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第八章立体几何初步8.1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征课后篇巩固提升必备知识基础练1.(多选题)关于简单几何体的结构特征,下列说法正确的是()A.棱柱的侧棱长都相等B.棱锥的侧棱长都相等C.三棱台的上、下底面是相似三角形D.有的棱台的侧棱长都相等,棱锥的侧棱相交于一点但长度不一定相等.2.下面多面体中,是棱柱的有()A.1个B.2个C.3个D.4个,知这4个图都满足.3.如图,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是()A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.三棱台A'-BCC'B'.4.下列说法错误的有()①有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的多面体是棱锥;②如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥可能为六棱锥;③如果一个棱柱的所有面都是长方形,那么这个棱柱是长方体.A.0个B.1个C.2个D.3个,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥,即其余各面的三角形必须有公共的顶点,故①错误;当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时,各侧面构成平面图形,故②错误;若每个侧面都是长方形,则说明侧棱与底面垂直,又底面也是长方形,符合长方体的定义,故③正确.5.在下列四个平面图形中,每个小四边形皆为正方形,其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是(),看哪一个可以折叠围成正方体即可.6.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A.棱柱B.棱台C.棱柱与棱锥的组合体D.不能确定.∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C,∴有水的部分始终有两个平面平行,而其余各面都是平行四边形(水面与两平行平面的交线),因此呈棱柱形状.7.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为cm.棱柱有2n个顶点,因为此棱柱有10个顶点,所以此棱柱为五棱柱.又棱柱的侧棱都相等,五条侧棱长的和为60 cm,可知每条侧棱长为12 cm.8.一个几何体的平面展开图如图.(1)该几何体是哪种几何体;(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面?与“你”字面相对的是哪个面?该几何体是四棱台.(2)与“祝”字面相对的面是“前”字面,与“你”字面相对的面是“程”字面.9.按下列条件分割三棱台ABC-A1B1C1(不需要画图,各写出一种分割方法即可).(1)一个三棱柱和一个多面体;(2)三个三棱锥.在AC上取点D,使DC=A1C1,在BC上取点E,使EC=B1C1,连接A1D,B1E,DE,则得三棱柱A1B1C1-DEC与一个多面体A1B1BEDA.(答案不唯一)(2)连接AB1,AC1,BC1,则可分割成三棱锥A-A1B1C1,三棱锥A-BCC1,三棱锥A-BB1C1.(答案不唯一)关键能力提升练10.(多选题)(2021江苏宜兴期中)一个多面体的所有棱长都相等,那么这个多面体一定不可能是()A.三棱锥B.四棱台C.六棱锥D.六面体,满足题意,所以A可能.棱台的上底面与下底面的边长不相等,所以不满足题意,所以B不可能.假设六棱锥的所有棱长都相等,则它的每个侧面均为等边三角形,每个侧面的顶角均为60°,所以六棱锥的顶点会在底面上,所以C不可能.当六面体是正方体时,满足题意,所以D 有可能.故选BC.11.设集合M={正四棱柱},N={长方体},P={直四棱柱},Q={正方体},则这四个集合之间的关系是()A.P⊆N⊆M⊆QB.Q⊆M⊆N⊆PC.P⊆M⊆N⊆QD.Q⊆N⊆M⊆P,正方体是特殊的正四棱柱,正四棱柱是特殊的长方体,长方体是特殊的直四棱柱,所以{正方体}⊆{正四棱柱}⊆{长方体}⊆{直四棱柱},故选B.12.下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是(),变成正方体后的图形中,相邻的平面中三条线段是平行线,排除A,C;相邻平面只有两个是空白面,排除D;故选B.13.下列说法正确的有个.①棱台的侧棱都相等;②正棱锥的侧面是等边三角形;③底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.错误,根据棱台的定义可知,棱台的侧棱不一定都相等,故此说法是错误的;②错误,正棱锥的侧面都是等腰三角形,不一定是等边三角形,故错误;③错误,由已知条件知,此三棱锥的三个侧面未必全等,所以不一定是正三棱锥.如图所示的三棱锥中有AB=AD=BD=BC=CD,满足底面△BCD为等边三角形,三个侧面△ABD,△ABC,△ACD都是等腰三角形,但AC长度不一定,三个侧面不一定全等,故错误.14.如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问:(1)折起后形成的几何体是什么几何体?(2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点?(3)每个面的三角形面积为多少?如图,折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面,其中△DEF 为等腰三角形,△PEF 为等腰直角三角形,△DPE 和△DPF 均为直角三角形.(3)S △PEF =12a 2,S △DPF =S △DPE =12×2a×a=a 2,S △DEF =S 正方形ABCD -S △PEF -S △DPF -S △DPE =(2a )2-12a 2-a 2-a 2=32a 2.学科素养创新练15.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=3,BC=4,A 1A=5,现有一只甲壳虫从点A 出发沿长方体表面爬行到点C 1来获取食物,试画出它的最短爬行路线,并求其路程的最小值.,如图,有三种情况.对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC 1的长分别为√90,√74,√80,由此可见乙是最短线路,所以甲壳虫可以先在长方形ABB 1A 1内由A 到E BE=157,再在长方形BCC 1B 1内由E 到C 1,也可以先在长方形AA1D1D内由A到F D1F=15,再在长方形DCC1D1内由F到C1,其最短路程为7√74.。

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第九章统计9.1随机抽样9.1.2分层随机抽样9.1.3获取数据的途径课后篇巩固提升必备知识基础练1.为了了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男、女生视力情况差异不大,在下面抽样方法中,最合理的抽样方法是()A.不放回简单随机抽样B.按性别分层随机抽样C.按学段分层随机抽样D.放回简单随机抽样,而男、女生视力情况差异不大,故选用按学段分层随机抽样的抽样方法.2.2020年某省将实行新高考,考试及录取发生了很大的变化.为了报考理想的大学,小明需要获取近年来我国各大学会计专业录取人数的相关数据,他获取这些数据的最好途径是()A.通过调查获取数据B.通过试验获取数据C.通过观察获取数据D.通过查询获取数据,所以小明获取这些数据的最好途径是通过查询获取数据.3.甲校有3 600名学生,乙校有5 400名学生,丙校有1 800名学生,为统计三校学生某方面的情况,计划采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为90的样本,应在这三校分别抽取学生个数为()A.30,30,30B.30,45,15C.20,30,10D.30,50,10,n N =903600+5400+1800=1120,再各层分别抽取,甲校抽取的人数为3 600×1120=30,乙校抽取的人数为5 400×1120=45,丙校抽取的人数为1 800×1120=15,故选B.4.某中学有高中生3 000人,初中生2 000人,男、女生所占的比例如图所示.为了解学生的学习情况,用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取女生21人,则从初中生中抽取的男生人数是()A.12B.15C.20D.21,得该中学有高中生3 000人,其中男生人数为3 000×30%=900,女生人数为3000×70%=2 100,初中生2 000人,其中男生人数为2 000×60%=1 200,女生人数为2 000×40%=800,用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取女生21人,则n5000=212100,解得n=50,∴从初中生中抽取的男生人数为50×12005000=12.故选A.5.从某地区15 000位老人中按性别分层随机抽取一个容量为500的样本,调查其生活能否自理的情况如下表所示.则该地区生活不能自理的老人中男性比女性多的人数约为()A.60B.100C.1 500D.2 000由分层随机抽样方法知所求人数为23-21500×15 000=60.6.某学校进行数学竞赛,将考生的成绩分成90分及以下、91~120分、121~150分三种情况进行统计,发现三个成绩段的人数之比依次为5∶3∶1.现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为m的样本,其中分数在91~120分的人数是45,则此样本的容量m的值为()A.75B.100C.125D.135由已知得35+3+1=45m,得m=135.7.某单位有男、女职工共600人,现用分层随机抽样的方法从所有职工中抽取容量为50的样本,已知从女职工中抽取的人数为15,那么该单位的女职工人数为.n ,则1550=n600,解得n=180,即该单位的女职工人数为180.8.古代科举制度始于隋而成于唐,完备于宋、元.明代则处于其发展的鼎盛阶段,其中表现之一为会试分南卷、北卷、中卷按比例录取,其录取比例为11∶7∶2.若明宣德五年会试录取人数为100.则中卷录取人数为 .,明宣德五年会试录取人数为100,则中卷录取人数为100×211+7+2=10.9.某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每个职工至多参加其中一组.在参加活动的职工中,青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14,且该组中,青年人占50%,中年人占40%,老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度,现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本.试确定:(1)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例; (2)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.设参加活动的总人数为x ,游泳组中,青年人、中年人、老年人所占比例分别为a ,b ,c ,则 a=42.5%x -x4×50%(1-14)x=40%, b=47.5%x -x4×40%(1-14)x =50%, c=10%x -x4×10%(1-14)x =10%, 故游泳组中青年人、中年人、老年人所占的比例分别为40%,50%,10%.(2)因为是分层随机抽样,所以,游泳组中青年人抽取的人数为200×34×40%=60;中年人抽取的人数为200×34×50%=75;老年人抽取的人数为200×34×10%=15.关键能力提升练10.某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查,从8~10岁,11~12岁,13~14岁,15~16岁四个年龄段回收的问卷依次为:120份,180份,240份,x 份.因调查需要,从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本,其中在11~12岁学生问卷中抽取60份,则在15~16岁学生中抽取的问卷份数为( ) A.60 B.80C.120D.180~12岁回收180份,其中在11~12岁学生问卷中抽取60份,抽样比为13,因为分层抽取的样本容量为300,故回收问卷总数为30013=900(份),故x=900-120-180-240=360(份),360×13=120(份).11.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡算八千七百五十八,西乡算七千二百三十六,南乡算八千三百五十六,凡三乡,发役三百七十八人,欲以算数多少出之,问各几何?”意思是:北乡有8 758人,西乡有7 236人,南乡有8 356人,现要按人数多少从三乡共征集378人,问从各乡征集多少人?在上述问题中,需从西乡征集的人数是( ) A.102 B.112 C.130 D.1368 758人,西乡有7 236人,南乡有8 356人,现要按人数多少从三乡共征集378人,故需从西乡征集的人数是378×7 2368 758+7 236+8 356≈112.12.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A.200,20B.100,20C.200,10D.100,103 500+2 000+4 500=10 000,则样本容量为10 000×2%=200,其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%=20.13.下列调查方案中,抽样方法合适、样本具有代表性的是 ( )A.用一本书第1页的字数估计全书的字数B.为调查某校学生对航天科技知识的了解程度,上学期间,在该校门口,每隔2分钟随机调查一位学生C.在省内选取一所城市中学,一所农村中学,向每个学生发一张卡片,上面印有一些科学家的名字,要求每个学生只能在一个喜欢的科学家名字下面画“√”,以了解全省中学生最喜欢的科学家是谁D.为了调查我国小学生的健康状况,共抽取了100名小学生进行调查中,样本缺少代表性(第1页的字数一般较少);B 中,抽样保证了随机性原则,样本具有代表性;C 中,城市中学与农村中学的规模往往不同,学生喜欢的科学家也未必在所列的名单之中,这些都会影响数据的代表性;D 中,总体数量很大,而样本容量太少,不足以体现总体特征.14.研究下列问题:①某城市元旦前后的气温;②某种新型电器元件使用寿命的测定;③电视台想知道某一个节目的收视率.一般通过试验获取数据的是()A.①②B.③C.②D.②③通过观察获取数据,③通过调查获取数据,只有②通过试验获取数据.15.(多选题)某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1 200辆,6 000辆和2 000辆.为检验该公司的产品质量,公司质监部门要抽取46辆进行检验,则()A.应采用分层随机抽样抽取B.应采用抽签法抽取C.三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆D.这三种型号的轿车,每一辆被抽到的概率都是相等的,所以应采用分层随机抽样抽取,A正确;设三种型号的轿车依次抽取x辆,y辆,z辆,则有{x1200=y6000=z2000,x+y+z=46,解得{x=6,y=30,z=10.所以三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆,故C正确;由分层随机抽样的意义可知D也正确.16.(多选题)某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,其相应产品数量之比为2∶5∶3,现用分层随机抽样方法抽出一个容量为n的样本,样本中A型号产品有16件,则()A.此样本的容量n为20B.此样本的容量n为80C.样本中B型号产品有40件D.样本中B型号产品有24件A,B,C三种不同型号的产品,其相应产品数量之比为2∶5∶3,现用分层随机抽样方法抽出一个容量为n的样本,样本中A型号产品有16件,设样本为n,则n=16÷2k2k+5k+3k=80,故A错误,B正确;样本中B型号产品有80×5k2k+5k+3k=40件,故C正确,D错误.故选BC.17.某高中针对学生发展要求,开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团,已知报名参加这两个社团的学生共有800人,按照要求每人只能参加一个社团,各年级参加社团的人数情况如下表:其中x ∶y ∶z=5∶3∶2,且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的35,为了了解学生对两个社团活动的满意程度,从中抽取一个50人的样本进行调查,则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取 人.“泥塑”社团的人数占总人数的35,故“剪纸”社团的人数占总人数的25,所以“剪纸”社团的人数为800×25=320.因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为y x+y+z=32+3+5=310,所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×310=96.由题意知,抽样比为50800=116,所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×116=6.18.某机构对某镇的学生的身体素质状况按年级段进行分层随机抽样调查,得到了如下表所示的数据,则xy z = .,得80016=x15=yz ,即x=750,yz =50,则xyz =37 500.19.为制定本市七、八、九年级男学生校服的生产计划,有关部门准备对180名初中男生的身高做调查,现有三种调查方案:(1)测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高; (2)网上查阅有关我国其他地市180名男生身高的统计资料;(3)按本市七、八、九年级男学生数目的比例分别从三个年级共抽取180名男生调查其身高. 为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的,则上述调查方案不合理的是 ,合理的是 .(填序号)(3)中,少年体校的男子篮球、排球的运动员的身高一般高于平均水平,因此不能用测量的结果去估计总体的结果,故方案(1)不合理;(2)中,用外地学生的身高也不能准确地反映本地学生身高的实际情况,故方案(2)不合理;(3)中,由于初中三个年级的男生身高是不同的,所以应该用按比例分别抽取的方法从初中三个年级抽取180名男生调查其身高,方案(3)合理. 20.某地气象台记录了本地6月份的日最高气温(如下表所示):气象台获取数据的途径是 ,本地6月份的日最高气温的平均数约为 ℃.(结果保留一位小数)24.3;本地6月份的日最高气温的平均数为y =130×(20×5+22×4+24×6+25×6+26×4+28×2+29×2+30×1)≈24.3(℃).21.一工厂生产了16 800件某种产品,它们分别来自甲、乙、丙3条生产线.为检查这批产品的质量,决定采用分层随机抽样的方法进行抽样.已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的产品个数分别是a ,b ,c ,且2b=a+c ,则乙生产线生产了 件产品.3条生产线各生产了T 甲、T 乙、T 丙件产品,则a ∶b ∶c=T 甲∶T 乙∶T 丙,即aT 甲=b T乙=c T丙.又因为2b=a+c ,所以{T 甲+T 丙=2T 乙,T 甲+T 乙+T 丙=16 800,所以T 乙=16 8003=5 600.22.某市四个区共有20 000名学生,且四个区的学生人数之比为3∶2.8∶2.2∶2.现要用分层随机抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为200的样本,那么在这四个区中,抽取人数最多的区与抽取人数最少的区的人数差是多少? 抽取人数最多的区的人数为33+2.8+2.2+2×200=310×200=60,抽取人数最少的区的人数为23+2.8+2.2+2×200=210×200=40,则抽取人数最多的区与抽取人数最少的区的人数差为60-40=20.23.某校高中学生有900人,校医务室想对全体高中学生的身高情况做一次调查,为了不影响正常教学活动,准备抽取50名学生作为调查对象.校医务室若从高一年级中抽取50名学生的身高来估计全校高中学生的身高,你认为这样的调查结果会怎样?,校医务室想了解全校高中学生的身高情况,在抽样时应当关注高中各年级学生的身高,并且还要分性别进行抽查.如果只抽取高一的学生,结果是片面的.学科素养创新练24.一个地区共有5个乡镇,共计3万人,其人口比例为3∶2∶5∶2∶3,从这3万人中抽取一个300人的样本,分析某种疾病的发病率.已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,则应采取什么样的抽样方法?并写出具体过程.,所以不同乡镇的发病情况差异明显,因而应采用分层随机抽样的方法.具体过程如下:(1)将3万人分成5层,一个乡镇为一层.(2)按照各乡镇的人口比例随机抽取各乡镇的样本:300×315=60(人),300×215=40(人),300×515=100(人),300×215=40(人),300×315=60(人). 各乡镇分别用分层随机抽样抽取的人数分别为60,40,100,40,60. (3)将抽取的这300人组到一起,即得到一个样本.。