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百度文库- 让每个人平等地提升自我六年级奥数第三讲工程问题顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。
其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。
在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量 =工作效率×工作时间，工作时间 =工作量÷工作效率，工作效率 =工作量÷工作时间。
工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数 1 表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。
单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。
工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量 / 天”，或“工作量 / 时”等。
但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。
例 1 单独干某项工程，甲队需 100 天完成，乙队需 150 天完成。
甲、乙两队合干 50 天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位 1。
甲队单独干需 100 天，甲的工作效例 2 某项工程，甲单独做需 36 天完成，乙单独做需 45 天完成。
如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了 18 天才完成任务。
问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干 18 天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”例 3 单独完成某工程，甲队需 10 天，乙队需 15 天，丙队需 20 天。
开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了 6 天完成这一工程。
问：甲队实际工作了几天？分析与解：乙、丙两队自始至终工作了 6 天，去掉乙、丙两队 6 天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了例 4 一批零件，张师傅独做 20 时完成，王师傅独做 30 时完成。
如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做 60 个零件。
这批零件共有多少个？分析与解：这道题可以分三步。
首先求出两人合作完成需要的时间，例 5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管 5 时可将空池灌满，单开排水管 7 时可将满池水排完。
工程问题教案教案工程问题教案一、教学目标1.让学生了解工程问题的基本概念和特点，掌握解决工程问题的基本方法。
2.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.培养学生的团队协作能力和沟通能力。
二、教学内容1.工程问题的定义和特点2.解决工程问题的基本方法3.工程问题的案例分析4.工程问题的讨论和总结三、教学步骤1.引入工程问题的概念，让学生了解工程问题的定义和特点。
2.讲解解决工程问题的基本方法，如分析问题、设计解决方案、实施解决方案等。
3.通过案例分析，让学生了解工程问题的实际应用，并引导学生运用所学知识解决实际问题。
4.组织学生进行小组讨论，让学生就工程问题进行深入探讨，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
5.对学生的讨论进行总结，归纳出解决工程问题的有效方法，并给出建议。
四、教学评价1.通过课堂问答、作业和考试等方式，评估学生对工程问题概念和解决方法的理解和掌握程度。
2.通过小组讨论和案例分析，评估学生的团队协作能力和沟通能力。
3.收集学生的反馈意见，对教学方法和教学内容进行改进和优化。
五、教学资源1.教材：提供工程问题的相关教材，供学生学习和参考。
2.案例：提供工程问题的实际案例，供学生分析和讨论。
3.网络资源：提供相关的网络资源，供学生进行深入学习和研究。
六、教学建议1.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的主动性和积极性。
2.引导学生运用所学知识解决实际问题，培养学生的实践能力。
3.注重培养学生的团队协作能力和沟通能力，提高学生的综合素质。
4.及时给予学生反馈和指导，帮助学生解决问题和提高能力。
5.不断更新教学资源和方法，提高教学效果和质量。
七、教学反思通过本教案的实施，教师可以反思自己的教学方法和教学内容，评估学生的学习效果和能力提升，从而不断改进和优化教学，提高教学质量。
同时，教师也可以通过与学生的互动和沟通，了解学生的学习需求和问题，更好地满足学生的学习需求，促进学生的全面发展。
重点关注的细节：解决工程问题的基本方法解决工程问题的基本方法是本教案的核心内容，它直接关系到学生能否掌握解决工程问题的能力。
人教版数学七年级上册《工程问题》教学设计一. 教材分析人教版数学七年级上册《工程问题》是学生在学习了整数、分数、代数等基础知识后，进一步引导学生将实际问题抽象为数学模型，运用数学知识解决实际问题的章节。
本节内容主要包括工程问题模型的建立、工作效率、工作时间和工作总量三者之间的关系，以及应用这些知识解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握工程问题的解题方法，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对代数知识有一定的了解。
但是，学生对工程问题的理解还不够深入，需要通过实例和练习来逐步提高。
此外，学生可能对工作效率、工作时间和工作总量之间的关系有一定的困惑，需要通过具体例子和实际操作来加深理解。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握工程问题的基本模型，理解工作效率、工作时间和工作总量三者之间的关系，能够运用这些知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例分析，让学生学会将实际问题抽象为数学模型，培养学生的数学抽象能力。
3.情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：工程问题的基本模型，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的关系。
2.难点：如何将实际问题抽象为工程问题模型，以及运用模型解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入工程问题，让学生在具体的情境中感受和理解工程问题的实质。
2.引导发现法：教师引导学生观察、分析实例，发现工程问题的解题规律。
3.练习法：通过大量的练习题，巩固学生对工程问题的理解和应用能力。
六. 教学准备1.教材：人教版数学七年级上册。
2.课件：制作相应的课件，用于辅助教学。
3.练习题：准备一些相关的练习题，用于课堂练习和课后巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如修路、植树等，引出工程问题，让学生感受工程问题的实际意义。
2.呈现（10分钟）展示教材中的例题，引导学生观察、分析，发现工程问题的解题规律。
工程问题（第一稿）教学内容：书84页例5。
教学目标：1、理解工程问题的数量关系，解题思路和方法。
2、能准确解答简单的工程问题应用题。
教学过程：一、迁移1、口头列式解答，并说数量关系。
（1）李师傅加工一批零件，共60个，5小时完成，每小时加工多少个？李师傅加工一批零件，5小时完成，每小时加工这批零件的几分之几？板书：工作总量÷工作时间＝工作效率（2）小王打印一份45页的书稿，每天打印15页，几天能够完成？小王打印一份书稿，每天打印这份书稿的1/3，几天能够完成？工作总量÷工作效率＝工作时间学生比较这两组对比题，每组中的两题有什么相同点和不同点？（每组的第一题的工作总量、工作时间、工作效率都是具体数量，第二题中的工作总量是用单位“1”表示，工作效率是用分率几分之一表示，解答的数量关系式都相同。
）二、定向1、揭示课题：象这样的工作问题，我们称为“工程问题”，今天我们就来学习“工程问题”。
2、出示目标。
三、探究1、生产一批零件，甲单独做5小时能够完成，乙单独做6小时能够完成（1）甲每小时完成这批零件的几分之几？（2）乙每小时完成这批零件的几分之几？（3）甲、乙两人合作，每小时完成这批零件的几分之几？2、一段公路长30千米，甲队每天修3千米，乙队每天修2千米，甲、乙队合作，多少天能够完成？（用算术和方程两种方法）学生口头列式，说数量关系，师板书：工作总量÷工作效率和＝合作时间30÷（3＋2）工作效率和×合作时间＝工作总量（3＋2）×X＝30甲的工作总量＋乙的工作总量＝工作总量3X＋2X＝303、出示例5：一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。
甲、乙两队合作，多少天能够完成？（1）审题：与上题对比，有什么不同？（工作总量和工作效率都没有具体数量）怎样想？（把工作总量看做单位“1”，工作效率用几分之一表示。
）（2）学生独立完成，请不同解法的人上黑板板演。
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！1六年级数学上册典型例题系列之第三单元工程问题（解析版）编者的话：本试题是在《分数除法应用题提高部分》基础上进行编辑总结的，题型主要包括工程问题基础类型题、求合作时间类型题、求单量单独完成时间类型题、工程问题中的请假问题和较复杂的工程问题，共计十三个考点，按编排顺序考点难度由浅及深，考试出现频率逐次降低。
值得注意的是，《工程问题》虽然是小学数学应用题中的一个独立类型，但是在实际教学中大多数教师都在六年级数学上册第三单元分数除法章节进行讲解和练习，因此，编者认为可配合《分数除法应用题提高部分》再行使用，亦可根据学生掌握情况而定，欢迎使用。
六年级上册数学教案《工程问题》人教版一. 教材分析《工程问题》是人教版六年级上册数学的一章内容，主要让学生理解并掌握工程问题的解决方法。
本章通过具体的例子，引导学生学会使用工作效率、工作时间和工作总量之间的关系来解决实际问题。
教材内容丰富，既有理论的阐述，又有大量的练习题，有利于学生巩固所学知识。
二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的数学基础，对数学问题有较强的求知欲。
但是，对于工程问题的理解，部分学生可能会感到困惑。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习需求，针对性地进行讲解和辅导。
三. 教学目标1.让学生理解工作效率、工作时间和工作总量之间的关系。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
四. 教学重难点1.理解工作效率、工作时间和工作总量之间的关系。
2.运用公式解决实际工程问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，让学生在解决实际问题的过程中，理解并掌握工程问题的解决方法。
2.使用多媒体辅助教学，生动形象地展示工程问题的解决过程。
3.分组讨论，培养学生的团队合作能力和沟通能力。
4.及时反馈，引导学生反思自己的学习过程，提高学习效果。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。
2.准备练习题，以便在课堂上进行操练和巩固。
3.准备黑板和粉笔，用于板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一个实际的工程问题，引导学生思考如何解决这个问题。
例如，展示一个修建公路的工程，问学生如何计算修建公路所需的总工作量。
2.呈现（10分钟）讲解工作效率、工作时间和工作总量之间的关系，让学生理解并掌握工程问题的解决方法。
通过具体的例子，解释工作效率、工作时间和工作总量之间的计算公式。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个实际的工程问题，运用所学的知识解决。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，检测学生对工程问题解决方法的掌握程度。
解决问题三教学目标知识与技能借助具体情境了解工程问题的特点，理解工程问题的数量关系，并能熟练地解答工程问题。
过程与方法在解决问题的过程中，通过理清数量关系、找准工作总量来解决学习中的难点问题，掌握用假设、验证等方法解决问题的基本策略。
情感、态度与价值观在轻松、和谐的学习氛围中，培养学生严谨的学习态度、勇于探索创新的精神及合作的意识。
重点难点重点：掌握工程问题的数量关系及解题方法。
难点：理解工程问题中的工作总量与单位“1”的关系及工作效率的求法。
课前准备教师准备的道路，第一小队每天能修150 m，第二小队每天能修2021m，如果两队合修，多少天能修完？师引导学生明确题意后独立完成并说说自己的解题思路。
生：要求多少天能修完，是求工作时间的问题，工作时间＝工作总量÷工作效率，两个小队同时工作，所以工作效率应该是两个小队工作效率的和，列式为1400÷150＋2021 3．课件出示复习题2。
生活中的数学。
一个苹果，小冬每天吃一半，能吃几天？每天吃错误!呢？师引导学生根据下面的思路填一填。
把看做单位“1”，每天吃的占单位“1”的，这样，天能吃完。
如果每天吃错误!，是把这个苹果平均分成份，每天吃的占单位“1”的，这样，天能吃完。
操作指导通过有趣的工程师语音试听，体验工程中包含的各种量以及这几种量之间的关系，复习整数的工程问题，为学生学习新知打好基础。
走进生活，通过分苹果，每天吃错误!、每天吃错误!，离开了具体数量，渗透用“1”代表总量，而每份量改变成分率，也能知道完成时间，初步渗透工程问题的解题思路，降低了接受新课的难度。
板块二创设情境，探索新知活动1创设情境，识别差异1．探究工程问题的解法。
课件出示教材42页例7。
如果合修，多少天能修完？课件出示自学提纲：1填空：这是类型的应用题，要求两队合修，多少天能修完，要知道这条路的，还要知道两队合修时修的长度，然后根据，求出两队合修这条路所用的时间。
六年级上册数学教案《工程问题》人教版一、教学目标知识与能力1.能够理解和掌握工程问题的解决方法。
2.能够运用数学知识解决实际生活中的工程问题。
过程与方法1.通过实例讲解和练习，培养学生的动手能力和思维能力。
2.引导学生独立思考、合作探讨，提高解决问题的能力。
情感态度价值观1.培养学生的兴趣，激发对数学的热爱。
2.培养学生的合作精神和实践能力，锻炼学生解决问题的耐心和毅力。
二、教学内容1.工程问题的定义与特点2.工程问题解决的一般步骤3.实际工程问题的应用三、教学过程第一课时：工程问题的定义与特点知识讲解1.工程问题是指与实际生活中的工程建设、生产制造直接相关的数学问题。
2.工程问题通常涉及到长度、面积、体积等概念。
案例分析学生通过老师提供的案例，了解工程问题的具体应用场景。
第二课时：工程问题解决的一般步骤知识讲解1.确定问题2.设定目标3.分析问题4.列出解决方案5.实施方案6.检验结果练习学生在小组合作中解决教师提供的工程问题，培养解决问题的能力。
第三课时：实际工程问题的应用联想拓展学生结合身边的生活或学校周边的环境，提出实际工程问题并尝试解决。
四、教学反思本节课通过引导学生理解工程问题的特点和解决方法，培养了学生的实践能力和动手能力。
但在教学过程中，需要更加注重培养学生的独立思考和创新能力，引导学生在解决工程问题中发现问题、分析问题并提出解决方案。
五、教学评价通过观察学生在课堂上的表现和课后作业的完成情况，评价学生对工程问题解决方法的掌握程度和实际运用能力。
同时，与学校其他老师进行交流，总结教学经验，不断提高教学质量。
以上是六年级上册数学教案《工程问题》的教学内容，希朥通过本教案的实施，能够帮助学生更好地理解和掌握工程问题的解决方法，提高数学学习的兴趣和能力。
温馨提示：图片放大更清晰修一段路，如果由甲单独修需要用9小时能修完，甲每小时能修这段路的( )。
答案：1 9解析：根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”即可求得甲每小时修这段路的分率。
假设工作总量为11÷9＝19小升初数学通用版《工程问题》精准讲练所以，甲每小时能修这段路的19。
为了喜迎新年，赶制一批彩旗，张师傅单独制作需要15小时完成，刘师傅单独制作需要10小时完成，两人合作制作需要6小时完成。
( )答案：√解析：根据题意可知，一批彩旗是单位“1”，根据工程问题的公式：工作效率＝工作总量÷工作时间，据此即可求出张师傅和刘师傅的工作效率，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，用1除以张师傅和刘师傅的效率和即可求出合作需要多长时间，再判断。
1÷15＝1 151÷10＝1 101÷（115＋110）＝1÷1 6＝6（小时）两人合作制作需要6小时完成，原题说法正确。
故答案为：√每年3月12日是植树节，今年甲乙两队计划种100棵树，甲队独种需要2天，乙队独种需要5天，两队合种共要几天？列式错误的是（）。
A．10011()25÷+B．100÷（100÷2＋100÷5）C．111()25÷+D．100÷[100×（1125+）]答案：A解析：若把这项工作看作单位“1”，则甲队工作效率和乙队工作效率已知，据此进行逐项分析，即可得出结论。
A．把这项工作看作是单位“1”，甲队工作效率为12，乙队工作效率为15；根据“工作时间＝工作量÷工作效率”，即可求出两队合种几天能种完，可知A错误，C正确；B．用计划种树的总棵数分别除以甲、乙两队独种的天数，得出两队每天种的棵数，再用100除以两队每天种的棵数之和，即可得两队合种共要几天，可知B正确；D．把这项工作看作是单位“1”，甲队工作效率为12，乙队工作效率为15，用计划种树的总棵数乘两队的效率和，得出两队每天种的棵数和，再用除法计算，即可得两队合种共要几天，可知D正确。
工程问题（三）教学目标1. 熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；2. 工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理;3. 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“ 1的统一和转换；4. 工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用.知识精讲工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。
工程问题是把工作总量看成单位“ 1'的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。
在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。
一、工程问题的基本概念定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。
工作总量：一般抽象成单位“1” 工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量=工作效率4作时间，工作效率=工作总量"作时间，工作时间=工作总量 "作效率；二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：①具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；③学会画线段示意图•线段示意图能直观地揭示量”与百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；④学会多角度、多侧面思考问题的方法•分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法•因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路.三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开工作总量”和时间”抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设把整个工程看成一个单位”，求得问题答案.一般情况下，工程问题求的是时间.目tMI归例题精讲工程问题方法与技巧（一）等量代换法【例1】甲、乙两队合作挖一条水渠要30天完成，若甲队先挖4天后，再由乙队单独挖16天，共挖了这条水渠的2•如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天？5【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答2 2【解析】法一：甲、乙合作完成工程的—需要：30 - =12（天）.甲队先做4天，比合作少了12_4=8（天）；5 5乙队后做16天，比合作多了16_12=4（天），所以甲队做8天相当于乙队做4天，甲、乙两队工作效率的比是4: 8 =1: 2 .甲队单独工作需要：30 30 2 =90 （天）；乙队单独工作需要：30 3^2 =45（天）。
法二：我们知道，甲乙合作，每天可以完成工程的—，而题目中给定的甲队先挖4天，再由乙队30单独挖16天”相当于甲乙两队先合作4天，然后再由乙队单独挖12天，于是两队合作4天，可以完成工程的1，也就是说乙队12天挖了2一2 = 4，于是乙队的工作效率为---12 1，那30 15 5 15 15 15 45111么甲队的工作效率就是一一一一，即甲队单独做需要90天，乙队单独做需要45天。
工程问题里30 45 90面也经常用到比例，是因为工程问题的基本数量关系是乘法关系. 其实这一点是与工程习惯无关的. 【答案】甲队单独做需要90天，乙队单独做需要45天【例2】一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】丙2天的工作量，相当乙4天的工作量•丙的工作效率是乙的工作效率的4+2=2 （倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样•也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍•乙做13天，甲只要13天，丙做13天，乙要26天，而甲只要26天他们共同做13天的工作量，由甲单独3 3完成，甲需要13十13十26 =26天3 3【答案】26天【例3】抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的1.如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？5【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的1,又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量之和，因8此甲两天抄写书稿的1，即甲每天抄写书稿的-;由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从而丙68 161 1 1111天抄写书稿的-，即丙每天抄写书稿的—;于是可知乙每天抄写书稿的--一-丄=—•所以乙一8 48 8 16 48 24人单独抄写需要1十丄=24天才能完成.24【答案】24天【例4】一项工程，甲独做6天完成，甲3天的工作量，乙要4天完成•两队合做2天后由乙队独做，还要几天才能完成?【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】法一：我们把工程看作两个人分别完成的，那么显然，甲在其中只工作了2天，剩下的都是乙完成的。
甲完成整个工作需要6天，除去自己完成的2天以外，剩下工作量甲需要4天完成，乙的工作效率是甲的-，因此甲4天完成的量，乙需要4 - ^16天完成，除去与甲合作的2天以外，乙还要43 3【例5】打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成.如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成•甲、乙两人合做需要几天完成？【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答【解析】根据甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成.如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成”，可知甲做2天的工作量等于乙做3天的工作量，所以完成这项工作甲、乙所用的时间比是2:3 •另外，由于甲、乙单独做，乙用的时间比甲多3・2 = 5天,所以乙独做需要的天数是：（3 2）— 15 （天），甲独做需要15-5=10（天），甲、乙合做需要3—21 11 6（天）.10 15【答案】6（天）【例6】一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8 天可以完成.如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：乙20天乙12天甲20天从图中可以直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量.于是可用乙工作4天”等量替换题中甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需要20=24（天）完成，即乙的工作效率是丄.24做16-2』天。
33法二一: 甲的工作效率为1，所以乙的工作效率为6(11 1 ) 12 - >2 -：-10二天才能完成.68 丿8310天31 1-3-4=1•两队合作2天后乙队独做还要6 8甲15天【答又因为乙工作4天的工作量和甲工作 5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的 ，为丄 ^15 4 5 3那么甲、乙合作完成这一工程需要的时间为1 -：-（丄•丄）J31 （天）.24 30 3【答案】131天3【巩固】 一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成；甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成.如 果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？【考点】工程问题【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据题意可知，甲做 8_6=2小时的工作量等于乙做12—6=6小时的工作量，可见甲做1小时的工作量等于乙做 3小时的工作量.那么可以用乙做 3小时来代换甲做1小时，可知乙完成全部工作需要 6 3 *12=30小时，甲先做的3小时相当于乙做了 9小时，所以乙还需要 30_9=21小时.【答案】21小时【巩固】 一份文件，如果甲抄10小时，乙抄10小时可以抄完；如果甲抄8小时，乙抄13小时也可以抄完.现 在甲先抄2小时，剩下的甲、乙合作，还需要几小时才能完成？【考点】工程问题【难度】3星 【题型】解答【解析】由题意可知，甲、乙合作的效率为—;将甲抄8小时，乙抄13小时，转化为甲乙和抄 8小时，乙10f 1 \1单独抄5小时，则乙单独工作的效率为 1—8 亠（13-8）,I 10丿25113 3 1所以甲单独工作的效率 1 一 1二3 •甲、乙两人的工作效率之比为 3 : 1 =3:2 .10 25 50 50 25 甲先抄2小时，这2小时的工作量如果两人合作，需要 3 2 - （3暇）“］小时，5所以剩下的工作量由甲、乙合作，还需要10-11 =84小时.5 5【答案】8 4小时5【例7】一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成1时前来帮忙，待工程完成 5时离去，结2 6果恰按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半•如果没有丙的参与，仅由乙接替甲后一直做 下去，将比计划推迟 31天完成；如果全由甲单独做，则可比计划提前6天完成•还知道乙的工作3 效率是丙的3倍，问：计划规定的工期是多少天？【考点】工程问题 【难度】5星 【题型】解答【关键词】北大附中，资优博雅杯【解析】丙在工程完成一半时前来帮忙，待工程完成5时离去，所以乙、丙合做了全部工程的1;如果丙不 631的工程时间将比乙、丙合做多用 10天.由于乙的工3 3来帮忙，这1的工程由乙独做，那么乙完成这3做所用时间的-倍，所以乙、丙合做这 1的工程所用的时间为 !2-：-（4 _i^io 天.那么乙的工效为3 3 3 3 1 1 1-亠10」（1 •-）二一•由于在丙来帮忙的情况下乙共做了工程总量的一半，所以乙工作的天数为 3 3 40 1 1-“一 20天，其中有10天是乙、丙在合做，另外 10天（被分成了前后两段）乙一个人独做•那么2 40乙、丙共完成了全部工程的1•丄 1 10=z ，根据题意，这 7的工程如果由甲独做，只需要 2 40 3 12 127 120 -6 =14天，那么甲的工效为 --M4 丄.甲完成全部工程需要 24天.由于全部由甲独做可比计12 24 划提前6天完成，所以原计划工期是24 • 6 = 30天.【答案】30天（二）比例法【例8】一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作5小时，共完成这批零件的 -。
已知甲与乙的工3 作效率之比是5:3，那么乙还要几小时才能完成分配的任务？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答量为1 ;乙要完成这个任务还需要的时间:2【答案】5小时【例9】 一项工程，甲15天做了 1后，乙加入进来，甲、乙一起又做了丄，这时丙也加入进甲、乙、丙一 4 43: 5,整个过程中，乙、丙工作的天数之比为 2: 1,问题【题型】解答i 、n 、川；且易知甲的工作效率为 — 又乙、丙工作的天601数之比为（n +川）:川=2： 1，所以有n 阶段和川阶段所需的时间相等.即甲、乙合作完成的的工4程与甲、乙、丙合作完成1 —1 —1二1的工程所需的时间相等.所以对于工作效率有：（甲+ 乙） >2=（甲4 4 213 +乙+丙），甲+乙=丙，那么有丙-乙=——.又有乙、丙的工作效率的比为 3: 5.易知乙的工作效率为 —,60120丙的工作效率为： —.那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：120丄1.1丄3丄1.1丄8丄丄十15 — 一一（ ）一 八（ ）=15 6 6 =27 天.4 60 120 2 60 120 方法二：显然甲的工作效率为1，设乙的工作效率为 3x ，那么丙的工作效率为 5x .所以有乙工作的 6011 11 1 1天数为 '■ （1x3 ■）亠 X 丙8工）作 的 天数为 ■- （ - 8x ）.且 有 46 0 2 6 0 2 60【解析】乙5小时完成总工作量的-—二1 ;乙每小时完成总工作量的 3 5 3 41 1—5 —;乙需要完成的总工作 4201 15=5 （小时）起做完.已知乙、丙的工作效率的比为 中情形下做完整个工程需多少天 ？【考点】工程问题【难度】3星【解析】 方法一：先把整个工程分为三个阶段:11 11 11 11 11 1亠3x）亠一— 8x） =2 ---（—亠8x）.即一-•-（—亠3x） =—（—亠8x）,解得x = .所以乙的4 60 2 60 2 60 4 60 2 60 120工作效率为—,丙的工作效率为高—.那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：120 120113 11815 “（）-（） =15 6 6 = 27 天.4 60 120 2 60 120【答案】27天【例10】甲、乙、丙三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按9:8 : 3派工，后因丙村不出工，将他承担的任务由甲、乙两村分担，由丙村出工资360元，结果甲村共派出45人，乙村共派出35人，完成了修路任务，问甲、乙两村各应分得丙村所付工资的多少元？【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答【解析】丙村出的360元钱是不是应该按照甲乙两村派出的人数比即45:35 =9:7来进行分配呢？我们仔细思考一下，发现丙村所出的钱应该是其他两个村帮他完成的工作量，换句话说，我们应该考虑的是甲乙两村各帮丙村出了多少人，然后再计算如何分配。
