初二数学培优之等腰三角形的判定
阅读与思考
在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结．
1．等腰三角形的判定：
⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；
⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等．
2．证明线段相等的方法：
⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明；
⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明；
⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等．
善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示：
例题与求解
【例1】如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则CF的长为____________．
（全国初中数学竞赛试题）
解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M”．
【例2】如图，在△ABC中，∠B=2∠C，则AC与2AB之间的关系是（ ）
A．AC＞2AB B．AC＝2AB
C．AC≤2AB D．AC＜2AB
(山东省竞赛试题)
解题思路：如何条件∠B=2∠C，如何得到2AB，这是解本题的关键．
A
B C A
B D MF
C
【例3】两个全等的含300，600角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连结BD，取BD中点M，连结ME，MC，试判断△EMC的形状，并说明理由．
（山东省中考试题）
解题思路：从△ADE≌△BAC出发，先确定△ADB的形状，为判断△EMC的形状奠定基础．
【例4】如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF．
教学目标 1.掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一．
2.会利用等腰三角形的性质进行推理、计算和证明．
重点、难点 1、本节教学的重点是理解并掌握等腰三角形的性质：等边对等角；三线合一.
2、等腰三角形三线合一性质的运用，在解题思路上需要作一些转换。
考点及考试要求 1、等腰三角形的性质
2、等腰三角形的证明
教 学 内 容
第一课时 等腰三角形知识梳理
1、 已知线段a，h（如下图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，BC边上的高线为h。
2、如果等腰三角形有两边的长分别为12cm，5cm，这个三角形的周长是 cm。
3、 请写出周长为8cm，且边长均为整数的等腰三角形的各边长。
4、一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1，求这个三角形各角度数。
5、已知：如图，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D。求证：∠DBC=21∠A。
课前检测
ABCD图2-5ABCD
（1）等腰三角形的定义
等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形（如下图AB=AC），相等的两边叫做腰（AB和AC），另一边叫底边（BC），两腰的夹角叫做顶角（A），腰和底边的夹角叫做底角（C和B）
（2）等腰三角形的性质
等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。或“在一个三角形中，等边对等角”。
等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合。简称等腰三角形三线合一。
注：上述性质指导学生通过证全等自己来推理
（3）等边三角形
等边三角形是特殊的等腰三角形，各边相等，各角均为60度。
第二课时 等腰三角形典型例题
题型一：根据等腰三角形的性质计算角的度数或边的长度
例1：等腰三角形两个内角的度数之比为1：2，这个等腰三角形底角的度数为
【点拨】：本题的考点是等腰三角形两底角相等，但题目中没有明确是 底角：顶角=1:2还是 顶角：底角=1：2，所以要分两种情况进行讨论，根据三角形内角和为180度求出三角形的三个角的度数，很多学生容易漏掉一种情况。
细节决定成败，学习改变命运！
聪明出于勤奋，天才在于积累。——华罗庚
等腰三角形的判定培优
知识纵横
由于等腰三角形有丰富的性质，这些性质为我们解几何题提供了新的理论依据，所以寻找发现等腰三角形是解一些几何题的关键，判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是，从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等。
实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：
1、“角平分线+平行线”构造等腰三角形；
2、“角平分线+垂线”构造等腰三角形；
3、用“垂直平分线”构造等腰三角形；
4、用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形。
探索填空1、如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为 。
2、如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连结EC，则∠AEC的度数是 。
3、如图，△ABC中，AB=AC， ∠B=36 °，D、E是BC上两点，使∠ ADE=∠AED=2 ∠BAD，则图中等腰三角形共有 个。
4、如图， △ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，则∠ B：∠C的值 。 细节决定成败，学习改变命运！
聪明出于勤奋，天才在于积累。——华罗庚
5、已知等腰△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，连接AD，若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数是 。
6、在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75度，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子顶端距离NB为b米，梯子的倾斜角为45度，则这间房子的宽AB是 。
教学目标 1.掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一．
2.会利用等腰三角形的性质进行推理、计算和证明．
重点、难点 1、本节教学的重点是理解并掌握等腰三角形的性质：等边对等角；三线合一.
2、等腰三角形三线合一性质的运用，在解题思路上需要作一些转换。
考点及考试要求 1、等腰三角形的性质
2、等腰三角形的证明
教 学 内 容
第一课时 等腰三角形知识梳理
1、 已知线段a，h（如下图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，BC边上的高线为h。
2、如果等腰三角形有两边的长分别为12cm，5cm，这个三角形的周长是 cm。
3、 请写出周长为8cm，且边长均为整数的等腰三角形的各边长。
4、一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1，求这个三角形各角度数。
5、已知：如图，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D。求证：∠DBC=21∠A。
课前检测
ABCD图2-5ABCD
（1）等腰三角形的定义
等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形（如下图AB=AC），相等的两边叫做腰（AB和AC），另一边叫底边（BC），两腰的夹角叫做顶角（A），腰和底边的夹角叫做底角（C和B）
（2）等腰三角形的性质
等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。或“在一个三角形中，等边对等角”。
等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合。简称等腰三角形三线合一。
注：上述性质指导学生通过证全等自己来推理
（3）等边三角形
等边三角形是特殊的等腰三角形，各边相等，各角均为60度。
第二课时 等腰三角形典型例题
题型一：根据等腰三角形的性质计算角的度数或边的长度
例1：等腰三角形两个内角的度数之比为1：2，这个等腰三角形底角的度数为
【点拨】：本题的考点是等腰三角形两底角相等，但题目中没有明确是 底角：顶角=1:2还是 顶角：底角=1：2，所以要分两种情况进行讨论，根据三角形内角和为180度求出三角形的三个角的度数，很多学生容易漏掉一种情况。
