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2019人教版精品教学资料·高中选修数学
选修2-2课本例题习题改编
1.原题（选修2-2第十一页习题1.1B 组第一题）改编 在高台跳水中，t s 时运动员相对水面的高度(单位：m ）是105.69.4)(2
++-=t t t h 则t=2 s 时的速度是_______. 解：5.68.9)(+-='t t h 由导数的概念知：t=2 s
时的速度为
)/(1.135.628.9)2(s m h -=+⨯-='
2.原题（选修
2-2
第十九页习题
1.2B
组第一题）改编记
21
sin 23sin ,23cos ,21cos -===c B A ，则A,B,C 的大小关系是（ ）
A ．A
B
C >> B ．A C B >>
C ． B A C >>
D. C B A >>
解：时的导数值，，在分别表示，2321sin 23cos 21
cos =
x x 记)2
3
sin 23(,21sin 21，），（N M
根据导数的几何意义A 表示sinx 在点M 处的切线的斜率，B 表示sinx 在点N 处的切线的斜率，C 表示直线MN 的斜率， 根据正弦的图像可知A >C >B 故选B
32.5
2
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
54321
1
2
3
4
5
f x () = sin x ()
M
N
3.原题（选修2-2第二十九页练习第一题）改编 如图是导函数/
()y f x =的图象，那么函数
()y f x =在下面哪个区间是减函数
A. 13(,)x x
B. 24(,)x x
C.46(,)x x
D.56(,)x x 解：函数的单调递减区间就是其导函数小于零的区间，故选B
4.原题（选修2-2第三十二页习题 1.3B 组第1题（4））改编 设02
x π
<<
，记
s i n ln sin ,sin ,x a x b x c e === 试比较a,b,c 的大小关系为（ ）
A a b c
<< B b a c << C c b a << D b c a <<
解：先证明不等式ln x
x x e << x>0
设()ln ,0f x x x x =->
因为1
()1,f x x '=
-所以，当01x <<时，1()10,
f x x '=->()f x 单调递增，()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时1
()10,f x x
'=-<()f x 单调递减，
()l n (1)1f x x x f =-<
=-<；当x=1时，显然ln11<，因此ln x x <
设(),0x
g x x e x =->
()1x g x e '=- 当0()0x g x '><时 ()(0,+g x ∴∞在）单调递减 ∴()(0)0g x g <=
即x
x e <
综上：有ln x
x x e <<，x>0成立
02
x π
<<
∴0sin 1x << ∴ sin ln sin sin x
x x e
<< 故选A
5.原题（选修2-2第三十七页习题1.4A 组第1题）改编 用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是_________.
解：设长方体的宽为x m ，则长为2x m ，高⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=-=230(m)35.441218＜＜x x x h .
故长方体的体积为).2
30)((m 69)35.4(2)(3322＜＜x x x x x x V -=-= 从而2
()181818(1).V x x x x x '=-=-
令0(X)V ='，解得x =0（舍去）或x =1，因此x =1. 当0＜x ＜1时，(X)V '＞0；当1＜x ＜
3
2
时，(X)V '＜0， 故在x =1处V （x ）取得极大值，并且这个极大值就是V （x ）的最大值.
从而最大体积V ＝3（m 3
），此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m 时，宽为1 m ，高为1.5 m 时，体积最大，最大体积为3 m 3
. 6.原题（选修2-2第四十五页练习第二题）改编 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设
汽车在时刻t 的速度为v(t)=-t 2
+4,（30≤≤t t ）（t 的单位：h, v 的单位：km/h ）则这辆车行驶的最大位移是______km
解：当汽车行驶位移最大时，v(t)=0.又v(t)=-t 2
+4=0且30≤≤t ,则t=2
3
16431-)4(2
3202max =+=+-=∴⎰）（t t dt t s ，故填316 7.原题（选修2-2第五十页习题1.5A 组第四题）改编 =--⎰
1
1-21dx x e
x
）（________
解：)1(21211
021
1
2x 1
1-2⎰⎰⎰
--=--=--dx x e dx x e dx x e
x
x
）（）（，而
⎰
-1
2
1dx x 表示单位圆x 2
+y 2
=1在第一象限内的部分面积,4
11
2π
=
-∴⎰dx x
∴=--⎰
1
1
-21dx x e x
）（2(e-1-
4π)=22e 2π-- 故填2
2e 2π
--. 8.原题（选修2-2第五十三页例2）改编 曲线)x 0sin π≤≤=（x y 与直线y=2
1
围成的封闭图形的面积为（ ）A ．3 B.3-2 C.3
-2π D.3-3π
解：由21sin =x 与)x 0π≤≤（得6
56π
π或=x ，所以曲线)x 0sin π≤≤=（x y 与直线y=
2
1
围成的封闭图形的面积3
cos )6
65(21sin s 656
6
56
π
π
ππ
π
ππ
-
-=-⨯-=⎰x
xdx =3
33)6cos (65cos
ππππ-=---- 故选D
9.原题（选修2-2第五十六页例1）改编 由曲线2
11y x =--，
22y x x =-+所围成图形的面积为____________ 解：联立{
2
2112x y x
x y --=+-= 得焦点坐标（0,0），（1,1）
∴1
1
220
(2)(11)s x x dx x dx =
-+---⎰
⎰
1
2321
00
12(2)()33
x x dx x x -+=-+=⎰
1
1
1
2
1
2
20
(11)111x dx x x dx x dx -
-=--=--⎰⎰⎰
而
1
2
1x dx -⎰表示单位圆
22
1x y +=在第一象限内的部分 ∴
1
20
1x dx -⎰
=4π ∴
2113443s ππ=-+=-
故填1
43π-
