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_高中数学人教A版必修一率三章3.1.1方程的根和函数的零点(公开课)课件(共14张PPT)

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高一数学3.1.1《方程的根与函数的零点》课件(人教版A版必修1)

高一数学3.1.1《方程的根与函数的零点》课件(人教版A版必修1)

例2：
1．函数 f (x) Inx 2 的零点所在的大致区间是（ ） x
A．1, 2
B． 2, 3
C．1,
1 e
和3,
4
D． e,
2.若方程 2ax2 x 1 0 在（0，1）内恰有一解， 求实数a的取值范围。
3. 方程在 x2 求k的取值范围.
的实数解的个数
象，如右图，我们发现函数 f (x) x2 2x 3在 4
3
区间 2,1上有零点。计算 f (2) 和 f (1) 的乘 2
1
积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x -1
2, 4上是否也具有这种特点呢？
-2
-3
-4
结 如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫 做函数y=f(x)的零点。
注意： 零点指的是一个实数；
方程f(x)=0有实数根
零点是一个点吗?
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
探究
观 察 二 次 函 数 f (x) x2 2x 3 的 图 y 5
练习：
1.二次函数 y ax2 bx c(a 0)， a c 0
则函数的零点个数是（ ）
2.求下列函数的零点个数
1 f (x) x3 x2 4x 4 2 f (x) 3x1 x2 2 3 f (x) log3 x 2x 4
论 并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，
即存在ca,b，使得 f (c) 0，这个c也就是方程 f (x) 0的根。

高一数学人教A版必修一 第三章 3.1.1 方程的根与函数的零点 课件

高一数学人教A版必修一 第三章 3.1.1 方程的根与函数的零点 课件
第二页，编辑于星期日：二十二点 十一分。
方程
函数
函 数 的
图 象
x2-2x-3=0 y= x2-2x-3
x2-2x+1=0
y= x2-2x+1
x2-2x+3=0 y= x2-2x+3
y
y
.
.
2
.1 .
－1 0 1 2 3 －1 －2 －3
.2
.
x
1. .
. －1 0 1 2
x
. －4
y
.5 4
.
3.
2
.
.
1
－1 0 1 2 3 x
方程的实数根 x1=-1,x2=3
函数的图象 与x轴的交点
(-1,0)、(3,0)
x1=x2=1
(1,0)
无实数根 无交点
பைடு நூலகம்
第三页，编辑于星期日：二十二点 十一分。
判别式△ =
b2－4ac
△＞0
△=0
方程ax2 +bx+c=0
(a≠0)的根
两个不相等
有两个相等的
的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2
它与x轴没有交点，所以方程
2x(x－2)＝－3无实数根。
y
.. 5
3. 4 . . 2
1
－1 0 1 2 3 x
第十三页，编辑于星期日：二十二点 十一分。
课堂小结：
1.函数零点的定义； 2.函数的零点与方程的根的关系； 3.函数零点存在性定理; ４.确定函数的零点所在区间的方法
第十四页，编辑于星期日：二十二点 十一分。
作出函数f(x)的图象，如下：
它与x轴有两个交点，所以 方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相

人教A版数学必修一3.1.1方程的根与函数的零点.ppt

人教A版数学必修一3.1.1方程的根与函数的零点.ppt

6
y=lnx
零点.
O 1234
x
y=－2x+6
【提升总结】 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连
续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么, 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.
【变式练习】 求方程2-x =x的根的个数，并确定根所在的区间[n，
n+1](n∈Z)．
解：求方程 2x 的x根的个数，即求方程
则函数 0，
f (x)
在 a, b 内存在零点
f (x)连续，
f
(a)
f (b) 0
，则函数
f (x)
在 a, b 内存在唯一零点
f (x)单调，
零点的求法 代数法、图象法
如果你不知道你要到哪儿去，那通常你哪 儿也去不了。
x
Ａ.０ Ｂ.１
Ｃ.２
Ｄ.无数个
2.若函数f ( x) 2ax2 x 1在(0,1)内恰有一个零点，
则a的取值范围是 （ Ｂ）
A.a 1 B.a 1 C. 1 a 1 D.0 a 1
3.函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间内有零点（ B )
A.(-2，-1) C.(1，2)
B.(0，1) D.(2，3)
解：（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且
f(a)·f(b)< 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个
零点.
如图,
y
（）
a O
bx
函数y=f(x)在区间(a,b)上有3个零点,故“在区间(a,b) 内有且仅有一个零点”的说法是错误的.
（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且 f(a)·f(b) ≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（ ）

人教A版高中数学必修一《3.1.1方程的根与函数的零点1》课件.pptx

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两种思想：函数方程思想； 数形结合思想． 两类题型：求函数零点； 求零点所在区间.
布置作业 作业：P88练习1、2（1）（3） 思考：函数y=f(x)满足何条件时在区间
（a,b）内存在且只有一个零点？
[来源:ZXXK]
① 3x 3 0
x 1
y
y 3x 3
-1 Ox
② x2 2x 3 0
x 1, x 3
1
2
y
③ x2 2x 1 0
x x 1
y 1
2
④ x2 2x 3 0
无实数根
y
-1 O 3 x
2
y x2 2x 3
O1
x
y x2 2x 1
O1
x
y x2 2x 3
第1组
第2组
[来源:ZXXK]
零点存在性的探究：
y
问题:满足什么条件，函数y＝f(x)在区间（a,b）内存在零点？
a
Ob
观察函数的图象并填空: ①f(a)·f(b)___<__0(“＜”或“＞”)． f(x)在区间(a,b)内_____有_(有/无)零点； ②f(b)·f(c)___<__0(“＜”或“＞”)． f(x)在区间(b,c)内_____有_(有/无)零点； ③f(c)·f(d)___<__0(“＜”或”＞”)． f(x)在区间(c,d)内_____有_(有/无)零点；
题型二：确定函数零点所在区间
1.已知函数的f (图x) 象是连续不断的一条曲线，且有如 下对应值表，则函数在哪几个区间内有零点？为什么？
x1 2 3 4 5
f (x) 20 -5.5 -2 6 18
函数f x在1, 2，(3, 4)两个区间内有零点.

人教A版高中数学必修1第三章3.1.1 方程的根与函数的零点课件

人教A版高中数学必修1第三章3.1.1 方程的根与函数的零点课件

>0
y
x1 0
x2 x
0
y
0 x1 x
<0
y
0
x
ax2+bx+c=0 的根
两个不相等的 实数根x1 、x2
有两个相等的 无实数根 实数根x1 = x2
函数的图象与 x 轴的交点
两个交点(x1,0), 一个交点 b ,0 无交点
(x2,0)
2a
结论：一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与X轴交点的横 坐标.若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与X轴无 交点.
方程的根与函数的零点
思考探究一
方程 函数
x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 y= x2－2x+3
函
y
y
.
.
y
数 的 图
2
.1 .
－1 0 1 2 3 －1 －2 －3
.2
.
x
1. .
. －1 0 1 2
x
.5 4
.
3.
2
.
.
1
象
. －4
人教A版高中数学必修1第三章3.1.1 方程的根与函数的零点课件【精品 】
人教A版高中数学必修1第三章3.1.1 方程的根与函数的零点课件【精品 】
小结
1.知识和要求：掌握函数零点的概念；了解 函数零点与方程根的关系；学会图象连续的 函数在某区间上存在零点的判定方法。
2.数学思想方法：由特殊到一般的归纳思想， 数形结合的思想，函数与方程的思想。
1.函数的零点：
对于函数y f (x),把使f (x) 0成立的实数 x

高一数学新人教A版必修1课件：第3章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点

高一数学新人教A版必修1课件：第3章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点

阅读教材 P86～P87“探究”以上部分，完成下列问题． 1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与根的关系
Δ>0
Δ＝0
二次函数y＝ax2 ＋bx＋c(a>0)的 图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
Δ<0 无交点
2.函数的零点
对于函数 y＝f(x)，把使 f(x)＝0的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．
法二 由x2－1x＝0，得x2＝1x. 令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1x. 在同一坐标系中分别画出h(x)和g(x)的图象，如图所示．可知两函数图象只有 一个交点，故函数f(x)＝x2－1x只有一个零点．
判断函数存在零点的 3 种方法 1．方程法：若方程 f(x)＝0 的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判
函数零点个数的判断
判断下列函数零点的个数． (1)f(x)＝x2－7x＋12；(2)f(x)＝x2－1x. 【精彩点拨】 (1)中f(x)为二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程 的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法或转化为两个熟知的基本初等函数y＝ x2与y＝1x的图象交点的个数．
【自主解答】 (1)由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f(x)有两个零点． (2)法一 令f(x)＝0，即x2－1x＝0. ∵x≠0，∴x3－1＝0.∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0. ∴x＝1或x2＋x＋1＝0. ∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0， ∴方程x2＋x＋1＝0无实数根． ∴函数f(x)只有一个零点．
【答案】 B

人教A版2003课标高中数学必修1第三章3.1.1方程的根与函数的零点(共17张PPT)

人教A版2003课标高中数学必修1第三章3.1.1方程的根与函数的零点(共17张PPT)
你是重要的！
零点存在定理的应用
例1.方程
是否有实根？若有,有几个？你能找
到它所在的区间吗？ 存在性探究 唯一性探究
解：令f(x)=lnx+2x-6,定义域为D=(0，+∞),
因为f(2)=ln2-2=ln2-lne2<0,f(3)=ln3>0,
所以有f(2)f(3)<0. 又f(x)在[2，3]上连续， 所以f(x)在(2,3)内存在零点. 即方程lnx+2x-6=0有实根.
f (x) x2 2x 3
你是重要的！
零点概念 1.函数零点的定义 对于函数
叫做函数 2.方程的根与函数零点的关系
f (x) x2 2x 3 方程 函数 函数
,我们把使 的零点.
的实数
有实根（数） 的图象与 轴有交点（形） 有零点（数）
你是重要的！
零点概念 练习1.函数f(x)=(x-1)(x+2)(x-3)的零点为（ D ）
即方程lnx+2x-6=0只有一个实根.
零点唯一性: 条件： 1.f(a)f(b)<0; 2.f(x)连续； 3.f(x)单调.
结论：f(x)在(a,b)内存在唯一零点.
你是重要的！
概括总结 （1）知识： 零点的概念，方程根与函数零点的关系；零点存在定理. （2）方法和思想： 数形结合，特殊到一般，具体到抽象.
普通高中课程标准实验教科书 数学必修1
课题学：习3.目1.标1 ：方程的根与函数的零点
1.函数的零点的概念， 2.函数的零点与方程的根的关系， 3.零点存在定理。
历史回顾
北宋数学家 贾宪
11世纪，北宋数学家 贾宪给出了三次及三次以 上的方程的解法。
你是重要的！

人教A版数学必修一3.1.1 方程的根与函数的零点 授课同步课件(共23张PPT)

人教A版数学必修一3.1.1 方程的根与函数的零点 授课同步课件(共23张PPT)

方程lnx+2x-8=0根的个数 数形结
合 函数y=lnx+2x-8与x轴交点的个数
两个函数
y y
0 ln
x
2x
8
的交点的个数
方程lnx=8-2x根的个数
两个函数
y ln x
y
8
2
x
的交点的个数
练习1：已知函数y=f(x)的图象是连续 不断的，有如下的对应值表：
x1 2 3 4 5
6
y 123.56 21.45 -7.82 11.45 -53.76 -128.88
则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少
有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
练习2：函数 f ( x) ln x 2 的零点的
x
大致区间是( )
A.(1,2) C.(2,3)
B.
(1,
1 )
和(3,4)
A.(1,0)，(-2,0)，(3,0)
B.1，3
C.(0,1)，(0,-2)，(0,3)
D.1，-2，3
例2：求下列函数的零点
(1)y=2|x|-8
(2)y=2+log3x
方程lnx+2x-8=0是否有实数根
函数f(x)=lnx+2x-8(x>0)与x轴是否有交点
函数f(x)=lnx+2x-8(x>0)是否有零点
e
D. (e,)
练习3：求函数 f ( x) 2x lg( x 1) 2 的零点个数.
知识内容
什零如 么点何 是有判 零什断 点么零
用点 是 否 存 在
思想与方法
函化 数 数归 形 与与 结 方转 合 程化 思 的的 想 思思 想想

人教A版数学必修一3-1-1方程的根与函数的零点(68张).pptx

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又 f(x)＝x－3＋lnx 在(0，＋∞)内是增函数，所以原函数 只有一个零点.
命题方向 3 判断函数的零点、方程的根所在的区间
[例 3] (2010·天津)函数 f(x)＝ex＋x－2 的零点所在的一
个区间是( )
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
[分析] 函数零点附近函数值的符号相反，可据此求解．
f0＝2m＋1<0 观察图象可得ff－ 1＝1＝ 4m2＋>02<0 ，
f2＝6m＋5>0
解得－56<m<－12.
所以 m 的取值范围是(－56，－12)．
规律总结：这类题目一般是从几何角度入手，利用代数 方法解决．若题目改为函数 f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1 的两个零
f0>0 点均在区间(0,1)内，则需满足不等式组fΔ≥1>00
(3)函数 y＝x2－2x＋3 与 x 轴没有交点，方程没有实根．
观察可知，二次函数 f(x)与 x 轴的交点的横坐标恰好是相 应方程 f(x)＝0 的根，这种关系对一般的一元二次函数与其相 应的方程之间的情况也成立，即方程 ax2＋bx＋c＝0 的实根就 是 f(x)＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标．
[解析] (1)令 f(x)＝0，即 3x＋2＝0，∴x＝－23. ∴f(x)＝3x＋2 的零点是－23. (2)令 f(x)＝x2－3x－4＝0，得 x1＝4，x2＝－1. ∴f(x)＝x2－3x－4 的零点是 4，－1. (3)令 f(x)＝log2x＝0，得 x＝1， ∴f(x)＝log2x 的零点为 1.
名师辩误做答
1．混淆了零点与点的概念 [例 5] 函数 f(x)＝x2－5x＋6 的零点是________． [错解] (2,0)，(3,0) 由题意，得 x2－55x＋6＝0，∴x＝2，x＝3， ∴函数的零点是(2,0)和(3,0)．

高中数学(人教版A版必修一)配套课件：第三章 3.1.1方程的根与函数的零点

高中数学(人教版A版必修一)配套课件：第三章 3.1.1方程的根与函数的零点

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1.函数y＝x的零点是( B )
A.(0,0)
B.x＝0
C.x＝1
D.不存在
1 23 45
答案
2.函数f(x)＝x2－2x的零点个数是( C )
A.5
答案
1 23 45
3.若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则 下列说法正确的是( C ) A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点 B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点 C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点 D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
总是
比别人
学得慢
一看就懂 一做就错 看得懂，但不会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识
解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识
速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方 式
案例式
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必备习
惯
积极 主动

高中数学【人教A版必修】一第三章3.1.1方程的根和函数的零点(公开课)课件(共14张ppt)

高中数学【人教A版必修】一第三章3.1.1方程的根和函数的零点(公开课)课件(共14张ppt)

y
y
1 x
1
o1
x
注1:函数y=f(x)在（a，b）存 在零点必须同时满足：
(1)函数在[a，b]连续；
(2)f(a)·f(b) <0.
高中数学【人教A版必修】一第三章3. 1.1方 程的根 和函数 的零点( 公开课 )课件 （共14 张ppt） 【精品 】
高中数学【人教A版必修】一第三章3. 1.1方 程的根 和函数 的零点( 公开课 )课件 （共14 张ppt） 【精品 】
2 1
f(-2)f(1)<0 f(2)f(4)<0 函数零点左右两侧函数值异号
o 1 2 3 4x
思考：函数y=f(x)具备什么条件时，能在区间 (a, b) 上存 在零点？
f (a) f (b) 0，函数 y f (x)的图像在区间[a,b]上连续
高中数学【人教A版必修】一第三章3. 1.1方 程的根 和函数 的零点( 公开课 )课件 （共14 张ppt） 【精品 】
定 理 理 解
如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，是方程 f (x) 0的根.
思考3 满足定理条件的零点唯一吗？什么情况零点唯一？
应用与实践
例2讨论f(x)=lnx+2x－6在区间[e-1,e]上零点的存在性及个数.
解：f (x)的定义域为0，
f (e1) ln 1 2 1 6 2 7 0,
ee
e
f (e) ln e 2 e 6 2e 5 0,
即f e1 f e 0
说明函数在区间(e-1,e)内有零点.
（1）y log2 x

人教A版2003课标高中数学必修1第三章3.1.1方程的根与函数的零点(共22张PPT)

人教A版2003课标高中数学必修1第三章3.1.1方程的根与函数的零点(共22张PPT)

探究三：零点存在性定理
探究三：零点存在性定理
（若不成立，利用图象举出反例）
23:27
学会了吗?
.
.
23:27
探究四：零点存在性定理的拓展
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象 是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0， 且是单调函数 那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零唯点一.的一个零点.
择决定命运，环境造就人生！
从特殊到一般性的归纳
判别式△
方程ax2 +bx +c =0(a>0)的 根
△＞0
△=0
Байду номын сангаас
△< 0
这个结论对于一般的二次方程和对应函数成立吗？
上述结一论元：二一次元方程二的次实方数程根的实数二次根函就数是图相象应与函x轴数的图交象点的 横坐标(方程与实x轴数根交的点个的数横就坐是标对应. 函数图象与x轴的交点的个数）
记忆口诀： 零点不是点； 等价三相连． 上下不间断； 零点可呈现．
㈡数学思想方法
体会函数与方程和数形结合的数学思想
课后作业
⑴完成学案; ⑵ (选做)教材88页课后练习第2题.
小测试
①函数 f (x) (x2 2)( x2 3x 2) 的零点的个数是 （ ）
A .1 B.2
C. 3
D.4
②函数 f (x) 图象在[a,b]上是一条连续不断的曲线，
且 f (a) f (b) 0 ，则 f (x) 在[a,b]上
（）
A .一定没有零点 B.至少有一个零点 C. 只有一个零点 D.零点情况不确定
③函数 f (x) 2x 3x 的零点所在的大致区间是 （ ）

人教A版高中数学必修一课件3.1.1方程的根与函数的零点(共15张ppt)

人教A版高中数学必修一课件3.1.1方程的根与函数的零点(共15张ppt)
(2)图象法：画出y= f(x)的图象，其图象 与x轴交点的横坐标。 (3)定理法：函数零点存在性定理。
练习1:下列函数在区间[1，2]上有零点
的是( D )
(A) f(x)=3x2-4x+5 (B) f(x)=x³-5x-5 (C) f(x)=lnx-3x+6 (D) f(x)=ex+3x-6 练习2:f(x)=x3+x-1在下列哪个区间上有
思考:零点是不是点？零点指的是一个实数.
函数y f (x)的零点
方程f (x) 0的实数根
函数y f (x)图象与x轴交点的横坐标
练习：
1、求下列函数的零点
y x3 x
0，-1，1
y x 1 x
1，-1
2、求下列函数的零点
1 f (x) x2 4x 3 2 f (x) 2x 4 3 f (x) log2 x 8
这个c也就是方程 f(x)=0 的根。
a
a
b
b
例1:方程ln x 2x 6 0在下列哪个区间
上有零点( C )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
解法一: f 1 4 f 2 ln 2 2 0 f 3 ln 3 0 f 4 ln 4 2 0 f 2• f 3 0
ax2+bx+c=0 的根
函数的图象与 x 轴的交点
两个不相等的 实数根x1 、x2
(x1,0) , (x2,0)
0
y
0 x1 x
有两个相等的 实数根x1 = x2
b ,0 2a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ<0
y
0
x
没有实数根
没有交点
一、函数零点的定义：
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理 解
即存在c a,b，使得 f (c) 0，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ个c也就是方程 f (x) 0的根.
思考2 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断 曲线，那么当f(a)·f(b)>0时，y=f(x)在区间（a，b）内一 定没有零点吗？
a
b
a
b
注2:若f(x)在区间[a，b]连续且f(a)·f(b)>0，
2 1
f(-2)f(1)<0 f(2)f(4)<0 函数零点左右两侧函数值异号
o 1 2 3 4x
思考：函数y=f(x)具备什么条件时，能在区间 (a, b) 上存 在零点？
建构数学
零点存在性定理
如果函数 y=f(x) 在区间[a，b]上的图象
是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)∙f(b)<0， 那么，函数 y=f(x) 在区间(a, b)内有零点.
则f(x)在（a，b）也可能有零点.
定
如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
理
并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，
理 解
即存在c a,b，使得 f (c) 0，这个c也就是方程 f (x) 0的根.
思考3 满足定理条件的零点唯一吗？什么情况零点唯一？
即存在c∈(a, b)，使得 f(c)=0，这个c 也 就是方程 f(x)=0 的根．
定 如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
理
并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，
理 解
即存在c a,b，使得 f (c) 0，这个c也就是方程 f (x) 0的根.
第三章 函数的应用
3.1.1 方程的根与函数的零点
问题·探索
问题：判断下面方程是否有实根，有几个实根？
x2－ 2x－ 3=0
问题探究
方程
x2－2x－3=0
y
方程的 实数根
－1, 3
函数
f(x)= x2－2x－3
2 1 o 1 2 3 4 x
函数图象 与x轴交点
(－1,0)、(3,0)
函数图象
与x轴交点的 横坐标
思考1 若只给条件f(a) ·f(b)<0能否保证在(a,b)有零点？
y
y
1 x
1
o1
x
注1:函数y=f(x)在（a，b）存 在零点必须同时满足：
(1)函数在[a，b]连续；
(2)f(a)·f(b) <0.
定
如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
理
并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，
ee e f (e) ln e 2 e 6 2e 5 0,
即f e1 f e 0
说明函数在区间(e-1,e)内有零点.
根据函数单调性的性质可知函数f(x)=lnx+2x－6在定义域 (0,+∞)内是增函数.
f (x下1)因面此f给，x2出f(证xl)n=明xln1:x任+2取2x1xx－16、6x在2l>n[e0x-,12不,e]妨2仅xx2有1<一6x2,个则l零n 点xx12. 2 x1 x2 0
练习 在下列哪个区间内,函数f(x)= x3＋x－2
一定有零点（ B ） A.(－1,0） B.(0,2） C.(1,2） D.(2,3）
1.知识方面 零点的概念 方程的根与函数零点的等价关系 零点存在性定理 2.数学思想方面 函数与方程思想 化归转化思想 数形结合思想
（2）y 1 x
（3）y
x x
1x 3x
3, x 6, x
3
3
零点的求法1（“数”角度）
（1）1
（2）无
（3）-1，3，6
零点的求法2（“形”的角度）
y y log 2 x
o
x
y
y
1 x
o
x
y 1 o 3 6 x
问题再探究
我们再观察
函数 f(x)=x2-2x-3 的图像
y
问：函数在区间[-2,1]是否有零点？ 计算： f(-2)f(1)的值有什么特点？ 在[2,4]上是否也具有这种特点呢？
函数y=f (x) 的零点
方程f (x)=0 的实数根
函数y=f (x)的图象 与x 轴交点的横坐标
归纳总结·形成概念
统
方程的根与函数零点的等价关系
一
体
函数 y=f(x)有零点
数
形
方程f(x)=0 有实根
函数 y=f(x)的图 像与x轴有交点
5
例1 判断下列函数是否有零点，分别是多少？
（1）y log2 x
a
b
a
b
注3:(1)定理只能判断存在性，不能确定有多少个零点；
（2）若f(x)是单调函数，并在区间[a，b]连续且f(a)·f(b)<0， 则f(x)在（a，b）有唯一零点.
应用与实践
例2讨论f(x)=lnx+2x－6在区间[e-1,e]上零点的存在性及个数.
解：f (x)的定义域为 0，
f (e1) ln 1 2 1 6 2 7 0,
－1, 3
f(x)=x2－ 2x－ 3
零点
方程的根 就是对应函数图像与x轴交点的横坐标
归纳总结·形成概念
函数零点的概念： 对于函数 y=f(x)，我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫
做函数 y=f(x)的零点.
思考？
1、我们可不可以这样认为，零点就是一个点？
2、结合函数零点的定义和问题探究，你认为方 程的根与函数的零点究竟是什么关系？