雅克比迭代法和高斯-塞德尔迭代法

实验三 线性方程组的迭代法班级：**计本 ** 班 姓名：** 座号： ** 时间：2010/6/2一、 实验目的（1） 熟悉VC++开发平台和开发语言。

（2） 掌握雅可比及高斯-塞德尔迭代法解方程组的迭代法，并能根据给定的精度要求计算（包括迭代过程）；比较两种方法的优劣。

（3） 培养编程和上机调试能力。

二、 实验设备一台PC 机，XP 操作系统，VC++软件三、 实验内容用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法解方程组1231231238322041133631236x x x x a x x x x x -+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩，其精度为10-5。

四、 算法描述1. 雅克比迭代法公式：X[0][k+1] = ( 1 / a[0][0] )*[ b[0] –a[0][1]*X[1][k] – a[0][2]*X[2][k] ]; X[1][k+1] = ( 1 / a[1][1] )*[ b[1] –a[0][0]*X[0][k] – a[0][2]*X[2][k] ]; X[2][k+1] = ( 1 / a[2][2] )*[ b[2] –a[0][0]*X[0][k] – a[0][1]*X[1][k] ];2. 高斯-赛德尔迭代法公式：X[0][k+1] = ( 1 / a[0][0] )*[ b[0] –a[0][1]*X[1][k] – a[0][2]*X[2][k] ]; X[1][k+1] = ( 1 / a[1][1] )*[ b[1] –a[0][0]*X[0][k+1] – a[0][2]*X[2][k] ]; X[2][k+1] = ( 1 / a[2][2] )*[ b[2] –a[0][0]*X[0][k+1] – a[0][1]*X[1][k+1] ];3. 流程图雅克比流程图高斯-赛德尔流程图五、程序代码/*雅克比方法类Jacobi.h*/#ifndef A#define A#define MAX_SIZE 50class Jacobi{public:void Solve(int n,double a[MAX_SIZE][MAX_SIZE],double b[MAX_SIZE],intMAX_XunHuan,double e,int pre);};#endif/*雅克比方法类方法实现Jacobi.cpp*/#ifndef B#define B#include "Jacobi.h"#include "iostream"#include "math.h"#include "iomanip"using namespace std;double X[MAX_SIZE][MAX_SIZE]={0};double E[MAX_SIZE];void Jacobi::Solve(int n,double a[MAX_SIZE][MAX_SIZE],double b[MAX_SIZE],int MAX_XunHuan,double e,int pre){int i,j=1,z;double s=0;int flag=1;cout<<"请输入初始值X[i][0]:";for (i=0;i<n;i++){cin>>X[i][0];}for (j=1;j<MAX_XunHuan&&flag;j++){flag=0;for (i=0;i<n;i++){s=0;for (z=0;z<n;z++){if (i!=z){s+=a[i][z]*X[z][j-1];}}X[i][j]=1.0/a[i][i]*(b[i]-s);}E[j]=fabs(X[0][j]-X[0][j-1]);for (i=1;i<n;i++){if(fabs(X[i][j]-X[i][j-1])>E[j])E[j]=fabs(X[i][j]-X[i][j-1]);}if (E[j]>e){flag=1;}}if(flag==0){for (i=0;i<n;i++){cout<<" X"<<i<<"(k) ";}cout<<" 误差"<<endl;for (i=0;i<j;i++){cout<<setiosflags(ios::left)<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(pre)<<X[0][i]<<" "<<X[1][i]<<" "<<X[2][i]<<" ";if(i>0){if(i!=j-1)cout<<E[i]<<endl;elsecout<<E[i]<<" < "<<e<<endl;}elsecout<<" ∞"<<endl;}}elsecout<<"没有结果,最大循环次数不够\n";cout<<"迭代次数为"<<j<<endl;}#endif/*/*高斯-赛德尔方法类Gauss.h*/#ifndef C#define C#define MAX_SIZEG 50class Gauss{public:void Solve(int n,double a[MAX_SIZEG][MAX_SIZEG],double b[MAX_SIZEG],int MAX_XunHuan,double e,int pre);};#endif/*高斯-赛德尔方法类方法实现Gauss.cpp*/#ifndef D#define D#include"Gauss.h"#include "math.h"#include "iostream"#include "iomanip"using namespace std;double XG[MAX_SIZEG][MAX_SIZEG]={0};double EG[MAX_SIZEG];void Gauss::Solve(int n,double a[MAX_SIZEG][MAX_SIZEG],double b[MAX_SIZEG],int MAX_XunHuan,double e,int pre){int i,j=1,z;double s=0;int flag=1;cout<<"请输入初始值XG[i][0]:";for (i=0;i<n;i++){cin>>XG[i][0];}for (j=1;j<MAX_XunHuan&&flag;j++){flag=0;for (i=0;i<n;i++){s=0;for (z=0;z<n;z++){if (i!=z){if(z>i)s+=a[i][z]*XG[z][j-1];elses+=a[i][z]*XG[z][j];}}XG[i][j]=1.0/a[i][i]*(b[i]-s);}EG[j]=fabs(XG[0][j]-XG[0][j-1]);for (i=1;i<n;i++){if(fabs(XG[i][j]-XG[i][j-1])>EG[j])EG[j]=fabs(XG[i][j]-XG[i][j-1]);}if (EG[j]>e){flag=1;}}if(flag==0){for (i=0;i<n;i++){cout<<" XG"<<i<<"(k) ";}cout<<" 误差"<<endl;for (i=0;i<j;i++){cout<<setiosflags(ios::left)<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(pre)<<XG[0][i]<<" "<<XG[1][i]<<" "<<XG[2][i]<<" ";if(i>0){if(i!=j-1)cout<<EG[i]<<endl;elsecout<<EG[i]<<" < "<<e<<endl;}elsecout<<" ∞"<<endl;}}else cout<<"没有结果,最大循环次数不够\n";cout<<"迭代次数为"<<j<<endl;}#endif/*主函数Main*/#include "iostream"#include "Jacobi.h"#include "Jacobi.cpp"#include "Gauss.h"#include "Gauss.cpp"using namespace std;int main(){Jacobi J;Gauss G;int key;int i,j;int pre;double a[MAX_SIZE][MAX_SIZE]={0};double b[MAX_SIZE]={0};int n,MAX_XunHuan;double e;do{cout<<"请输入方程组的阶数：";cin>>n;cout<<"请输入系数矩阵A：";for (i=0;i<n;i++){for (j=0;j<n;j++){cin>>a[i][j];}}cout<<"请输入常数矩阵B：";for (i=0;i<n;i++){cin>>b[i];}cout<<"请输入最大循环次数：";cin>>MAX_XunHuan;cout<<"请输入最小误差：";cin>>e;cout<<"请输入精度输出控制（小数点后的位数）"; cin>>pre;cout<<"结束0：\n雅克比迭代法求解1：\n高斯-赛德尔求解2：";cin>>key;if (key==1){J.Solve(n,a,b,MAX_XunHuan,e,pre);}if (key==2){G.Solve(n,a,b,MAX_XunHuan,e,pre);}} while (key);return 0;}六、实验结果1.这次试验很简单，主要是公式问题，做得很顺利。

Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel迭代法算法比较目录1 引言 (1)1.1Jacobi迭代法 (2)1.2Gauss-Seidel迭代法 (2)1.3逐次超松弛（SOR）迭代法 (3)2算法分析 (3)3 结论 (5)4 附录程序 (5)参考文献 (8)Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel 迭代法比较1 引言解线性方程组的方法分为直接法和迭代法，直接法是在没有舍入误差的假设下，能在预定的运算次数内求得精确解，而迭代法是构造一定的递推格式，产生逼近精确值的序列。

这两种方法各有优缺点，直接法普遍适用，但要求计算机有较大的存储量，迭代法要求的存储量较小，但必须在收敛性得以保证的情况下才能使用。

对于高阶方程组，如一些偏微分方程数值求解中出现的方程组，采用直接法计算代价比较高，迭代法则简单又实用，所以比较受工程人员青睐。

迭代法求解方程组就是构造一个无限的向量序列，使它的极限是方程组的解向量。

即使计算机过程是精确的，迭代法也不能通过有限次算术运算求得方程组的精确解，而只能逐步逼近它。

因此迭代法存在收敛性与精度控制的问题。

迭代法是常用于求解大型稀疏线性方程组（系数矩阵阶数较高且0元素较多），特别是某些偏微分方程离散化后得到的大型稀疏方程组的重要方法。

设n 元线性微分方程组b Ax = (1)的系数矩阵A 非奇异，右端向量0≠b ,因而方程组有唯一的非零解向量。

而对于这种线性方程组的近似解，前辈们发展研究了许多种有效的方法，有Jacobi 迭代法、Gauss —Seidel 迭代法，逐次超松弛迭代法（SOR 法），这几种迭代方法均属一阶线性定常迭代法，即若系数矩阵A 分解成两个矩阵N 和P 的差，即P N A -=；其中N 为可逆矩阵，线性方程组(1)化为：b x P N =-)（b Px Nx +=b N Px N x 11--+=可得到迭代方法的一般公式：d Gx xk k +=+))1(（ （2）其中：P N G 1-=，b N d 1-=，对任取一向量)0(x 作为方程组的初始近似解，按递推公式产生一个向量序列)1(x ，)2(x ，...，）k x(，...，当k 足够大时，此序列就可以作为线性方程组的近似解。

4. 线性方程组求解4．用雅格比法与高斯－赛德尔迭代法解下列方程组Ax =b ，研究其收敛性，上机验证理论分析是否正确，比较它们的收敛速度，观察右端项对迭代收敛有无影响。

(1)A 行分别为A 1=[6,2,-1],A 2=[1,4,-2],A 3=[-3,1,4]； b 1=[-3,2,4]T , b 2=[100,-200,345]T ,(2) A 行分别为A 1=[1,0.8,0.8],A 2=[0.8,1,0.8],A 3=[0.8,0.8,1]；b 1=[3,2,1] T , b 2=[5,0,-10]T ,(3)A 行分别为A 1=[1,3],A 2=[-7,1]；b =[4,6]T , （1）雅可比法A 为所求方程组的系数矩阵，将系数矩阵()n n ij A a R ⨯=∈分为三部分，即111212221211000000n n nn n n a a a a a a A a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭D L U ≡--构造迭代方程，选取M 为A 的对角元素部分，即选取M D =，A D N =-,由此构造得到解AX b =的雅可比迭代法如下：()()()01,,0,1,,k k x xBx f k +⎧⎨=+=⎩ 初始向量(4-1)其中()111B I D A D L U J f D b ---=-=+≡=，，J 为雅可比迭代矩阵。

若A 为n 阶矩阵，迭代公式如下：()()()()()()()00001211,,,()/1,2,,;0,1,T n n k k ii ij j ii j j ix x x x x b a x a i n k +=≠⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪==⎪⎩∑初始向量表示迭代次数(4-2) 在运行程序时首先需要手动输入矩阵A ，阶数n 、向量b 和初始向量x 0，根据式(4-2)不断迭代可求解得近似解。

分别用 jacobi 迭代法和 gauss-seidel 迭代法,求解方程组【jacobi 迭代法和 gauss-seidel 迭代法分别应用于方程组的求解】1. 引言在数学领域中，方程组的求解一直是一个重要的课题。

为了解决复杂的线性方程组，人们提出了各种迭代方法，其中 jacobi 迭代法和gauss-seidel 迭代法是两种常见的方法。

本文将探讨这两种迭代方法在求解方程组中的应用。

2. jacobi 迭代法的原理和应用jacobi 迭代法是一种基于逐次逼近的迭代方法。

对于线性方程组AX=B，其中 A 是系数矩阵，X 是未知数向量，B 是已知向量。

我们可以通过以下公式进行逐次逼近：X(k+1) = D^(-1)*(B - (L+U)X(k))其中，D、L、U 分别是 A 的对角线、下三角和上三角矩阵。

jacobi 迭代法的优点在于易于理解和实现，但在收敛速度上较慢，需要进行多次迭代才能得到精确解。

在实际应用中，需要根据实际情况选择合适的迭代次数。

3. gauss-seidel 迭代法的原理和应用与 jacobi 迭代法类似，gauss-seidel 迭代法也是一种基于逐次逼近的迭代方法。

不同之处在于，gauss-seidel 迭代法在计算 X(k+1) 时利用了已经得到的 X(k) 的信息，即：X(k+1)_i = (B_i - Σ(A_ij*X(k+1)_j，j≠i))/A_ii这种方式使得 gauss-seidel 迭代法的收敛速度较快，通常比 jacobi 迭代法更快，尤其是对于对角占优的方程组。

4. 分别用 jacobi 迭代法和 gauss-seidel 迭代法求解方程组为了更具体地说明 jacobi 迭代法和 gauss-seidel 迭代法的应用，我们分别用这两种方法来求解以下方程组：2x1 + x2 = 9x1 + 3x2 = 11我们将该方程组写成矩阵形式 AX=B：|2 1| |x1| |9||1 3| * |x2| = |11|我们根据 jacobi 迭代法和 gauss-seidel 迭代法的原理，依次进行迭代计算，直到满足收敛条件。

线性方程组的四种数值解法(电子科技大学物理电子学院，四川 成都 610054)摘要：本文介绍了四种求解线性方程组的数值解法: 雅克比迭代法、高斯赛德尔迭代法、高斯消去法和改进的平方根法的基本原理和算法流程，通过求解具体方程，对四种求解方法进行了对比。

对于雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法，研究了两种算法对求解同一方程组的迭代效率差异，结果表明高斯赛德尔迭代法达到同样精度所需迭代次数较少。

对于高斯消去法，通过选择列主元的方法提高算法的准确度，计算结果表明高斯消去法计算精确，且运算复杂度也不是很高。

对于改进的平方根法，其运算复杂度低，但对于给定的方程组有着严苛的要求。

关键词：雅克比迭代法；高斯赛德尔迭代法；高斯消去法；改进的平方根法；线性方程组引言线性方程组的求解在日常生活和科研中有着极其重要的应用，但在实际运算中，当矩阵的维数较高时，用初等方法求解的计算复杂度随维数的增长非常快，因此，用数值方法求解线性方程组的重要性便显现出来。

经典的求解线性方程组的方法一般分为两类：直接法和迭代法。

前者例如高斯消去法,改进的平方根法等，后者的例子包括雅克比迭代法，高斯赛德尔迭代法等。

这些方法的计算复杂度在可以接受的范围内，因此被广泛采用。

一般来说，直接法对于阶数比较低的方程组比较有效；而后者对于比较大的方程组更有效。

在实际计算中，几十万甚至几百万个未知数的方程组并不少见。

在这些情况下，迭代法有无可比拟的优势。

另外，使用迭代法可以根据不同的精度要求选择终止时间，因此比较灵活。

在问题特别大的时候，计算机内存可能无法容纳被操作的矩阵，这给直接法带来很大的挑战。

而对于迭代法，则可以将矩阵的某一部分读入内存进行操作，然后再操作另外部分。

本文使用上述四种算法求解对应的方程组，验证各种算法的精确度和计算速度。

1 算法介绍1.1 雅克比迭代法 1.1.1 算法理论设线性方程组(1)b Ax的系数矩阵A 可逆且主对角元素 均不为零,令并将A 分解成(2)从而(1)可写成令其中. (3)以B 1为迭代矩阵的迭代法(公式)(4)称为雅克比(Jacobi)迭代法(公式),用向量的分量来表示,(4)为(5)其中为初始向量.1.1.2 算法描述 1给定迭代初始向量X 0以及误差要求delta 2根据雅克比迭代公式计算出下一组向量3判断X 是否满足误差要求，即||X k+1 – X k || < delta4若误差满足要求，则停止迭代返回结果；若否，则返回第二步进行下一轮迭代1.2 高斯赛德尔迭代法nna ,...,a ,a 2211()nna ,...,a ,a diag D 2211=()D D A A +-=()b x A D Dx +-=11f x B x +=b D f ,A D I B 1111--=-=()()111f x B x k k +=+⎩⎨⎧[],...,,k ,n ,...,i x a ba xnij j )k (j j i iii)k (i21021111==∑-=≠=+()()()()()Tn x ,...x ,x x 002010=1.2.1 算法理论由雅克比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用的全部分量来计算的所有分量,显然在计算第i 个分量时,已经计算出的最新分量没有被利用，从直观上看,最新计算出的分量可能比旧的分量要好些.因此，对这些最新计算出来的第次近似的分量加以利用,就得到所谓解方程组的高斯—塞德尔（Gauss-Seidel ）迭代法.把矩阵A 分解成(6)其中,分别为的主对角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程组(1)便可以写成即其中(7)以为迭代矩阵构成的迭代法(公式)(8)称为高斯—塞德尔迭代法(公式),用变量表示的形式为(9)1.2.2 算法描述 1给定迭代初始向量X 0以及误差要求delta2根据高斯赛德尔迭代公式计算出下一组向量()k x ()1+k x ()1+k ix ()()1111+-+k i k x ,...,x 1+k()1+k x()1+k jx U L D A --=()nna ,...,a ,a diag D 2211=U ,L --A ()b Ux x L D +=-22f x B x +=()()b L D f ,U L D B 1212---=-=2B ()()221f x B x k k +=+⎩⎨⎧[],...,,k ,n ,,i x a x a b a xi j n i j )k (j ij )k (j ij i ii)k (i21021111111==∑∑--=-=+=++3判断X是否满足误差要求，即||X k+1– X k|| < delta4若误差满足要求，则停止迭代返回结果；若否，则返回第二步进行下一轮迭代1.3 高斯消去法1.3.1 算法理论下面三种变换称为初等行变换：1.对调两行；2.以数k≠0乘某一行中的所有元素；3.把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去。

西安财经学院本科实验报告学院（部）统计学院实验室数学专业实训基地课程名称大学数学实验学生姓名董童丹（编程）杨媚（实验报告）学号0804280125 0804280126专业数学与应用数学0801教务处制二0一一年五月四日《用雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法解线性方程组》实验报告开课实验室：实验室313 2011年5月 4日 学院 统计学院年级、专业、班数学与应用数学0801班姓名 董童丹 杨媚成绩课程 名称大学数学实验实验项目 名 称 用雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法解线性方程组指导教师严惠云教师评语教师签名：年 月 日一、实验目的：1）掌握用MATLAB 软件求微分方程初值问题数值解的方法； 2）通过实例学习用线性方程组模型解决简化的实际问题； 3）了解用雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法解线性方程组。

二、实验环境：本次上机实践所使用的平台和相关软件Matlab 。

三、实验内容：＊题目1、分别用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法计算下列方程组，均取相同的初值T x )1,1,1()0(=，观察其计算结果，并分析其收敛性.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=--4780591109321321321x x x x x x x x x2、定义矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------------=321412132141412132141412132141213A＊算法设计1、雅可比迭代法：原线性方程组可等价地写为：⎪⎩⎪⎨⎧+--=-=++=.478,59,1109213312321x x x x x x x x x （1）利用线性方程组（1）可以进行如下形式的迭代：⎪⎩⎪⎨⎧+--=-=++=+++.478,59,1109)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x （2） 对选定的初始解Tx x x x ),,()0(3)0(2)0(1)0(=，可由（2）式迭代计算.,,)2()1( x x 如果迭代一定次数后，所得到的结果相同或非常接近,并与方程组的精确解相等或非常接近，则认为得到的结果为所求解.高斯-赛德尔迭代法： 利用高斯-赛德尔迭代公式：⎪⎩⎪⎨⎧+--=-=++=++++++478,59,1109)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 进行迭代，如果迭代一定次数后，所得到的结果相同或非常接近,并与方程组的精确解相等或非常接近，则认为得到的结果为所求解.2、该矩阵为稀疏矩阵，主对角线元素为3，次对角线为-1/2，再次对角线为-1/4，用sparse 命令就可以定义出所需的矩阵. 程序为：高斯—赛德尔迭代法求解：程序为：四．实验结果分析：用雅可比迭代法解，由已知条件给定初始解T x )1,1,1()0(=，计算至=k 200时，可得)0.5575 1.1637,- 0.0985,- ()200(=x已经与原线性方程组的精确解非常接近.即用雅可比迭代法得到解.由高斯-赛德尔迭代法，计算至=k 20时，可得)5574.0,1639.1,0984.0()20(--=x ，已经与原线性方程组的精确解非常接近.即用雅可比迭代法得到解.对原线性方程组用以上两种迭代公式计算的结果进行比较，可以发现高斯-赛德尔迭代法比雅可比迭代法收敛要快.对原线性方程组雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的计算结果，雅可比迭代公式简单，特别适合并行计算；高斯-赛德尔迭代计算出的)1(+k i x 可立即存入)(k i x 的位置，只需一个向量存储单元，是典型的串行计算，一般情况下收敛会快一些.通过本次实验，学会用MA TLAB 软件数值求解线性代数方程组，分别用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法对线性方程组进行迭代求解，通过对比结果，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分析, 对两种方法有了进一步的认识.学会了用命令定义稀疏矩阵.。

第八节 雅可比迭代法与高斯 —塞德尔迭代法一 雅可比迭代法设线性方程组Ax b(1)的系数矩阵 A 可逆且主对角元素 a 11,a 22,...,ann 均不为零 ,令D diag a 11 ,a 22 ,...,a nn并将 A 分解成AA D D(2)从而 (1) 可写成Dx D A x b令x B 1 xf 1其中 B 1I D 1 A, f 1 D 1b .(3)以B 1为迭代矩阵的迭代法(公式 )xk 1B 1 x kf 1(4)称为雅可比 (Jacobi) 迭代法 ( 公式 ), 用向量的分量来表示,(4) 为x i( k 1)1 n(j k )b ia i j xaiij 1j ii 1,2,...n,k 0,1,2,...(5)T其中 xx 1 0 ,x 20 ,...x n 0为初始向量 .由此看出 , 雅可比迭代法公式简单 , 每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法. 在电算时需要两组存储单元 , 以存放 x k及 x k 1 . 例1例1 用雅可比迭代法求解下列方程组10 x 1x 2 2x 3 7.2x 1 10x 22x 3 8.3x 1x 2 5x 34.2解将方程组按雅可比方法写成x 10.1x 20.2x 3 0.72 x 2 0.1x 1 0.2x 30.83x 30.2x 10.2x 20.84取初始值 xx 1 0 ,x 20 , x 3 0TT0,0,0, 按迭代公式x 1 k 10.1x 2 k0.2x 3k 0.72 x 2k 1 0.1x 1 k0.2x 3 k0.83 x 3k 1 0.2x 1 k 0.2x 2k0.84进行迭代，其计算结果如表1 所示表 1k 0 1 2 34 56 7x 1 k 00.720.9711.0571.08531.09511.0983x 2 k0.831.0701.157 1.18531.19511.19831x 3 k0.841.1501.248 1.28281.29411.29802二 高斯 — 塞德尔迭代法由雅可比迭代公式可知 , 在迭代的每一步计算过程中是用x k的全部分量来计算xk 1 的所有分量 , 显然在计算第 i 个分量 x ik 1时 , 已经计算出的最新分量 x 1 k 1 ,...,x i 1 k 1 没有被利 用，从直观上看 , 最新计算出的分量可能比旧的分量要好些. 因此，对这些最新计算出来的第 k 1的分量 xjk 1加以利用 , 就得到所谓解方程组的高斯— 塞德（ Gauss-Seidel ）次近似 xk 1迭代法 .把矩阵 A 分解成A DL U(6)其中Ddiag a 11 ,a 22 ,...,a nn,L , U分别为 A 的主对角元除外的下三角和上三角部分 , 于是 , 方程组 (1) 便可以写成DL x Ux b即x B 2 x f 2其中B 2 D L 1f 2U , 以B 2为迭代矩阵构成的迭代法( 公式 )xk1B x kf1D L b(7)2 2称为高斯 — 塞德尔迭代法 ( 公式 ), 用 量表示的形式为x i( k 1 )1i 1(j k 1 )b ia ij x n(8)a ij x (j k )a iij1j i 1i 1,2,n,k 0,1,2,...(9)由此看出 , 高斯 — 塞德尔迭代法的一个明显的优点是 , 在电算时 , 只需一组存储单元 ( 计算出k 1kk 1kx i后 x i 不再使用 , 所以用 x i 冲掉 x i, 以便存放近似解 .例 2 例 2 用高斯 —— 塞德尔迭代法求解例 1.取初始值x 0x 1 0 ,x 20 , x 3T解0,0,0, T，按迭代公式x 1 k 10.1x 2k0.2x 3 k 0.72 x 2k 1 0.1x 1 k 10.2x 3k0.83x 3 k 1 0.2x 1 k 10.2x 2 k 10.84进行迭代，其计算结果如下表2表 2k0 1 23456 7 x 1 k0.721.04308 1.093 1.099131.099891.099991.113x 2 k0.902 1.167191.1951.199471.199931.199991.272x 3 k1.164 1.28205 1.2971.299721.299961.31.3477从此例看出 , 高斯 — 塞德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快( 达到同样的精度所需迭代次数少 ), 但 这个结论 , 在一定条件下才是对的 , 甚至有这样的方程组 , 雅可比方法收敛，而高斯 — 塞德尔迭代法却是发散的 .三 迭代收敛的充分条件定理 1在下列任一条件下, 雅可比迭代法 (5) 收敛 .B 1 max na ij1a iiij j1i①;B 1naij11maxaiiji 1②j i;I D 1ATmax naij1ji 1 a jj③i j定理 2设 B 1,B 2 分别为雅可比迭代矩阵与高斯 — 塞德尔迭代矩阵 , 则B 2B 1(10)从而，当B1naij1maxa iiijj 1i时，高斯 — 塞德尔迭代法 (8) 收敛 .证明由 B 1,B 2的定义 ,它们可表示成B 1D 1 L UB 21D L 1U I D 1L D 1U用 e 表示 n 维向量e1,1,...,1 T , 则有不等式B 1 e B 1 eB 1D 1 LD 1U这里 , 记号｜·｜表示其中矩阵的元素都取绝对值, 而不等式是对相应元素来考虑的, 于是D 1U eB 1 D 1L eID 1 L1B 1Ie容易验证nnD 1LD 1 L所以,ID1L 及ID 1L 可逆，且ID 1L 1I D 1 L ...n 1D 1 LID 1 Ln11... D 1LI D 1LID 1L1I从而有B 2 e ID 1L 1D 1U eID 1L1I D 1L 1 B I e1I1 B 1IID 1 L 1eB 1 e因此必有B 2B 1因为已知B 1 1所以 B 2 1 .即高斯 — 塞德尔迭代法收敛 .若矩阵 A 为对称，我们有 定理 3 若矩阵 A 正定 , 则高斯 — 塞德尔迭代法收敛 . 证明把实正定对称矩阵 A 分解为A D LL TUL T, 则 D 为正定的 , 迭代矩阵B 2D L 1 L T设 是B 2的任一特征值 , x 为相应的特征向量 , 则D L 1xxL T以 D L 左乘上式两端 , 并由 A D L L T 有1 L T x Ax 用向量 x 的共轭转置左乘上式两端 , 得1x T L T xx T Ax(11)求上式左右两端的共轭转置, 得1x T L x x T Ax以1和1分别乘以上二式然后相加, 得1 1 x T L TL x2x T Ax由 AD L L T ,得11x T D A x2x T Ax即221x T L x1x T Ax(12)因为 A 和 D 都是正定的 , 且 x 不是零向量 , 所以由 (11) 式得1, 而由 (12) 式得12, 即1, 从而B 21, 因而高斯 — 塞德尔迭代法收敛 .定义 1 设 Aa ijn n为 n 阶矩阵 .① ①如果na ij ,i 1,2,...na iij ij i(13)即 A 的每一行对角元素的绝对值都严格大于同行其他元素绝对值之和， 则称 A 为严格对角优势矩阵.② ②如果na ij ,aiii 1,2,...nj ij i且至少有一个不等式严格成立 , 则称 A 为弱对角优势矩阵 .2 1 0 1 1 0 13 1 1 2 1例如13 是严格对角优势矩阵，13 是弱对角优势矩阵 .A 11A 12定义 2设 A a ijn n是 n 阶矩阵，如果经过行的互换及相应列的互换可化为 0A22,即存在 n 阶排列矩阵 P, 使P T APA 11 A 120 A 22其中A 11,A22 为方阵，则称A 是可约的 , 否则称 A 为不可约的 .A 是可约矩阵 , 意味着Ax b 可经过若干次行列重排, 化为两个低阶方程组 ,事实上 ,Ax b 可化为 P T AP P T x P T b , 记P T y1 , d x y2 P T b dy d12于是，求解 Ax b 化为求解 A 11 y1A 12 y2 dA 22 y 2d1 2可以证明 , 如果 A 为严格对角优势矩阵或为不可约弱对角优势矩阵 , 则 A 是非奇异的 .定理 4 如果 A 为严格对角优势矩阵或为不可约弱对角优势矩阵, 则对任意 x 0 , 雅可比迭代 法(4) 与高斯 — 塞德尔迭代法 (8) 均为收敛的 .证明 下面我们以 A 为不可约弱对角优势矩阵为例， 证明雅可比迭代法收敛， 其他证明留给 读者 .要证明雅可比迭代法收敛，只要证 B 11,B 1是迭代矩阵 .用反证法 , 设矩阵B 1有某个特征值, 使得1, 则 det IB 10,由于 A 不可约,且具有弱对角优势，所以D 1 存在，且I B 1IID 1AD 1D A D从而det D A D另一方面，矩阵DAD与矩阵 A 的非零元素的位置是完全相同的，所以D AD也是不可约的 , 又由于1, 且 A 弱对角优势，所以na iia iia ij ,i 1,2,...nj ij i并且至少有一个 i 使不等号严格成立. 因此 , 矩阵D AD弱对角优势，故DA D为不可约弱对角优势矩阵 . 从而det D A D 0矛盾，故B1的特征值不能大于等于1，定理得证 .。

雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法的算法描述一. 雅克比迭代法雅克比迭代法（Jacobi Iteration）是计算数值解的一种迭代方法，它遵循一个简单的步骤：给定问题的初始值，按照一定的规则，用求出某一个矩阵元素，替换当前值，得到下一个矩阵值，重复这个步骤，直到满足某一个条件，即为所求解的结果。

雅克比迭代法求解矩阵问题的一般步骤为：（1）给定初始矩阵A和右端值矩阵B，将第i行第j列的元素表示为aij，bi；（2）第i行其它元素之和定义为s(i) =∑(j≠i)|a(i, j)|，亦即∑|aij|；（3）如果s(i)不等于0，则第i行第i列元素的值更新为xi=1 (b(i) ∑(j≠i)[a(i, j)x(j)])/a(i, i)（4）重复步骤3，直到满足|X(i)X(i)|＜ε（ε为设定的误差），此时x即为所求解的结果。

二. 高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel Iteration）是另一种迭代方法，算法的基本思想也是：通过迭代，计算出当前矩阵的第i行第j列的元素xi；然后更新第i行第j列元素的值，继续迭代，直到某种条件满足，即可求出矩阵的解。

高斯-赛德尔迭代法的基本步骤为：（1）给定初始矩阵A和右端值矩阵B，将第i行第j列的元素表示为aij，bi；（2）第i行其它元素之和定义为s(i) =∑(j≠i)|a(i, j)|，亦即∑|aij|;（3）如果s(i)不等于0，则第i行第i列元素的值更新为xi=1 (b(i) ∑(j<i)[a(i, j)x(j)]∑(j>i)[a(i,j)x(j)] )/a(i, i)（4）重复步骤3，直到满足|X(i)X(i)|＜ε（ε为设定的误差），此时x即为所求解的结果。

总结从上面的对比来看，雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法的步骤基本一致，均采用迭代的方式求解矩阵A的解X，不同的是，高斯赛德尔迭代法在更新矩阵A的第i行第i列元素时，采用把小于i的j元素的值替换成当前迭代求得的值来计算，而雅克比迭代法采用把全部j元素的值替换成当前迭代求得的值来计算。

第八节 雅可比迭代法与高斯—塞德尔迭代法一 雅可比迭代法设线性方程组b Ax = (1) 的系数矩阵A 可逆且主对角元素nn a ,...,a ,a 2211均不为零,令()nna ,...,a ,a diag D 2211=并将A 分解成()D D A A +-= (2)从而(1)可写成 ()b x A D Dx +-=令11f x B x +=其中b D f ,A D I B 1111--=-=. (3) 以1B 为迭代矩阵的迭代法(公式)()()111f x B x k k +=+ (4)称为雅可比(Jacobi)迭代法(公式),用向量的分量来表示,(4)为⎩⎨⎧[],...,,k ,n ,...,i x a ba xnij j )k (j j i iii)k (i21021111==∑-=≠=+ (5)其中()()()()()Tn x ,...x ,x x 002010=为初始向量.由此看出,雅可比迭代法公式简单,每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法.在电算时需要两组存储单元,以存放()k x 及()1+k x . 例1 例1 用雅可比迭代法求解下列方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--2453821027210321321321.x x x .x x x .x x x解 将方程组按雅可比方法写成⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=8402020830201072020*******2321.x .x .x .x .x .x .x .x .x取初始值()()()()()()T T ,,,x ,x ,x x 0000302010==按迭代公式()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=+++840202083020107202010211331123211.x .x .x .x .x .x .x .x .x k k k k k k k k k进行迭代，其计算结果如表1所示表1二 高斯—塞德尔迭代法由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用()k x的全部分量来计算()1+k x的所有分量,显然在计算第i 个分量()1+k i x 时,已经计算出的最新分量()()1111+-+k i k x ,...,x 没有被利用，从直观上看,最新计算出的分量可能比旧的分量要好些.因此，对这些最新计算出来的第1+k 次近似()1+k x的分量()1+k jx 加以利用,就得到所谓解方程组的高斯—塞德（Gauss-Seidel ）迭代法.把矩阵A 分解成U L D A --= (6)其中()nn a ,...,a ,a diag D 2211=,U ,L --分别为A 的主对角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程组(1)便可以写成 ()b Ux x L D +=-即 22f x B x +=其中()()b L D f ,U L D B 1212---=-= (7)以2B 为迭代矩阵构成的迭代法(公式)()()221f x B x k k +=+ (8)称为高斯—塞德尔迭代法(公式),用 量表示的形式为⎩⎨⎧[],...,,k ,n ,,i x a x a b a xi j n i j )k (j ij )k (j ij i ii)k (i21021111111==∑∑--=-=+=++Λ (9)由此看出,高斯—塞德尔迭代法的一个明显的优点是,在电算时,只需一组存储单元(计算出()1+k ix 后()k ix 不再使用,所以用()1+k i x 冲掉()k ix ,以便存放近似解.例2 例2 用高斯——塞德尔迭代法求解例1.解 取初始值()()()()()()TT,,,x ,x ,x x 0000302010==，按迭代公式()()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=++++++840202083020107202010121113311123211.x .x .x .x .x .x .x .x .x k k k k k k k k k进行迭代，其计算结果如下表2从此例看出,高斯—塞德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快(达到同样的精度所需迭代次数少),但这个结论,在一定条件下才是对的,甚至有这样的方程组,雅可比方法收敛，而高斯—塞德尔迭代法却是发散的.三 迭代收敛的充分条件定理1 在下列任一条件下,雅可比迭代法(5)收敛.①111<∑=≠=∞nij j iiij ia a max B ;②1111<∑=≠=nij i iiij ja a max B ;③ 111<∑=-≠=∞-nji i jjij jTa a max AD I定理2 设21B B ,分别为雅可比迭代矩阵与高斯—塞德尔迭代矩阵,则∞∞≤12B B (10)从而，当111<∑=≠=∞nij j iiij ia a max B时，高斯—塞德尔迭代法(8)收敛. 证明 由21B B ,的定义,它们可表示成()U L D B +=-11()()U D L D I U L D B 11112-----=-=用e 表示n 维向量()T,...,,e 111=,则有不等式eB e B ∞≤11UD L D B 111--+=这里,记号｜·｜表示其中矩阵的元素都取绝对值,而不等式是对相应元素来考虑的,于是()()()Ie B L D I eL D B e U D ∞------≤-=111111容易验证()11==--nnL D L D所以,L D I 1--及L D I 1--可逆，且()()()1111111111-----------=++≤+++=-L D I LD ...L D I L D ...L D I LD I n n()I L D I ≥---11从而有()()((){}e I B L D I L D I eU D LD I e B ∞----------≤⋅-≤111111121{()()}eB eL D I I B I ∞--∞≤-⋅--=11111因此必有∞∞≤12B B因为已知11<∞B 所以12<∞B .即高斯—塞德尔迭代法收敛.若矩阵A 为对称，我们有定理3 若矩阵A 正定,则高斯—塞德尔迭代法收敛.证明 把实正定对称矩阵A 分解为T L L D A --=()TL U =,则D 为正定的,迭代矩阵()T L L D B 12--=设λ是2B 的任一特征值,x 为相应的特征向量,则()()x x L L D T λ=--1以L D -左乘上式两端,并由TL L D A --=有()Ax x L T λλ=-1用向量x 的共轭转置左乘上式两端,得()Ax x x L xTTT--=-λλ1 (11)求上式左右两端的共轭转置,得Ax x x L x T T ----=⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλ1以λ--1和λ-1分别乘以上二式然后相加,得()()Axx x L L x T T T -----⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--λλλλλλ211 由TL L D A --=,得()()Axx x A D x T T -----⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--λλλλλλ211即()Ax x x L x TT---=-λλλ2211 (12)因为A 和D 都是正定的,且x 不是零向量,所以由(11)式得1≠λ,而由(12)式得012>-λ, 即1<λ,从而()12<B ρ,因而高斯—塞德尔迭代法收敛.定义1 设)nn ij a A ⨯=为n 阶矩阵.① ①如果n,...,i ,a a nij i j ij ii 21=∑>≠= (13)即A 的每一行对角元素的绝对值都严格大于同行其他元素绝对值之和，则称A 为严格对角优势矩阵.② ②如果n,...,i ,a a nij i j ij ii 21=∑≥≠=且至少有一个不等式严格成立,则称A 为弱对角优势矩阵.例如⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-310131012是严格对角优势矩阵，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--310121011是弱对角优势矩阵. 定义2 设()nn ij a A ⨯=是n 阶矩阵，如果经过行的互换及相应列的互换可化为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ,即存在n 阶排列矩阵P,使⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2212110A A A AP P T其中2211A ,A 为方阵，则称A 是可约的,否则称A 为不可约的.A 是可约矩阵,意味着b Ax =可经过若干次行列重排,化为两个低阶方程组,事实上,b Ax =可化为 ()b P x P AP P TT T =,记()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==2121d d d b P ,y y y x P TT于是，求解b Ax =化为求解()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=+22221212111d y A d y A y A可以证明,如果A 为严格对角优势矩阵或为不可约弱对角优势矩阵,则A 是非奇异的.定理4 如果A 为严格对角优势矩阵或为不可约弱对角优势矩阵,则对任意()0x ,雅可比迭代法(4)与高斯—塞德尔迭代法(8)均为收敛的.证明 下面我们以A 为不可约弱对角优势矩阵为例，证明雅可比迭代法收敛，其他证明留给读者.要证明雅可比迭代法收敛，只要证()11<B ρ,1B 是迭代矩阵.用反证法,设矩阵1B 有某个特征值μ,使得1≥μ,则()01=-B I det μ,由于A 不可约,且具有弱对角优势，所以1-D 存在，且 ()()D A D D A D I I B I -+=--=---μμμ111从而()0=-+D A D detμ另一方面，矩阵()D A D -+μ与矩阵A 的非零元素的位置是完全相同的，所以()D A D -+μ也是不可约的,又由于1≥μ,且A 弱对角优势，所以n,...,i ,a a a nij i j ij ii ii 21=∑≥≥≠=μ并且至少有一个i 使不等号严格成立.因此,矩阵()D A D -+μ弱对角优势，故()D A D -+μ为不可约弱对角优势矩阵.从而()0≠-+D A D det μ矛盾，故1B 的特征值不能大于等于1，定理得证.。

线性方程组的迭代法一、实验目的及要求掌握解线性方程组的雅可比迭代法，培养编程与上机调试能力。

二、相关理论知识1、雅可比迭代计算b Ax =，将系数矩阵分解U L D A --=，雅可比迭代格式为f Jx x k k +=+)()1(其中)(1U L D J +=-，b D f 1-=。

Matlab 相关函数：D=diag （diag （A ））n=norm(a,inf) 表示求向量a 的无穷范数。

2、高斯-塞德尔迭代法计算b Ax =，将系数矩阵分解U L D A --=，雅可比迭代格式为f Gx x k k +=+)()1(其中U L D G 1)(--=，b L D f 1)(--=。

Matlab 相关函数：tril （A ，-1） 表示输出矩阵为矩阵A 的下三角，主对角线元素为0.triu （A ，1） 表示输出矩阵为矩阵A 的上三角，主对角线元素为0.三、研究、解答以下问题问题 1、用雅可比迭代法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2010311102143210321321321x x x x x x x x x ， （1）取初始值)0,0,0('，分别保证当3)()1(10-∞+<-k k x x 和6)()1(10-∞+<-k k x x 时，迭代终止，要求输出对应的近似解。

（2）输出对应的迭代的次数。

（3）输出一个矩阵，每行表示每次迭代的向量。

1．程序：function [x,i,G]=kb(A,b,max,eps)A=[10 2 3;2 10 1;3 1 10];b=[14 11 20]';max=100;eps=1e-006D=diag(diag(A));ID=inv(D);J=ID*(-A+D);f=ID*b;x0=zeros(rank(A),1);x=x0;G(1,:)=x0';for i=1:maxk=x;x=J*x+f;G(i+1,:)=x';n=norm((x-k),inf);if n<=epsbreak ;endendGi结果：（1）eps = 1.0000e-003G =0 0 01.4000 1.10002.00000.5800 0.6200 1.47000.8350 0.8370 1.76400.7034 0.7566 1.66580.7489 0.7927 1.71330.7275 0.7789 1.69600.7354 0.7849 1.70390.7319 0.7825 1.70090.7332 0.7835 1.70220.7326 0.7831 1.7017i =10ans =0.73260.78311.7017（2）eps =1.0000e-006G =0 0 01.4000 1.10002.0000 0.5800 0.6200 1.4700 0.8350 0.8370 1.7640 0.7034 0.7566 1.6658 0.7489 0.7927 1.7133 0.7275 0.7789 1.6960 0.7354 0.7849 1.7039 0.7319 0.7825 1.7009 0.7332 0.7835 1.7022 0.7326 0.7831 1.7017 0.7329 0.7833 1.7019 0.7328 0.7832 1.7018 0.7328 0.7833 1.7018 0.7328 0.7833 1.7018 0.7328 0.7833 1.7018 0.7328 0.7833 1.70180.7328 0.7833 1.70180.7328 0.7833 1.7018i =18ans =0.73280.78331.70182、用高斯-塞德尔迭代法计算第1题中的线性方程组。

雅克比迭代法和高斯-塞德尔迭代法（经典实用）雅克比迭代法和高斯-塞德尔迭代法都是求解线性方程组的经典方法，它们的基本思路是将矩阵分解为对角、上三角或下三角矩阵，然后通过迭代求解方程组。

以下将详细介绍这两种方法的原理和实现。

1. 雅克比迭代法雅克比迭代法是一种通过逐步迭代来求解线性方程组的方法。

假设有一个n*n的线性方程组Ax=b，其中A是一个对称正定矩阵。

将A分解为对角矩阵D、上三角矩阵U和下三角矩阵L的乘积，即A=D-L-U。

则可得到方程组的迭代格式如下：X_(k+1)=D^(-1)(L+U)X_k+D^(-1)b其中X_k为第k次迭代的解向量，D为A的对角矩阵，L为A的下三角矩阵，U为A的上三角矩阵。

雅克比迭代法的收敛条件为，当矩阵A是对称正定矩阵时，若其对角线元素都不为0，则Jacobi迭代法收敛。

此外，当矩阵A为对称正定矩阵时，雅克比迭代法还具有收敛速度快、实现简单等优点。

2. 高斯-塞德尔迭代法高斯-塞德尔迭代法是雅克比迭代法的改进。

其思路是每次计算时，直接用已知的最新值来更新解向量中未知量的值，从而加快迭代的速度。

具体来说，设有一个n*n的线性方程组Ax=b，方程组的迭代格式为：X_i+1= (b_i-a_i,i*X_i+1-a_i，i+1*X_i，+...-a_i，n*X_n) /a_i，i其中i表示求解方程组的第i个未知量，它的值是通过其他已知量的最新值来计算的。

3. 实用在实际应用中，雅克比迭代法和高斯-塞德尔迭代法在求解某些特定的线性方程组时往往比直接求解更具有优势。

例如，在求解非常大型的线性方程组时，直接求解的计算量很大，求解时间也很长。

而使用迭代法则可以大幅减少计算量和求解时间，提高求解效率。

此外，由于迭代法可以直观地呈现方程组的解向量随着迭代步数的变化情况，因此可以更快地检查迭代结果的趋势和误差范围。

总之，雅克比迭代法和高斯-塞德尔迭代法是求解线性方程组的两种有效方法，具有应用广泛、易于实现和迭代收敛速度快的优点。

实验报告内容一 实验目的与要求（实验题目）1．分别利用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解以下线性方程组使得误差不超过 2.用不动点迭代法求方程的实根：02010223=-++x x x二 模型建立（相关主要计算公式）1. 雅可比迭代法⎩⎨⎧[],...,,k ,n ,...,i x a b a x n i j j )k (j j i i ii )k (i 21021111==∑-=≠=+ 其中()()()()()T n x ,...x ,x x 002010=为初始向量.2.高斯-塞德尔迭代法⎩⎨⎧[],...,,k ,n ,,i x a x a b a x i j n i j )k (j ij )k (j ij i ii )k (i 21021111111==∑∑--=-=+=++3.不动点迭代法• ...1,0),(1==+k x xk k ϕ三、 实验过程、步骤（程序）1. 雅可比迭代法#include "stdio.h"#include "math.h"#include "string.h"main(){⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+-3612363311420238321321321x x x x x x x x x 410-int i,j,k;float m1=0.0,m2=0.0;float a[3][4]={8,-3,2,20,4,11,-1,33,6,3,12,36};float x[3]={0.0,0.0,0.0};for(k=1;k<=10;){for(i=0;i<=2;i++){for(j=0;j<i;j++)m1=m1+a[i][j]*x[j];for(j=i+1;j<=2;j++)m2=m2+a[i][j]*x[j];x[i]=(a[i][3]-m1-m2)/a[i][i];m1=0,m2=0;}k++;}printf("雅可比迭代法计算结果为：\n");for(i=0;i<=2;i++)printf("x[%2d]=%8.9f\n",i+1,x[i]);}2高斯-塞德尔迭代法#include<stdio.h>#include<math.h># define n 3void main(){int i,j,k=1;float x[n]={0,0,0},m[n]={0,0,0},s=1;float a[n][n]={8,-3,2,4,11,-1,6,3,12},d[n]={20,33,36}; printf("高斯-塞德尔迭代法运算结果为:\n");for(k=0;fabs(s-x[0])>1e-6;k++){s=x[0];for(i=0;i<n;i++){m[i]=0;for(j=0;j<n;j++) m[i]=m[i]-a[i][j]*x[j];m[i]=m[i]+d[i]+a[i][i]*x[i];x[i]=m[i]/a[i][i];}printf("Y1=%f Y2=%f Y3=%f\n",x[0],x[1],x[2]); }getchar() ;}3.#include <stdio.h>#include <math.h>double f( double x ){return x * x * x + 2 * x * x + 10 * x - 20;}double fdx( double x ){return 3 * x * x + 18.4 * x + 16.7;}int main( ){int t1 = 0, t2 = 1;double x[ 2 ], ep = 1e-8;x[ 0 ] = 0;do{t1 = 1 - t1;t2 = 1 - t2;x[ t1 ] = x[ t2 ] - f( x[ t2 ] ) / fdx( x[ t2 ] );}while( fabs( x[ t1 ] - x[ t2 ] ) > ep );printf("解得x=%lf\n", x[ t1 ]);return 0;}四．实验结果：1.雅可比迭代法：2.高斯-塞德尔迭代法：.3.不动点迭代法：五．实验小结通过这次上机，学会了用Jacobis迭代法，高斯-塞德尔迭代法求解线性方程组，算法程序比较复杂，特别是要多次使用数组条件及for循环语句。

昆明理工大学（计算机算法）实验报告实验名称：实验时间：2009 年 6 月 3 日专业：电信071姓名：李春华学号：200711102118成绩：一、实验目的1.通过实验进一步掌握高斯消去法的基本思想；2.通过上机实验进一步掌握高斯消去法的计算步骤，并能灵活运用；3.通过对高斯消去法的调试练习，进一步体会他的特点；4.通过上机调试运行，逐步培养解决实际问题的编程能力。

二、实习要求1．熟悉Turbo C的编译环境；2．实习前复习雅可比迭代法、高斯—塞得儿迭代法的计算步骤。

三、实习设备1.硬件设备：单机或网络环境下的微型计算机一台；2.软件设备：DOS3.3以上炒作系统，Turbo C2.0编译器。

四、实习内容雅可比迭代法与高斯—塞得儿迭代法用雅可比雅可比迭代法与高斯—塞得儿迭代法求解线性方程组Ax=b：要求：（1）写出程序的运行结果。

（2）写出迭代次数。

程序如下：1、雅可比迭代法#include<stdio.h>#include<math.h>#define n 3#define MAX_N 100#define eps 1e-6int yacobi(float a[n][n],float b[n],float x[n]){float d,s,max;float y[n];int i,j,k,flag;k=0;for(i=0;i<n;i++)x[i]=0.0;while(1){max=0.0;k++;for(i=0;i<n;i++){s=0.0;k++;for(j=0;j<n;j++){if(j==i)continue;s=s+a[i][j]*x[j];}y[i]=(b[i]-s)/a[i][i];d=fabs(y[i]-x[j]);if(max<d) max=d;}if(max<eps){flag=1;break;if(k>=MAX_N){flag=0;break;}for(i=0;i<n;i++)x[i]=y[i];}return(flag);}void zg_matric(float a[n][n],float b[n]) {int i,j;for(i=0;i<n;i++){ for(j=0;j<n;j++)printf("%10f",a[i][j]);printf("%12f",b[i]);printf("\n");}printf("\n");}{float a[][n]={{6，2 -1},{1，4，-2},{-3，1，4}};float b[n]={-3，2，4 };float x[n];int i,k;zg_matric(a,b);k=yacobi(a,b,x);if(k==1)for(i=0;i<n;i++)printf(" x%d=%11.7f\n",i+1,x[i]);elseprintf("The Method is disconvergent!\n");}结果如图：2、高斯—赛德尔迭代法#include<stdio.h>#include<math.h>#define n 3#define MAX_N 100#define eps 1e-6int seidel(float a[n][n],float b[n],float x[n]) {float d,s,max,temp;int i,j,k,flag;k=0;for(i=0;i<n;i++)x[i]=0.0;while(1){max=0.0;k++;for(i=0;i<n;i++){s=0.0;temp=x[i];for(j=0;j<n;j++){if(j==i)continue;s=s+a[i][j]*x[j];}x[i]=(b[i]-s)/a[i][i];d=fabs(x[i]-temp);if(max<d) max=d;}if(max<eps){flag=1;break;}if(k>=MAX_N){flag=0;break;}}return(flag);}void zg_matric(float a[n][n],float b[n]) {int i,j;for(i=0;i<n;i++){ for(j=0;j<n;j++)printf("%10f",a[i][j]);printf("%12f",b[i]);printf("\n");}printf("\n");}void main(){float a[][n]={{6,2,-1},{1,4,-2},{-3,1,4}};float b[n]={-3,2,4};float x[n];int i,k;zg_matric(a,b);k=seidel(a,b,x);if(k==1)for(i=0;i<n;i++)printf(" x%d=%11.7f\n",i+1,x[i]);elseprintf("The Method is disconvergent!\n");}结果如下：五、思考题：（1）雅可比迭代法与高斯—塞得尔迭代法的基本思想是什么？答：雅可比迭代法基本思想为对于给定的线性方程组Ax=b，可以用不同的方法把它变为与之等价的，行为：x=Bx+f的方程组。

Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel迭代法算法比较目录1 引言 (1)1.1 Jacobi迭代法 (2)1.2 Gauss-Seidel迭代法 (2)1.3 逐次超松弛（SOR）迭代法 (3)2算法分析 (4)3 结论 (5)4 附录程序 (6)参考文献 (10)Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel 迭代法比较1 引言解线性方程组的方法分为直接法和迭代法，直接法是在没有舍入误差的假设下，能在预定的运算次数内求得精确解，而迭代法是构造一定的递推格式，产生逼近精确值的序列。

这两种方法各有优缺点，直接法普遍适用，但要求计算机有较大的存储量，迭代法要求的存储量较小，但必须在收敛性得以保证的情况下才能使用。

对于高阶方程组，如一些偏微分方程数值求解中出现的方程组，采用直接法计算代价比较高，迭代法则简单又实用，所以比较受工程人员青睐。

迭代法求解方程组就是构造一个无限的向量序列，使它的极限是方程组的解向量。

即使计算机过程是精确的，迭代法也不能通过有限次算术运算求得方程组的精确解，而只能逐步逼近它。

因此迭代法存在收敛性与精度控制的问题。

迭代法是常用于求解大型稀疏线性方程组（系数矩阵阶数较高且0元素较多），特别是某些偏微分方程离散化后得到的大型稀疏方程组的重要方法。

设n 元线性微分方程组b Ax = (1)的系数矩阵A 非奇异，右端向量0≠b ,因而方程组有唯一的非零解向量。

而对于这种线性方程组的近似解，前辈们发展研究了许多种有效的方法，有Jacobi 迭代法、Gauss —Seidel 迭代法，逐次超松弛迭代法（SOR 法），这几种迭代方法均属一阶线性定常迭代法，即若系数矩阵A 分解成两个矩阵N 和P 的差，即P N A -=；其中N 为可逆矩阵，线性方程组(1)化为：b x P N =-)（b Px Nx +=b N Px N x 11--+=可得到迭代方法的一般公式：2 算法分析例1 用雅可比迭代法求解下列方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--2453821027210321321321.x x x .x x x .x x x解 将方程组按雅可比方法写成⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=8402020830201072020*******2321.x .x .x .x .x .x .x .x .x取初始值()()()()()()T T,,,x ,x ,x x 0000302010==按迭代公式()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=+++840202083020107202010211331123211.x .x .x .x .x .x .x .x .x k k k k k k k k k例2 用高斯——塞德尔迭代法求解例1.解 取初始值()()()()()()TT,,,x ,x ,x x 0000302010==，按迭代公式()()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=++++++840202083020107202010121113311123211.x .x .x .x .x .x .x .x .x k k k k k k k k k进行迭代，其计算结果如下表23 结论使用Gauss-Seidel 迭代法迭代法，7次就可以求出方程的解，收敛速度要比Jacobi迭代法收敛快(达到同样的精度所需迭代次数少)；但是这个结论,在一定条件下才是对的,甚至有这样的方程组,雅可比方法收敛，而高斯—塞德尔迭代法却是发散的.4 附录程序/* 求解线性方程组--Gauss-Seidel迭代法*/#include <iostream>#include <cmath>using namespace std;/* 二维数组动态分配模板*/template <class T>T** Allocation2D(int m, int n){T **a;a = new T*[m];for (int i=0; i<m; i++){a[i] = new T[n];}return a;}/* 一维数组动态分配模板*/template <class T>T* Allocation1D(int n){T *a;a = new T[n];return a;}/* 求矩阵的一范数*/float matrix_category(float* x, int n){float temp = 0;for(int i=0; i<n; i++){temp = temp + fabs(x[i]);}return temp;}int main(){const int MAX = 1000; // 最大迭代次数int i,j,k; // 循环变量int n; // 矩阵阶数float** a; // 增广矩阵float* x_0; // 初始向量float* x_k; // 迭代向量float precision; // 精度cout<<"输入精度e:";cin>>precision;/* 动态生成增广矩阵*/cout<<endl<<"输入系数矩阵的阶数，N：";cin>>n;a = Allocation2D<float>(n, n+1);/* 输入增广矩阵的各值*/cout<<endl<<"输入增广矩阵的各值：\n";for(i=0; i<n; i++){for(j=0; j<n+1; j++){cin>>a[i][j];}}/* 生成并初始化初始向量*/x_0 = Allocation1D<float>(n);cout<<endl<<"输入初始向量:\n";for(i=0; i<n; i++){cin>>x_0[i];}/* 生成迭代向量*/x_k = Allocation1D<float>(n);float temp;/* 迭代过程*/for(k=0; k<MAX; k++){for(i=0; i<n; i++){temp = 0;for(j=0; j<i; j++){temp = temp + a[i][j] * x_k[j];}x_k[i] = a[i][n] - temp;temp = 0;for(j=i+1; j<n; j++){temp = temp + a[i][j] * x_0[j];}x_k[i] = (x_k[i] - temp) / a[i][i];}/* 求两解向量的差的范数*/for(i=0; i<n; i++){x_0[i] = x_k[i] - x_0[i];}if(matrix_category(x_0,n) < precision){break;}else{for(i=0; i<n; i++){x_0[i] = x_k[i];}}}/* 输出过程*/if(MAX == k){cout<<"迭代不收敛\n";}cout<<"迭代次数为："<<k<<endl;cout<<"解向量为：\n";for(i=0; i<n; i++){cout<<"x"<<i<<": "<<x_k[i]<<endl;}return 0;}参考文献[1]颜庆津. 数值分析[M]. 北京:航空航天大学出版社，1999.[2]黎建玲，简金宝，李群宏.数值分析与实验[M].北京:科学出版社，2012．[3]宋叶志．MATLAB数值分析与应用[M]．北京：机械工业出版社，2013．。

解：由x=[1;2;3]，算出b=[-3; 7;6]知：X1=(2*X3-3)/3X2=(-X3+7)/2X3=(2X1-X2+6)/21.雅克比法：X1(1)=0;X2(1)=0;X3(1)=0;for i=1:50X1(i+1)= (2*X3(i)-3)/3;X2(i+1)=(-X3(i)+7)/2;X3(i+1)=(2*X1(i)-X2(i)+6)/2;End迭代50次结果如下：X1 =Columns 1 through 110 -1.0000 1.0000 -0.8333 1.0000 -0.6806 1.0000 -0.5405 1.0000 -0.4121 1.0000Columns 12 through 22-0.2945 1.0000 -0.1866 1.0000 -0.0877 1.0000 0.0029 1.0000 0.0860 1.0000 0.1622Columns 23 through 331.0000 0.2320 1.0000 0.2960 1.0000 0.3547 1.0000 0.4085 1.0000 0.4577 1.0000Columns 34 through 440.5029 1.0000 0.5444 1.0000 0.5823 1.0000 0.61711.0000 0.6490 1.0000 0.6783Columns 45 through 511.0000 0.7051 1.0000 0.7297 1.0000 0.7522 1.0000X2 =Columns 1 through 110 3.5000 2.0000 3.3750 2.0000 3.2604 2.0000 3.1554 2.0000 3.0591 2.0000Columns 12 through 222.9708 2.0000 2.8899 2.0000 2.8158 2.0000 2.7478 2.0000 2.6855 2.0000 2.6284Columns 23 through 332.0000 2.5760 2.0000 2.5280 2.0000 2.4840 2.0000 2.4437 2.0000 2.4067 2.0000Columns 34 through 442.3728 2.0000 2.3417 2.0000 2.3133 2.0000 2.2871 2.0000 2.2632 2.0000 2.2413Columns 45 through 512.0000 2.2212 2.0000 2.2027 2.0000 2.1859 2.0000X3 =Columns 1 through 110 3.0000 0.2500 3.0000 0.4792 3.0000 0.6892 3.0000 0.8818 3.0000 1.0583Columns 12 through 223.0000 1.2201 3.0000 1.3684 3.0000 1.5044 3.0000 1.6290 3.0000 1.7433 3.0000Columns 23 through 331.8480 3.0000 1.9440 3.00002.03203.0000 2.1127 3.0000 2.1866 3.0000 2.2544Columns 34 through 443.0000 2.3165 3.0000 2.3735 3.0000 2.4257 3.0000 2.4736 3.0000 2.5174 3.0000Columns 45 through 512.55763.0000 2.5945 3.0000 2.6283 3.0000 2.6593 2.高斯-赛德法：XX1(1)=0;XX2(1)=0;XX3(1)=0;for i=1:50XX1(i+1)= (2*X3(i)-3)/3;XX2(i+1)=(-X3(i)+7)/2;XX3(i+1)=(2*X1(i+1)-X2(i+1)+6)/2;End迭代50次结果如下：X1 =Columns 1 through 110 -1.0000 1.0000 -0.8333 1.0000 -0.6806 1.0000 -0.5405 1.0000 -0.4121 1.0000Columns 12 through 22-0.2945 1.0000 -0.1866 1.0000 -0.0877 1.0000 0.0029 1.0000 0.0860 1.0000 0.1622Columns 23 through 331.0000 0.2320 1.0000 0.2960 1.0000 0.3547 1.0000 0.4085 1.0000 0.4577 1.0000Columns 34 through 440.5029 1.0000 0.5444 1.0000 0.5823 1.0000 0.61711.0000 0.6490 1.0000 0.6783Columns 45 through 511.0000 0.7051 1.0000 0.7297 1.0000 0.7522 1.0000X2 =Columns 1 through 110 3.5000 2.0000 3.3750 2.0000 3.2604 2.0000 3.1554 2.0000 3.0591 2.0000Columns 12 through 222.9708 2.0000 2.8899 2.0000 2.8158 2.0000 2.7478 2.0000 2.6855 2.0000 2.6284Columns 23 through 332.0000 2.5760 2.0000 2.5280 2.0000 2.4840 2.0000 2.4437 2.0000 2.4067 2.0000Columns 34 through 442.3728 2.0000 2.3417 2.0000 2.3133 2.0000 2.2871 2.0000 2.2632 2.0000 2.2413Columns 45 through 512.0000 2.2212 2.0000 2.2027 2.0000 2.1859 2.0000X3 =Columns 1 through 110 3.0000 0.2500 3.0000 0.4792 3.0000 0.6892 3.0000 0.8818 3.0000 1.0583Columns 12 through 223.0000 1.2201 3.0000 1.3684 3.0000 1.5044 3.0000 1.6290 3.0000 1.7433 3.0000Columns 23 through 331.8480 3.0000 1.9440 3.00002.03203.0000 2.1127 3.0000 2.1866 3.0000 2.2544Columns 34 through 443.0000 2.3165 3.0000 2.3735 3.0000 2.4257 3.0000 2.4736 3.0000 2.5174 3.0000Columns 45 through 512.55763.0000 2.5945 3.0000 2.6283 3.0000 2.6593结果分析：从上面的雅可比迭代法和高斯—赛德尔迭代法这两种方法所得的实验结果可知，对于同样的矩阵，对于同样的精度，雅可比迭代法要比高斯-赛德尔迭代法慢。