课 题：含有绝对值的不等式（1）
教学目的：
1．理解含有绝对值的不等式的性质；
2．培养学生观察、推理的思维能力， 使学生树立创新意识；
3运用联系的观点解决问题,提高学生的数学素质；
4．认识不等式证法的多样性、灵活性
教学重点：含有绝对值不等式的性质、定理的综合运用
教学难点：对性质的理解、常见证明技巧
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
前面我们已学过不等式的性质和证明方法，这一节我们再来研究一些含有绝对值的不等式的证明问题
我们知道，当a＞0时，
|x|＜a－a＜x＜a,
|x|＞ax＞a或x＜－a
根据上面的结果和不等式的性质，我们可以推导出含有绝对值的不等式具有下面的性质
二、讲解新课：
定理：||||||||||bababa
证明：∵|||||)||(|||||||||babababbbaaa
||||||baba ①
又∵a=a+b-b |-b|=|b|
由①|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b| 即|a|-|b|≤|a+b| ②
综合①②: ||||||||||bababa
注意：1 左边可以“加强”同样成立，即||||||||||bababa
2 这个不等式俗称“三角不等式”—三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 3 a,b同号时右边取“=”，a,b异号时左边取“=”
推论1：||21naaa≤||||||21naaa
推论2：||||||||||bababa
证明：在定理中以-b代b得：|||||)(|||||bababa
即 ||||||||||bababa
三、讲解范例：
例1 已知|x|＜3，|y|＜6,|z|＜9, 求证 |x+2y－3z|＜ε
高中数学学科
【高中数学】绝对值不等式
一、基础知识
1．绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，
等号成立．↓|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，
右边等号成立.
2．绝对值不等式的解法
(1)|x|a型不等式的解法不等式a>0a＝0a<0|x|
|x|>a{x|x>a或x<－a}{x|x∈R且x≠0}R
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及体现数学思想
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
考点一绝对值不等式的解法
[典例](2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.高中数学学科
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|>1的解集．
[解](1)由题意得f(x)
＝x－4，x≤－1，
3x－2，－1
－x＋4，x>32，
故y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，
当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝13或x＝5.
故f(x)>1的解集为{x|1
f(x)<－1的解集为x|x<13或x>5.
所以|f(x)|>1的解集为x|x<13或15.
[题组训练]1．解不等式|x＋1|＋|x－1|≤2.
解：当x<－1时，
原不等式可化为－x－1＋1－x≤2，
解得x≥－1，又因为x<－1，故无解；
绝对值不等式
绝对值不等式||||||abab，||||||abab
基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5
所以函数的最小值是5，没有最大值
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5
由|y|≤5得-5≤y≤5
即函数的最小值是-5，最大值是5
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x到3，-2这两点的距离之差，当x≤-2时，取最小值-5，当x≥3时，取最大值5
［变题1］解下列不等式：(1)|x+1|>2－x；(2)|2x－2x－6|<3x
［思路］利用｜f(x)｜g(x) f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。
解：(1)原不等式等价于x+1>2－x或x+1<－(2－x)
解得x>12或无解，所以原不等式的解集是{x|x>12}
(2)原不等式等价于－3x<2x－2x－6<3x
即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560xxxxxxxxxxxxxxxxx或
2
所以原不等式的解集是{x|2
1．解不等式（1）｜x-x2-2｜>x2-3x-4；（2）234xx≤1
解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解.
原不等式等价于：
x-x2-2>x2-3x-4 ①
1 1.2.2 绝对值不等式的解法
课堂导学
三点剖析
一、绝对值不等式的典型类型和方法(一)
【例1】 解下列不等式:
(1)1<|x+2|<5;
(2)|3-x|+|x+4|>8.
解析：(1)法一:原不等式.37,31525125|2|1|2|xxxxxxx或
故原不等式的解集为{x|-1
法二:原不等式521,02521,02xxxx或,
37,231,2xxxx或-1
∴原不等式的解集为{x|-1
(2)法一:原不等式,843,34843,4xxxxxx或
.72,387,34821,4843,3xxxxxxxx或或或
∴x>27或x<29.
∴原不等式的解集为{x|x<29或x>27}.
法二:将原不等式转化为|x-3|+|x+4|-8>0,
构造函数y=|x-3|+|x+4|-8,
即y=.3,72,34,1,492xxxx
作出函数的图象如图.
从图象可知当x>27或x<29时,y>0,故原不等式的解集为{x|x>27或x<29}.
温馨提示 2 在本例中主要利用了绝对值的概念,|x|a)的解集以及数形结合的方法,这些方法都是解绝对值不等式的典型方法.
各个击破
类题演练1
解下列不等式:
(1)|432xx|≤1;
(2)|x+3|-|2x-1|>2x+1.
解析:(1)原不等式016172)4(904242222xxxxxx
161222xxx或-1≤x≤1或x≤-4或x≥4.
故原不等式的解集为{x|-1≤x≤1或x≤-4或x≥4}.
(2)由x+3=0,得x1=-3,
