【数学】2020.2.15三角函数和数列高考题1(2015-2019全国1卷)

2020.2.15三角函数和数列高考题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.记为等差数列的前n项和．已知，，则A. B. C. D.2.关于函数有下述四个结论：是偶函数在区间单调递增在有4个零点的最大值为2其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.3.记为等差数列的前n项和．若，，则A. B. C. 10 D. 124.记为等差数列的前n项和．若，，则的公差为A. 1B. 2C. 4D. 85.已知曲线：，：，则下面结论正确的是A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线6.已知等差数列前9项的和为27，，则A. 100B. 99C. 98D. 977.已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为A. 11B. 9C. 7D. 58.A. B. C. D.9.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米如图，米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛10.函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为A. ，B. ，C. ，D. ，二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）11.记为等比数列的前n项和．若，，则________．12.记为数列的前n项和，若，则_____．13.已知函数，则的最小值是______．14.设等比数列满足，，则的最大值为______．15.在平面四边形ABCD中，，，则AB的取值范围是________．16.函数的最小正周期是______．17.设等差数列的前n项和为，若，，则______，的最小值为______．18.已知数列是等差数列，是其前n项和若，则的值是____．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）19.的内角A，B，C的对边分别为a，b，设．求A；若，求sinC．20.在平面四边形ABCD中，，，，．求；若，求BC．21.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为．求sinBsinC；若，，求的周长．22.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．求角C的大小；若，的面积为，求的周长．23.为数列的前n项和，已知，求的通项公式；Ⅱ设，求数列的前n项和．2020.2.15三角函数和数列高考题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）24.记为等差数列的前n项和．已知，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式，关键是求出等差数列的公差以及首项，属于基础题．根据题意，设等差数列的公差为d，则有，求出首项和公差，然后求出通项公式和前n项和即可．【解答】解：设等差数列的公差为d，由，，得，，，，故选：A．25.关于函数有下述四个结论：是偶函数在区间单调递增在有4个零点的最大值为2其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．根据绝对值的应用，结合三角函数的图象和性质分别进行判断即可．【解答】解：，则函数是偶函数，故正确；当时，，，则为减函数，故错误；当时，，由，得，即或，由是偶函数，得在上还有一个零点，即函数在有3个零点，故错误；当，时，取得最大值2，故正确，故正确是，故选C．26.记为等差数列的前n项和．若，，则A. B. C. 10 D. 12【答案】B【解析】解：为等差数列的前n项和，，，，把，代入得．故选：B．利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程，能求出的值．本题考查等差数列的第五项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．27.记为等差数列的前n项和．若，，则的公差为A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】【分析】本题主要考查等差数列公式及等差数列求和的基本量运算，属于简单题．利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出的公差．【解答】解：为等差数列的前n项和，设公差为d，，，解得，，的公差为4．故选C．28.已知曲线：，：，则下面结论正确的是A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数的图象变换、诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题．利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，即曲线，故选D．29.已知等差数列前9项的和为27，，则A. 100B. 99C. 98D. 97【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键，属于基础题．根据已知可得，进而求出公差，可得答案．【解答】解：设的公差为d，等差数列前9项的和为27，．，，又，，．故选C．30.已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为A. 11B. 9C. 7D. 5【答案】B【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图象和性质的综合运用，属于中档题．根据已知可得为正奇数，且，结合为的零点，为图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合在上单调，可得的最大值．【解答】解：为的零点，为图象的对称轴，，即，，即，，即为正奇数，在上单调，则，即，解得：，当时，，，，，此时在不单调，不满足题意；当时，，，，，此时在单调，满足题意；故的最大值为9，故选B．31.A. B. C. D.【答案】D【解析】解：．故选：D．直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．32.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米如图，米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛【答案】B【解析】【分析】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则，解得，故米堆的体积为，斛米的体积约为立方，，故选：B．33.函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】解：由函数的部分图象，可得函数的周期为，，．再根据函数的图象以及五点法作图，可得，，即，由，，求得，，故的单调递减区间为，，故选：D．由周期求出，由五点法作图求出，可得的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得的减区间．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）34.记为等比数列的前n项和．若，，则________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查等比数列前n项和的计算，结合条件建立方程组求出q是解决本题的关键．根据等比数列的通项公式，建立方程求出q的值，结合等比数列的前n项和公式进行计算即可．【解答】解：在等比数列中，由，得，即，解得，则，故答案为．35.记为数列的前n项和，若，则_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了数列的递推公式和等比数列的求和公式，属于基础题．先根据数列的递推公式可得是以为首项，以2为公比的等比数列，再根据求和公式计算即可．【解答】解：为数列的前n项和，，当时，，解得，当时，，，由可得，，是以为首项，以2为公比的等比数列，，故答案为．36.已知函数，则的最小值是______．【答案】【解析】【分析】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题．由题意可得是的一个周期，问题转化为在上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．【解答】解：由题意可得是的一个周期，故只需考虑在上的值域，先来求该函数在上的极值点，求导数可得，令可解得或，可得此时，或；的最小值只能在点，或和边界点中取到，计算可得，，，，函数的最小值为，故答案为：．37.设等比数列满足，，则的最大值为______．【答案】64【解析】【分析】本题考查数列的通项，数列与函数相结合，属于中档题．求出数列的公比与首项，化简，然后求解最值．【解答】解：等比数列满足，，设公比为q，可得，解得，，解得，则，当或时，取得最大值：，故答案为64．38.在平面四边形ABCD中，，，则AB的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】本题考查求AB的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题．【解答】如图所示，延长BA，CD交于点E，则在中，，，，设，，，，，，，，而，的取值范围是故答案为：39.函数的最小正周期是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了三角函数的图象与性质，关键是合理使用二倍角公式，属于基础题．用二倍角公式可得，然后用周期公式求出周期即可．【解答】解：，，的周期，故答案为．40.设等差数列的前n项和为，若，，则______，的最小值为______．【答案】0，【解析】【分析】本题考查等差数列的第5项的求法，考查等差数列的前n项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列的前n项和公式、通项公式列出方程组，能求出，，由此能求出的的最小值．【解答】解：设等差数列的前n项和为，，，解得，，，，或时，取最小值为．故答案为0，．41.已知数列是等差数列，是其前n项和若，则的值是____．【答案】16【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础题．设等差数列的首项为，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n项和求得的值．【解答】解：设等差数列的首项为，公差为d，则，解得．．故答案为16．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）42.的内角A，B，C的对边分别为a，b，设．求A；若，求sin C．【答案】解：的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设．则，由正弦定理得：，，，．，，由正弦定理得，解得，，，．【解析】由正弦定理得：，再由余弦定理能求出A．由已知及正弦定理可得：，可解得C的值，由两角和的正弦函数公式即可得解．本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．43.在平面四边形ABCD中，，，，．求；若，求BC．【答案】解：，，，．由正弦定理得：，即，，，，．，，，．【解析】本题考查三角函数中角的余弦值、线段长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．由正弦定理得，求出，由此能求出；由，得，再由，利用余弦定理能求出BC．44.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为．求sin B sin C；若，，求的周长．【答案】解：由三角形的面积公式可得，，由正弦定理可得，，；，，，，，，，，，，，，，，周长．【解析】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，根据两角余弦公式可得，即可求出，再根据正弦定理可得，根据余弦定理即可求出，问题得以解决．45.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．求角C的大小；若，的面积为，求的周长．【答案】解：已知等式利用正弦定理化简得：，整理得：，，，，又，；由余弦定理得，，，，，，的周长为．【解析】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sin C不为0求出cos C的值，即可确定出C的度数；利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出的值，即可求的周长．46.为数列的前n项和，已知，求的通项公式；Ⅱ设，求数列的前n项和．【答案】解：由，可知，两式相减得，即，，，，舍或，则是首项为3，公差的等差数列，的通项公式；Ⅱ，，数列的前n项和．【解析】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．根据数列的递推关系，利用作差法即可求的通项公式；Ⅱ求出，利用裂项法即可求数列的前n项和．。

知识点2015年（题）2016年（题）2017年（题）2018年（题）简单线性规划2121双曲线的性质2021交集及其运算0221利用导数研究函数的单调性0221正弦定理2020抛物线的性质0211程序框图1110由三视图求面积、体积1111二面角的平面角及求法1110椭圆的性质0111函数的图象与图象的变换0120复数的运算1110二项式定理1110函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换1110利用导数研究函数的极值1100简单曲线的极坐标方程1001棱柱、棱锥、棱台的体积1110数列递推式1002余弦定理0101数列的求和0120复数的模0101几何概型0111等差数列的前n项和0011利用导数研究曲线上某点切线方程0011直线与平面所成的角0003充分条件、必要条件、充要条件2000正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义1010茎叶图2000函数的零点2000参数方程化成普通方程1010不等式的证明1000离散型随机变量的期望与方差1001直线与圆锥曲线的综合2000交、并、补集的混合运算1000直线与圆相交的性质1100相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式1000古典概型及其概率计算公式0100对数值大小的比较0100数量积判断两个平面向量的垂直关系0110两角和与差的三角函数0110等差数列的性质0100双曲线的标准方程0100不等式的基本性质0110平面向量数量积的性质及其运算0110数列与函数的综合0100轨迹方程0100命题的真假判断与应用0010绝对值不等式的解法0011球的体积和表面积0010平面与平面垂直0011直线与抛物线的综合0011分段函数的应用0002直线与圆的位置关系0001利用导数研究函数的最值0002等比数列的前n项和0000点、线、面间的距离计算0000奇偶性与单调性的综合1000两向量的和或差的模的最值1000定积分、微积分基本定理1000等差数列与等比数列的综合1000相似三角形的判定1000基本不等式及其应用1000简单空间图形的三视图1000正弦函数的图象1000函数恒成立问题1000异面直线及其所成的角0100根据实际问题选择函数类型0100圆的切线的判定定理的证明0100参数方程的概念0100带绝对值的函数0100正弦函数的奇偶性和对称性0100解三角形0100离散型随机变量及其分布列0100抽象函数及其应用0010圆锥曲线的综合0010极差、方差与标准差0010直线与平面平行0010相关系数0010概率的应用0001棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积0001平面向量的基本定理0001三角函数的周期性0001二倍角的三角函数0001函数的零点与方程根的关系0001频率分布直方图0001补集及其运算0001排列、组合及简单计数问题0001三角形中的几何计算0001直线与椭圆的综合0001进行简单的合情推理0000平面向量数量积的坐标表示、模、夹0000系统抽样方法0000运用诱导公式化简求值0000三角函数的恒等变换及化简求值0000独立性检验00002019年（题）总计次数061616161515140414141403030313130303130313031313030202020202120202120212121202021212020212121202120202021202。

全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（3题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ）（A ）-（B （C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016年3卷）（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．二、三角函数性质（5题）4.（2017年3卷6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π5.（2017年2卷14）函数()23sin 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是．【解析】()22311cos cos 44f x x xx x =--=-+ 2cos 1x ⎛=-+ ⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]cos 0,1x ∈，当cos x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x．将动点P到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5考点：三角函数的性质三、三角函数图像变换（3题）9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈ 【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ．10.（2016年3卷14）函数sin y x x =错误！未找到引用源。

2014年1卷17.(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.2014年2卷17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：1231112n a a a ++<…+.2015年1卷(17)(本小题满分12分)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，(Ⅰ)求{a n }的通项公式：(Ⅱ)设，求数列}的前n 项和2015年2卷（4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，a 1+ a 3+ a 5=21，则a 3+ a 5+ a 7 =（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84（16）设S n 是数列{a n }的前项和，且1111,n n n a a s s ++=-=，则S n =___________________．2016年1卷 （3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （ ）（A ）100（B ）99（C ）98（D ）97（15）设等比数列满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 。

2016-217.（本小题满分12分）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，.（I ）求111101b b b ，，；（II ）求数列{}n b 的前1 000项和.2016-3（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（ ）（A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个（17）（本小题满分12分） 已知数列的前n 项和1n n S a λ=+，其中λ0. （I ）证明是等比数列，并求其通项公式 （II ）若53132S = ，求λ2017-14．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．812．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的学最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A ．440B ．330C ．220D ．1102017-23.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk k S ==∑ ．2017-39．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．-24B ．-3C ．3D ．814．设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________．2018-14．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=5aA ．12-B ．10-C ．10D ．1214．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若21n n S a =+，则6S =_____________．2018-217．（12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．2018-317．（12分）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．2019-19．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．2019-219．（12分）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+ ，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式.2019-35．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项为和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=A ． 16B ． 8C ．4D ． 214．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________.。

2020.2.18三角函数和数列高考题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共11小题，共55.0分）1.下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是 π2(π4,π2)()A. B. C. D. f(x)=|cos2x|f(x)=|sin2x|f(x)=cos |x|f(x)=sin |x|2.已知，，则 ．α∈(0,π2)2sin2α=cos2α+1sinα=()A. B.C.D.1555332553.在中，，，，则△ABC BC =1AC =5AB =( )A. B. C. D. 423029254.若在上是减函数，则a 的最大值是f(x)=cos x ‒sin x [‒a,a]( )A. B. C. D. π4π23π4π5.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十《》一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏6.若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为 y =2sin2x π12()A. B. x =kπ2‒π6(k ∈Z)x =kπ2+π6(k ∈Z)C. D. x =kπ2‒π12(k ∈Z)x =kπ2+π12(k ∈Z)7.若，则cos(π4‒α)=35sin2α=( )A. B. C. D.72515‒15‒7258.已知等比数列满足，，则{a n }a 1=3a 1+a 3+a 5=21a 3+a 5+a 7=( )A. 21B. 42C. 63D. 849.若，则sinα=13cos2α=( )A. B. C. D. 8979‒79‒8910.的内角的对边分别为若的面积为，则 ΔABC A,B,C a,b,c.ΔABC a 2+b 2‒c 24C =()A. B. C. D. π2π3π4π611.设函数，则下列结论错误的是f(x)=cos (x +π3)( )A. 的一个周期为f(x)‒2πB. 的图象关于直线对称y =f(x)x =8π3C. 的一个零点为f(x +π)x =π6D. 在单调递减f(x)(π2,π)二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）12.的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，若，，，则的面积为______．△ABC c.b =6a =2c B =π3△ABC 13.已知，，则______．sinα+cosβ=1cosα+sinβ=0sin (α+β)=14.求函数的最大值__________．15.等差数列的前n 项和为，，，则______．{a n }S n a 3=3S 4=10n∑k =11S k=16.的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，，，则________．△ABC cos A =45cos C =513a =1b =17.设数列的前n 项和为，且，，则______．{a n }S n a 1=‒1a n +1=S n +1S n S n =18.函数在的零点个数为______．f(x)=cos (3x +π6)[0,π]三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）19.已知数列和满足，，，．{a n }{b n }a 1=1b 1=04a n +1=3a n ‒b n +44b n +1=3b n ‒a n ‒4证明：是等比数列，是等差数列；(1){a n +b n }{a n ‒b n }求和的通项公式．(2){a n }{b n }20.记为等差数列的前n 项和，已知，．S n {a n }a 1=‒7S 3=‒15求的通项公式；(1){a n }求，并求的最小值．(2)S n S n21.的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．△ABC sin (A +C)=8sin 2B 2求cos B ；(1)若，的面积为2，求b ．(2)a +c =6△ABC 22.为等差数列的前n 项和，且，，记，其中表示不超过x 的最大整S n {a n }a 1=1S 7=28b n =[lga n ][x ]数，如，．[0.9]=0[lg99]=1Ⅰ求，，；()b 1b 11b 101Ⅱ求数列的前1000项和．(){b n }23.中，D 是BC 上的点，AD 平分，面积是面积的2倍．△ABC ∠BAC △ABD △ADC 求；(1)sin Bsin C若，，求BD 和AC 的长．(2)AD =1DC =222020.2.18三角函数和数列高考题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共11小题，共55.0分）24.下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是 π2(π4,π2)()A. B. C. D. f(x)=|cos2x|f(x)=|sin2x|f(x)=cos|x|f(x)=sin|x|【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的周期性及单调性，考查了排除法的应用，属于中档题．根据正弦函数、余弦函数的周期性及单调性依次判断，利用排除法即可求解．【解答】解：不是周期函数，可排除D 选项；f(x)=sin|x|的周期为，可排除C 选项；f(x)=cos|x|2π在处取得最大值，不可能在区间上单调递增，可排除B ．f(x)=|sin 2x|π4(π4,π2)故选A ．25.已知，，则 ．α∈(0,π2)2sin2α=cos2α+1sinα=()A.B.C.D.155533255【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由二倍角公式化简已知条件可得，结合角的范围可求得，，可得4sinαcosα=2cos 2αsinα>0cosα>0，根据同角三角函数基本关系式即可解得的值．cosα=2sinαsinα【解答】解：，∵2sin2α=cos2α+1由二倍角公式可得，4sinαcosα=2cos 2α，，，∵α∈(0,π2)∴sin α>0cos α>0．∴cosα=2sinα则有，sin 2α+cos 2α=sin 2α+(2sinα)2=5sin 2α=1解得．sinα=55故选B ．26.在中，，，，则△ABC BC =1AC =5AB =( )A. B. C. D. 42302925【答案】A【解析】【分析】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．利用二倍角公式求出C 的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．【解答】解：在中，，，△ABC ，，∵BC =1AC =5则AB =BC 2+AC 2−2BC ⋅ACcosC ．=1+25+2×1×5×35=32=42故选：A ．27.若在上是减函数，则a 的最大值是f(x)=cos x−sin x [−a,a]( )A.B. C. D. π4π23π4π【答案】A【解析】【分析】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．利用两角和差的正弦公式化简，由，，得，，f(x)−π2+2kπ≤x−π4≤π2+2kπk ∈Z −π4+2kπ≤x ≤34π+2kπk ∈Z 取，得的一个减区间为，结合已知条件即可求出a 的最大值．k =0f(x)[−π4,34π]【解答】解：，f(x)=cosx−sinx =−(sinx−cosx)=−2sin (x−π4)由，，−π2+2kπ≤x−π4≤π2+2kπk ∈Z 得，，−π4+2kπ≤x ≤34π+2kπk ∈Z 取，得的一个减区间为，k =0f(x)[−π4,34π]由在是减函数，f(x)[−a,a]得．{−a ≥−π4a ≤3π4,∴a ≤π4则a 的最大值是．π4故选：A ．28.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十《》一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏【答案】B【解析】【分析】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n 项和公式的实际应用，属于基础题．设这个塔顶层有a 盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n 项公式列出方程，求出a 的值．【解答】解：设这个塔顶层有a 盏灯，宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∵从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a 为首项的等比数列，∴又总共有灯381盏，，∴381=a(1−27)1−2=127a 解得，a =3则这个塔顶层有3盏灯．故选B ．29.若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为 y =2sin2x π12()A. B. x =kπ2−π6(k ∈Z)x =kπ2+π6(k ∈Z)C. D. x =kπ2−π12(k ∈Z)x =kπ2+π12(k ∈Z)【答案】B【解析】【分析】本题考查函数图象的变换规律的应用及正弦函数的图象性质，属于基础题．y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)由函数图象变换法则得出平移后的函数的解析式，然后利用正弦函数的性质求解即可．【解答】解：将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，y =2sin2x π12y =2sin[2(x +π12)]=2sin(2x +π6)令，2x +π6=kπ+π2(k ∈Z)得：，x =kπ2+π6(k ∈Z)即平移后的图象的对称轴方程为．x =kπ2+π6(k ∈Z)故选B ．30.若，则cos(π4−α)=35sin2α=( )A.B. C. D. 72515−15−725【答案】D【解析】【分析】本题主要考查三角函数的二倍角公式，诱导公式，属于基础题．利用诱导公式化，再利用二倍角的余弦公式代值可得答案．sin2α=cos(π2−2α)【解答】解：，∵cos(π4−α)=35∴sin2α=cos(π2−2α)=cos2(π4−α)．=2cos 2(π4−α)−1=2×925−1=−725故选D ．31.已知等比数列满足，，则{a n }a 1=3a 1+a 3+a 5=21a 3+a 5+a 7=( )A. 21B. 42C. 63D. 84【答案】B【解析】解：，，∵a 1=3a 1+a 3+a 5=21，∴a 1(1+q 2+q 4)=21，∴q 4+q 2+1=7，∴q 4+q 2−6=0，∴q 2=2．∴a 3+a 5+a 7=a 1(q 2+q 4+q 6)=3×(2+4+8)=42故选：B ．由已知，，，利用等比数列的通项公式可求q ，然后再代入等比数列通项公式即可a 1=3a 1+a 3+a 5=21求．本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．32.若，则sinα=13cos2α=( )A. B.C. D. 8979−79−89【答案】B【解析】【分析】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题．根据能求出结果．cos2α=1−2si n 2α【解答】解：，∵sinα=13．∴cos2α=1−2si n 2α=1−2×19=79故选B ．33.的内角的对边分别为若的面积为，则 ΔABC A,B,C a,b,c.ΔABC a 2+b 2−c24C =()A.B.C.D.π2π3π4π6【答案】C【解析】【分析】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查学生运算能力，是基础题．由得，由此能求出结果．S △ABC =12absinC =a 2+b 2−c24sinC =a 2+b 2−c 22ab=cosC 【解答】解：的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，的面积为，∵△ABC △ABC a 2+b 2−c24，∴S △ABC =12absinC =a 2+b 2−c24，∴sinC =a 2+b 2−c 22ab=cosC ，．∵0<C <π∴C =π4故选C ．34.设函数，则下列结论错误的是f(x)=cos(x +π3)( )A. 的一个周期为f(x)−2πB. 的图象关于直线对称y =f(x)x =8π3C. 的一个零点为f(x +π)x =π6D. 在单调递减f(x)(π2,π)【答案】D【解析】【分析】本题考查与余弦函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键，题目比较基础．根据余弦函数的图象和性质分别进行判断即可．【解答】解：对于A ，函数的周期为，，当时，周期，故A 正确；2kπk ∈Z k =−1T =−2π对于B ，当时，为最小值，此时的图象关于直线对称，x =8π3cos(x +π3)=cos(8π3+π3)=cosπ=−1y =f(x)x =8π3故B 正确；对于C ，因为，且，则的一个零点为f(x +π)=cos(x +π+π3)=−cos(x +π3)f(x +π)，故C 正确；x =π6对于D ，当时，，此时函数有增有减，不是单调函数，故D 错误．π2<x <π5π6<x +π3<4π3f(x)故选D ．二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）35.的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，若，，，则的面积为______．△ABC c.b =6a =2c B =π3△ABC 【答案】63【解析】【分析】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属基础题．利用余弦定理得到，然后根据面积公式求出结果即可．c 2【解答】解：由余弦定理有，，，，∵b =6a =2c B =π3，∴36=(2c)2+c 2−4c 2cos π3，∴c 2=12．故答案为．6336.已知，，则______．sinα+cosβ=1cosα+sinβ=0sin (α+β)=【答案】−12【解析】解：，sinα+cosβ=1两边平方可得：，，sin 2α+2sinαcosβ+cos 2β=1①，cosα+sinβ=0两边平方可得：，，cos 2α+2cosαsinβ+sin 2β=0②由得：，即，①+②2+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=12+2sin(α+β)=1．∴2sin(α+β)=−1．∴sin (α+β)=−12故答案为：．−12把已知等式两边平方化简可得，再利用两角和差的正弦公式化简为2+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1，可得结果．2sin(α+β)=−1本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．37.求函数的最大值__________．【答案】1【解析】【分析】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题．根据同角三角函数的基本关系将化简，利用换元得到一个关于t 的二次函数，根据二次函数性质f(x)cosx =t 即可求出答案．【解答】解：，令，则，cosx =t t ∈[0,1]则，y =−t 2+3t +14=−(t−32)2+1当时，时，，即的最大值为1，t =32y max =1f(x)故答案为1．38.等差数列的前n 项和为，，，则______．{a n }S n a 3=3S 4=10n∑k =11S k=【答案】2n n +1【解析】【分析】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力，属于中档题．利用已知条件求出等差数列的前n 项和，然后化简所求的表达式，求解即可．【解析】解：等差数列的前n 项和为，，，{a n }S n a 3=3S 4=10由，S 4=4(a 1+a 4)2=2(a 2+a 3)=10可得，数列的公差为1，首项为1，a 2=2a n =n,，，S n =n(n +1)21S n =2n(n +1)=2(1n −1n +1)则n∑k =11S k =2[1−12+12−13+13−14+…+1n −1n +1]．=2(1−1n +1)=2n n +1故答案为．2n n +139.的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，，，则________．△ABC cos A =45cos C =513a =1b =【答案】21132113【解析】【分析】本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．运用同角的平方关系可得sin A ，sin C ，再由两角和的正弦公式，可得sin B ，运用正弦定理可得，b =asinB sinA代入计算即可得到所求值．【解答】解：由，，且A ，B ，，可得：cosA =45cosC =513C ∈(0,π)，sinA =1−co s 2A =1−1625=35，sinC =1−co s 2C =1−25169=1213sinB =sin(A +C)，=sinAcosC +cosAsinC =35×513+45×1213=6365由正弦定理可得．b =asinB sinA =1×636535=2113故答案为．211340.设数列的前n 项和为，且，，则______．{a n }S n a 1=−1a n +1=S n +1S n S n =【答案】−1n【解析】解：，∵a n +1=S n +1S n ，∴S n +1−S n =S n +1S n ，∴1S n −1S n +1=1又，即，∵a 1=−11S 1=−1数列是以首项是、公差为的等差数列，∴{1S n}−1−1，∴1S n =−n ，∴S n =−1n故答案为：．−1n通过可知，两边同时除以可知，进而可知数列是以首S n +1−S n =a n +1S n +1−S n =S n +1S n S n +1S n 1S n −1S n +1=1{1S n}项、公差均为的等差数列，计算即得结论．−1本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．41.函数在的零点个数为______．f(x)=cos(3x +π6)[0,π]【答案】3【解析】【分析】本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题，属于中档题．由题意可得，可得，，即，即可求出．f(x)=cos(3x +π6)=03x +π6=π2+kπk ∈Z x =π9+13kπ【解答】解：，∵f(x)=cos(3x +π6)=0，，∴3x +π6=π2+kπk ∈Z ，，∴x =π9+13kπk ∈Z 当时，，k =0x =π9当时，，k =1x =49π当时，，k =2x =79π当时，，k =3x =109π，∵x ∈[0,π]，或，或，∴x =π9x =49πx =79π故零点的个数为3．故答案为：3．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）42.已知数列和满足，，，．{a n }{b n }a 1=1b 1=04a n +1=3a n −b n +44b n +1=3b n −a n −4证明：是等比数列，是等差数列；(1){a n +b n }{a n −b n }求和的通项公式．(2){a n }{b n }【答案】证明：，，(1)∵4a n +1=3a n −b n +44b n +1=3b n −a n −4，，∴4(a n +1+b n +1)=2(a n +b n )4(a n +1−b n +1)=4(a n −b n )+8即，；a n +1+b n +1=12(a n +b n )a n +1−b n +1=a n −b n +2又，，a 1+b 1=1a 1−b 1=1是首项为1，公比为的等比数列，∴{a n +b n }12是首项为1，公差为2的等差数列；{a n −b n }解：由可得：，，(2)(1)a n +b n =(12)n−1a n −b n =1+2(n−1)=2n−1，．∴a n =(12)n +n−12b n =(12)n −n +12【解析】本题主要考查了等差、等比数列的定义和通项公式，考查学生的计算能力和推理能力，属于简单题．定义法证明即可；(1)由结合等差、等比的通项公式可得．(2)(1)43.记为等差数列的前n 项和，已知，．S n {a n }a 1=−7S 3=−15求的通项公式；(1){a n }求，并求的最小值．(2)S n S n 【答案】解：等差数列中，，，(1)∵{a n }a 1=−7S 3=−15，，解得，，∴a 1=−73a 1+3d =−15a 1=−7d =2；∴a n =−7+2(n−1)=2n−9，，，(2)∵a 1=−7d =2a n =2n−9，∴S n =n 2(a 1+a n )=12(2n 2−16n)=n 2−8n =(n−4)2−16当时，前n 项的和取得最小值为．∴n =4S n −16【解析】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项的和公式，属于基础题．根据，，可得，，求出等差数列的公差，然后求出即可；(1)a 1=−7S 3=−15a 1=−73a 1+3d =−15{a n }a n 由，，，得，由此可求出以及的最(2)a 1=−7d =2a n =2n−9S n =n 2(a 1+a n )=12(2n 2−16n)=n 2−8n =(n−4)2−16S n S n 小值．44.的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．△ABC sin(A +C)=8sin 2B 2求cos B ；(1)若，的面积为2，求b ．(2)a +c =6△ABC 【答案】解：，(1)∵sin(A +C)=8sin 2B 2，，∴sinB =4(1−cosB)，∵sin 2B +cos 2B =1，∴16(1−cosB )2+cos 2B =1，∴16(1−cosB )2+cos 2B−1=0，∴(17cosB−15)(cosB−1)=0为三角形内角，则，∵B cosB ≠1．∴cosB =1517由可知，(2)(1)，∵S △ABC =12ac ⋅sinB =2，∴ac =172由余弦定理可得，∴b 2=a 2+c 2−2ac·cosB=a 2+c 2−2×172×1517=a 2+c 2−15=(a +c)2−2ac−15，=36−17−15=4．∴b =2【解析】本题考查了三角形的内角和定理，半角公式，三角形的面积公式，余弦定理，属于基础题．利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用半角公式化简，结(1)A +C =π−B sin(A +C)8sin 2B 2合，求出cos B ．sin 2B +cos 2B =1由可知，利用三角形面积公式求出ac 的值，再利用余弦定理变形即可求出b ．(2)(1)sinB =81745.为等差数列的前n 项和，且，，记，其中表示不超过x 的最大整数，如S n {a n }a 1=1S 7=28b n =[lga n ][x]，．[0.9]=0[lg99]=1Ⅰ求，，；()b 1b 11b 101Ⅱ求数列的前1000项和．(){b n }【答案】解：Ⅰ为等差数列的前n 项和，且，，．()S n {a n }a 1=1S 7=287a 4=28可得，则公差．a 4=4d =1所以，a n =n ，则，b n =[lgn]b 1=[lg1]=0，b 11=[lg11]=1．b 101=[lg101]=2Ⅱ由Ⅰ可知：，．()()b 1=b 2=b 3=…=b 9=0b 10=b 11=b 12=…=b 99=1，．b 100=b 101=b 102=b 103=…=b 999=2b 1000=3数列的前1000项和为：．{b n }9×0+90×1+900×2+3=1893【解析】本题考查数列的性质，数列求和，考查分析问题解决问题的能力，以及计算能力．Ⅰ利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解，，；()b 1b 11b 101Ⅱ找出数列的规律，然后求数列的前1000项和．(){b n }46.中，D 是BC 上的点，AD 平分，面积是面积的2倍．△ABC ∠BAC △ABD △ADC 求；(1)sinB sinC若，，求BD 和AC 的长．(2)AD =1DC =22【答案】解：如图，过A 作于E ，(1)AE ⊥BC，∴BD =2DC 平分∵AD ∠BAC ∴∠BAD =∠DAC在中，，△ABD BD sin ∠BAD =AD sinB ∴sinB =AD ×sin ∠BAD BD在中，，；△ADC DC sin ∠DAC =AD sinC ∴sinC =AD ×sin ∠DAC DC．∴sinB sinC =DC BD =12由知，．(2)(1)BD =2DC =2×22=2过D 作于M ，作于N ，DM ⊥AB DN ⊥AC 平分，∵AD ∠BAC ，∴DM =DN ，∴S △ABD S △ADC =12AB ×DM12AC ×DN =2，∴AB =2AC 令，则，AC =x AB =2x ，∵∠BAD =∠DAC ，∴cos ∠BAD =cos ∠DAC 由余弦定理可得：，∴(2x)2+12−(2)22×2x ×1=x 2+12−(22)22×x ×1，∴x =1，∴AC =1的长为，AC 的长为1．∴BD 2【解析】如图，过A 作于E ，由已知及面积公式可得，由AD 平分及正弦定理可得(1)AE ⊥BC BD =2DC ∠BAC ，，从而得解．sinB =AD ×sin ∠BAD BD sinC =AD ×sin ∠DAC DC sinB sinC由可求过D 作于M ，作于N ，由AD 平分，可求，令，则(2)(1)BD =2.DM ⊥AB DN ⊥AC ∠BAC AB =2AC AC =x ，利用余弦定理即可解得BD 和AC 的长．AB =2x 本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文数 一、选择题：每小题5分,共60分 1、已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合AB 中的元素个数为（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）22、已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =（A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4)3、已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）（A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i + 4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）（A ）310 （B ）15 （C ）110 （D ）1205、已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB =（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）126、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛7、已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ）（A ） 172 （B ）192（C ）10 （D ）12 8、函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈（B）13 (2,2),44 k kk Zππ-+∈（C）13(,),44k k k Z-+∈（D）13(2,2),44k k k Z-+∈9、执行右面的程序框图，如果输入的0.01t=，则输出的n=（）（A）5（B）6（C）7 （D）810、已知函数1222,1()log(1),1x xf xx x-⎧-≤=⎨-+>⎩，且()3f a=-，则(6)f a-=（A）74-（B）54-（C）34-（D）14-11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r=( ) （A）1（B）2（C ）4（D ）812、设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4二、填空题：本大题共4小题,每小题5分13、数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .14.已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则 a = .15. 若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z =3x +y 的最大值为 ．16.已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．三、解答题17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（I ）若a b =，求cos ;B（II ）若90B =，且a = 求ABC ∆的面积.18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为6，求该三棱锥的侧面积.19. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.（I ）根据散点图判断，y a bx =+与y c x =+，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =- ，根据（II ）的结果回答下列问题：（i ）当年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值时多少？（ii ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？20. （本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（I ）求k 的取值范围；（II ）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .21. （本小题满分12分）设函数()2ln x f x e a x =-.（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（II ）证明：当0a >时()22ln f x a a a≥+.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图AB 是O 直径，AC 是O 切线，BC 交O 与点E .（I ）若D 为AC 中点，证明：DE 是O 切线； （II ）若3OA CE =，求ACB ∠的大小.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求12,C C 的极坐标方程.（II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()12,0f x x x a a =+--> .（I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文答案一、 选择题（1）D （2）A （3）C （4）C （5）B （6）B（7）B （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C二、 填空题（13）6 （14）1 （15）4 （16）三、 解答题17、解：（I ）由题设及正弦定理可得2b =2ac.又a=b ，可得cosB=2222a c b ac +-=14……6分 （II ）由（I ）知2b =2ac.因为B=o 90，由勾股定理得222a c =b +.故22a c =2ac +，的.所以△ABC 的面积为1. ……12分18、解：（I ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD.因为BE ⊥平面ABCD,所以AC ⊥BE,故AC ⊥平面BED.又AC ⊂平面AEC,所以平面AEC ⊥平面BED. ……5分 （II ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，又∠ABC=o 120 ，可得x ，GB=GD=2x .因为AE ⊥EC,所以在Rt △AEC 中，可的x . 由BE ⊥平面ABCD,知△EBG 为直角三角形，可得BE=2x . 由已知得，三棱锥E-ACD 的体积E ACD V -=13×12AC ·GD ·BE=3243x =. 故x =2 ……9分从而可得.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与 △ECD故三棱锥E-ACD 的侧面积为……12分19、解：（I ）由散点图可以判断，y 关于年宣传费x 的回归方程式类型.（II）令w =y 关于w 的线性回归方程式.由于28181()()108.8d=681.6()i ii ii w w y y w w ==--==-∑∑, 56368 6.8100.6c y d w =-=-⨯=，所以y 关于w 的线性回归方程为y=100.668w +,因此y 关于x 的回归方程为y 100.6=+（Ⅲ）（i ）由（II ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值y 100.6=+，年利润z 的预报值z=576.60.24966.32⨯-= ……9分（ii ）根据（II ）的结果知，年利润z 的预报值=-20.12x x +.13.6=6.82=，即x=46.24时，z取得最大值.故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. ……12分20、解：（I）由题设，可知直线l的方程为1y kx=+.因为l与C1.解得k所以k的取值范围为44(33+. ……5分（II）设()1122,,(,)M x y N x y.将1y kx=+代入方程22(2)(3)1x y-+-=，整理得22(1)4(1)70k x k x+-++=.所以1212224(1)7,11kx x x xk k++==++.1212OM ON c x y y⋅=+()()2121211k x x k x x=++++()24181k kk+=++.由题设可得()24181k kk+=++=12，解得k=1，所以l的方程是y=x+1.故圆心C在l上，所以2MN=. ……12分21、解：（I）()f x的定义域为()()20,,2(0)xaf x e xx'+∞=-〉.当a≤0时，()()f x f x''〉，没有零点；当0a〉时，因为2xe单调递增，ax-单调递减，所以()f x'在()0,+∞单调递增，又()0f a'〉，当b 满足0＜b ＜4a 且b＜14时，()0f b '〈，故当a ＜0时()f x '存在唯一零点. ……6分（II ）由（I ），可设()f x '在()0,+∞的唯一零点为0x ，当()00x x ∈，时，()f x '＜0； 当()0x x ∈+∞，时，()f x '＞0.故()f x 在()0+∞，单调递减，在()0x +∞，单调递增，所以0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为()0f x . 由于02020x a ex -=，所以()0002221212a f x ax a n a a n x a a=++≥+. 故当0a 〉时，()221f x a a n a≥+. ……12分 22、解：（I ）连接AE ，由已知得，AE ⊥BC,AC ⊥AB. 在Rt △AEC 中，由已知得，DE=DC,故∠DEC=∠DCE. 连结OE ，则∠OBE=∠OEB.又∠OED+∠ABC=o 90，所以∠DEC+∠OEB=o 90，故∠OED=o 90，DE 是O 的切线.……5分（II ）设CE=1，AE=x ，由已知得AB=23212x -由射影定理可得，2AE CE BE =⋅， 所以2212x x =-，即42120x x +-=.可得3x =ACB=60o .……10分 23、解：（I ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. ……5分（II ）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得12ρρ==.故12ρρ-=MN =由于2C 的半径为1，所以2C MN ∆的面积为12. ……10分 24、解：（I ）当1a =时，()1f x >化为12110x x +---＞. 当1x ≤-时，不等式化为40x -＞，无解；当11x -＜＜时，不等式化为320x -＞，解得213x ＜＜； 当1x ≥，不等式化为-x +2＞0，解得1≤x ＜2.所以()1f x >的解集为223xx ⎧⎫⎨⎬⎩⎭︱＜＜. ……5分 （II ）由题设可得，()12,1312,1,12,.x a x f x x a x a x a x a --⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++⎩＜＜所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个丁点分别为()()21,0,21,0,,13a A B a C a a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭,△ABC 的面积为()2213a +.由题设得()2213a +＞6，故a ＞2. 所以a 的取值范围为()2+∞，. ……10分2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M N ，则P 的子集共有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2．复数512ii=-A ．2i -B ．12i -C ． 2i -+D ．12i -+3．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是A ．3y x =B ．||1y x =+C ．21y x =-+D ．||2x y -=4．椭圆221168x y +=的离心率为A ．13 B ．12C ．3D ．2 5．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 A ．120 B ． 720 C ． 1440 D ． 50406．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A ．13 B ．12C ．23D ．347．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ． 45-B ．35-C ．35D ．458．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧 视图可以为9．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为A ．18B ．24C ． 36D ． 4810．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为A ．1(,0)4-B ．1(0,)4C ．11(,)42D ．13(,)2411．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则 A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称12．已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a+b 与向量ka-b 垂直，则k=_____________．14．若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．15．ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_________．16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =．（I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12nn a S -=（II ）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． （I ）证明：PA BD ⊥； （II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高． 19．（本小题满分12分） 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A 配方的频数分布表指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]频数8 20 42 22 8 B 配方的频数分布表指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]频数4 12 42 32 10 （I ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率； （II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．20．（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上． （I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．21．（本小题满分12分）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（I ）求a ，b 的值；（II ）证明：当x>0，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根． （I ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．（I ）求2C 的方程；（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求|AB|．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >． （I ）当a=1时，求不等式()32f x x ≥+的解集．（II ）若不等式()0f x ≤的解集为｛x|1}x ≤-，求a 的值．参考答案一、选择题（1）B （2）C （3）B （4）D （5）B （6）A （7）B （8）D （9）C （10）C （11）D （12）A 二、填空题（13）1 （14）-6 （15）4315 （16）31三、解答题 （17）解：（Ⅰ）因为.31)31(311n n n a =⨯=- ,2311311)311(31nn n S -=--= 所以,21nn a S --（Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++= )21(n +++-=2)1(+-=n n所以}{n b 的通项公式为.2)1(+-=n n b n (18)解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=，由余弦定理得BD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD（Ⅱ）如图，作DE ⊥PB ，垂足为E 。

全国卷一历年高考三角函数部分一．选择题（共9小题）1．函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z2．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（）A．B．C．D．3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝（）A．B．C．2D．34．将函数y＝2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y＝2sin（2x+）B．y＝2sin（2x+）C．y＝2sin（2x﹣）D．y＝2sin（2x﹣）5．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x＝﹣为f（x）的零点，x＝为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．56．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C27．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，a ＝2，c＝，则C＝（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）＝2cos2x﹣sin2x+2，则（）A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为49．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B （2，b），且cos2α＝，则|a﹣b|＝（）A．B．C．D．1二．填空题（共4小题）10．在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°．BC＝2，则AB的取值范围是．11．已知θ是第四象限角，且sin（θ+）＝，则tan（θ﹣）＝．12．已知α∈（0，），tanα＝2，则cos（α﹣）＝．13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b sin C+c sin B＝4a sin B sin C，b2+c2﹣a2＝8，则△ABC的面积为．三．解答题（共4小题）14．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin A sin C．（Ⅰ）若a＝b，求cos B；（Ⅱ）设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．17．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．5年三角函数部分参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z【解答】解：由函数f（x）＝cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为＝2（﹣）＝2，∴ω＝π，f（x）＝cos（πx+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得+ϕ＝，k∈z，即ϕ＝，f（x）＝cos （πx+）．由2kπ≤πx+≤2kπ+π，求得2k﹣≤x≤2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），k∈z，故选：D．2．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（）A．B．C．D．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝sin20°cos10°+cos20°sin10°＝sin30°＝．故选：D．3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝（）A．B．C．2D．3【解答】解：∵a＝，c＝2，cos A＝，∴由余弦定理可得：cos A＝＝＝，整理可得：3b2﹣8b﹣3＝0，∴解得：b＝3或﹣（舍去）．故选：D．4．将函数y＝2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y＝2sin（2x+）B．y＝2sin（2x+）C．y＝2sin（2x﹣）D．y＝2sin（2x﹣）【解答】解：函数y＝2sin（2x+）的周期为T＝＝π，由题意即为函数y＝2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y＝2sin[2（x﹣）+]，即有y＝2sin（2x﹣）．故选：D．5．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x＝﹣为f（x）的零点，x＝为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5【解答】解：∵x＝﹣为f（x）的零点，x＝为y＝f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω＝2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣＝≤，即T＝≥，解得：ω≤12，当ω＝11时，﹣+φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ＝﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω＝9时，﹣+φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ＝，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．6．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝cos2（x+）＝cos（2x+）＝sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，a＝2，c＝，则C＝（）A．B．C．D．【解答】解：sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∵sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，∴sin A cos C+cos A sin C+sin A sin C﹣sin A cos C＝0，∴cos A sin C+sin A sin C＝0，∵sin C≠0，∴cos A＝﹣sin A，∴tan A＝﹣1，∵＜A＜π，∴A＝，由正弦定理可得＝，∴sin C＝，∵a＝2，c＝，∴sin C＝＝＝，∵a＞c，∴C＝，故选：B．8．已知函数f（x）＝2cos2x﹣sin2x+2，则（）A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4【解答】解：函数f（x）＝2cos2x﹣sin2x+2，＝2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x，＝4cos2x+sin2x，＝3cos2x+1，＝，＝，故函数的最小正周期为π，函数的最大值为，故选：B．9．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B （2，b），且cos2α＝，则|a﹣b|＝（）A．B．C．D．1【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α＝，∴cos2α＝2cos2α﹣1＝，解得cos2α＝，∴|cosα|＝，∴|sinα|＝＝，|tanα|＝||＝|a﹣b|＝＝＝．故选：B．二．填空题（共4小题）10．在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°．BC＝2，则AB的取值范围是（﹣，+）．【解答】解：方法一：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，∴设AD＝x，AE＝x，DE＝x，CD＝m，∵BC＝2，∴（x+m）sin15°＝1，∴x+m＝+，∴0＜x＜4，而AB＝x+m﹣x＝+﹣x，∴AB的取值范围是（﹣，+）．故答案为：（﹣，+）．方法二：如下图，作出底边BC＝2的等腰三角形EBC，B＝C＝75°，倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C时，AB趋近最小，为﹣；②直线接近点E时，AB趋近最大值，为+；故答案为：（﹣，+）．11．已知θ是第四象限角，且sin（θ+）＝，则tan（θ﹣）＝．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ+）＝，∴cos（θ+）＝．∴cos（）＝sin（θ+）＝，sin（）＝cos（θ+）＝．则tan（θ﹣）＝﹣tan（）＝﹣＝．故答案为：﹣．12．已知α∈（0，），tanα＝2，则cos（α﹣）＝．【解答】解：∵α∈（0，），tanα＝2，∴sinα＝2cosα，∵sin2α+cos2α＝1，解得sinα＝，cosα＝，∴cos（α﹣）＝cosαcos+sinαsin＝×+×＝，故答案为：13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b sin C+c sin B＝4a sin B sin C，b2+c2﹣a2＝8，则△ABC的面积为．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．b sin C+c sin B＝4a sin B sin C，利用正弦定理可得sin B sin C+sin C sin B＝4sin A sin B sin C，由于0＜B＜π，0＜C＜π，所以sin B sin C≠0，所以sin A＝，则A＝由于b2+c2﹣a2＝8，则：，①当A＝时，，解得bc＝，所以．②当A＝时，，解得bc＝﹣（不合题意），舍去．故：．故答案为：．三．解答题（共4小题）14．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin A sin C．（Ⅰ）若a＝b，求cos B；（Ⅱ）设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．【解答】解：（I）∵sin2B＝2sin A sin C，由正弦定理可得：＞0，代入可得（bk）2＝2ak•ck，∴b2＝2ac，∵a＝b，∴a＝2c，由余弦定理可得：cos B＝＝＝．（II）由（I）可得：b2＝2ac，∵B＝90°，且a＝，∴a2+c2＝b2＝2ac，解得a＝c＝．∴S△ABC＝＝1．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，整理得：2cos C sin（A+B）＝sin C，即2cos C sin（π﹣（A+B））＝sin C2cos C sin C＝sin C∴cos C＝，∴C＝；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S＝ab sin C＝ab＝，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5+．16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC＝ac sin B＝，∴3c sin B sin A＝2a，由正弦定理可得3sin C sin B sin A＝2sin A，∵sin A≠0，∴sin B sin C＝；（2）∵6cos B cos C＝1，∴cos B cos C＝，∴cos B cos C﹣sin B sin C＝﹣＝﹣，∴cos（B+C）＝﹣，∴cos A＝，∵0＜A＜π，∴A＝，∵＝＝＝2R＝＝2，∴sin B sin C＝•＝＝＝，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c＝∴周长a+b+c＝3+．17．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：＝，即＝，∴sin∠ADB＝＝，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB＝＝．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝，∵DC＝2，∴BC＝＝＝5．。

高考卷15年全国卷一数学一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列函数中，奇函数是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^2 + 12. 已知等差数列{an}，a1=1，a3=3，则公差d等于（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 在三角形ABC中，若a=8, b=10, sinA=3/5，则三角形ABC的面积S为（）A. 12B. 24C. 36D. 484. 下列函数中，单调递增的是（）A. y = 2x + 1B. y = x^2 4x + 3C. y = (1/2)^xD. y = x^35. 若复数z满足|z1|=|z+1|，则z在复平面上的对应点位于（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 原点D. 不在坐标轴上二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个实数的和仍然是一个实数。

（）2. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，则f'(x) > 0。

（）3. 在等差数列中，若m+n=2p，则am+an=2ap。

（）4. 两条平行线的斜率相等。

（）5. 若矩阵A的行列式为0，则A一定不可逆。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x) = x^2 2x，则f'(0) = _______。

2. 若等差数列{an}的公差为3，首项为2，则第10项a10 =_______。

3. 在直角坐标系中，点P(3, 4)到原点的距离OP = _______。

4. 若复数z=3+4i，则z的模|z| = _______。

5. 已知矩阵A为2阶方阵，且|A|=6，则A的逆矩阵A^1的行列式|A^1| = _______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述函数的单调性与导数的关系。

2. 解释等差数列的通项公式。

3. 如何求解三角形面积？4. 简述复数的基本概念。

5. 举例说明矩阵乘法的运算规律。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x) = x^3 3x，求f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值。

2020.2.22三角函数和数列全国卷3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则A. 16B. 8C. 4D. 22.若，则A. B. C. D.3.的内角的对边分别为若的面积为，则A. B. C. D.4.函数在的零点个数为A. 2B. 3C. 4D. 55.设函数，则下列结论错误的是A. 的一个周期为B. 的图象关于直线对称C. 的一个零点为D. 在单调递减6.若，则A. B. C. 1 D.7.若，则A. B. C. D.8.在中，，BC边上的高等于，则A. B. C. D.9.已知，则A. B. C. D.10.函数的最小正周期为A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）11.记为等差数列的前n项和．若，，则______．12.记为等差数列的前n项和，若，则___________．13.设等比数列满足，，则______．14.函数的图象可由函数的图象至少向右平移______个单位长度得到．15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则______．16.设是等差数列，且，，则的通项公式为______．17.设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为______．18.已知函数的图象关于直线对称，则的值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）19.等比数列中，，．求的通项公式；记为的前n项和．若，求m．20.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．求c；设D为BC边上一点，且，求的面积．21.已知各项都为正数的数列满足，．求，；求的通项公式．22.设数列满足．求的通项公式；求数列的前n项和．23.在中，，，．求；求AC边上的高．2020.2.22三角函数和数列全国卷3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）24.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的性质和前n项和公式，考查方程思想，属基础题．设等比数列的公比为，根据条件可得，解方程即可．【解答】解：设等比数列的公比为，则由前4项和为15，且，有，故选C．25.若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题．根据能求出结果．【解答】解：，．故选B．26.的内角的对边分别为若的面积为，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查学生运算能力，是基础题．由得，由此能求出结果．【解答】解：的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为，，，，．故选C．27.函数在的零点个数为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，考查数形结合法，属于基础题．解函数，在的解，即令左右为新函数和，作图求两函数在区间的交点即可．【解答】解：函数在的零点个数，即：在区间的根个数，即，令左右为新函数和，和，作图求两函数在区间的图象可知：和，在区间的图象的交点个数为3个．故选：B．28.设函数，则下列结论错误的是A. 的一个周期为B. 的图象关于直线对称C. 的一个零点为D. 在单调递减【答案】D【解析】【分析】本题考查与余弦函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键，题目比较基础．根据余弦函数的图象和性质分别进行判断即可．【解答】解：对于A，函数的周期为，，当时，周期，故A正确；对于B，当时，为最小值，此时的图象关于直线对称，故B正确；对于C，因为，且，则的一个零点为，故C正确；对于D，当时，，此时函数有增有减，不是单调函数，故D错误．故选D．29.若，则A. B. C. 1 D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数的化简求值，同角三角函数的关系式，二倍角公式的应用，“弦”化“切”是关键，属于基础题．将所求的关系式的分母“1”化为，再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：，．故选A．30.若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦函数公式，解题的关键是利用同角三角函数中的平方关系，完成弦切的互化，属于基础题．利用余弦函数的二倍角公式可求得，进而利用同角三角函数的基本关系式完成弦切的互化，然后把的值代入即可．【解答】解：由，得，故选D．31.在中，，BC边上的高等于，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点是三角形中的几何计算，熟练掌握正弦定理和余弦定理，是解答的关键，属于基础题．由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB，AC，再由三角形面积公式，可得sin A．【解答】解：在中，，BC边上的高等于，，由余弦定理得：，故，，故选D．32.已知，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二倍角公式，属于基础题．由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出．【解答】解：，，，故选A．33.函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，函数的周期性，属于基础题．利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．【解答】解：，最小正周期为．故选C．二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）34.记为等差数列的前n项和．若，，则______．【答案】4【解析】解：设等差数列的公差为d，则由，可得，，，故答案为：4．根据，可得公差，然后利用等差数列的前n项和公式将用表示，化简即可．本题考查等差数列前n项和性质以及等差数列性质，考查了转化思想，属基础题．35.记为等差数列的前n项和，若，则___________．【答案】100【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式与前n项和，是基础的计算题，属基础题．由已知求得首项与公差，代入等差数列的前n项和公式求解．【解答】解：在等差数列中，由，，得，．则．故答案为100．36.设等比数列满足，，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．设等比数列的公比为q，由，，可得：，，求解即可．【解答】解：设等比数列的公比为q，，，，，解得，．则．故答案为．37.函数的图象可由函数的图象至少向右平移______个单位长度得到．【答案】【解析】【分析】本题考查辅助角公式的应用和函数的图象变换得到的图象，属于中档题．令，则，依题意可得，由，可得答案．【解答】解：，，，令，则，即，当时，正数，故答案为．38.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查了三角形的内角和以及正弦定理，属于基础题．根据正弦定理和三角形的内角和计算即可．【解答】解：根据正弦定理可得，，，，，，，，故答案为．39.设是等差数列，且，，则的通项公式为______．【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，利用等差数列通项公式列出方程组，求出，，由此能求出的通项公式．【解答】解：是等差数列，且，，，解得，，．的通项公式为．故答案为．40.设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查三角函数的最值的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．利用已知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可．【解答】解：因为对任意的实数x都成立，所以处函数取得最大值，所以，，解得，，．则的最小值为．故答案为．41.已知函数的图象关于直线对称，则的值为______．【答案】【解析】解：的图象关于直线对称，，，即，，当时，，故答案为：．根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）42.等比数列中，，．求的通项公式；记为的前n项和．若，求m．【答案】解：等比数列中，，．，解得，当时，，当时，，的通项公式为，，或．记为的前n项和．当，时，，由，得，，无解；当，时，，由，得，，解得．【解析】利用等比数列通项公式列出方程，求出公比，由此能求出的通项公式．当，时，，由，得，，无解；当，时，，由此能求出m．本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．43.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．求c；设D为BC边上一点，且，求的面积．【答案】解：，，，．由余弦定理可得，即，即，解得舍去或，故．，，，，，，又，．【解析】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属于中档题．先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出；先根据夹角求出cos C，求出CD的长，得到，然后求出三角形ABC的面积从而得到三角形ABD的面积．44.已知各项都为正数的数列满足，．求，；求的通项公式．【答案】解：根据题意，，当时，有，而，则有，解可得，当时，有，又由，解可得，故，；根据题意，，变形可得，即有或，又由数列各项都为正数，则有，故数列是首项为，公比为的等比数列，则，故．【解析】本题考查数列的递推公式，关键是转化思路，分析得到与的关系．根据题意，由数列的递推公式，令可得，将代入可得的值，进而令可得，将代入计算可得的值，即可得答案；根据题意，将变形可得，进而分析可得或，结合数列各项为正可得，结合等比数列的性质可得是首项为，公比为的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案．45.设数列满足．求的通项公式；求数列的前n项和．【答案】解：数列满足，时，，两式相减得，，当时，，上式也成立，；数列的前项和为：．【解析】本题主要考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了计算能力，属于中档题．利用数列递推关系即可得出；，利用裂项求和方法即可得出．46.在中，，，．求；求AC边上的高．【答案】解：，，即A是锐角，，，由正弦定理得得，A为锐角，则由余弦定理得，即，即，得，得或舍，则AC边上的高．【解析】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理以及余弦定理建立方程关系是解决本题的关键．由正弦定理结合大边对大角进行求解即可利用余弦定理求出c的值，结合三角函数的高与斜边的关系进行求解即可．。

2020.2.15三角函数和数列高考题学校___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4=0，a 5=5，则( )A. a n =2n −5B. a n =3n −10C. S n =2n 2−8nD. S n =12n 2−2n【答案】A【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式，关键是求出等差数列的公差以及首项，属于基础题．根据题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则有{4a 1+6d =0a 1+4d =5，求出首项和公差，然后求出通项公式和前n 项和即可． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 4=0，a 5=5，得 {4a 1+6d =0a 1+4d =5，∴{a 1=−3d =2， ∴a n =2n −5，S n =n 2−4n ， 故选：A ．2. 关于函数有下述四个结论：是偶函数 在区间(π2,π)单调递增 在[−π,π]有4个零点 的最大值为2 其中所有正确结论的编号是( )A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③【答案】C【解析】【分析】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．根据绝对值的应用，结合三角函数的图象和性质分别进行判断即可． 【解答】解：，则函是偶函数，故①确； 当时，，，则数，故②错；当时，，得即或，由是偶函数，在上还有个零点，即函数在[−π,π]有3个零点，故③错误； 当，时，取得最大值2，故④正确， 故正确是①④， 故选C ．3. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3=S 2+S 4，a 1=2，则a 5=( )A. −12B. −10C. 10D. 12【解析】解：∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，3S 3=S 2+S 4，a 1=2， ∴3×(3a 1+3×22d)=a 1+a 1+d +4a 1+4×32d ，把a 1=2，代入得d =−3 ∴a 5=2+4×(−3)=−10． 故选：B ．利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列出方程，能求出a 5的值．本题考查等差数列的第五项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4+a 5=24，S 6=48，则{a n }的公差为( )A. 1B. 2C. 4D. 8 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查等差数列公式及等差数列求和的基本量运算，属于简单题．利用等差数列通项公式及前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n }的公差． 【解答】解：S n 为等差数列{a n }的前n 项和，设公差为d ， ∵a 4+a 5=24，S 6=48，∴{a 1+3d +a 1+4d =246a 1+6×52d =48, 解得a 1=−2，d =4， ∴{a n }的公差为4． 故选C ．5. 已知曲线C 1：，C 2：，则下面结论正确的是( )A. 把C 1上各点的横坐标伸长到原的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B. 把C 1上各点的横坐标伸长到原的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C. 把C 1上各点的横坐标缩短到原的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D. 把C 1上各点的横坐标缩短到原的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数的图象变换、诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可． 【解答】解：把C 1上各点的横坐标缩短到原的12倍，纵坐标不变，得到函数图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数的图象，即曲C2，故选D．6.已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=()A. 100B. 99C. 98D. 97【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键，属于基础题．根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：设{a n}的公差为d，∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9=9(a1+a9)2=9×2a52=9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8=a5+(10−5)d=3+5d，∴d=1，∴a100=a5+95d=98．故选C．7.已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在(π18,5π36)上单调，则ω的最大值为()A. 11B. 9C. 7D. 5【答案】B【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图象和性质的综合运用，属于中档题．根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合为的零点，为图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合在(π18,5π36)上单调，可得ω的最大值．【解答】解：为的零点，为图象的对称轴，∴2n+14⋅T=π2，即2n+14⋅2πω=π2，(n∈N)，即ω=2n+1，(n∈N)，即ω为正奇数，在(π18,5π36)上单调，则5π36−π18=π12≤T2，即T=2πω≥π6，解得：ω≤12，当ω=11时，，∵|φ|≤π2，∴φ=−π4，π5π当ω=9时，，∵|φ|≤π2，∴φ=π4，此时在(π18,5π36)单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选B．8.sin20°cos10°−cos160°sin10°=()A. −√32B. √32C. −12D. 12【答案】D【解析】解：sin20°cos10°−cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12．故选：D．直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛【答案】B【解析】【分析】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则π2r=8，解得r=16π，故米堆的体积为14×13×π×(16π)2×5≈3209，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴3209÷1.62≈22，故选：B．10.函数的部图象如图所示，则的单调递减区间为()A. . C .【答案】D【解析】解：由函数的部图象，可得函数的周期为2πω=2(54−14)=2，∴ω=π，．根据函数的图象以及五点法作图，可得π4+φ=π2，即φ=π4，由得，故单调递减区为，选：D．由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得的减区间．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）11.记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1=13，a42=a6，则S5=________．【答案】1213【解析】【分析】本题主要考查等比数列前n项和的计算，结合条件建立方程组求出q是解决本题的关键．根据等比数列的通项公式，建立方程求出q的值，结合等比数列的前n项和公式进行计算即可．【解答】解：在等比数列中，由a42=a6，得(a1q3)2=a1q5，即q6a12=q5a1，解得q=3，则S5=13(1−35)1−3=1213，故答案为1213．12.记S n为数列{a n}的前n项和，若S n=2a n+1，则S6=_____．【答案】−63【解析】【分析】本题考查了数列的递推公式和等比数列的求和公式，属于基础题．先根据数列的递推公式可得{a n}是以−1为首项，以2为公比的等比数列，再根据求和公式计算即可．【解答】解：S n为数列{a n}的前n项和，S n=2a n+1，①当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=−1，当n≥2时，S n−1=2a n−1+1，②，由①−②可得a n=2a n−2a n−1，∴a n=2a n−1，∴{a n}是以−1为首项，以2为公比的等比数列，∴S6=−1×(1−26)1−2=−63，故答案为−63．13. 已知函数，则最小值是_____．【答案】−3√32【解析】【分析】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题．由题意可得T =2π是的一个周期，问题转化为在[0,2π)上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得． 【解答】解：由题意可得T =2π是的一周期， 故只考虑在上的域，先求该函数在[0,2π)上的极值点， 求导数可得 ，可解或，可此时，π或 ；的最小只能在，π或 5π3和边界点中取到，计算可得f( π3)=3√32，f(π)=0，f( 5π3)=−3√32，f(0)=0，∴函数的最小值为−3√32， 故答案为：−3√32．14. 设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1·a 2·…·a n 的最大值为______．【答案】64【解析】【分析】本题考查数列的通项，数列与函数相结合，属于中档题． 求出数列的公比与首项，化简 a 1·a 2·⋯·a n ，然后求解最值． 【解答】解：等比数列{a n }满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，设公比为q ， 可得a 2+a 4=q (a 1+a 3)=5，解得q =12， a 1+q 2a 1=10，解得a 1=8，则a 1·a 2·⋯·a n =a 1n q 1+2+3+⋯+(n−1) =8n·(12)n(n−1)2=23n−n 2−n 2=27n−n 22，当n =3或n =4时，a 1·a 2·⋯·a n 取得最大值：2122=26=64， 故答案为64．15. 在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB的取值范围是________． 【答案】(√6−√2,√6+√2)【解析】【分析】的计算能力，属于中档题．【解答】如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，∴设，，，CD=m，∵BC=2，，，，而，∴AB的取值范围是故答案为(√6−√2,√6+√2).16.函数的最正周期是______．【答案】π2【解析】【分析】本题考查了三角函数的图象与性质，关键是合理使用二倍角公式，属于基础题．用二倍角公式可得，然用周期公式求出周期即可．【解答】解：，，的期T=π2，故答案为π2．17.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2=−3，S5=−10，则a5=______，S n的最小值为______．【答案】0，−10【解析】【分析】本题考查等差数列的第5项的求法，考查等差数列的前n项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列{a n}的前n项和公式、通项公式列出方程组，能求出a1=−4，d=1，由此能求出a5的S n的最小值．【解答】解：设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=−3，S5=−10，∴{a1+d=−35a1+5×42d=−10,解得a1=−4，d=1，∴a5=a1+4d=−4+4×1=0，S n=na1+n(n−1)2d=−4n+n(n−1)2=12(n−92)2−818，∴n=4或n=5时，S n取最小值为S4=S5=−10．故答案为0，−10．18.已知数列{a n}(n∈N∗)是等差数列，S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27，则S8的【答案】16【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和，是基础题．设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n 项和求得S 8的值． 【解答】解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 则{(a 1+d)(a 1+4d)+a 1+7d =09a 1+9×82d =27，解得{a 1=−5d =2． ∴S 8=8a 1+8×7d 2=8×(−5)+28×2=16．故答案为16．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）19. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.设(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsin C ．(1)求A ；(2)若√2a +b =2c ，求sin C ．【答案】解：(1)∵△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． 设(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsin C ．则sin 2B +sin 2C −2sinBsinC =sin 2A −sinBsinC ， ∴由正弦定理得：b 2+c 2−a 2=bc ，∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=bc 2bc =12，∵0<A <π，∴A =π3． (2)∵√2a +b =2c ，A =π3，∴由正弦定理得√2sinA +sinB =2sinC ，∴√62+sin (2π3−C)=2sinC 解得sin (C −π6)=√22，∴C −π6=π4，C =π4+π6，∴sinC =sin (π4+π6)=sin π4cos π6+cos π4sin π6=√22×√32+√22×12=√6+√24． 【解析】(1)由正弦定理得：b 2+c 2−a 2=bc ，再由余弦定理能求出A ．(2)由已知及正弦定理可得：sin (C −π6)=√22，可解得C 的值，由两角和的正弦函数公式即可得解．本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20. 在平面四边形ABCD 中，∠ADC =90°，∠A =45°，AB =2，BD =5．(1)求cos ∠ADB ；(2)若DC =2√2，求BC ．【答案】解：(1)∵∠ADC =90°，∠A =45°，AB =2，∴由正弦定理得：AB sin∠ADB =BD sin∠A，即2sin ∠ADB=5sin45∘，∴sin ∠ADB =2sin45°5=√25， ∵AB <BD ，∴∠ADB <∠A ， ∴cos ∠ADB =√1−(√25)2=√235． (2)∵∠ADC =90°，∴cos ∠BDC =sin ∠ADB =√25，∵DC =2√2，∴BC =√BD 2+DC 2−2×BD ×DC ×cos ∠BDC=√25+8−2×5×2√2×√25=5．【解析】本题考查三角函数中角的余弦值、线段长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． (1)由正弦定理得2sin ∠ADB=5sin45∘，求出sin ∠ADB =√25，由此能求出cos ∠ADB ；(2)由∠ADC =90°，得cos ∠BDC =sin ∠ADB =√25，再由DC =2√2，利用余弦定理能求出BC ．21. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为．(1)求sin B sin C ；(2)若6cosBcosC =1，a =3，求△ABC 的周长．【答案】解：(1)由三角形的面积公式可得S △ABC =12acsinB =a 23sinA ，∴3csinBsinA =2a ，由正弦定理可得3sinCsinBsinA =2sinA ， ∵sinA ≠0， ∴sinBsinC =23；(2)∵6cosBcosC =1， ∴cosBcosC =16，∴cosBcosC −sinBsinC =16−23=−12， ∴cos (B +C)=−12， ∴cosA =12， ∵0<A <π， ∴A =π3，abc∴sinBsinC =b 2R ⋅c 2R =(23)2=bc 12=23，∴bc =8，∵a 2=b 2+c 2−2bccosA ， ∴b 2+c 2−bc =9，∴(b +c)2=9+3cb =9+24=33， ∴b +c =√33，∴周长a +b +c =3+√33． 【解析】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题． (1)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，(2)根据两角余弦公式可得cosA =12，即可求出A =π3，再根据正弦定理可得bc =8，根据余弦定理即可求出b +c ，问题得以解决．22. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C(acos B +bcos A)=c ．(1)求角C 的大小；(2)若c =√7，△ABC 的面积为3√32，求△ABC 的周长．【答案】解：(1)已知等式利用正弦定理化简得：2cosC(sinAcosB +sinBcosA)=sinC ， 整理得：2cosCsin(A +B)=sinC ， ∵sinC ≠0，sin (A +B)=sinC ， ∴cosC =12， 又0<C <π， ∴C =π3；(2)由余弦定理得7=a 2+b 2−2ab ·12， ∴(a +b)2−3ab =7， ∵S =12absinC =√34ab =3√32， ∴ab =6，∴(a +b)2−18=7， ∴a +b =5，∴△ABC 的周长为5+√7．【解析】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．(1)已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sin C 不为0求出cos C 的值，即可确定出C 的度数；(2)利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a +b 的值，即可求△ABC 的周长．23. S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a n2+2a n =4S n +3 (I)求{a n }的通项公式； (Ⅱ)设b n =1an a n+1，求数列{b n }的前n 项和．【答案】解：(I)由a n2+2a n=4S n+3，可知a n+12+2a n+1=4S n+1+3，两式相减得a n+12−a n2+2(a n+1−a n)=4a n+1，即2(a n+1+a n)=a n+12−a n2=(a n+1+a n)(a n+1−a n)，∵a n>0，∴a n+1−a n=2，∵a12+2a1=4a1+3，∴a1=−1(舍)或a1=3，则{a n}是首项为3，公差d=2的等差数列，∴{a n}的通项公式a n=3+2(n−1)=2n+1；(Ⅱ)∵a n=2n+1，∴b n=1a n a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，∴数列{b n}的前n项和T n=12(13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=n3(2n+3)．【解析】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．(I)根据数列的递推关系，利用作差法即可求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求出b n=1a n a n+1，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和．。

2020.2.18三角函数和数列高考题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共11小题，共55.0分）1.下列函数中，以π2为周期且在区间(π4,π2)单调递增的是()A. f(x)=|cos2x|B. f(x)=|sin2x|C. f(x)=cos|x|D. f(x)=sin|x|【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的周期性及单调性，考查了排除法的应用，属于中档题．根据正弦函数、余弦函数的周期性及单调性依次判断，利用排除法即可求解．【解答】解：f(x)=sin|x|不是周期函数，可排除D选项；f(x)=cos|x|的周期为2π，可排除C选项；f(x)=|sin2x|在π4处取得最大值，不可能在区间(π4,π2)上单调递增，可排除B．故选A．2.已知α∈(0,π2)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=()．A. 15B. √55C. √33D. 2√55【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由二倍角公式化简已知条件可得4sinαcosα=2cos2α，结合角的范围可求得sinα>0，cosα>0，可得cosα=2sinα，根据同角三角函数基本关系式即可解得sinα的值．【解答】解：∵2sin2α=cos2α+1，由二倍角公式可得4sinαcosα=2cos2α，∵α∈(0,π2)，∴sinα>0，cosα>0，∴cosα=2sinα．则有sin2α+cos2α=sin2α+(2sinα)2=5sin2α=1，解得sinα=√55．故选B．3.在△ABC中，，BC=1，AC=5，则AB=()A. 4√2B. √30C. √29D. 2√5【答案】A【解析】【分析】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．解：在△ABC 中，，，∵BC =1，AC =5，则AB =2+AC 2−2BC ⋅ACcosC =√1+25+2×1×5×35=√32=4√2．故选：A ．4. 若f(x)=cos x −sin x 在[−a,a]上是减函数，则a 的最大值是( )A. π4B. π2C. 3π4D. π【答案】A【解析】【分析】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．利用两角和差的正弦公式化简f(x)，由−π2+2kπ≤x −π4≤π2+2kπ，k ∈Z ，得−π4+2kπ≤x ≤34π+2kπ，k ∈Z ，取k =0，得f(x)的一个减区间为[−π4,34π]，结合已知条件即可求出a 的最大值． 【解答】解：f(x)=cosx −sinx =−(sinx −cosx)=−√2sin(x −π4)， 由−π2+2kπ≤x −π4≤π2+2kπ，k ∈Z ， 得−π4+2kπ≤x ≤34π+2kπ，k ∈Z ， 取k =0，得f(x)的一个减区间为[−π4,34π]， 由f(x)在[−a,a]是减函数， 得{−a ≥−π4a ≤3π4,∴a ≤π4． 则a 的最大值是π4．故选：A ．5. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 【答案】B【解析】【分析】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n 项和公式的实际应用，属于基础题． 设这个塔顶层有a 盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是解：设这个塔顶层有a 盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a 为首项的等比数列， 又总共有灯381盏， ∴381=a(1−27)1−2=127a ，解得a =3，则这个塔顶层有3盏灯． 故选B ．6. 若将函数y =2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后的图象的对称轴为( )A. x =kπ2−π6(k ∈Z)B. x =kπ2+π6(k ∈Z)C. x =kπ2−π12(k ∈Z)D. x =kπ2+π12(k ∈Z)【答案】B【解析】【分析】本题考查函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)图象的变换规律的应用及正弦函数的图象性质，属于基础题．由函数图象变换法则得出平移后的函数的解析式，然后利用正弦函数的性质求解即可． 【解答】解：将函数y =2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y =2sin[2(x +π12)]=2sin(2x +π6)的图象， 令2x +π6=kπ+π2(k ∈Z)， 得：x =kπ2+π6(k ∈Z)，即平移后的图象的对称轴方程为x =kπ2+π6(k ∈Z)．故选B ．7. 若cos(π4−α)=35，则sin2α=( )A. 725B. 15C. −15D. −725【答案】D【解析】【分析】本题主要考查三角函数的二倍角公式，诱导公式，属于基础题．利用诱导公式化sin2α=cos(π2−2α)，再利用二倍角的余弦公式代值可得答案． 【解答】π3∴sin2α=cos(π2−2α)=cos2(π4−α)=2cos 2(π4−α)−1=2×925−1=−725．故选D ．8. 已知等比数列{a n }满足a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，则a 3+a 5+a 7=( )A. 21B. 42C. 63D. 84 【答案】B【解析】解：∵a 1=3，a 1+a 3+a 5=21， ∴a 1(1+q 2+q 4)=21， ∴q 4+q 2+1=7， ∴q 4+q 2−6=0， ∴q 2=2，∴a 3+a 5+a 7=a 1(q 2+q 4+q 6)=3×(2+4+8)=42． 故选：B ．由已知，a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，利用等比数列的通项公式可求q ，然后再代入等比数列通项公式即可求．本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．9. 若sinα=13，则cos2α=( )A. 89B. 79C. −79D. −89【答案】B【解析】【分析】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题． 根据cos2α=1−2sin 2α能求出结果． 【解答】 解：∵sinα=13，∴cos2α=1−2sin 2α=1−2×19=79． 故选B ．10. ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若ΔABC 的面积为a 2+b 2−c 24，则C = ( )A. π2B. π3C. π4D. π6【答案】C【解析】【分析】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查学生运算能力，是基础题． 由S △ABC =12absinC =a 2+b 2−c 24得sinC =a 2+b 2−c 22ab=cosC ，由此能求出结果．【解答】a 2+b 2−c 2∴S△ABC=12absinC=a2+b2−c24，∴sinC=a2+b2−c22ab=cosC，∵0<C<π，∴C=π4．故选C．11.设函数f(x)=cos(x+π3)，则下列结论错误的是()A. f(x)的一个周期为−2πB. y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称C. f(x+π)的一个零点为x=π6D. f(x)在(π2,π)单调递减【答案】D【解析】【分析】本题考查与余弦函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键，题目比较基础．根据余弦函数的图象和性质分别进行判断即可．【解答】解：对于A，函数的周期为2kπ，k∈Z，当k=−1时，周期T=−2π，故A正确；对于B，当x=8π3时，cos(x+π3)=cos(8π3+π3)=cosπ=−1为最小值，此时y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称，故B正确；对于C，因为f(x+π)=cos(x+π+π3)=−cos(x+π3)，且，则f(x+π)的一个零点为x=π6，故C正确；对于D，当π2<x<π时，5π6<x+π3<4π3，此时函数f(x)有增有减，不是单调函数，故D错误．故选D．二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）12.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b=6，a=2c，B=π3，则△ABC的面积为______．【答案】6√3【解析】【分析】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属基础题．利用余弦定理得到c2，然后根据面积公式求出结果即可．【解答】∵b=6，a=2c，B=π3，∴36=(2c)2+c2−4c2cosπ3，∴c2=12，．故答案为6√3．13.已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin(α+β)=______．【答案】−12【解析】解：sinα+cosβ=1，两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①，cosα+sinβ=0，两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②，由①+②得：2+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1，即2+2sin(α+β)=1，∴2sin(α+β)=−1．∴sin(α+β)=−12．故答案为：−12．把已知等式两边平方化简可得2+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1，再利用两角和差的正弦公式化简为2sin(α+β)=−1，可得结果．本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．14.求函数的最大值__________．【答案】1【解析】【分析】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题．根据同角三角函数的基本关系将f(x)化简，利用cosx=t换元得到一个关于t的二次函数，根据二次函数性质即可求出答案．【解答】解：，令cosx=t，则t∈[0,1]，则y=−t2+√3t+14=−(t−√32)2+1，当t=√32时，时，y max=1，即f(x)的最大值为1，故答案为1．15. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=3，S 4=10，则∑1S kn k=1=______．【答案】2nn+1【解析】【分析】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力，属于中档题． 利用已知条件求出等差数列的前n 项和，然后化简所求的表达式，求解即可． 【解析】解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=3，S 4=10， 由S 4=4(a 1+a 4)2=2(a 2+a 3)=10，可得a 2=2，数列的公差为1，首项为1，a n =n, S n =n(n+1)2，1S n=2n(n+1)=2(1n −1n+1)，则∑1S kn k=1=2[1−12+12−13+13−14+⋯+1n −1n+1]=2(1−1n+1)=2nn+1．故答案为2nn+1．16. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b =________． 【答案】21132113【解析】【分析】本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．运用同角的平方关系可得sin A ，sin C ，再由两角和的正弦公式，可得sin B ，运用正弦定理可得b =asinB sinA ，代入计算即可得到所求值．【解答】解：由cosA =45，cosC =513，且A ，B ，C ∈(0,π)，可得： sinA =√1−cos 2A =√1−1625=35， sinC =√1−cos 2C =√1−25169=1213，sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC =35×513+45×1213=6365， 由正弦定理可得b =asinB sinA=1×636535=2113．故答案为2113．17.设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=−1，a n+1=S n+1S n，则S n=______．【答案】−1n【解析】解：∵a n+1=S n+1S n，∴S n+1−S n=S n+1S n，∴1S n −1S n+1=1，又∵a1=−1，即1S1=−1，∴数列{1S n}是以首项是−1、公差为−1的等差数列，∴1S n=−n，∴S n=−1n，故答案为：−1n．通过S n+1−S n=a n+1可知S n+1−S n=S n+1S n，两边同时除以S n+1S n可知1Sn −1S n+1=1，进而可知数列{1Sn}是以首项、公差均为−1的等差数列，计算即得结论．本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．18.函数f(x)=cos(3x+π6)在[0,π]的零点个数为______．【答案】3【解析】【分析】本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题，属于中档题．由题意可得f(x)=cos(3x+π6)=0，可得3x+π6=π2+kπ，k∈Z，即x=π9+13kπ，即可求出．【解答】解：∵f(x)=cos(3x+π6)=0，∴3x+π6=π2+kπ，k∈Z，∴x=π9+13kπ，k∈Z，当k=0时，x=π9，当k=1时，x=49π，当k=2时，x=79π，当k=3时，x=109π，∴x =π9，或x =49π，或x =79π，故零点的个数为3． 故答案为：3．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）19. 已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，4a n+1=3a n −b n +4，4b n+1=3b n −a n −4．(1)证明：{a n +b n }是等比数列，{a n −b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．【答案】(1)证明：∵4a n+1=3a n −b n +4，4b n+1=3b n −a n −4， ∴4(a n+1+b n+1)=2(a n +b n )，4(a n+1−b n+1)=4(a n −b n )+8， 即a n+1+b n+1=12(a n +b n )，a n+1−b n+1=a n −b n +2； 又a 1+b 1=1，a 1−b 1=1，∴{a n +b n }是首项为1，公比为12的等比数列， {a n −b n }是首项为1，公差为2的等差数列；(2)解：由(1)可得：a n +b n =(12)n−1，a n −b n =1+2(n −1)=2n −1， ∴a n =(12)n +n −12，b n =(12)n −n +12．【解析】本题主要考查了等差、等比数列的定义和通项公式，考查学生的计算能力和推理能力，属于简单题． (1)定义法证明即可；(2)由(1)结合等差、等比的通项公式可得．20. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1=−7，S 3=−15．(1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．【答案】解：(1)∵等差数列{a n }中，a 1=−7，S 3=−15， ∴a 1=−7，3a 1+3d =−15，解得a 1=−7，d =2， ∴a n =−7+2(n −1)=2n −9；(2)∵a 1=−7，d =2，a n =2n −9，∴S n =n2(a 1+a n )=12(2n 2−16n)=n 2−8n =(n −4)2−16，∴当n =4时，前n 项的和S n 取得最小值为−16．【解析】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项的和公式，属于基础题．(1)根据a 1=−7，S 3=−15，可得a 1=−7，3a 1+3d =−15，求出等差数列{a n }的公差，然后求出a n 即可；(2)由a 1=−7，d =2，a n =2n −9，得S n =n2(a 1+a n )=12(2n 2−16n)=n 2−8n =(n −4)2−16，由此可求出S n 以及S n 的最小值．21.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A+C)=8sin2B2．(1)求cos B；(2)若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．【答案】解：(1)∵sin(A+C)=8sin2B2，，∴sinB=4(1−cosB)，∵sin2B+cos2B=1，∴16(1−cosB)2+cos2B=1，∴16(1−cosB)2+cos2B−1=0，∴(17cosB−15)(cosB−1)=0，∵B为三角形内角，则cosB≠1，∴cosB=1517．(2)由(1)可知，∵S△ABC=12ac⋅sinB=2，∴ac=172，∴由余弦定理可得，b2=a2+c2−2ac·cosB=a2+c2−2×172×1517=a2+c2−15=(a+c)2−2ac−15=36−17−15=4，∴b=2．【解析】本题考查了三角形的内角和定理，半角公式，三角形的面积公式，余弦定理，属于基础题．(1)利用三角形的内角和定理可知A+C=π−B，再利用诱导公式化简sin(A+C)，利用半角公式化简8sin2B2，结合sin2B+cos2B=1，求出cos B．(2)由(1)可知sinB=817，利用三角形面积公式求出ac的值，再利用余弦定理变形即可求出b．22.S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，记b n=[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．(Ⅰ)求b1，b11，b101；(Ⅱ)求数列{b n}的前1000项和．【答案】解：(Ⅰ)S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，7a4=28．可得a4=4，则公差d=1．b n=[lgn]，则b1=[lg1]=0，b11=[lg11]=1，b101=[lg101]=2．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：b1=b2=b3=⋯=b9=0，b10=b11=b12=⋯=b99=1．b100=b101=b102=b103=⋯=b999=2，b1000=3．数列{b n}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3=1893．【解析】本题考查数列的性质，数列求和，考查分析问题解决问题的能力，以及计算能力．(Ⅰ)利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解b1，b11，b101；(Ⅱ)找出数列的规律，然后求数列{b n}的前1000项和．23.△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求sinBsinC；(2)若AD=1，DC=√22，求BD和AC的长．【答案】解：(1)如图，过A作AE⊥BC于E，∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，BDsin∠BAD =ADsinB，∴sinB=AD×sin∠BADBD在△ADC中，DCsin∠DAC =ADsinC，∴sinC=AD×sin∠DACDC；∴sinBsinC =DCBD=12．(2)由(1)知，BD=2DC=2×√22=√2．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴S△ABDS△ADC =12AB×DM12AC×DN=2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：(2x)2+12−(√2)22×2x×1=x2+12−(√22)22×x×1，∴x=1，∴AC =1，∴BD 的长为√2，AC 的长为1．【解析】(1)如图，过A 作AE ⊥BC 于E ，由已知及面积公式可得BD =2DC ，由AD 平分∠BAC 及正弦定理可得sinB =AD×sin∠BAD BD ，sinC =AD×sin∠DAC DC ，从而得解sinB sinC ． (2)由(1)可求BD =√2.过D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，由AD 平分∠BAC ，可求AB =2AC ，令AC =x ，则AB =2x ，利用余弦定理即可解得BD 和AC 的长．本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．。

2020.2.15三角函数和数列高考题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4=0，a 5=5，则( )A. a n =2n −5B. a n =3n −10C. S n =2n 2−8nD. S n =12n 2−2n【答案】A【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式，关键是求出等差数列的公差以及首项，属于基础题．根据题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则有{4a 1+6d =0a 1+4d =5，求出首项和公差，然后求出通项公式和前n 项和即可． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 4=0，a 5=5，得 {4a 1+6d =0a 1+4d =5，∴{a 1=−3d =2， ∴a n =2n −5，S n =n 2−4n ， 故选：A ．2. 关于函数有下述四个结论：①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间(π2,π)单调递增 ③f(x)在[−π,π]有4个零点 ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是( )A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③【答案】C【解析】【分析】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．根据绝对值的应用，结合三角函数的图象和性质分别进行判断即可． 【解答】解：f(−x)=sin |−x|+|sin (−x)|=sin |x|+|sinx|=f(x)，则函数f(x)是偶函数，故①正确；当x ∈(π2,π)时，sin |x|=sinx ，|sinx|=sinx ，则f(x)=sinx +sinx =2sinx 为减函数，故②错误；当0≤x ≤π时，f(x)=sin |x|+|sinx|=sinx +sinx =2sinx ， 由f(x)=0，得2sinx =0，即x =0或x =π，由f(x)是偶函数，得在[−π,0)上还有一个零点x =−π，即函数f(x)在[−π,π]有3个零点，故③错误；当sin |x|=1，|sinx|=1时，f(x)取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选C．3.记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=()A. −12B. −10C. 10D. 12【答案】B【解析】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3=S2+S4，a1=2，∴3×(3a1+3×22d)=a1+a1+d+4a1+4×32d，把a1=2，代入得d=−3∴a5=2+4×(−3)=−10．故选：B．利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程，能求出a5的值．本题考查等差数列的第五项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为()A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】【分析】本题主要考查等差数列公式及等差数列求和的基本量运算，属于简单题．利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：S n为等差数列{a n}的前n项和，设公差为d，∵a4+a5=24，S6=48，∴{a1+3d+a1+4d=24 6a1+6×52d=48,解得a1=−2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选C．5.已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+2π3)，则下面结论正确的是()A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数的图象变换、诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可． 【解答】解：把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y =cos2x 图象， 再把得到的曲线向左平移π12个单位长度， 得到函数y =cos2(x +π12)=cos (2x +π6) =sin (2x +2π3)的图象，即曲线C 2，故选D ．6. 已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10=8，则a 100=( )A. 100B. 99C. 98D. 97 【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键，属于基础题．根据已知可得a 5=3，进而求出公差，可得答案． 【解答】解：设{a n }的公差为d ，∵等差数列{a n }前9项的和为27， S 9=9(a 1+a 9)2=9×2a 52=9a 5．∴9a 5=27，a 5=3，又∵a 10=8=a 5+(10−5)d =3+5d ， ∴d =1，∴a 100=a 5+95d =98． 故选C ．7. 已知函数f(x)=sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|≤π2)，x =− π4为f(x)的零点，x =π4为y =f(x)图象的对称轴，且f(x)在(π18,5π36)上单调，则ω的最大值为( )A. 11B. 9C. 7D. 5【答案】B【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图象和性质的综合运用，属于中档题．根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x =−π4为f(x)的零点，x =π4为y =f(x)图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f(x)在(π18,5π36)上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=−π4为f(x)的零点，x=π4为y=f(x)图象的对称轴，∴2n+14⋅T=π2，即2n+14⋅2πω=π2，(n∈N)，即ω=2n+1，(n∈N)，即ω为正奇数，∵f(x)在(π18,5π36)上单调，则5π36−π18=π12≤T2，即T=2πω≥π6，解得：ω≤12，当ω=11时，−11π4+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤π2，∴φ=−π4，此时f(x)在(π18,5π36)不单调，不满足题意；当ω=9时，−9π4+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤π2，∴φ=π4，此时f(x)在(π18,5π36)单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选B．8.sin20°cos10°−cos160°sin10°=()A. −√32B. √32C. −12D. 12【答案】D【解析】解：sin20°cos10°−cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12．故选：D．直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛【答案】B【解析】【分析】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则π2r=8，解得r=16π，故米堆的体积为14×13×π×(16π)2×5≈3209，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴3209÷1.62≈22，故选：B．10.函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A. (kπ−14,kπ+34)，k∈ZB. (2kπ−14,2kπ+34)，k∈ZC. (k−14,k+34)，k∈ZD. (2k−14,2k+34)，k∈Z【答案】D【解析】解：由函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象，可得函数的周期为2πω=2(54−14)=2，∴ω=π，f(x)=cos(πx+φ)．再根据函数的图象以及五点法作图，可得π4+φ=π2，k∈Z，即φ=π4，f(x)=cos(πx+π4 ).由2kπ≤πx+π4≤2kπ+π，k∈Z，求得2k−14≤x≤2k+34，k∈Z，故f(x)的单调递减区间为(2k−14,2k+34)，k∈Z，故选：D．由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f(x)的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f(x)的减区间．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）11.记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1=13，a42=a6，则S5=________．【答案】1213【解析】【分析】本题主要考查等比数列前n项和的计算，结合条件建立方程组求出q是解决本题的关键．根据等比数列的通项公式，建立方程求出q的值，结合等比数列的前n项和公式进行计算即可．【解答】解：在等比数列中，由a42=a6，得(a1q3)2=a1q5，即q6a12=q5a1，解得q=3，则S5=13(1−35)1−3=1213，故答案为1213．12.记S n为数列{a n}的前n项和，若S n=2a n+1，则S6=_____．【答案】−63【解析】【分析】本题考查了数列的递推公式和等比数列的求和公式，属于基础题．先根据数列的递推公式可得{a n}是以−1为首项，以2为公比的等比数列，再根据求和公式计算即可．【解答】解：S n为数列{a n}的前n项和，S n=2a n+1，①当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=−1，当n≥2时，S n−1=2a n−1+1，②，由①−②可得a n=2a n−2a n−1，∴a n=2a n−1，∴{a n}是以−1为首项，以2为公比的等比数列，∴S6=−1×(1−26)1−2=−63，故答案为−63．13.已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是______．【答案】−3√32【解析】【分析】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题．由题意可得T=2π是f(x)的一个周期，问题转化为f(x)在[0,2π)上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．【解答】解：由题意可得T=2π是f(x)=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f(x)=2sinx+sin2x在[0,2π)上的值域，先来求该函数在[0,2π)上的极值点，求导数可得f′(x)=2cosx+2cos2x=2cosx +2(2cos 2x −1)=2(2cosx −1)(cosx +1)， 令f′(x)=0可解得cosx =12或cosx =−1， 可得此时x =π3，π或 5π3；∴y =2sinx +sin2x 的最小值只能在点x =π3，π或 5π3和边界点x =0中取到，计算可得f( π3)=3√32，f(π)=0，f( 5π3)=−3√32，f(0)=0，∴函数的最小值为−3√32， 故答案为：−3√32．14. 设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1·a 2·…·a n 的最大值为______．【答案】64【解析】【分析】本题考查数列的通项，数列与函数相结合，属于中档题． 求出数列的公比与首项，化简 a 1·a 2·⋯·a n ，然后求解最值． 【解答】解：等比数列{a n }满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，设公比为q ， 可得a 2+a 4=q (a 1+a 3)=5，解得q =12， a 1+q 2a 1=10，解得a 1=8，则a 1·a 2·⋯·a n =a 1n q 1+2+3+⋯+(n−1) =8n·(12)n(n−1)2=23n−n 2−n 2=27n−n 22，当n =3或n =4时，a 1·a 2·⋯·a n 取得最大值：2122=26=64， 故答案为64．15. 在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是________．【答案】(√6−√2,√6+√2)【解析】【分析】本题考查求AB 的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题． 【解答】如图所示，延长BA ，CD 交于点E ，则在△ADE 中，∠DAE =105°，∠ADE =45°，∠E =30°， ∴设AD =12x ，AE =√22x ，DE =√6+√24x ，CD =m ，∵BC =2， ∴(√6+√24x +m)sin15°=1，∴√6+√24x +m =√6+√2，∴0<x <4，而AB =√6+√24x +m −√22x =√6+√2−√22x ， ∴AB 的取值范围是(√6−√2,√6+√2).故答案为：(√6−√2,√6+√2).16. 函数f(x)=sin 22x 的最小正周期是______．【答案】π2【解析】【分析】本题考查了三角函数的图象与性质，关键是合理使用二倍角公式，属于基础题． 用二倍角公式可得f(x)=−12cos (4x)+12，然后用周期公式求出周期即可． 【解答】解：∵f(x)=sin 2(2x)， ∴f(x)=−12cos (4x)+12，∴f(x)的周期T =π2， 故答案为π2．17. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=______，S n 的最小值为______． 【答案】0， −10【解析】【分析】本题考查等差数列的第5项的求法，考查等差数列的前n 项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列{a n }的前n 项和公式、通项公式列出方程组，能求出a 1=−4，d =1，由此能求出a 5的S n 的最小值． 【解答】解：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2=−3，S 5=−10，∴{a 1+d =−35a 1+5×42d =−10, 解得a 1=−4，d =1，∴a 5=a 1+4d =−4+4×1=0， S n =na 1+n(n−1)2d =−4n +n(n−1)2=12(n −92)2−818，∴n =4或n =5时，S n 取最小值为S 4=S 5=−10． 故答案为0，−10．18. 已知数列{a n }(n ∈N ∗)是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0,S 9=27，则S 8的值是____． 【答案】16【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和，是基础题．设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n 项和求得S 8的值．【解答】解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 则{(a 1+d)(a 1+4d)+a 1+7d =09a 1+9×82d =27，解得{a 1=−5d =2． ∴S 8=8a 1+8×7d 2=8×(−5)+28×2=16．故答案为16．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）19. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.设(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsin C ． (1)求A ；(2)若√2a +b =2c ，求sin C ．【答案】解：(1)∵△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． 设(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsin C ．则sin 2B +sin 2C −2sinBsinC =sin 2A −sinBsinC ， ∴由正弦定理得：b 2+c 2−a 2=bc ， ∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=bc 2bc =12，∵0<A <π，∴A =π3． (2)∵√2a +b =2c ，A =π3，∴由正弦定理得√2sinA +sinB =2sinC ，∴√62+sin (2π3−C)=2sinC 解得sin (C −π6)=√22，∴C −π6=π4，C =π4+π6，∴sinC =sin (π4+π6)=sin π4cos π6+cos π4sin π6=√22×√32+√22×12=√6+√24． 【解析】(1)由正弦定理得：b 2+c 2−a 2=bc ，再由余弦定理能求出A ．(2)由已知及正弦定理可得：sin (C −π6)=√22，可解得C 的值，由两角和的正弦函数公式即可得解．本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20. 在平面四边形ABCD 中，∠ADC =90°，∠A =45°，AB =2，BD =5．(1)求cos ∠ADB ；(2)若DC =2√2，求BC ．【答案】解：(1)∵∠ADC =90°，∠A =45°，AB =2，BD =5． ∴由正弦定理得：AB sin∠ADB =BD sin∠A，即2sin∠ADB=5sin45∘， ∴sin ∠ADB =2sin45°5=√25， ∵AB <BD ，∴∠ADB <∠A ，∴cos ∠ADB =√1−(√25)2=√235． (2)∵∠ADC =90°，∴cos ∠BDC =sin ∠ADB =√25，∵DC =2√2，∴BC =√BD 2+DC 2−2×BD ×DC ×cos ∠BDC=√25+8−2×5×2√2×√25=5．【解析】本题考查三角函数中角的余弦值、线段长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． (1)由正弦定理得2sin ∠ADB=5sin45∘，求出sin ∠ADB =√25，由此能求出cos ∠ADB ；(2)由∠ADC =90°，得cos ∠BDC =sin ∠ADB =√25，再由DC =2√2，利用余弦定理能求出BC ．21. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为．(1)求sin B sin C ；(2)若6cosBcosC =1，a =3，求△ABC 的周长．【答案】解：(1)由三角形的面积公式可得S △ABC =12acsinB =a 23sinA ，∴3csinBsinA =2a ，由正弦定理可得3sinCsinBsinA =2sinA ， ∵sinA ≠0， ∴sinBsinC =23；(2)∵6cosBcosC =1， ∴cosBcosC =16，∴cosBcosC −sinBsinC =16−23=−12，∴cos (B +C)=−12，∴cosA =12， ∵0<A <π， ∴A =π3，∵asinA =bsinB =csinC =2R =√32=2√3，∴sinBsinC =b2R ⋅c2R =(2√3)2=bc12=23， ∴bc =8，∵a 2=b 2+c 2−2bccosA ，∴b 2+c 2−bc =9，∴(b +c)2=9+3cb =9+24=33，∴b +c =√33，∴周长a +b +c =3+√33．【解析】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．(1)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，(2)根据两角余弦公式可得cosA =12，即可求出A =π3，再根据正弦定理可得bc =8，根据余弦定理即可求出b +c ，问题得以解决．22. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C(acos B +bcos A)=c ．(1)求角C 的大小；(2)若c =√7，△ABC 的面积为3√32，求△ABC 的周长．【答案】解：(1)已知等式利用正弦定理化简得：2cosC(sinAcosB +sinBcosA)=sinC ， 整理得：2cosCsin(A +B)=sinC ，∵sinC ≠0，sin (A +B)=sinC ，∴cosC =12，又0<C <π，∴C =π3；(2)由余弦定理得7=a 2+b 2−2ab ·12，∴(a +b)2−3ab =7，∵S =12absinC =√34ab =3√32， ∴ab =6，∴(a +b)2−18=7，∴a +b =5，∴△ABC 的周长为5+√7．【解析】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．(1)已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sin C 不为0求出cos C 的值，即可确定出C 的度数；(2)利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a +b 的值，即可求△ABC 的周长．23. S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a n2+2a n =4S n +3 (I)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和．【答案】解：(I)由a n 2+2a n =4S n +3，可知a n+12+2a n+1=4S n+1+3，两式相减得a n+12−a n 2+2(a n+1−a n )=4a n+1，即2(a n+1+a n )=a n+12−a n 2=(a n+1+a n )(a n+1−a n )，∵a n >0，∴a n+1−a n =2，∵a 12+2a 1=4a 1+3，∴a1=−1(舍)或a1=3，则{a n}是首项为3，公差d=2的等差数列，∴{a n}的通项公式a n=3+2(n−1)=2n+1；(Ⅱ)∵a n=2n+1，∴b n=1a n a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，∴数列{b n}的前n项和T n=12(13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=n3(2n+3)．【解析】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．(I)根据数列的递推关系，利用作差法即可求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求出b n=1a n a n+1，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和．。

2015年高考数学—三角函数（解答+答案）1.(2015新课标Ⅰ文数（17）（本小题满分12分）)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B=2sinAsinC （Ⅰ）若a=b ，求cosB ；（Ⅱ）设B=90°，且a=2，求△ABC 的面积2.（2015新课标II 文数17．（本小题满分12分））ΔABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD=2DC 。

（1）求sin sin BC∠∠；（2）若60BAC ∠=o，求B ∠。

3.（2015安徽文数16.（本小题满分12分）） 已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.4.（2015北京文数（15）（本小题13分））已知函数2()sin 2f x x π=-（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值。

5.（2015重庆文数18）已知函数21()sin 22f x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小周期和最小值；（Ⅱ）将函数()f x 的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像.当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.6.(2015福建文数21.（本小题满分12分）)已知函数()2cos 10cos 222x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．7.（2015广东文数16、（本小题满分12分）） 已知tan 2α=．()1求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；()2求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．8.（2015湖北文数18.（本小题满分12分））某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.9.（2015湖南文数17. （本小题满分12分））设△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =. （Ⅰ）证明：sin cos B A =； （Ⅱ）若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C .10.（2015山东文数17．（本小题满分12分））AB C ∆中，角C B,A,所对的边分别为c b a ,,，已知33cos =B ，sin()A B +=ac =，求A sin 和c 的值.11.（2015陕西文数17．）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(,3)m a b =u r 与(cos ,sin )n A B =r平行.（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若7,2a b ==求ABC ∆的面积.12.（2015上海文数21. （本题满分14分））如图，,,O P Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米，现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时，乙到达Q 地后在原地等待.设1t t =时，乙到达P 地，2t t =时，乙到达Q 地.（1）求1t 与1()f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当12t t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在12[,]t t 上的最大值是否超过3？说明理由.13.（2015四川文数19、(本小题满分12分)）已知A 、B 、C 为ABC ∆的内角，tan ,tan A B 是关于方程2310()x px p p R +-+=∈的两个实根.（Ⅰ）求C 的大小； （Ⅱ）若3,6AB AC ==，求p 的值14.（2015天津文数16.（13分））△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，12,cos ,4b c A -==-（Ⅰ）求a 和sin C 的值； （Ⅱ）求cos 26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值。

2015-2017三角函数高考真题1、（2015全国1卷2题）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A）（B（C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 2、（2015全国1卷8题）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质3、（2015全国1卷12题）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是 .【答案】【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BEE C=∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC =75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BCFCB BFC=∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得-AB 的取值范围为）.考点：正余弦定理；数形结合思想4、（2015全国2卷10题）如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04x π≤≤时，tan PA PB x +=；当点P 在CD 边上运动时，即3,442x x πππ≤≤≠时，PA PB +=，当2x π=时，PA PB +=当点P 在AD 边上运动时，即34x ππ≤≤时，tan PA PB x +=，从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．考点：函数的图象和性质．5、（2015全国2卷17题）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．（Ⅰ） 求sin sin BC∠∠； （Ⅱ）若1AD =，2DC =，求BD 和AC 的长．【解析】（Ⅰ）1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠，因为2ABDADC S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．（Ⅱ）因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以BD =ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得DPCB OAx2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．222222326AB AC AD BD DC +=++=．由（Ⅰ）知2AB AC =，所以1AC =．考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．6、（2016全国1卷12题）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x = 对称,则()0f x A = 或()0f x A =-.7、（2016全国1卷17题）ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ； （II ）若c ABC =∆求ABC V 的周长． 试题分析：（I ）先利用正弦定理进行边角代换化简得得1cos C 2=,故C 3π=；（II ）根据1sin C 2ab =．及C 3π=得6ab =．再利用余弦定理得 ()225a b +=．再根据c =可得C ∆AB 的周长为5+．考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式 【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=-()tan tan A B C+=-,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”8、（2016全国2卷7题）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈ 解析：平移后图像表达式为，令，得对称轴方程：， 故选B ．9、（2016全国2卷9题）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2α=（A ）725 （B ）15（C ）15- （D ）725-【解析】D ∵，，10、（2016全国2卷13题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ．【解析】 ∵，， ，， ，由正弦定理得：解得．11、（2016全国3卷5题）若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．12、（2016全国3卷8题）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）（A （B （C ）- （D ）- 【答案】C 【解析】试题分析：设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以AC ==，AB =．由余弦定理，知222222cos2AB AC BC A AB AC +-===⋅，故选C ． 考点：余弦定理．13、（2016全国3卷14题）函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到． 【答案】32π 考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．14、（2017年全国1卷9题）9、已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 【答案】D【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ．注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12． 15、（2017年全国1卷17题）17、ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A．（1）求sin sin B C ；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.（1）∵ABC △面积23sin a S A=.且1sin 2S bc A =∴21sin 3sin 2a bc A A = ∴223sin 2a bc A =∵由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠得2sin sin 3B C =. （2）由（1）得2sin sin 3B C =，1cos cos 6B C = ∵πA B C ++=∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=又∵()0πA ∈，∴60A =︒，sin A =1cos 2A =由余弦定理得2229a b c bc =+-= ① 由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin ac C A=⋅ ∴22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①②得b c +=∴3a b c ++=+ABC △周长为316、（2017年全国2卷14题）函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． 【命题意图】本题考查三角函数同角基本关系及函数性质—最值，意在考查考生转化与化归思 想和运算求解能力【解析】∵ ()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，22sin cos 1x x +=∴ ()21cos 4f x x x =-+设cos t x =，[]0,1t ∈，∴ ()214f x t =-+函数对称轴为[]0,1t =，∴ ()max 1f x = 17、（2017年全国2卷17题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b 【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形．【试题分析】在第（Ⅰ）中，利用三角形内角和定理可知A C B π+=-，将2sin 8)sin(2B C A =+转化为角B 的方程，思维方向有两个：①利用降幂公式化简2sin 2B ，结合22sin cos 1B B +=求出cos B ；②利用二倍角公式，化简2sin 8sin 2BB =，两边约去2sin B ，求得2tan B，进而求得B cos .在第（Ⅱ）中，利用（Ⅰ）中结论，利用勾股定理和面积公式求出a c ac +、，从而求出b ． （Ⅰ） 【基本解法1】由题设及2sin 8sin ,2BB C B A ==++π，故 sin 4-cosB B =（1）上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0 解得 15cosB=cosB 171（舍去），= 【基本解法2】由题设及2sin 8sin ,2B BC B A ==++π，所以2sin 82cos 2sin 22B B B =，又02sin ≠B，所以412tan =B ，17152tan 12tan 1cos 22=+-=B BB（Ⅱ）由158cosB sin B 1717==得，故14a sin 217ABC S c B ac ∆== 又17=22ABC S ac ∆=，则由余弦定理及a 6c +=得2222b 2cos a 2(1cosB)1715362(1)2174a c ac Bac =+-=-+=-⨯⨯+=（+c ）所以b=2【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎．18、（2017全国3卷6题）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【答案】D【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.19、（2017全国3卷17题）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 0A A =，a =，2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．【解析】（1）由sin 0A A =得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈， ∴ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,4AC BC AB ===，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-==. ∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD =由勾股定理AD =又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=， 1πsin 26ABD S AD AB =⋅⋅=△。

2015-2019≡角函数高考真题、选择题1、(2015全国1 卷2 题)Sin20°cos10°-cos160°Sin10o =( )(Bv (C)-14、(2016全国1卷12题)已知函数f (X) =Sin( X+ )^ 0^ J X=-E 为f (X)的零点2 42、(2015全国1卷8题)函数 f (X) = cos( )的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为(k「：-1,k二3), k Z4 41 3(B) (2k —,2k ),k Z4 41 3(D)(2k- —,2k ), k Z4 43、(2015全国2卷10题)如图，长方形ABCD的边AB=2，BC =1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BoP=X .将动P到A、B两点距离之和表示为X的函数f(x),则y = f(x)的图像大致为(Xπ,X —为4y=f(x)图像的对称轴且f(x)在任,竺单调,则技的最大值为(18 36 J(A) 11 (B) 9 (C) 7 (D) 55、(2016全国2卷7题)若将函数y=2sin 2x的图像向左平移1∏个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )(A) X 斗-∏ k∙ Z (B) x=k∏ 上2 6 2& (2016全国2卷9题)若cos -(A) 25 1(B) 1 (C)5 -k Z(C)J5，15 (D)7、(2016全国3卷5题) ,则X忙訂Z (D) X=Z」k Z2 127252cos ‘：亠2sin2：=64(A)—25 (B)48258、(2016全国3卷8题) 在厶ABC中,(A)迈(B)卫10 109、(2017年全国1卷9题)16(D)—25B= - , BC边上的高等于-BC ,则cosA=( 4 3(D)-辽10(C) 1(C)-卫10、『2 JV已知曲线C i : y =CoSX , O ：y =sin 2χ■2-,则下面结论正确的是()A .把G上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移才个单位长度，得到曲线C2B.把G上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移度，得到曲线C2C.把C l上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移三个单位长6度，得到曲线C2D .把G上各点的横坐标缩短到原来的 2倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移度，得到曲线C2 .10、( 2017全国3卷6题)设函数f(x^cos(x π),则下列结论错误的是()3B. y =f (X)的图像关于直线A. f (x)的一个周期为-2πX哼对称—C. f(χ V)的一个零点为X=- D . f (x)在(∏, ∏单调递减611、(2018年全国1 ∙8)已知函数f X =2cos2χ-sin2x • 2 ,贝U ( )A. f X的最小正周期为π,最大值为3B. f X的最小正周期为π,最大值为4C. f (X )的最小正周期为2π,最大值为3 D . f (X )的最小正周期为2 π,最大值为412. (2018年全国1 • 11)已知角〉的顶点为坐标原点，始边与X轴的非负半轴重合，终边上有两点2A(1, a ), B (2 , b ),且cos2α =—,则a —b =( )3A. -B. -5C. 2-5 D . 15 5 513. (2018 年全国2 • 7).在厶ABC 中，CoSC=逅,BC =1 , AC =5 ,则AB=(2 5A . 4.2 B. .. 30 C. 29 D . 2 514. (2018年全国2 • 10)若f(x) =COSX-sinx在［0, a］是减函数，贝U a的最大值是(A. πB. πC.3πD.π42415. (2018年全国3 • 4) 若Sin「^—,则cos2 ：■=()3A 8r 778 A.-B.C. D.999916. (2018年全国3 • 6) 函数f (X)=tan X的最小正周期为 ( )1 tan2XMπ… πA.-B.-C. πD. 24217、(2018年全国3∙ 11) △ ABC的内角A , B , C的对边分别为a , b , C .若△ ABC的面积为2-CJl λJl fAA. -B. -C. —D.-2 3 4 6Sin X + X18、(2019年全国1 • 5)函数f(x)= ------------- 2在［—π,π］的图像大致为cos X 十X19、 (2019年全国1 ∙11)关于函数f(x) =sin∣x∣ |sin x|有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间(-√:)单调递增2③f(x)在［-二，二］有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A.①②④B.②④C.①④D.①③20、 (2019年全国2 • 9)下列函数中，以二为周期且在区间(二,)单调递增的是2 4 2A. f (X)=∣COS 2x IB. f (X)=∣Sin 2x ∣C. f (X)= COS | X | D . f (X) = Sin | X |___ -JT21、(2019年全国2 • 10)已知α∈0,—」，2sin 2 α= coS∣2 贝α Sin α=()2A. 1B. §C.仝 D .空5 5 3 5二、填空题1、(2015全国1卷12题)在平面四边形ABCD中，∠ A= ∠ B= ∠ C=75 ° , BC=2 ,贝U AB的取值范围是_________ .4 5 2、(2016全国2卷13题)A ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若cosA=-, cosC -,5 13a =1 ,贝Ub =_____ .3、(2016全国3卷14题)函数y =sinx---3cosx的图像可由函数y=sinχ∙ ■■一3cosx的图像至少向右平移______________ 单位长度得到.函数2厂 3 （- 7r ］）的最大值是 ____________________.f （x ）=sin x +J 3cosx -一 X E ：0 二4f 2」5. （2018年全国 1 ∙16） △ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , C ,已知 bsinC +csin B =4asin BsinC ,b 2c 2 -a 2 -8 ,则△ ABC 的面积为 _______________ 。

全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析（2015年-2019年共14套） 三角函数（共20小题）一、三角恒等变换（6题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ）（A ）32-（B ）32（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=12，故选D.2.（2018年3卷4）若，则A. B. C. D.【解析】,故答案为B.3.（2016年3卷7）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．4.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）（A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．5.（2018年2卷15）已知，，则__________．【解析】：因为，，所以，因此6.（2019年2卷10）已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ） A.15B.5C.33D.255【解析】2sin 2cos 21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，55B ． 【点评】这类题主要考查三角函数中二倍角公式（几乎必考）、两角和与差公式、诱导公式、同角三角函数基本关系式等三角函数公式，难度以容易、中等为主。

2015-2017年全国卷数列真题21、（ 2015全国1卷17题）S n 为数列｛a n ｝的前n 项和•已知a n > 0, a n a n = 4S n 3.（I ）求｛ a n ｝的通项公式;（U ）设b n ,求数列｛ b n ｝的前n 项和•a n a n 11 1【答案】（I ） 2n 1 （n ）1—16 4n 6【解析】试题分析：（I ）先用数列第n 项与前 n 项和的关系求出数列｛ a n ｝的递推公式，可以判断数列｛ a n ｝是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列 （I ）数列｛ b n ｝的通项公式，再用拆项消去法求其前n 项和•2试题解析：（I ）当n 1时，a 1 2ai 4S 3 4內+3，因为a n 0,所以a 1 =3,22当 n 2 时， a n a n a n 1 a n 1= 4S n 3 4S n 1 3 = 4a n, 即(a n a n 1)(a n a n 1) 2(a n a n 1)，因为 a n 0,所以a n a n 1=2,所以数列｛ a n ｝是首项为3,公差为2的等差数列， 所以 a n = 2n 1;1 1 1 14)由(I)知，b n =( ),(2n 1)(2n 3) 2 2n 1 2n 3a n 满足 a 1=3, a 〔 a 3 a 5 =21，贝U a 3 a 5 a 7( )A. 21 B . 42 C .63 D . 84｛ a n ｝的通项公式；（n ）根据所以数列｛b n ｝前n 项和为0 d L=1 _J_ 6 4n 6111 11 1 b n =2[(1 5)(1 1L (2H宀)]2n 32、（ 2015全国2卷4题）已知等比数列【解析】设等比数列公比为q，则 2a-i a-i q4a〔q 21，又因为a1 3，所以q4 q2 6 0 ,2解得q 2，所以a3 a5 a7 (a1 a3 a5)q242，故选B.考点：等比数列通项公式和性质.故选C.考点：等差数列及其运算【答案】64大值2664 .考点：等比数列及其应用6、（2016全国2卷17题）S n 为等差数列 a n 的前n 项和，且a 128 .记b n lg a n ,3、（2015全国2卷16题）设S n 是数列a n 的前n 项和，且a .1, a n 1S n S n1，则Sn【解析】由已知得 a n 1S n 1 S n S n 1 S n ，两边同时除以S n 1 S n ，S n故数列 丄 是以 1为首项，1为公差的等差数列，则—Sn51(n 1)所以考点：等差数列和递推关系.4、（ 2016全国1卷3题）已知等差数列 a n 前9项的和为27, a 10 8,则 a 100(A ) 100(B ) 99(C ) 98 (D ) 97试题分析：由已知，9a136d a 19d 27,所以q 1,d 1冋00 q899d 99 98,5、（ 2016全国2卷15题） 设等比数列 a n满足 a+a 3=10, a 2+a 4=5,则 a©…a n 的最大值左a a 3 10 2a (1 q 2) 10 a 1试题分析：设等比数列的公比为 q ,由得， 1 2 ,解得a ?5邛(1 q 2) 5 q81.所以2a 1a 2 L a(n 1)8n (1)n(n 1) 21 -n2 23或4时,a 1a 2L a n 取得最27一其中x表示不超过x的最大整数，如0.9 0 , Ig99 1 .(I)求b , b ii , b ioi ；(n)求数列b n的前1000项和.【解析】⑴设的公差为，，・・,,.⑵记的前项和为，则当时，；当时，；当时，；当时，7、( 2016全国3卷17题)已知数列｛a n｝的前n项和S n(I )证明｛a n｝是等比数列，并求其通项公式; an，其中0 .(II )若S53132，求由a1 0a n 1 0得a n 0，所以a n因此｛a n｝是首项为，公比为1的等比数列，于是a n —)n1(n)由(I)得S n1由乞32 得1 r £，即(―^)5 32 ,2a n 1 【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法： （1）定义法，即证明 a n（常数）；（2）2中项法，即证明a n 1 a n a n 2 3 4•根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解.8、（2017年国1卷4题）记S 为等差数列 a n 的前n 项和，若a 4 a 524 , £ C. 448，则 aD. 8的公差为（）A . 1B . 2【答案】C【解析】34 353d 4d 246 52a 1 7d 24 ①6a,d 48联立求得 26a 1 15d 48 ②① 3②得21 15 d 246d 24 •••d 4 选 C9、（ 2017年国1卷12题）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码活码是（【答案】2 1n 组总共的和为 一1 2若要使前N 项和为2的整数幕，则 匸一—项的和2k1应与2 n 互为相反大家学习数学的兴趣，他们推出了 为下面数学问题的答案：已知数列 1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2,4,8,1, 2, 4, 8, 16，…，其 中第一项是2°，接下来的两项是 20, 21，在接下来的三项式26 , 21, 22，依次类推，求满足如下条件的最小整数 N :100且该数列的前 N 项和为 2的整数幕•那么该款软件的激A. 440B . 330 C. 220 D. 110【解析】 设首项为第1组, 接下来两项为第 2组, 再接下来三项为第 3组，以此类推.设第n 组的项数为，则n 组的项数和为由题，N 100 ,令100 T n > 14且n N ,即N 出现在第13组之后第n 组的和为口- 1 22n 1目的•解得a 3 .k 1 Sk即2k1 2 n k N , n > 14Tn 29 , k 5则N29 1 295 440210、（2017全国2卷3题）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯（A. 1盏【命题意图】本题主要考查等比数列通向公式a n 及其前n 项和S n ,以考查考生的运算能力为主【解析】一座7层塔共挂了 381盏灯，即S y381 ;相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2na 1 1 q 倍，即q 2，塔的顶层为 a ；由等比前n 项和Snq 1可知：S ,1 qna 1 1 2k381，11、（2017全国2卷15题）等差数列a n 的前n 项和为S n , a 3 3 , S 4 10 ,则【命题意图】本题主要考查等差数列通向公式 a n 及其前n 项和以及叠加法求和, 【解析I ： S 410,32 a s 5k log 2 n 3故选Aa nn a1a nS n22nn 12n【知识拓展】本题不难，属于考查基础概念，但有一部分考生会丢掉n N这个条件，此处属于易错点.12、（2017全国3卷9题）等差数列a n的首项为1，公差不为0•若a2, a s , 成等比数列，则a n 前6项的和为（）A. 24B. 3C. 3D. 8【答案】A【解析】a n 为等差数列，且a2 , a3 ,比成等比数列，设公差为.则a3 a2 a6，即a122d a1 d 5d又••• a i 1，代入上式可得d22d 0又••• d 0 ,贝U d 26 5 6 5二S6 6a1 d 1 6 2 24，故选A.2 213、（2017全国3卷14题）设等比数列a n满足Q a2 1 , a a s 3，则_____________ 【答案】8【解析】Q a n为等比数列，设公比为.a1 a2 1 a aiq 1①a1 a3 3，即a 23②，显然q 1, a 0,②①得1q 3,即q 2 , 代入①式可得a1 1a4 a 3iq 132 8 .S n数列属于高考必考考点，一般占10分或12分，即两道小题或一道大题，其中必有一道小题属于基础题，一道中档偏上题或压轴题，大题在17题出现，属于基础题型，高考所占分值较大，在高中教学中列为重点讲解内容，也是大部分学生的难点，主要是平时教学题型难度严重偏离高考考试难度，以及研究题型偏离命题方向，希望能引起注意；考试主线非常明晰，1.等差数列通向公式a n及其前n项和S n ；2.等比数列通向公式a n及其前n项和& .解得考点：1、数列通项a n与前n项和为S n关系；2、等比数列的定义与通项及前n项和为S n。

2020.2.15三角函数和数列高考题学校___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4=0，a 5=5，则( )A. a n =2n −5B. a n =3n −10C. S n =2n 2−8nD. S n =12n 2−2n2. 关于函数有下述四个结论：是偶函数 在区间(π2,π)单调递增 在[−π,π]有4个零点 的最大值为2 其中所有正确结论的编号是( )A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③3. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3=S 2+S 4，a 1=2，则a 5=( )A. −12B. −10C. 10D. 124. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4+a 5=24，S 6=48，则{a n }的公差为( )A. 1B. 2C. 4D. 8 5. 已知曲线C 1：，C 2：，则下面结论正确的是( )A. 把C 1上各点的横坐标伸长到原的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B. 把C 1上各点的横坐标伸长到原的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C. 把C 1上各点的横坐标缩短到原的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D. 把C 1上各点的横坐标缩短到原的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 26. 已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10=8，则a 100=( )A. 100B. 99C. 98D. 977. 已知函数， 为的零点，为图象的对称轴，且在(π18,5π36)上单调，则ω的最大值为( )A. 11B. 9C. 7D. 5 8. sin20°cos10°−cos160°sin10°=( )A. −√32B. √32C. −12D. 129. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛10.函数的部图象如图所示，则的单调递减区间为()A. ，. ，C ，. ，二填空题（本大题共8小题，共40.0分）11.记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1=1，a42=a6，则3S5=________．12.记S n为数列{a n}的前n项和，若S n=2a n+1，则S6=_____．13.已知函数，则最小值是_____．14.设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1·a2·…·a n的最大值为______．15.在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是________．16.函数的最正周期是______．17.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2=−3，S5=−10，则a5=______，S n的最小值为______．18.已知数列{a n}(n∈N∗)是等差数列，S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27，则S8的值是____．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）19.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB−sinC)2=sin2A−sinBsin C．(1)求A；(2)若√2a+b=2c，求sin C．20.在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．(1)求cos∠ADB；(2)若DC=2√2，求BC．21.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．(1)求sin B sin C；(2)若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．22.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B+bcos A)=c．(1)求角C的大小；(2)若c=√7，△ABC的面积为3√3，求△ABC的周长．223.S n为数列{a n}的前n项和，已知a n>0，a n2+2a n=4S n+3(I)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=1，求数列{b n}的前n项和．a n a n+1。