高考数学一轮复习第十二章不等式选讲第69讲绝对值不等式课件

1不等式选讲第2讲证明不等式的基本方法练习理选修4.5

1.[2015·重庆高考]若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________.

答案－6或4

解析当a≤－1

时，f(x)＝－3x＋2a－1x≤a

x－2a－1a

3x－2a＋1x>－1，

∴f(x)

min＝－a－1，∴－a－1＝5，∴a＝－6.

当a>－1

时，f(x)＝－3x＋2a－1x≤－1

－x＋2a＋1－1

3x－2a＋1x>a，

∴f(x)

min＝a＋1，∴a＋1＝5，∴a＝4.

综上，a＝－6或a＝4.

2．不等式|2x＋1|－2|x－1|>0的解集为________．

答案x|

x>1

4

解析|2x＋1|－2|x－1|>0⇔|2x＋1|>2|x－1|⇔(2x＋1)2

>4(x－1)2

⇔12x>3⇔x>1

4，

∴原不等式的解集为x|

x>1

4.

3．[2016·南昌月考]若实数a，b，c满足a2

＋b2

＋c2

＝4，则3a＋4b＋5c的最大值为

________．

答案

102

解析由柯西不等式得(3a＋4b＋5c)2

≤(a2

＋b2

＋c2

)(9＋16＋25)＝200，所以－

10

2≤3a＋4b＋5c≤102，所以3a＋4b＋5c的最大值为

102.

4．[2015·黄陵一模]设关于x的不等式|x|＋|x－1|

＝2，则不等式的解

集为________；若不等式的解集为∅，则a

的取值范围是________．

答案－1

2

，3

2(－∞，1]

解析a

＝2时，不等式|x

|＋|x

－1|<2可化

为x

≤0

－x

＋1－x

<2

或0

<1

x

＋1－x

<2或

x

≥1

x

＋x

－1<2，解得－1

2

≤0或0

<1或1≤x

<3

2，即－1

2

<

3

2，

故不等式的解集为－1

2

，3

2.

因为|x

|＋|x

－1|≥|x

－(x

－1)|＝1，所以若不等式|x

|＋|x

－1|

的解集为∅，则a

的

取值范围是(－∞，1]．

5．[2015·江苏高考]解不等式x

＋|2x

＋3|≥2.

解

原不等式可化为x

<－3

2

－x

－3≥2

或x

≥－3

2

3x

＋3≥2.

专题69 绝对值不等式的解法

基础知识要夯实

1.绝对值三角不等式

定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；

定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.

2.绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|a的解集

不等式 a>0 a＝0 a<0

|x|

|x|>a {x|x>a或x<－a} {x|x∈R且x≠0} R

(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

3.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想.

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想.

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

[微点提醒]

1.在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏.

2.绝对值三角不等式|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值.绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件.

基本技能要落实

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.( )

(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.( )

(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.( )

(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.( ) (5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.( )

第69讲 绝对值不等式

[解密考纲]对本考点的考查以填空题和解答题为主，填空题主要涉及绝对值不等式的解法和柯西不等式的应用等，解答题涉及含有两个绝对值的问题，难度中等．

1．已知f(x)＝|x＋1|＋|x－2|，g(x)＝|x＋1|－|x－a|＋a(a∈R)．

(1)解不等式f(x)≤5；

(2)若不等式f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．

解析 (1)f(x)＝|x＋1|＋|x－2|表示数轴上的x对应点到－1和2对应点的距离之和，而－2对应点到－1和2对应点的距离之和正好等于5,3对应点到－1和2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f(x)≤5的解集为[－2,3]．

(2)若不等式f(x)≥g(x)恒成立，即|x－2|＋|x－a|≥a恒成立．

而|x－2|＋|x－a|≥|(2－x)＋(x－a)|＝|a－2|，

∴(|x－2|＋|x－a|)min＝|a－2|，

∴|a－2|≥a，

∴a≤0或 a－2≥a2，a>0，解得a≤1，故a的取值范围为(－∞，1]．

2．设f(x)＝|x－1|＋|x－a|.

(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；

(2)若对任意的x∈R，f(x)≥4，求实数a的取值范围．

解析 (1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|＝ －2x，x≤－1，2，－11，其图象如下．

根据图象易得f(x)≥3的解集为x x≤－32或x≥32.

(2)由于f(x)＝|x－1|＋|x－a|＝|x－1|＋|a－x|≥|a－1|，

对任意的x∈R，f(x)≥4等价于|a－1|≥4，

解得a≥5或a≤－3，

故实数a的取值范围为(－∞，－3]∪[5，＋∞)．

3．已知函数f(x)＝|x－2|－|2x－a|，a∈R.

(1)当a＝3时，解不等式f(x)>0；

(2)当x∈(－∞，2)时，f(x)<0恒成立，求a的取值范围．

解析 (1)当a＝3时，f(x)>0，

2020年高考复习

优秀知识点 第十二章 不等式选讲

第69讲 绝对值不等式

考纲要求

考情分析

命题趋势

1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：

(1)||a＋b≤||a＋||b.

(2)||a－b≤||a－c＋||c－b.

2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

||ax＋b≤c，||ax＋b≥c，||x－a＋||x－b≥c. 2017·全国卷Ⅰ，23

2016·全国卷Ⅰ，24

2016·全国卷Ⅲ，24

2016·江苏卷，21(D) 解绝对值不等式是本部分在高考中的重点考查内容，其中以解含有两个绝对值的不等式为主.

分值：5～10分

1．绝对值三角不等式

定理1：如果a，b是实数，那么||a＋b≤||a＋||b，当且仅当__ab≥0__时，等号成立．

定理2：如果a，b，c是实数，那么||a－b≤||a－c＋||c－b，当且仅当__(a－c)(c－b)≥0__时，等号成立．

2．含绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式||x＜a，||x＞a的解集

不等式 a＞0 a＝0 a＜0

||x＜a __{x|－a＜x＜a}__ __∅__ __∅__

||x＞a __{x|x＞a或x＜－a}__ __{x|x∈R且x≠0}__ __R__

(2)||ax＋b≤c(c＞0)和||ax＋b≥c(c＞0)型不等式的解法

①||ax＋b≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②||ax＋b≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

2020年高考复习

优秀知识点 1．思维辨析(在括内打“√”或打“×”)．

(1)对||a＋b≥||a－||b当且仅当a＞b＞0时等号成立．( × )

(2)对||a－||b≤||a－b当且仅当||a＞||b时等号成立．( × )

(3)对||a－b≤||a＋||b当且仅当ab≤0时等号成立．( √ )

(4)||ax＋b≤c的解等价于－c≤ax＋b≤c.( √ )