人教课标版高中数学必修5《基本不等式》第二课时参考学案

人教版高中数学必修5《基本不等式》教案课题：基本不等式教材：《普通高中课程标准实验教科书数学必修5》3.4一、教学目标：1、探索并了解基本不等式的证明过程，了解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”或“≤”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。

2、通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法；3、通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；4、培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。

二、教学重点和难点：重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式2a b+ 的证明过程；难点：注意基本不等式2a b+≤等号成立条件以及应用于解决简单的最大(小)值问题。

三、教学方法：启发、探究式相结合 四、教学工具：多媒体课件五、教学过程：一、问题引入:如图是2002年在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？这样，三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为a b +。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab+≥《几何画板》课件动画显示，当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。

问题：你能证明这个结论吗？ 证明：（作差法） 因为 222)(2b a ab b a -=-+ 当b a ≠时，0)(2>-b a 当b a =时，0)(2=-b a所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a≥+总结结论1：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a文字叙述为:两数的平方和不小于积的2倍。

第三章 不等式3.4.2 基本不等式第二课时（王乙橙）一、教学目标1.核心素养: 通过学习基本不等式，提升学生的直观想象、数学运算与逻辑推理的能力.发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.2.学习目标（12a b+≤（2）熟练应用基本不等式求最值；（3）能够应用基本不等式解决一些简单的实际问题. 3.学习重点通过师生共同研究，进一步掌握基本不等式2a b+≤，并会用此不等式求最大、最小值. 4.学习难点基本不等式求最值中取等的条件；“一正二定三相等”中定值的运用.二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务任务1.基本不等式ab ≤a+b2及其应用，注意常用的一些结论：(1)a 2+1 2a (2)a +1a 2(a >0) (3)b a +a b 2(a,b 同号) （4）2___()2a b ab +2.预习自测1、已知x 、y 都是正数，xy =15，则x ＋y 的最小值为答案：2、已知x 、y 都是正数，x +y =15，则xy 的最大值为 答案：22543、已知x 、y ＞0，且x +y =1,则P =x +1x +y +1y 的最小值为 .答案：5 二、解答题3、设x 、y 满足x +4y =40,且x,y ∈R +,求lg x +lg y 的最大值. 解析：2,,4404040,10.lg lg lg(404)lg lg(404)lg 4(10)0,10.100(10)lg 4(10)lg 4lg1002210,5,20lg lg 2.x y R x y x y y x y y y y y y y y y y y y y y y y y x x y +∈+=∴=-><∴+=-+=-⋅=-><∴->-+⎡⎤∴-≤⨯==⎢⎥⎣⎦-===∴+即又等号成立时的最大值为 （二）课堂设计 1.知识回顾比较两个不等式222a b ab +≥2a b+≤的异同点 2.问题探究问题探究一 如何利用函数单调性求最值●活动一 例1 已知函数f (x )＝x ＋ax (a >0).(1)证明：f (x )在区间(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数； (2)求f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值. 【解析】 (1)设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)＋(a x 2－ax 1)＝(x 2－x 1)＋a (x 1－x 2)x 1x 2＝(x 2－x 1)(1－ax 1x 2)＝(x 2－x 1)x 1x 2(x 1x 2－a )，当0<x 1<x 2≤a 时，x 1x 2<a . ∴f (x 2)－f (x 1)<0，∴f (x 2)<f (x 1). 当x 2>x 1≥a 时，x 1x 2>a .∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1).故f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数. ∴函数f (x )＝x ＋ax (a >0)的图像如图所示.(2)由(1)可知f (x )在(0，＋∞)上的最小值f (x )min ＝f (a )＝2a .【点拨】基本不等式a ＋b2≥ab (a ，b 均大于0)求最值(值域)时，必须具备“一正、二定、三相等”的条件.如果“相等”条件不具备就可能造成错解.为了解决这个问题，我们引进一个函数f (x )＝x ＋ax (a >0)，利用它的单调性来完善上述解法的不足，作为使基本不等式“完美”的补充. ●活动二 思考：函数y ＝x 2＋2＋1x 2＋2的最小值是不是2？如不是，应为多少？ 【解析】 不是，若用基本不等式求最小值，则需要条件：x 2＋2＝1x 2＋2，即x 2＝－1，但此式不成立.应用单调性求解：设t ＝x 2＋2(t ≥2)，则y ＝t ＋1t 在[2，＋∞)上单调递增，∴最小值为2＋12＝322. ●活动三 思考：求函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈(0，π)的最小值. 【解析】 令t ＝sin x ，∵x ∈(0，π)，∴t ∈(0,1].由例1(1)知函数f (t )＝t ＋4t 在t ∈(0,2]上是单调减函数，∴f (t )＝t ＋4t 在t ∈(0,1]上也单调递减.∴f (t )≥f (1)＝5，故y min ＝5.问题探究二 如何利用基本不等式求代数式的最值●活动一 思考：x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1y 的最小值. 【解析】 ∵x ＋2y ＝1，∴1x ＋1y ＝(1x ＋1y )·(x ＋2y )＝3＋x y ＋2y x ≥3＋2x y ·2yx ＝3＋2 2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x y ＝2y xx ＋2y ＝1，即⎩⎨⎧x ＝2－1y ＝1－22时取等号.故1x ＋1y 的最小值为3＋2 2.●活动二 思考：x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值.方法一 【思路分析】 减少元素个数.根据条件1x ＋9y ＝1解出y ，用只含x 的代数式表示y ，代数式x ＋y 转化为只含x 的函数，再考虑利用基本不等式求出最值. 【解析】 由 1x ＋9y ＝1，得x ＝yy －9.∵x >0，y >0，∴y >9. x ＋y ＝yy －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9y －9＋1＝(y －9)＋9y －9＋10. ∵y >9，∴y －9>0， ∴y －9＋9y －9＋10≥2(y －9)·9y －9＋10＝16，当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时取等号. 又1x ＋9y ＝1，则x ＝4.∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16.方法二 【思路分析】 在利用基本不等式求最值时，巧妙运用“1”的代换，也会给解决问题提供简捷的解法.【解析】∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)·(1x＋9y)＝10＋yx＋9xy.∵x>0，y>0，∴yx＋9xy≥2yx·9xy＝6.当且仅当yx＝9xy，即y＝3x时，取等号.又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.【点拨】(1)要创造条件应用均值定理，和定积最大，积定和最小.多次应用时，必须保证每次取等号的条件相同，等号才可以传递到最后的最大(小)值.(2)注意“1”的代换技巧.(3)本题(1)易错解为：1＝x＋2y≥22xy，∴xy≤2 4.∴1x＋1y≥2xy≥82＝4 2.其错因是两次用基本不等式时等号不能同时成立.●活动三及时回馈：(1)已知1x＋2y＝1(x＞0，y＞0)，求x＋y的最小值.(2)已知正数x，y满足x＋y＝4，求1x＋2y的最小值.【解析】(1)x＋y＝(x＋y)·(1x＋2y)＝3＋yx＋2xy≥3＋2 2.(2)1x＋2y＝(1x＋2y)·x＋y4＝14(3＋yx＋2xy)≥3＋224.问题探究三●活动一思考：若正数a、b满足ab＝a＋b＋3，求：(1)ab的范围；(2)a＋b的范围.【解析】(1)∵ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，令t＝ab>0，∴t2－2t－3≥0，∴(t－3)(t＋1)≥0.∴t≥3，即ab≥3，∴ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号.(2)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3≤(a ＋b2)2.令t ＝a ＋b >0，∴t 2－4t －12≥0，∴(t －6)(t ＋2)≥0. ∴t ≥6即a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号. 【点拨】利用方程的思想是解决此类问题的常规解法. 第②问也可用如下方法解之：由已知b ＝a ＋3a －1>0， ∴a －1>0，∴a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝a ＋a －1＋4a －1＝a ＋1＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋2≥6. ●活动二 思考：正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________.【解析】 由基本不等式得xy ≥22xy ＋6，令xy ＝t 得不等式t 2－22t －6≥0，解得t ≤－2(舍去)或者t ≥32，故xy 的最小值为18. 问题探究四 利用基本不等式证明不等式●活动一 思考：已知a,b,c,d 都是实数，且+=1,+=1,求证：≤1.【证明】 ∵a,b ，c ，d 都是实数，所以22222222222a cb d ac bd ac bd ac bd ++++++≤+≤+=又∵+=1,+=1,∴≤1.●活动二 思考：a ，b ，c 都是正数，求证：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc ≥6.【解析】 b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc ＝b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c ＝(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c ). ∵a >0，b >0，c >0，∴b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2.同理，c a ＋a c ≥2，c b ＋bc ≥2. ∴b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6.【点拨】解题过程中，把数、式合理地分拆，或者恒等地配凑适当的数或式，这是代数变形常用的方法，也是一种解题的技巧.在本节中应用较多，请同学们仔细体会，总结并掌握规律.●活动三 思考：(1)已知a 、b 、c 都是正数，求证：ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ca (c ＋a )≥6abc . (2)已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.【证明】（1） 左边＝a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2)≥a ·2bc ＋b ·2ca ＋c ·2ab ＝6abc ＝右边，∴不等式成立. （2）∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c ) ≥3＋2＋2＋2＝9. 3.课堂总结 【思维导图】【重难点突破】利用均值不等式求最值时，应注意的问题（1）各项均为正数，特别是出现对数式、三角数式等形式时，要认真考虑. （2）求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值. （3）确保等号成立.以上三个条件缺一不可，可概括“一正、二定、三相等”. 4.随堂检测1.下列函数中，最小值为4的函数是( )A.y ＝x ＋4xB.y ＝sin x ＋4sin x C.y ＝e x ＋4e －x D.y ＝log 3x ＋log x 81 【知识点：基本不等式，取等条件】 解：C2.已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2则1x ＋13y 的最小值为( ) A.2 B.2 2 C.4 D.2 3【知识点：基本不等式，对数运算性质】 解：C3. (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285C.5D.6 【知识点：基本不等式】解：C ∵x ＋3y ＝5xy ，∴15y ＋35x ＝1.∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y5x ＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立.4.已知两个正变量x ，y ，满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围是________.【知识点：基本不等式，恒成立】解：(－∞，94]5.设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的取值范围是________.【知识点：基本不等式，对数运算性质】解：[6，＋∞)（三）课后作业基础型自主突破1.若x，y∈R，且x＋2y＝5，则3x＋9y的最小值()A.10B.6 3C.4 6D.18 3 【知识点：基本不等式，指数式】解：D2.已知函数y＝x－4＋9x＋1(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝（）.A.－3B.2C.3D.8 【知识点：基本不等式，取等条件】解：y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5，由x＞－1，得x＋1＞0，9x＋1＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2x＋1×9x＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.答案 C3.若正实数a，b满足ab＝2，则(1＋2a)·(1＋b)的最小值为_____.【知识点：基本不等式】解析(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋22ab＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号.答案94.已知a>3，求a＋4a－3的最小值为.【知识点：基本不等式，配凑】解：75.已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)求1x＋1y的最小值.【知识点：基本不等式】 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立. 因此有⎩⎨⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立. 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 能力型 师生共研1. (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C.5 D.6 【知识点：基本不等式】解：C ∵x ＋3y ＝5xy ，∴15y ＋35x ＝1.∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y5x ＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立.2.已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则a 2＋4b 2＋1ab 的最小值为（ ）A.72B.4C.16136D.172【知识点：基本不等式】解：因为1＝a ＋2b ≥22ab ，所以ab ≤18，当且仅当a ＝2b ＝12时取等号.又因为a 2＋4b 2＋1ab ≥2a 2·4b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab .令t ＝ab ，所以f (t )＝4t ＋1t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18单调递减，所以f (t )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝172.此时a ＝2b ＝12.答案 D3.已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 【知识点：基本不等式】解 由已知，得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，令x ＋3y ＝t ，则t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6. 答案：64.设x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，则x 1＋y 2的最大值为________.【知识点：基本不等式】 解：∵x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，∴x 1＋y 2＝x 2(1＋y 2)＝2x 2·1＋y 22≤2×x 2＋1＋y 222＝2×x 2＋y 22＋122＝324，当且仅当x ＝32，y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫即x 2＝1＋y 22时，x 1＋y 2取得最大值324.探究型 多维突破1.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A.0B.98C.2D.94 【知识点：基本不等式综合应用】解：含三个参数x ，y ，z ，消元，利用基本不等式及配方法求最值. z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ，y ，z ∈R ＋)，∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x －3≥2x y ·4y x －3＝1. 当且仅当x y ＝4yx ，即x ＝2y 时“＝”成立，此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2 (y －1)2＋2. ∴当y ＝1时，x ＋2y －z 取最大值2. 【答案】C2.若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A.1B.6C.9D.16【知识点：基本不等式综合应用】解：方法一：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ⇒(a －1)(b －1)＝1， 所以1a －1＋9b －1≥21a －1×9b －1＝2×3＝6. 方法二：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ， 所以1a －1＋9b －1＝b －1＋9a －9ab －a －b ＋1＝b ＋9a －10＝(b ＋9a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b －10≥16－10＝6.方法三：因为1a ＋1b ＝1，所以a －1＝1b －1，所以1a －1＋9b －1＝(b －1)＋9b －1≥29＝2×3＝6. 答案：B自助餐1.设0,0a b >>，若2是22a b 与的等比中项，则11a b+的最小值为( ) A.8B.4C.2D.1【知识点：基本不等式，等比数列】解：D2.（2013·重庆卷）(3－a)(a＋6)(－6≤a≤3)的最大值为()A.9B.92 C.3 D.3 22【知识点：基本不等式】解：B因为－6≤a≤3，所以(3－a)(a＋6)≤(3－a)＋(a＋6)2＝92，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－32时等号成立，故选B.3.设a＞1，b＞0，若a＋b＝2，则1a－1＋2b的最小值为()A.3＋2 2B.6C.4 2D.2 2【知识点：基本不等式】解：A4.已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项a m，a n使得a m a n＝4a1，则1m＋4n的最小值为()A.32 B.53 C.94 D.256【知识点：基本不等式，等比数列】解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，所以q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去). 因为a m a n＝4a1，所以q m＋n－2＝16，所以2m＋n－2＝24，所以m＋n＝6，所以1m＋4n＝16(m＋n)⎝⎛⎭⎪⎫1m＋4n＝16⎝⎛⎭⎪⎫5＋nm＋4mn≥16(5＋4)＝32.当且仅当nm＝4mn时，等号成立，故1m＋4n的最小值等于32.答案：A6.正数a，b满足1a＋9b＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A.3，＋∞)B.(－∞，3]C.(－∞，6]D.6，＋∞)【知识点：基本不等式，恒成立】解：D7.已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，3x ＋2y 的最大值为________.【知识点：基本不等式】 解：由a ＋b 2≤a 2＋b 22，得3x ＋2y ≤ 2×(3x )2＋(2y )2＝2×3x ＋2y ＝25，当且仅当x ＝53，y ＝52时取等号. 答案：2 58.若不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋4y ≥16对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________.【知识点：基本不等式，恒成立】解：因为不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋4y ≥16对任意正实数x ，y 恒成立，所以16≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋4y min .令f (x )＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋4y (a >0)，则f (x )＝a ＋4＋ay x ＋4xy ≥a ＋4＋2ay x ·4xy ＝a ＋4＋4a ，当且仅当x y ＝a2时取等号，所以a ＋4a ＋4≥16，解得a ≥4， 因此正实数a 的最小值为4. 答案：49.下列命题中正确的是________(填序号). ①y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最大值是2－43； ②y ＝sin 2x ＋4sin 2x 的最小值是4； ③y ＝2－3x －4x (x ＜0)的最小值是2－4 3. 【知识点：基本不等式综合应用】解：①正确，因为y ＝2－3x －4x ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4x ≤2－23x ·4x ＝2－4 3.当且仅当3x ＝4x ，即x ＝233时等号成立.②不正确，令sin 2x ＝t ，则0＜t ≤1，所以g (t )＝t ＋4t ，显然g (t )在(0,1]上单调递减，故g (t )min ＝g (1)＝1＋4＝5.③不正确，因为x ＜0，所以－x ＞0，最小值为2＋43，而不是2－4 3. 答案：① 10.已知a >b >c ，若1a －b ＋1b －c ≥n a －c，求n 的最大值. 【知识点：基本不等式】 解：方法一 ∵1a －b ＋1b －c ≥n a －c，且a >b >c ， ∴n ≤a －c a －b ＋a －c b －c ＝(a －c )2(a －b )(b －c ).∵对a 、b 、c 上式都成立， ∴n ≤[(a －c )2(a －b )(b －c )]min.又∵(a －c )2(a －b )(b －c )≥(a －c )2[(a －b )＋(b －c )2]2＝4.∴n ≤4，∴n 的最大值为4. 方法二 ∵a >b >c ，∴a －c a －b ＋a －cb －c＝(a －b )＋(b －c )a －b ＋(a －b )＋(b －c )b －c＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2＝4. ∴n ≤4，∴n 的最大值为4.11.（2015高考重庆）设,0,5a b a b >+=,. 【知识点：基本不等式】 解：23由222ab a b ≤+两边同时加上22a b +得222()2()a b a b +≤+两边同时开方即得： a b +0,0a b >>且当且仅当a b =时取“=”），≤==13a b +=+,即73,22a b ==时，“=”成立）.12.为了净化空气，某科研小组根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧168－x －1，0≤x ≤4，5－12x ，4＜x ≤10。

必修五 3.4基本不等式（二）【学习目标】1(0,0)2a b a b +≤>>及其变形公式； 2．掌握用基本不等式解决一些简单的最值问题；【重点难点】重点：基本不等式的运用及最值的求解。

难点：基本不等式的变形应用。

【使用说明及学法指导】1.先用8分钟学习课本P 11——P 14，然后开始做导学案。

2. 把自己在预习时不能解决的问题标示出来，以备课内与同学或老师交流 。

3.理解并熟练应用基本不等式解决实际问题。

预习案一、基础知识梳理1、已知,x y 为正数，,x y S xy P +==，则（1）如果P 是 ，那么当且仅当x y =时，S 取得最小值 。

（2）如果S 是 ，那么当且仅当x y =时，P 取得最大值 。

22a b +求最值，必须同时满足三个条件：（1）各数均为 ；（2）其和或积为 ；（3） 必须成立。

二、问题导学1、求解最值的关键是通过怎样的变形来构造出符合基本不等式的条件结构？2、在应用基本不等式解决实际问题时，要注意哪几点？三预习自测1、在下列函数中，最小值为2的是（ ）5.(,0)5x A y x R x x=+∈≠ 1.lg (110)lg B y x x x =+<< .33x x C y -=+ 1.sin (0)sin 2D y x x x π=+<< 1、 若0>>b a ，则下列不等式中正确的是（ ） 22.22.22.22.b a b a ab ab D b a ab b a ab C ab b a ab b a B ab b a b a ab A +<+<+<<+<+<+<+<+ 3、若的最小值是则y x y x 42,12+=+探究案一、合作探究【题型一】利用基本不等式求函数最值 例1．已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

变式1.若1->x ，则x 为何值时=y 11++x x 有最小值，最小值为多少？【题型二】含条件的最值求法例2：已知正数b a ,满足12=+b a ，求ba 11+的最小值变式1：已知正数x,y 满足811x y+=，求x+2y 的最小值。

高中数学必修五《基本不等式》精品教案教师引导学生通过面积的比较，抽象出基本不等式，并让学生探索取等号的条件。

1.让学生计算正方形ABCD和直角三角形的面积，从而理解不等式的含义。

2.引导学生通过观察前面得到的结论，归纳出基本不等式ab≤(a+b)/2.3.让学生思考取等号的条件，即a=b时等号成立。

4.引导学生思考例子，如何验证取等号的条件。

5.让学生总结基本不等式的几何意义和取等号的条件。

教学环节问题设计意图师生活动巩固练1．已知a，b为正数，且ab=1，求证a+b≥2.2．已知a，b为正数，且a+b=2，求证ab≤1.1.让学生运用基本不等式解决实际问题，巩固所学知识。

2.引导学生运用基本不等式解决实际问题，加深对基本不等式的理解。

1.让学生列出基本不等式，代入已知条件，运用代数方法解决问题。

2.让学生列出基本不等式，代入已知条件，运用代数方法解决问题。

五．教学反思本节课采用启发引导，讲练结合，自主探究的互动式教学方法，让学生从实际问题出发，通过观察、探究、归纳等方式，深入理解基本不等式的几何意义和取等号的条件。

同时，通过多媒体辅助教学，加深学生对基本不等式的理解。

在巩固练环节，让学生通过实际问题的解决，加深对基本不等式的应用。

整节课教学紧密联系实际，符合学生的研究兴趣和认知规律，达到了预期教学目标。

6.能否用代数证明不等式a2+b2≥2ab？7.如果用a、b替换不等式a+b≥2ab中的a、b，前提条件是什么？能得到什么结论？8.能否用代数证明基本不等式？9.请用语言文字表述基本不等式？从数列的角度又如何描述呢？10.你们能否利用这个图形解释基本不等式的几何意义吗？教师引导学生：假设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，让学生计算正方形ABCD的面积与4个直角三角形的面积之和，证明不等式a2+b2≥2ab。

2.发挥学生自主研究的能动性，让学生在证明过程中体会分析法的证明思想，并从代数和几何的不同角度理解不等式，拓展学生的思维空间。

§基本不等式 ab a b(1)2学习目标学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号 的条件是：当且仅当这两个数相等；b5E2RGbCAP学习过程一、课前准备看书籍 97、 98 页填空复习 1：重要不等式：关于随意实数 a, b ，有 a 2 b 2 ____2ab ，当且仅当 ________时，等号成立 . 复习 2：基本不等式：设a,b (0,) ，则a b_____ ab ，当且仅当 ____时，不等式取等号 .2二、新课导学※ 学习研究研究 1：基本不等式 abab的几何背景：2如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标，会标是依据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热忱好客 . 你能在这个图案中 找出一些相等关系或不等关系吗？p1EanqFDPw将图中的“风车”抽象成如图，在 正 方 形ABCD 中有 4个全等的直角三角形 . 设直角三角形 的两条直角边长为 a ， b 那么正方形的边长为____________. 这样，4 个直角三角形的面积的和是___________ ，正方形的面积为 _________. 因为 4 个直角三角形的面积______正方形的面积，我们就获得了一个不等式：当直角三角形变成等腰直角三角形，即结论： 一般的，假如 a ,b R ，我们有当且仅当 a b 时，等号成立 .研究 2：你能给出它的证明吗？ a 2 b 22ab . DXDiTa9E3da=b 时，正方形 EFGH 缩为一个点，这时有 _______________ RTCrpUDGiTa 2b 22ab特其他，假如 a 0 ， b 0 ，我们用a 、b 分别取代 a 、 b ，可得 a b2 ab ，往常我们把上式写作：ab ab(a>0,b>0)2问：由不等式的性质证明基本不等ab a b ？2用剖析法 证明：证明：要证a b(1) 2ab只需证a b(2) 要证（ 2），只需证 a b ____ 0 （ 3）要证（ 3），只 要证 (__________)2 0 （4）明显，（ 4）是成立的 . 当且仅当 a=b 时，（ 4）中的等号成立 . 3）理解基本不等式aba b的几何意义2研究： 课本第 98 页的“研究”在右图中， AB 是圆的直径，点 C 是 AB 上的一点， AC=a ，BC=b. 过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE ，连结 AD 、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式aba b 的几何解说吗？5PCzVD7HxA 2结论 ：基本不等式a bab2 几何意义是“ 半径不小于半弦 ”评论：1.假如把a b看作是正数 a 、 b 的等差中项，ab 看作是正数 a 、 b 的等比中项，那么2.jLBHrnAILg该定理能够表达为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项2.在数学中，我们称a b为 a 、 b 的算术均匀数，称ab 为 a 、 b 的几何均匀数 .本节定理还可表达为：两个正2.xHAQX74J0X数的算术均匀数不小于它们的几何均匀数※ 典型例题例 1 （ 1）用篱笆围成一个面积为 100m 2 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少？LDAYtRyKfE（2）段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最 大，最大面积是多少 ?Zzz6ZB2Ltk※ 着手试一试练 1. x0 时，当 x 取什么值时， x1 的值最小？最小值是多少？x练 2. 已知直角三角形的面积等于 50 ，两条直角边各为多少时，两条直角边的各最小，最小值是多少三、总结提高※ 学习小结在利用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等号.※ 知识拓展两个正数 x, y1．假如和 x y 为定值 S 时，则当 xy 时，积 xy 有最大值 1 S 2 .42. 假如积 xy 为定值 P 时，则当 xy 时，和 x y 有最小值 2 P .学习评论※ 自我评论 你达成本节导教案的状况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分）计分： 1. 已知 x0，若 x ＋81的值最小，则 x 为（） .xA ． 81B ． 9C ． 3D ．162. 若 0 a1 ， 0 b 1 且 a b ，则 a b 、2 ab 、 2ab 、 a 2 b 2 中最大的一个是（） .A ． a bB ． 2 abC ． 2 abD ． a 2 b 23. 若实数 a ，b ，知足 ab 2 ，则 3 a 3 b 的最小值是（ ） .A ． 18B ． 6C ．2 3D ．3 24. 已知 x ≠ 0，当 x=_____时， x 2＋81的值最小，最小值是________.x 235. 做一个体积为 32 m ，高为 2 m 的长方体纸盒， 底面的长为 _______，宽为 ________时，用纸最少 .dvzfvkwMI1课后作业1. （ 1）把 36 写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（ 2）把 18 写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？2. 一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m ，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？rqyn14ZNXI§ 基本不等式 aba b(2)2学习目标经过例题的研究，进一步掌握基本不等式abab，并会用此定理求某些函数的最大、最小值 .2学习过程一、课前准备复习 1：已知m 0 ，求证：246 m 24 . m复习 2：若x 0，求 f (x) 4 x 9 的最小值x二、新课导学※ 学习研究研究 1：若 x 0 ，求 f ( x) 4 x 9的最大值 . x研究 2：求 f (x) 4 x9(x>5) 的最小值 . x 5※ 典型例题例 1 某工厂要建筑一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为 3m，假如池底每1m2的造价为150 元，池壁每 1m2的造价为 120 元，问如何设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？EmxvxOtOco.评论：本题既是不等式性质在实质中的应用，应注意数学语言的应用即函数分析式的成立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的合用条件.SixE2yXPq5概括：用均值不等式解决此类问题时，应按以下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)成立相应的函数关系式，把实质问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3) 在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4) 正确写出答案 .例 2 已知 x0, y 0 ，知足 x2 y 1 ，求11 的最小值 .x y总结 ：注意“ 1”妙用 .※ 着手试一试练 1. 已知 a ， b ， c ， d 都是正数，求证：(ab cd )( ac bd ) 4abcd .练 2. 若 x0 ， y0 ，且 2 81，求 xy 的最小值 .x y三、总结提高 ※ 学习小结规律技巧总结 :利用基本不等式求最值时，各项一定为正数，若为负数，则添负号变正.※ 知识拓展1. 基本不等式的变形： a2b 2_____( ab)2； ( a b ) 2 ____ a 2b2 ； ab ___ a2b 2； ab ___(a b)2 ； ( a b) 2 ____ 4ab2 222 22. 一般地， 关于 n 个正数 a 1 , a 2 , , a n (n 2) ，都有，a 1a 2 a nna 1a 2a n （当且仅当 a 1 a 2a n时取等号）n3. a 2 b 2 c 2 ab ac bc(a,b,cR) 当且仅当 a b c 时取等号）学习评论※ 自我评论 你达成本节导教案的状况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分）计分：1. 在以下不等式的证明过程中，正确的选项是（） .A ．若 a, ba b a b 2R ，则 a 2 ab b B ．若 a, b R ，则 lg a lg b 2 lg a lg b C ．若 x R ，则 x2 2 x 22 2x xD ．若 x R ，则 3x3 x2 3x3 x 22. 已知 x5 ，则函数 y 4x 21 的最大值是（ ） .4 4x5A ． 2B ． 3C ． 1D ．123. 若 x, y R ，且 x1 1 的取值范围是（） .y 1 ，则yxA． (2, ) B． [2, ) C． (4, ) D． [4, )4. 若 x, y R ，则 (x1 4) 的最小值为. y) (yx5. 已知 x 3 ，则 f ( x) x 1 的最小值为.x 3课后作业1.已知矩形的周长为 36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？ 6ewMyirQFL2. 某单位建筑一间反面靠墙的小房，地面面积为12 m2，房子正面每平方米的造价为1200 元，房子侧面每平方米的造价为800 元，屋顶的造价为5800 元 . 假如墙高为 3 m，且不计房子反面和地面的花费，问如何设计房子能使总造价最低？最低总造价是多少？kavU42VRUs。

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3。

4.2 基本不等式（第2课时）一、教学目标知识与技能1。

构建基本不等式解决函数的值域、最值问题；2。

让学生探究用基本不等式解决实际问题;3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱。

过程与方法1.采用探究法，按照观察、阅读、归纳、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学;2。

教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用;3。

设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考,鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2。

学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与,培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3。

通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性,体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣。

二、教学重点与难点:重点:1。

构建基本不等式解决函数的值域、最值问题。

备课人授课时间课题 §3.4基本不等式2a bab +≤（第2课时） 课标要求 进一步掌握基本不等式2a bab +≤教 学 目 标知识目标会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题技能目标通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式2a bab +≤情感态度价值观引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

重点 基本不等式2a bab +≤的应用 难点 利用基本不等式2a bab +≤求最大值、最小值 教问题与情境及教师活动 学生活动学过程及方法1.课题导入1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈baabbaba2．基本不等式：如果a,b是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+baabba我们称baba,2为+的算术平均数，称baab,为的几何平均数abbaabba≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是1教问题与情境及教师活动学生活动学过程及方法解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y） m。

由2x yxy+≥，可得2100x y+≥，2()40x y+≥。

等号当且仅当x=y 时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.（2）解法一：设矩形菜园的宽为x m，则长为（36－2x）m，其中0＜x＜21，其面积S＝x（36－2x）＝21·2x（36－2x）≤2122236236()28x x+-=当且仅当2x＝36－2x，即x＝9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9 m时菜园面积最大为81 m2解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为xy m2。