等腰三角形培优专题

页 1 等腰三角形

【等腰三角形存在性问题】

1．如图4×4的正方形网格中，网格线的交点叫格点，已知点A、B是格点，若C也是格点且△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）

A．6个 B．7个 C．8个 D．9个

2．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）

A．6 B．8 C．9 D．10

3．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（ ）

A．8个 B．7个 C．6个 D．5个

4．如图，△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为

．

【等腰三角形分类讨论】

1．等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是（ ）

A．140°或44°或80° B．20°或80° C．44°或80° D．140°

2．规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝，则该等腰三角形的顶角为（ ）

A．30° B．36° C．45° D．60°

3．等腰三角形的两边a，b满足|a﹣7|+＝0，则它的周长是（ ）

A．12 B．15 C．17 D．19

4．等腰三角形周长为17cm，一腰上的中线将三角形分为两个三角形，这两个三角形的周长差为4cm，则此等腰三角形的底边长为 ．

5．若等腰三角形一腰上的中线将其周长分成9和6两部分，则这个等腰三角形的三边长分别为 ．

页 2 【等腰三角形性质的应用】

6．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，BC＝．以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，则线段AD的长为（ ）

A．2 B． C． D．

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点C的直线EF∥AB．若∠ACE＝30°，则∠B的度数为（ ）

A．30° B．65° C．75° D．85°

9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC与点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是（ ）

A．30° B．35° C．40° D．45°

10．如图，BD，CE分别是△ABC的高线和角平分线，且相交于点O．若AB＝AC，∠A＝40°，则∠BOE的度数是（ ）A．60° B．55° C．50° D．40°

11．如图，在△ABC中，AC＝AD＝DB，∠C＝70°，则∠CAB的度数为（ ）

A．75° B．70° C．40° D．35°

12．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，BE和CE交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N．若MN＝8，则BM+CN的长为（ ）

A．6.5 B．7.2 C．8 D．9.5

13．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，AD＝6，过点D作DE∥BC交AB于点E，若△AED的周长为16，则边AB的长为（ ）A．6 B．8 C．10 D．12

14．如图，AE垂直于∠ABC的平分线交于点D，交BC于点E，CE＝BC，若△ABC的面积为2，则△CDE的面积为（ ）A． B． C． D．

页 3 15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D是BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，则△BED与△DFC的周长的和为（ ）A．34 B．32 C．22 D．20

16．如图，已知△ABC，点D、E分别在边AC、AB上，∠ABD＝∠ACE，下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）

A．AE＝AD B．BD＝CE C．∠ECB＝∠DBC D．∠BEC＝∠CDB．

17．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）

A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2

18．如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝36°，那么∠BED的度数为（ ）A．108° B．120° C．126° D．144°

21．如图，在△ABC中，AB＝AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A＝44°，则∠CDB的度数是 ．

22．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠CAB的角平分线与外角∠CBD的角平分线交于点M，且∠AMB＝35°，则∠CAB＝ ．

24．如图，已知BD⊥AG，CE⊥AF，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF＝3，ED＝2，GC＝5，则△ABC的周长为 ．

【最短路径】

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26．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．

（1）在图中画出与△ABC关于直线L成轴对称的△A′B′C′；

（2）求△ABC的面积；

（3）在直线L上找一点P（在答题纸上图中标出），使PB+PC的长最小．

27．如图，在11×11的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．

（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）；

（2）在直线l上找一点P，使得PA+PB的和最小．

【等腰三角形的性质的应用综合题】

28．如图在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求∠A的度数．

29．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度数．

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30．如图，△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，且BD＝CE，∠DEF＝∠B

（1）求证：△BDE≌△CEF；

（2）若∠A＝40°，求∠EDF的度数．

31．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BD⊥AC于点D，BE平分∠ABD交AC于点E．

（1）求证：CB＝CE；

（2）若∠CEB＝80°，求∠DBC的大小．

32．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8厘来，BC＝6厘米P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动速度为1厘米/秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时阃为t秒．

（1）求出发2秒后，PQ的长；

（2）点Q在CA边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间．

33．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．

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（1）证明：△ADF是等腰三角形；

（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，

34．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为底边BC延长线上任意一点，过点D作DE∥AB，与AC延长线交于点E．

（1）则△CDE的形状是 ；

（2）若在AC上截取AF＝CE，连接FB、FD，判断FB、FD的数量关系，并给出证明．

35．如图①，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D为BC边上一点，E为直线AC上一点，且∠ADE＝∠AED．

（1）试说明∠BAD＝2∠CDE；

（2）如图②，若点D在CB的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

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36．如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，在BC的延长线上取一点E，使CE＝CD，连接DE，求证：BD＝DE．

37．如图所示，△ABC中，BA＝BC，点D为BC上一点，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥BC交AC于点F．

（1）若∠AFD＝160°，则∠A＝

°； （2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD＝∠B．

38．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE＝∠CAD．求证：BE⊥AC．

39．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且∠ADE＝∠AED，连接DE．

（1）如图①，若∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝70°，求∠CDE的度数；

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（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，求∠BAD的度数；

（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．

40．如图，等腰△ABC的底边长为16cm，腰长为10cm，一个动点P在底边上从B向C以0.25cm/s的速度移动，请你探究，当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直．