谱域迭代法.

80电子技术Electronic Technology电子技术与软件工程Electronic Technology & Software Engineering微波成像是一种典型的电磁逆散射问题，可以结合散射的回波信号提取相关目标的实际特征。

在逆散射研究过程中一般设计三个主要的数学问题，分别为解的唯一性、存在性及稳定性。

一般而言，往往只能针对散射体外部的限定区间实施测量，使得测量的数据完整性较差，同时，由于测量过程中难免受到随机噪声的影响，在一定程度上限制了散射数据的有效性，使其偏离于真实的散射场分布。

除此之外，借助电磁等效原理可以发现，在特定点上，不同的散射体可以激励出一定的散射场，在一定程度上增加了求解的难度。

在逆散射问题中往往设计许多先验信息，可以综合利用算法谱域重建算法和空间域迭代法的形式，让电磁场逆散射问题得到妥善解决。

下文将简要介绍几种具有代表性的微波成像算法。

1 ω-k算法这是一种十分常见的谱域重建算法，相比于以往的合成孔径成像算法，ω-k 算法可以表现为更加突出的精度和计算速度优势，将其应用于均匀散射背景下的成像环境，可以发挥出良好的计算效果。

例如，可以在飞机降落时展开对于不明物体的侦查，并据此展开对于宽测绘带星载SAR 数据的精确化成像处理。

图1为ω-k 算法流程。

（1）需要针对接收信号进行调整，通过相位调整的形式，将频谱移动到基带之中，在此过程中，kcy 都分别代表Y 方向上的数据中心频率。

（2）沿着Y 方向进行一维傅里叶变换。

（3）实施空间移位和插值处理，并将（x 0，y 0）视作目标点的中心坐标。

（4）针对处理完成的信号实施二维傅里叶反变换处理，并将所得的幅度转化为空间分布图像。

（5）按照顺序，针对反变换处理后的矩阵及其中的复数数据元素实施逐个取模处理[1]。

2 局部形状函数算法局部形状函数算法（LSF ）是一种十分常见的空间域非线性迭代算法，该方法的应用一般较为充分，可以适用于具有多个不同强散射体的情形，同时，无论是何种形状和规格的散射体都应用此类算法。

汽车道路模拟试验路谱迭代“实车道路采谱试验就是为了得到汽车在实际道路行驶中的载荷（应变、加速度、力等信息），在该车的实际运用地区的公路以及试验场进行的实车道路试验。

实车道路试验在汽车开发过程中占有十分重要的地位，通过道路试验可以分别评价汽车的耐久性、舒适性和安全性等个方面，同时考察各个系统和总成的性能。

”实车道路采谱试验就是为了得到汽车在实际道路行驶中的载荷（应变、加速度、力等信息），在该车的实际运用地区的公路以及试验场进行的实车道路试验。

实车道路试验在汽车开发过程中占有十分重要的地位，通过道路试验可以分别评价汽车的耐久性、舒适性和安全性等个方面，同时考察各个系统和总成的性能。

道路试验是汽车开发过程中不可或缺的重要阶段，它包括在高速公路、普通路面、恶劣道路以及各种特殊路面上的测试，是一种检验汽车性能的有效手段。

由于西方国家的路面条件与我国实际情况存在较大差异，因而难以参考国外引进的试验规范和试验路面谱，例如福特公司的JerryZ. Wang和Mark W. Muddiman等人曾于1996年至1997年对中国用户道路载荷谱与福特公司在美国和比利时的试车场道路载荷谱进行了比较研究，发现在国外某种道路路面上不会发生故障的零部件却在国内出现刚度强度问题。

另外我国幅员辽阔，各地道路情况差异较大，因而也有必要对典型地区道路载荷谱进行分析，找出其与试车场道路载荷谱对应关系，可为制定适合我国的试验谱系及规范提供理论依据和有效参数。

将地区道路等效成试车场道路不同路段混合而成的组合路段，即得到地区道路与试验场道路载荷谱的当量关系，就可在试车场按一定比例混合各种路面来再现目标用户地区道路载荷输入，进一步扩展外推后，便可了解较长里程后的损伤情况，达到加速试验的目的。

JerryZ. Wang和Mark W. Muddiman等人曾于1996年至1997年对中国用户道路载荷谱与福特公司在美国和比利时的试车场道路载荷谱进行了比较研究，发现在国外某种道路路面上不会发生故障的零部件却在国内出现刚度强度问题。

微波电路计算机辅助分析与设计课题名称准静态场法和谱域法分析计算标准微带线的特性目录一、概述 (1)1.小组作业课题 (1)2.背景介绍 (1)3.小组分工 (1)二、准静态场法分析微带线 (1)1. 原理 (1)2. 代码实现流程图 (3)三、谱域法分析微带线 (3)1. 原理 (3)2. 代码实现 (7)（1）计算流程图 (7)（2）参数 (8)（3）基函数计算 (8)（4）b矩阵的推导 (9)（5）G矩阵的推导 (9)（6）K矩阵的推导 (10)（7）kz的求解（基函数阶数为2时） (10)（8）实现细节 (11)四、ADS仿真 (12)1.LineCalc 组件工具 (12)2.Keff与频率变化关系 (13)五、结果对比与分析 (14)1.结果对比 (14)2.误差分析 (16)六、总结 (16)参考文献 (16)代码附录 (17)一、概述1.小组作业课题（1）安装并熟悉 ADS 软件，并使用ADS 主程序中的传输线及无源元件；（2）使用 ADS 中的LineCalc 组件工具，进行各类传输线的基本分析和设计；（3）自行编写程序，按照准静态场法和谱域法分析计算标准微带线或屏蔽微带线的特性，并与 ADS 软件的计算结果进行对比，总结 ADS 中的传输线所采用的设计计算方法。

2.背景介绍微带线以成本低、结构简单、易于集成等优点越来越多地在微波单片集成电路和毫米波集成电路中得到了广泛地应用。

由于在微带线中传播的混合模可以表示成TE 和TM 模的叠加，需要采用混合模的全波理论法对其进行严格的理论分析和计算。

[1]-[2]谱域法是计算微带线的色散特性最有效的方法之一，即使取电流分布的基函数阶数较少的情况下，也能够得到有效相对介电函数。

本报告中复现了Itoh 等人[3]用传统的谱域法计算微带线的色散特性。

3.小组分工二、准静态场法分析微带线1. 原理当频率较低时，电磁场的纵向分量很小，色散效应也较小，此时的场结构近似于TEM模，一般称它为准TEM模。

时域谱和频域谱
时域谱和频域谱是信号处理中常用的两种分析方法，它们可以用来描述信号在时间和频率上的变化规律。

时域谱是指信号在时间轴上的波形分布。

通过对信号在时间上的采样和量化，可以得到时域谱的表示形式。

时域谱通常用图像来表示，其中横轴代表时间，纵轴表示信号的幅度或功率。

时域谱可以用来描述信号的波形特征，如振幅、频率、周期等。

频域谱是指信号在频率域上的分布情况。

它描述了信号在不同频率下的幅度和相位信息。

频域谱通常用傅里叶变换来得到，它将信号从时域转换到频域。

频域谱可以用来描述信号的频谱特征，如频率分布、频率响应等。

时域谱和频域谱是相互关联的，它们可以通过傅里叶变换相互转换。

在信号处理中，时域谱和频域谱经常用来进行信号滤波、降噪、特征提取等任务。

- 1 -。

摘要:近些年来，无限维动力系统得到了很大的发展.随着对它研究的深入和计算能力的迅速提高，使得与之相关的数值研究越来越被人们关注.谱方法作为一种数值求解偏微分方程的方法，它具有无穷阶收敛性.因此，谱方法也就引起人们更多的关注.关键词：谱方法；偏微分；收敛；逼近；1偏微分方程及其谱方法的介绍偏微分方程主要借助于未知函数及其导数来刻画客观世界的物理量的一般变化规律。

理论上，对偏微分方程解法的研究已经有很长的历史了。

最初的研究工作主要集中在物理，力学，几何学等方面的具体问题，其经典代表是波动方程，热传导方程和位势方程（调和方程）。

通过对这些问题的研究，形成了至今仍然使用的有效方法，例如，分离变量法，fourier变换法等。

早期的偏微分方程研究主要集中在理论上，而在实际操作中其研究方法和研究结果都难以得到广泛的应用。

求解的主要方法为：有限差分法，有限元法，谱方法。

谱方法起源于Ritz-Galerkin方法，它是以正交多项式（三角多项式，切比雪夫多项式，勒让得多项式等）作为基函数的Galerkin方法、Tau方法或配置法，它们分别称为谱方法、Tau方法或拟谱方法（配点法），通称为谱方法。

谱方法是以正交函数或固有函数为近似函数的计算方法。

从函数近似角度看．谱方法可分为Fourier方法．Chebyshev或Legendre方法。

前者适用于周期性问题，后两者适用于非周期性问题。

而这些方法的基础就是建立空间基函数。

下面介绍几种正交多项式各种节点的取值方法及权重。

1) Chebyshev-Gauss:2) Chebyshev-Gauss-Radau: x0 =1,3) Chebyshev-Gauss-Lobatto: x0 =1, xN =1,4)Legendre-Gauss: xj 是的零点且5）Legendre-Gauss-Radau: xj 是的N+1个零点且6）Legendre-Gauss-Lobatto: x0=-1,xN=1其它N-1个点是的零点且下面介绍谱方法中最重要的Jacobi正交多项式其迭代公式为：其中：Jacobi正交多项式满足正交性：而Chebyshev多项式是令时Jacobi多项式的特殊形式，另外Legendre多项式是令时Jacobi多项式的特殊形式。

doi:10.3969/j.issn.1001-893x.2014.03.015引用格式:高立新,龚主前,李元新.微带电路谱域Prony方法采样间隔的研究[J].电讯技术,2014,54(3):327-331.[GAO Li-xin,GONG Zhu-qian,LI Yuan-xin.Analysis of Sampling Interval in Spectral Domain Prony′s Method[J].Telecommunication Engineering,2014,54(3):327-331.]微带电路谱域Prony方法采样间隔的研究*高立新1,**,龚主前1,李元新2(1.广东机电职业技术学院信息工程学院,广州510515;2.中山大学信息科学与技术学院,广州510275)摘　要:对计算微带电路S参数的改进谱域Prony方法进行研究,分析比较时域有限差分法(FDTD)中波端口激励方式和模式端口激励方式,提出采样间隔选取标准,然后通过几个实际的工程算例来讨论改进谱域Prony方法的性能㊂数值结果表明,在非常小的采样间隔条件下改进谱域Prony方法仍可以准确计算相位常数和S参数㊂关键词:微带电路;谱域Prony方法;FDTD激励方式;采样间隔中图分类号:TN70 文献标志码:A 文章编号:1001-893X(2014)03-0327-05Study on Sampling Interval in Spectral Domain Prony′s MethodGAO Li-xin1,GONG Zhu-qian1,LI Yuan-xin2(1.School of Information Engineering,Guangdong Mechanical&Electrical College,Guangzhou510515,China;2.School of Information Science and Technology,Sun Yat-sen University,Guangzhou510275,China)Abstract:The improved spectral domain Prony′s method that calculates S-parameters for microstrip cir⁃cuits is investigated.Mode-port excitation technique and wave-port excitation technique in the finite difference time domain method(FDTD)are analyzed and compared.A sampling interval selection criterion is proposed.Several practical engineering examples are provided to demonstrate the performance of the im⁃proved spectral domain Prony′s method.Numerical results show that the phase constant and S-parameters still can be accurately calculated under very small sampling interval condition with the improved spectral domain Prony′s method.Key words:microstrip circuit;spectral domain Prony′s method;FDTD excitation mode;sampling interval1　引　言谱域Prony方法[1]由K.Naishadham等人提出并应用于平面微带电路的散射参数(S参数)的计算㊂首先由时域有限差分法(FDTD)得到微带电路上一系列采样点时域电压,再通过傅里叶变换得到频域电压,然后用最小二乘法提取入射波电压和反射波电压的幅度和相位㊂由这些数据就可以方便地计算S参数㊂在用最小二乘法求解非线性方程时,还可以求得微带电路的传播常数即相位常数和衰减常数㊂如果采样间隔足够大,所得结果包括传播常数就会非常准确㊂然而,如果馈电端和负载端的微带线很短,则谱域Prony方法的采样距离就会很短,采用该方法就会导致病态方程,其求解结果具有很大的误差,低频时该问题尤为突出㊂笔者曾在Elec⁃tronics Letters上针对性地提出了改进的谱域Prony 方法[2]㊂与传统谱域Prony方法相比,改进谱域Prony方法具有更高的精度和更小的计算区域要求㊂本文打算基于误差分析和数值试验来划定合适的采样间隔标准,在保证计算精度主要是S参数的精度的前提下尽量选取小的采样间隔㊂㊃723㊃第54卷第3期2014年3月电讯技术Telecommunication Engineering Vol.54　No.3 Mar.2014***收稿日期:2013-10-29;修回日期:2014-01-13 Received date:2013-10-29;Revised date:2014-01-13通讯作者:g_lixin@ Corresponding author:g_lixin@2　谱域Prony 方法微带电路采样点的谱域电压可以表达为V n =A 1z n 1+A 2z n2,　n =0,1, ,N -1(1)式中,V n 是由时域方法如FDTD 在微带线上等距离采样得到时域电压再经傅里叶变换得到,A 1和A 2是待定的复数未知量,而z 1=e -γd ,　z 2=e γd(2)式中,γ(γ=α+j β)是复波数,即传播常数;d 是微带线上相邻采样点的距离,即采样间隔㊂假定z 1和z 2是以下代数方程的根:B 2+B 1z -z 2=0(3)那么由式(1)和式(3)可得V 1V 0V 2V 1︙︙V N -1V N éëêêêêêùûúúúúú-2B 1B éëêêùûúú2=V 2V 3︙V éëêêêêêùûúúúúúN (4)最初的谱域Prony 方法利用最小二乘法求解式(4)㊁式(3)和式(1)得到A 1和A 2,也即入射波电压和反射波电压,由它们可方便求得S 参数㊂在改进谱域Prony 方法[2]中,由式(2)㊁式(3)和式(4)可以得到V 1V 2︙V N éëêêêêêùûúúúúú-1e γd +e -γ[]d =V 2+V 0V 3+V 1︙V N +V N éëêêêêêùûúúúúú-2(5)考虑到一般情况下电路为无耗或低耗,而且采样间隔也非常小,式(5)可以按无耗情形进一步简化为Re V 1V 2︙V N æèçççççöø÷÷÷÷÷-1Im V 1V 2︙V N æèçççççöø÷÷÷÷÷éëêêêêêêêêêêêêùûúúúúúúúúúúúú-12cos(βd )=Re V 2+V 0V 3+V 1︙V N +V N æèçççççöø÷÷÷÷÷-2Im V 2+V 0V 3+V 1︙V N +V N æèçççççöø÷÷÷÷÷éëêêêêêêêêêêêêùûúúúúúúúúúúúú-2(6)式中,Re 和Im 分别表示实部和虚部㊂理论上,相位常数β与频率f 成正比:β=2πεecf (7)式中,εe 是等效介电常数,c 是自由空间中的光速㊂由式(6)求得的相位常数不一定满足式(7),因此,可用一条过坐标原点的直线去拟合这些数据㊂相较于最初的Prony 方法,改进方法获得的相位常数以及进一步得到的S 参数更加可靠,更具物理意义㊂目前,准确求解衰减常数和相位常数方法是解析近似解法[3-8],然而计算起来比较繁杂,且难以得到S 参数㊂而改进Prony 方法可以准确求得相位常数以及进一步得到的S 参数,只是在损耗和采样间隔很小时才不易准确求得衰减常数㊂所以,在微带电路分析中,采用改进Prony 方法方便而实用㊂3　FDTD 激励方式目前,用于微带计算的FDTD 常用的激励方式是集参端口㊁波端口以及模式端口[9]㊂波端口和集参端口的区别在于前者用于匹配端口激励而后者用于开放端口㊂既然馈电线在计算域边界截断,那么它在域边界上是匹配的,因此我们使用波端口而不是集参端口来激励㊂对于均匀传输线,另一个合适的激励方式是模式端口[9-10]㊂但是,为了求得模式场,这种激励方式需要许多额外的内存开销和计算时间㊂根据微波理论,如果参考面离微波电路不连续性比较近,那么这些不连续性激起的高次模可能会 污染”端口的场分布㊂下面以文献[9]中的带通滤波器为例进行说明,该带通滤波器如图1所示㊂图2显示了其基底中平面z 方向电场分布,高次模显而易见㊂既然各模式场正交,那么就可以从总场分布提取模式场,所以高次模对模式端口激励的影响不大㊂至于波端口,参考面应远离不连续性,以避免高次模而保留TEM 或准TEM 模㊂换句话说,采用波端口激励时应适当增加计算域,但模式端口需要在FDTD 模拟前预先求得并存储模式场,所以增加了内存需求㊂图1　带通滤波器Fig.1Band-pass filter㊃823㊃ 电讯技术 2014年图2　20GHz时基底中平面上的Ez分布Fig.2Ez distribution in the base cross profile at20GHz4　采样间隔理论上,可以选择足够大的采样间隔以改善方程式(1)的性态㊂不过,采样间隔很大时,计算区域和计算成本将明显增加㊂因此,折衷考虑计算成本和计算精度,会有一个优化的采样间隔㊂下面将导出采样间隔选取范围㊂由式(6)近似有以下关系式:d sin(βd)Δβ=δ(8)式中,δ是采样数据的相对误差,它取决于一系列因素,如FDTD网格尺寸㊁微带线内部结构,等㊂显然,我们可以进一步得到下式:(βd)2>δ(9)带通滤波器波端口激励的仿真结果表明,合适的采样间隔可以满足以下关系式:d>0.01βmin (10)上述选取范围同样适用于微带贴片天线和低通滤波器㊂需要指出的是,采样间隔必须大于FDTD 的网格尺寸㊂采样间隔减小,则FDTD计算区域相应减小,所需内存和计算时间也相应减小㊂5　改进谱域Prony方法的工程算例分析首先,我们用改进谱域Prony方法分析图1所示的带通滤波器,其基底厚度为0.254mm,相对介电常数为9.9,损耗正切是0.0001,损耗极小㊂假定地平面和馈电线是理想导体㊂底面用PEC作边界条件,其余五面均用六层PML截断㊂波端口激励如图3(a)所示,计算区域贴片天线和馈电线的电导率都是5.8×108S/m㊂计算区域为9mm×6mm×5mm,讨论的频率范围5~20GHz,因此最短波长在自由空间和基底中分别为15mm和4.77mm㊂由于滤波器中曲边和细缝的存在,所以网格尺寸并不由最短波长来定㊂这里,Yee氏FDTD网格在x㊁y㊁z 方向分别为0.01mm㊁0.0198mm和0.01mm,由式(7)可得最小相位常数是270rad/m,故采样间隔由式(10)选为0.04mm㊂注意,务必使馈电线和贴片边缘与FDTD网格重合,以免带来不必要的误差㊂为了对比,也采用模式端口激励,其端口如图3 (b)所示㊂相应的计算域为5.6mm×6mm×5mm, FDTD网格大小㊁采样间隔㊁边界条件和时间步数保持不变㊂端口宽2mm㊁高1.5mm,其准TEM模分布如图3(c)所示㊂(a)波端口激励(b)模式端口激励(c)模式端口的TEM模电场分布图3　两种端口比较Fig.3Two ports excitation comparison在的计算集群上运行FDTD代码,表1列出了两种端口激励的内存要求和运行时间㊂显然,波端口优于模式端口,前者内存更少,运行时间更短,且易实施㊂表1　带通滤波器两种端口激励的比较Table1Two ports excitation comparison in band-pass filter端口最小内存量/MB时间步运行时间模式端口833.9942200003:36:58波端口656.3662200003:00:15㊃923㊃第54卷高立新,龚主前,李元新:微带电路谱域Prony方法采样间隔的研究第3期图4显示了波端口㊁模式端口的衰减常数和解析解的比较㊂数值解与0.0064Np /m 的解析解相去甚远,已失去其物理意义㊂图5给出了两种端口激励下相位常数的数据及其拟合曲线,表明低耗情形下,式(6)优于式(5)㊂因此,后面的模拟都基于式(6)㊂图4　衰减常数Fig.4Attenuationconstant(a)模式端口激励(b)波端口激励图5　相位常数及其拟合曲线Fig.5Phase constant and fitting curve基于式(6)和波端口激励,S 参数随频率的变化曲线如图6所示,可见与测量值非常吻合㊂仿真结果表明,在低耗和采样间隔很小时,衰减常数的数值结果已失去其物理意义,但对S 参数的计算结果的影响几乎可以忽略不计㊂前面已经提到,如果增加采样间隔,可以准确求得衰减常数,但计算成本将显著增加㊂图6　带通滤波器S 11的幅度Fig.6S 11amplitude of band-passfilter图7　带通滤波器S 21的幅度Fig.7S 21amplitude of band-pass filter另一个例子是图8所示的无耗四端口微带分支线耦合器[10],基底的相对介电常数是2.2;计算域为50mm×20mm×3mm;3个空间坐标方向上的步长分别为0.5mm㊁0.38675mm 和0.2mm,网格是非均匀的,形成85×47×13的网格空间;对应的时间步长大约0.532ps;采样间隔为0.5mm,波端口激励于端口1;在双核和6GB 内存的单个PC 上运行时间仅需1min 左右;相位常数及其拟合曲线如图9所示㊂传统方法的采样间隔为2mm [10],波端口激励于端口1,在双核和6GB 内存的单个PC 上运行时间则需2min 左右㊂图8　微带分支线耦合器Fig.8Coupler of microstrip branch line㊃033㊃ 电讯技术 2014年图9　相位常数及其拟合曲线Fig.9Phase constant and fitting curve图10给出了S 参数的幅度随频率的变化曲线,与测量值非常吻合㊂图中曲线显示该分支线耦合器性能良好,S 11和S 21的零点几乎就是S 31和S 41,S 31和S 41均为-3dB,表明在该频点上几乎所有能量平均分配给端口3和端口4㊂图10　微带分支线耦合器S 参数的幅度Fig.10Amplitude of S-parameter of microstrip branch line coupler6　结　论本文研究了计算微带电路S 参数的改进谱域Prony 方法,分析比较了FDTD 微带电路的两种激励方式,提出了采样间隔选取标准,使改进谱域Prony 方法在采样间隔非常小㊁有效节约计算成本条件下,仍可准确计算相位常数和S 参数㊂参考文献:[1]　Naishadham K,Lin X P.Application of spectral domainProny′s method to the FDTD analysis of planar microstrip circuits [J].IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques,1994,42(2):2391-2398.[2]　Gong Z,Yu W,Yang X.Improvements to spectral domainProny′s method for analyzing microstrip circuits[J].Elec⁃tronics Letters,2011,47(5):330-331.[3]　Pozar D M.Microwave Engineering [M].2nd ed.New Jersey:John Wiley &Sons Inc.,1998.[4]　Simons R N.Coplanar Waveguide Circuits,Components,and Systems[M].New Jersey:John Wiley &Sons Inc.,2001.[5]　Collin R E.Foundations for Microwave Engineering[M].2nd ed.New Jersey:Wiley,2000.[6]　Gupta K C,Garg R,Bahl I,et al,Microstrip Lines and Sl⁃otlines[M].2nd ed.Norwood,MA:Artech House Inc.,1996.[7]　Paolo F works and Devices:Using Planar Transmission Lines[M].Boca Raton,FL:CRC Press,2000.[8]　王艳丽,付永庆,马天义.空气隙对矩形微带天线性能的影响[J].电讯技术,2004,44(1):123-126.WANG Yan-li,FU Yong-qing,MA Tian-yi.The Effect of the Air Gap on the Performance of Rectangular Microstrip Antennas[J].Telecommunication Engineering,2004,44(1):123-126.(in Chinese)[9]　Yu W,Yang X,Liu Y,et al.Mittra.Electromagnetic simu⁃lation techniques based on the FDTD method [M].New Jersey:John Wiley &Sons Inc.,2009.[10]　Yu W,Mittra R,Liu Y,et al.Parallel Finite-DifferenceTime -Domain Method [M ].Norwood,MA:ArtechHouse Inc.,2006.作者简介:高立新(1967 ),男,河南南阳人,2005年于加拿大Concordia University 获硕士学位,现为高级工程师,主要研究方向为微波工程及微波电路设计;GAO Li -xin was born in Nanyang,HenanProvince,in 1967.He received the M.S.degreefrom Canada Concordia University in 2005.He isnow a senior engineer.His research concerns microwave engi⁃neering and microwave circuit design.Email:g_lixin@龚主前(1971 ),男,湖北赤壁人,博士,讲师,主要从事电波传播㊁目标电磁散射及电磁算法研究;GONG Zhu -qian was born in Chibi,Hubei Province,in1971.He is now a lecturer with the Ph.D.degree.His research concerns wave propagation,target electromagnetic scattering and electromagnetic algorithm.李元新(1979 ),男,广东广州人,博士,副教授,主要研究方向为天线理论与技术及微波工程㊂LI Yuan-xin was born in Guangzhou,Guangdong Province,in 1979.He is now an associate professor with the Ph.D.de⁃gree.His research concerns antenna theory and technology,andmicrowave engineering.㊃133㊃第54卷高立新,龚主前,李元新:微带电路谱域Prony 方法采样间隔的研究第3期。

摘要薛定谔方程是物理系统中量子力学的基础方程，它可以清楚地说明量子在系统中随时间变化的规律。

通过求解微观系统所对应的薛定谔方程，我们能够得到其波函数以及对应的能量，从而计算粒子的分布概率，进一步来了解其性质。

在化学和物理等诸多科学研究领域当中，薛定谔方程求解的结果都与实际很相符。

近年来，很多学者通过各种方法研究具有复杂势函数的薛定谔方程，解释了很多重要的物理现象，因此对薛定谔方程的求解具有相当重要的意义。

本文主要是用Galerkin-Chebyshev谱方法和边界值法求解二维薛定谔方程。

首先运用Galerkin-Chebyshev谱方法来对空间导数进行近似，离散二维薛定谔方程，从而将原问题转化为复数域上的线性常微分方程组。

然后用边界值法求解该方程组，所求得的数值解即为原问题的解，之后进行误差分析。

最后利用Matlab进行数值模拟，给出数值解的图像以及误差曲面图像，结果显示此方法精度高且具有很好的稳定性。

关键词：薛定谔方程；Galerkin-Chebyshev谱方法；边界值法；数值解；精度高；稳定AbstractThe Schrödinger equation is the basic equations of quantum mechanics in the physical system. It can clearly describe the regular of the quantum evolves over time. By solving the Schrödinger equation which the micro system correspond, we can get the wave function and energy, and thus calculate the probability distribution of the particles, further understand the nature of it.In chemistry, physics and other fields of scientific research, the results of solving the Schrodinger equation are basically consistent with the actual.In recent years, many researchers used a variety of methods to investigate the Schrödinger equation with complex potential function, and explained a lot of important phenomena.Thus solving the Schrödinger equation has very important significance.The main purpose of this paper is to solve the two dimensional Schrödinger equation through the Galerkin-Chebyshev spectral method and the boundary value method. First we use the spectral method to approximate the spatial derivation, discretize the two dimensional Schrödinger equation，and transform the original problem into a set of linear ordinary differential equations in the complex number field.Then by using the boundary value method to solve the equations, that the numerical solutions is the solutions of the original problem, and then analyze the error. Finally we use Matlab to conduct the numerical simulation, and give the images of the numerical solutions and errors, which show that the methods have high precision and good stability.Keywords: Schrödinger equation, Galerkin-Chebyshev spectral method, boundary value method, numerical solutions, high precision, stability目录摘要 (I)Abstract (II)第1章绪论 (4)1.1课题研究的背景和意义 (4)1.2国内外研究现状 (5)1.3本文的主要研究内容 (5)第2章预备知识 (7)2.1克罗内克积的简介 (7)2.2Chebyshev多项式介绍及其性质 (8)2.3Chebyshev正交逼近的性质 (9)2.4投影算子的性质 (10)2.5本章小结 (11)第3章Galerkin-Chebyshev谱方法和边界值法 (12)3.1用Galerkin-Chebyshev谱方法求解椭圆型方程 (12)3.2用边界值法求解常微分方程 (13)3.3本章小结 (17)第4章求解二维薛定谔方程 (18)4.1区域和边界条件的处理 (18)4.1.1 区域的处理 (18)4.1.2 边界条件的处理 (20)4.2二维薛定谔方程的求解 (23)4.3误差分析 (24)4.4本章小结 (29)第5章数值模拟 (30)结论 (35)参考文献 (36)哈尔滨工业大学学位论文原创性声明及使用授权说明 .....错误！未定义书签。

G a u s s-S e i d e l迭代法-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN数值分析课程论文姓名:学号:Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组摘要线性方程组的求解在许多的工程技术中是一个极为常见的问题，对于线性方程组的求解无论从理论上还是实践应用上都已经成熟.对于一般线性方程组的求解有Gauss消元法为基础的直接法，也有迭代法.其中Gauss-Seidel是一个重要的组成部分.鉴于此，本论文细致地研究了用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组.论文的第一部分先介绍了迭代法求解线性方程组的一般模式，并给出这种迭代法的收敛性条件，Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组的基本原理.这一部分是Gauss-Seidel迭代法的理论基础.论文的第二部分给出了Gauss-Seidel迭代法的具体操作步骤，以伪代码的形式细致的描绘如何使用Gauss-Seidel迭代法的求解方程组.同时，为了验证算法的有效性，在这一部分，还引入一个简单的算例，用于MATLAB编程发现计算结果完全正确.论文的第三部分给出了关于Gauss-Seidel迭代法的MATLAB程序，用于计算线性方程组.关键词：Gauss-Seidel迭代法，基本原理，算例，MATLAB程序目录1 Gauss-Seidel迭代法的基本理论 (1)1.1线性方程组的迭代法求解 (1)1.2Gauss-Seidel迭代法的原理 (2)2.具体的算例和操作步骤 (3)2.1. Gauss-Seidel迭代法的伪代码 (3)2.2.具体的算例验证算法的有效性 (3)3．MATLAB程序 (4)参考文献 (6)Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组一. Gauss-Seidel 迭代法的基本理论1.1线性方程组的迭代法求解在考虑求解线性方程组Ax=b 时，其中A 为非奇异矩阵.尽管Guass 消元法通过有限次运算可以求解此问题，其对应的计算复杂度为3O(n ).但是对于工程技术中和某些偏微分方程过程中出现的大型稀疏型矩阵利用迭代法可以更快的收敛，找到解.另外一方面，由于迭代法占用的计算机内存少，且便于计算.这两方面的优势促成了迭代法求解线性方程组的研究.关于迭代法的收敛的几个判定条件 1（迭代法基本原理）设有方程组f Bx x +=，对于任意初始向量()0x 及任意f ，解此方程组的迭代法（即()()f Bx x k k +=+1）收敛的充要条件是()1<B ρ.2（迭代法收敛的充分条件）如果方程组f Bx x +=的迭代公式为()()f Bx x k k +=+1（()0x 为任意初始向量），且迭代矩阵的某一种范数1<=q B v ，则：︒1迭代法收敛；︒2()()()v k k vk x x q qx x 11-*--≤-；︒3()()()v kvk x x q q xx 011--≤-*.定理3 如果mn RA ⨯∈为严格对角占优阵或为不可约弱对角占优阵，则对于任意的()0x ，解方程组b Ax =的Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法均收敛.定理4如果A 为对称正定矩阵，且20<<ω，则解式b Ax =的SOR 方法收敛.1.2Gauss-Seidel 迭代法的原理由Jacobi方法迭代公式()()()()010k k xx B x f +⎧⎪⎨=+⎪⎩初始向量，可知，迭代的每一步计算过程，都是用()k x 的全部分量来计算()1+k x 的所有分量，显然在计算第i 个分量()1+k ix时，已经计算出的最新分量()11+k x ，()12+k x ，…，()11+-k i x 没有被利用.从直观上看，最新计算出的分量可能比旧的分量要好些.因此，对这些最新计算出来的第1+k 次近似()1+k x 的分量()1+k jx 加以利用，就得到所谓解方程组的Gauss-Seidel 迭代法（简称G-S 方法）：()()()()()T=002010n x x x x ，，， （初始向量），()()()()n i k x a x a b a x i j n i j k j ij k j ij i iik i,,2,1;,2,1,0111111 ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑∑-=+=++或写为()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∆==∆+=∑∑-==++.1,,,2,1;,2,1,01111i j ni j k j ij k iij i ii i i k i k i x a x a b a x n i k x x x上面第2个式子利用了最新计算出的分量()11+k x ，第i 个式子利用了计算出的最新分量()()1,,2,11-=+i j x k j .还可写成矩阵形式()()()()()()k k k k k Ux b x L D Ux Lx b Dx+=-++=+++111,，若设()1--L D 存在，则()()()()b L D Ux L D x k k 111--+-+-=， 于是Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式为()()f Gx x k k +=+1，()6.2.8 其中 ()U L D G 1--=，()b L D f 1--=.由此可以看出，应用Gauss-Seidel 迭代法解式b Ax =，就是对方程组f Gx x +=应用迭代法.G 称为解式的Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵.Gauss-Seidel 迭代法的一个明显优点是，在用计算机计算时，只需一组工作单元，以便存放近似解.由式可以看出，每迭代一步只需计算一次矩阵与向量的乘法.二．具体的算例和操作步骤2.1. Gauss-Seidel 迭代法的伪代码 1.输入问题的参数A,b 2.分解A 为D,L,U.3.计算迭代方程G ，f.4.开始迭代，随机设定一个初值.5.以迭代方程更新x 的值.6.如果到达迭代次数，则进入步骤7；否则，回到步骤5.7.输出x ，结束.2.2.具体的算例验证算法的有效性 求解如下的线性方程组1231231238-3+2=204+11-=336+3+12=36x x x x x x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩ 这个方程的真实解为（3,2,1）. 程序运行结果： 情况1：输入GS （A,b ） GS(A,b)xhis =0 0 0 2.5000 2.0909 1.2273 2.9773 2.0289 1.0041 3.0098 1.9968 0.9959 2.9998 1.9997 1.0002 2.9998 2.0001 1.0001 3.0000 2.0000 1.0000 3.0000 2.0000 1.0000 3.0000 2.0000 1.0000 3.0000 2.0000 1.0000 3.0000 2.0000 1.0000 ans = 3.0000 2.00001.00000.51.5解的迭代情况图一。

四大谱的原理与应用1. 什么是四大谱四大谱是指波形谱、频谱、时间域谱和功率谱，它们是信号处理中常用的四种分析方法。

这些谱图能够将信号的特征以图像的方式展示出来，从而方便对信号进行分析和处理。

2. 波形谱波形谱是将信号的波形图形与时间轴相对应的一种谱图。

它可以直观地展示信号的振幅、频率和相位等特征。

波形谱主要通过经典的示波器进行实时观测，适用于对信号的时域特性进行分析。

在应用中，波形谱常用于音频、视频信号的分析，能够帮助我们观察信号是否存在失真、噪声等问题，并进行相关的调整和处理。

3. 频谱频谱是将信号的频域特性以图形化的方式展示出来的谱图。

它可以分析信号中各个频率分量的强度、相位和分布情况。

频谱分析常用的方法有傅里叶变换、快速傅里叶变换等。

频谱分析在通信领域、音频处理等方面有着广泛的应用。

例如，通过频谱分析可以判断信号的带宽、频率偏移等问题，在无线电通信中可以有效地进行频谱分配和干扰分析。

4. 时间域谱时间域谱是将信号在时间轴方向上的波形图与信号强度相对应的一种谱图。

它主要用于分析信号中的时序关系、时域波形的延时、相位等特性。

时间域谱分析一般通过采用数字存储示波器等仪器进行处理。

在很多领域中，时间域谱常用于对信号的时域特性进行分析。

例如，在音频领域中，时间域谱能够直观地反映音频信号的声音强度、响度等特征，从而进行声音的增强、降噪等处理。

5. 功率谱功率谱是频谱的一种，它主要用于表示信号在各个频率范围上的功率。

功率谱分析在信号处理和通信领域中广泛应用。

通过功率谱分析，我们可以了解信号的频谱特性，判断信号的平均功率以及频率分布情况。

在实际应用中，功率谱分析可以用于调制解调、噪声分析等场景。

例如，在通信领域中，功率谱分析可以帮助我们了解信道的利用率，设计合理的载波分配方案等。

6. 总结四大谱是信号处理中常用的四种分析方法，它们分别是波形谱、频谱、时间域谱和功率谱。

这些谱图能够将信号的特征直观地展示出来，方便我们进行分析和处理。

各种计算电磁学方法比较和对应软件求几种计算电磁学方法的区别和比较计算电磁学是指对一定物质和环境中的电磁场相互作用的建模过程，通常包括麦克斯韦方程计算上的有效近似。

计算电磁学被用来计算天线性能，电磁兼容，雷达散射截面和非自由空间的电波传播等问题。

计算电磁学的主要思想有，基于积分方程的方法，基于微分（差分）方程的方法，及其他模拟方法。

1.基于积分方程的方法1.1 离散偶极子近似（discrete dipole approximation，DDA）DDA是一种计算电磁波在任意几何形状物体上散射和吸收的方法，其表达式基于麦克斯韦方程的积分形式。

DDA用有限阵列的可极化点来近似连续形式的物体。

每个点通过对局部电场的响应获得对应的偶极子矩量，然后这些偶极子通过各自的电场相互作用。

因此，DDA有时也被认为是耦合偶极子近似。

这种线性方程的计算一般采用共轭梯度迭代法。

由于离散矩阵的对称性，就可能在迭代中使用FFT计算矩阵的向量乘法。

1.2 矩量法（Method of Moments，MoM ），边界元法（Boundary Element Method，BEM ）MoM和BEM是求解积分形式（边界积分形式）的线性偏微分方程的数值计算方法，已被应用于如流体力学，声学，电磁学等诸多科技领域。

自从上世纪八十年代以来，该方法越来越流行。

由于只计算边界值，而不是方程定义的整个空间的数值，该方法是计算小表面（体积）问题的有效办法。

从概念上讲，它们在建模后的表面建立网格。

然而对于很多问题，此方法的效率较基于体积离散的方法（FEM，FDTD）低很多。

原因是，稠密矩阵的生成将意味着存储需求和计算时间会以矩阵维数的平方律增长。

相反的，有限元矩阵的存储需求和计算时间只会按维数的大小线性增长。

即使可以采用矩阵压缩技术加以改善，计算成功率和因此增加的计算复杂性仍强烈依赖问题的本质。

BEM可用在能计算出格林函数的场合，如在线性均匀媒质中的场。

题目：高斯-赛德尔迭代法的算法及程序设计摘要本文通过理论与实例对线性方程组的解法、收敛性及误差分析进行了探讨.在对线性方程组数值解法的讨论下用到了高斯-赛德尔迭代法，进一步研究和总结了高斯-赛德尔迭代法的理论与应用，使我们在分析问题与编辑程序时能更好的把握对高斯-赛德尔迭代法的应用。

关键词Gauss-Seidel迭代法；收敛性；误差分析；流程图；Mathematica编程目录第一章高斯-赛德尔迭代法 (1)§1.1 高斯-赛德尔迭代法的提出 (1)§1.1.1 高斯-赛德尔迭代法的思想理论 (1)§1.1.2 高斯-赛德尔迭代法的定义及表达形式 (2)§1.2 高斯-赛德尔迭代法的收敛性 (1)§1.3 高斯-赛德尔迭代法的误差分析 (1)第二章高斯-赛德尔迭代法的程序设计 (1)§2.1 高斯-赛德尔迭代法在上机中的应用 (1)§2.1.1 高斯-赛德尔迭代法的流程图 (1)§2.1.2 高斯-赛德尔迭代法的源程序 (1)参考文献 .............................................. 错误！未定义书签。

附录 .................................................. 错误！未定义书签。

第一章 高斯-赛德尔迭代法考虑线性方程组A x b=其中A 为非奇异矩阵，对于由工程技术中产生的大型稀疏矩阵方程组（A 的阶数n 很大但零元素很多）,利用迭代法求解线性方程组A x b =是合适的.在计算机内存和运算两方面，迭代法通常都可利用A 中有大量零元素的特点.本章将介绍迭代法中的高斯-赛德尔法的思想理论、收敛性及误差分析.§1.1 高斯-赛德尔迭代法的提出§1.1.1 高斯-赛德尔迭代法的思想理论在研究雅可比迭代法时，计算1k i x +时，已得(1)(1)(1)121,,,k k k i x x x +++- （这些分别为121,,,i x x x - 的第k+1次近似），Gauss-Seidel 迭代法认为在计算时启用新值，从而产生1(1)(1)()111()i nk k k ii ij jij j j j i iixb a xa x a -++==+=--∑∑.具体原理如下图所示图1.1 基本迭代原理§1.1.2 高斯-赛德尔迭代法的定义及表达形式定义1.1 我们注意到在雅可比迭代法中并没有对新算出的分量11k x+，12k x +， ，11k i x +-进行充分利用．不妨设想，在迭代收敛的条件下，我们把(1)()()()11211331111(1)()()()22112332222(1)()()()1122,111()1(1(k k k k n n k k k k n n k k k k n n n n n n nn x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a +++--⎧=---+⎪⎪⎪=---+⎪⎨⎪⎪⎪=---+⎪⎩式中第一个方程算出的11k x +立即投入到第二个方程中，代替()1k x 进行计算，当12k x +算出后代替()2k x 马上投入到第三个方程中计算，依次进行下去，这样也许会得到更好的收敛效果．根据这种思路建立的一种新的迭代格式，我们称为高斯-赛德尔（Gauss-Seidel ）迭代公式，高斯=赛德尔迭代法的分量形式：(1)()()()11211331111(1)(1)()()22112332222(1)(1)(1)(1)1122,111()1(1(k k k k n n k k k k n n k k k k nn n n n nnn x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a +++++++--⎧=---+⎪⎪⎪=---+⎪⎨⎪⎪⎪=---+⎪⎩高斯-赛德尔迭代法的矩阵形式：(1)(),(0,1,2,)k k xBxf k +=+= 其中1()BD L U -=- ，1()f D L b -=- B称为高斯-赛德尔迭代矩阵，f 称为高斯-赛德尔迭代常量.. §1.2 高斯-赛德尔迭代法的收敛性根据上节所述，高斯-赛德尔迭代法的迭代格式为(1)(),(0,1,2,)k k xBxf k +=+= （1-1） 其中1()B D L U-=-，1()f D L b -=- .本节要讨论的问题就是任意选取初始值(0)x ，利用迭代格式(1-1)得到的向量序列{}()k x 是否一定收敛，如果收敛的话需要满足什么条件？下面我们给出一般迭代收敛的条件:定理1.2 简单迭代法(1-1)收敛的充分必要条件是迭代矩阵B 的谱半径()1B ρ<．定理1.3 若迭代矩阵B 的某种范数1<B 则（1-2-1）确定的迭代法对任意初值(0)X均收敛于方程组x Bx f =+的唯一解*x 。

AbstractIn the early period of evaluation about basic structures, magnetic prospecting provided more convenient way in geophysical prospecting work, with taking advantage of its own characteristics of Less input, easy access to the field, wide range covering for unusual and effective information, data processing and shorter interpretation time. The processing and interpretation of magnetic data, the determination of the fluctuations of the magnetic geological interface and the depth of the magnetic basis, which is one of the important tasks for magnetic prospecting in in solving basin deep tectonic information. Studying the interface of magnetic strata has extremely important theoretical and practical value both in study the formation and evolution of the basin and the distribution of mineral, oil and gas resources, such as oil and gas formation, migration and occurrenceThe method of inversion magnetic interface depth can be divided into two categories: frequency domain and space domain,The spatial domain magnetic interface iterative inversion method that we studied in this paper is greatly influenced by the interface average depth of the proper selection, the deeper average interface you chose, the deeper entire interface the study will get, otherwise it will be more shallow. Therefore, it is important to determine the average depth of the interface before the inversion of the magnetic interface depth. The method of using power spectrum to determine the average depth of the interface are given in this paper, which has a big advantage of getting the result without magnetic interface material before the inversion. But before make confirmation of the initial interface value, We need to extend the observation surface field downward, Based on the iterative method proposed by the academician Xu Shizhe, this paper avoids the problem of divergence of field value effectively.Based on the theory of model test, which indicates that the magnetic interface in the spatial domain iterative inversion method is reliable, and It has certain pratical application value. At the same time, this method is used to deal with the magnetic survey data of northern south China sea, and obtains the characteristics of the magnetic basement and the fluctuation of the curie-surface in south China sea.Key words:Magnetic interface, the iterative inversion method, Power spectrum inversion method, the north of the South China Sea目录第一章绪论 (1)1.1选题背景及研究意义 (1)1.2国内外研究现状 (2)1.3主要研究内容及成果 (4)1.4技术路线 (5)第二章磁性界面正反演方法原理 (6)2.1磁性界面有限单元法正演 (6)2.2空间域磁性界面迭代反演法 (9)2.3磁性界面迭代反演的关键技术 (14)2.3.1界面平均深度的确定 (14)2.3.2迭代法位场向下延拓 (17)第三章磁性界面迭代反演方法程序设计 (19)3.1输入输出数据格式设计 (19)3.1.1平面位场数据输入格式 (19)3.1.2平面位场数据输出格式 (19)3.2磁性界面迭代反演方法程序设计 (20)3.3求取平均深度方法程序设计 (21)3.4位场向下延拓迭代法程序设计 (22)第四章理论模型试算 (24)4.1单一磁性界面模型反演 (24)4.2多磁性界面模型反演 (34)第五章实际资料处理及解释 (42)5.1研究区概况 (42)5.2岩石物性特征 (43)5.3磁性界面起伏反演 (46)第六章结论与建议 (53)6.1结论 (53)6.2建议 (53)参考文献 (55)攻读学位期间取得的研究成果 (58)致谢 (59)第一章绪论1.1 选题背景及研究意义自20世纪30年代起，磁法勘探开始应用于我国找矿试验工作中，此后随着地质工作的不断深入开展，以及数学物理理论和计算机技术的飞速发展，使得磁法勘探在方法技术、理论创新以及实际应用等各方面得到了快速发展，已成为现代地球物理方法中重要的技术手段之一。

GraphNeuralNetworks：谱域图卷积以下学习内容参考了：， 2，0、⾸先回忆CNN，卷积神经⽹络的结构和特点处理的数据特征：具有规则的空间结构（Euclidean domains），都可以采⽤⼀维或者⼆维的矩阵描述。

（Convolutional neural network (CNN) gains great success on Euclidean data, e.g., image, text, audio, and video）。

什么是卷积：卷积即固定数量邻域结点排序后，与相同数量的卷积核参数相乘求和。

离散卷积本质就是⼀种加权求和。

CNN中的卷积就是⼀种离散卷积，本质上就是利⽤⼀个共享参数的过滤器（kernel），通过计算中⼼像素点以及相邻像素点的加权和来构成feature map实现空间特征的提取，当然加权系数就是卷积核的权重系数(W)。

The power of CNN lies in: its ability to learn local stationary structures, via localized convolution filter, and compose them to form multi-scale hierarchical patterns.Taking image data as an example, we can represent an image as a regular grid in the Euclidean space. CNN is able to exploit the shiftinvariance, local connectivity, and compositionality of image data. As a result, CNNs can extract local meaningful features that are shared with the entire data sets for various image analyses.那么卷积核的系数如何确定的呢？是随机化初值，然后根据误差函数通过反向传播梯度下降进⾏迭代优化。

东南大学
硕士学位论文
插值与拟合技术在电磁场频域和谱域问题中的应用
姓名：王彩芹
申请学位级别：硕士
专业：电磁场与微波技术
指导教师：周后型
20070101
东南大学硕士学位论文
分为三个步骤。

第一步，确定指数函数的项数肘值．
假设在Ｓｏｍｍｅｆｆｅｌｄ积分的被积函数厂（，）半周期的采样点个数ｍ，贝塞尔函数的近似半周期为ｑ＝ｎ＇Ｉｐ。

．当对（４．１０）式左端，（ｆ）进行均匀采样时，取采样步长为△丁＝ｑｌｍ，则有
Ⅳ
乃＝，（ｐ△丁）＝∑Ｒ矽，ｐ＝０，１，…，Ｎ一１（４．Ｉｓ）
ｌ－ｌ
式中极点毛＝Ｐ枷（ｆ＝１，２，－－－，Ｍ），复指数ｓ一般具有负的实部；Ⅳ为采样点总个数，其确定公式Ｎ＝ｍＫ，Ｋ为有限整数。

依采样值‘（ｐ＝ｏ，１，…，Ｎ－））定义两个矩阵ｆＹｌ】和【Ｘ】如下：
【Ｙ２】＝
【Ｙｌ】＝石Ｚ
Ｚ五
：：
（４．１９）
“．２０）
三称为罚参数，取值范围为耐≤三≤Ⅳ一Ｍ。

虽然￡＜Ⅳ，但是，Ⅳ个采样值在构造矩阵【ＹＩ】和【Ｙ２】时都会被用到。

将这两个矩阵按以下方式进行分解
ｆＹ２】＝瞄】陋儿Ｚｏ】ｆ五】（４．２１）
ｆＹ】＝［ＺＩ］ＩＲ］ＩＺ，】一’（４．２２）式中
【ＺＩ】＝１
毛
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１
乃
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ｚ，。

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