绝对值不等式中的含参问题
在高中数学中，绝对值不等式的求解及含参问题是高考中不等式选讲部分重要的考点，面对诸多的含参问题，我们来对这些类型的题目作以梳理。绝对值不等式的核心是去掉绝对值符号，将它转化为一般不等式加以解决。
一、绝对值的最值问题
1、当绝对值中x的系数相同时。
运用三角不等式：||a|−|b||≤|a±b|≤|a|+|b|
例1：求函数f(x)=|x−3|+|x−4|的最值
解：|x−3|+|x−4|≥|(x−3)−(x−4)|=1，函数f(x)的最小值为1。
例2：求函数f(x)=|2x−1|−|2x−3|的最值
解：||2x−1|−|2x−3||≤|(2x−1)−(2x−3)|=2，即得到−2≤|2x−1|−|2x−3|≤2，函数f(x)的最小值为−2，最大值为2。
2、当绝对值中x的系数不相同时。
①零点分段，②写出分段函数，③画草图（或直接由直线的上升与下降判断最高或最低处），在分界点处求最值。
例：求函数f(x)=|2x−2|+|x+2|的最值
解：当{x≤−2−(x+2)−(2x−2) 即{x≤−2−3x，
当{−2<𝑥<1(x+2)−(2x−2) 即{−2<𝑥<1−x+4，
当{x≥1(x+2)+(2x−2) 即{x≥13x。 则有f(x)={−3x, x≤−2−x+4, −2<𝑥<13x, x≥1
画出草图，或者由每一段的单调性判断直线的上升或者下降，图像从左往右先降，再降，后升，在x=1处，函数取得最小值3。
二、求绝对值中的参数范围
1、恒成立问题
∀x∈D,a<𝑓(x)恒成立，则a
∀x∈D,a>𝑓(x)恒成立，则a>fmax(x)
例1：|x−3|+|x−4|>𝑎对一切x∈R恒成立，求a的取值范围。
析：先求函数f(x)=|x−3|+|x−4|的最小值，再a
绝对值不等式的解法及应用
绝对值不等式在数学中具有重要的应用价值，在各个领域中都有广泛的运用。本文将对绝对值不等式的解法进行简要说明，并介绍其在实际问题中的应用。
一、绝对值不等式的解法
1. 求解一元绝对值不等式
对于形如 |x|0 ，我们可以将其分解为两个简单的不等式，即 x
例如，对于 |x|<3 这个不等式，我们可以拆分为 x<3 和 -x<3 ，再分别求解这两个不等式，得到解的范围为 -3
2. 求解含有绝对值不等式的方程
对于形如 |f(x)|=g(x) 的方程，可以通过以下步骤求解：
Step 1: 根据绝对值的定义，将绝对值拆解为两个条件，即 f(x)=g(x)
和 f(x)=-g(x) 。
Step 2: 分别求解这两个条件对应的方程，得到解的范围。
Step 3: 将 Step 2 中得到的解进行合并，得到最终的解集。
例如，对于 |x-2|=3 这个方程，我们可以拆解为 x-2=3 和 x-2=-3 ，然后求解这两个方程得到 x=5 和 x=-1 ，最终的解集为 {5, -1} 。
二、绝对值不等式的应用 绝对值不等式在实际问题中有广泛的应用，下面将介绍其中两个常见的应用领域。
1. 绝对值不等式在不等式求解中的应用
在不等式求解中，绝对值不等式是一种常见的工具。通过合理地运用绝对值不等式，可以简化不等式的求解过程，提高解题效率。下面通过一个例子来说明。
例题：求解不等式 |2x-1|<5 。
解：根据绝对值的定义，将不等式拆分为两个条件，即 2x-1<5 和
2x-1>-5 。
然后分别求解这两个条件对应的方程，得到 x<3 和 x>-2 。
最后将这两个解的范围进行合并，得到最终的解集为 -2
2. 绝对值不等式在数列问题中的应用
在数列问题中，绝对值不等式可以用来求解数列的范围，帮助我们找到数列的性质和规律。下面通过一个例子来说明。
例题：已知数列 {an} 满足 |an-3|<2 ，其中 n∈N* 。
1.2．2 绝对值不等式的解法
课标解读
1.理解绝对值的几何意义，掌握去掉绝对值的方法．
2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.
1．绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集
不等式
a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|－a＜x＜a} ∅ ∅
|x|＞a {x|x＞a，或x＜－a} {x∈R，且x≠0} R
2.|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：
(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
3．|x－a|＋|x－b|≥c与|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法：
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解；
(2)利用零点分段法求解；
(3)构造函数，利用函数的图像求解．
1．当c＜0时，|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c的解集分别是什么？
【提示】 c＜0时，|ax＋b|≤c的解集为∅.
|ax＋b|≥c的解集为R.
2．当|a－b|＞c时，不等式|x－a|＋|x－b|＞c的解集是什么？
【提示】 因为|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|a－b|.
∴当|a－b|＞c时，不等式|x－a|＋|x－b|＞c的解集为R.
事实上，对于一切x∈R，有|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|a－b|＞c.
|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c型不等
式的解法
解下列不等式：
|x2－x＋2|＞x2－3x－4.
【思路探究】 关键是去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式．
【自主解答】 ∵x2－x＋2＝(x－12)2＋74＞0，
∴|x2－x＋2|＝x2－x＋2.
原不等式等价于x2－x＋2＞x2－3x－4，
解之得x＞－3.
∴原不等式的解集为{x|x＞－3}．
1．(1)解绝对值不等式，等价转化(去绝对值)是解题的关键．(2)先挖掘性质，避免繁杂讨论，简化了运算．
第15卷总第84期中学理科园地
摘要：严密性是高中数学的一个重要特点，也是学生良好思维品质的一个重要方面.通过对有关绝对值三角不等式应用的例题分析，阐述审题、方案思考以及解题计算中思维严密性的重要性.关键词：思维；严密性；绝对值；三角不等式前言高中数学具有抽象性尧严密性和应用的广泛性等特点袁而其中的严密性是良好思维品质的一个重要方面袁表现为思维过程服从于严格的逻辑规则袁审题时严格尧准确袁思考解题方案时考虑周全袁计算准确无误[1].绝对值三角不等式是人教版选修4-5中的重要内容之一袁也是高考选考部分的内容.它是求解含有多个绝对值符号的函数最值问题的重要解题工具[2].如果a袁b都是实数袁则a+b臆a+b袁当且仅当ab逸0时袁等号成立曰把定理中的实数换成向量结论依旧成立袁它的几何意义是三角形两边之和大于第三边.学生对于其应用袁特别对等号的成立条件方面思维不严密袁极易发生错误.因此绝对值的三角不等式的应用袁特别在求存在性和最值问题袁以及证明一些不等式时袁更应该重视思维严密性.1审题严密性在解决问题过程中第一步是审题袁审题是否认真袁是否严密袁能否提取出有用且重要的信息对解题有着至关重要的作用袁请看例题1.揖例题1铱解不等式2x+1-x-2约x+3.这是一道含绝对值的不等式的求解问题遥先回顾绝对值三角不等式等号成立的条件(见表1).表1绝对值三角不等式成立条件
根据绝对值三角形不等式成立条件袁原不等式可等价于2x+1约x-2+x+3袁因为2x+1=渊x-2冤+渊x+3)袁所以x-2+x+3约x-2+x+3袁即渊x-2冤渊x+3)约0袁所以原不等式的解集为(-3袁2).这道题目的计算尧证明过程并不复杂袁拿下这道题目袁关键在于做到审题严密.通过审题袁依据绝对值三角形不等式袁可观察出2x+1=渊x-2冤+渊x+3)袁更重要的袁需要审查出其与绝对值的三角不等式的不同处要要要没有等号袁这样就可以想到用两式异号来解决袁否则用零点分区间来讨论就相对复杂了.由此可以看出有时进行严密的审题就容易找到解题的突破口.2思路严密性解题过程中思路的严密性很重要袁如果解含绝对值的不等式时从去绝对值的方面来考虑袁就要注意零点分区间的严密性袁做到区间的不重不漏袁如果选择的是含绝对值的三角不等式来解题时要注意等号是否成立.就比如这道2017年全国课标三卷的第23题.揖例题2铱已知函数f渊x冤=x+1-x-2援若不等式f渊x冤逸x2-x+m的解集非空袁求m的取值范围援初步思路院不等式f渊x冤逸x2-x+m的解集非空,等价于m臆f渊x冤-x2+x有解,m臆x+1-x-2-x2+x袁令g渊x冤=x+1-x-2-x2+x.错误思路一院g渊x冤=x+1-x-2-x2+x臆x+1-渊x-2冤-x2+x=-x2+x+3=-（x-12）2+134.
