下载文档原格式
1.数列{a n }的前n 项和为S n ,若)1(1+=n n a n,则S 5等于( )A.1B.65 C.61 D.3012.等差数列{a n }的前n 项和记为S n ,若a 2+a 6+a 10为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是( ) A.S 6 B.S 11 C.S 12 D.S 133.如果f(a+b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝2,则)2007()2008()5()6()3()4()1()2(f f f f f f f f ++++ 等于( )A.4 016B.1 004 C .2 008 D.2 0064.数列841,631,421,2112222++++,…的前n 项和等于________.5.已知数列{log 2(a n -1)}为等差数列,且a 1＝3,a 2＝5. (1)求证:数列{a n -1}是等比数列;(2)求nn a a a a a a -++-+-+12312111 的值.6.设{a n }是等差数列，证明以na a ab nn +++= 21(n ∈N *)为通项公式的数列{b n }是等差数列.7.已知正项数列{a n }满足a n+12-a n 2-2a n+1-2a n ＝0,a 1＝1.设b n ＝n 3-3n 2+5-a n .求数列{a n },{b n }的通项公式;8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1,数列{a n +S n }是公差为2的等差数列.(1)求a 2,a 3;(2)证明数列{a n -2}为等比数列;(3)求数列{na n }的前n 项和T n .9.设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知ba n -2n ＝(b-1)S n .(1)证明当b ＝2时,{a n -n·2n-1}是等比数列;(2)求{a n }的通项公式.4.)2)(1(23243+++-n n n5.(1)证明：设log 2(a n -1)-log 2(a n-1-1)＝d(n ≥2), ∴d ＝log 2(a 2-1)-log 2(a 1-1)＝log 24-log 22＝1.∴log 2(a n -1)＝n.∴a n -1＝2n. ∴2111=---n n a a (n ≥2).∴{a n -1}是以2为首项,2为公比的等比数列. (2)解:由(1)可得a n -1＝(a 1-1)·2n-1, ∴a n ＝2n +1. ∴nn n n a a a a a a 221221221111123212312-++-+-=-++-+-++nn2112121212-=+++= .6.设等差数列{a n }的公差是d(常数), ∴1121211-+++-+++=---n a a a na a ab b n nn n )1(2))(1(2)(111-+--+=-n a a n na a n n n)(21221111---=+-+=n n n na a a a a a d21=(常数),其中n ≥2.∴{b n }是等差数列.7.解:(1)由a n+12-a n 2-2a n+1-2a n ＝0,得 (a n+1+a n )(a n+1-a n -2)＝0.因为a n ＞0,所以a n+1-a n -2＝0,a n+1-a n ＝2.所以数列{a n }是以a 1＝1为首项,以2为公差的等差数列. 所以a n ＝1+(n-1)×2＝2n-1,b n ＝n 3-3n 2+5-a n ＝n 3-3n 2+5-2n+1＝n 3-3n 2-2n+6.8.(1)解:∵数列{a n +S n }是公差为2的等差数列,∴(a n+1+S n+1)-(a n +S n )＝2,即221+=+n n a a .∵a 1＝1,∴47,2332==a a .(2)证明:由题意,得a 1-2＝-1,∵212222221=--+=--+n n n n a a a a ,∴{a n -2}是首项为-1,公比为21的等比数列.(3)解:由(2)得a n -2＝-(21)n-1,∴na n ＝2n-n·(21)n-1.∴T n ＝(2-1)+(4-2·21)+［6-3·(21)2］+…+［2n-n·(21)n-1］.∴T n ＝(2+4+6+…+2n)-［1+2·21+3·(21)2+…+n·(21)n-1］. 设12)21()21(32121-∙++∙+∙+=n n n A ,①∴nn n A )21()21(3)21(2212132∙++∙+∙+=.②由①-②,得nn n n A )21()21()21(2112112∙-++++=- , ∴n nn n A )21()21(1)21(121∙---=.∴A n ＝4-(n+2)·(21)n-1. ∴4)1()21()2(4)21()2(2)22(11-++∙+=-∙+++=--n n n n n n T n n n9..解:由题意，知a 1＝2,且ba n -2n ＝(b-1)S n ,ba n+1-2n+1＝(b-1)S n+1,两式相减,得b(a n+1-a n )-2n ＝(b-1)a n+1, 即a n+1＝ba n +2n .①(1)证明:当b ＝2时,由①，知a n+1＝2a n +2n . 于是a n+1-(n+1)·2n ＝2a n +2n -(n+1)·2n ＝2(a n -n·2n-1). 又a 1-1×21-1＝1≠0,所以{a n -n·2n-1}是首项为1,公比为2的等比数列. (2)当b ＝2时,由(1),知a n -n·2n-1＝2n-1, 即a n ＝(n+1)2n-1. 当b≠2时,由①得)221(222212221111nn nn n nn n n ba b bb ba bba ba ∙--=∙--=∙--+=∙--+++,因此nnn n bbb ba b ba ∙--=∙--=∙--++2)1(2)221(2211111,得⎪⎩⎪⎨⎧≥-+-==-.2],)22(2[21,1,21n b b bn a n n n。
数列求和专题——分类1、绝对值型1、 在公差为d 的等差数列}{n a 中，已知101=a ，且3215,22,a a a +成等比数列。
（1）求n a d ,； （2）若0<d ，求.||||||||321n a a a a ++++Λ2、已知等差数列{}n a 前三项的和为-3，前三项的积为8.求等差数列{}n a 的通项公式；若231,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的前项n 的和。
2、()1n -型1、已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列。
（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）令n b =,4)1(11+--n n n a a n 求数列}{n b 的前n 项和n T 。
数列求和专题——裂项+相消1、等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 求数列{}n a 的通项公式.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和.2、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令n b =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．3、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤.（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .4、 （本小题满分12分）正项数列{}n a 的前项和{}n a 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令221(2)n n b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T 。
专题十一 数列求和的常用方法一、公式法①等差数列求和公式；②等比数列求和公式；③常用公式：)1(211+==∑=n n k S nk n ，)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n ，213)]1(21[+==∑=n n k S nk n二、．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.三、分组求和法：将数列分成可以求和的几组。
四．裂项相消法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项. ①111(1)1n n n n =-++ ②1111(k)k k n n n n =-++（）③1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =--++++；④n n n n a n -+=++=111五．错位相减法：若}{n a 是等差数列，{n b }是等比数列，则数列{n n b a ⋅}的求和运用错位求和方法，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法.六．倒序相加法：将一个数列的倒数第k 项（k =1，2，3，…，n ）变为顺数第k 项，然后将得到的新数列与原数列相加，这是仿照推导等差数列前n 项和公式的方法. 七、通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。
【课前热身】1、数列2， ,21,,814,413,2121-+n n 的前n 项之和为n n n+112122⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦（)（） 2、设5033171,)1(4321S S S n S n n ++⋅-++-+-=-则 = 1 ；3、数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+n-12），…的前n 项和等于n+12-2-n4、 已知数列{n a }的通项公式是n n n a n 则前,6512++=项和为n3n 3+（） 典型例题：例1、（1）求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值（2）求证：n nn n n nn C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 解：（1）设S n =89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++则S n =22222sin 89sin 88sin 87sin 2sin 1+++⋅⋅⋅++ ∴2S n =89，故S n =892（2）设T n =01n-13(21)(21)nn n n n C C n C n C ++⋅⋅⋅+-++，则T n =n-110(21)(21)3n n n n n n C n C C C ++-+⋅⋅⋅++∴2T n =01n-1n(22)n n n n n C C C C ⎡⎤+++⋅⋅⋅++⎣⎦=n(22)2n +⋅ ∴nn n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++注：本例是运用倒序相加法求和。
高考数学 数列求和 专题时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列{S nn}的前11项和为( )A ．－45B ．－50C ．－55D ．－66解析：S n ＝n [－1＋(－2n ＋1)]2＝－n 2，即S n n ＝－n ，则数列{S nn }的前11项和为－1－2－3－4－…－11＝－66.答案：D2．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1n ，则S 17＋S 33＋S 50等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．2解析：S 2n ＝－n ，S 2n ＋1＝S 2n ＋a 2n ＋1＝－n ＋2n ＋1＝n ＋1，∴S 17＋S 33＋S 50＝9＋17－25＝1. 答案：A3．数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前n 项和S n >1020，那么n 的最小值是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1， ∴S n＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝2(2n －1)2－1－n ＝2n ＋1－2－n . S n >1020 即2n ＋1－2－n >1020. ∵210＝1024,1024－2－9＝1013<1020. 故n min ＝10. 答案：D4．已知数列{2(n ＋1)2－1}的前n 项和为S n ，则lim n →∞S n 等于 ( )A ．0B ．1 C.32D ．2解析：∵2(n ＋1)2－1＝2n (n ＋2)＝1n －1n ＋2∴S n ＝(11－13)＋(12－14)＋(13－15)＋…＋(1n －2－1n )＋(1n －1－1n ＋1)＋(1n －1n ＋2)＝1＋12－1n ＋1－1n ＋2.∴lim n →∞S n ＝lim n →∞ (1＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝32. 答案：C5．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的构成集合为( )A ．{5}B ．{6}C ．{5,6}D ．{7}解析：由S 10>0，且S 11＝0得 S 10＝10(a 1＋a 10)2>0⇒a 1＋a 10＝a 5＋a 6>0 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝0⇒a 1＋a 11＝2a 6＝0，故可知{a n }为递减数列且a 6＝0，所以S 5＝S 6≥S n ，即k ＝5或6.答案：C6．(2009·江西高考)数列{a n }的通项a n ＝n 2(cos 2nπ3－sin 2nπ3)，其前n 项和为S n ，则S 30为( )A ．470B ．490C ．495D ．510解析：a n ＝n 2·cos 2n 3π，a 1＝12·(－12)，a 2＝22(－12)，a 3＝32，a 4＝42(－12)，…S 30＝(－12)(12＋22－2·32＋42＋52－2·62＋…＋282＋292－2·302)＝(－12)∑k ＝110[(3k －2)2＋(3k－1)2－2·(3k )2]＝(－12)∑k ＝110 (－18k ＋5)＝－12＝470. 答案：A二、填空题(每小题5分，共20分)7．数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2n (n ＝1,2,3，…)，则{a n }的前n 项和S n ＝__________. 解析：由题意得数列{a n }的前n 项和等于(1＋2＋3＋…＋n )＋(2＋22＋23＋…＋2n )＝n (n ＋1)2＋2－2n ＋11－2＝n (n ＋1)2＋2n ＋1－2. 答案：n (n ＋1)2＋2n ＋1－28．数列112＋2，122＋4，132＋6，142＋8…的前n 项和等于________．解析：a n ＝1n 2＋2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2∴S n ＝12⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…⎦⎤＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).答案：34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1＋1，则a 1C 0n ＋a 2C 1n ＋a 3C 2n ＋…＋a n ＋1C n n ＝________.解析：a 1C 0n ＋a 2C 1n ＋…＋a n ＋1C n n ＝(20＋1)C 0n ＋(21＋1)C 1n ＋(22＋1)C 2n ＋…＋(2n ＋1)C n n ＝20C 0n ＋21C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＋C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝(2＋1)n ＋2n ＝3n ＋2n .答案：2n ＋3n10．(2010·重庆质检二)设数列{a n }为等差数列，{b n }为公比大于1的等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 2＝b 2，a 2＋a 62＝b 2b 4，令数列{c n }满足c n ＝a n b n2，则数列{c n }的前n 项和S n 等于________．解析：设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q (q >1)，∵a 2＋a 62＝b 2b 4，∴a 4＝b 3，∴2＋3d ＝2q 2①，由a 2＝b 2，得：2＋d ＝2q ②， 由①②得d ＝2，q ＝2，∴a n ＝2＋(n －1)·2＝2n ，b n ＝2·2n －1＝2n .∴c n ＝a n b n2＝n ·2n ，∴S n＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1·2＋2·22＋…＋n ·2n ③∴2S n ＝1·22＋2·23＋…＋n ·2n ＋1④，③－④得：－S n ＝2＋(22＋23＋…＋2n )－n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2， ∴S n ＝(n －1)2n ＋1＋2.答案：(n －1)2n ＋1＋2 三、解答题(共50分)11．(15分)求和：(1)11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1).(2)12！＋23！＋34！＋…＋n (n ＋1)！. 解：(1)∵1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)∴原式＝12(1－13)＋12(13－15)＋…＋12(12n －1－12n ＋1)＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. (2)∵n (n ＋1)！＝(n ＋1)－1(n ＋1)！＝1n ！－1(n ＋1)！∴原式＝11！－12！＋12！－13！＋…＋1n ！－1(n ＋1)！＝1－1(n ＋1)！.12．(15分)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝2,2a n ＝1＋a n a n ＋1，b n ＝a n －1，数列{b n }的前n 项和为S n ，T n ＝S 2n －S n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)求证：T n ＋1>T n ；解：(1)由b n ＝a n －1得a n ＝b n ＋1，代入2a n ＝1＋a n a n ＋1，得2(b n ＋1)＝1＋(b n ＋1)(b n ＋1＋1)，整理，得b n b n ＋1＋b n ＋1－b n ＝0，从而有1b n ＋1－1b n＝1，∵b 1＝a 1－1＝2－1＝1，∴{1b n }是首项为1，公差为1的等差数列， ∴1b n ＝n ，即b n ＝1n. (2)∵S n ＝1＋12＋…＋1n，∴T n ＝S 2n －S n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，T n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，T n ＋1－T n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1>12n ＋2＋12n ＋2－1n ＋1＝0，(∵2n ＋1<2n ＋2)∴T n ＋1>T n .13．(20分)(2009·全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(1＋1n )a n ＋n ＋12n .(1)设b n ＝a nn，求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)由已知得b 1＝a 1＝1，且a n ＋1n ＋1＝a n n ＋12n ，即b n ＋1＝b n ＋12n ，从而b 2＝b 1＋12，b 3＝b 2＋122，…b n ＝b n －1＋12n －1(n ≥2)，于是b n ＝b 1＋12＋122＋…＋12n －1＝2－12n －1(n ≥2)．又b 1＝1，故所求数列{b n }的通项公式为b n ＝2－12n －1.(2)由(1)知a n ＝n (2－12n －1)＝2n －n2n －1.令T n ＝∑k ＝1nk2k －1，则2T n ＝∑k ＝1nk2k －2，于是T n ＝2T n －T n ＝∑k ＝0n －112k －1－n2n －1＝4－n ＋22n －1. 又∑k ＝1n(2k )＝n (n ＋1)，所以S n ＝n (n ＋1)＋n ＋22n －1－4.。
专题04 数列求和及综合应用【要点提炼】1.常用公式：12＋22＋32＋42＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6.2.(1)数列通项a n 与前n 项和S n 的关系为a n ＝⎩⎨⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.(2)应用a n 与S n 的关系式f (a n ，S n )＝0时，应特别注意n ＝1时的情况，防止产生错误. 3.数列求和(1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并. (2)错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列.(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列.温馨提醒 裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误. 4.数列与函数、不等式的交汇数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查不等关系或恒成立问题.考点一 数列求和及综合应用考向一 a n 与S n 的关系问题【典例1】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n ＝5S n ＋1成立，b n ＝－1－log 2|a n |，数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝b n ＋1T n T n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{c n }的前n 项和A n ，并求出A n 的最值.解 (1)因为a n ＝5S n ＋1，n ∈N *， 所以a n ＋1＝5S n ＋1＋1， 两式相减，得a n ＋1＝－14a n ，又当n ＝1时，a 1＝5a 1＋1，知a 1＝－14， 所以数列{a n }是公比、首项均为－14的等比数列. 所以数列{a n }的通项公式a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14n.(2)由(1)知b n ＝－1－log 2|a n |＝2n －1， 数列{b n }的前n 项和T n ＝n 2， c n ＝b n ＋1T n T n ＋1＝2n ＋1n 2（n ＋1）2＝1n 2－1（n ＋1）2， 所以A n ＝1－1（n ＋1）2.因此{A n }是单调递增数列，∴当n ＝1时，A n 有最小值A 1＝1－14＝34；A n 没有最大值.探究提高 1.给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .2.由S n 求a n 时，一定注意分n ＝1和n ≥2两种情况，最后验证两者是否能合为一个式子，若不能，则用分段形式来表示.【拓展练习1】 (2020·合肥检测)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)，a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(1－a n )2－a (1－a n )，若{b n }是递增数列，求实数a 的取值范围. 解 (1)a 2n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)， a 2n －1＝S n －1＋S n －2(n ≥3).相减可得a 2n －a 2n －1＝a n ＋a n －1，∵a n ＞0，a n －1＞0，∴a n －a n －1＝1(n ≥3). 当n ＝2时，a 22＝a 1＋a 2＋a 1，∴a 22＝2＋a 2，a 2＞0，∴a 2＝2. 因此n ＝2时，a n －a n －1＝1成立. ∴数列{a n }是等差数列，公差为1. ∴a n ＝1＋n －1＝n .(2)b n ＝(1－a n )2－a (1－a n )＝(n －1)2＋a (n －1)， ∵{b n }是递增数列，∴b n ＋1－b n ＝n 2＋an －(n －1)2－a (n －1) ＝2n ＋a －1＞0，即a ＞1－2n 恒成立，∴a ＞－1. ∴实数a 的取值范围是(－1，＋∞). 考向二 数列求和 方法1 分组转化求和【典例2】 (2020·山东五地联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2＜0的解集为(1，2). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n ＋2a n －1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2＜0的解集为(1，2)， 所以S 2a 1＝1＋2＝3，得a 1＝d ，又易知2a 1＝2，所以a 1＝1，d ＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)可得，a 2n ＝2n ，2a n ＝2n .因为b n ＝a 2n ＋2a n －1，所以b n ＝2n －1＋2n ，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋(2＋22＋23＋…＋2n ) ＝n （1＋2n －1）2＋2（1－2n ）1－2＝n 2＋2n ＋1－2.探究提高 1.求解本题要过四关：(1)“转化”关，把不等式的解转化为方程根的问题；(2)“方程”关，利用方程思想求出基本量a 1及d ；(3)“分组求和”关，观察数列的通项公式，把数列分成几个可直接求和的数列；(4)“公式”关，会利用等差、等比数列的前n 项和公式求和.2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组.本题易忽视数列通项的下标如错得a 2n ＝n ，应注意“＝”左右两边保持一致.【拓展练习2】 (2020·潍坊调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8，S 4＝40.数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n －2b n ＋3＝0，n ∈N *. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和P n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意，得⎩⎨⎧a 1＋d ＝8，4a 1＋6d ＝40，解得⎩⎨⎧a 1＝4，d ＝4，所以a n ＝4n ， 因为T n －2b n ＋3＝0，所以当n ＝1时，b 1＝3，当n ≥2时，T n －1－2b n －1＋3＝0， 两式相减，得b n ＝2b n －1(n ≥2)，则数列{b n }为首项为3，公比为2的等比数列， 所以b n ＝3·2n －1.(2)c n ＝⎩⎨⎧4n ，n 为奇数，3·2n －1，n 为偶数，当n 为偶数时，P n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n ) ＝（4＋4n －4）·n 22＋6（1－4n2）1－4＝2n ＋1＋n 2－2.当n 为奇数时，法一 n －1(n ≥3)为偶数，P n ＝P n －1＋c n ＝2(n －1)＋1＋(n －1)2－2＋4n ＝2n ＋n 2＋2n －1，n ＝1时符合上式.法二 P n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －2＋a n )＋(b 2＋b 4＋…＋b n －1) ＝（4＋4n ）·n ＋122＋6（1－4n －12）1－4＝2n ＋n 2＋2n －1.所以P n ＝⎩⎨⎧2n ＋1＋n 2－2，n 为偶数，2n ＋n 2＋2n －1，n 为奇数.方法2 裂项相消求和【典例3】 (2020·江南六校调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1＝2，a n ＋1＝S n ＋2.(1)证明：{a n }为等比数列； (2)记b n ＝log 2a n ，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫λb n b n ＋1的前n 项和为T n ，若T n ≥10恒成立，求λ的取值范围.(1)证明 由已知，得a 1＝S 1＝2，a 2＝S 1＋2＝4， 当n ≥2时，a n ＝S n －1＋2，所以a n ＋1－a n ＝(S n ＋2)－(S n －1＋2)＝a n ， 所以a n ＋1＝2a n (n ≥2).又a 2＝2a 1，所以a n ＋1a n＝2(n ∈N *)，所以{a n }是首项为2，公比为2的等比数列. (2)解 由(1)可得a n ＝2n ，所以b n ＝n . 则λb n b n ＋1＝λn （n ＋1）＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， T n ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1，因为T n ≥10，所以λn n ＋1≥10，从而λ≥10（n ＋1）n ，因为10（n ＋1）n ＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ≤20， 所以λ的取值范围为[20，＋∞).探究提高 1.裂项相消求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.【拓展练习3】 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1的前n 项和.解 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，① 故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，② ①－②得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)记⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n －1）（2n ＋1）＝12n －1－12n ＋1，则S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1.方法3 错位相减法求和【典例4】 (2020·济南统测)在①a 3＝5，a 2＋a 5＝6b 2，②b 2＝2，a 3＋a 4＝3b 3，③S 3＝9，a 4＋a 5＝8b 2这三个条件中任选一个，补充至横线上，并解答问题. 已知等差数列{a n }的公差为d (d >1)，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，且a 1＝b 1，d ＝q ，________. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 选条件①.(1)∵a 3＝5，a 2＋a 5＝6b 2，a 1＝b 1，d ＝q ，d >1， ∴⎩⎨⎧a 1＋2d ＝5，2a 1＋5d ＝6a 1d ，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝256，d ＝512(舍去).∴⎩⎨⎧b 1＝1，q ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝b 1q n －1＝2n －1. (2)∵c n ＝a n b n，∴c n ＝2n －12n －1＝(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴T n ＝1＋3×12＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，12T n ＝12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 上面两式相减，得12T n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝1＋2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝3－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. ∴T n ＝6－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.选条件②.(1)∵b 2＝2，a 3＋a 4＝3b 3，a 1＝b 1，d ＝q ，d >1， ∴⎩⎨⎧a 1d ＝2，2a 1＋5d ＝3a 1d 2，即⎩⎨⎧a 1d ＝2，2a 1＋5d ＝6d ， 解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝－1，d ＝－2(舍去).∴⎩⎨⎧b 1＝1，q ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝b 1q n －1＝2n －1. (2)∵c n ＝a n b n，∴c n ＝2n －12n －1＝(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴T n ＝1＋3×12＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，12T n ＝12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 上面两式相减，得12T n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝1＋2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝3－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . ∴T n ＝6－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.选条件③.(1)∵S 3＝9，a 4＋a 5＝8b 2，a 1＝b 1，d ＝q ，d >1， ∴⎩⎨⎧a 1＋d ＝3，2a 1＋7d ＝8a 1d ，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝218，d ＝38(舍去)，∴⎩⎨⎧b 1＝1，q ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝b 1q n －1＝2n －1. (2)∵c n ＝a n b n，∴c n ＝2n －12n －1＝(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴T n ＝1＋3×12＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，12T n ＝12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 上面两式相减，得12T n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝1＋2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝3－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . ∴T n ＝6－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.探究提高 1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解.2.在写“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式.【拓展练习4】 (2020·潍坊模拟)在①b 2n ＝2b n ＋1，②a 2＝b 1＋b 2，③b 1，b 2，b 4成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n .公差不等于0的等差数列{b n }满足________，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和S n .(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 因为a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，所以{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以a n ＝3n －1.选①②时，设数列{b n }的公差为d 1. 因为a 2＝3，所以b 1＋b 2＝3(ⅰ).因为b 2n ＝2b n ＋1，所以当n ＝1时，b 2＝2b 1＋1(ⅱ). 由(ⅰ)(ⅱ)解得b 1＝23，b 2＝73，所以d 1＝53，所以b n ＝5n －33.所以b n a n＝5n －33n .所以S n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝231＋732＋1233＋…＋5n －33n ，所以13S n ＝232＋733＋1234＋…＋5n －83n ＋5n －33n ＋1.上面两式相减，得23S n ＝23＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋133＋…＋13n －5n －33n ＋1 ＝23＋56－152×3n ＋1－5n －33n ＋1＝32－10n ＋92×3n ＋1.所以S n ＝94－10n ＋94×3n .选②③时，设数列{b n }的公差为d 2.因为a 2＝3，所以b 1＋b 2＝3，即2b 1＋d 2＝3.因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即(b 1＋d 2)2＝b 1(b 1＋3d 2)，化简得d 22＝b 1d 2.因为d 2≠0，所以b 1＝d 2，从而d 2＝b 1＝1，所以b n ＝n . 所以b n a n ＝n 3n －1.所以S n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝130＋231＋332＋…＋n3n －1，所以13S n ＝131＋232＋333＋…＋n －13n －1＋n 3n .上面两式相减，得23S n ＝1＋131＋132＋133＋…＋13n －1－n 3n＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －n 3n ＝32－2n ＋32×3n . 所以S n ＝94－2n ＋34×3n －1.选①③时，设数列{b n }的公差为d 3.因为b 2n ＝2b n ＋1，所以b 2＝2b 1＋1，所以d 3＝b 1＋1.又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即(b 1＋d 3)2＝b 1(b 1＋3d 3)，化简得d 23＝b 1d 3.因为d 3≠0，所以b 1＝d 3，无解，所以等差数列{b n }不存在.故不合题意.考向三 与数列相关的综合问题【典例5】 (2020·杭州滨江区调研)设f (x )＝12x 2＋2x ，f ′(x )是y ＝f (x )的导函数，若数列{a n }满足a n ＋1＝f ′(a n )，且首项a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值. 解 (1)由f (x )＝12x 2＋2x ，得f ′(x )＝x ＋2. ∵a n ＋1＝f ′(a n )，且a 1＝1. ∴a n ＋1＝a n ＋2，则a n ＋1－a n ＝2，因此数列{a n }是公差为2，首项为1的等差数列. ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2，等比数列{b n }中，设公比为q ，∵b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， ∴q ＝3.∴b n ＝3n －1，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12.T n ≤S n 可化为3n －12≤n 2.又n ∈N *，∴n ＝1，或n ＝2.故适合条件T n ≤S n 的所有n 的值为1和2.探究提高 1.求解数列与函数交汇问题要注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别注意；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.【拓展练习5】 已知数列{a n }与{b n }满足：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2b n (n ∈N *)，若{a n }是各项为正数的等比数列，且a 1＝2，b 3＝b 2＋4. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (2)若数列{c n }满足c n ＝a nb n b n ＋1(n ∈N *)，T n 为数列{c n }的前n 项和，证明：T n ＜1. (1)解 由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2b n ，① 当n ≥2时，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝2b n －1，② ①－②可得a n ＝2(b n －b n －1) ⇒a 3＝2(b 3－b 2)＝2×4＝8，∵a 1＝2，a n ＞0，设{a n }的公比为q ， ∴a 1q 2＝8⇒q ＝2，∴a n ＝2×2n －1＝2n (n ∈N *). ∴2b n ＝21＋22＋23＋ (2)＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2，∴b n ＝2n －1(n ∈N *).(2)证明 由已知c n ＝a n b n ·b n ＋1＝2n（2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1， ∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝121－1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1，当n ∈N *时，2n ＋1＞1，∴12n ＋1－1＞0，∴1－12n ＋1－1＜1，故T n ＜1.【专题拓展练习】一、单选题1．已知数列{}n a 满足()2*11n n n a a a n N+=-+∈，设12111n nS a a a =+++，且10910231a S a -=-，则数列{}n a 的首项1a 的值为（ ）A ．23 B ．1C ．32D ．2【答案】C 【详解】若存在1n a =，由2111n n n a a a --=-+，则可得11n a -=或0n a =，由12111n nS a a a =+++可得0n a ≠，由10910231a S a -=-可得101a ≠所以{}n a 中恒有1n a ≠由211n n n a a a +=-+，可得()111n n n a a a +-=-所以()11111111n n n n n a a a a a +==----，即111111n n n a a a +=---所以1212231111111111111111n n n n S a a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111n a a +=--- 所以110109*********a S a a a -=---=-，即1010101010123222111111a a a a a a =+--=----= 所以1121a =-，则1112a -=，所以132a = 2．已知在数列{}n a 中，14a =，26a =，且当2n ≥时，149n n a a +=-，若n T 为数列{}nb 的前n 项和，19(3)n n n n a b a a +-=⋅，则当175(3)()8n n a T λ+=-⋅-为整数时，n λ=（ ）A ．6B ．12C ．20D ．24 【答案】D 【详解】当2n ≥时，149n n a a +=-，得134(3)n n a a +-=-，又26a =，∴{3}n a -从第二项开始是首项为3，公比为4的等比数列，∴2334n n a --=⨯(2n ≥)，∴2413432n n n a n -=⎧=⎨⨯+≥⎩，，， 当1n =时，1138T b ==，217155(3)()82a T Z λ=-⋅-=∉，不符合题意， 当2n ≥时，221213411(41)(41)4141n n n n n n b -----⨯==-++++， ∴12221131171()84141841n n n n T b b b ---=++⋅⋅⋅+=+-=-+++， 则111115534154141n n n λ---=⨯⨯⨯=-++，由λ为整数可知141n -+是15的因数， ∴当且仅当2n =时λ可取整数，12λ=，所以24n λ=，3．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，*()(11),2n n n n S a n N -+=∈，则数列{}n S 的前7项和为（ ） A ．1256-B ．85256-C ．11024- D ．3411024-【答案】B 【详解】 ∵(1)12nn n n S a -+=， ∴1n =时，1112S a +=-，即1112a a +=-，114a =-，由已知1(1)2nn n n S a =--， 2n ≥时，11111111(1)(1)(1)(1)222n n n nn n n n n n n n n na S S a a a a -----=-=----+=-+-+(*)， (*)式中n 为偶数时，112n n n na a a -=++，112n n a -=-，此时1n -为奇数， ∴n 为奇数时112n n a +=-(*)式中n 为奇数时，112n n n n a a a -=--+，1122n n na a --=-，即1111112222n n n n a -+-⎛⎫=-⨯-+= ⎪⎝⎭，此时1n -为偶数，∴n 为偶数时，12n na =， ∴11,21,2n n nn a n +⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，由1(1)2nn n nS a =--，得n 为奇数时，11122n n n S +=-，n 为偶数时，11022nn nS =-=， ∴数列{}n S 的前7项和为11111111421686432256128⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11118541664256256=----=-． 4．若()()*12coscoscoscos 5555n n n S n ππππ-=++++∈N ，则1S 、2S、、2020S 中值为0的共有（ ） A ．202个 B ．404个C ．606个D ．808个【答案】B 【详解】由于4coscos055ππ+=，23cos cos 055ππ+=，5cos 15π=-，69cos cos 055ππ+=，78cos cos 055ππ+=，10cos 15π=，所以234cos coscos cos 05555ππππ+++=， 2310cos cos cos cos 05555ππππ++++=，所以40S =，100S =，()()()101210coscos cos555n n n n n S S πππ++++-=+++()()()()()()1627510cos cos cos cos cos cos 555555n n n n n n ππππππ++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()()()112255cos cos cos cos cos cos 555555n n n n n n ππππππ++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦0=，所以，()10n n S S n N *+=∈，则()44+100n SS n N *==∈，()10100n S S n N *==∈，因此，1S 、2S 、、2020S 中值为0的共有2022404⨯=个.5．已知数列{}n a 为等差数列，首项为2，公差为3，数列{}n b 为等比数列，首项为2，公比为2，设n n b c a =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，则当2020n T <时，n 的最大值是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【答案】A 【详解】解：由题意得：323(1)1n a n n ⨯-=+-=，2nn b =，2321n n n n b c a a ==⨯-=，123n T c c c ∴=+++…n c +123321321321=⨯-+⨯-+⨯-+…321n +⨯-(1233222=⨯+++…)2n n +-()212312n n ⨯-=⨯--1326n n +=⨯--，当8n =时，98326815222020T =⨯--=<； 当9n =时，109326930572020T =⨯--=>，n ∴的最大值为8.6．已知数列{}n a 满足123232n n a a a na ++++=，设1(1)2nn n a b n -=+，n S 为数列{}n b 的前n 项和.若t n S <对任意n *∈N 恒成立，则实数t 的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．32D ．52【答案】C 【详解】1n =时，12a =，因为123232n n a a a na ++++=，所以2n ≥时，1123123(1)2n n a a a n a --++++-=，两式相减得到12n n na -=，故12,n n a n-=1n =时不适合此式，所以11,11,2(1)2(1)nn n n a b n n n n -=⎧⎪==⎨≥+⎪+⎩，当1n =时，111S b ==， 当2n ≥时，111111313123341221n S n n n ⎛⎫=+-+-+-=-< ⎪++⎝⎭， 所以32t ≥；所以t 的最小值32； 7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n S an bn =+，（,a b 均为常数），且72a π=.设函数2()sin 22cos 2xf x x =+，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为（ ） A ．132πB ．7πC ．7D ．13【答案】D 【详解】因为2()sin 22cos sin 2cos 12xf x x x x =+=++， 由2n S an bn =+，得()()()2211122n n n S S an bn a n b n an a b n a -=-=+----=-+≥，又11a S a b ==+也满足上式，所以2n a an a b =-+， 则12n n a a a --=为常数，所以数列{}n a 为等差数列； 所以11372a a a π+==，()()111131131313sin 2cos 1sin 2cos 1y f a f a a a a y a =+=++++++()()1111sin 2cos 1sin 22cos 12a a a a ππ=+++-+-+=.则数列{}n y 的前13项和为()()()1213...f a f a f a +++，记()()()1213...M f a f a f a =+++，则()()()13121...M f a f a f a =+++，所以()()11321326M f a f a ⎡⎤=+=⎣⎦，因此13M =.8．公元1202年列昂那多·斐波那契（意大利著名数学家）以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，即11a =，21a =，()*12,2n n n a a a n n --=+∈>N ，此数列在现代物理、化学等学科都有着十分广泛的应用。
数列求和例题精讲1． 公式法求和（1）等差数列前n 项和公式 d n n na a a n a a n S k n k n n 2)1(2)(2)(111-+=+=+=-+ （2）等比数列前n 项和公式 1=q 时 1na S n =1≠q 时 qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11（3）前n 个正整数的和 2)1(321+=++++n n n Λ 前n 个正整数的平方和 6)12)(1(3212222++=++++n n n n Λ前n 个正整数的立方和 23333]2)1([321+=++++n n n Λ公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数n 的值；（2）等比数列公比q 未知时，运用前n 项和公式要分类。
例1．求数列13741+n ，，，，Λ的所有项的和例2．求和221-++++n x x x Λ(0,2≠≥x n )2．分组法求和例3．求数列1，21+，321++，…，n ++++Λ321的所有项的和。
例4．已知数列{}n a 中，⎪⎩⎪⎨⎧+=)()2()(15为偶数为奇数n n n a nn ，求m S 2。
3．并项法求和例5．数列{}n a 中， 21)1(n a n n +-=，求100S 。
例6．数列{}n a 中，，n a n n 4)1(-=，求20S 及35S 。
4．错位相减法求和{}{}{}若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项a b a b n n n n n{}和，可由求，其中为的公比。
S qS S q b n n n n -例7．求和12321-++++n nx x x Λ（0≠x ）。
5．裂项法求和:把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
例8．求和)12)(12(1751531311+-++⨯+⨯+⨯n n Λ。
例9．求和nn +++++++++11321231121Λ。
［练习］ 求和：…………111211231123+++++++++++n （…………，）a S n n n ===-+2116 . 倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
数列专题 数列求和常用方法（学生版）一、公式法1．等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2． 推导方法：倒序相加法．2．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q，q ≠1. 例1已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列．(1)求出数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值． 跟踪练习1、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝0，a 4＝1，则S 4＝( )A ．12B ．1C ．2D ．32、等差数列{a n }的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．83、(2022·天津模拟)设1＋2＋22＋23＋…＋2n －1>128(n ∈N *)，则n 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．94、设数列{a n }(n ∈N *)的各项均为正数，前n 项和为S n ，log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，且a 3＝4，则S 6＝( )A ．128B ．65C ．64D ．635、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝4n ＋b (b 是常数，n ∈N *)，若这个数列是等比数列，则b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．46、已知等比数列{a n }，a 1＝1，a 4＝18，且a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1<k ，则k 的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，23 B ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞C ．⎣⎡⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫23，＋∞ 7、(多选)已知数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则下列说法中正确的是( )A ．a n ＝n (n ＋1)2B ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前2 020项的和为2 0202 021 C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前2 020项的和为4 0402 021 D ．数列{a n }的第50项为2 5508、(多选)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n S 4n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．则下列数列{b n }为“吉祥数列”的有( )A ．b n ＝nB ．b n ＝(－1)n (n ＋1)C ．b n ＝4n －2D ．b n ＝2n9、在数列{a n }中，2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，且a 2＝10，a 5＝－5．(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 的最大值．10、数列{a n }满足：a 1＝1，点(n ，a n ＋a n ＋1)在函数y ＝kx ＋1的图象上，其中k 为常数，且k ≠0．(1)若a 1，a 2，a 4成等比数列，求k 的值；(2)当k ＝3时，求数列{a n }的前2n 项的和S 2n ．11、已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式；二、分组转化法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减．例2(2022·北京模拟)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n －n 2，n 为偶数，2a n ，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋n ，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 8＝( )A ．546B ．582C ．510D ．5482、(2022·珠海模拟)已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2 020项和为( )A ．1 009B ．1 010C ．2 019D ．2 0203、若f (x )＋f (1－x )＝4，a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为__ _____．4、(2022·衡水质检)已知各项都不相等的等差数列{a n }，a 6＝6，又a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n a ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .5、已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n ＋2，n 为偶数. (1)记b n ＝a 2n ，写出b 1，b 2，并求数列{b n }的通项公式；(2)求{a n }的前20项和．6、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n ＋a ．(1)求a n ；(2)定义[x ]为取整数x 的个位数，如[1]＝1，[32]＝2，[143]＝3，求[a 1]＋[a 2]＋[a 3]＋…＋[a 100]的值．7、已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8.(1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0，m ](m ∈N *)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100.8、(2022·重庆质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝9，S 5＝25.(1)求数列{a n }的通项公式及S n ；(2)设b n ＝(－1)n S n ，求数列{b n }的前n 项和T n .9、已知在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 3＝5，S 7＝49.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2n a＋a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ≥1 000，求n 的取值范围．10、(2022·青岛模拟)从“①S n ＝n ⎝⎛⎭⎫n ＋a 12；②S 2＝a 3，a 4＝a 1a 2；③a 1＝2，a 4是a 2，a 8的等比中项．”三个条件中任选一个，补充到下面的横线处，并解答．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，________，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝122n n S S ＋－，数列{b n }的前n 项和为W n ，求W n .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．11、(2022·株洲质检)由整数构成的等差数列{a n }满足a 3＝5，a 1a 2＝2a 4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，将数列{a n }，{b n }的所有项按照“当n 为奇数时，b n 放在前面；当n 为偶数时，a n 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{c n }，b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，求数列{c n }的前(4n ＋3)项和T 4n ＋3.三、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； (2)1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2； (3)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1； (4)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ．例3(2022·南京质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －1，数列{b n }是等差数列，且b 1＝a 1，b 6＝a 5．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若c n ＝1b n b n ＋1，记数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：3T n ＜1．跟踪练习1、(2022·北京模拟)数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1 ，若{a n }的前n 项和为9，则n的值为( )A ．576B ．99C ．624D ．625 2、(多选)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＝a 2n －1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)．记数列{a 2n }的前n 项和为A n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1的前n 项和为B n ，则下列结论正确的是( ) A ．A n ＝a n ＋1－32B ．B n ＝23－1a n ＋1C ．A n B n ＝32a nD ．A n B n <32n ＋143、在数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，若{a n }的前n 项和为2 0222 023，则项数n ＝____ ____. 4、已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1(2n －1)(2n ＋1)的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，不等式12T n <a 2－a 恒成立，则实数a 的取值范围是__ __．5、(2022·本溪模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．6、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋1＝4a n ，n ∈N *，a 1＝1．(1)在下列三个结论中选择一个进行证明，并求{a n }的通项公式； ①数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列； ②数列{}a n ＋1－2a n 是等比数列；③数列{}S n ＋1－2S n 是等比数列．(2)记b n ＝S n ＋2S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 注：如果选择多个结论分别解答，则按第一个解答计分．7、给出以下三个条件：①4a 3,3a 4,2a 5成等差数列；②∀n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝2x －a 的图象上，其中a 为常数；③S 3＝7．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设{a n }是一个公比为q (q >0，且q ≠1)的等比数列，且它的首项a 1＝1，________．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝2log 2a n ＋1(n ∈N *)，证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n <12． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．8、设{a n }是各项都为正数的单调递增数列，已知a 1＝4，且a n 满足关系式：a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .9、设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3n (a n ＋1)(a n ＋1＋1)，求{b n }的前n 项和T n ，证明：38≤T n ＜34.10、已知数列{a n }满足a 1＝4，且当n ≥2时，(n －1)a n ＝n (a n －1＋2n －2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列； (2)记b n ＝2n ＋1a 2n，求数列{b n }的前n 项和S n .11、(2022·合肥模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n .(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 2a n ，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .12、已知数列{a n }，{b n }，{c n }满足a 1＝b 1＝c 1＝1，c n ＝a n ＋1－a n ，c n ＋1＝b n b n ＋2c n，n ∈N *. (1)若{b n }为等比数列，公比q >0，且b 1＋b 2＝6b 3，求q 的值及数列{a n }的通项公式；(2)若{b n }为等差数列，公差d >0，证明：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <1＋1d，n ∈N *.13、已知数列{a n }满足a 1＝12，1a n ＋1＝1a n＋2(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12.14、若S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，S 2＝4. ①求数列{a n }的通项公式；②设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m 20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .四、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．例4(2022·江门模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －1．(1)证明：数列{a n ＋n }是等比数列并求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设b n ＝(2n －1)·(a n ＋n )，求数列{b n }的前n 项和T n ．跟踪练习1、(2022·广东模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n －2a n a n ＋1．(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3na n，求数列{b n }的前n 项和S n ．2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．3、(2022·湖南模拟)某同学在复习数列时，发现曾经做过的一道题目因纸张被破坏，导致一个条件看不清(即下题中“已知”后面的内容看不清)，但在(1)的后面保留了一个“答案：S 1，S 3，S 2成等差数列”的记录，具体如下：记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知_____________．①判断S 1，S 2，S 3的关系；(答案：S 1，S 3，S 2成等差数列)②若a 1－a 3＝3，记b n ＝n 12|a n |，求证：b 1＋b 2＋…＋b n <43． (1)请在本题条件的“已知”后面补充等比数列{a n }的首项a 1的值或公比q 的值(只补充其中一个值)，并说明你的理由；(2)利用(1)补充的条件，完成②的证明过程．4设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项．(1)求{a n }的公比；(2)若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和．5、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－94，且4S n ＋1＝3S n －9(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足3b n ＋(n －4)a n ＝0(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为T n .若T n ≤λb n ，对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．6、设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n .(1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式；(2)求数列{2n a n }的前n 项和S n .7、(2022·济宁模拟)已知数列{a n }是正项等比数列，满足a 3是2a 1,3a 2的等差中项，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)n log 2a 2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .8、(2022·重庆调研)在等差数列{a n}中，已知a6＝12，a18＝36.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若________，求数列{b n}的前n项和S n，在①b n＝4a n a n＋1，②b n ＝(－1)n·a n，③b n＝2n ana 这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．9、(2022·沈阳模拟)已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a2n＋1＝2S n＋n＋1，a2＝2.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若b n＝a n·2n，数列{b n}的前n项和为T n，求使T n>2 022的最小的正整数n的值．。
1．错位相减法例1：已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=，4410S b -=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记1121n n n n T a b a b a b -=+++L ，n *∈N ，求证：12210n n n T a b +=-+． 【答案】（1）31n a n =-，2n n b =；（2）见解析． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则3441127327a b a d b q +=⇒++=，34411104610S b a d b q -=⇒+-=， 即332322786210d q d q ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，解得：32d q =⎧⎨=⎩， 31n a n ∴=-，2n n b =．（2）()()231234222nn T n n =-⋅+-⋅++⋅L ，①()()23+1231234222n n T n n =-⋅+-⋅++⋅L ，②-②①得()()()()123124213123222222312321n n n n n T n n -++-∴=--⋅+++++⋅=--⋅+⋅-L()10223112n n =⋅---，∴所证恒等式左边()102231n n =⋅--，右边()210231102nn n a b n =-+=--+⋅，即左边=右边，所以不等式得证．2．裂项相消法数列求和专题例2：设数列{}n a ，其前n 项和23n S n =-，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+ ．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若()()21nn n n b c b b =--，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）63n a n =-+，12n n b +=；（2）11121n n T +=--．【解析】（1）2n ≥时，()22133163n n n a S S n n n -⎡⎤=-=----=-+⎣⎦， 当1n =时，113a S ==-符合上式，63n a n ∴=-+，∵{}n b 为等比数列31232512b b b b ∴==，28b ∴=， 设{}n b 的公比为q ，则21328,8b b b b q q q q====，而315a =-， 113383158a b a b q q ∴+=+⇒-+=-+，解得2q =或12q =-， ∵{}n b 单调递增，2q ∴=，21222n n n b b -+∴=⋅=．（2）()()()()()()111112211222121212121n n nn n n n n n c +++++===-------， 112231111111212121212121n n n n T c c +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L1111111212121n n ++=-=----．一、单选题1．已知等差数列{}n a 中918S =，240n S =，()4309n a n -=>，则项数为（ ） A ．10 B ．14C ．15D ．17【答案】C对点增分集训【解析】∵()199599182a a S a +===，∴52a =，∴()()()154230240222n n n n a a n a a n S -+++====，15n =，故选C ．2．在等差数列{}n a 中，满足4737a a =，且10a >，n S 是{}n a 前n 项的和，若n S 取得最大值，则n =（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】C【解析】设等差数列首项为1a ，公差为d ， 由题意可知14330a d +=，10a >，()()2111352233n n n da S na n n -=+=-， 二次函数的对称轴为358754n ==.，开口向下， 又∵n *∈N ，∴当9n =时，n S 取最大值．故选C ． 3．对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{}n x 满足：11x =，且对于任意n *∈N ，点()1n n x x +,都在函数()y f x =的图象上，则122015x x x ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．7554B ．7549C ．7546D ．7539【答案】A【解析】由题意可知：()13f =，()35f =，()56f =，()61f =，()13f =L ， 点()1n n x x +,都在函数()y f x =的图象上，则11x =，23x =，35x =，46x =，511x x ==， 则数列{}n x 是周期为4的周期数列，由于201545033=⨯+，且123415x x x x +++=，故()122015503151357554x x x ++⋅⋅⋅+=⨯+++=．故选A ．4．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，44a =，515S =，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前m 项和为1011，则m =（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【答案】C【解析】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，设公差为d ，44a =，515S =，则4534155a S a =⎧⎨==⎩，解得1d =，则()44n a n n =+-=．由于()1111111n n a a n n n n +==-++，则11111110112231111m S m m m =-+-++-=-=++L ， 解得10m =．故答案为10．故选C ．5．在等差数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，若90S >，100S <，则在11S a ，22S a ，L ，99S a 中最大的是（ ） A ．11S a B ．88S a C ．55S a D ．99S a 【答案】C 【解析】由于()19959902a a S a +==>，()()110105610502a a S a a +==+<，∴可得50a >，60a <， 这样110S a >，220Sa >，L ，550S a >，660S a <，L ，990S a <，而125S S S <<<L ，125a a a >>>L ， ∴在11S a ，22S a ，L ，99S a 中最大的是55S a ．故选C ．6．设数列(){}1n-的前n 项和为nS ，则对任意正整数n ，nS=（ ）A ．()112nn ⎡⎤--⎣⎦ B ．()1112n --+C ．()112n-+D ．()112n--【答案】D【解析】∵数列(){}1n-是首项与公比均为1-的等比数列．∴其前n 项和为()()()()11111112nn n S ⎡⎤-----⎣⎦=--=．故选D ．7．已知数列{}n a 满足11a =，()()121211n n n a n a +-=++，()()12212141n nn n a n a b n +--+=-，12n n T b b b =++⋅⋅⋅+，若n m T >恒成立，则m 的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．12【答案】D【解析】由题意知，12121n n n a ab n n +=-+-，由()()121211n n n a n a +-=++， 得()()111112121212122121n n a a n n n n n n +⎛⎫-==- ⎪+--+-+⎝⎭， ∴12111111111112133521212212n n T b b b n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=⨯-+-++-=⨯-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭L L ， ∴12n T <恒成立，12m ≥，故m 最小值为12，故选D ． 8．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1nn a n =-⋅，则2018S =（ ） A ．2018 B ．1009 C ．2019 D ．1010【答案】B【解析】由题意，数列{}n a 满足()1nn a n =-⋅，∴2018123420172018123420172018S a a a a a a =+++++=-+-+--+L L ()()()1234201720181009=-++-+++-+=L ，故选B ．9．已知数列{}n a 中，()12321n n a a a a n *+++⋅⋅⋅+=-∈N ，则2222123na a a a+++⋅⋅⋅+等于（ ）A ．()1413n- B ．()1213n- C ．41n -D ．()221n -【答案】A【解析】设()12321n n n S a a a a n *=+++⋅⋅⋅+=-∈N ， 由1112,,n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，解得12n n a -=，令214n n n b a -==，故()22221231413nn a a a a +++⋅⋅=⋅+-．故选A ． 10．已知函数()223sin 2n f n n -⎛⎫=π⎪⎝⎭，且()n a f n =，则123200a a a a ++++=L （ ） A ．20100 B ．20500 C ．40100 D ．10050【答案】A【解析】()n a f n =，当n 为偶数时，()2223sin 2n f n n n -⎛⎫=π=⎪⎝⎭， 当n 为奇数时，()2223sin 2n f n n n -⎛⎫=π=-⎪⎝⎭， 故222221232001234199200a a a a ++++=-+-++L L --()()()()211220019920019912319920020100=-+++-+=+++++=L L ．故选A ．11．已知数列{}n a 满足：112a =，21a =，()112n n n a a a n n *+-=+∈≥N ,，则132435111aa a a aa ++201820201a a +⋅⋅⋅+的整数部分为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】1111111111111111n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+-+--++--=+⇒-=⇒=⇒-=111111111111n n n n n n n n n a a a a a a a a a +--+-+⎛⎫⇒=-=- ⎪⎝⎭， ∴原式1223201820192019202020192020111112a a a a a a a a a a =-++-=-L ， 当3n ≥时，()201920202019202011121,2n a a a a a >⇒>⇒-∈，∴整数部分为1，故选B ．12．对于任意实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]33=，[]122-=-．，[]121=．．已知数列{}n a 满足[]2log n a n =，其前n 项和为n S ，若0n 是满足2018n S >的最小整数，则0n 的值为（ ） A ．305 B ．306C ．315D ．316【答案】D【解析】由题意，[]2log n a n =，当1n =时，可得10a =，（1项）当1222n ≤<时，可得231a a ==，（2项） 当2322n ≤<时，可得4572a a a ====L ，（4项） 当3422n ≤<时，可得89153a a a ====L ，（8项） 当4522n ≤<时，可得1617314a a a ====L ，（16项）L L当122n n n +≤<时，可得12212n n n a a a n ++====L ，（2n 项） 则前n 项和为1234122232422n n S n =⨯+⨯+⨯+⨯++⨯L ， 234512122232422n n S n +=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯L ，两式相减得2341222222n n n S n +-=+++++-⋅L ，∴()1112222122018n n n n S n n +++=⋅-+=-+>，此时8n ≥，当8n =时，对应的项为83162a a =，即0316n ≥，故选D ．二、填空题13．已知数列{}n a 满足()()112nn n a a n n ---=≥，记n S 为{}n a 的前n 项和，则40S =__________．【答案】440【解析】由()()112nn n a a n n ---=≥可得：当2n k =时，有2212k k a a k --=， ① 当21n k =-时，有212221k k a a k --+=-， ② 当21n k =+时，有21221k k a a k ++=+， ③ +①②有22241k k a a k -+=-，-③①有21211k k a a +-+=，则()()40135739246840S a a a a a a a a a a =+++++++++++L L ()109110715231071084402⨯=⨯++++=+⨯+⨯=L ． 故答案为440．14．13S =++=，210S =++++=，321S =++++++=，L ，则n S =__________．【答案】()21n n +，()n *∈N【解析】第一个等式，起始数为1，项数为2234121=-=-，113S =⨯， 第二个等式，起始数为2，项数为2259432=-=-，225S =⨯， 第三个等式，起始数为3，项数为22716943=-=-，337S =⨯，L第n 个等式，起始数为n ，项数为()22121n n n +-=+，()21n S n n =+，()n *∈N ，故答案为()21n S n n =+，()n *∈N ． 15．已知函数()113sin 22f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，则122018201920192019f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________；【答案】2018【解析】∵()()111113sin 13sin 12222f a f a a a a a ⎛⎫⎛⎫+-=+-++-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112sin sin 222a a ⎛⎫⎛⎫=+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设122018201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ①则201820171201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ②+①②得1201822018403620192019S ff ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴2018S =．故答案为2018． 16．定义12nnp p p +++L 为n 个正整数1p ，2p ，L ，n p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为15n ，又5n n a b =，则12231011111b b b b b b +++=L _________；【答案】1021【解析】∵数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为15n， ∴15n n S n=，解得25n S n =，∴115a S ==， 当2n ≥时，()()221551105n n n a S S n n n -⎡⎤=-=--=-⎣⎦， 当1n =时，上式成立，则105n a n =-， ∴215nn a b n ==-，()()111111212222121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 则1223101111111111111111011233557192122121b b b b b b ⎛⎫⎛⎫+++=⨯-+-+-++-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L ． 故答案为1021．三、解答题17．正项等差数列{}n a 中，已知0n a >，12315a a a ++=，且12a +，25a +，313a +构成等比数列{}n b 的前三项．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =+，152n n b -=⋅；（2）()52121nn T n ⎡⎤=-+⎣⎦．【解析】（1）设等差数列的公差为d ，则由已知得：1232315a a a a ++==，即25a =， 又()()52513100d d -+++=，解得2d =或13d =-（舍去），123a a d =-=， ∴()1121n a a n d n =+-⨯=+，又1125b a =+=，22510b a =+=，∴2q =，∴152n n b -=⋅；（2）∵()21535272212n n T n -⎡⎤=+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦， ()2325325272212nn T n ⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，两式相减得()][()215[322222221251221]n n nn T n n --=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯=--，则()52121nn T n ⎡⎤=-+⎣⎦．18．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且12a <，0n a >，2632n n n S a a =++，n *∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对n *∀∈N ，2(1)n n n b a =-，求数列{}n b 的前2n 项的和2n T ．【答案】（1）32n a n =-；（2）22183n T n n =-．【解析】（1）2632n nn S a a =++，n *∈N ， 当2n ≥时，()221116663232n n n n n n n a S S a a a a ---=-=++-++，化为()()1130n n n n a a a a --+--=， ∵0n a >，∴13n n a a --=，当1n =时，2111632a a a =++，且12a <，解得11a =．∴数列{}n a 是等差数列，首项为1，公差为3．∴()13132n a n n =+-=-；（2）22(1)(1)(32)n n n nb a n =-=--． ∴()22212(65)(62)31273621n n b b n n n n -+=--+-=-=-，∴{}n b 的前2n 项的和()()22136122136211832n n n T n n n n n +=+++-=⨯-=-L ．。
