中职高考数学一轮复习讲练测专题10-4 离散型随机变量的分布列(讲)(含详解)

第1页 共7页 限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级 基础夯实练

1．袋中有20个大小相同的球，其中标上0号的有10个，标上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．

(1)求X的分布列、期望和方差；

(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．

解：(1)X的分布列为

X 0 1 2 3 4

P 12 120 110 320 15

E(X)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.

D(X)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.

(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.

又E(Y)＝aE(X)＋b，

所以当a＝2时，

由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.

当a＝－2时，

由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.

所以 a＝2，b＝－2或 a＝－2，b＝4.

2．(·合肥市第一次教学质量检测)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．

第2页 共7页 方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为45.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1 000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元．

方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中将均可获得奖金400元．

(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；

(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？

解：(1)X的可能取值为0,500,1 000.

第1页 共8页 第七节 离散型随机变量及其分布列

[考纲传真] 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．

1．离散型随机变量的分布列

(1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量．

(2)离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来．这样的随机变量称为离散型随机变量．

(3)离散型随机变量的分布列

设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…，随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，…)，记作：P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…)．

或把上式列成表

X＝ai a1 a2 …

P(X＝ai) p1 p2 …

称为离散型随机变量X的分布列．

(4)离散型随机变量分布列的性质

①pi>0(i＝1,2，…)；②p1＋p2＋…＋pi＝1.

2．超几何分布

如果一个随机变量的分布列由P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN(其中k为非负整数，M≤N，n≤N)确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.( )

第2页 共8页 (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )

(3)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( )

(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．( )

[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√

2．(教材改编)抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的基本事件是( )

A．一颗是3点，一颗是1点

B．两颗都是2点

C．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点

D．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点

第4讲 离散型随机变量的分布列

【2014年高考会这样考】

1．考查离散型随机变量及其分布列的概念理解；

2．两点分布和超几何分布的简单应用．

【复习指导】

复习时，要会求与现实生活有密切联系的离散型随机变量的分布列，掌握两点分布与超几何分布列，并会应用．

基础梳理

1．离散型随机变量的分布列

(1)随机变量

如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．

(2)离散型随机变量

对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．

(3)分布列

设离散型随机变量X可能取得值为x1，x2，…，xi，…xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率为P(X＝xi)＝pi，则称表 X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．

(4)分布列的两个性质

①pi≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝_1_.

2．两点分布

如果随机变量X的分布列为

X 1 0

P p q

其中0

3．超几何分布列

在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，则称分布列 X 0 1 … m

P …

为超几何分布列．

一类表格

统计就是通过采集数据，用图表或其他方法去处理数据，利用一些重要的特征数信息进行评估并做出决策，而离散型随机变量的分布列就是进行数据处理的一种表格．第一行数据是随机变量的取值，把试验的所有结果进行分类，分为若干个事件，随机变量的取值，就是这些事件的代码；第二行数据是第一行数据代表事件的概率，利用离散型随机变量的分布列，很容易求出其期望和方差等特征值．

两条性质

1 【与名师对话】2015高考数学一轮复习 11.4 离散型随机变量及分布列课时作业 理（含解析）新人教A版

一、选择题

1．带活动门的小盒子里有采自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，现随机地放出5只做实验，X表示放出的蜂中工蜂的只数，则X＝2时的概率是( )

A.C120C410C530 B.C220C310C530 C.C320C210C530 D.C420C110C530

解析：X服从超几何分布，P(X＝2)＝C220C310C530.

答案：B

2．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)的值为( )

A．1 B.12 C.13 D.15

解析：设X的分布列为：

X 0 1

P p 2p

即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设失败的概率为p，成功的概率为2p.由p＋2p＝1，则p＝13.

答案：C

3．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为( )

A.1220 B.2755 C.27220 D.2155

解析：X＝4表示取2个旧的，1个新的，

∴P(X＝4)＝C23·C19C312＝27220.

答案：C

4．随机变量X的概率分布列为P(X＝n)＝ann＋1(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P12

A.23 B.34 C.45 D.56 2 解析：∵P(X＝n)＝ann＋1(n＝1,2,3,4)，

∴a2＋a6＋a12＋a20＝1，∴a＝54，

∴P12

＝54×12＋54×16＝56.

答案：D

二、填空题

5．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x，y”代替)，其表如下：

X 1 2 3 4 5 6

P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20

§10.5 离散型随机变量的分布列、均值与方差 考试要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.2.了解超几何分布，并能进行简单应用.3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题．

1．离散型随机变量的分布列

(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．

(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质：

①pi≥0，i＝1,2，…，n；

②i＝1npi＝1.

离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．

2．两点分布

如果随机变量X的分布列为

X 0 1

P 1－p p

其中0

其中p＝P(X＝1)，称为成功概率．

3．离散型随机变量的均值与方差

一般地，若离散型随机变量X的分布列为

X x1 x2 … xi … xn P

p1

p2

… pi … pn

(1)均值

称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(2)方差

称D(X)＝i＝1n (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根DX为随机变量X的标准差．

4．均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

(2)D(aX＋b)＝a2D(X).(a，b为常数)

5．超几何分布

1 / 7 专题11.5 离散型随机变量的分布列

1．（2020·全国高一课时练习）拋掷2颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验结果是

( )

A．2颗都是4点

B．1颗是1点，另1颗是3点

C．2颗都是2点

D．1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点

2．（2020·广东高二期末）若随机变量X的分布列为

X

1

2

3

P 0.2 a 3a

则a的值为（ ）

A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4

3．（2019·沙雅县第二中学高二期中（理））已知随机变量的分布列如下表：则的值为（ ）

A． B． C． D．

4．（2020·全国高二单元测试）若离散型随机变量X的分布列为：

X 0 1

P 29cc 38c

则常数c的值为（ ）

A．23或13 B．23 C．13 D．1

5．（2019·宁夏高二期末（理））已知离散型随机变量X的概率分布列如下：

2 / 7 X

0

1

2

3

P 0.2 0.3 0.4 c

则实数c等于( )

A．0.5 B．0.24 C．0.1 D．0.76

6．（2019·安徽亳州二中高二期末（理））已知离散型随机变量X的分布列如图，则常数c为（ ）

X 0 1

P 29cc 38c

A．13 B．23 C．13或23 D．14

7.（2019·山东高二期末）设随机变量X的分布列1()2kPXka（其中123k，，），则a___．

8. 小王为了锻炼身体,每天坚持“健步走”, 并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图及相应的消耗能量数据表如下.

(1)求小王这8天 “健步走”步数的平均数;

(2)从步数为16千步,17千步,18千步的几天中任选2天,设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X,求X的分布列.

9．（2019·四川成都外国语学校高二月考（理））在10件产品中,有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件．求：

第九节 离散型随机变量的均值与方差

1．离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为P(ξ＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n

(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．

(2)方差：称D(X)＝i＝1n (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，其算术平方根D（X）为随机变量X的标准差．

2．均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．

(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．

3．两点分布与二项分布的均值、方差

均值 方差

变量X听从两点分布 E(X)＝p D(X)＝p(1－p) X～B(n，p) E(X)＝np D(X)＝np(1－p)

1．(质疑夯基)推断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．( )

(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．( )

(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．( )

(4)在篮球竞赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，假如某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是0.7.( )

答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×

2．已知X的分布列为( )

X －1 0 1

P 12 13 16

设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( )

A.73 B．4

C．－1 D．1

解析：E(X)＝－12＋16＝－13，

E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝73.

答案：A

3．已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则a的值为( )

X

4

a

9

P 0.5 0.1 b

A.5 B．6

第8节 离散型随机变量的均值与方差

最新考纲 了解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念

IS础诊断

知识梳理

i. 离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

X X1 X2 … Xi … Xn

P P1 P2 … Pi … pn

(1) 均值

称E (X)= X]p]+ X?02+…+ X]pi+…+ XnPn为随机变量X的均值或数学期望，它

反映了离散型随机变量取值的平均水平.

(2) 方差

n

称D (X)=£_(xi — E (X)) 2p丄为随机变量X的方差，它刻画了随机变量 X与

i = 1

其均值E (X)的平均偏离程度，其算术平方根 D (X)为随机变量X的标准差.

2. 均值与方差的性质

(1) E (aX+ b)= aE (X)+ b.

(2) D (aX+ b)= a2D (X) (a, b 为常数).

3. 两点分布与二项分布的均值、方差

(1) 若X服从两点分布，则E (X)= p, D (X)= p (1 — p).

(2) 若 X〜B (n, p)，则 E (X)= np，D (X)= np (1 — p).

[常用结论与微点提醒]

1. 已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数丫= aX+ b的均值、方差和标 准差，可用均值、方差的性质求解；

2. 如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、 方口归敦材，夯实:基础 差公式求解.

诊断自测

1•思考辨析（在括号内打“/或“ X”）

（1） 期望值就是算术平均数，与概率无关•（ ）

（2） 随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量 .（ ）

（3） 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度， 方差

或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.（ ）

（4） 均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事

（ ） 解析均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散 型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故（1）（4）均 不正确.

离散型随机变量及其分布列

[考试要求] 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.

2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．

1．随机变量的有关概念

(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．

(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．

2．离散型随机变量分布列的概念及性质

(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．

(2)分布列的性质

①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；

②∑ni＝1pi＝1.

3．常见离散型随机变量的分布列

(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，则其分布列为，其中p＝P(X＝1)称为成功概率．

(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布． X

0 1 … m

P C0MCn－0N－MCnN C1MCn－1N－MCnN … CmMCn－mN－MCnN

[常用结论]

1．随机变量的线性关系

若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．

2．分布列性质的两个作用

(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1. ( )

第6讲 离散型随机变量的分布列

A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是 ( )．

.X取每个可能值的概率是非负实数

.X取所有可能值的概率之和为1

.X取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和

.X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和

解析 由离散型随机变量的性质，得pi≥0，i＝1,2，…n，且i＝1npi＝1.

答案 D

2．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝i2a(i＝1,2,3)，则P(X＝2)等于 ( )．

A.19 B.16 C.13 D.14

解析 ∵12a＋22a＋32a＝1，∴a＝3，P(X＝2)＝22×3＝13.

答案 C

3．若随机变量X的概率分布列为

X x1 x2

P p1 p2

且p1＝12p2，则p1等于 ( )．

A.12

B.13 C.14 D.16

解析 由p1＋p2＝1且p2＝2p1可解得p1＝13.

答案 B 4．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝12k，k＝1,2，…，则P(2

A.316 B.14 C.116 D.516

解析 P(2

答案 A

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．(2012·上海虹口3月模拟)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E(ξ)＝6.3，则a＝________.

ξ 4 a 9

P 0.5 0.1 b

解析 由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4.∴E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3.∴a＝7.

答案 7

6．(2013·泉州模拟)在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________．

§9.5 离散型随机变量的分布列和数字特征 考试要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征．

1．离散型随机变量

一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．

2．离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．

3．离散型随机变量的分布列的性质：

①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.

4．离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

(1)均值

称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝i＝1nxipi为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(2)方差

称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝i＝1n (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称DX为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．

5．均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． 微思考

1．某电子元件的使用寿命x1，掷一枚骰子，正面向上的点数x2，思考x1，x2可作为离散型随机变量吗？

提示 x1不可作为离散型随机变量，x2可作为离散型随机变量．

2．期望和算术平均数有何区别？

提示 期望刻画了随机变量取值的平均水平；而算术平均数是针对若干个已知常数来说的．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

1 第60讲 离散型随机变量及其分布列

[解密考纲]离散型随机变量及其分布列在高考中一般与排列、组合及古典概型、几何概型、二项分布及超几何分布相结合，以实际问题为背景呈现在三种题型中，难度中等或较大．

一、选择题

1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝( C )

A．0 B．12

C．13 D．23

解析 设X的分布列为：

X 0 1

P p 2p

即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p，∴由p＋2p＝1，得p＝13，故选C．

2．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于n－m2mA3n的是( D )

A．P(X＝3) B．P(X≥2)

C．P(X≤3) D．P(X＝2)

解析 由超几何分布知P(X＝2)＝n－m2mA3n.

3．设X是一个离散型随机变量，其分布列为

X －1 0

1

P 13 2－3q q2

则q＝( C )

A．1

B．32±336

C．32－336 D．32＋336

解析 由分布列的性质知 2－3q≥0，q2≥0，13＋2－3q＋q2＝1，∴q＝32－336. 2 4．随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝ann＋(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P12

A．23 B．34

C．45 D．56

解析 ∵P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝a2＋a6＋a12＋a20＝1，∴a＝54，∴P12

5．若随机变量X的分布列为

X －2 －1 0 1 2 3

P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1

则当P(X

A．(－∞，2] B．[1,2]

C．(1,2] D．(1,2)

解析 由随机变量X的分布列知：P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X

两点分布，二项分布及超几何分布

【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）

主干知识归纳

1．两点分布：若随机变量X的分布列是

X 0 1

P 1－p p

其中0

2．超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有ξ件次品，则事件{ξ＝k}发生的概率为P(ξ＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且m≤N，M≤N，n，M，N∈N*.称分布列

ξ 0 1 … m

P C0MCn－0N－MCnN C1MCn－1N－MCnN … CmMCn－mN－MCnN

为超几何分布．如果随机变量ξ的分布列为超几何分布列，则称随机变量ξ服从超几何分布．

3.二项分布

(1)进行n次试验，如果满足下列条件：

①每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；

② 每次试 验“成功”的 概 率 均为p，“失败”的概率为1－p；

③各次试验是相互独立的．

用X表示这n次试验中成功的次数，则P(X＝k)＝ .

若一个随机变量X的分布列如上所述，则称X服从参数为n，p的二项分布，简记为 .

(2)二项分布的期望与方差．

若随机变量X～B(n，p)，则EX＝ ，DX＝ .

方法规律总结

1.求超几何分布的分布列、期望的步骤：

第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；

第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；

第三步，用表格的形式列出分布列；

第四步，根据定义求出期望

2.二项分布的分布列问题一般遵循以下三个步骤：

第一步，先判断随机变量是否服从二项分布；

第二步，若服从二项分布，一般是通过古典概型或相互独立事件的概率公式计算出试验中“成功”“不成功”的概率分别是多少；

离散型随机变量的均值与方差、正态分布

一、基础知识

1.均值

一般地，若离散型随机变量X的分布列为：

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

1期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.,2EX是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而EX是不变的，它描述X取值的平均状态.,3EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接给出了EX的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加.

2.方差

设离散型随机变量X的分布列为：

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度.而D(X)＝(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根DX为随机变量X的标准差.

1随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.DX越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散.反之，DX越小，X的取值越集中在EX附近.,2方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负.

3.两个特殊分布的期望与方差

分布 期望 方差

两点分布 E(X)＝p D(X)＝p(1－p)

二项分布 E(X)＝np D(X)＝np(1－p)

4.正态分布

(1)正态曲线的特点

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；

高考数学总复习考点知识专题讲解

专题11离散型随机变量及其分布列

知识点一 随机变量的概念、表示及特征

1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)

与之对应，我们称X为随机变量．

2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的

取值，如x，y，z.

3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特

征：

(1)取值依赖于样本点．

(2)所有可能取值是明确的．

知识点二 离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量．

判断离散型随机变量的方法

(1)明确随机试验的所有可能结果；

(2)将随机试验的结果数量化；

(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离

散型随机变量，否则不是．

【例1】（（2023•丰台区期末）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为

()

①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数

1X；②一个沿直线

2yx进行随机运动的质点离坐标原点的距离

2X；③某同学射击3次，命中的次数

3X；④某电子元件的寿

命

4X；

A．①②B．③④C．①③D．②④

【例2】（2023•从化区期中）袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个

号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量

X，

则

X所有可能取值的个数是

()

A．25B．10C．9D．5

知识点三 离散型随机变量的分布列及其性质

1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x

1，x

2，…，x

n，我们称X取每一

个值x

i的概率P(X＝x

i)＝p

i，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列．

2．分布列的性质

(1)p

i≥0，i＝1,2，…，n.

(2)p

1＋p

2＋…＋p

n＝1.

分布列的性质及其应用

(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值

第九章 第七节 离散型随机变量及分布列

一、选择题

1．某射手射击所得环数X的分布列为：

X 4 5 6 7 8 9 10

P 0.02 0.04 0.06 0.09

0.28 0.29 0.22

则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( )

A．0.28

B．0.88

C．0.79 D．0.51

2．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C47C68C1015的是( )

A．P(X＝2) B．P(X≤2)

C．P(X＝4) D．P(X≤4)

3．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为( )

A.1220 B.2755

C.27220 D.2125

4．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，若P(X＜4)＝0.3，则( )

A．n＝3 B．n＝4

C．n＝9

D．n＝10

5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：

X －1 0

1

P 0.5 1－2q q2

则q等于( )

A．1 B．1±22

C．1－22 D．1＋22

6．随机变量X的概率分布规律为P(X＝k)＝ckk＋，k＝1,2,3,4，其中c是常数，则P(12

A.23 B.34

C.45 D.56

二、填空题

7．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．

8．设随机变量X的概率分布列如下表所示：