后面二级的考试中深入展开。
那么在一级“固收”的诸多知识点中，你最想骂脏话的是哪个呢？嗯……小妞今天想跟大家一起吐槽下“久期”这个讨厌鬼！槽点一：一言不合就上公式无论是学习什么知识，当然首先一点就是要搞清楚它的基本概念。
那么久期是做什么的呢？定义说啦，它是用来衡量利率风险（Interest Risk）哒，那么咋衡量呢？Duang～公式来了：我们知道，市场利率会影响债券价格，并且这个影响天然是负向的，就是你涨我就跌，你跌我就涨呗。
所以公式前面那个负号呢，就是为了能保证久期得出来永远都是正数——OK，理解！那分母呢，就是利率的变动喽；可是看到分子很多同学就头大了：你说你搞个比值我还是能动动脑接受的，结果上下还长得不一样！上头那个鬼，是个啥？好吧，这，是个变化率。
也就是说，久期这个公式的分子没有直接使用债券价格的变动而是采用了债券价格的变化率，将价格本身的单位（比如软妹币啦、美刀啦等等）经过这么一除统统变没……那这么一通骚操作是为了啥？答案来了：这是因为分母是利率变动，单位是百分比，所以要将分子单位也搞成百分比，才能实现分子、分母的量纲一致，上下整齐划一，得到的结果——“久期”同志，才更单纯、精准啊。
说白了，它就是这么衡量利率变动对债券价格的影响滴：当利率变动1%时，债券价格变动多少个百分比（而不是多少钱噻）。
如果债券价格的变动幅度非常大，那就说明这只债券的利率风险非常大。
槽点二：你这个名儿到底是肿么取滴？你说上公式就上公式吧，你起个名字咋跟定义的公式完全不搭嘎呢？久期，久期，英文名Duration，明明是个时间概念，可由以上定义哪只眼睛能看到有时间单位了？其实啊，久期这个概念的提出不是刚开始就这样的。
债券久期计算例：假设债券A刚发行，其面值为1000元，市场利率（贴现率8%），票面利率为8%，期限为十年。
债券B是5年前发行的，其面值为1000元，票面利率12%，期限为15年，还有10年到期。
计算：1债券A与债券B的价格2 计算债券A和B的久期三种方法（1）运用久期的定义：久期作为现金流支付时间的加权平均（2）将久期看作债券价格对贴现率的弹性（3）运用久期函数3计算债券A，B的修正久期4 如果市场利率上升10%，即从8%上升到8.8%，求债券A与债券B 的价格的变化久期（Duration）一、久期(Duration)的概念久期的概念最早是马考勒(Macaulay)在1938年提出来的，所以又称马考勒久期（简记为D）。
马考勒久期是使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。
它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重是各期现金值在债券价格中所占的比重。
具体的计算将每次债券现金流的现值除以债券价格得到每一期现金支付的权重，并将每一次现金流的时间同对应的权重相乘,最终合计出整个债券的久期。
保罗·萨缪尔森、约翰·斯克斯和瑞丁敦在随后的若干年独立地发现了久期这一理论范畴，特别是保罗·萨缪尔森和瑞丁敦将久期用于衡量资产/负债的利率敏感性的研究，使得久期具有了第二种含义，即：资产针对利率变化的价格变化率。
久期--的第二个含义是债券投资管理中的一个极其重要的策略----“免疫策略”的理论基础，根据该策略，当交易主体债券组合的久期与债权的持有期相等的时候，该交易主体短期内就实现了“免疫”的目标，即短期内的总财富不受利率波动的影响。
但是运用这一策略的前提则是，现有久期概念能否正确地衡量未来任何利率变动情景下债券价格的变动情况。
二、马考勒久期的计算公式(公式1)其中，D是马考勒久期，B是债券当前的市场价格，PV（Ct）是债券未来第t期可现金流（利息或资本）的现值，T是债券的到期时间。
2015年期货从业资格考试内部资料期货市场教程第八章 利率期货知识点：修正久期法（对债券价格进行分析的方法）● 定义：修正久期法分为麦考来久期和修正久期● 详细描述：麦考利久期是指投资的加权平均回收期，也称“久期”或“持续期”。
例如，一个债券的麦考利久期为8年，意味着投资者需要8年收回初始投资；银行11年期按揭贷款的麦考利久期为8.254年，意味着银行放贷之后的8.254年是在收回本金，其后才是银行赚取的利润的时间。
修正久期是指当市场利率变化100个基点时，债券价格的变动百分比。
例如，债券的久期为7年，若市场利率为3.65％，则其修正久期为7／（1+3.65％）=6.75。
当债券的修正久期为6.75时，意味着市场利率上升1％，将导致债券价格下跌约6.75％。
例题：1.A债券的修正久期大于B债券的修正久期,当市场利率变动3.5%时,从理论上分析,A债券价格比B债券价格（）。
A.上升幅度大B.上升幅度小C.下降幅度大D.下降幅度小正确答案：A解析：修正久期是指当市场利率变化100个基点时，债券价格的变动百分比。
由于A债券的修正久期大于B债券的修正久期，所以A债券的价格比B债券的价格上升幅度大。
2.对于债券组合,三只债券投资额分别为200万元、300万元和500万元,其久期分别为3、4.、5,则债券组合的久期为()。
A.4.2B.3.5C.3.6D.4.3正确答案：D解析：对于债券组合，其久期可以表示为组合中每只债券久期的加权平均，权重等于各债券在组合中所占的比重。
200÷（200+300+500）=20%300÷（200+300+500）=30%500÷（200+300+500）=50%所以久期=20%×3+30%×4+50%×5=4.33.A债券的修正久期大于B债券的修正久期,当市场利率变动3.5%时,从理论上分析,A债券价格比B债券价格（）。
马考林久期与修正久期
2012年11月15日10:43 债券信息网评论(4人参与)
对于给定的到期收益率的微小变动，债券价格的相对变动与其马考利久期成比例。
当然，这种比例关系只是一种近似的比例关系，它的成立是以债券的到期收益率很小为前提的。
为了更精确地描述债券价格对于到期收益率变动的灵敏性，又引入了修正久期模型(Modified Duration Model)。
修正久期被定义为：
从这个式子可以看出，对于给定的到期收益率的微小变动，债券价格的相对变动与修正久期之间存在着严格的比例关系。
所以说修正久期是在考虑了收益率项y 的基础上对Macaulay 久期进行的修正，是债券价格对于利率变动灵敏性的更加精确的度量。
修正久期大抵抗利率上升风险强，下降弱；久期小抵抗利率上升风险弱，下降强。
也就是说判断利率上升，买修正久期大，也就是长期债券判断利率下降，买修正久期小的，也就是短期债券。
EXCEL可以通过财务函数mduration计算。
久期(Duration)
久期(Duration)的概念
久期的概念最早是马考林(Macaulay)在1938年提出来的，所以又称马考林久期(简记为D)。
马考林久期是使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。
它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均，其权重是各期现金值在债券价格中所占的比重。
具体的计算将每次债券现金流的现值除以债券价格得到每一期现金支付的权重，并将每一次现金流的时间同对应的权重相乘，最终合计出整个债券的久期。
马考林久期的计算公式
(公式1)
其中，D是马考林久期，B是债券当前的市场价格，PV(Ct)是债券未来第t期可现金流(利息或资本)的现值，T是债券的到期时间。
需要指出的是在债券发行时以及发行后，都可以计算马考林久期。
计算发行时的马考林久期，T(到期时间)等于债券的期限；计算发行后的马考林久期，T(到期时间)小于债券的期限。
任一金融工具的久期公式一般可以表示为[1]：
(公式2)
其中：D为久期；t为该金融工具现金流量所发生的时间；Ct为第t期的现金流；F为该金融工具的面值或到期日价值；n为到期期限；i是当前的市场利率。
实际上，公式(公式3)的分母正是该金融工具的市场价值，因此，久期公式又可表示为：
(公式3)
其中：P表示该金融工具的市场价值或价格。
久期的计算过程举例[1]
下面试举一例来说明久期的计算过程。
假设面额为1000元的3年期变通债券，每年支付一次息票，年息票率为10%，此时市场利率为12%，则该种债券的久期为：(年)
如果其他条件不变，市场利率下跌至5%，此时该种债券的久期为：(年)
同理，如果其他条件不变，市场利率上升至20%，此时久期为：(年)
再者，如果其他条件不变，债券息票率为0，那么：(年)
从上面的计算结果可以发现，久期随着市场利率的下降而上升，随着市场利率的升而下降，这说明两者存在反比关系。
此外，在持有期间不支付利息的金融工具，其久期等于到期期限或偿还期限。
那些分期付息的金融工具，其久期总是短于偿还期限，是由于同等数量的现金流量，早兑付的比晚兑付的现值要高。
金融工具到期期限越长其久期也越长；金融工具产生的现金流量越高，其久期越短。
马考林久期定理
1、只有贴现债券的马考林久期等于它们的到期时间
2、直接债券的马考林久期小于或等于它们的到期时间
3、统一公债的马考林久期等于[1+1/Y] ，其中y是计算现值采用的贴现率
马考林久期与债券价格的关系
对于给定的收益率变动幅度，马考林久期越大，债券价格的波动幅度越大：
到期时间、息票率、到期收益率是决定债券价格的关键因素，与久期存在以下的关系：
1、零息票债券的久期等于到它的到期时间。
2、到期日不变，债券的久期随息票据利率的降低而延长。
3、息票据利率不变，债券的久期随到期时间的增加而增加。
4、其他因素不变，债券的到期收益率较低时，息票债券的久期较长。
债券凸性与马考林久期之间的关系
债券的凸性准确地描述了债券价格与收益率之间非线性的反向关系；而久期将债券价格与收益率之间的反向关系视为线性的，只是一个近似公式。
修正马考林久期
久期的用途
在债券分析中，久期已经超越了时间的概念，投资者更多地把它用来衡量债券价格变动对利率变化的敏感度，并且经过一定的修正，以使其能精确地量化利率变动给债券价格造成的影响。
修正久期越大，债券价格对收益率的变动就越敏感，收益率上升所引起的债券价格下降幅度就越大，而收益率下降所引起的债券价格上升幅度也越大。
可见，同等要素条件下，修正久期小的债券比修正久期大的债券抗利率上升风险能力强，但抗利率下降风险能力较弱。
正是久期的上述特征给我们的债券投资提供了参照。
当我们判断当前的利率水平存在上升可能，就可以集中投资于短期品种、缩短债券久期；而当我们判断当前的利率水平有可能下降，则拉长债券久期、加大长期债券的投资，这就可以帮助我们在债市的上涨中获得更高的溢价。
需要说明的是，久期的概念不仅广泛应用在个券上，而且广泛应用在债券的投资组合中。
一个长久期的债券和一个短久期的债券可以组合一个中等久期的债券投资组合，而增加某一类债券的投资比例又可以使该组合的久期向该类债券的久期倾斜。
所以，当投资者在进行大资金运作时，准确判断好未来的利率走势后，然后就是确定债券投资组合的久期，在该久期确定的情况下，灵活调整各类债券的权重，基本上就能达到预期的效果。
久期是一种测度债券发生现金流的平均期限的方法。
由于债券价格敏感性会随着到期时间的增长而增加，久期也可用来测度债券对利率变化的敏感性，根据债券的每次息票利息或本金支付时间的加权平均来计算久期。
久期的计算就当是在算加权平均数。
其中变量是时间，权数是每一期的现金流量，价格就相当于是权数的总和(因为价格是用现金流贴现算出来的)。
这样一来，久期的计算公式就是一个加权平均数的公式了，因此，它可以被看成是收回成本的平均时间。
决定久期即影响债券价格对市场利率变化的敏感性包括三要素：到期时间、息票利率和到期收益率。
不同债券价格对市场利率变动的敏感性不一样。
债券久期是衡量这种敏感性最重要和最主要的标准。
久期等于利率变动一个单位所引起的价格变动。
如市场利率变动1%，债券的价格变动3，则久期是3。
债券的久期与剩余期限
实际上，久期在数值上和债券的剩余期限近似，但又有别于债券的剩余期限。
在债券投资里，久期被用来衡量债券或者债券组合的利率风险，它对投资者有效把握投资节奏有很大的帮助。
一般来说，久期和债券的到期收益率成反比，和债券的剩余年限及票面利率成正比。
但对于一个普通的附息债券，如果债券的票面利率和其当前的收益率相当的话，该债券的久期就等于其剩余年限。
还有一个特殊的情况是，当一个债券是贴现发行的无票面利率债券，那么该债券的剩余年限就是其久期。
这也是为什么人们常常把久期和债券的剩余年限相提并论的原因。
另一种说法：
久期是债券平均有效期的一个测度，它被定义为到每一债券距离到期的时间的加权平均值，其权重与支付的现值成比例。
久期是考虑了债券现金流现值的因素后测算的债券实际到期日。
价格与收益率之间是一个非线性关系。
但是在价格变动不大时，这个非线性关系可以近似地看成一个线性关系。
也就是说，价格与收益率的变化幅度是成反比的。
值得注意的是，对于不同的债券，在不同的日期，这个反比的比率是不相同的。
