人教版 高中数学 选修2-2课本例题习题改编(含答案)

2020年人教B版选修2-2课后练习（19）一、解答题（本大题共12小题，共144.0分）1.计算：(1)2+i7+4i；(2)2−i4−i；(3)2i1−i；√2i；(5)1i；(6)11+i．2.计算：1(1+i)2+1(1−i)2．3.1z +1z−是实数吗？4.计算：(1)(23+i)+(1−23i)−(12+34i)；(2)(−√2+√3i)−[(√3−√2)+(√3+√2)i]+(−√2i +√3)； (3)[(a +b)+(a −b)i]−[(a −b)−(a +b)i]．5. 求证：一个复数与它的共轭复数的和，等于这个复数的实部的2倍．并用图表示这一结果．6. 已知z =a +bi(a,b ∈R)，|z −z −|等于什么？并用图表示这一结果．7. 已知z 1=−3+i ，z 2=5−3i 对应的向量分别为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，以OZ 1，OZ 2为邻边作平行四边形OZ 1CZ 2，求向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所对应的复数．8. 计算：(1)(−0.2+0.3i)(0.5−0.4i)； (2)(1−2i)(2+i)(3−4i)；(3)(√a +√bi)(√a −√bi)(其中a >0，b >0)； (4)(a +bi)(a −bi)(−a +bi)(−a −bi)．9. 利用公式a 2+b 2=(a +bi)(a −bi)，把下列各式分解成一次因式的积：(1)x 2+4； (2)a 4−b 4；(3)a 2+2ab +b 2+c 2； (4)x 2+2x +3．10. 计算：(1)(1−i)+(2−i 3)+(3−i 5)+(4−i 7)；(2)(√22−√22i)2； (3)(a +bi)3．11. 计算：(1)111−5i ；(2)7−9i 1+i；(3)1−2i3−4i ； (4)1+2i2−4i ．12. 已知：z 1，z 2∈C ，求证：(1)z 1+z 2−=z 1−+z 2−；(2)z 1−z 2−=z 1−−z 2−；(3)z 1⋅z 2−=z 1−⋅z 2−； (4)(z 1z 2)−=z 1−z 2−(z 2≠0)．-------- 答案与解析 --------1.答案：解：(1)2+i7+4i =(2+i)(7−4i)(7+4i)(7−4i)=14−8i+7i+449+16=18−i65=1865−i65；(2)2−i4−i =(2−i)(4+i)(4−i)(4+i)=8+2i−4i+116+1=9−2i17=917−2i17；(3)2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=2i−21+1=−1+i；√2i =√2i⋅i=−√22i；(5)1i =−ii⋅(−i)=−i；(6)11+i =1−i(1+i)(1−i)=1−i1+1=12−12i．解析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，属基础题．2.答案：解：1(1+i)2+1(1−i)2=11+2i−1+11−2i−1=12i+1−2i=−i2+i2=0．解析：根据完全平方公式去平方，再根据i2=−1和复数除法运算法则化简求解即可．本题考查了复数的定义及四则运算法则，属基础题．3.答案：解：设z=a+bi，(a,b∈R)，则z−=a−bi．1 z +1z−=1a+bi+1a−bi=a−bi(a+bi)(a−bi)+a+bi(a−bi)(a+bi)=2aa2+b2．∵a，b∈R，∴2aa2+b2∈R．即1z +1z−是实数．解析：根据复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．4.答案：解：(1)(23+i)+(1−23i)−(12+34i)，=(23+1−12)+(1−23−34)i，=76−512i，(2)(−√2+√3i)−[(√3−√2)+(√3+√2)i]+(−√2i+√3)，=(−√2−√3+√2+√3)+(√3−√3−√2−√2)i=−2√2i；(3)[(a+b)+(a−b)i]−[(a−b)−(a+b)i]．=2b−2bi．解析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简．即可得到答案． 本题考查了复数代数形式的加减运算，属于基础试题．5.答案：解：设z =a +bi(a,b ∈R)，z −=a −bi ，z +z −=(a +bi)+(a −bi)=2a ． a 是这个复数z 的实部，所以一个复数与它的共轭复数的和，等于这个复数的实部的2倍．解析：根据共轭复数的概念和复数代数形式的加法运算化简得出结论． 本题考查了共轭复数的概念和复数加法运算，是基础题． 6.答案：解：∵z =a +bi(a,b ∈R)，∴z −z −=(a +bi)−(a −bi)=2bi ，∴|z −z −|=|2bi|=2|b|；在复平面内，画出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =z ，OB −=z −，则向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =z −z −，|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =|z −z −|=2|b|，如图所示解析：根据题意，求出z −z −，计算|z −z −|，在复平面内画出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =z ，OB −=z −，即得向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =z −z −，|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =|z −z −|.本题考查了复数的概念与应用问题，也考查了用向量表示复数的几何意义问题，是基础题目．7.答案：解：由z 1=−3+i ，z 2=5−3i 对应的向量分别为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3+i ，OZ 2−=5−3i ，以OZ 1，OZ 2为邻边作平行四边形OZ 1CZ 2， 由向量加法可得，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2−2i ， Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =8−4i ，Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−8+4i ．解析：利用复数的运算法则及几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则及几何意义的应用，属于基础题．8.答案：解：(1)原式=−0.1+0.08i +0.15i +0.12=0.02+0.23i ；(2)原式=(2+i −4i +2)(3−4i)=(4−3i)(3−4i)=12−16i −9i −12=−25i ； (3)原式=(√a)2−(√bi)2=a +b ；(4)原式=[a 2−(bi)2][(−a)2−(bi)2]=(a 2+b 2)(a 2+b 2)=(a 2+b 2)2．解析：利用多项式乘多项式的运算法则展开，再结合i 2=−1进行化简即可． 本题考查复数的四则运算，考查计算能力，属于基础题． 9.答案：解：(1)x 2+4=x 2+22=(x +2i)(x −2i)；(2)a 4−b 4=(a 2+b 2)(a 2−b 2)=(a +b)(a −b)(a 2+b 2)=(a +b)(a −b)(a +bi)(a −bi)； (3)a 2+2ab +b 2+c 2=(a +b)2+c 2=(a +b +ci)(a +b −ci)；(4)x 2+2x +3=x 2+2x +1+2=(x +1)2+2=(x +1+√2i)(x +1−√2i)．解析：根据题设条件，将所给式子化为两数平方和的形式，再利用公式得解． 本题考查利用复数进行因式分解，考查计算能力，属于基础题． 10.答案：解：(1)原式=(1−i)+(2+i)+(3−i)+(4+i)=10； (2)原式=12−i +12i 2=−i ；(3)(a +bi)3=(a +bi)(a 2+2abi +b 2i 2) =(a +bi)(a 2−b 2+2abi)=a(a 2−b 2)+2a 2bi −(a 2−b 2)bi +2ab 2i 2=a 3−b 3−2ab 2+(a 2b +b 3)i ．解析：(1)根据虚数幂的周期性计算即可得出答案； (2)利用完全平方公式展开即可；(3)(a +bi)3=(a +bi)(a 2+2abi +b 2i 2)，再展开计算得出答案．本题考查复数的运算法则，掌握i 2=−1是解题关键，考查计算能力，属于基础题．11.答案：解：(1)111−5i =11+5i (11−5i)(11+5i)=11+5i 121−25i 2=11+5i 146=11146+5146i ；(2)7−9i 1+i =(7−9i)(1−i)(1+i)(1−i)=7−16i+9i 21−i =−2−16i 2=−1−8i ； (3)1−2i3−4i =(1−2i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=3−10i+8i 29−16i 2=−5−10i 25=−15−25i ；(4)1+2i2−4i =(1+2i)(2+4i)(2−4i)(2+4i)=2+8i+8i 24−16i 2=−6+8i 20=−310+25i ．解析：同时乘以分母的共轭复数，再展开化简即可，注意运用i 2=−1．本题考查复数的四则运算，计算时应细心，避免因计算失误而丢分，属于基础题． 12.答案：证明：设z 1=a +bi ，z 2=c +di ，(a,b ，c ，d ∈R)(1)z 1+z 2−=a +bi +c +di −=(a +c)+(b +d)i −=(a +c)−(b +d)i =a −bi +c −di =z 1−+z 2−.得证．(2)z 1−z 2−=a +bi −(c +di)−=(a −c)+(b −d)i −=a −c −(b −d)i =a −bi −(c −di)=z 1−−z 2−.得证．(3)z 1⋅z 2−=(a +bi)(c +di)−=(ac −bd)+(ad +bc)i −=(ac −bd)−(ad +bc)i ；z 1−⋅z 2−=(a −bi)(c −di)=(ac −bd)−(ad +bc)i.∴z 1⋅z 2−=z 1−⋅z 2−.得证． (4)∵z 1z 2=a+bi c+di =(a+bi)(c−di)c 2+d 2=(ac+bd)+(bc−ad)ic 2+d 2∴(z 1z 2)−=(ac+bd)−(bc−ad)ic 2+d 2，又z 1−z 2−=a−bi c−di=(a−bi)(c+di)c 2+d 2=(ac+bd)−(bc−ad)ic 2+d 2．∴(z 1z 2)−=z 1−z 2−.得证．解析：将两个复数分别写成代数形式，然后进行计算即可．本题考查了共轭复数的概念和复数四则∵z 1z 2=a+bi c+di =(a+bi)(c−di)c 2+d 2运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．。

目录：数学选修2-2第一章 导数及其应用 [基础训练A 组] 第一章 导数及其应用 [综合训练B 组] 第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 第二章 推理与证明 [基础训练A 组] 第二章 推理与证明 [综合训练B 组]第二章 推理与证明 [提高训练C 组] 第三章 复数 [基础训练A 组] 第三章 复数 [综合训练B 组]第三章 复数 [提高训练C 组]（数学选修2-2）第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

x 2 +1 11a新课改高二数学选修 2-2 第一章导数及其应用测试题（时间 120 分钟，分值 150 分）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）一、 选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上) 1．曲线 y = x 3 在点(2,8) 处的切线方程为（）．A ． y = 6x - 12 C ． y = 8x + 101 - x 24.设 y = sin x ，则 y ' = （ ）．- 2x sin x - (1- x 2 ) cos xA ．sin 2 x - 2x sin x + (1 - x 2 )B ． y = 12x - 16 D ． y = 2x - 32-2x sin x + (1- x 2 ) cos xB ．sin 2 x- 2x sin x - (1 - x 2 )C.D ．sin x sin x 5．设 f (x ) = ln ，则 f '(2) = （ ）．4 2 1 3 A.B ．C ．D ．55557. 函数 f (x ) =1 e x (sin x + cos x ) 在区间[0,]的值域为（ ）． 2 1 1 21 1A ．[ , 2 e 2]2B. ( , 2 2e 2 )C ．[1, e 2 ]D ．(1, e 2 )8. 积分⎰a 2 - x 2 dx = （ ）．-aA. a 24B. a 22C. a 2D. 2a 210. 由抛物线 y 2 = 2x 与直线 y = x - 4 所围成的图形的面积是（ ）．38 16 A ．18B ．C ．D ．1633第Ⅱ卷（非选择题，共90 分）二、填空题（每小题4 分，共16 分。

请将答案填在答题卷相应空格上。

）三、解答题：（本大题共5 小题，共74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（17）（本小题满分10 分）已知向量a = (x 2 , x +1), b = (1-x, t) ，若函数f (x) =a ⋅b 在区间(-1,1) 上是增函数，求t 的取值范围。

人教A版选修2-2课本例题习题改编1.原题（选修2-2第^一页习题1.1B组第一题）改编在高台跳水中，ts时运动员相对水面的高度（单位：m）是力。

）=—4.9尸+6.5F + 10则t=2 s时的速度是.解：/?'（。

= -9.& + 6.5由导数的概念知：t=2 s 时的速度为为'（2） = —9.8 x 2 + 6.5 = —13.1（初 / s）2.原题（选修2-2第十九页习题1.2B组第一题）改编记1 3 3 1A = cos—,B = cos —,c = sin ——sin —,则A, B,C 的大小关系是（）2 2 2 2A. A> B >CB. A>C > BC. B > A>CD. C > B > A1 3 1 3 1133解：cos —,cos 一分别表zKsinx在］=一,一时的导数值，记Af （―,sin —）,N（—,sin—）2 2 2 2 2 2 2 2根据导数的几何意义A表示sinx在点M处的切线的斜率,B表示sinx在点N处的切线的斜率,C表示直线MN的斜率，根据正弦的图像可知A>C>B故选B3.原题（选修2-2第二十九页练习第一题）改编如图是导函数y = f\x）的图象，那么函数y = /（x）在下面哪个区间是减函数解：函数的单调递减区间就是其导函数小于零的区间，故选B7T4.原题(选修2-2第三十二页习题1.3B组第1题(4))改编设0<XV—,记2a = lnsinx,b = sinx,c = e smx试比较a, b, c 的大小关系为()A a <b <cB b <a <cC c <b <aD b <c <a解：先证明不等式Inxvxvb x>0设f(1)= In x - x, x > 0f'(X)=1, 1 f(\因为x 所以，当0<xv 1时，f\x)= ——1>0, J⑴单调递增，xf(x) = lnx-x<f(l) = -l<0 ；当x〉l 时f'(x) = L —1<0, 单调递减，/(x) = lnx-x < /(I) = -1 < 0 ；当x=l 时，显然In 1 < 1,因此lnx< x设g(i) = x-e x,x > 0v g'(x)=l-e x当尤>0 时g'(x)<0 g(x)在(0,+8 )单调递减g(x)vg(0) = 0即x v W综上：有lnx<x<e\ x>0成立0< x< —0< sinx< 1 lnsinx<sinx<eS'"'‘ 故选A2 〜5.原题(选修2-2第三十七页习题1.4A组第1题)改编用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2： 1,问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是____________ .解：设长方体的宽为皿则长为2血，高力=捋=4.5 — 3x(m) ^0<x<-|^ .3故长方体的体积为V(x) = 2x2 (4.5-3x) = 9x2-6x3(m3)(0<x<|).从而V,(x) = 18x-18x2 =18x(1 —x).令V'(X) = 0,解得,1=0 (舍去)或所1,因此E.3当0<x<l 时，V'(X)>0；当时，V'(X)<0,故在后1处K(x)取得极大值，并且这个极大值就是f (x)的最大值.从而最大体积K=3 (n?),此时长方体的长为2 m,高为1.5 m.答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m,高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 n?.6.原题(选修2-2第四十五页练习第二题)改编一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度为v(t)=-1?+4, (0<Z<3t) (t的单位：h, v的单位：km/h)则这辆车行驶的最大位移是km! _2 ° - 3 = 1- J )Jl-x ：dx/+y2=i 在第一象限内的部分.，♦ s = § (_x~ + 2x)dx - f(1 - A /1 — x~ )dx j (-x 2 +2x)dx = (一 ： x ，+ x?) J )(1-yjl-x 2 )dx =却)-J )yjl-x 2dx 而f Jl-表示单位圆解：当汽车行驶位移最大时，v （t ）=O.又v （t ）=-1'+4=0且则t=2•'•Smax = J （-产 +4）力=（-：户 +4/）|o =+ 故填?7. 原题（选修2-2第五十页习题1.5A 组第四题）改编 ]（/」—Jl —（） dx =解：-Jl-x?）故=2<3 -[l-xf dx = 2（e% - jJ1-子故）,而{yji-x 2dx 表示单位圆x 2+y 2=l 在第一象限内的部分面积,f ^l-x 2dx = ff （』』-丁1-壁2） dx =2（e-l- —） = 2e- 2-— 故填2e-2-W Ji 4 2 28. 原题（选修2-2第五十三页例2）改编 曲线y = sinx （0 < x < ^-）与直线y=?围成的封 闭图形的面积为（）A.右 B. 2-V3 C. 2-- D. V3--3 3 1 TT TT 1解：由sinx =—与（0 V x V 兀）得x =一或——，所以曲线y = sin x （0 < x < ^）与直线y 二一 2 6 6 2 围成的封闭图形的面积5/r1 u 5〃 u . 7 1 ,371 冗、 71 371 . 兀、兀 仄 兀皿 sin xdx ——x （ ------ ） = -cosx ------二一cos ------ （-cos —） = /3 -------故2 6 6 £3 6 6 3 3 0O选D 9.原题（选修2-2第五十六页例1）改编 由曲线y = l —J 3/, y = -"+2x 所围成图形 的面积为 ___________________解：联立得焦点坐标（0,0）,（1,1）\y=-x +2x71 2 71 71 \ 71 1 _ S — __ __ ] _ — __ __ _ _________________ ____.•.f 71^7故=4 — 3 4一4 3 故填 4 3 f。

章末检测卷（三）一、选择题 (本大题共12小题，每题 5 分，共60 分)1． i 是虚数单位，若会合S＝ { － 1,0,1} ，则 ()A ． i ∈ SB ．i 2∈ SC． i 3∈ S D.2∈ Si答案B2． z1＝ (m2＋ m＋ 1)＋ (m2＋ m－ 4)i， m∈ R， z2＝3－ 2i，则“m＝ 1”是“z1＝ z2”的 () A ．充足不用要条件 B ．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足又不用要条件答案A由于 z1＝ z2，因此m2＋ m＋ 1＝ 3分析，m2＋ m－ 4＝－ 2解得 m＝ 1 或 m＝－ 2，因此 m＝ 1 是 z1＝ z2的充足不用要条件．3＋ i 等于()3． i 是虚数单位，复数1－iA ． 1＋ 2iB ．2＋ 4iC．－ 1－ 2i D． 2－ i答案A分析3＋i ＝(3 ＋i)(1 ＋ i) ＝2＋ 4i＝1＋2i.应选A.1－ i (1－ i)(1 ＋ i)2a－ i是纯虚数，则 a 等于 () 4．已知 a 是实数，1＋iA ． 1B．－ 1C. 2D．－ 2答案A分析a－i ＝(a－i)(1 － i) ＝(a－ 1)－ (a＋ 1)i是纯虚数，1＋ i (1＋ i)(1 － i)2则 a－ 1＝0， a＋ 1≠0，解得 a＝ 1.5．若 (x－ i)i ＝ y＋2i， x， y∈ R，则复数 x＋ yi 等于 () A ．－ 2＋ i B ．2＋ iC． 1－2i D． 1＋ 2i答案B分析∵ (x － i)i ＝ y ＋ 2i ， xi － i 2＝ y ＋2i ，∴ y ＝ 1， x ＝ 2，∴ x ＋yi ＝ 2＋ i.→ → →→6．在复平面内， O 是原点， OA ，OC ，AB 对应的复数分别为－ 2＋ i ，3＋ 2i,1 ＋ 5i ，那么 BC对应的复数为 ( )A ． 4＋ 7iB ．1＋ 3iC ． 4－4iD ．－ 1＋ 6i答案C分析→ → →由于 OA ， OC ， AB 对应的复数分别为－ 2＋ i,3＋ 2i ， 1＋ 5i ， → → → → → → BC ＝OC － OB ＝ OC － (OA ＋ AB)，→因此 BC 对应的复数为 3＋ 2i －[( －2＋ i) ＋ (1＋ 5i)] ＝ 4－ 4i. 7．若复数 z 知足 (3－ 4i)z ＝ |4＋ 3i|，则 z 的虚部为 ()44A ．－4B ．－5C ．4 D.5答案 D分析 设 z ＝ a ＋ bi ，故 (3－ 4i)(a ＋ bi) ＝ 3a ＋ 3bi － 4ai ＋ 4b ＝ |4＋ 3i|，因此3b － 4a ＝ 043a ＋ 4b ＝ 5；解得 b ＝ .58． i 是虚数单位，若1＋7i＝ a ＋ bi(a ， b ∈ R)，则 ab 的值是 ()2－ iA ．－15B ． 3C ．－ 3D ．15答案 C分析1＋7i ＝(1＋ 7i)(2 ＋ i) ＝－ 1＋ 3i ，2－i5∴ a ＝－ 1，b ＝ 3， ab ＝－ 3.9．若 z 1＝ (x － 2)＋ yi 与 z 2＝ 3x ＋ i(x ， y ∈ R)互为共轭复数，则 z 1 对应的点在 ()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案Cx － 2＝3x分析由 z 1， z 2 互为共轭复数，得，y ＝－ 1x ＝－ 1解得，因此 z 1＝ (x － 2)＋ yi ＝－ 3－ i.y ＝－ 1由复数的几何意义知z 1 对应的点在第三象限．10．已知 f(n)＝ i n －i － n的元素个数是 ()(n ∈ N * ) ，则会合 { f(n)}A ．2 B．3 C．4 D．无数个答案B分析f(n)有三个值0,2i，－ 2i.11．已知复数 z＝3＋i2， z 是 z 的共轭复数，则z·z 等于 () (1－ 3i)11A. 4B. 2C． 1D． 2答案A12．设 f(z) ＝z， z1＝ 3＋ 4i， z2＝－ 2－ i，则 f(z1－ z2)＝ ()A ． 1－ 3iB ．11i － 2C． i － 2D． 5＋ 5i答案D二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分)13．复平面内，若z＝m2(1＋ i)－ m(4＋ i) － 6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是 ________．答案(3,4)分析∵ z＝m2－ 4m＋ (m2－ m－6)i 所对应的点在第二象限，m2－4m<0∴，解得 3<m<4.m2－m－ 6>014．给出下边四个命题：① 0 比－ i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③x＋ yi＝ 1＋ i 的充要条件为 x＝ y＝ 1；④假如让实数 a 与 ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．此中真命题的个数是 ________．答案015．已知 0<a<2，复数 z 的实部为 a，虚部为 1，则 |z|的取值范围是 ______．答案(1， 5)分析由题意得 z＝ a＋ i ，依据复数模的定义可知 |z|＝ a2＋ 1.由于 0< a<2，因此 1<a2＋ 1<5，故 1<a2＋ 1< 5.16．以下说法中正确的序号是________．2x－ 1＝ y①若 (2x－ 1)＋ i ＝ y－ (3－ y)i ，此中 x∈ R， y∈ ?C R，则必有；1＝－ (3－ y)② 2＋ i>1 ＋ i；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在；13⑤若 z＝，则 z ＋ 1 对应的点在复平面内的第一象限．答案⑤2x－ 1＝ y分析由 y∈ ?C R，知 y 是虚数，则不建立，故①错误；两个不全为实数的复1＝－ (3－ y)数不可以比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，31故④错误；⑤中 z ＋1＝i3＋ 1＝i＋ 1，对应点在第一象限，故⑤正确．三、解答题 (本大题共 6 小题，共70 分)22，当 m 为什么值时，17． (10 分 )设复数 z＝ lg( m － 2m－ 2)＋ (m ＋3m＋ 2)i(1) z 是实数？ (2)z 是纯虚数？解 (1)要使复数 z 为实数，需知足m2－ 2m－ 2>0，解得 m＝－ 2 或－ 1.即当 m＝－ 2 或－m2＋ 3m＋ 2＝ 01 时， z 是实数．m2－ 2m－ 2＝ 1(2)要使复数z为纯虚数，需知足2＋3m＋2≠0，m解得 m＝ 3.即当 m＝ 3 时， z 是纯虚数．18． (12 分 )已知复数z1＝ 1－ i， z1·z2＋ z 1＝ 2＋2i ，求复数z2.解由于 z1＝1－ i ，因此z 1＝ 1＋ i ，因此 z1·z2＝ 2＋ 2i － z 1＝2＋ 2i－ (1＋ i) ＝ 1＋ i.设 z2＝ a＋ bi(a， b∈ R)，由 z1·z2＝ 1＋i ，得 (1－ i)( a＋ bi) ＝ 1＋ i，因此 (a＋ b)＋ (b－ a)i＝ 1＋ i，a＋ b＝ 1，解得 a＝0， b＝ 1，因此 z2＝ i.因此b－ a＝ 1(2＋ 2i) 419． (12 分 )计算： (1)－ 3i)5；(1 (2)(2 － i)( － 1＋ 5i)(3 － 4i) ＋2i.解(1)原式＝16(1＋ i) 44(1－ 3i)(1 － 3i)＝16(2i) 2(－ 2－ 2 3i)2 (1－ 3i)＝－64－ 16＝4(1＋ 3i) 2(1－ 3i)(1＋ 3i) ×4－4＝＝－ 1＋3i.(2) 原式＝ (3＋ 11i)(3 － 4i)＋ 2i＝53＋ 21i＋ 2i＝ 53＋ 23i.20． (12 分 )实数 m 为什么值时，复数z＝ (m2＋5m＋ 6)＋(m2－ 2m－ 15)i 对应的点在：(1)x 轴上方；(2)直线 x＋ y＋ 5＝0 上．解 (1)若 z 对应的点在 x 轴上方，则 m2－ 2m－ 15>0，解得 m<－3 或 m>5.(2)复数 z 对应的点为 (m2＋ 5m＋ 6，m2－ 2m－ 15)，∵ z 对应的点在直线x＋ y＋ 5＝ 0 上，∴(m2＋ 5m＋ 6)＋ (m2－ 2m－ 15)＋ 5＝ 0，整理得 2m2＋ 3m－ 4＝ 0，－3± 41解得 m＝4.21． (12 分 )已知复数z 知足 |z|＝2， z2的虚部是 2.(1)求复数 z；(2) 设 z，z2， z－z2在复平面上的对应点分别为A， B， C，求△ ABC 的面积．222 22 解 (1)设 z＝ a＋ bi( a， b∈R) ，则 z ＝ a －b ＋2abi，由题意得 a ＋ b ＝ 2 且 2ab＝2，解得 a＝ b＝ 1 或 a＝b＝－ 1，(2)当 z＝1＋ i 时， z2＝ 2i， z－ z2＝ 1－ i，因此 A(1,1)，B(0,2)， C(1，－ 1)，因此 S△ABC＝ 1.当 z＝－ 1－ i 时， z2＝2i ，z－ z2＝－ 1－ 3i，因此 A(－ 1，－ 1)， B(0,2)， C(－ 1，－ 3)，因此 S△ABC＝ 1.122． (12 分 )设 z1是虚数， z2＝ z1＋z1是实数，且－1≤z2≤ 1.(1)求 |z1|的值以及 z1的实部的取值范围；(2)若ω＝1－z1，求证：ω为纯虚数．1＋ z1(1) 解设 z1＝ a＋ bi(a，b∈ R 且 b≠0)，则 z2＝ z1＋1＝a＋ bi＋1＝ (a＋2a2)＋( b－ 2b2)i. z1a＋ bi a＋ b a＋ b由于 z2是实数， b≠0，于是有 a2＋ b2＝ 1，即 |z1|＝ 1，还可得 z2＝ 2a.11[ －11由－ 1≤z2≤1，得－ 1≤2a≤1，解得－≤a≤，即 z1的实部的取值范围是，]．2222(2) 证明1－ z1＝1－ a－ bi ω＝1＋ z11＋a＋ bi1－ a2－ b2－ 2bi b＝2＋ b 2 ＝－i.(1＋ a)a＋ 111由于 a∈ [－， ] ， b≠0，因此ω为纯虚数．22。

万变不离其宗----- 2016版高中数学课本典型试题改编系列之选修2-2课本例题习题改编1•原题（选修2・2第十一页习题1.1B组第一题）改编在高台跳水中，ts时运动员相対水面的高度（单位：ni）是处）=一4.9八+6.5/+ 10则t=2 s时的速度是 _______ ・【答案】—13.1（/2? / 5）.【解析】//（『）=一9& + 6.5由导数的概念知：t=2 s时的速度为h\2） = 一9・8 x 2 + 6.5 = -13 ・ 1（加 / s）2.原题（选修2-2第十九页习题1.2B 组第一题）改编记A = cos丄,B = cos2c = sin3-sin丄,贝！J A, B,C 的大小关系是（）A. A> B>C2 2 2 2B. A>C> B c. B> A>C D. C> B> A【答案】B.I ----------------------------------------------------------------------------------- ■ -------------------------------------------------------------------------【解析】cos-,cos-分别衰示sinx在x =丄,2时的导数值，记M （―,sm -）,2/（-,sin -）2 2 2 2 2 2 2 2根据导数的几何意义A衰示s说往点M处的切线的斜率，B表示s论在点N处的切线的斜率，C表示直线KN的斜率，根据正弦的图像可知A>OB故选B.3•原题（选修2・2第二十九页练习第一题）改编如图是导函数y = f l（X）的图象，那么函数y = /（x）在下面明6个区间是减函数（）A. (x P x 3)【答案】B.【解析】函数的单调递减区间就是其导函数小于零的区间，故选B.4•原题(选修2-2第三十二页习题13B 组第!题⑷)改编I 设0*?记a = lnsinx,b = sinx,c = e^试比较a)b)c 的大小关系为()1.先证明不等式In x <x <e x (x>0);设/⑴=lnx_x x>O f 因为f (力=—所以,/V) =丄 _i>o/E 单调翅増'/(x) = lnx-x</(D = -l<0^ 当 时 X _2_1<0 "力单调递減，/(x) = lnx-x</(l) = -l<0J 当 E 时,显然 In 1 v 1，因此 In2,设 g(x ) = x -e \x>0 ,・・・g'(x) = l -丁 当 x>0时？(x)vO二 g(x)在(0,亦)单调递减:.g(x)<g(O)=O,即x<『；综上：有Qo 成立; V 0 < , ■- 0 <sinx <1，:, lnsinx <smx<gg”，故选 A ・■ _____ 2. 改编 2 证明：1一一 <ln(x + l)<x, x>-l兀+ 1【解析】(1)构造函数/(x) = ln(x + l)-x,z •••兀>一1,总有 /(x) < /(0) = 0, /. ln(x + l)-x< 0, ln(x + l)< x另解・.・/'(劝= 1=—^(%>-1),当兀=0, /z (0)= 0 ,x+\ x+1A a<b<c【答案】A.B h<a<cC c<b<ciD b<c<ci【解析】 当0<xl 时，当一 1 v 尢 v 0 , f\x) > 0,/(x)单调递增，.\-l<x<O,/(x) < /(O) = 0,……①当兀>0, f\x)<O,f(x)单调递减，・••兀 > 0 J(x) v/(0) = 0, ............................... ②当 x = 0, /(0)= 0 .............................................................................. ③综合①②③得：当时，f(兀)5 0, .•・ln(x+l)-x5 0, ・・・ln(x + l )5兀.(2)构造函数 g(x)二 ln(x + l) + —! ---- 1, •/ g z (x)= x + 1当x = 0, g'(0)= 0 ,当一 1 vxvO, gXx)vO,g(X)单调递减;当 x>0, g'(x)>O,g(x)单调递增；・・・兀=O,g(x)极小值==[g(x)]min =g(0) = 0‘ ・••兀 >一1,总有 g(x) > g(0) = 0,/. ln(x + l )H ——! --------- 1 »0,即：1 ------- —< ln(l + x).x+l 兀+1综上(1) (2)不等式1—— <ln(x + l)<x 成立.兀+15•原题(选修2・2第三十七页习题1.4A 组第1题)改编 用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2： 1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大？最大体积是驶位移最大时,v(t) =0.又v (t)=-t 2+4=0且OS f S3,则t 二2【解析】当汽车行 2辆车行驶的最大位移是 k m 1 1x + l (兀+1)2 【解析】IR.・・・仏=『（一尸+4）力=（.y+4诽=¥’故填£7•原题（选修2・2第五十页习题1.5A 组第四题）改编 £（訓-71-x 2）dx =【答案】2e-2--. 2［解析］［（訓 _ J1 _兀2） （Zx = （〔X _ J1 _ 兀2 ）必=2（叫：_［打 _兀2如，而£ J1-H 加农示单位圆x 2+y 2=l 在第一象限内的部分血积,・・・£ J1-皿=彳 ・・・［：（/-/-/）必=2（e —1-彳）二2e — 2 — f ，故填2e — 2 — f.【答案】D.由sinx=丄与（0三*纟开）得兀=兰或竺，所以曲线y = $in x （0^ x M/r ）与直线y=- 2 6 6 2图形的面积为 ____________ •【答案】f 4 3【解析】 联立卜-佇 得焦点坐标Lv=-x +2x =£ (-x 2 + 2x)dx - £(1 - y/l-x 2 )clxf (-兀? + 2x)dx =(-—x 3 + 兀彳) 3£(1-A /1-X 2)6tr = x|o -£7^-3 4 4 3,故填 4 3改编4在曲线y = x 2(x>0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及兀轴所围的面积为迈，试求：⑴切点A 的坐标；⑵在切点A 的切线方程. 718•原题（选修2・2第五十三页例2）改编封闭图形的面积为（）A. J 亍 曲线y = sin x CQ< x < 7T ）与直线y 二丄围成的 D.昱B. 2-V3C.2冷 【解析】2 旅的封闭图形的面积9•原题（选修2-2第五十六页例1）改编1由曲线y = ]_ Ji — # , y = -x 2 +2兀所围成 ._2 °"3 x 2cbc = \- ［ 71 -x 2cbc -0 Jo表示单位圆戏+）‘2=1在第一象限内的部分 71 £ Jl -兀2dx- 4 0,0 )rl 而J°2、71 71 \ 71 1S____ J + _ ______ _________改编 2 计算：(1)卩cos2x d x ； (2)『丁4-&Jo cosx + sinx丿° 【解析】 ( 1 ) 龙 c /r 2 • 2 n 兀r. cos2x 」 fTcos x-sin 兀」 r-/ • • 、乂 c2 -------------- d x= 2 --------------------dx- 2(cos x-sin x )dx = (sin x + cos x) 2=0 cosx + sinx Jo cosx + sinx Jo c(2)利用导数的几何意义：y = V4-X 2 -U X =0,X =2所围图形是以(0,0)为圆心，2为半径的四2 ____ _ o2分之一个圆，其面积即为［J4一兀2必=行—二龙(图略).改编3求将抛物线于二X 和直线兀=1围成的图形绕兀轴旋转一周得到的几何体的体积.先求出抛物线/ = x 和直线X = 1交点坐标(1, 1), (1, -1) 刑用定积分的定义易得：T 詁也訂詁知乎£ 2【解析】 利用定积分的定义解题，应当画出草图.分析:设出切点A 的坐标，利用导数的几何意义，写出 切线方程，然后利用定积分求出所围成平面图形的面积, 从而确定切点4的坐标，使问题解决.解:如右图，设切点A （%』o ），由/=2x t 过点A 的切线方程为y-y 0 =2x 0（x-x 0），即 y = 2x 0x 一设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形面积为S,所以篇o ：= 1,从而切点4（1,1）,切线方程为y = 2x-l.10•原题（选修2・2第七十八页练习3）改编 设P 是MBC 内一点，\ABC 三边上的高分别为心、心、hc ，P 到三边的距离依次为厶、厶、则有〈+仏+仝= _______________________ K 叽h c类比到空I'可，设P 是以面体ABCD 内一点，四顶点到对面的距离分別是饥、饥、饥、叽,令y = 0,得"夸即C （¥，0）・la 11 •原题（选修2・2第八十二页阅读与思考）改编 如图，点P 为斜三棱柱ABC-A.B.G 的 侧棱上一点，PM 丄BQ 交A4］于点M , PN 丄BB 、交CC 、于点N .（1） 求证：CQ 丄MN ；（2） 在任意ADEF 中有余弦定理:DE 3 4 5 =DF 2 +EF 2 - 2DF • EF cos ZDFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成 的二面角之间的关系式，并予以证明.■【解析】 ⑴ 证明，•:CC\HBB\=CC\丄曲,CC\丄PN,:、CC 】丄平面⑵在斜三棱柱ABC-A^C^有=S ；ga +S ；g -冬和 %廣cos a,其中a 为平面•: CC\丄平面加N,/.上述的二面角为ZMWP 连2MN 中, ■ PM )= PM + 肘 - 2PN• MNgs 乙MNP nP0CC ： = PN^CC ： + 加CC ： - 2(PM CC ) (MN CC 、)cosZ 泌卩,由于 S 购汕=PN 、CC, Sg 二测 8「= PM • BB X ，•有 S ；四耳=S ；oc 店十 —2S 比•$Aar l 片 cos a ・12•原题（选修2-2第九十六页习题2.3A 组第一题）改编 在数列｛色｝中，q =丄，①+1 =丄」，则数列｛a n ｝的通项公式为 ___________4 %+3【答案】J =亠・ n + 5【解析】本题有多种求法，''归纳 ----------------- 猜想 ------- 证明”是其中之1 3 3 3 3 3 ..一;Q| = —= —,a> = —, = —,a 4 =—，猜想a” = ------- •下面用数学归纳法证明：（1）当n=l1 2 6 ~ 7 8 4 9“ H +5时，q = 3 =丄，猜想成立； hA.cqBiB 与平面ccsM 所成的二面角.3・3 代二.R + 5 二3 （2）假设当n=k时猜想成立，则％］务+3 3 +3 伙+ 1) + 5£ + 5当2k+l时猜想也成立，综合（1）（2）,对nwN’猜想都成立.故应填％=—-71 + 5 13•原题（选修2・2第页习题一百一"二页习题3.2A组第4题（4））改编B-4-T1 C- rf D复数牛导严的共辘复数（）A.1V3 .-------- 122设长方体的宽为m 则长为2e,禹力■空互・4,5・3x(m)43故长方体的体积为厂⑴=2x* 2(4.5-3x) = 9x2 - 6x3 *(m5)(0<x<-).2从而r(x) = 18x-18x2=l 8x(1- x).V r(X) = 0 ,解得JT=O (舍去)或JF1,因此JF1.当0VY1 时，V，(X)A6 当IV时，V r(X) <0,故在用1处『(X)取得极大值，并且这个极大值就是IMP的最大值.从而最大体积片3 (m3),此时长方体的长为2 m,高为1・5当长方体的长为2 m时，宽为lm,高为1.5 mW.体积最大，最大体积为3 m3.6.原题(选修2・2第四十五页练习第二题)改编一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度为v (t)=-t2+4,(0<r<3t) (t的单位:h, V的单位：km/h)则这1 1 + 5 2。

导数的几何意义当点趋近于点时，割线
趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P n P (,f ()) x 0x 0 P P n P P
)．
．
．
．
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解析：图像中每点的斜率均表示这一时刻的速度．
答案：解析：4. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 时刻五角星露出水面部分的图形面积为
，则导函数 的图象大致为
．
A ．
B ．
C
．D ．
A
导函数 为单位时间内五角星出水的面积率，由图可知当一个角出来时，面积率由 开始，逐渐增多，当一个角
都出完了，则面积率一下由最大开始减小，当出最后两个角时，面积率会先增加，然后减小到 ．
t S (t )(S (0)=0)y =(t )S ′()y =(t )S ′0。