X －2 －1 0 1 1 P 14 5 14 2 2 7 7
1 5 2 2 3 EX＝(－2)×14＋(－1)×14＋0×7＋1×7＝－14.
• 【归纳提升】 (1)求解离散型随机变量X的分布列的步骤： • ①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率； ③写出X的分布列． • 求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率， 在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识． • (2)求解离散型随机变量X的均值与方差时，只要在求解分布列的前 提下，根据均值、方差的定义求E(X)，D(X)即可．
X 0
－
1
－
„m
n m Cm C N－M „ M n CN
－
n 0 1 n 1 C0 · C C － M N M MCN－M P n Cn C N N
• 为超几何分布列．
• 对点演练 • 在4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所 选三人中女生人数，求X的概率分布列． • 答案：
• • •
1．离散型随机变量的分布列 (1)随机变量 如果随机试验的结果可以用一个 来表示，那么这样的变 量叫做随机变量，随机变量常用字母X ，Y，ξ，η等表示． 变量
• 对点演练 • 抛掷均匀硬币一次，随机变量为
•(
• A．出现正面的次数 • B．出现正面或反面的次数 • C．掷硬币的次数 • D．出现正、反面次数之和 • 答案：A
q2＋1－2q＋1＝1 2 解析：由分布列的性质得：1－2q≥0 2 q ≥0 2 ∴q＝1－ 2 . 答案：C
，
• •
2．两点分布 如果随机变量X的分布列为
•
X 1 0 其中0<p<1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p P ． p q 的
两点分布
对点演练 设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 X 去描述 1 次 试验的成功次数，则 P(X＝0)等于 ( A．0 1 C.3 1 B.2 2 D.3 )
• •
题型二
随机变量的分布列的求法 (2013· 江西)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团 还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2， A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得 到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱 团，否则就参加学校排球队．
解析：P(X＝1)＝2P(X＝0)，且 P(X＝1)＋P(X＝0)＝1. 1 ∴P(X＝0)＝3. 答案：C
3．超几何分布列 在含有 M 件次品数的 N 件产品中，任取 n 件，其中含有 X 件次
k n －k CM CN－M 品数，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝ Cn (k＝ N
0,1,2，„，m)，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n、M、 N∈N*，则称分布列
答案： Y P 1 1 5 2 1 5 3 2 5 4 1 5
• (4)分布列的两个性质 • ①pi≥ ，i＝1,2，„，n；②p1＋p2＋„＋pn＝ .
0
1
• 对点演练 • 设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X P
－1 1 2
0 1－2q
1 q2
则 q 等于 ( A．1 2 C．1－ 2 2 B．1± 2 2 D．1＋ 2 )
解：(1)由于 1 件产品的利润为 ξ，则 ξ 的所有可能取值为 6,2,1， 126 50 －2，由题意知 P(ξ＝6)＝200＝0.63，P(ξ＝2)＝200＝0.25，P(ξ＝ 20 4 1)＝ ＝0.1，P(ξ＝－2)＝ ＝0.02. 200 200 故 ξ 的分布列为
ξ P
6 2 1 －2 0.63 0.25 0.1 0.02
• (3)分布列 • 设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，„，xi，„xn，X取每一 个值xi(i＝1,2，„，n)的概率为P(X＝xi)＝ ，则称表
pi
X x1 x2 „ xi „ • 为随机变量 X的概率分布列，简称 X的分布列．
P
p1
p2
„
pi
„
xn pn
•
对点演练
• 一实验箱中装有标号为1,2,3,3,4的5只白鼠，若从中任取1只，记 取到的白鼠的标号为Y，则随机变量Y的分布列是________
)
• (2)离散型随机变量 • 对于随机变量可能取的值，可以按一定 机变量叫做离散型随机变量．
次序
一一列出，这样的随
• 对点演练 • 袋中有大小相同的6个钢球，分别标有1,2,3,4,5,6六个号码，任意抽 取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值的个数为 •( ) • A．36 B．12 • C．9 D．8 • 解析：X的所有可能取值为3,4,5,6,7,8,9,10,11共9个． • 答案：C
•
(
)
•
则常数c＝________，P(X＝1)＝________. P 9c2－c 3－ 8c
X
0
1
解析：由离散型随机变量分布列的性质可知： 9c2－c＋3－8c＝1 2 0≤9c －c≤1 0≤3－8c≤1 1 ，解得 c＝3.
1 1 P(X＝1)＝3－8× ＝ . 3 3 1 1 答案： 3 3
P a
1 由 a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得 a＝15.
3 3 4 Pξ≥5＝Pξ＝5＋Pξ＝5＋P(ξ＝1)
4 ＝3a＋4a＋5a＝12a＝5
3 2 4 ξ ≥ ξ ≤ 或 ＝ 1 － P ＝ 1 － 3 a ＝ . 5 5 5
•Байду номын сангаас•
• •
满分指导：离散型随机变量分布列的规范解答 【典例】 (2013·天津)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色 卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4. 从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)． (1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率； (2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机 变量X的分布列和数学期望．
• •
题型三 超几何分布问题 有10件产品，其中3件次品，7件正品，现从中抽取5件， 求抽得次品数X的分布列．
【解】
X 的所有可能取值为 0,1,2,3，X＝0 表示取出的 5 件产品
全是正品，
0 5 C3 C7 21 1 P(X＝0)＝ 5 ＝ ＝ ； C10 252 12
X＝1 表示取出的 5 件产品有 1 件次品 4 件正品，
1 2 C3 5 C 45 6 3C6 P(ξ＝0)＝C3＝21，P(ξ＝1)＝ C3 ＝84； 9 9
1 C2 3 C3 1 3C6 3 P(ξ＝2)＝ C3 ＝14，P(ξ＝3)＝C3＝84. 9 9
ξ 的分布列为：
ξ 0 1 2 3 5 45 3 1 P 21 84 14 84
5 45 3 1 ξ 的数学期望 Eξ＝0×21＋1×84＋2×14＋3×84＝1.
随机变量的分布列的性质
k Pξ＝5＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则常
设随机变量 ξ 的分布列为 数a
3 的值为________，Pξ≥5＝________.
【解析】 随机变量 ξ 的分布列为 ξ 1 2 3 4 1 5 5 5 5 2 3 4 5 a a a a
• (2)1件产品的平均利润为E(ξ)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－ 2)×0.02＝4.34(万元)． • (3)设技术革新后三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(ξ)＝ 6×0.7＋2×(1－0.7－x－0.01)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x. • 由E(ξ)≥4.73，得4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为 3%.
X 0 1 2 1 3 1 P 5 5 5
• •
1．随机变量的本质 (1)所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系， 这与函数概念本质上是相同的，只不过在函数概念中，函数f(x) 的自变量是实数x，而在随机变量的概念中，随机变量X的自变量 是 ．
试验结果
• (2)随机变量具有如下特点：其一，在试验之前不能断言随机变量取 什么值，即 ；其二，在大量重复试验中能按一定统计 规律取实数值的变量，即 ． 具有随机性
3 C7 7 解：(1)P＝1－ 3＝ . C9 12
(2)记“取出 1 个红色球，2 个白色球”为事件 B，“取出 2 个红
2 C1 2C3 色球，1 个黑色球”为事件 C，则 P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝ C3 ＋ 9 1 C2 5 2C4 ＝42. C3 9
(3)ξ 可能的取值为 0,1,2,3.
1 4 C3 C7 105 5 P(X＝1)＝ C5 ＝252＝12； 10
X＝2 表示取出的 5 件产品有 2 件次品 3 件正品，
2 3 C3 C7 105 5 P(X＝2)＝ C5 ＝252＝12； 10
X＝3 表示取出的 5 件产品有 3 件次品 2 件正品，
3 2 C3 C7 21 1 P(X＝3)＝ 5 ＝ ＝ ； C10 252 12
1 4 【答案】 15 5
• 【归纳提升】 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此 时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数． • (2)求随机变量在某个范围内的取值概率时，根据分布列，将所求范 围内随机变量对应的取值概率相加即可，其依据是互斥事件的概率 加法公式．
• •
针对训练 1．若离散型随机变量X的分布列为
第4课时
离散型随机变量及其分布列(理科)
• • •
(一)考纲点击 1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解 分布列对于刻画随机现象的重要性． 2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．
