高考数学 第1课 绝对值不等式

- 1 - 第20炼 一元不等式的证明

利用函数性质与最值证明一元不等式是导数综合题常涉及的一类问题，考察学生构造函数选择函数的能力，体现了函数最值的一个作用——每一个函数的最值带来一个恒成立的不等式。此外所证明的不等式也有可能对后一问的解决提供帮助，处于承上启下的位置。

一、基础知识：

1、证明方法的理论基础

（1）若要证fxC(C为常数）恒成立，则只需证明：maxfxC，进而将不等式的证明转化为求函数的最值

（2）已知,fxgx的公共定义域为D，若minmaxfxgx，则,xDfxgx

证明：对任意的1xD，有11minmax,fxfxgxgx

由不等式的传递性可得：11minmaxfxfxgxgx，即,xDfxgx

2、证明一元不等式主要的方法有两个：

第一个方法是将含x的项或所有项均挪至不等号的一侧，将一侧的解析式构造为函数，通过分析函数的单调性得到最值，从而进行证明，其优点在于目的明确，构造方法简单，但对于移项后较复杂的解析式则很难分析出单调性

第二个方法是利用不等式性质对所证不等式进行等价变形，转化成为fxgx的形式，若能证明minmaxfxgx，即可得：fxgx，本方法的优点在于对x的项进行分割变形，可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式。但缺点是局限性较强，如果minfx与maxgx不满足minmaxfxgx，则无法证明fxgx。所以用此类方法解题的情况不多，但是在第一个方法失效的时候可以考虑尝试此法。

3、在构造函数时把握一个原则：以能够分析导函数的符号为准则。

4、若在证明0fx中，解析式fx可分解为几个因式的乘积，则可对每个因式的符号进行讨论，进而简化所构造函数的复杂度。

5、合理的利用换元简化所分析的解析式。

第1节 绝对值不等式

最新考纲 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.

知 识 梳 理

1.绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|a的解集

不等式 a>0 a＝0 a<0

|x|

|x|>a (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) R

(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；

(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

2.含有绝对值的不等式的性质

(1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.

(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.

诊 断 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.( )

(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.( )

(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.( )

(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.( )

(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.( )

答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√

2.不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是( )

高中数学学科

【高中数学】绝对值不等式

一、基础知识

1．绝对值三角不等式

定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，

等号成立．↓|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，

右边等号成立.

2．绝对值不等式的解法

(1)|x|a型不等式的解法不等式a>0a＝0a<0|x|

|x|>a{x|x>a或x<－a}{x|x∈R且x≠0}R

(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及体现数学思想

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

考点一绝对值不等式的解法

[典例](2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.高中数学学科

(1)画出y＝f(x)的图象；

(2)求不等式|f(x)|>1的解集．

[解](1)由题意得f(x)

＝x－4，x≤－1，

3x－2，－1

－x＋4，x>32，

故y＝f(x)的图象如图所示．

(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，

当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；

当f(x)＝－1时，可得x＝13或x＝5.

故f(x)>1的解集为{x|1

f(x)<－1的解集为x|x<13或x>5.

所以|f(x)|>1的解集为x|x<13或15.

[题组训练]1．解不等式|x＋1|＋|x－1|≤2.

解：当x<－1时，

原不等式可化为－x－1＋1－x≤2，

解得x≥－1，又因为x<－1，故无解；

百度文库，精选习题

试题习题，尽在百度 课时分层训练(六十九) 绝对值不等式

1．已知|2x－3|≤1的解集为[m，n]．

(1)求m＋n的值；

(2)若|x－a|＜m，求证：|x|＜|a|＋1.

[解] (1)由不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1，

得1≤x≤2， 3分

∴m＝1，n＝2，m＋n＝3. 5分

(2)证明：若|x－a|＜1，则|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|＜|a|＋1. 10分

2．若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，求实数a的值．

[解] 当a＝－1时，f(x)＝3|x＋1|≥0，不满足题意；

当a＜－1时，f(x)＝ －3x－1＋2a，x≤a，x－1－2a，a＜x≤－1，3x＋1－2a，x＞－1，

3分

f(x)min＝f(a)＝－3a－1＋2a＝5，

解得a＝－6； 5分

当a＞－1时，f(x)＝ －3x－1＋2a，x≤－1，－x＋1＋2a，－1＜x≤a，3x＋1－2a，x＞a，

7分

f(x)min＝f(a)＝－a＋1＋2a＝5，

解得a＝4. 9分

综上所述，实数a的值为－6或4. 10分

3．(2017·衡水中学调研)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.

(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；

(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．

[解] (1)当a＝－3时，

不等式f(x)≥3化为|x－3|＋|x－2|≥3.(*)

若x≤2时，由(*)式，得5－2x≥3，∴x≤1. 百度文库，精选习题

试题习题，尽在百度 若2＜x＜3时，由(*)式知，解集为∅.

若x≥3时，由(*)式，得2x－5≥3，∴x≥4.

综上可知，f(x)≥3的解集是{x|x≥4或x≤1}. 4分

(2)原不等式等价于|x－4|－|x－2|≥|x＋a|，(**)

当1≤x≤2时，(**)式化为4－x－(2－x)≥|x＋a|，