数列求和专题(学生版)

初中等差数列求和及练习题概述等差数列是数学中的常见概念。

在初中数学中，我们研究了等差数列的定义、性质以及如何求解等差数列的和。

本文档将介绍初中等差数列求和的方法，并提供一些练题供学生练。

等差数列的定义等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。

通常用字母$a$表示首项，$d$表示公差。

等差数列的通项公式为：$$a_n = a + (n - 1) \cdot d$$其中，$a_n$表示第$n$项。

等差数列的求和公式对于等差数列 $a_1, a_2, a_3, ... , a_n$，我们可以使用求和公式来求解其和$S_n$：$$S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)$$示例假设有一个等差数列的首项$a = 3$，公差$d = 2$，求该数列的前6项及其和。

首先，根据通项公式计算出该数列的前6项：$$a_1 = 3\\a_2 = 3 + (2 - 1) \cdot 2 = 5\\a_3 = 3 + (3 - 1) \cdot 2 = 7\\a_4 = 3 + (4 - 1) \cdot 2 = 9\\a_5 = 3 + (5 - 1) \cdot 2 = 11\\a_6 = 3 + (6 - 1) \cdot 2 = 13\\$$然后，使用求和公式计算出该数列的和$S_6$：$$S_6 = \frac{6}{2} \cdot (3 + 13) = 9 \cdot 16 = 144$$所以，该等差数列的前6项分别为3, 5, 7, 9, 11, 13，和为144。

练题1. 已知某等差数列的首项$a = 2$，公差$d = 3$，求该数列的第8项$a_8$。

2. 求等差数列$4, 7, 10, 13, ...$的前10项和。

3. 若等差数列的首项$a = 1$，公差$d = 0$，求该数列的第20项$a_{20}$。

提示：使用等差数列的通项公式和求和公式来解答上述练题。

：使用等差数列的通项公式和求和公式来解答上述练习题。

数列求和的基本方法与技巧一、利用常用求和公式求和：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。

1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n n n 3、)1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n 5、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n 例1 金榜108页典例1二、错位相减法求和：这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列。

例2. 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①例3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= ，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。

变式练习：求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和。

三、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。

形如：①{}n n b a +,其中{}{}⎩⎨⎧是等比数列；是等差数列；n n b a ②()()⎩⎨⎧∈=-==*Nk k n n g k n n f a n ,2,,12, 例 4.已知数列{}n a 的通项公式为,132-+=n a n n 求数列{}n a 的前n 项和.变式练习： 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭四、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。

第四节数列求和知识梳理一公式求和法(1)如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式．(2)等差数列的前n项和公式：S n=n(a1+a n)2=na1+n(n-1)2d=d2n2+a1-d2n.(3)等比数列的前n项和公式：S n=na1，q=1，a1-a n q1-q=a1(1-q n )1-q，q≠1.注意：等比数列公比q的取值情况，要分q=1，q≠1.二分组求和法一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．如若一个数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，则可用分组求和法求其前n项和．三倒序相加法如果一个数列{a n}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等且等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．四裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．五错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．六并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两合并求解，则称之为并项求和．如{a n}是等差数列，求数列{(-1)n a n}的前n项和，可用并项求和法求解，分项数为奇数和偶数分别进行求和形如a n=(-1)n f(n)类型，可考虑采用两项合并求解．七四类特殊数列的前n项和①1+2+3+⋯+n=12n(n+1)．②1+3+5+⋯+(2n-1)=n2.③12+22+32+⋯+n2=16n(n+1)(2n+1)．④13+23+33+⋯+n3=14n2(n+1)2.题型探究一分组求和与并项求和一分组求和法解题通法分组转化法求和的常见类型(1)若a n=b n±c n，且{b n}，{c n}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n}的前n项和．(2)通项公式为a n=b n，n为奇数，c n，n为偶数的数列，其中数列{bn}，{c n}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．1.已知数列{a n}的通项公式是a n=2n-12 n，则其前20项和为()A.379+1220B.399+1220C.419+1220D.439+12202.已知数列{a n}中，a1=a2=1，a n+2=a n+2，n是奇数，2a n，n是偶数，则数列{an}的前20项和为()A.1121B.1122C.1123D.11241.若数列{a n}的通项公式为a n=2n+2n-1，则数列{a n}的前n项和为()A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1C.2n+1+n2-2D.2n+n-22.若a n=1n n+2,n=2k-1,k∈N∗2n,n=2k,k∈N∗，求数列{a n}的前2n项的和S2n.二并项求和法3.已知数列{a n}中，a1=1,a n+1=13a n+n ,n为奇数a n-3n,n为偶数，n∈N*．(Ⅰ)证明：数列a2n-32是等比数列；(Ⅱ)记S n是数列{a n}的前n项和，求S2n．3.已知数列a n的通项公式a n=(-1)n(2n-1)，求该数列的前n项和S n．4.已知数列{a n}的前n项和为S n=1-5+9-13+17-21+⋯+(-1)n-1(4n-3)，则S15+S22-S31的值是()A.13B.76C.46D.-76二倒序相加法4.设f(x )=4x4x+2，若S=f12022+f22022+⋯+f20212022，则S=.反思感悟倒序相加法应用的条件与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和相加的方法求解．5.　设f(x)=x21+x2，则f12022+f12021+⋯+f(1)+f(2)+⋯+f(2022)=40432.6.(2022·全国·高三专题练习)已知f(x)=21+x2 (x∈R),若等比数列{a n}满足a1a2020=1,则f(a1)+ f(a2)+⋯+f(a2020)=( )A.20192 B.1010 C.2019 D.20207.(2022·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=cos xcos30°-x，f1°+f2°+f3°+⋯+f59°=_ _______.三裂项相消法解题通法1.常见的裂项公式a n的裂项方法a n的裂项方法11n(n+k)=1k1n-1n+k72n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-121n+n+k =1k(n+k-n)8a-1a n(a n+b)(a n+1+b)=1a n+b-1a n+1+b31n2-1=121n-1-1n+19n+2n(n+1)2n=1n2n-1-1n+12n41(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+110n⋅2n-1(n+1)(n+2)=2nn+2-2n-1n+154n2(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1+1111n(n2+1)=121(n-1)n-1n(n+1)61n2(n+2)2=141n2-1(n+2)2121n(n+1)(n+2)=121n(n+1)-1(n+1)(n+2)2.裂项的步骤（以表中7举例）①先只观察分母并对其因式分解：(2n-1)(2n+1-1)；②把分母中的两个因式分开并取倒数，然后做差：12n-1-12n+1-1；③通分：12n-1-12n+1-1=(2n+1-1)-(2n-1)(2n-1)(2n+1-1)=2n(2n-1)(2n+1-1);④跟原式进行比较来配平系数：系数为1.因此2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-13.裂项相消的注意事项①有时分母因式分解有三个因式（如11、12），这时需要把中间大小的重复利用两次，两两一组，分开，再取倒数做差；②裂项相消过程中，抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，因此一次要真实相消；4.裂项相消的两种题型(1)直接考查裂项相消法求和．(2)与不等式相结合考查裂项相消法求和．解决第(2)类问题应分两步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放缩法、单调性等证明不等式．裂项相消法求和在历年高考中曾多次出现，命题角度凸显灵活多变．在解题中，要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列{a n}的通项公式，达到求解的目的．一形如b n =1a n a n +1({a n }为等差数列)型5.已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4=26，a 1，a 3，a 11成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列1S n +n的前n 项和为T n ，求T n .二形如a n =1n +k +n型6.(2021·西安八校联考)已知函数f (x )=x α的图象过点(4,2)，令a n =1f (n +1)+f (n )，n ∈N +.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2022等于()A.2021-1B.2022-1C.2023-1D.2023+1三形如b n =a n(a n +k )(a n +1+k )({a n }为等比数列)型7.(2021·辽宁凌源二中联考)已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且a n >0,6S n =a 2n +3a n ，n ∈N *，b n =2a n(2a n -1)(2a n +1-1)，若对任意的n ∈N *，k >T n 恒成立，则k 的最小值是()A.17B.49C.149D.8441四带(-1)n的特殊裂项相消类型8.（2022.临沂一模，20）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，4S n=a n+1a n+1(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列b n满足a n b n a n+1=(-1)n n，求b n的前2n项和T2n(n∈N*).8.(角度1)在数列{a n}中，a n=1n+1+2 n+1+⋯+nn+1，又b n=1a n a n+1，则数列{b n}的前n项和S n=.9.(角度2)求和S=11+3+13+5+⋯+1119+121=( )A.5B.4C.10D.910.(角度3){a n}是等比数列，a2=12，a5=116，b n=a n+1(a n+1)(a n+1+1)，则数列{b n}的前n项和为( )A.2n-12(2n+1)B.2n-12n+1C.12n+1D.2n-12n+211.已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4 =9，a2a3=8．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设S n为数列{a n}的前n项和，b n=a n+1S n S n+1，求数列{b n}的前n项和T n．四错位相减法解题通法1.用错位相减法解决数列求和的模板第一步：(判断结构)若数列{a n·b n}是由等差数列{a n}与等比数列{b n}(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和．第二步：(乘公比)设{a n·b n}的前n项和为T n，然后两边同乘以q.第三步：(错位相减)乘以公比q后，向后错开一位，使含有q k(k∈N*)的项对齐，然后两边同时作差．第四步：(求和)将作差后的结果求和化简，从而表示出T n.2.用错位相减法求和应注意的问题(1)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n-qS n”的表达式．(2)“S n-qS n”化简的关键是化为等比数列求和，一定要明确求和的是n项还是n-1项，一般是n-1项．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论求解．3.错位相减法的快捷公式S n=An+Bq n-B(利用a n解出S1，S2解关于A和B的一元二次方程组即可)9.(2022·陕西榆林·三模)已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=3a n-9.(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=a n⋅log3a n+1，求数列{b n}的前n项和T n.12.(2020·课标Ⅰ，17节选)已知数列{a n}的通项公式a n=n(-2)n-1，求{a n}的前n项和S n．13.(2021·全国乙)设a n是首项为1的等比数列，数列b n满足b n=na n3.已知a1,3a2,9a3成等差数列．(1)求a n和b n的通项公式；(2)记S n和T n分别为a n和b n的前n项和．证明：T n<S n2.14.1+2x+3x2+⋯+nx n-1=.(其中x≠0)15.在数列{a n}中，任意相邻两项为坐标的点P(a n，a n+1)均在直线y=2x+k上，数列{b n}满足条件：b1=2，b n=a n+1-a n(n∈N*)．(1)求数列{b n}的通项公式；(2)若c n=b n∙log21bn，求数列{c n}的前n项和S n．16.已知等差数列{a n}公差不为零，且满足：a1= 2，a1，a2，a5成等比数列．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=3n a n，求数列{b n}的前n项和．17.(2022·河南)已知在数列a n中，a1=1，a2= 2，a n+2=4a n n∈N*．(1)求a n的通项公式；(2)记b n=3n-5a n，求数列b n的前n项和T n．跟踪测验1已知数列{a n }满足a 1=1，且对任意的n ∈N *都有a n +1=a 1+a n +n ，则1a n的前100项和为( )A.100101 B.99100　C.101100D.2001012已知F (x )=f x +12-1是R 上的奇函数，a n =f (0)+f 1n +f 2n +⋯+f n -1n+f (1)(n∈N *)，则数列a n 的通项公式为( )A.a n =n B.a n =2n C.a n =n +1D.a n =n 2-2n +33(2021·哈尔滨三中期末)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n =(-1)n (2n -1)，则S 2023=( )A.2021 B.-2021C.-2023　D.20234已知数列{a n }满足：a 1为正整数，a n +1=a n2，a n 为偶数3a n +1，a n 为奇数，如果a 1=1，则a 1+a 2+a 3+⋯+a 2018=.5(2021·山东省济南市历城二中高三模考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1=3，b 1=1，b 2+S 2=10，a 5-2b 2=a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n =2S n ，n 为奇数b n ，n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和T n ，求T 2n .6(2020·天津，19)已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1=b 1=1，a 5=5(a 4-a 3)，b 5=4(b 4-b 3)．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n S n +2<S 2n +1(n∈N *)；(3)对任意的正整数n ，设c n =(3a n -2)b n a n a n +2，n 为奇数，a n -1b n +1，n 为偶数. 求数列{c n }的前2n 项和．7(2021·浙江，20,15分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=-94，且4S n +1=3S n -9(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足3b n +(n -4)a n =0(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为T n ，若T n ≤λb n 对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．8(2021·湖南岳阳一模，18)已知数列{a n}满足a1=1，且点(a n，a n+1-2n)在函数f(x)=3x的图象上．(1)求证：a n2n+1是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)若b n=a n+1a n，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n>3n+23.9已知数列{a n}的前n项和S n=-12n2+ kn(其中k∈N*)，且S n的最大值为8．(1)确定常数k，并求a n；(2)若数列9-2a n2n的前n项和为Tn.试证明：T n<4．10已知数列{a n}的前n项和S n=-a n-12 n-1 +2，数列{b n}满足b n=2n a n．(1)证明：数列{b n}是等差数列；(2)设c n=n(n+1)2n(n-a n)(n+1-a n+1)，求数列{c n}的前n项和T n．11已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n-na n =3n(n∈N*)，且a2=5．(1)证明数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；(2)设b n=1a n a n+1+a n+1a n，T n为数列{b n}的前n项和，求使T n>310成立的最小正整数n的值．12记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n =2a n -2n +1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n =(-1)n ·log 223(a n +4)-43，求数列{b n }的前n 项和T n .13已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，b 1=2，数列{a n ⋅b n }的前n 项和为(n -1)⋅2n +1+2．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式．(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，c n =4S n ⋅t n -1n (n +1)b n ，t ≠0，求c 1b n +c 2b n -1+⋯+c n b 1．14(2023·菏泽模拟)已知数列{a n }中，a 1=1，它的前n 项和S n 满足2S n +a n +1=2n +1-1.(1)证明：数列a n -2n3 为等比数列；(2)求S 1+S 2+S 3+⋯+S 2n ；(3)求S 1+S 2+S 3+⋯+S n .15已知正项数列a n 的前n 项和为S n ，满足32S n=1a n -2-1a n +4.(1)求数列a n 的通项公式；(2)求数列-1 n S n -3n 的前n 项和T n .16(2022·山东日照·模拟预测)已知数列a n 中，a 1=1，a 2=2，a n +2=ka n (k ≠1)，n ∈N ∗，a 2+a 3，a 3+a 4，a 4+a 5成等差数列．(1)求k 的值和a n 的通项公式；(2)设b n =a 2n ，n 为奇数log 2a n ，n 为偶数 ，求数列b n 的前n 项和S n ．17(2022·全国·高三专题练习)已知等差数列a n的前n项和为S n，且S5=25,a2+a5+a10=31.(1)求数列a n的通项公式以及前n项和S n；(2)若b n=2a n,n为奇数1a n a n+2,n为偶数，求数列b n 的前2n-1项和T2n-1.18(2022·沈阳第一二〇中学高三月考)已知数列a n的前n项和S n=a n a n+12，且a n>0．(1)证明：数列a n为等差数列；(2)若b n=a n⋅2na n+1⋅a n+2，求数列b n的前n项和T n．。

专题数列一、单选题1(全国甲卷数学(文))等差数列a n 的前n 项和为S n ，若S 9=1，a 3+a 7=()A.-2B.73C.1D.292(全国甲卷数学(理))等差数列a n 的前n 项和为S n ，若S 5=S 10，a 5=1，则a 1=()A.-2B.73C.1D.23(新高考北京卷)记水的质量为d =S -1ln n，并且d 越大，水质量越好．若S 不变，且d 1= 2.1，d 2=2.2，则n 1与n 2的关系为()A.n 1<n 2B.n 1>n 2C.若S <1，则n 1<n 2；若S >1，则n 1>n 2；D.若S <1，则n 1>n 2；若S >1，则n 1<n 2；二、填空题4(新课标全国Ⅱ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3+a 4=7，3a 2+a 5=5，则S 10=.5(新高考上海卷)无穷等比数列a n 满足首项a 1>0,q >1，记I n =x -y x ,y ∈a 1,a 2 ∪a n ,a n +1 ，若对任意正整数n 集合I n 是闭区间，则q 的取值范围是．三、解答题6(新课标全国Ⅰ卷)设m 为正整数，数列a 1,a 2,...,a 4m +2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a i 和a j i <j 后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a 1,a 2,...,a 4m +2是i ,j -可分数列．(1)写出所有的i ,j ，1≤i <j ≤6，使数列a 1,a 2,...,a 6是i ,j -可分数列；(2)当m ≥3时，证明：数列a 1,a 2,...,a 4m +2是2,13 -可分数列；(3)从1,2,...,4m +2中一次任取两个数i 和j i <j ，记数列a 1,a 2,...,a 4m +2是i ,j -可分数列的概率为P m ，证明：P m >18．7(新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C :x 2-y 2=m m >0 ，点P 15,4 在C 上，k 为常数，0<k <1．按照如下方式依次构造点P n n =2,3,... ，过P n -1作斜率为k 的直线与C 的左支交于点Q n -1，令P n 为Q n -1关于y 轴的对称点，记P n 的坐标为x n ,y n .(1)若k =12，求x 2,y 2；(2)证明：数列x n -y n 是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n 为△P n P n +1P n +2的面积，证明：对任意的正整数n ，S n =S n +1.8(全国甲卷数学(文))已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，且2S n =3a n +1-3.2024年高考真题(1)求a n 的通项公式；(2)求数列S n 的通项公式.9(全国甲卷数学(理))记S n 为数列a n 的前n 项和，且4S n =3a n +4．(1)求a n 的通项公式；(2)设b n =(-1)n -1na n ，求数列b n 的前n 项和为T n ．10(新高考北京卷)设集合M =i ,j ,s ,t i ∈1,2 ,j ∈3,4 ,s ∈5,6 ,t ∈7,8 ,2i +j +s +t ．对于给定有穷数列A :a n 1≤n ≤8 ，及序列Ω:ω1,ω2,...,ωs ，ωk =i k ,j k ,s k ,t k ∈M ，定义变换T ：将数列A 的第i 1,j 1,s 1,t 1项加1，得到数列T 1A ；将数列T 1A 的第i 2,j 2,s 2,t 2列加1，得到数列T 2T 1A ⋯；重复上述操作，得到数列T s ...T 2T 1A ，记为ΩA ．(1)给定数列A :1,3,2,4,6,3,1,9和序列Ω:1,3,5,7 ,2,4,6,8 ,1,3,5,7 ，写出ΩA ；(2)是否存在序列Ω，使得ΩA 为a 1+2,a 2+6,a 3+4,a 4+2,a 5+8,a 6+2,a 7+4,a 8+4，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且a 1+a 3+a 5+a 7为偶数，证明：“存在序列Ω，使得ΩA 为常数列”的充要条件为“a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8”．11(新高考天津卷)已知数列a n 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为S n ．若a 1=1,S 2=a 3-1．(1)求数列a n 前n 项和S n ；(2)设b n =k ,n =a kb n -1+2k ,a k <n <a k +1，b 1=1，其中k 是大于1的正整数．(ⅰ)当n =a k +1时，求证：b n -1≥a k ⋅b n ；(ⅱ)求S ni =1b i ．12(新高考上海卷)若f x =log a x (a >0,a ≠1)．(1)y =f x 过4,2 ，求f 2x -2 <f x 的解集；(2)存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列，求a 的取值范围．一、单选题1(2024·重庆·三模)已知数列a n 的前n 项和为S n ,a 1=1,S n +S n +1=n 2+1n ∈N ∗ ,S 24=()A.276B.272C.268D.2662(2024·河北张家口·三模)已知数列a n 的前n 项和为S n ，且满足a 1=1,a n +1=a n +1,n 为奇数2a n ,n 为偶数 ，则S 100=()A.3×251-156B.3×251-103C.3×250-156D.3×250-1033(2024·山东日照·三模)设等差数列b n 的前n 项和为S n ，若b 3=2，b 7=6，则S 9=()A.-36B.36C.-18D.184(2024·湖北武汉·二模)已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，若S 3=9,S 9=81，则S 12=()A.288B.144C.96D.255(2024·江西赣州·二模)在等差数列a n 中，a 2，a 5是方程x 2-8x +m =0的两根，则a n 的前6项和为()A.48B.24C.12D.86(2024·湖南永州·三模)已知非零数列a n 满足2n a n +1-2n +2a n =0，则a 2024a 2021=()A.8B.16C.32D.647(2024·浙江绍兴·二模)汉诺塔(Tower of Hanoi )，是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图所示，有三根相邻的标号分别为A 、B 、C 的柱子，A 柱子从下到上按金字塔状叠放着n 个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B 上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为H n ，例如：H (1)=1，H (2)=3，则下列说法正确的是()A.H (3)=5B.H (n ) 为等差数列C.H (n )+1 为等比数列D.H 7 <1008(2024·云南曲靖·二模)已知S n 是等比数列a n 的前n 项和，若a 3=3,S 3=9，则数列a n 的公比是()A.-12或1 B.12或1 C.-12D.129(2024·四川·模拟预测)已知数列a n 为等差数列，且a 1+2a 4+3a 9=24，则S 11=()A.33B.44C.66D.8810(2024·北京东城·二模)设无穷正数数列a n ，如果对任意的正整数n ，都存在唯一的正整数m ，使得a m =a 1+a 2+a 3+⋯+a n ，那么称a n 为内和数列，并令b n =m ，称b n 为a n 的伴随数列，则()A.若a n 为等差数列，则a n 为内和数列B.若a n 为等比数列，则a n 为内和数列C.若内和数列a n 为递增数列，则其伴随数列b n 为递增数列D.若内和数列a n 的伴随数列b n 为递增数列，则a n 为递增数列11(2024·广东茂名·一模)已知T n 为正项数列a n 的前n 项的乘积，且a 1=2,T 2n =a n +1n ，则a 5=()A.16B.32C.64D.12812(2024·湖南常德·一模)已知等比数列a n 中，a 3⋅a 10=1，a 6=2，则公比q 为()A.12B.2C.14D.4二、多选题13(2024·湖南长沙·三模)设无穷数列a n的前n项和为S n，且a n+a n+2=2a n+1，若存在k∈N∗，使S k+1 >S k+2>S k成立，则()A.a n≤a k+1B.S n≤S k+1C.不等式S n<0的解集为n∈N∗∣n≥2k+3D.对任意给定的实数p，总存在n0∈N∗，当n>n0时，a n<p14(2024·山东泰安·模拟预测)已知数列a n的通项公式为a n=92n-7n∈N*，前n项和为S n，则下列说法正确的是()A.数列a n有最大项a4 B.使a n∈Z的项共有4项C.满足a n a n+1a n+2<0的n值共有2个D.使S n取得最小值的n值为415(2024·山东临沂·二模)已知a n是等差数列，S n是其前n项和，则下列命题为真命题的是() A.若a3+a4=9，a7+a8=18，则a1+a2=5 B.若a2+a13=4，则S14=28C.若S15<0，则S7>S8D.若a n和a n⋅a n+1都为递增数列，则a n>0 16(2024·山东泰安·二模)已知等差数列a n的前n项和为S n，a2=4，S7=42，则下列说法正确的是()A.a 5=4B.S n=12n2+52nC.a nn为递减数列 D.1a n a n+1的前5项和为421 17(2024·江西·三模)已知数列a n满足a1=1,a n+1=2a n+1，则()A.数列a n是等比数列 B.数列log2a n+1是等差数列C.数列a n的前n项和为2n+1-n-2 D.a20能被3整除18(2024·湖北·二模)无穷等比数列a n的首项为a1公比为q，下列条件能使a n既有最大值，又有最小值的有()A.a1>0，0<q<1B.a1>0，-1<q<0C.a1<0，q=-1D.a1<0，q<-1三、填空题19(2024·山东济南·三模)数列a n满足a n+2-a n=2，若a1=1，a4=4，则数列a n的前20项的和为．20(2024·云南·二模)记数列a n的前n项和为S n，若a1=2,2a n+1-3a n=2n，则a82+S8=.21(2024·上海·三模)数列a n满足a n+1=2a n(n为正整数)，且a2与a4的等差中项是5，则首项a1= 22(2024·河南·三模)数列a n满足a n+1=e a n-2n∈N*，a2+a3=3x0，其中x0为函数y=e x-2-x2(x> 1)的极值点，则a1+a2-a3=.23(2024·上海·三模)已知两个等差数列2，6，10，⋯，202和2，8，14，⋯，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为．24(2024·湖南长沙·三模)已知数列a n 为正项等比数列，且a 2-a 3=3，则a 1的最小值为.四、解答题25(2024·黑龙江·三模)已知等差数列a n 的公差d >0，a 2与a 8的等差中项为5，且a 4a 6=24.(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =a n ,n 为奇数，1a n an +2,n 为偶数，求数列b n 的前20项和T 20.26(2024·湖南长沙·三模)若各项均为正数的数列c n 满足c n c n +2-c 2n +1=kc n c n +1(n ∈N *,k 为常数)，则称c n 为“比差等数列”.已知a n 为“比差等数列”，且a 1=58,a 2=1516,3a 4=2a 5.(1)求a n 的通项公式；(2)设b n =a n ,n 为奇数b n -1+1,n 为偶数，求数列b n 的前n 项和S n .27(2024·山东潍坊·三模)已知正项等差数列a n的公差为2，前n项和为S n，且S1+1，S2，S3+1成等比数列.(1)求数列a n的通项公式a n；(2)若b n=1S n,n为奇数，S n⋅sin n-1π2,n为偶数，求数列b n 的前4n项和.28(2024·上海·三模)已知等比数列a n的公比q>0，且a3+a1a5=6，a6=16．(1)求a n的通项公式；(2)若数列b n满足b n=λ⋅3n-a n，且b n是严格增数列，求实数λ的取值范围．29(2024·山东泰安·模拟预测)在足球比赛中，有时需通过点球决定胜负．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有23的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为p n，易知p1=1,p2=0．① 试证明：p n-1 3为等比数列；② 设第n次传球之前球在乙脚下的概率为q n，比较p2024与q2024的大小．30(2024·湖南邵阳·三模)高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数z=a+bi对应复平面内的点Z，设∠XOZ=θ，OZ=r，则任何一个复数z=a+bi都可以表示成：z=r cosθ+i sinθ的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若0≤θ<2π，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz.复数有以下三角形式的运算法则：若z i=r i cosθi+i sinθi,i=1,2,⋯n，则：z1⋅z2⋅⋯⋅z n=r1r2⋯r n cosθ1+θ2+⋯+θn+i sinθ1+θ2+⋯+θn，特别地，如果z1=z2=⋯z n=r cosθ+i sinθ，那么r cosθ+i sinθn=r n cos nθ+i sin nθ，这个结论叫做棣莫弗定理.请运用上述知识和结论解答下面的问题：(1)求复数z=1+cosθ+i sinθ，θ∈π,2π的模z 和辐角主值argz(用θ表示)；(2)设n≤2024，n∈N，若存在θ∈R满足sinθ+i cosθn=sin nθ+i cos nθ，那么这样的n有多少个？(3)求和：S=cos20°+2cos40°+3cos60°+⋯+2034cos2034×20°31(2024·湖南长沙·二模)集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合A 和B ，定义和集A +B =a +b a ∈A ,b ∈B ，用符号d (A +B )表示和集A +B 内的元素个数.(1)已知集合A =1,3,5 ，B =1,2,6 ，C =1,2,6,x ，若A +B =A +C ，求x 的值；(2)记集合A n =1,2,⋯,n ，B n =2,22,⋯,n 2 ，C n =A n +B n ，a n 为C n 中所有元素之和，n ∈N *，求证：1a 1+2a 2+⋯+n a n <2(2-1)；(3)若A 与B 都是由m m ≥3,m ∈N * 个整数构成的集合，且d (A +B )=2m -1，证明：若按一定顺序排列，集合A 与B 中的元素是两个公差相等的等差数列.32(2024·山东泰安·模拟预测)已知数列a n 是斐波那契数列，其数值为：1,1,2,3,5,8,13,21,34⋅⋅⋅⋅⋅⋅.这一数列以如下递推的方法定义：a 1=1，a 2=1，a n +2=a n +1+a n (n ∈N *).数列b n 对于确定的正整数k ，若存在正整数n 使得b k +n =b k +b n 成立，则称数列b n 为“k 阶可分拆数列”.(1)已知数列c n 满足c n =ma n (n ∈N *，m ∈R ).判断是否对∀m ∈R ，总存在确定的正整数k ，使得数列c n 为“k 阶可分拆数列”，并说明理由.(2)设数列{d n }的前n 项和为S n =3n -a a ≥0 ，(i )若数列{d n }为“1阶可分拆数列”，求出符合条件的实数a 的值；(ii )在(i )问的前提下，若数列f n 满足f n =an S n，n ∈N *，其前n 项和为T n .证明：当n ∈N *且n ≥3时，T n <a 21+a 22+a 23+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a 2n -a n a n +1+1成立.。

数列求和掌握小学生数列求和的技巧数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。

数列求和是常见的数学问题，对于小学生来说，掌握数列求和的技巧可以帮助他们更好地理解数学知识。

本文将介绍几种应用于小学生数列求和的方法，并帮助他们加深对数列求和的理解。

一、等差数列求和等差数列是一种常见的数列形式，它的特点是相邻两项之间的差值是一个固定的常数。

为了求解等差数列的和，我们可以使用以下公式：Sn = (a1 + an) × n / 2其中，Sn表示等差数列的前n项和，a1表示第一项的值，an表示第n项的值，n表示项数。

例如，求解1，4，7，10，13……的前10项和，我们可以进行如下步骤：1. 确定a1=1，an=?，n=10；2. 通过计算，我们可以得到an = a1 + (n-1)×d = 1 + (10-1)×3 = 28；3. 将a1，an，n带入公式Sn = (a1 + an) × n / 2，即可得到Sn = (1 +28) × 10 / 2 = 145。

二、等比数列求和等比数列是一种常见的数列形式，它的特点是相邻两项之间的比值是一个固定的常数。

为了求解等比数列的和，我们可以使用以下公式：S = a（q^n-1）/ (q - 1)其中，S表示等比数列的前n项和，a表示第一项的值，q表示公比，n表示项数。

例如，求解2，6，18，54……的前5项和，我们可以进行如下步骤：1. 确定a=2，q=?，n=5；2. 通过计算，我们可以得到q = a2 / a1 = 6 / 2 = 3；3. 将a，q，n带入公式S = a（q^n-1）/ (q - 1)，即可得到S = 2（3^5-1）/ (3 - 1) = 242。

三、奇数数列求和奇数数列是一种特殊的数列形式，它的特点是每一项都是连续的奇数。

为了求解奇数数列的和，我们可以使用以下公式：Sn = n^2其中，Sn表示奇数数列的前n项和，n表示项数。

高二数学数列求和试题答案及解析1.已知数列的前项和为，且，；数列中，点在直线上．（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前和为，求；【答案】（1），（2）【解析】（1）求数列的通项公式用公式法即可推导数列为等比数列，根据等比数列通项公式可求。

求的通项公式也用公式法，根据已知条件可知数列为等差数列，根据等差数列的通项公式可直接求得。

（2）用列项相消法求和。

试题解析：解：（1）∵，∴当时，…2分所以，即∴数列是等比数列．∵，∴∴． 5分∵点在直线上，∴，即数列是等差数列，又，∴．…7分（2）由题意可得，∴， 9分∴，…10分∴． 14分【考点】1求数列的通向公式；2数列求和。

2.数列的通项公式，则该数列的前（）项之和等于.A．B．C．D．【答案】B【解析】，令，解得.故选B.【考点】数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）3.设数列中，，则通项 ___________．【答案】．【解析】由已知得，即数列后项与前项的差，求它的通项公式的方法是的累加法，，＝．【考点】数列的求和．4.已知数列的前n项和，则（）A．20B．19C．18D．17【答案】C【解析】当时，有【考点】数列求通项点评：由数列前n项和求通项5.观察下列三角形数表：第一行第二行第三行第四行第五行………………………………………….假设第行的第二个数为.（1）依次写出第八行的所有8个数字；（2）归纳出的关系式，并求出的通项公式.【答案】（1）根据已知条件可知每一个数字等于肩上两个数之和，那么可知第八行中的8个数字为8,29,63,91,91,63,29,8（2）【解析】(1)8,29,63,91,91,63,29,8(规律：每行除首末数字外，每个数等于其肩上两数字之和)（2）由已知：，所以有：，, ,……,,将以上各式相加的：所以的通项公式为：。

【考点】累加法求解数列的通项公式点评：主要是考查了递推关系式的运用，结合累加法来求解数列的通项公式，属于基础题。

求数列的前n 项和求数列的前n 项和S n 是数列中常考的一大专题，其方法有公式法、倒序相加(乘)法、分组求和法与裂项相消法等，在掌握这些方法的时候要注意方法的适用范围，其中的计算量有些大，技巧性也较强，需要多加以理解与总结.【方法一】公式法若已知数列是等差或等比数列，求其前n 项和可直接使用对应的公式；若求和的式子对应某些公式，也可以直接使用.常见如下 (1) 等差数列求和公式S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n−1)2d(2) 等比数列求和公式S n ={na 1 ,q =1a 1(1−q n )1−q,q ≠1(3) 12+22+32+⋯+n 2=n (n+1)(2 n+1)6(4) 13+23+33+⋯+n 3=[n (n+1)2]2.【典题1】求和式3+6+12+⋯+3∙2n−2，先思考它是几项之和再求和.(n∈N∗)．【典题2】已知等比数列{a n}前n项和为S n，且S n=a n+1−132(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=log2a n，求数列{|b n|}的前n项和T n．巩固练习1 (★★) 求和式1+4+7+⋯+(3n+1).2 (★★) 已知{a n}是等差数列，公差d≠0，a1=1，且a1 ,a3 ,a9成等比数列，求数列{2a n}的前n项和S n．3 (★★) 已知等差数列{a n}前三项的和为－3，前三项的积为15，(1)求等差数列{a n}的通项公式；(2)若公差d>0，求数列{|a n|}的前n项和T n．4 (★★★) 设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．(1)求数列{a n}的等差数列．(2)令b n=lna3n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【方法二】倒序相加(乘)法1 对于某个数列{a n }，若满足a 1+a n =a 2+a n−1=⋯=a k +a n−k+1，则求前n 项和S n 可使用倒序相加法. 具体解法：设S n =a 1+a 2+⋯+a n−1+a n ① 把①反序可得S n =a n +a n−1+⋯+a 2+a 1 ②由①+②得2S n =(a 1+a n )+(a 2+a n−1)+⋯+(a n−1+a 2)+(a n +a 1)⇒S n =(a 1+a n )n2.2 对于某个数列{a n }，若满足a 1a n =a 2a n−1=⋯=a k a n−k+1，则求前n 项积T n 可使用倒序相乘法.具体解法类同倒序相加法.【典题1】 设f(x)=14x +2，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f(－3)+f(－2)+⋯+f(0)+⋯+f(3)+f(4)的值为 ．【典题2】 求sin 21∘+sin 22∘+sin 23∘+⋯+sin 288∘+sin 289∘的值【典题3】 设函数f (x )=x2x +√2的图象上两点P 1(x 1 ,y 1)、P 2(x 2 ,y 2)，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，且点P 的横坐标为12．(1)求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值； (2)求S n =f (1n )+f (2n )+⋯+f(n−1n)+f(nn).巩固练习1 (★★) 设等差数列{a n}，公差为d，求证：{a n}的前n项和S n=(a1+a n)n2.2(★★) 设f(x)=(x−1)3+1，求f(－4)+⋯+f(0)+⋯+f(5)+f(6)的值为.3(★★) 设函数f(x)=x21+x2，求f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)的值．【方法三】分组求和法1 若数列{c n}中通项公式c n=a n+b n，可分成两个数列{a n}，{b n}之和，则数列{c n}的前n项和等于两个数列{a n}，{b n}的前n项和的和.2 常见的是c n=等差+等比形式3 等比数列的通项公式形如a n=kn+b，等差数列的通项公式形如a n=A∙B n.【典题1】求数列{3n+2n−1}的前n项和S n.【典题2】已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=5a1，S3−a2=8．(2)若数列{b n }满足(n ×2n +S n )b n =a n ，求数列{1b n }的前n 项和T n ．【典题3】 设数列{a n }满足a 1=1，a n+1a n=2n (n ∈N ∗)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =log 2a n ，求数列b 2+b 3+⋯+b 100的值． 巩固练习1 (★★) 已知数列{a n }的通项a n =2n +n ，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 8= ．2 (★★) 数列112，214，318，…，n +12n 的前n 项和为S n = ．3 (★★★) 已知数列{a n }是等比数列，公比为q ，数列{b n }是等差数列，公差为d ，且满足：a 1=b 1=1，b 2+b 3=4a 2，a 3－3b 2=－5． (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n =a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和S n ．4(★★★) 已知公差不为0的等差数列{a n }的前9项和S 9=45，且第2项、第4项、第8项成等比数列．(2)若数列{b n }满足b n =a n +(12)n−1，求数列{b n }的前n 项和T n ．【方法四】 错位相减法当数列{a n } 的通项公式a n =b n ⋅ c n ,其中{b n } 为等差数列, {c n } 为等比数列.【典题1】 已知递增的等比数列{a n }满足a 2+a 3+a 4=28，且a 3+2是a 2 ,a 4的等差中项． ( 1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n =a n ⋅log 12a n ，S n ＝b 1+b 2+⋯+b n ，求S n ．【典题2】 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n 2+a n −2S n =0(n ∈N ∗)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{b n}的前n项和为T n，若b n=(2a n−7)2n，求T n；(3)求数列{T n}的最小项．巩固练习1 (★★★) 设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b n=2(a n−1)，求数列{b n}的前n项和R n．4n2 (★★★) 正项数列{a n}的前n项和为S n，且8S n=(a n+2)2(n∈N∗)．(1)求a1，a2的值及数列{a n}的通项公式；(2)记c n=a n，数列{c n}前n的和为T n，求证：T n<2．3n3 (★★★) 已知等比数列{a n}满足a1=2，a2=4(a3−a4)，正项数列{b n}前n项和为S n，且2√S n=b n+1．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)令c n=b n，求数列{c n}的前n项和T n；a n(3)若λ>0，求对所有的正整数n都有2λ2−kλ+2>a2n b n成立的k的取值范围．4(★★★) 已知数列{a n}满足：(n+1)a n+1−(n+2)a n=(n+1)(n+2)(n∈N∗)且a1=4，数列{b n}的前n 项和S n满足：S n=2b n−1(n∈N∗)．(1)证明数列{a nn+1}为等差数列，并求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)若c n=(√a n−1)b n+1，数列{c n}的前n项和为T n，对任意的n∈N∗，T n≤nS n+1−m−2恒成立，求实数m的取值范围．【方法五】裂项相消法常见裂项公式(1)1n(n+1)=1n−1n+1，1n(n+k)=1k(1n−1n+k)；(2)√n+1+√n =√n+1−√n，√n+k+√n=1k(√n+k−√n).【典题1】设等差数列{a n}满足a2=5，a6+a8=30，则数列{1a n2−1}的前n项的和等于．【典题2】数列{a n}的通项公式a n=√n+2+√n+3，则该数列的前n项和S n等于.【典题3】等比数列{a n}中，a1=2，q=2，数列b n=a n+1(a n+1−1)(a n−1)，{b n}的前n项和为T n，则T10的值为．【典题4】已知数列{a n}满足a n≠0，a1=13，a n−1−a n＝2a n a n−1(n≥2 ,n∈N∗)．(1)求证：{1a n }是等差数列；(2)证明：a12+a22+⋯+a n2<14．巩固练习1 (★★) 数列{a n}满足a n=1(2n+1)(2n+3),n∈N∗，其前n项和为S n．若S n<M恒成立，则M的最小值为．2 (★★★) 已知正项数列{a n}的前n项和为S n，对∀n∈N∗有2S n=a n2+a n，令b n=a√a+a√a，设{b n}的前n项和为T n，则在T1 ,T2 ,T3 ,… ,T100中有理数的个数为．3 (★★★) 已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=2，S n=a n+1−2n+2+2 ,n∈N∗．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2na n ，记数列{b n b n+1}的前n项和为T n，证明：12≤T n<1．4(★★★) 已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a na n+1．(1)证明：数列{1a n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a nn+2，求数列{b n}前n项和S n．5 (★★★) 设数列{a n}的前n项和为S n，已知a n>0，a n2+2a n=4S n+3．(1)求{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n=2n+1n2(a n+1−1)2，求{b n}的前n项和T n．6 (★★★★) 设S n为数列{a n}的前n项和，且S n+1=3S n+4n(n∈N∗)，a1=0．(1)求证：数列{a n+2}是等比数列；(2)若对任意T n 为数列{a n +2(a n +4)(a n+1+4)}的前n 项和，求证：T n <12．7(★★★★) 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=2，6S n =3na n+1−2n(n +1)(n +2)，n ∈N ∗． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1+1a 2+⋯+1a n<56．。

《数学小学数列求和方法》数学小学数列求和方法一、引言数列求和是数学中常见的问题，特别在小学阶段。

求和是指将一个数列中的所有数相加的操作，通过求和，我们可以发现数列的规律，进而解决问题。

本文将介绍一些小学数列求和的常见方法。

二、等差数列的求和方法等差数列是一种数列，其中每个项与前一项的差都是常数。

例如：1，3，5，7，9。

求解等差数列的和可以采用以下两种方法。

1. 数学公式方法等差数列的求和公式是常用的方法之一。

对于一个等差数列：a，a+d，a+2d，...，a+(n-1)d，其中a为首项，d为公差，n为项数。

求和公式为：Sn =n/2(2a + (n-1)d)。

例如：求和数列1，3，5，7，9的和，则a=1，d=2，n=5，代入求和公式即可得到结果。

2. 图形法图形法是另一种求解等差数列求和的方法。

将等差数列的项数表示在纵轴上，将数列的数值表示在横轴上，通过连接数列的首项和末项，形成一个矩形。

然后，计算矩形的面积，即可得到等差数列的和。

例如：对于数列1，3，5，7，9，首项为1，公差为2，共有5个数，通过图形法即可得到和为25。

三、等比数列的求和方法等比数列是一种数列，其中每个项与前一项的比都是常数。

例如：1，2，4，8，16。

求解等比数列的和可以采用以下两种常见的方法。

1. 数学公式方法等比数列的求和公式是常用的方法之一。

对于一个等比数列：a，ar，ar^2，...，ar^(n-1)，其中a为首项，r为公比，n为项数。

求和公式为：Sn = a(r^n - 1)/(r -1)。

例如：求和数列1，2，4，8，16的和，则a=1，r=2，n=5，代入求和公式即可得到结果。

2. 分数法分数法是另一种求解等比数列求和的方法。

通过将等比数列中的每一项表示成分数形式，然后将所有的分数相加，进而得到数列的和。

例如：对于数列1，2，4，8，16，可以将每一项表示成分数形式（1/1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16），将这些分数相加，即可得到数列的和。

高考数学专题 数列中分组求和法问题【高考真题】2022年没考查【方法总结】分组转化法求和有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个可求和的数列，先分别求和，然后再合并．(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为可求和的数列(等差或等比数列)，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是可求和的数列(等比数列或等差数列)，可采用分组求和法求和．【题型突破】1．已知数列{a n }为等差数列，其中a 5＝3a 2，a 2＋a 3＝8．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }中，b 1＝1，b 2＝2，从数列{a n }中取出第b n 项记为c n ，若{c n }是等比数列，求{b n }的前n 项和．2．已知递增等比数列{a n }的前三项之积为8，且这三项分别加上1，2，2后又成等差数列．(1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n ＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．3．已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且a 1＝2，S 3＝12．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋4n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．4．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2，a 3＋a 4＝32⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 4． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．5．已知各项都不相等的等差数列{a n }，a 6＝6，又a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n a＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．6．由整数构成的等差数列{a n }满足a 3＝5，a 1a 2＝2a 4．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，将数列{a n }，{b n }的所有项按照“当n 为奇数时，b n放在前面；当n 为偶数时，a n 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{c n }，b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，求数列{c n }的前(4n ＋3)项和T 4n ＋3．7．若数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －λ(λ>0，n ∈N *)．(1)证明数列{a n }为等比数列，并求a n ；(2)若λ＝4，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，log 2a n ，n 为偶数(n ∈N *)，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ． 8．已知数列{a n }为等比数列，首项a 1＝4，数列{b n }满足b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 2＋b 3＝12．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令c n ＝4b n ·b n ＋1＋a n ，求数列{c n }的前n 项和S n ． 9．已知数列{a n }为等比数列，首项a 1＝4，数列{b n }满足b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 2＋b 3＝12．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令c n ＝4b n ·b n ＋1＋a n ，求数列{c n }的前n 项和S n ． 10．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 3＝4，a 3是a 2－2与a 4的等差中项，若a n ＋1＝2n b (n ∈N *)．(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若数列{}c n 满足c n ＝a n ＋1＋1b 2n －1·b 2n ＋1，求数列{}c n 的前n 项和S n ． 11．(2019·天津)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0．已知a 1＝b 1＝3，b 2＝a 3，b 3＝4a 2＋3．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，b n 2，n 为偶数.求a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N *)． 12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝－3S n ＋4，b n ＝－log 2a n ＋1．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n ＝b n 2n ＋1＋1n (n ＋1)，其中n ∈N *，若数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n ． 13．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记S n 为{a n }的前n 项和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *． (1)判断数列{b n }是否为等比数列，并写出其通项公式；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)求S n ．14．(2021·新高考Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n ＋2，n 为偶数.。

四类数列题型-高考数学大题秒杀技巧数列求和问题一般分为四类：类型1：错位相减；类型2：裂项相消求和；类型3：分组求和；类型4：含−1 n 类进行求和 。

下面给大家对每一个类型进行秒杀处理.数列求和之前需要掌握一些求数列通项的技巧，技巧如下：①当高考数列大题出现《a n 与a n +1》或《a n 与a n −1》递推关系且关系式中系数为1时，应遵循以下步骤第一步：作差第二步：列举第三步：求和→简称《知差求和》注意：列举时最后一项必须是a n −a n −1②当高考数列大题出现《a n 与a n +1》或《a n 与a n −1》递推关系且关系式中系数不为1时，应遵循以下步骤第一步：秒求所配系数第二步：寻找新的等比数列第三步：求新数列的通项第四步反解a n →简称《构造法》③当高考数列大题出现《a n 与a n +1》或《a n 与a n −1》递推关系，关系式中出现倍数关系时，应分为两种情况，第一种情况：若f n 是常数时，可归为等比数列，第二种情况：若f n 可求积，应遵循以下步骤第一步：出现商的形式第二步：列举第三步：求积出现a n →简称《知商求积》类型1：错位相减；a n =An +B ⋅C n第一步：求和(求和×公比)S n =A +B ⋅C 1+A ⋅2+B ⋅C 2+A ⋅3+B ⋅C 3+⋯⋯+A ⋅n −1 +B ⋅C n −1+A ⋅n +B ⋅C n C ⋅S n =A +B ⋅C 2+A ⋅2+B ⋅C 3+A ⋅3+B ⋅C 4+⋯⋯+A ⋅n −1 +B ⋅C n +A ⋅n +B ⋅C n +1①式-②式得S n −C ⋅S n =A +B ⋅C 1+A ⋅C 2+A ⋅C 3+⋯⋯+A ⋅C n −A ⋅n +B ⋅C n +1S n 1−C =A ⋅C 1+A ⋅C 2+A ⋅C 3+⋯⋯+A ⋅C n +B ⋅C 1−A ⋅n +B ⋅C n +1S n =A ⋅C ⋅1−C n1−C +B ⋅C 1−A ⋅n +B ⋅C n +11−CS n =A ⋅C ⋅1−C n 1−C 2+B ⋅C 11−C −A ⋅n +B ⋅C n +11−C ⇒S n =AC −C n +1C −12−B ⋅C 1C −1+A ⋅n +B ⋅C n +1C −1S n =An C −1+B C −1−A C −1 2 ⋅C n +1−B C −1−A C −1 2⋅C错位相减专项训练1已知等差数列a n前n项和为S n，a1=1，S9=9a6-18.(1)求a n的通项公式；(2)若数列b n满足a1b1+a2b2+⋯+a n b n=2n-3⋅2n+1+6，求和：T n=a1b n+a2b n-1+⋯+a n-1b2+a n b1.2数列a n中，a1=2，记T n=a1a2a3⋯a n，T n是公差为1的等差数列.(1)求a n的通项公式；(2)令b n=na n2n，求数列b n的前n项和S n.3已知数列a n满足a1=-1，且2a n+1-a n=1 2n.(1)求2n⋅a n的通项公式；(2)求数列a n的前n项和S n.4已知数列a n的前n项和为S n,a1=0，且S n+1=2S n+2n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设数列b n满足b n=log2a n+12，求a n+1b n的前n项和T n.5已知等差数列a n的公差不为零，其前n项和为S n，且a2是a1和a5的等比中项，a2n=2a n +1n∈N*．(1)求数列a n的通项公式；(2)若b n=2a n+1，令c n=a n b n，求数列c n的前n项和T n．类型2：裂项相消求和①a n=f(n+1)−f(n)②sin1°cos n°cos(n+1)°=tan(n+1)°−tan n°③a n=1n(n+1)=1n−1n+1④a n=(2n)2(2n−1)(2n+1)=1+1212n−1−12n+1⑤a n=1n(n−1)(n+2)=121n(n+1)−1(n+1)(n+2)⑥a n=n+2n(n+1)⋅12n=2(n+1)−nn(n+1)⋅12n=1n⋅2n−1−1(n+1)2n,则S n=1−1(n+1)2n⑦a n=1(An+B)(An+C)=1C−B1An+B−1An+C⑧a n=1n+n+1=n+1-n，1a+b=1a-ba-b⑨a n=log a n+1n=log a n+1−log a n⑩a n=2n2n−1⋅2n+1−1=12n−1−12n+1−1裂项相消求和专项训练6已知在等差数列a n 中，a 1+a 5=18,a 6=15.(1)求a n 的通项公式；(2)求数列1a n -1a n 的前n 项和S n .7已知数列a n 的前n 项和为S n ，且满足a 1=12，a n +S n -1S n=0(n ≥2).(1)求数列a n 的通项公式；(2)求数列(2n +1)a 2n 的前n 项和.8已知公差不为0的等差数列a n 的前n 项和为S n ，且a 1,a 2,a 5成等比数列，a 2a 3=a 8.(1)求数列a n 的通项公式a n ；(2)若n ≥2，1S 2-1+1S 3-1+⋯+1S n -1≥2140，求满足条件的n 的最小值.9从①a n +1 2=a 2n -1+4a n +2a n -1+1n ≥2 ,a n >0，②na n +1=n +1 a n +1，③前n 项和S n 满足nS n +1S n+n=n +1中任选一个，补充在下面的横线上，再解答.已知数列a n 的首项a 1=1，且.(1)求a n 的通项公式；(2)若b n =2a n a n +1，求数列b n 的前n 项和T n .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.10已知数列a n 满足a 1=13，2-a n a n +1=1．(1)证明：数列11-a n 是等差数列，并求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n 的前n 项的积为T n ，证明：T 1T 2+T 2T 3+⋯+T n T n +1<12．类型3：分组求和①等差数列求和公式：S n=n(a1+a n)2=na1+n(n−1)2d②等比数列求和公式：S n=na1(q=1) a1(1−q n)1−q=a1−a n q1−q(q≠1)③S n=nk=1k=12n(n+1)④S n=nk=1k2=16n(n+1)(2n+1)⑤S n=nk=1k3=12n(n+1)]2类型3：分组求和专项训练11已知数列a n的前n项和为S n,a1=3,2S n=3a n-3.(1)求a n的通项公式；(2)设数列b n满足：b n=a n+log3a n，记b n的前n项和为T n，求T n.12已知数列a n满足：a1=3，a n=a n-1+2n-1n≥2,n∈N*．(1)求数列a n的通项公式；(2)令b n=a n-1+-1n log2a n-1，求数列b n的前n项和T n．13在等比数列a n中，a1，a2，a3分别是下表第一，第二，第三列中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一行．第一列第二列第三列第一行-1-416第二行2-6-10第三行5128(1)写出a1，a2，a3，并求数列a n的通项公式；(2)若数列b n的前n项和S n．满足b n=a n+log2a2n，求数列b n14已知数列a n的前n项和为S n，a1=1，S n+1=2S n+1n∈N+．(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n a n+1+log2a n a n+1的前n项和．，求数列b nn∈N+15已知数列a n的前n项和S n=n2+n2，等比数列b n满足b2=a2，b3=a3+1．(1)求数列a n和b n的通项公式；(2)若c n=-a n b n+1,n为奇数a nb n,n为偶数，求数列cn的前2n项和T2n．类型4：含−1n类进行求和我们估且把这种求和的方法称为“并项法”，可以推广到一般情况，用“并项法”求形如通项公式为a n=−1n⋅f n 的摆动数列{a n}前n项和的步骤如下：第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当n为奇数时，a n+a n+1的表达式；第二步：然后对n分奇、偶进行讨论，即当n为偶数时，由S n=a1+a2+a3+a4+a5+a6+⋯+a n−1+a n求出S n；第三步：当n为奇数且n＞1时，由S n=S n−1+a n求出S n，特别注意对n=1时要单独讨论，即S1要单独求出.第四步：将S1代入当n为奇数且n＞1时S n的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段分段函数形式表示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示含−1n类进行求和专项训练16设S n为数列a n的前n项和，a n>0，a2n+2a n+1=4S n.(1)求数列a n的通项公式；(2)求数列-1n4na n a n+1的前n项和Tn.17数列a n 的前n 项的和为S n ，已知a 1=1，a 2=3，当n ≥2时，S n +1+S n -1=2S n +n +1.(1)求数列a n 的通项公式a n ；(2)设b n =-1 n ⋅a n ，求b n 的前2m m ∈N ∗ 项和T 2m .18设正项数列a n 的前n 项和为S n ，已知a 3=5，且a 2n +1=4S n +4n +1.(1)求a n 的通项公式；(2)若b n =(-1)n ⋅2n a na n +1，求数列b n 的前n 项和T n .19正项数列a n 的前n 项和为S n ，已知2a n S n =a 2n +1．(1)求证：数列S 2n 为等差数列，并求出S n ，a n ；(2)若b n =(-1)na n，求数列b n 的前2023项和T 2023．20已知正项等比数列a n的前n项和为S n，且满足a1=1,a2a3a4=64，数列b n满足b1=1,b1+1 2 b2+1 3b3+⋅⋅⋅+1nb n=b n+1-1n∈N*．(1)求数列a n,b n的通项公式；(2)设c n=a n+(-1)n2b n+1，求数列c n的前2n项和T2n．。