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18.工程问题知识要点梳理一、根本概念1．工程问题：做某件事，制造某种产品，完成某项任务或工程等，都叫做工程问题。
2．工程问题的三个根本量是工作效率、工作时间和工作总量。
〔1〕工作效率：单位时间内完成的工作量，它是衡量一个人工作快慢的量。
〔2〕工作时间：完成工作总量所需的时间。
〔3〕工作总量：完成一项工作的总量。
一般都是把工作总量看做单位“1〞。
二、根本数量关系1．一般公式：工作总量＝工作效率×工作时间工作效率＝工作总量÷工作时间工作时间＝工作总量÷工作效率甲工效＋乙工效＝甲乙合作工效之和特别注意：工作量和工作效率都可以直接相加求和，但工作时间不能。
2．巧解工程问题：一般不知道工作总量的时候，我们常常用假设法求解。
我们把工作总量假设为单位“1〞，这个巧解方法的公式有：〔1〕一般给出工作时间，工作效率＝1工作时间。
〔2〕一般给出工作效率1a，就可以知道工作时间为a。
三、根本方法算术方法、比例方法、方程方法。
考点精讲分析典例精讲考点1 简单的工程问题【例1】 一件工作，甲单独10天完成，乙单独15天完成，甲乙合做〔 〕天完成。
【精析】 根据题意，把这件工作总量看作单位“1〞，甲的工作效率是110，乙的工作效率是115，甲、乙的工作效率和是110+115，再用工作总量除以工作效率和就等于合作的工作时间。
【答案】 把这件工作总量看作单位“1〞， 1÷(110+115)=1÷3+230=1÷16=6〔天〕 【归纳总结】 此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，要求甲乙合做需要多少天可以完成，应求出甲乙工作效率和。
考点2 合作工程问题【例2】 一件工作，甲、乙合作需4小时完成，甲、丙合作需5小时完成，乙、丙合作需6小时完成，乙单独做这件工作需多少个小时完成？【精析】 首先把这件工作看作单位“1〞，根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别求出甲乙、甲丙、乙丙的工作效率，再把它们求和，即可求出三人的工作效率之和的2倍，进而求出三人的工作效率之和是多少；然后用三人的工作效率之和减去甲丙的工作效率，求出乙的工作效率；最后根据工作时间＝工作量÷工作效率，用1除以乙的工作效率，求出乙单独做这件工作需多少个小时完成即可。
【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。
学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。
谢谢使用！！！】工程问题一、考点、热点回顾1、顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。
其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。
在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间。
工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可2、工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。
单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。
3、工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。
但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。
二、典型例题例1、单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。
甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1。
甲队单独干需100天，甲的工作效例2、某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。
如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。
问：甲队干了多少天？2分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。
答：甲队干了12天。
例3、单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。
开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。
问：甲队实际工作了几天？分析与解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了例4 、一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。
如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。
工程问题一、工程问题：1、由两个或两个以上单位（或人），共同去完成一件工作或一项工程，计算需要完成任务的时间，这一类应用题叫做“工程问题”。
2、题目中没有给出具体的总工程量，通常用单位“1”表示（即整体思想），并用“1÷工作时间”推算工作效率，用一个分数单位1n⎛⎫⎪⎝⎭表示。
3、基本数量关系与一般工作问题完全相同，即总工程量÷工作效率=工作时间；总工程量÷工作时间=工作效率【例 1】【基础】一项工作，甲队独做需要10天，乙队独修需要12天两队合作几天修完？【分析】1111601()110126011÷+=÷=（天）【提高、尖子】铺设一条公路，单独由甲队完成需要20天，由乙队单独完成需要30天，由丙队单独完成需要60天，现在希望能尽快修好这条路，让甲、乙、丙三队一起铺设，需要几天可以完成？甲队的工作效率为112020÷=；乙队的工作效率为113030÷=；丙队的工作效率为116060÷=现在由甲、乙、丙三队合作完成，每天的工作效率是他们三队的效率之和111120306010++=现在需要111010÷=天铺设成这条路。
第五讲工程问题与繁分数【例 2】【基础】有一项工程甲队单独做需要10天时间，甲、乙两队合做需要4天，问：1）乙队单独做，要到第几天才能完成？2）如果甲先做3天，然后两队合做，还需要几天能够完成？【分析】由题目可知，甲单独做的工作效率为111010÷=；甲、乙两队合做的工作效率为1144÷=1）可以求出乙队的工作效率为113 41020-=；所以乙队单独做需要3202 162033÷==2）如果甲先做了3天，已经完成了工程的133 1010⨯=剩下的3711010-=由甲、乙两人合做，需要712842104105÷==【尖子】有一项工程，甲队单独做63天，再由乙做28天可完成，如果甲、乙合做需48天完成，现在甲先做42天，然后由乙来完成，还需要几天？【分析】根据题意，甲、乙合做48天完成，第一次与之相比，甲多做了15天，而乙少做20天，都恰好完成了全部工作所以甲工程队做15天的量等于乙工程队做20天的量即所以甲工程队做3天的量等于乙工程队做4天的量现在甲先做了42天，比两人合做时少做了6天，应该由乙来补上这部分工作根据工作效率之比，乙需要6348÷⨯=天完成；那么乙还要工作48856+=天【例 3】【基础、提高】一项工程，甲、乙合作需要12天完成，乙、丙合作需要15天完成，甲、丙合作需要20天完成，如果由甲、乙、丙三队合作需要几天完成？【分析】由题目知，甲乙的工作效率之和为112；乙丙的工作效率之和为115；甲丙的工作效率之和为1 20将三者相加，恰好是甲乙丙三队的工作效率之和的两倍，1111 1215205 ++=所以三队合作需11(2)105÷÷=天【提高、尖子】有一条公路，甲队独修10天，乙队独修12天，丙队独修15天，现在让3个队合修，但中途甲队撤离出去到外地工作，结果用了6天才把这条公路修完。
第4章土的抗剪强度§4.1概述土的抗剪强度是指土体对外荷载所产生的剪应力的极限抵抗能力。
在外荷载作用下，土体中将产生剪应力和剪切变形，当土体某点由外力产生的剪应力达到土的抗剪强度时，土就沿着剪应力作用方向产生相对滑移，该点便发生剪切破坏。
工程实践和室内试验都证明了土是由于受剪而产生破坏，剪切破坏是土体强度破坏的重要特点，因此，土的强度问题实质就是土的抗剪强度问题。
在工程实践中与土的抗剪强度有关的工程问题，主要有以下三类（图4-1）：第一，是土作为材料构成的土工构筑物的稳定问题，如土坝、路堤等填方边坡以及天然土坡等稳定问题（图4-1a）；第二，是土作为工程构筑物的环境的问题，即土压力问题，如挡土墙、地下结构等的周围土体，它的强度破坏将造成对墙体过大的侧向土压力，以至可能导致这些工程构筑物发生滑动、倾覆等破坏事故（图4-1b）；第三，是土作为建筑物地基的承载力问题，如果基础下的地基土体产生整体滑动或因局部剪切破坏而导致过大的地基变形，都会造成上部结构的破坏或影响其正常使用的事故（图4-1c）。
图4-1 工程中土的强度问题（a）土坡滑动；（b）挡土墙倾覆；（c）地基失稳§4.2土的强度理论与强度指标4.2.1 抗剪强度的库仑定律土体发生剪切破坏时，将沿着其内部某一曲线面（滑动面）产生相对滑动，而该滑动面上的剪应力就等于土的抗剪强度。
1776年，法国学者库仑（C.A.Coulomb）根据砂土的试验结果（图4-2a），将土的抗剪强度表达为滑动面上法向应力的函数，即（4-1）τtanσϕ=⋅f以后库仑又根据粘土的试验结果（图4-2b），提出更为普遍的抗剪强度表达形式：（4-2）τtanσϕ⋅=c+f式中τ—土的抗剪强度，kPa；fσ—剪切滑动面上的法向应力，kPa；c—土的粘聚力，kPa；ϕ—土的内摩擦角，（ ）。
式（4-1）和式（4-2）就是土的强度规律的数学表达式，它是库仑在十八世纪七十年代提出的，所以也称为库仑定律，它表明对一般应力水平，土的抗剪强度与滑动面上的法向应力之间呈直线关系，其中c、ϕ称为土的抗剪强度指标。
第二章习题解答一、问答题：2-1为什么要研究流体的pVT 关系？【参考答案】：流体p-V-T 关系是化工热力学的基石，是化工过程开发和设计、安全操作和科学研究必不可少的基础数据。
（1）流体的PVT 关系可以直接用于设计。
（2）利用可测的热力学性质（T ，P ，V 等）计算不可测的热力学性质（H ，S ，G ，等）。
只要有了p-V-T 关系加上理想气体的idp C ，可以解决化工热力学的大多数问题。
2-2在p -V 图上指出超临界萃取技术所处的区域，以及该区域的特征；同时指出其它重要的点、线、面以及它们的特征。
【参考答案】：1）超临界流体区的特征是：T >T c 、p >p c 。
2）临界点C 的数学特征：3）饱和液相线是不同压力下产生第一个气泡的那个点的连线；4）饱和汽相线是不同压力下产生第一个液滴点（或露点）那个点的连线。
5）过冷液体区的特征：给定压力下液体的温度低于该压力下的泡点温度。
6）过热蒸气区的特征：给定压力下蒸气的温度高于该压力下的露点温度。
7）汽液共存区：在此区域温度压力保持不变，只有体积在变化。
2-3 要满足什么条件，气体才能液化？【参考答案】：气体只有在低于T c 条件下才能被液化。
2-4 不同气体在相同温度压力下，偏离理想气体的程度是否相同？你认为哪些是决定偏离理想气体程度的最本质因素？【参考答案】：不同。
真实气体偏离理想气体程度不仅与T 、p 有关，而且与每个气体的临界特性有关，即最本质的因素是对比温度、对比压力以及偏心因子r T ，r P 和ω。
2-5 偏心因子的概念是什么？为什么要提出这个概念？它可以直接测量吗？()()()()点在点在C V PC V PT T 0022==∂∂∂【参考答案】：偏心因子ω为两个分子间的相互作用力偏离分子中心之间的作用力的程度。
其物理意义为：一般流体与球形非极性简单流体（氩，氪、氙）在形状和极性方面的偏心度。
为了提高计算复杂分子压缩因子的准确度。
工程问题一、概念（1）工作总量：工作的总量，一般抽象成单位“1”（2）工作时间：工作的时间（3）工作效率：工作的快慢程度，也就是单位时间内完成的工作量二、数量关系（1）工作总量=工作效率×工作时间（2）工作效率=工作总量÷工作时间（3）工作时间=工作总量÷工作效率三、解题技巧（1）一般算术法，涉及的思想方法可能有：代换法、比例法、列表法、方程法（2）方程法典型例题例1.某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合作多少天才可完成全部的工程？【练习题1.1】某工程甲单独干20天完成，乙单独干5天完成，他们合作多少天才可完成全部的工程？【练习题1.2】某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合作多少天才可完成工程的一半？【练习题1.3】一条水渠，甲、乙两队合挖需10天完工。
已知乙单独挖需要30天，求问这条水渠由甲队单独挖需多少天？例2.一条水渠，甲、乙两队合挖需30天完工。
现在合挖12天后，剩下的乙队单独又挖了24天挖完。
这条水渠由甲队单独挖需多少天？【练习题2.1】师徒二人加工一批零件，师傅单独加工要8小时完成，徒弟单独加工要10小时，师傅先加工2小时后，再与徒弟共同加工，还需多少小时？（答案请用分数表示，格式为A/B）【练习题2.2】某工程甲队单独做需48天，乙队单独做需36天。
甲队先干了6天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了10天，将工程做完。
求乙队在中间单独工作的天数。
【练习题2.3】一项工程，甲独做75天完成，乙独做50天完成，在合做过程中，甲中途离开了一些天数，结果整个工程40天才完成。
甲中途离开了几天？例3.甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。
走完全程甲需60分钟，乙需40分钟。
出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。
甲再出发后多长时间两人相遇？【练习题3.1】甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。
甲走完全程需20分钟，乙需15分钟。
第七讲工程问题一、知识要点在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是工作总量 =工作效率×工作时间 . 在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题” .举一个简单例子：一件工作，甲做 10 天可完成，乙做 15 天可完成 .问两人合作几天可以完成？一件工作看成 1 个整体，因此可以把工作量算作 1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用11的时间单位是“天” ，1 天就是一个单位，因此甲的工作效率是1，乙的工作效率是1，我们想求两人合10 1511作所需时间，就要先求两人合作的工作效率，再根据基本数量关系式，得到所需时间 =工作量÷工10 15作效率=6（天） .两人合作需要 6 天 .这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的 . 为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），可把工作量多设份额 .如上题， 10 与 15 的最小公倍数是30.设全部工作量为 30 份.那么甲每天完成 3份，乙每天完成 2 份.两人合作所需天数是30÷（ 3+ 2）= 6（天）11实际上我们把1 （）这个算式，先用 30 乘了一下，都变成整数计算，就方便些.10 151110 天与 15 天，体现了甲、乙两人工作效率之间比例关系: 3: 2 .或者说“工作量固定，工作效10 15率与时间成反比例” .甲、乙工作效率的比是 15∶ 10=3∶ 2.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问3 3 3题，也是非常实用的 .根据3: 2 ，两人合作时，甲应完成全部工作的 3 3，所需时间是10 3 6（天）3 2 5 5因此，在下面例题的讲述中，我们可以采用“把工作量设为整体 1”的做法，也可以“整数化” 或“从比例角度出发” 、“列方程”等，这样会使我们的解题思路更灵活一些 .二、典型例题例 1. 一件工作，甲做 9 天可以完成，乙做 6 天可以完成 .现在甲先做了 3 天，余下的工作由乙继续完成 . 乙需要做几天可以完成全部工作？解析：甲的工效： 1 ÷9 ＝ 1/9 乙的工效： 1÷6＝1/6 甲三天做了的： 1/9 × 3＝1/3余下的工作： 1 － 1/3 ＝2/3 乙需做的天数： 2/3 ÷ 1/6 ＝ 4(天)例 2. 有一工程，甲队单独做 24 天完成，乙队单独做 30 天完成，甲、乙两队合做 8 天后，余下的由丙队做，又做了 6 天才完成。
北师大版六年级数学上册第二单元分数混合运算：工程问题【知识点总览】1. 工程问题的意义与工作效率、工作时间、工作总量有关的问题被称为工程问题。
2.工程问题的特征通常把工作总量看作单位“1”，在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。
3. 工程问题的解法解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
4.基本数量关系工作效率×工作时间=工作总量，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率。
【考点一】工程问题基础题型。
【方法点拨】工程问题的基础题型是主要根据工作总量、工作时间、工作效率三者之间基本数量关系列出算式：工作效率×工作时间=工作总量， 工作效率=工作总量÷工作时间， 工作时间=工作总量÷工作效率。
【典型例题】一项工程，甲队需要20天完成，甲队每天完成这项工程的几分之几？【对应练习1】 乙队完成一项工程的32需要12天，求乙队的工作效率。
【对应练习2】一项工程，甲队的工作效率是101，甲队完成这项工程需要几天？【对应练习3】 乙队的工作效率是151，乙队完成这项工程的54需要多少天？【对应练习4】一项工程，甲队的工作效率是121，甲队工作5天可以完成这项工程的几分之几？工作9天可以完成这项工程的几分之几？【对应练习5】砌一道墙，甲单独7小时完成，这道墙已由别人砌了41，还要多少小时能完成？【考点二】工程问题：求合作效率。
【方法点拨】合作效率=工作效率1+工作效率2 【典型例题】一项工作，甲单独做12天完成，乙单独做20天完成。
（1）甲的工作效率是几分之几？乙的工作效率是几分之几？（2）甲、乙合做1天完成全工程的几分之几？（3）甲、乙合作3天完成完成全工程的几分之几？还剩几分之几没完成？【对应练习1】一项工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成。
基本工程问题知识要点工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。
工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。
在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。
一、工程问题：定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。
工作总量：一般抽象成单位“1”工作效率：单位时间内完成的工作量（1÷工作时间）三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率；二、解题的思考方法：解答工程问题时一定要认真审题，弄明白是完成全部工程，还是该工程的部分（即它的几分之几）？有几个人或单位参加工作？他们完成这项工程各自需要多少时间？推得各自的工效是几分之一？他们是同时开始、同时结束工作的，还是有先有后的？具体要求什么等等。
因为工程问题的条件可用多种形式提出，有的不以“工程”命题，有的与其他类型的题目结合，这样，工程问题的题目就复杂起来。
但复杂是可以向简单转化的，通过一定的手段，使其变为若干个基本题，解题的基本思路与方法是不变的。
因此，只要抓住工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，细心分析，就能找到解题的途径、步骤和方法。
三、利用常用常用的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．简单工程（工作效率一定）1.一项工程，甲单独做需要28天时间，乙单独做需要21天时间，如果甲、乙合作需要多少时间？【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的128，乙每天完成总量的121，两人合作每天能完成总量的111282112+=，所以两人合作的话，需要111212÷=天能够完成．2.一项工程，甲单独做需要30天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的130，甲、乙合作每天完成总量的112，乙单独做每天能完成总量的111123020-=，所以乙单独做112020÷=天能完成．3.（第五届走美杯初赛）甲乙两名打字员，打字速度一样快，甲30分钟打了A材料的14，乙40分钟打了B材料的27。
