西安交通大学数理统计小抄(终极版)

2(0,)N σ15)X 是来自225122156)X X X ++++服从的分布是___ 机变量X 服从数为λ的]2)1=，则λ= 设两个随机变量X 与Y 的方差分别为共 4 页 第 1 页共4 页第2 页,)X为来自总体n求（1）θ的矩估计；(10分)设ˆθ是一定是θ的相合估计。

共4 页第3 页共4 页第4 页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A ） 课时：48 考试时间：2007 年7 月9 日(200,169)N 180200169P -⎧⎨⎩1.54)＝0.93941()x dx =⎰1X θ=+,得1()(nk f θ==∏,),n1,,),n 当0,)nln k x ∑，求导得似然方程0=其唯一解为2，故θ的极大似然估优于页1(1,F n -(24,19)=0.429,21.507≈∈2的条件下，进一步检验假设：2μ<。

选取检验统计量12(t n n +0.05(43)t =-2.647 1.681-<-)B=)1Y≥=个人在第一层进入十八层楼的电梯，假如每个人以相同的概率从任个人在不同楼层走出电梯的概2=-1Xe-5,,X 都服从参数为分布，若将它们串联成整机，求整机寿命的分布密度。

分）某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为且每天出售的汽车数是相互独立的，西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A）课时：48 考试时间：2008 年7 月9 日三、1exp(),5 X2 (5,)B e-，∴四、设1iX⎧=⎨⎩第,n1n-第 1页1,2,,5min {k X 5,0,x e λ--0,x > exp(5)λ,365,(3652,365iN ⨯⨯3652)3652-⨯=⨯七、()E X dx θθ==+1X θθ=+2⎪⎫； 1)(ni θ==∏()ln nθθ= 第 2 页(0,1)N 的样本9,)X 是来自正态总体N 的置信区间为 分）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有1,2,,n.设各部件的状态相互独立，以转中同时需要调整的部件数，求(E X,)X是来自总体的一组样本nˆμ,它是否是的极大似然估计量*μ，它是否是西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)n，则X,nX相互独立，1,2,i n= ()E X=()D X: (1)0x y<<<⎰⎰10000,X独立同分布，1,2,n ，因此当,)n x 中最小值时，的极大似然估计量为 ,}n X 2,}n X X 分布函数是1(1(X F z --，分布密度是((Z x f z μμ>≤ ()n x nxe dx μ--=12min{,,}n X X X 不是统计量X T S -=代入数据()Pλ，且已知{(,)=G x y，X）为来自总体服从参数为…,n，λ>服从以λ(0)求该样本的联合密度函数共2 页第1 页5,,X 是独立同分布的随机变量，其共同密度函数为：，试求5,,)Y X =的数学期望和方差。

根据数理统计知识点归纳总结(精华版)
1. 引言
本文旨在对数理统计的基本知识点进行归纳总结，帮助读者快速了解数理统计的核心概念和方法。

2. 概率论基础
- 概率的基本定义和性质
- 随机事件的运算规则
- 条件概率和独立性
- 贝叶斯定理
3. 随机变量和分布
- 随机变量的定义和分类
- 离散型随机变量和连续型随机变量
- 常见离散型分布（如伯努利分布、二项分布、泊松分布）
- 常见连续型分布（如均匀分布、正态分布、指数分布）
4. 数理统计的基本概念
- 总体和样本的概念
- 估计与抽样分布
- 统计量和抽样分布
5. 参数估计
- 点估计的定义和性质
- 常见的点估计方法（如最大似然估计、矩估计）
- 区间估计的基本原理和方法
6. 假设检验
- 假设检验的基本思想和步骤
- 单侧检验和双侧检验
- 假设检验中的错误类型和显著性水平
- 常见的假设检验方法（如正态总体均值的检验、两样本均值的检验）
7. 相关分析
- 相关系数的定义和计算方法
- 相关分析的假设检验
- 线性回归分析的基本原理和方法
8. 统计软件的应用
- 常见的统计软件介绍（如SPSS、R、Python）
- 统计软件的基本操作（如数据导入、数据处理、统计分析）
9. 结语
本文对数理统计的核心知识点进行了简要的概括，供读者参考和研究。

通过研究数理统计，读者可以更好地理解和应用统计学在实际问题中的作用，提高数据分析和决策能力。

以上是根据数理统计知识点的归纳总结，希望有助于您对数理统计的理解和学习。

如需深入了解各个知识点的具体内容，请参考相关教材或课程。

第一部分 基本概念基础练习一． 填空题1若1210,,,X X X 相互独立，2~(,),1,2,,10i i iX N i μσ=，并且σ已知，则1210,,,X X X 的函数=2χ________服从于210χ（）分布.答案：102211)ii i X μσ=-∑（2 ),(~),,(~222211σσμμN Y N X ，从总体X 、Y 中分别抽取容量为1n 、2n 的样本，样本均值分别为X 、Y X Y -则,= 。

答案： ),(22212121n n N σσμμ+-3设T 服从自由度为{}{}λλ<=>T P a T P t n 则若分布的,,= 。

答案：21a- 4设621,,,X X X 是取自总体)1,0(~N X 的样本，264231)()(∑∑==+=i i i i X X Y ，则当c ＝ 时， cY 服从2χ分布，)(2χE ＝ .。

答案：1/3，25设总体X 服从N(a,22)分布，12(,,,)n X X X 是来自此总体的样本，X 为样本均值，试问样本容量n>_________，才能使E(|X -a|2)≤0.1。

答案：n >406设12,,n X X X ，为总体X 的一个样本，若11ni i X X n ==∑且EX μ=，2DX σ=，则EX = _________，DX = __________。

答案：μ，2nσ7设总体()22X N σ服从正态分布，，1216,,X X X ，是来自总体X 的一个样本，且161116i i X X ==∑, 则48X σ-服从 ____ ______分布.答案：()01N ，8某地的食用水中以每cm3中含大肠杆菌个数 X 为特性指标，已知它服从均值为λ 的泊松分布，从水中抽一个容量为n 的样本 Z Z Z n 12,,, ，则样本的联合分布律为 。

答案：P Z x Z x x e n x i i nn i 111===-=∏,,!b gλλ12()12(!!!)n n ex x x n x x x λλ-+++=9某种元件的寿命服从均值为1λ的指数分布，用寿命作为元件的特性指标，任取n 个元件，其寿命构成一个容量为n 的样本，则样本分布的联合分布密度为 。

1.描述动力学和推断记录学区别根据是（对总体数据分析研究办法不同）。

（B）2.记录数据是一种（详细量）。

（A）3.在抽样推断中, 总体参数是一种（未知量）。

（A）4.平均数是对（变量值平均）。

（B）5.如下哪一条不属于方差分析中假设条件（因此样本方差都相等）。

（C）6.要对某公司生产设备实际生产能力进行调查, 则该公司“生产设备”是（调核对象）。

（A）7.当变量之中有一项为零时, 不能计算（几何平均数和调和平均数）。

（D）8.某大学商学院一位教师根据本院职工6月份收入资料计算出该院全体职工六月份平均收入, 并同其她院系进行比较, 该教师运用是（描述记录学）办法。

（A）9.对于持续变量取值普通是采用（计量办法）。

（B）10.要理解上海市居民家庭收支状况, 最适当调查方式是（抽样调查）。

（D）11.记录调核对象是（现象总体）。

（C）12.有关系数取值范畴是（-1≤r≤1）。

（C）13.下列属于时点数列是（某厂各年生产工人占所有职工比重）。

（C）14.下面属于品质标志是（工人性别）。

（B）15.某工厂有100名职工, 把她们工资加总除以100, 这是对100个（变量值）求平均数。

（C）16.当一项科学实验成果尚未得出时, 这种实验将始终进行下去。

此时咱们可以将由这种实验次数构成总体当作（无限总体）。

D17.某单位职工平均年龄为35岁, 这是对（变量值）平均。

（B）18.随机实验所有也许浮现得成果, 称为（样本空间）。

（B）19.1999年全国从业人员比上年增长629万人, 这一指标是（增长量）。

（B）20.下面那个图形不适合描述分类数据（茎叶图）。

（B）21.数据型数据离散限度测度办法中, 受极端变量值影响最大是（极差）。

（A）22.下列指标中, 不属于平均数是（某省人均粮食产量）。

（A）23.加权算术平均数大小（受各组标志值与各组次数共同影响。

）。

（D）24.在变量数列中, 当标志值较大组权数较小时, 加权算术平均数（偏向于标志值较小一方。

2(0,)N σ15)X 是来自225122156)X X X ++++服从的分布是___ 机变量X 服从数为λ的]2)1=，则λ= 设两个随机变量X 与Y 的方差分别为共 4 页 第 1 页,)X为来自总体n求（1）θ的矩估计；共4 页第4 页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A ） 课时：48 考试时间：2007 年7 月9 日(200,169)N 180200169P -⎧⎨⎩1.54)＝0.93941()x dx =⎰1X θ=+,得1()(nk f θ==∏,),n1,,),n 当0,)nln k x ∑，求导得似然方程0=其唯一解为2，故θ的极大似然估优于第 1 页1(1,F n -(24,19)=0.429,221.507≈∈2的条件下，进一步检验假设：2μ<。

选取检验统计量12(t n n +0.05(43)t =-2.647 1.681-<-)B=)1Y≥=个人在第一层进入十八层楼的电梯，假如每个人以相同的概率从任个人在不同楼层走出电梯的概2=-1Xe-5,,X 都服从参数为分布，若将它们串联成整机，求整机寿命的分布密度。

分）某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为且每天出售的汽车数是相互独立的，西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A）课时：48 考试时间：2008 年7 月9 日三、1exp(),5 X2 (5,)B e-，∴四、设1iX⎧=⎨⎩第,n1n-第 1页1,2,,5min {k X 5,0,x e λ--0,x > exp(5)λ,365,(3652,365iN ⨯⨯3652)3652-⨯=⨯七、()E X dx θθ==+1X θθ=+2⎪⎫； 1)(ni θ==∏()ln nθθ=第 2 页(0,1)N 的样本9,)X 是来自正态总体N1,2,,n.设各部件的状态相互独立，以转中同时需要调整的部件数，求(E X,)X是来自总体的一组样本nˆμ,它是否是的极大似然估计量*μ，它是否是西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)n ，则X ,n X 相互独立，1,2,i n = ()E X =()D X : (1)0x y <<<⎰⎰ 10000,X 独立同分布，1,2,n ，因此当,)n x 中最小值时，的极大似然估计量为 ,}n X 2,}n X X 分布函数是1(1(X F z --，分布密度是((Z x f z μμ>≤ ()n x nxe dx μ--=12min{,,}n X X X 不是统计量X T S -=代入数据()Pλ，且已知{(,)=G x y，X）为来自总体服从参数为…,n，λ>服从以λ(0)求该样本的联合密度函数共2 页第1 页,,X是独立同分布的随机变量，其共同密度函数为：55,,)X 的数学期望和方差。

第一部分 随机事件及其概率基础练习一． 填空1 设====)(,7.0)(,5.0)(,4.0)(B A P B A P B P A P 则若 答案：0.552 三次独立重复射击中，至少有一次击中的概率为则每次击,6437中的概率为 答案：1/43箱中盛有8个白球6个黑球，从其中任意地接连取出8个球，若每球被取出后不放还，则最后取出的球是白球的概率等于_________________。

答案：8144 任取两个正整数，则它们之和为偶数的概率是_______ 答案：1/25 设10件产品中有3件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为__________答案：2/96已知P （A ）=0.8,P(A-B)=0.5,且A 与B 独立，则P （B ）= 答案：3/87从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________ 答案：9876104⨯⨯⨯=0.3024 8箱中盛有8个白球6个黑球，从其中任意地接连取出8个球，若每球被取出后不放还，则最后取出的球是白球的概率等于_________________ 答案：8149平面上有10个点，其中任何三点都不在一直线上，这些点可以确定_____个三角形。

答案：12010设样本空间U={1，2， 10}，A={2，3，4，}，B={3，4，5，}，C={5，6，7}，则()C B A 表示的集合=______________________。

答案：{1,2,5,6,7,8,9,10} 二． 计算题1 一打靶场备有5支某种型号的枪,其中3支已经校正,2支未经校正.某人使用已校正的枪击中目标的概率为1p ,使用未经校正的枪击中目标的概率为2p .他随机地取一支枪进行射击,已知他射击了5次,都未击中,求他使用的是已校正的枪的概率(设各次射击的结果相互独立).解 以M 表示事件“射击了5次均未击中”,以C 表示事件“取得的枪是已经校正的”，则,5/3)(=C P,5/2)(=C P 又,按题设,)1()|(51p C M P -=52)1()|(p C M P -=,由贝叶斯公式 ,)()()|(M P MC P M C P =)()|()()|()()|(C P C M P C P C M P C P C M P +=52)1(53)1(53)1(525151⨯-+⨯-⨯-=p p p.)1(2)1(3)1(3525151p p p -+--= 2 某人共买了11只水果,其中有3只是二级品,8只是一级品.随机地将水果分给C B A 、、三人,各人分别得到4只、6只、1只. (1)求C 未拿到二级品的概率.(2)已知C 未拿到二级品,求B A ,均拿到二级品的概率. (3)求B A ,均拿到二级品而C 未拿到二级品的概率.解 以，，，C B A 分别表示事件C B A ，，取到二级品,则C B A ，，表示事件C B A ，，未取到二级品.(1).11/8)(=C P(2)就是需要求).|(C AB P 已知C 未取到二级品,这时B A ,将7只一级品和3只二级品全部分掉.而B A 、均取到二级品,只需A取到1只至2只二级品,其它的为一级品.于是.5441027234103713)|(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C AB P(3).55/32)()|()(==C P C AB P C AB P3 一系统L 由两个只能传输字符0和1的独立工作的子系统1L 和2L 串联而成(如图13-1),每个子系统输入为0输出为0的概率为)10(<<p p ;而输入为1输出为1的概率也是p .今在图中a 端输入字符1,求系统L 的b 端输出字符0的概率.ab解 “系统L 的输入为1输出为0”这一事件(记)01(→L )是两个不相容事件之和,即),00()01()01()11()01(2121→→→→=→L L L L L 这里的记号“)11(1→L ”表示事件“子系统1L 的输入为1输出为1,其余3个记号的含义类似.于是由子系统工作的独立性得)}00()01({)}01()11({)}01({2121→→+→→=→L L P L L P L P)}00({)}01({)}01({)}11({2121→→+→→=L P L P L P L P).1(2)1()1(p p p p p p -=-+-=4 甲乙二人轮流掷一骰子,每轮掷一次,谁先掷得6点谁得胜,从甲开始掷,问甲、乙得胜的概率各为多少?解 以i A 表示事件“第i 次投掷时投掷者才得6点”.事件i A 发生,表示在前1-i 次甲或乙均未得6点,而在第i 次投掷甲或乙得6点.因各次投掷相互独立,故有.6165)(1-⎪⎭⎫⎝⎛=i i A P 因甲为首掷,故甲掷奇数轮次,从而甲胜的概率为}{}{531 A A A P P =甲胜+++=)()()(531A P A P A P ),(21两两不相容因 A A⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 426565161.116)6/5(11612=-=同样,乙胜的概率为}{}{642 A A A P P =乙胜+++=)()()(642A P A P A P.1156565656153=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=5 将一颗骰子掷两次,考虑事件=A “第一次掷得点数2或5”,=B “两次点数之和至少为7”，求),(),(B P A P 并问事件B A ,是否相互独立.解 将骰子掷一次共有6种等可能结果,故.3/16/2)(==A P 设以i X 表示第i 次掷出骰子的点数,则}).6({1})7({)(2121≤+-=≥+=X X P X X P B P因将骰子掷两次共有36个样本点,其中621≤+X X 有6,5,4,3,221=+X X 共5种情况,这5种情况分别含有1,2,3,4,5个样本点,故.12/712/5136/)54321(1)(=-=++++-=B P以),(21X X 记两次投掷的结果,则AB 共有(2,5),(2,6),(5,2),(5,3)(5,4),(5,5),(5,6)这7个样本点.故 .36/7)(=AB P今有).(36/7)12/7)(3/1()()(AB P B P A P === 按定义B A ,相互独立.6 B A ，两人轮流射击,每次各人射击一枪,射击的次序为A B A B A ,,,,,射击直至击中两枪为止.设各人击中的概率均为p ,且各次击中与否相互独立.求击中的两枪是由同一人射击的概率.解 A 总是在奇数轮射击,B 在偶数轮射击.先考虑A 击中两枪的情况.以12+n A 表示事件“A 在第12+n 轮),2,1( =n 射击时又一次击中,射击在此时结束”. 12+n A 发生表示“前n 2轮中A 共射击n 枪而其中击中一枪,且A 在第12+n 轮时击中第二枪”（这一事件记为C ），同时“B 在前n 2轮中共射击n 枪但一枪未中”(这一事件记为D )，因此)()()()(12D P C P CD P A P n ==+nn p p p p n )1()1(11-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=- .)1(122--=n p np注意到 ,,,753A A A 两两互不相容,故由A 击中了两枪而结束射击(这一事件仍记为A )的概率为∑∑∞=-∞=++∞=-===1122112121)1()()()(n n n n n n p np A P A P A P1122])1[()1(-∞=∑--=n n p n p p.)2(1])1(1[1)1(2222p pP p p --=---(此处级数求和用到公式.1,)1(1112<=-∑∞=-x nx x n n 这一公式可自等比级数1,11<=-∑∞=x x x n n 两边求导而得到.) 若两枪均由B 击中,以)1(2+n B 表示事件 “B 在第)1(2+n 轮),2,1( =n 射击时又一次击中,射击在此时结束”. )1(2+n B 发生表示在前12+n 轮中B 射击n 枪其中击中一枪,且B 在第)1(2+n 轮时击中第2枪，同时A 在前12+n 轮中共射击1+n 枪,但一枪未中.注意到 ,,,864A A A 两两互不相容,故B 击中了两枪而结束射击(这一事件仍记为B )的概率为∑∞=+-+∞=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==111)1(21)1()1(1)()(n n n n n p p p p n B P B P 12112222])1[()1()1(-∞=∞=--=-=∑∑n n n np n p p p np.)2()1(])1(1[1)1(222222p p p p p --=---= 因此,由一人击中两枪的概率为222)2()1()2(1)()()(p p p p B P A P B A P --+--=+= .21pp --= 7 有3个独立工作的元件1,元件2,元件3,它们的可靠性分别为.,,321p p p 设由它们组成一个“3个元件取2个元件的表决系统”,记为2/3].[G 这一系统的运行方式是当且仅当3个元件中至少有2个正常工作时这一系统正常工作.求这一2/3][G 系统的可靠性. 解 以i A 表示事件“第i 个元件正常工作”，以G 表示事件“2/3][G 系统正常工作”，则G 可表示为下述两两互不相容的事件之和： 321321321321A A A A A A A A A A A A G = 因321,,A A A 相互独立,故有)()()()()(321321321321A A A P A A A P A A A P A A A P G P +++=)()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P +++=.)1()1()1(321321321321p p p p p p p p p p p p +-+-+-= 8 甲、乙、丙三部机床独立工作由一名工人照看，某段时间内甲、乙、丙三部机床不需要照看的概率依次为3/4、2/3、1/2，求在这段时间内有机床需要工人照看的概率及恰有1台机床需要工人照看的概率。

(0,)N σ21215X X ++++量X 服从共 4 页 第 1 页共4 页第2 页求（1）θ的矩估计；共4 页第3 页共4 页第4 页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A ） 课时：48 考试时间：2007 年7 月9 日180200169P -⎧⎨⎩1.54)＝0.93941()x dx =⎰页1(1,F n -(24,19)=0.429,21.507≈∈12(t n n +0.05(43)t =-2.647 1.681-<-)B=)1Y≥=个人在第一层进入十八层楼的电梯，假如每个人以相同的概率从任分布，若将它们串联成整机，求整机寿命的分布密度。

西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A）课时：48 考试时间：2008 年7 月9 日三、exp(),5X2(5,)B e-，∴四、设1iX⎧=⎨⎩第 1页5,x e λ--exp(5)λ(365N ⨯3652)3652⨯=⨯1X θθ=+ 第 2 页(0,1)N的样本是来自正态总体N的置信区间为转中同时需要调整的部件数，求(E Xˆμ,它是否是西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)=i n1,2,E X=()的极大似然估计量为,X XX( Z xf zμ>X-()Pλ，且已知{(,)=G x y，共2 页第1 页Y=共 2 页第 2 页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)个地区，i9,0< x x(500N ⨯的把握满足客户的兑换）exp(),exp(),(2),2ii i i X Y X Y χθθ∴=即 222(2)n n i i nX X Y n χθθ∴==∑∑ ）(2)n χθ2nX λ∴<<2112(2), n αλχ-∴=。

《高等数学（上）》——学习指南一、选择题1．函数lg(1)y x =-的反函数是【 】A. 1x y e =+B. 101x y =+C.101y x =-D. 101y x -=+ 参考答案：B对等式两边做e 的指数，得到101y x =-，变换一下因变量和自变量得到：101x y =-。

即：101x y =+2．极限1111lim 122334(1)n n n →∞⎡⎤++++=⎢⎥⨯⨯⨯⨯+⎣⎦【 】 A. 1 B. 0 C.23 D. 32参考答案：A由题目知通项n S 有如下的形式：()1111+12233411111111122334111111111223341111n S n n n n n n n =+++⨯⨯⨯⨯+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+-+-++-+=-+ ()11111lim +lim 1112233411n n n n n →∞→∞⎡⎤⎡⎤+++=-=⎢⎥⎢⎥⨯⨯⨯⨯++⎣⎦⎣⎦3．若33222lim 3x x x a→-=-，则a =【 】 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4参考答案：D()()()332233222222lim 3lim 230lim 383223834x x x x x ax x a x x a a a →→→-=-⇔---=⇔-=-⇒-=-⇒=4．当1x →时，21()1f x x =-【 】 A. 极限不存在 B. 是无穷大量 C. 是无穷小量 D. 是未定式参考答案：B当x 趋向于1时，分母趋向于0，任意常数除以0都是无穷大量。

所以原式是一个无穷大量。

5．设函数2sin(2)()32x f x x x +=-+， 那么函数的所有间断点是【 】A. 0B. 1和2C.2-D.1-和3参考答案：B()()()()()2sin 2sin 23212x x f x x x x x ++==-+--，当1x =或者2时，分式的分母等于零，方程没有意义。

第一章 抽样和抽样分布3. 子样平均数和子样方差的简化计算如下：设子样值x1,x2,…,xn 的平均数为x 和方差为2x ε作变换ca x y i i -=，得到y1,y2,…,yn,它的平均数为y 和方差为2y s 。

试证：222,y x s c s y c a x =+=。

解：因为i i x ay c-=所以 i i x a cy =+11ni i x x n ==∑()1111ni i ni i a cy n na cy n ===+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑1nii c a y n a cy==+=+∑ 所以 x a cy =+ 成立()2211nxi i s x x n ==-∑()()()22122111ni i ini i nii a cy a c y n cy c yn c y y n====+--=-=-∑∑∑因为 ()2211n y i i s y yn ==-∑ 所以222x ys c s = 成立 ()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--====8．若从某母体中抽取容量为13的子样：-2.1,3.2,0，-0.1,1.2，-4，2.22,2.01,1.2，-0.1,3.21，-2.1,0.试写出这个子样的顺序统计量、子样中位数和极差。

如果再抽取一个样品为2.7构成一个容量为14的子样，求子样中位数。

解：将子样值重新排列（由小到大）-4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，3.2，3.21()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--====9．从同一母体抽得的两个子样，其容量为n1和n2，已经分别算出这两个子样的平均数1X 和2X ,子样方差21s 和22s 。

2009(上)《数理统计》考试题(A卷)及参考解答一、填空题（每小题3分，共15分）1，设总体和相互独立，且都服从正态分布，而和是分别来自和的样本，则服从的分布是_______ .解：．2，设与都是总体未知参数的估计，且比有效，则与的期望与方差满足_______ .解：．3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___.解：秩和检验、游程总数检验．4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ .解：正态性、方差齐性、独立性．5，多元线性回归模型中，的最小二乘估计是_______ .解：．二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设为来自总体的一个样本，为样本均值，为样本方差，则____D___ .（A）； （B）；（C）； （D）.2，若总体，其中已知，当置信度保持不变时，如果样本容量增大，则的置信区间____B___ .（A）长度变大； （B）长度变小； （C）长度不变； （D）前述都有可能.3，在假设检验中，分别用，表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量一定时，下列说法中正确的是____C___ .（A）减小时也减小； （B）增大时也增大；（C）其中一个减小，另一个会增大； （D）（A）和（B）同时成立.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设为总离差平方和，为误差平方和，为效应平方和，则总有___A___ .（A）； （B）；（C）； （D）与相互独立.5，在一元回归分析中，判定系数定义为，则___B____ .（A）接近0时回归效果显著； （B）接近1时回归效果显著；（C）接近时回归效果显著； （D）前述都不对.三、（本题10分）设总体、，和分别是来自和的样本，且两个样本相互独立，和分别是它们的样本均值和样本方差，证明，其中.证明：易知， ．由定理可知， ．由独立性和分布的可加性可得．由与得独立性和分布的定义可得．四、（本题10分）已知总体的概率密度函数为其中未知参数, 为取自总体的一个样本，求的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．解：（1），用代替，所以．（2），所以该估计量是无偏估计．五、（本题10分）设总体的概率密度函数为，其中未知参数，是来自总体的一个样本，试求参数的极大似然估计．解：当时，，令，得．六、（本题10分）设总体的密度函数为 未知参数，为总体的一个样本，证明是的一个UMVUE．证明：由指数分布的总体满足正则条件可得，的的无偏估计方差的C-R下界为．另一方面，，即得方差达到C-R下界，故是的UMVUE．七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重, 得其样本标准差为公斤, 试问：（1）在显著性水平下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求? （2）如果调整显著性水平，结果会怎样？参考数据: , , , ．解：（1），则应有：，具体计算得：所以拒绝假设，即认为苹果重量标准差指标未达到要求．（2）新设由则接受假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．八、（本题10分）已知两个总体与独立，，，未知，和分别是来自和的样本，求的置信度为的置信区间.解：设分别表示总体的样本方差，由抽样分布定理可知， ，由分布的定义可得．对于置信度，查分布表找和使得，即，所求的置信度为的置信区间为．九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．解：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测．2009(上)《数理统计》考试题(B卷)及参考解答一、填空题（每小题3分，共15分）1，设总体服从正态分布，而是来自的样本，则服从的分布是_______ .解：．2，是总体未知参数的相合估计量的一个充分条件是_______ .解：．3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___.解：检验、柯尔莫哥洛夫检验．4，方差分析的目的是_______ .解：推断各因素对试验结果影响是否显著．5，多元线性回归模型中，的最小二乘估计的协方差矩阵_______ .解：．二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设总体，是的样本，则___B___ .（A）； （B）；（C）； （D）．2，若总体，其中已知，当样本容量保持不变时，如果置信度减小，则的置信区间____B___ .（A）长度变大； （B）长度变小； （C）长度不变； （D）前述都有可能.3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ .（A）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；（B）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的；（C）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的；（D）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设为总离差平方和，为误差平方和，为效应平方和，则总有___A___ .（A）； （B）；（C）； （D）与相互独立.5，在多元线性回归分析中，设是的最小二乘估计，是残差向量，则___B____ .（A）； （B）；（C）是的无偏估计； （D）（A）、（B）、（C）都对.三、（本题10分）设总体、，和分别是来自和的样本，且两个样本相互独立，和分别是它们的样本均值和样本方差，证明，其中.证明：易知， ．由定理可知， ．由独立性和分布的可加性可得．由与得独立性和分布的定义可得．四、（本题10分）设总体的概率密度为其中参数 未知，是来自总体的一个样本，是样本均值，（1）求参数（2）证明不是的无偏估计量．解：（1），令，代入上式得到的矩估计量为．（2），因为，所以．故不是的无偏估计量．五、（本题10分）设总体服从上的均匀分布，是来自总体的一个样本，试求参数的极大似然估计．解：的密度函数为似然函数为显然时，是单调减函数，而，所以是的极大似然估计．六、（本题10分）设总体服从分布，为总体的样本，证明是参数的一个UMVUE．证明：的分布律为．容易验证满足正则条件，于是．另一方面，即得方差达到C-R下界的无偏估计量，故是的一个UMVUE．七、（本题10分）某异常区的磁场强度服从正态分布，由以前的观n α=0.1α=0.05α=0.02514 1.3450 1.7613 2.144815 1.3406 1.7531 2.131516 1.3368 1.7459 2.1199n α=0.1α=0.05α=0.0251421.06423.68526.1191522.30724.99627.4881623.34224.29628.845测可知．现有一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得,问此仪器测出的结果与以往相比是否有明显的差异(α=0.05)．附表如下：t分布表χ2分布表解：设：．构造检验统计量，确定拒绝域的形式．由，定出临界值，从而求出拒绝域．而，从而　，接受假设，即认为此仪器测出的结果与以往相比无明显的差异．八、（本题10分）已知两个总体与独立，，，未知，和分别是来自和的样本，求的置信度为的置信区间.解：设，则，所求的置信度为的置信区间为 ．九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．2011-2012（下）研究生应用数理统计试题（A）1设为正态总体的样本，令，试证，。