高考数学一轮复习讲义11.4讲 离散型随机变量及其分布列

专题10.4 离散型随机变量的分布列【考纲要求】1. 了解离散型随机变量； 2．离散型随机变量的分布列． 3. 独立重复试验． 【考向预测】1. 独立重复试验与二项分布．2. 离散型随机变量的分布列．【知识清单】1. 离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为_随机变量__，所有取值可以一一列出的随机变量，称为_离散型__随机变量．2.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表称为离散型随机变量X 的_概率分布列__(2)离散型随机变量的分布列的性质①p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；②∑ni ＝1p i ＝_p 1＋p 2＋…＋p n __＝1. 3.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，其分布列为其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率．若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )．(2)超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N 、M ≤N ，n 、M 、N ∈N ＋，称随机变量X 服从超几何分布.4.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，若用A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝_P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n )__.(2)二项分布：在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )． 若X ～B (n ，p )，则E (X )＝_np __，D (X )＝_np (1－p )__.【考点分类剖析】考点一 独立重复试验的概率例1. 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)． (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．【方法归纳】 1.运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n 次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解．2．解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验． 3．在解题时，还要注意“正难则反”的思想的运用，即利用对立事件来求其概率．【变式探究】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果须用分数作答)(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率． 考点二 离散型随机变量的分布列-二项分布例.在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为12．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的考生人数为X ，求X 的分布列．【方法归纳】 解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n 次．【变式探究】一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；③从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627．其中所有正确结论的序号是__ __． 考点三 二项分布的应用例.高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为13，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验．(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子)，求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率；(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子)，如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验，否则将继续进行下次试验，直到种子发芽成功为止，但试验的次数最多不超过5次．求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布列．【方法归纳】 1.二项分布的简单应用是求n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n ，p →写出二项分布的分布列→将k 值代入求解概率．2．利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．【变式探究】1.在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23．(1)求油罐被引爆的概率；(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X ，求X 不小于4的概率．2.甲、乙两位同学参加诗词大会，设甲、乙两人每道题答对的概率分别为23和34.假定甲、乙两位同学答题情况互不影响，且每人各次答题情况相互独立．①用X表示甲同学连续三次答题中答对的次数，求随机变量X的分布列和数学期望；②设M为事件“甲、乙两人分别连续答题三次，甲同学答对的次数比乙同学答对的次数恰好多2”，求事件M发生的概率．考点四离散型随机变量的分布列-超几何分布例1袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的分布列；【方法归纳】求离散型随机变量的分布列应注意的问题(1)正确求出分布列的前提是必须先准确写出随机变量的所有可能取值，再依古典概型求出每一个可能取值的概率．至于某一范围内取值的概率，应等于它取这个范围内各个值的概率之和．(2)在求解过程中注重知识间的融合，常常会用到排列组合、古典概率及互斥事件、对立事件的概率等知识．【变式探究】1.从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢．(1)以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列；(2)求出赢钱(即X>0时)的概率．2.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．专题10.4 离散型随机变量的分布列【考纲要求】1. 了解离散型随机变量； 2．离散型随机变量的分布列． 3. 独立重复试验． 【考向预测】1. 独立重复试验与二项分布．2. 离散型随机变量的分布列．【知识清单】1. 离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为_随机变量__，所有取值可以一一列出的随机变量，称为_离散型__随机变量．2.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表称为离散型随机变量X 的_概率分布列__(2)离散型随机变量的分布列的性质①p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；②∑ni ＝1p i ＝_p 1＋p 2＋…＋p n __＝1. 3.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，其分布列为其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率．若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )．(2)超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N 、M ≤N ，n 、M 、N ∈N ＋，称随机变量X 服从超几何分布.4.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，若用A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝_P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n )__.(2)二项分布：在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )． 若X ～B (n ，p )，则E (X )＝_np __，D (X )＝_np (1－p )__.【考点分类剖析】考点一 独立重复试验的概率例1. 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)． (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率． [解析] (1)记预报一次准确为事件A ，则P (A )＝0.8． 5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P ＝C 25×0.82×0.23＝0.0512≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05．(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P ＝C 05×(0.2)5＋C 15×0.8×0.24＝0.00672≈0.01．所以所求概率为1－P ＝1－0.01＝0.99．所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99． (3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．所以概率为P ＝C 14×0.8×0.23×0.8＝0.02048≈0.02，所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02．【方法归纳】 1.运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n 次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解．2．解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验．3．在解题时，还要注意“正难则反”的思想的运用，即利用对立事件来求其概率．【变式探究】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果须用分数作答)(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．[解析] (1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－(23)3＝1927．(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 22×(23)2＝49，P (B 2)＝C 12×(34)1×(1－34)＝38，由于甲、乙射击相互独立，故P (A 2B 2)＝49×38＝16． 考点二 离散型随机变量的分布列-二项分布例.在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为12．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的考生人数为X ，求X 的分布列．[解析] (1)设事件A 表示“甲选做第14题”，事件B 表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB ∪A B ”，且事件A ，B 相互独立．所以P (AB ∪A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝12×12＋(1－12)×(1－12)＝12． (2)随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4.且X ～B (4，12)．所以P (X ＝k )＝C k 4(12)k (1－12)4－k＝C k 4(12)4(k ＝0,1,2,3,4)． 所以变量X 的分布列为：【方法归纳】 解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n 次．【变式探究】一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；③从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627．其中所有正确结论的序号是__①③__．[解析] ①恰有一个白球的概率P ＝C 12C 24C 36＝35，故①正确；②设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}．则P (A )＝23，P (A ∩B )＝4×36×5＝25，∴P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝35，故②错；③每次取到红球的概率P ＝23，所以至少有一次取到红球的概率为 1－(1－23)3＝2627，故③正确．考点三 二项分布的应用例.高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为13，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验．(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子)，求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率；(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子)，如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验，否则将继续进行下次试验，直到种子发芽成功为止，但试验的次数最多不超过5次．求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布列．[解析] (1)至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功．设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X ，则P (X ＝3)＝C 35×(13)3×(23)2＝40243，P (X ＝4)＝C 45×(13)4×23＝10243， P (X ＝5)＝C 55×(13)5×(23)0＝1243．所以至少有3次发芽成功的概率P ＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝40243＋10243＋1243＝51243＝1781．(2)随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,5． P (ξ＝1)＝13，P (ξ＝2)＝23×13＝29，P (ξ＝3)＝(23)2×13＝427，P (ξ＝4)＝(23)3×13＝881，P (ξ＝5)＝(23)4×1＝1681．所以ξ的分布列为：【方法归纳】 1.二项分布的简单应用是求n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n ，p →写出二项分布的分布列→将k 值代入求解概率．2．利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．【变式探究】1.在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23．(1)求油罐被引爆的概率；(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X ，求X 不小于4的概率．[解析] (1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：射击5次只击中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为C 15·23·(13)4＋(13)5， 所以所求的概率为1－[C 15·23·(13)4＋(13)5]＝232243． (2)当X ＝4时记为事件A ， 则P (A )＝C 13·23·(13)2·23＝427．当X ＝5时，意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件B ． 则P (B )＝C 14·23·(13)3＋(13)4＝19， ∴射击次数不小于4的概率为427＋19＝727．2.甲、乙两位同学参加诗词大会，设甲、乙两人每道题答对的概率分别为23和34.假定甲、乙两位同学答题情况互不影响，且每人各次答题情况相互独立．①用X 表示甲同学连续三次答题中答对的次数，求随机变量X 的分布列和数学期望；②设M 为事件“甲、乙两人分别连续答题三次，甲同学答对的次数比乙同学答对的次数恰好多2”，求事件M 发生的概率．[解析] ①X 的所有可能取值为0,1,2,3， 则P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫133＝127； P (X ＝1)＝C 13·23×⎝⎛⎭⎫132＝29； P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232×13＝49； P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫233＝827. ∴随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2或E (ξ)＝np ＝23.②设Y 为乙连续3次答题中答对的次数， 由题意知Y ～B ⎝⎛⎭⎫3，34， P (Y ＝0)＝⎝⎛⎭⎫143＝164，P (Y ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫341⎝⎛⎭⎫142＝964，所以P (M )＝P (X ＝3且Y ＝1)＋P (X ＝2且Y ＝0) ＝827×964＋49×164＝7144. 即事件M 发生的概率为7144.考点四 离散型随机变量的分布列-超几何分布例1袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X 的分布列；[解析] (1)解法一：记“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23． 解法二：记“一次取出的3个小球上的数字互不相同”为事件A ，“一次取出的3个小球上的数字中有两个数字相同”为事件B ，事件A 和事件B 是对立事件．因为P (B )＝C 15C 22C 18C 310＝13，所以P (A )＝1－P (B )＝1－13＝23．(2)由题意，X 所有可能的取值为2,3,4,5．P (X ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130；P (X ＝3)＝C 24C 12＋C 14C 22C 310＝215； P (X ＝4)＝C 26C 12＋C 16C 22C 310＝310；P (X ＝5)＝C 28C 12＋C 18C 22C 310＝815． 所以随机变量X 的概率分布列为：【方法归纳】 求离散型随机变量的分布列应注意的问题(1)正确求出分布列的前提是必须先准确写出随机变量的所有可能取值，再依古典概型求出每一个可能取值的概率．至于某一范围内取值的概率，应等于它取这个范围内各个值的概率之和．(2)在求解过程中注重知识间的融合，常常会用到排列组合、古典概率及互斥事件、对立事件的概率等知识．【变式探究】1.从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢．(1)以X 表示赢得的钱数，随机变量X 可以取哪些值？求X 的分布列； (2)求出赢钱(即X >0时)的概率．[解析] (1)从箱中取两个球的情形有以下6种：{2个白球}，{1个白球，1个黄球}，{1个白球，1个黑球}，{2个黄球}，{1个黑球，1个黄球}，{2个黑球}．当取到2个白球时，随机变量X ＝－2；当取到1个白球，1个黄球时，随机变量X ＝－1； 当取到1个白球，1个黑球时，随机变量X ＝1； 当取到2个黄球时，随机变量X ＝0；当取到1个黑球，1个黄球时，随机变量X ＝2；当取到2个黑球时，随机变量X ＝4．所以随机变量X 的可能取值为－2，－1,0,1,2,4． P (X ＝－2)＝C 26C 212＝522，P (X ＝－1)＝C 16C 12C 212＝211，P (X ＝0)＝C 22C 212＝166，P (X ＝1)＝C 16C 14C 212＝411，P (X ＝2)＝C 14C 12C 212＝433，P (X ＝4)＝C 24C 212＝111．所以X 的分布列如下：(2)P (X >0)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝411＋433＋111＝1933．所以赢钱的概率为1933．2.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列．[解析] (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ， 则P (M )＝C 48C 510＝518.(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142.因此X 的分布列为。

答案：D
离散型随机变量分布列
[例2] 袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设 取到1个红球得2分，取到1个黑球得1分，从袋中任取4个球．
(1)求得分X的分布列； (2)求得分大于6分的概率．
[自主解答] (1)从袋中随机取 4 个球的情况为 1 红 3 黑， 2 红 2 黑，3 红 1 黑，4 红四种情况，分别得分为 5 分，6 分， 7 分，8 分，故 X 的可能取值为 5,6,7,8.
[易误辨析] (1)本题由于离散型随机变量ξ的取值情况较多，极易 发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误． (2)此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变 量的所有取值，但对某个取值考虑不全而导致解题错 误． (3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的 概率和是否为1.
1－2q≥0， q2≥0， 12＋1－2q＋q2＝1，
解得
q＝1－
2 2.
或由 1－2q≥0⇒q≤12，可排除 A、B、C.
(2)由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解
得m＝0.3.首先列表为：
ξ
01234
2ξ＋1 1 3 5 7 9
|ξ－1| 1 0 1 2 3
离散型随机变量分布列的性质
[例1] (1)设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为：
ξ －1
0
1
P
1 2
1－2q
q2
则q的值为
()
A．1
B．1±
2 2
C．1＋
2 2
D．1－
2 2
(2)设离散型随机变量ξ的分布列为： ξ0 1 2 34 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：①2ξ＋1的分布列；②|ξ－1|的分布列． [自主解答] (1)由分布列的性质，有

高考数学总复习考点知识专题讲解 专题11离散型随机变量及其分布列知识点一 随机变量的概念、表示及特征1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X (ω)与之对应，我们称X 为随机变量．2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X ，Y ，Z ；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x ，y ，z .3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：(1)取值依赖于样本点． (2)所有可能取值是明确的． 知识点二 离散型随机变量可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量． 判断离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果； (2)将随机试验的结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．【例1】（（2023•丰台区期末）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为() ①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数1X ；②一个沿直线2y x 进行随机运动的质点离坐标原点的距离X；③某同学射击3次，命中的次数3X；④某电子元件的寿2命X；4A．①②B．③④C．①③D．②④【例2】（2023•从化区期中）袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是()A．25B．10C．9D．5知识点三离散型随机变量的分布列及其性质1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，x n，我们称X取每一个值x i的概率P(X＝x i)＝p i，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列．2．分布列的性质(1)p i≥0，i＝1,2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋p n＝1.分布列的性质及其应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．【例3】（2023•辽宁期末）随机变量X的分布列如下表所示，则(2)(…)P XA ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4【例4】（2022•朝阳区开学）设随机变量X 的分布列为()(1P X k k k λ===，2，3，4)，则λ的值为() A ．10B ．110C ．10-D ．110-【例5】（2023•珠海期末）已知某离散型随机变量ξ的分布列为：则(q =)A ．13和1-B ．13C ．12D ．1-【例6】（2022•多选•天津模拟）设随机变量ξ的分布列为()(15kP ak k ξ===，2，3，4，5)，则()A ．115a =B ．141()255P ξ<<= C ．112()10215P ξ<<=D ．23()510P ξ=…【例7】（2023•湖北模拟）设随机变量ξ的分布列如表：则下列正确的是()A ．当{}n a 为等差数列时，5615a a += B ．数列{}n a 的通项公式可以为109(1)n a n n =+C ．当数列{}n a 满足1(1,2,9)2n na n ==时，10912a =D ．当数列{}n a 满足2()(1k P k k a k ξ==…，2，10)时，1110(1)n a n n =+知识点四 两点分布如果P (A )＝p ，则P (A )＝1－p ，那么X 的分布列为我们称X 服从两点分布或0－1【例8】（多选）若离散型随机变量X 的分布列如下表所示，则下列说法错误的是()A ．常数c 的值为23或13B ．常数c 的值为23C ．1(0)3P X ==D ．2(0)3P X ==【例9】（2023•阜南县期末）从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．【例10】（2023•崂山区期末）某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10-分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是2 3，回答第三个问题正确的概率为12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．（1）求至少回答对一个问题的概率．（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列．（3）求这位挑战者闯关成功的概率．同步训练1.（2022•多选•临朐县开学）下列X是离散型随机变量的是()A．某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数XB ．一天内的温度为XC ．某网页一天内被点击的次数XD ．射击运动员对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X 表示该运动员在一次射击中的得分2.（2023•上蔡县校级月考）设随机变量ξ的概率分布列如下表：则(|2|1)(P ξ-==) A ．712B ．12C ．512D ．163.（2023•周至县期末）设随机变量X 的分布列为()(1,2,3,4,5,6)2kcP X k k ===，其中c 为常数，则(2)P X …的值为() A ．34B ．1621C ．6364D ．64634.（2023•多选•宝安区期中）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a 的值为()A ．12-B ．12C ．14D ．14-5.（2023•和平区校级期末）设随机变量与的分布列如下：则下列正确的是()A ．当{}n a 为等差数列时，5615a a +=B ．当数列{}n a 满足1(12n na n ==，2，⋯，9)时，10912a = C ．数列{}n a 的通项公式可以为109(1)n a n n =+D ．当数列{}n a 满足2()(1k P k k a k ξ==…，2，⋯，10)时，1110(1)n a n n =+6.（2023•郫都区模拟）甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．。

【解析】选B.由分布列的性质知2q2+ 11 -3q+ 1 =1,解得q=1或q= 1 ,
6
6
2
又因为2q2<1,0< 11 3q <1,所以舍去q=1,
6
所以q= 1 .
2
3.(选修2-3 P47习题2-1BT2改编)设随机变量X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P
1
m
1
1
3
4
6
则P(|X-3|=1)=________.
④一个在数轴上随机运动的质点,它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机 变量的是 ( ) A.①② B.①③ C.①④ D.①②④
2.若随机变量X的概率分布列为
X
x1
x2
P
p1
p2
且p1=
1 2
p2,则p1等于
(
)
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
2
3
4
6
3.某学习小组共12人,其中有五名是“三好学生”,现从该小组中任选5人参加
n
pi
=1.
i1
2.常见的两类分布列 (1)两点分布： 若随机变量X服从两点分布，即其分布列为
X
0
1
P
_1_-_p_
p
其中p= _P_(_X_=_1_)_称为成功概率.
(2)超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k)=
C C k nk M NM
，
CnN
k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
【解析】选C.因为P(X=1)= 1 ，所以A，B不正确；

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感悟提升
分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性. (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机 变量在某个范围内的概率.
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考点二 离散型随机变量的分布列
例1 (12分)某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2022年元旦来临之际举行 “庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活 动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小 组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色， 再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记 它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η.
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6.(2021·郑州检测)设随机变量X的概率分布列为
X1 2 34
P
1 3
m
1 4
1 6
5 则P(|X－3|＝1)＝___1_2____.
解析 由13＋m＋14＋16＝1，解得 m＝14， P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝14＋16＝152.
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考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
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P(ξ＝1)＝CC13·C29 16＝1386＝12， P(ξ＝2)＝CC23·C29 06＝336＝112.
所以ξ的分布列为
ξ 012
P
5 12
1 2
1 12
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感悟提升
1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超 几何分布的特征是： (1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查 某类个体数X的概率分布. 2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古 典概型.

§10.7 离散型随机变量及其分布列、数字特征考试要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征．知识梳理1．离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X (ω)与之对应，我们称X 为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X 的可能取值为x 1，x 2，…，x n ，称X 取每一个值x i 的概率P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 为X 的概率分布列，简称分布列． 3．离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0(i ＝1,2，…，n )； ②p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.4．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x n Pp 1p 2…p n(1)均值则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ＝∑i ＝1nx i p i 为随机变量X 的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D (X )＝(x 1－E (X ))2p1＋(x 2－E (X ))2p 2＋…＋(x n －E (X ))2p n ＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，并称D (X )为随机变量X 的标准差，记为σ(X )，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度． 5．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )(a ，b 为常数)．常用结论均值与方差的四个常用性质(1)E (k )＝k ，D (k )＝0，其中k 为常数． (2)E (X 1＋X 2)＝E (X 1)＋E (X 2)． (3)D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2.(4)若X 1，X 2相互独立，则E (X 1X 2)＝E (X 1)·E (X 2)． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面的次数是随机变量．( √ )(2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ ) (4)方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．( √ ) 教材改编题1．设随机变量X 的分布列如下：X 1 2 3 4 5 P112161316p则p 为( ) A.16 B.13 C.14 D.112 答案 C解析 由分布列的性质知， 112＋16＋13＋16＋p ＝1， ∴p ＝1－34＝14.2．若随机变量X 满足P (X ＝c )＝1，其中c 为常数，则D (X )的值为________． 答案 0解析 因为P (X ＝c )＝1， 所以E (X )＝c ×1＝c ， 所以D (X )＝(c －c )2×1＝0.3．已知随机变量X 的分布列如下：X －1 0 1 P121316若Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为________． 答案 73解析 E (X )＝－12＋16＝－13，则E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.题型一 分布列的性质例1 (1)设X 是一个离散型随机变量，其分布列为X －1 0 1 P121－qq －q 2则q 等于( ) A ．1 B.22或－22 C ．1＋22D.22 答案 D解析 由离散型随机变量分布列的性质得⎩⎪⎨⎪⎧12＋1－q ＋q －q 2＝1，0≤1－q ≤12，0≤q －q 2≤12，解得q ＝22. (2)(多选)设随机变量ξ的分布列为P ⎝⎛⎭⎫ξ＝k5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)，则( ) A ．a ＝115B ．P ⎝⎛⎭⎫12<ξ<45＝15C ．P ⎝⎛⎭⎫110<ξ<12＝215D ．P (ξ＝1)＝310答案 AB解析 对于选项A ， ∵随机变量ξ的分布列为 P ⎝⎛⎭⎫ξ＝k5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)， ∴P ⎝⎛⎭⎫ξ＝15＋P ⎝⎛⎭⎫ξ＝25＋P ⎝⎛⎭⎫ξ＝35＋P ⎝⎛⎭⎫ξ＝45＋P (ξ＝1) ＝a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝15a ＝1， 解得a ＝115，故A 正确；对于B ，易知P ⎝⎛⎭⎫12<ξ<45＝P ⎝⎛⎭⎫ξ＝35＝3×115＝15， 故B 正确； 对于C ，易知P ⎝⎛⎭⎫110<ξ<12＝P ⎝⎛⎭⎫ξ＝15＋P ⎝⎛⎭⎫ξ＝25 ＝115＋2×115＝15， 故C 错误；对于D ，易知P (ξ＝1)＝5×115＝13，故D 错误． 教师备选1．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为X 0 1 P9a 2－a3－8a则常数a 的值为( ) A.13 B.23C.13或23D ．－13或－23答案 A解析 由分布列的性质可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤9a 2－a ≤1，0≤3－8a ≤1，9a 2－a ＋3－8a ＝1，解得a ＝13.2．离散型随机变量X 的概率分布列为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52的值为( ) A.23 B.34 C.45 D.56 答案 D解析 因为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，所以a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，所以a ＝54，所以P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56. 思维升华 离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．跟踪训练1 (1)若随机变量X 的分布列如下表，则mn 的最大值是( )A.116 B.18 C.14 D.12 答案 A解析 由分布列的性质， 得m ＋n ＝12，m ≥0，n ≥0，所以mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝116， 当且仅当m ＝n ＝14时，等号成立．(2)随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝______，公差d 的取值范围是______． 答案 23 ⎣⎡⎦⎤－13，13 解析 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d ≤13.题型二 离散型随机变量的分布列及数字特征 例2 (1)(多选)设离散型随机变量X 的分布列为若离散型随机变量Y 满足Y ＝2X ＋1，则下列结果正确的有( ) A ．q ＝0.1B ．E (X )＝2，D (X )＝1.4C ．E (X )＝2，D (X )＝1.8 D ．E (Y )＝5，D (Y )＝7.2 答案 ACD解析 因为q ＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q ＝0.1，故A 正确；由已知可得E (X )＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D (X )＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C 正确； 因为Y ＝2X ＋1，所以E (Y )＝2E (X )＋1＝5， D (Y )＝4D (X )＝7.2，故D 正确．(2)(2022·昆明模拟)从1,2,3,4,5这组数据中，随机取出三个不同的数，用X 表示取出的数字的最小数，则随机变量X 的均值E (X )等于( ) A.32 B.53 C.74 D.95 答案 A解析 由题意知，X 的可能取值为1,2,3，而随机取3个数的取法有C 35种， 当X ＝1时，取法有C 24种， 即P (X ＝1)＝C 24C 35＝35；当X ＝2时，取法有C 23种， 即P (X ＝2)＝C 23C 35＝310；当X ＝3时，取法有C 22种， 即P (X ＝3)＝C 22C 35＝110；∴E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.教师备选1．已知随机变量X ，Y 满足Y ＝2X ＋1，且随机变量X 的分布列如下：X 0 1 2 P1613a则随机变量Y 的方差D (Y )等于( ) A.59 B.209 C.43D.299答案 B解析 由分布列的性质，得a ＝1－16－13＝12，所以E (X )＝0×16＋1×13＋2×12＝43，所以D (X )＝⎝⎛⎭⎫0－432×16＋⎝⎛⎭⎫1－432×13＋⎝⎛⎭⎫2－432×12＝59， 又Y ＝2X ＋1，所以D (Y )＝4D (X )＝209.2．已知m ，n 为正常数，离散型随机变量X 的分布列如表：若随机变量X 的均值E (X )＝712，则mn ＝________，P (X ≤0)＝________. 答案118 13解析 由题意知⎩⎨⎧m ＋n ＋14＝1，n －m ＝712，解得⎩⎨⎧m ＝112，n ＝23，所以mn ＝118，P (X ≤0)＝m ＋14＝13.思维升华 求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值． (2)求ξ取每个值的概率． (3)写出ξ的分布列．(4)由均值、方差的定义求E (ξ)，D (ξ)．跟踪训练2 (2022·邯郸模拟)小张经常在某网上购物平台消费，该平台实行会员积分制度，每个月根据会员当月购买实物商品和虚拟商品(充话费等)的金额分别进行积分，详细积分规则以及小张每个月在该平台消费不同金额的概率如下面的表1和表2所示，并假设购买实物商品和购买虚拟商品相互独立．表1表2(1)求小张一个月购买实物商品和虚拟商品均不低于100元的概率； (2)求小张一个月积分不低于8分的概率；(3)若某个月小张购买了实物商品和虚拟商品，消费均低于100元，求他这个月的积分X 的分布列与均值．解 (1)小张一个月购买实物商品不低于100元的概率为12＋14＝34，购买虚拟商品不低于100元的概率为16，因此所求概率为34×16＝18.(2)根据条件，积分不低于8分有两种情况：①购买实物商品积分为6分，购买虚拟商品的积分为2,3,4分； ②购买实物商品积分为4分，购买虚拟商品的积分为4分， 故小张一个月积分不低于8分的概率为 14×⎝⎛⎭⎫1－13＋12×16＝14. (3)由条件可知X 的可能取值为3,4,5. P (X ＝3)＝1313＋14＋14＝25，P (X ＝4)＝P (X ＝5)＝1413＋14＋14＝310，即X 的分布列如下：E (X )＝3×25＋4×310＋5×310＝3910.题型三 均值与方差中的决策问题例3 (12分)(2021·新高考全国Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；[切入点：X 的取值情况] (2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. [关键点：均值大小比较]高考改编某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步上篮两个项目．每个学生在每个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合格，定点投篮考核合格得4分，否则得0分；三步上篮考核合格得6分，否则得0分．现将该班学生分为两组，一组先进行定点投篮考核，一组先进行三步上篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核．已知小明定点投篮考核合格的概率为0.8，三步上篮考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关．(1)若小明先进行定点投篮考核，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由．解(1)由已知可得，X的所有可能取值为0,4,10，则P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝4)＝0.8×(1－0.7)＝0.24，P(X＝10)＝0.8×0.7＝0.56，所以X的分布列为(2)小明应选择先进行定点投篮考核，理由如下：由(1)可知小明先进行定点投篮考核，累计得分的均值为E(X)＝0×0.2＋4×0.24＋10×0.56＝6.56，若小明先进行三步上篮考核，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0,6,10，P(Y＝0)＝1－0.7＝0.3，P(Y＝6)＝0.7×(1－0.8)＝0.14，P(Y＝10)＝0.7×0.8＝0.56，则Y的均值为E(Y)＝0×0.3＋6×0.14＋10×0.56＝6.44，因为E(X)>E(Y)，所以为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行定点投篮考核．思维升华随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．跟踪训练3(2021·北京)为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．(1)①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和均值E(X)；(2)若采用“5合1检测法”，检测次数Y的均值为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．解 (1)①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的一组每个人进行检测，需要10次， 所以总检测次数为20. ②由题意，X 可以取20,30，P (X ＝20)＝111，P (X ＝30)＝1－111＝1011，则X 的分布列为X 20 30 P1111011所以E (X )＝20×111＋30×1011＝32011.(2)由题意，Y 可以取25,30，两名感染者在同一组的概率为P 1＝C 120C 22C 398C 5100＝499，不在同一组的概率为P 1＝9599， 则E (Y )＝25×499＋30×9599＝2 95099>E (X )．课时精练1．一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X 的最大可能取值为( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．2 答案 B解析 由于是逐次试验，可能最后一枚钥匙才能打开锁，即前5次都打不开锁，所以试验次数X 的最大可能取值为5. 2．若随机变量X 的分布列为X 1 2 3 Paba则X 的均值E (X )等于( ) A ．2a ＋b B ．a ＋2b C ．2 D ．3答案 C解析 E (X )＝1×a ＋2×b ＋3×a ＝2(2a ＋b )，由分布列的性质可知2a ＋b ＝1，所以E (X )＝2. 3．已知随机变量X 的分布列是则E (2X ＋a )等于( ) A.53 B.73 C.72 D.236 答案 C解析 由分布列的性质可得12＋13＋a ＝1，解得a ＝16，所以E (X )＝1×12＋2×13＋3×16＝53，因此E (2X ＋a )＝E ⎝⎛⎭⎫2X ＋16＝2E (X )＋16＝2×53＋16＝72. 4．(2022·南平模拟)某企业计划加大技改力度，需更换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择，A 品牌设备需投入60万元，B 品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查：更换设备技改后，每年估计可增加效益100万元，从年均收益的角度分析( ) A ．不更换设备 B ．更换为A 设备 C ．更换为B 设备D ．更换为A 或B 设备均可 答案 C解析 设更换为A 品牌设备使用年限为X ，则E (X )＝2×0.4＋3×0.3＋4×0.2＋5×0.1＝3，更换为A 品牌设备年均收益为3×100－60＝240(万元)；设更换为B 品牌设备使用年限为Y ，则E (Y )＝2×0.1＋3×0.3＋4×0.4＋5×0.2＝3.7，更换为B 品牌设备年均收益为3.7×100－90＝280(万元).280>240，所以更换为B 品牌设备．5．(多选)(2022·烟台模拟)中华人民共和国第十四届运动会于2021年9月在陕西省举办．为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，向全国人民奉献一场精彩圆满的体育盛会，第十四届全国运动会组织委员会欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的有( )A ．设事件A ：“抽取的三人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则P (A )＝67B ．设事件A ：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B ：“抽取的3人中全是男志愿者”，则P (B |A )＝217C ．用X 表示抽取的三人中女志愿者的人数，则E (X )＝127D ．用Y 表示抽取的三人中男志愿者的人数，则D (Y )＝2449答案 ABD解析 对于A ，所有可能的情况有C 37＝35(种)，其中既有男志愿者，也有女志愿者的情况有C 14C 23＋C 24C 13＝30(种)， 故P (A )＝3035＝67，故A 正确；对于B ，P (AB )＝C 34C 37＝435，P (A )＝C 14C 23＋C 24C 13＋C 34C 37＝3435， 所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝434＝217，故B 正确；对于C ，X 的所有可能取值为0,1,2,3， 则P (X ＝0)＝C 34C 37＝435，P (X ＝1)＝C 13C 24C 37＝1835，P (X ＝2)＝C 23C 14C 37＝1235，P (X ＝3)＝C 33C 37＝135，所以E (X )＝0×435＋1×1835＋2×1235＋3×135＝97，故C 错误；对于D ，Y 的所有可能取值为0,1,2,3， 则P (Y ＝0)＝C 33C 37＝135，P (Y ＝1)＝C 23C 14C 37＝1235，P (Y ＝2)＝C 13C 24C 37＝1835，P (Y ＝3)＝C 34C 37＝435，则E (Y 2)＝0×135＋1×1235＋4×1835＋9×435＝247，E (Y )＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127，则D (Y )＝E (Y 2)－(E (Y ))2＝247－⎝⎛⎭⎫1272＝2449，故D 正确．6．(多选)(2022·永州模拟)已知14<p <1，随机变量X 的分布列如下，则下列结论正确的有( )A ．P (X ＝2)的值最大B ．P (X ＝0)<P (X ＝1)C ．E (X )随着p 的增大而减小D ．E (X )随着p 的增大而增大 答案 BD解析 当p ＝12时，P (X ＝2)＝14，P (X ＝1)＝1－12＝12>14，A 错误；因为14<p <1，所以p －p 2＝p (1－p )<1－p ， 即P (X ＝0)<P (X ＝1)，B 正确； E (X )＝1－p ＋2p 2＝2⎝⎛⎭⎫p －142＋78， 因为14<p <1，所以E (X )随着p 的增大而增大，C 错误，D 正确．7．(2022·无锡质检)设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则X 的均值为__________． 答案 1＋22解析 由12＋1－q ＋q －q 2＝1得，q 2＝12，q ＝22，∴E (X )＝12＋2－2q ＋3q －3q 2＝52＋q －3q 2 ＝52＋22－32 ＝1＋22. 8．某专业资格考试包含甲、乙、丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为34，乙、丙科目合格的概率相等，且3个科目是否合格相互独立．设小张3科中合格的科目数为X ，若P (X ＝3)＝316，则E (X )＝__________.答案 74解析 乙、丙科目合格的概率相等，可设乙、丙科目合格的概率均为p ， 则P (X ＝3)＝34p 2＝316，解得p ＝12，故P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－34＝116， P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－34＋12×⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－34＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－12×34＝516， P (X ＝2)＝12×12×⎝⎛⎭⎫1－34＋12×⎝⎛⎭⎫1－12×34＋⎝⎛⎭⎫1－12×12×34＝716， 故X 的分布列为E (X )＝0×116＋1×516＋2×716＋3×316＝74.9．2021年，“十四五”开启全面建设社会主义现代化国家新征程，这一年，中国共产党迎来建党100周年．某企业开展“学党史，颂党恩，跟党走”的知识问答活动，该企业收集了参与此次知识问答活动的员工得分情况，得到如下频率分布表：其中样本的平均数是73.6.(假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替) (1)求a ，b 的值；(2)根据此次知识问答活动的得分，评出四个等级，并根据等级给予如下的奖励：每次抽奖的中奖率均为12，每次中奖的奖金都为100元，求参与此次知识问答活动的某员工所获奖金X 的均值．解 (1)因为样本的平均数是73.6，所以45×0.04＋55×0.10＋65a ＋75b ＋85×0.20＋95×0.12＝73.6， 即65a ＋75b ＝37.9，①又a ＋b ＝1－0.04－0.10－0.20－0.12＝0.54，② 由①②解得a ＝0.26，b ＝0.28.(2)当该员工的评定等级为优秀时，奖金的均值为12×4×100＝200，当该员工的评定等级为良好时，奖金的均值为12×2×100＝100，当该员工的评定等级为合格时，奖金的均值为12×1×100＝50，当该员工的评定等级为不合格时，奖金的均值为12×0×100＝0，E (X )＝0×0.14＋50×0.26＋100×0.28＋200×0.32＝105， 故参与此次知识问答活动的某员工所获奖金X 的均值为105元．10．(2022·广州模拟)已知袋中装有大小、形状都相同的小球共5个，其中3个红球，2个白球． (1)若从袋中任意摸出4个球，求恰有2个红球的概率；(2)若每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球即停止摸球，这样的摸球最多四次，η1表示停止时的摸球次数；又若每次随机地摸出一个球，记下颜色后不放回，摸到白球即停止摸球，η2表示停止时的摸球次数．分别求出η1和η2的分布列，并计算η1≠η2的概率． 解 (1)设事件A 为“从袋中任意摸4个球，恰有2个红球”， 则P (A )＝C 23C 45＝35.(2)η1的所有可能取值为1,2,3,4， 则P (η1＝1)＝C 12C 15＝25，P (η1＝2)＝3×25×5＝625，P (η1＝3)＝3×3×25×5×5＝18125，P (η1＝4)＝3×3×3×55×5×5×5＝27125，η1的分布列为η2的所有可能取值为1,2,3,4， 则P (η2＝1)＝C 12C 15＝25，P (η2＝2)＝3×25×4＝310，P (η2＝3)＝3×2×25×4×3＝15，P (η2＝4)＝3×2×1×25×4×3×2＝110，η2的分布列为η2 1 2 3 4 P2531015110从而P (η1≠η2)＝1－P (η1＝η2)＝1－⎝⎛⎭⎫25×25＋625×310＋18125×15＋27125×110 ＝8971 250.11．某公司圆满完成年初制定的生产目标，为答谢各位员工一年来的辛勤工作，公司决定召开年终总结联欢晚会，在联欢晚会上准备举行一个抽奖游戏，规定每位员工从一个装有4张奖券的箱子中，一次性随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．若箱子中所装的4张奖券中有1张面值为80元，其余3张面值均为40元，则每位员工所获得的奖励额的均值是( ) A ．80元 B ．100元 C ．120元 D ．140元答案 B解析 设每位员工所获得的奖励额为X 元，则X 所有可能的取值为80,120， 且P (X ＝80)＝C 23C 24＝12，P (X ＝120)＝C 13C 11C 24＝12，所以每位员工所获得的奖励额的均值 E (X )＝80×12＋120×12＝100.12．(2022·榆林模拟)设0<a <12，0<b <12，随机变量的分布列为则当a 在⎝⎛⎭⎫0，12内增大时，( ) A ．E (ξ)增大，D (ξ)增大 B ．E (ξ)增大，D (ξ)减小 C ．E (ξ)减小，D (ξ)增大 D ．E (ξ)减小，D (ξ)减小答案 D解析 由分布列中概率之和为1， 可得a ＋b ＝12，∴E (ξ)＝－12＋b ＝－12＋⎝⎛⎭⎫12－a ＝－a ， ∴当a 在⎝⎛⎭⎫0，12内增大时，E (ξ)减小， 又由D (ξ)＝(－1＋a )2×12＋(0＋a )2×a ＋(1＋a )2×b ＝－⎝⎛⎭⎫a ＋122＋54， 可知当a 在⎝⎛⎭⎫0，12内增大时，D (ξ)减小． 13．(多选)(2022·烟台质检)某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择每个餐厅的概率相同)，则下列结论正确的是( ) A ．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为518B ．四人去了同一餐厅就餐的概率为11 296C ．四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为25216D ．四人中去第一餐厅就餐的人数的均值为23答案 ACD解析 四人去餐厅就餐的情况共有64种，其中四人去了四个不同餐厅就餐的情况有A 46种，则四人去了四个不同餐厅就餐的概率为A 4664＝518，故A 正确；同理，四人去了同一餐厅就餐的概率为664＝1216，故B 错误；四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为C 24×5264＝25216，故C正确；设四人中去第一餐厅就餐的人数为ξ，则ξ＝0,1,2,3,4.则P (ξ＝0)＝5464，P (ξ＝1)＝C 145364，P (ξ＝2)＝C 245264，P (ξ＝3)＝C 34×564，P (ξ＝4)＝164，则四人中去第一餐厅就餐的人数的分布列为ξ 0 123 4 P5464C 145364C 245264C 34×564164则四人中去第一餐厅就餐的人数的均值E (ξ)＝0×5464＋1×C 145364＋2×C 245264＋3×C 34×564＋4×164＝23，故D 正确． 14．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P (ξ＝2)＝______. 答案310解析 由题意可知，P (ξ＝2)＝C 13C 12C 14＋C 23C 22C 24C 26＝310.15．(多选)设随机变量ξ的分布列如表：ξ 1 2 3 … 2 021 2 022 Pa 1a 2a 3…a 2 021a 2 022则下列说法正确的是( )A ．当{a n }为等差数列时，a 2＋a 2 021＝11 011B ．数列{a n }的通项公式可能为a n ＝ 2 0232 022n (n ＋1)C ．当数列{a n }满足a n ＝12n (n ＝1,2，…，2 021)时，a 2 022＝122 022D ．当数列{a n }满足P (ξ≤k )＝k 2a k (k ＝1,2，…，2 022)时，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1(n ≥2)答案 ABD解析 对于A ，因为{a n }为等差数列， 所以S 2 022＝2 022(a 1＋a 2 022)2＝1，则有a 2＋a 2 021＝a 1＋a 2 022＝11 011， 故A 正确；对于B ，若数列{a n }的通项公式为 a n ＝ 2 0232 022n (n ＋1)＝2 0232 022⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，则S 2 022＝2 0232 022⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋12 022－12 023 ＝2 0232 022⎝⎛⎭⎫1－12 023＝1， 故B 正确；对于C ，因为a n ＝12n ，所以S 2 022＝12⎝⎛⎭⎫1－122 0211－12＋a 2 022＝1－122 021＋a 2 022＝1，则有a 2 022＝122 021，故C 错误；对于D ，令S k ＝P (ξ≤k )＝k 2a k ， 则a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(k ＋1)2a k ＋1－k 2a k ， 故a k ＋1a k ＝k k ＋2， 所以a na n －1＝n －1n ＋1(n ≥2)，即(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1(n ≥2)，故D 正确．16．(2022·莆田质检)某工厂生产一种精密仪器，由第一、第二和第三工序加工而成，三道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果只有A ，B 两个等级．三道工序的加工结果直接决定该仪器的产品等级：三道工序的加工结果均为A 级时，产品为一等品；第三工序的加工结果为A 级，且第一、第二工序至少有一道工序加工结果为B 级时，产品为二等品；其余均为三等品．每一道工序加工结果为A 级的概率如表一所示，一件产品的利润(单位：万元)如表二所示：表一表二(1)用η表示一件产品的利润，求η的分布列和均值；(2)因第一工序加工结果为A 级的概率较低，工厂计划通过增加检测成本对第一工序进行改良，假如改良过程中，每件产品检测成本增加x (0≤x ≤4)万元(即每件产品利润相应减少x 万元)时，第一工序加工结果为A 级的概率增加19x .问该改良方案对一件产品利润的均值是否会产生影响？并说明理由．解 (1)由题意可知，η的所有可能取值为23,8,5， 产品为一等品的概率为0.5×0.75×0.8＝0.3， 产品为二等品的概率为(1－0.5×0.75)×0.8＝0.5， 产品为三等品的概率为1－0.3－0.5＝0.2， 所以η的分布列为E (η)＝23×0.3＋8×0.5＋5×0.2＝11.9.(2)改良方案对一件产品的利润的均值不会产生影响，理由如下：在改良过程中，每件产品检测成本增加x (0≤x ≤4)万元，第一工序加工结果为A 级的概率增加19x ， 设改良后一件产品的利润为ξ，则ξ的所有可能取值为23－x,8－x,5－x ，所以一等品的概率为⎝⎛⎭⎫0.5＋19x ×0.75×0.8＝0.3＋x 15，二等品的概率为⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫0.5＋x 9×0.75×0.8＝0.5－x 15，三等品的概率为1－⎝⎛⎭⎫0.3＋x 15－⎝⎛⎭⎫0.5－x15＝0.2， 所以E (ξ)＝⎝⎛⎭⎫0.3＋x 15(23－x )＋⎝⎛⎭⎫0.5－x15(8－x )＋0.2×(5－x ) ＝6.9－0.3x ＋2315x －115x 2＋4－0.5x －815x ＋115x 2＋1－0.2x ＝11.9，因为E (ξ)＝E (η)，所以改良方案对一件产品的利润的均值不会产生影响．。

X0 1 2 3
P
1 12
5 12
5 12
1 12
1．求分布列的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率，要注意避
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免分类不全面或计算错误． 2．注意运用分布列的两个性质检验求得分布列的正误． 3．求概率分布的常见类型 (1)根据统计数表求离散型随机变量的分布列； (2)由古典概型求离散型随机变量的分布列； (3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及 n 次独立重复试验有 k 次发生的概率求离散型随机变量的分布列．
当两条棱相交时，X＝0；当两条棱平行时，X 的值为两条棱之间的距离；当两条 棱异面时，X＝1.求随机变量 X 的分布列． 解 若两条棱相交，则交点必为正方体 8 个顶点中的 1 个，过任意 1 个顶点恰有 3 条棱，所以共有 8C23对相交棱， 因此 P(X＝0)＝8CC12232＝141， 若两条棱平行，则它们的距离为 1 或 2，其中距离为 2的共有 6 对， 故 P(X＝ 2)＝C6212＝111， 于是 P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝ 2)＝1－141－111＝161， 所以随机变量 X 的分布列是
－2012，PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方
米～75 微克/立方米之间空气质量为二级；在 75 微克/立方米以上空气质量为超
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标．
从某自然保护区 2013 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机地抽取 10 天的数据 作为样本，监测值频数如下表所示：
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…，xn，X 取每一个值 xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则表

离散型随机变量及其分布列编稿：赵雷 审稿：李霞【学习目标】1．了解离散型随机变量的概念．2．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．3．掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单问题．4. 理解两个特殊的分布列：“两点分布”和“超几何分布”。

【要点梳理】要点一、随机变量和离散型随机变量1. “随机试验”的概念一般地，一个试验如果满足下列条件：a ．试验可以在相同的情形下重复进行．B ．试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个．c ．每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验．2．随机变量的定义一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母X ，Y ，Z （或小写希腊字母ξ，η，ζ）等表示。

要点诠释:（1）所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的。

例如，任意掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上这两种结果，虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但仍可以用数量来表示它，比如，我们用ξ来表示这个随机试验中出现正面向上的次数，则ξ=0，表示试验结果为反面向上，ξ=1，表示试验结果为正面向上。

（2）随机变量实质是将随机试验的结果数量化 。

3．离散型随机变量的定义如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。

离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y 也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0, 1,2，….4. 随机变量的分类随机变量有以下两种：(1)离散型随机变量:(2)连续型随机变量: 如果随机变量可以取其一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量．要点诠释:离散型随机变量和连续型随机变量的区别：离散型随机变量，它所可能取的值为有限个或至多可列个，或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出.连续性随机变量可取某一区间内的一切值，我们无法将其中的值一一列举．例如，抛掷一枚骰子，可能出现的点数就是一个离散型随机变量；某人早晨在出租车站等出租车的时间（单位：秒）就不是一个离散型随机变量．5. 若是随机变量，其中a,b 是常数，则也是随机变量，并且不改变其属性（离散型、连续型）。

2014届高三数学总复习 11.4离散型随机变量及分布列、超几何分布教案 新人教A 版1. (选修23P 52习题1改编)下列问题属于超几何分布的有________．(填序号) ① 抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X ，求X 的概率分布列； ② 有一批种子的发芽率为70%，现任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X ，求X 的概率分布列；③ 一盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，现任取3只球，把不是红色的球的个数记为X ，求X 的概率分布列；④ 某班级有男生25人，女生20人，现选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X ，求X 的概率分布列．答案：③④解析：注意超几何分布的特征，其中涉及三个参量，①、②属于独立重复试验问题．2. (选修23P 47例题3改编)设随机变量X 的分布列为P(X ＝k)＝k15(k ＝1，2，3，4，5)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X<52＝________. 答案：15解析：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X<52＝P(X ＝1)＋P(X ＝2)＝115＋215＝15. 3. (选修23P 52习题4改编)口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1.若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是________．答案：1363解析：数字之和小于2或大于3的对立事件为数字之和为2或者3，发生的概率为2·C 25C 35C 510，所以数字之和小于2或大于3的概率为1－2·C 25C 35C 10＝1363.4. (选修23P 51练习2改编)设50件商品中有15件一等品，其余为二等品．现从中随机选购2件，则所购2件商品中恰有一件一等品的概率为________．答案：37解析：N ＝50，M ＝15，n ＝2，r ＝1，P(X ＝1)＝H(1，2，15，50)＝C 115C 135C 250＝37.5. (选修23P 50例1改编)某班级有男生12人、女生10人，现选举4名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委，则至少两名男生当选的概率为________．答案：103133解析：把选出的4人中男生的人数记为X ，显然随机变量X 满足超几何分布，所求事件的概率可以表示为P(X≥2)．有P(X≥2)＝P(X ＝2)＋P(X ＝3)＋P(X ＝4)＝C 212C 210C 422＋C 312C 110C 422＋C 412C 010C 422＝103133.1. 离散型随机变量的分布列(1) 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．(2) 设离散型随机变量X 可能取的值为x 1，x 2，…x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n)的概率P(X ＝x i )＝p i ，则称表为随机变量X 的概率分布，具有性质： ①p i ≥0，i ＝1，2，…，n ； ②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 2. 如果随机变量X 的分布列为其中0<p<1，q ＝1－p p 的01分布(或两点分布)． 3. 超几何分布列在含有M 件次品数的N 件产品中，任取n 件，其中含有X 件次品数，则事件{X ＝r}发生的概率为P(X ＝r)＝C rM ·C n －rN －MC nN (r ＝0，1，2，…，l)，其中l ＝min{n ，M}，且n≤N，M ≤N ，n 、M 、N∈N ，称分布列为超几何分布列．记为X ～H(n ，M ，N)，并将P(X ＝r)＝C rM ·C n －rN －MC nN 记为H(r ；n ，M ，N)．[备课札记]题型1 离散型随机变量的概率分布例1 随机地将编号为1，2，3的三个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子放入一个小球，当球的编号与盒子的编号相同时叫做“放对球”，否则叫做“放错球”，设放对球的个数为ξ.求ξ的分布列．解：ξ的分布列为变式训练在0，1，2，3，…，9这十个自然数中，任取三个不同的数字．将取出的三个数字按从小到大的顺序排列，设ξ为三个数字中相邻自然数的组数(例如：若取出的三个数字为0，1，2，则相邻的组为0，1和1，2，此时ξ的值是2)，求随机变量ξ的分布列．解：随机变量ξ的取值为0、1、2，ξ的分布列为题型2 超几何分布例2 已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品．需要从中取出2只正品，每次取一个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X 为取出的次数，求X 的概率分布列．解：P(X ＝2)＝810·79＝2845，P(X ＝3)＝810·29·78＋210·89·78＝1445，P(X ＝4)＝1－P(X ＝2)－P(X ＝3)＝115，所以X 的概率分布列如下表一盒中有9个正品和3个次品零件，每次取一个零件，如果取出的是次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布，并求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤X≤52.解：易知X 的可能取值为0、1、2、3这四个数字，而X ＝k 表示，共取了k ＋1次零件，前k 次取得的都是次品，第k ＋1次才取得正品，其中k ＝0、1、2、3.故X 的分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤X≤52＝P(X ＝1)＋P(X ＝2)＝944＋9220＝27110.题型3 实际问题例3 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．(1) 求取出的4个球均为黑球的概率；(2) 求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(3) 设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列． 解：(1) 设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.由于事件A 、B 相互独立，且P(A)＝C 23C 24＝12，P(B)＝C 24C 26＝25.故取出的4个球均为黑球的概率为P(A·B)＝P(A)·P(B)＝12×25＝15.(2) 设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C 、D 互斥，且P(C)＝C 23C 24·C 12·C 14C 26＝415，P(D)＝C 13C 24·C 24C 26＝15.故取出的4个球中恰有1个红球的概率为P(C ＋D)＝P(C)＋P(D)＝415＋15＝715.(3) ξ可能的取值为0，1，2，3.由(1)，(2)得P(ξ＝0)＝15，P(ξ＝1)＝715，P(ξ＝3)＝C 13C 24·1C 26＝130.从而P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝310.ξ的分布列为备选变式（教师专享）黄山旅游公司为了体现尊师重教，在每年暑假期间对来黄山旅游的全国各地教师和学生，凭教师证和学生证实行购买门票优惠．某旅游公司组织有22名游客的旅游团到黄山旅游，其中有14名教师和8名学生．但是只有10名教师带了教师证，6名学生带了学生证．(1) 在该旅游团中随机采访3名游客，求恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人的概率；(2) 在该团中随机采访3名学生，设其中持有学生证的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列．解：(1) 记事件A 为“采访3名游客中，恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人”，则该事件分为两个事件A 1和A 2，A 1为“1名教师有教师证，1名学生有学生证”； A 2为“1名教师有教师证，0名学生有学生证”．P(A)＝P(A 1)＋P(A 2)＝C 110·C 16·C 16C 322＋C 110·C 26C 322＝1877＋15154＝51154， ∴ 在随机采访3人，恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人的概率为51154.(2) 由于8名学生中有6名学生有学生证，∴ ξ的可能取值为1，2，3 ， 则P(ξ＝1)＝C 16C 22C 38＝328，P(ξ＝2)＝C 26C 12C 38＝1528，P(ξ＝3)＝C 36C 38＝514，∴ ξ的分布列为1. (2012·广东理)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是________．答案：19解析：两位数共有90个，其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个，个位数为0的有5个，所以概率为545＝19.2. (2013·新课标Ⅱ)从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n ＝________．答案：8解析：从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的情况有：(1，4)，(2，3)共2种情况；从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数的所有不同取法种数为C 2n ，由古典概型概率计算公式，得从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的概率为P ＝2C 2n .所以C 2n ＝28，即n （n －1）2＝28，解得n ＝8.3. (2013·江苏)现在某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．答案：2063解析：m 可以取的值有：1，2，3，4，5，6，7共7个，n 可以取的值有：1，2，3，4，5，6，7，8，9共9个，所以总共有7×9＝63种可能，符合题意的m 可以取1，3，5，7共4个，符合题意的n 可以取1，3，5，7，9共5个，所以总共有4×5＝20种可能符合题意，所以符合题意的概率为2063.4. 如图，从A 1(1，0，0)、A 2(2，0，0)、B 1(0，1，0)、B 2(0，2，0)、C 1(0，0，1)、C 2(0，0，2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V ＝0)．(1) 求V ＝0的概率；(2) 求V 的分布列及数学期望E(V)．解：(1) 从6个点中随机选取3个点总共有C 36＝20种取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有C 13C 34＝12种，因此V ＝0的概率为P(V ＝0)＝1220＝35.(2) V 的所有可能取值为0、16、13、23、43，因此V 的分布列为则V 的数学期望E(V)＝0×35＋16×120＋13×320＋23×320＋43×120＝940.1. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是______．答案：35解析：∵ 以1为首项，－3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，－27，…，其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，∴ 从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是610＝35.2. 在一次面试中，每位考生从4道题a 、b 、c 、d 中任抽两题做，假设每位考生抽到各题的可能性相等，且考生相互之间没有影响．(1) 若甲考生抽到a 、b 题，求乙考生与甲考生恰好有一题相同的概率； (2) 设某两位考生抽到的题中恰好有X 道相同，求随机变量X 的概率分布．解：(1) P ＝C 12·C 12C 24＝23.(2) X 的可能取值为0、1、2，P(X ＝0)＝C 24·C 22C 24·C 24＝16，P(X ＝2)＝C 24·1C 24·C 24＝16，P(X ＝1)＝1－P(X ＝0)－P(X ＝2)＝23，所以随机变量X 的概率分布为3. 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．(1) 求袋中原有白球的个数； (2) 求随机变量ξ的概率分布； (3) 求甲取到白球的概率．解：(1) 设袋中原有n 个白球，由题意知17＝C 2n C 27＝n （n －1）27×62＝n （n －1）7×6，∴n(n －1)＝6，得n ＝3或n ＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球． (2) 由题意，ξ的可能取值为1、2、3、4、5. P(ξ＝1)＝37； P(ξ＝2)＝4×37×6＝27；P(ξ＝3)＝4×3×37×6×5＝635； P(ξ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P(ξ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以ξ的分布列为：(3) 因为甲先取，所以甲只有可能在第1次、第3次和第5次取球，记“甲取到白球”为事件A ，则P(A)＝P(“ξ＝1”，或“ξ＝3”，或“ξ＝5”)．∵事件“ξ＝1”，或“ξ＝3”，或“ξ＝5”两两互斥，∴P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝2235.4. 老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1) 抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2) 他能及格的概率．解：(1) 设随机抽出的3篇课文中该同学能背诵的篇数为X ，则X 是一个随机变量，它可能的取值为0、1、2、3，且X 服从超几何分布，分布列如下：即(2) 该同学能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X ＝2)＋P(X ＝3)＝12＋16＝23≈0.667.超几何分布中的注意问题：(1) 超几何分布常应用在产品合格问题、球盒取球(两色)问题、男女生选举问题上，这类问题有一个共同特征，就是对每一个个体而言，只研究其相对的两种性质而不涉及其他性质，如产品的“合格”与“不合格”，球的“红色”与“非红色”，学生的“男生”与“女生”等．(2) 超几何分布问题涉及四个参数，学习中要多注意它们的特征和顺序．如产品问题中，H(r ；n ，M ，N)的意义是“超几何分布(取出产品中不合格品数；取出产品数，所有产品中不合格品数，所有产品数)”；再如取球问题中，H(r ；n ，M ，N)的意义是“超几何分布(取出球中红色球数；取出的球数，所有球中红色球数，所有球数)”．(3) 公式的记忆要联系组合数的意义，超几何分布问题中事件的意义，掌握公式中每个式子的意义，这样记起来就事半功倍了．请使用课时训练（B ）第4课时（见活页）.[备课札记]。

增.已知学生甲答题时,若该题会做,则必得满分,若该题不会做,则不作答得
0分,通过对学生甲以往同类模拟考试情况的统计,得到他各题得分的概率
如表所示.
题目
第1题
第2题
代数
0.6
0.5
几何
0.8
0.7
数论
0.7
0.7
组合
0.7
0.6
第3题
第4题
0.4
0.2
0.5
0.3
0.5
0.3
0.3
0.2
假设学生甲考试中各题的得分相互独立.
(1)理解X的意义,写出X的所有可能取值;
(2)求X取每个值的概率;
(3)写出X的分布列.
3.求离散型随机变量分布列的关键是求随机变量取每个值的概率,在求解
时,要注意应用计数原理、古典概型等知识.
对点训练2
(1)已知一批100件的待出厂产品中,有1件不合格品,现从中任意抽取2件
进行检查,设抽取的2件产品中不合格品数为X,求X的分布列.
2
1 2 2
1 1 2
2
P(X=1)=3,P(X=2)=3 × 3 = 9,P(X=3)=3 × 3 × 3 = 27.
故 X 的分布列为
X
1
2
3
P
2
3
2
9
2
27
出现这种错误解法的原因是没有明确随机变量X的意义,X=1表示第一次
试验成功;X=2表示第一次试验失败,第二次试验成功;X=3表示前两次试验
X
P
40
0.147
80
0.343
100
0.126
140
0.294
160
0.027

X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．
3、性质
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；② pi＝1．
4、若随机变量X的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
则称该分布列为两点分布列或0-1分布．若随机变量X的分布列为两点分布列，则称X服从两点分布，称p＝P(X＝1)为成功概率
答案】设(i，j)表示掷两次骰子后出现的点数，i表示第一次的点数，j表示第二次的点数．
(1)Y的可能取值为1,2,3,4,5,6.
当Y＝1时，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)．故P(Y＝1)＝ ，同理P(Y＝2)＝ ＝ ，P(Y＝3)＝ ，P(Y＝4)＝ ，P(Y＝5)＝ ＝ ，P(Y＝6)＝ .所以Y的概率分布列为
A．20B．24C．4D．18
【答案】B
【解析】由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有 ＝24(种)．
题型三离散型随机变量的分布列
例3 将一颗骰子掷2次，求下列随机事件的分布列．
(1)两次掷出的最小点数Y；
(2)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差ξ.
P(X＝1)＝ ＝ ，
P(X＝2)＝ ＝ .
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
4、设离散型随机变量X服从两点分布，若 ，则

量是将试验的结果数量化,变量的取值对应随机试验的某一个随机事件.写
随机变量表示的结果,要看三个特征:(1)可用数来表示;(2)试验之前可以判
断其可能出现的所有值;(3)在试验之前不能确定取值.
4.连续型变量可转化为离散型随机变量.
第十四页，共28页。
探究
(tànjiū)突
破
举一反三 1 下列变量中,离散型随机变量的个数有
B
不能按一定次序一一列出.
解析
解析
第十五页，共28页。
答案
答案
(dá àn)
探究
(tànjiū)突
破
考点二 离散型随机变量的分布列的性质及应用
关闭
解法一:由已知得,ξ 的取值为 7,8,9,10,
22 21 1
∵P(ξ=7)=
=5,P(ξ=8)=
C 35
21 21 11 2
如图所示,A,B
B.两颗都是 2 点
C.一颗是 1 点,另一颗是 3 点
D.一颗是 1 点,另一颗是 3 点,或者两颗都是 2 点
关闭
由于抛掷一颗骰子,可能出现的点数是 1,2,3,4,5,6 这 6 种情况之一,而 X 表
示抛掷两颗骰子所得点数之和,所以 X=4=1+3=2+2,表示的随机试验结果是:一关闭
D 1 点,另一颗是 3 点,或者两颗都是 2 点.
随机变量 X 的分布列为
X
P
0
…
1
0M n-0
N-M
nN
1M n-1
N-M
nN
…
i
…
第七页，共28页。
iM n-i
N-M
nN
…
m
n-m

(对应学生用书 P244)
1．离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字 母 X、Y、ξ、η ……表示．
所有取值可以 一一列出 的随机变量称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列 一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，…， xi，…，xn，X 取每一个值 xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi， 则表
P(X＝k)＝
CkMCCnNnN－－kM，k＝0,1,2，…，m，
其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.称 分布列为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布 列，则称随机变量 X 服从超几何分布.
考点
互动探究
核心突破 · 导与练
(对应学生用书 P245)
考点1
离散型随机变量分布列的性质
利用分布列中各概率之和为 1 的性质，可以求分布列中的参
数值．但此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．对于
随机变量的函数(仍是随机变量)的分布列，可以按分布列的定义
来求．
设离散型随机变量 X 的分布列为 X0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：(1)2X＋1 的分布列； (2)|X－1|的分布列．
4．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 像
X
0
1
P
1－p p
这样的分布列叫做两点分布列． 如果随机变量 X 的分布列为两点分布列，就称 X 服从 两点 分布，而称p＝P(X＝1)为成功概率．
(2)超几何分布列
一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中
恰有 X 件次品，则事件{X＝k}发生的概率为

第6节离散型随机变量及其分布列最新考纲了解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.知识梳理1.离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列及性质（1）一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i（i＝1，2，…，n）的概率P（X＝x i）＝p i，则表称为离散型随机变量X的概率分布列.（2）离散型随机变量的分布列的性质：①p i≥0（i＝1，2，…，n）；②p1＋p2＋…＋p n＝1.[常用结论与微点提醒]分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率.看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率.诊断自测1.思考辨析（在括号内打“√”或“×”）（1）离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.（）（2）离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.（）（3）如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布.（ ）解析 对于（1），离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故（1）不正确；对于（3），X 的取值不是0，1，故不是两点分布，所以（3）不正确.答案 （1）× （2）√ （3）×2.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是（ ） A.至少取到1个白球 B.至多取到1个白球 C.取到白球的个数D.取到的球的个数解析 选项A ，B 表述的都是随机事件，选项D 是确定的值2，并不随机；选项C 是随机变量，可能取值为0，1，2. 答案 C3.（选修2－3P49A4改编）设随机变量X 的分布列如下：则p 为（ ） A.16B.13C.14D.112解析 由分布列的性质，112＋16＋13＋16＋p ＝1，∴p ＝1－34＝14. 答案 C4.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是（ ） A.ξ＝4B.ξ＝5C.ξ＝6D.ξ≤5解析 “放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.答案 C5.设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P（X<4）＝0.3，那么n＝.解析由于随机变量X等可能取1，2，3，…，n.所以取到每个数的概率均为1 n.∴P（X<4）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝3n＝0.3，∴n＝10.答案10考点一离散型随机变量分布列的性质【例1】设离散型随机变量X的分布列为求：（1）2X＋1的分布列；（2）|X－1|的分布列.解由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.首先列表为从而由上表得两个分布列为（1）2X＋1的分布列（2）|X－1|的分布列为规律方法（1）利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证两个概率值均为非负数.（2）若X 是随机变量，则η＝|X －1|等仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率，进而写出分布列.【训练1】 （2017·丽水月考）设随机变量X 的概率分布列如下表，则P （|X －2|＝1）＝（ ）A.712B.12C.512D.16解析 由|X －2|＝1得X ＝1或3，m ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋14＋13＝14，∴P （|X －2|＝1）＝P （X＝1）＋P （X ＝3）＝16＋14＝512. 答案 C考点二 离散型随机变量的分布列【例2】 （2016·天津卷节选）某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（1）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；（2）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列.解 （1）由已知，有P （A ）＝C 13C 14＋C 23C 210＝13.所以，事件A 发生的概率为13.（2）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.P （X ＝0）＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P （X ＝1）＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P （X ＝2）＝C 13C 14C 210＝415.所以，随机变量X的分布列为规律方法求离散型随机变量X的分布列的步骤：（1）找出随机变量X的所有可能取值x i（i＝1，2，3，…，n）；（2）求出各取值的概率P（X＝x i）＝p i；（3）列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确. 提醒求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所有取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.【训练2】某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.（1）求当天商店不进货的概率；（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.解（1）P（当天商店不进货）＝P（当天商品销售量为0件）＋P（当天商品销售量为1件）＝120＋520＝310.（2）由题意知，X的可能取值为2，3.P（X＝2）＝P（当天商品销售量为1件）＝520＝14；P（X＝3）＝P（当天商品销售量为0件）＋P（当天商品销售量为2件）＋P（当天商品销售量为3件）＝120＋920＋520＝34.所以X的分布列为基础巩固题组一、选择题1.某射手射击所得环数X 的分布列为则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为（ ） A.0.28B.0.88C.0.79D.0.51解析 P （X ＞7）＝P （X ＝8）＋P （X ＝9）＋P （X ＝10）＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 答案 C2.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P （X ＝0）等于（ ） A.0B.12C.13D.23解析 由已知得X 的所有可能取值为0，1，且P （X ＝1）＝2P （X ＝0），由P （X ＝1）＋P （X ＝0）＝1， 得P （X ＝0）＝13. 答案 C3.设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 的值为（ ）A.1B.32±336 C.32－336 D.32＋336解析 由分布列的性质知⎩⎪⎨⎪⎧2－3q ≥0，q 2≥0，13＋2－3q ＋q 2＝1，解得q ＝32－336. 答案 C4.（2018·绍兴调研）一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P （X ＝4）的值为（ ） A.1220B.2755C.27220D.2155解析 {X ＝4}表示从盒中取了2个旧球、1个新球，故P （X ＝4）＝C 23C 19C 312＝27220.答案 C 二、填空题5.袋中有4只红球、3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X ，则P （X ≤6）＝ .解析 P （X ≤6）＝P （取到3只红球1只黑球）＋P （取到4只红球）＝C 34C 13C 47＋C 44C 47＝1335. 答案 13356.（2018·丽水测试）甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分（即得－1分）；若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分（分数高者胜），则X 的所有可能取值是 . 解析 X ＝－1，甲抢到一题但答错了.X ＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错. X ＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对. X ＝2时，甲抢到2题均答对.X＝3时，甲抢到3题均答对.答案－1，0，1，2，37.在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为.解析η的所有可能值为0，1，2.P（η＝0）＝C11C11C12C12＝1 4，P（η＝1）＝C11C11×2C12C12＝12，P（η＝2）＝C11C11C12C12＝1 4.∴η的分布列为答案三、解答题8.某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球、1个黄球、1个白球和1个黑球.顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励.（1）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（2）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列.解（1）设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A，则P（A）＝A23A34＝1 4，故1名顾客摸球3次停止摸球的概率为1 4.（2）随机变量X 的所有取值为0，5，10，15，20. P （X ＝0）＝14，P （X ＝5）＝2A 24＝16，P （X ＝10）＝1A 24＋A 22A 34＝16，P （X ＝15）＝C 12·A 22A 34＝16，P （X ＝20）＝A 33A 44＝14.所以，随机变量X 的分布列为能力提升题组9.随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P （|X |＝1）等于（ ） A.16B.13C.12D.23解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P （|X |＝1）＝a ＋c ＝23. 答案 D10.随机变量X 的概率分布规律为P （X ＝n ）＝an （n ＋1）（n ＝1，2，3，4），其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为（ ）A.23B.34C.45D.56解析 因为P （X ＝n ）＝a n （n ＋1）（n ＝1，2，3，4），所以a 1×2＋a 2×3＋a 3×4＋a 4×5＝45a ＝1.∴a ＝54，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P （X ＝1）＋P （X ＝2）＝12×54＋16×54＝56. 答案 D11.盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球、3个白色球、4个黑色球.规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分.现从盒内任取3个球.（1）求取出的3个球中至少有1个红球的概率； （2）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（3）设X 为取出的3个球中白色球的个数，求X 的分布列. 解 （1）P ＝1－C 37C 39＝712.（2）记“取出1个红色球、2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球、1个黑色球”为事件C ，则P （B ＋C ）＝P （B ）＋P （C ）＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.（3）X 可能的取值为0，1，2，3，X 服从超几何分布，所以P （X ＝k ）＝C k 3C 3－k6C 39，k ＝0，1，2，3.故P （X ＝0）＝C 36C 39＝521，P （X ＝1）＝C 13C 26C 39＝1528，P （X ＝2）＝C 23C 16C 39＝314，P （X ＝3）＝C 33C 39＝184.所以X 的分布列为12.在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x ，y ，记X ＝|x －2|＋|y －x |. （1）求随机变量X 的最大值，并求事件“X 取得最大值”的概率； （2）求随机变量X 的分布列.解 （1）由题意知，x ，y 可能的取值为1，2，3， 则|x －2|≤1，|y －x |≤2，所以X ≤3，且当x ＝1，y ＝3或x ＝3，y ＝1时，X ＝3. 因此，随机变量X 的最大值为3.而有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3＝9（种），所以P （X ＝3）＝29.故随机变量X 的最大值为3，事件“X 取得最大值”的概率为29.（2）X 的所有取值为0，1，2，3.当X＝0时，只有x＝2，y＝2这一种情况，当X＝1时，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四种情况，当X＝2时，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2两种情况.当X＝3时，有x＝1，y＝3或x＝3，y＝1两种情况.所以P（X＝0）＝19，P（X＝1）＝49，P（X＝2）＝29，P（X＝3）＝2 9.则随机变量X的分布列为。

１．离散型随机变量（１）随机变量特点：随着试验结果的变化而变化的变量．表示：常用字母X，Y，ξ，η，…表示．（２）离散型随机变量的特点所有取值可以一一列举出来．２．离散型随机变量的分布列（１）定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x１，x２，…，x i，…，x n，X取每一个值x i（i ＝１，２，…，n）的概率P（X＝x i）＝p i，则下表X x１x２…x i…x nP p１p２…p i…p nP（X＝x i）＝p i，i＝１，２，…，n表示X的分布列．（２）性质：１p i≥0（i＝１，２，…，n）；２错误!p i＝１．３．常见的两类特殊分布列（１）两点分布若随机变量X服从两点分布，则其分布列为X0１P１—p p＝P（X＝１）称为成功概率．（２）超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P（X＝k）＝错误!，k ＝0，１，２，…，m，即：X0１…mP错误!错误!…错误!其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．（）（２）抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．（）（３）离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．（）（４）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．（）（５）从４名男演员和３名女演员中选出４人，其中女演员的人数X服从超几何分布．（）（6）由下表给出的随机变量X的分布列服从两点分布．（）X２５P0．３0．7答案：（１）√（２）√（３）√（４）√（５）√（6）×（教材习题改编）设随机变量X的分布列如下表所示，则p ４的值是（）X１２３４P错误!错误!错误!p４Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．由分布列的性质，得错误!＋错误!＋错误!＋p４＝１，所以p４＝错误!.设某项试验的成功率是失败率的２倍，用随机变量X去描述１次试验的成功次数，则P（X＝0）等于（）Ａ．0 Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选C.设X的分布列为X0１P p２p 即“X＝0”表示试验失败，“X＝１”表示试验成功．由p＋２p＝１，得p＝错误!，故应选Ｃ．设随机变量X的分布列为P（X＝k）＝错误!，k＝１，２，３，４，５，则P错误!＝________．解析：P错误!＝P（X＝１）＋P（X＝２）＝错误!＋错误!＝错误!.答案：错误!在含有３件次品的１0件产品中任取４件，则取到次品数X的分布列为________．解析：由题意知，X服从超几何分布，其中N＝１0，M＝３，n＝４，所以分布列为P（X＝k）＝错误!，k＝0，１，２，３．答案：P（X＝k）＝错误!，k＝0，１，２，３离散型随机变量的分布列的性质设离散型随机变量X的分布列为X0１２３４P0．２0．１0．１0．３m（２）P（１＜X≤４）．【解】由分布列的性质知：0．２＋0．１＋0．１＋0．３＋m＝１，解得m＝0．３．（１）２X＋１的分布列：２X＋１１３５79 P0．２0．１0．１0．３0．３在本例条件下，求|X—１|的分布列．解：|X—１|的分布列：|X—１|0１２３P0．１0．３0．３0．３离散型随机变量分布列的性质的应用（１）利用分布列中各概率之和为１可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值；（２）若X为随机变量，则２X＋１仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．设随机变量X等可能地取１，２，３，…，n，若P（X＜４）＝0．３，则n的值为（）Ａ．３Ｂ．４Ｃ．１0 Ｄ．不确定解析：选Ｃ．“X＜４”的含义为X＝１，２，３，所以P（X＜４）＝错误!＝0．３，所以n＝１0．离散型随机变量的分布列（高频考点）离散型随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．高考对离散型随机变量分布列的考查有以下三个命题角度：（１）用频率代替概率的离散型随机变量的分布列；（２）古典概型的离散型随机变量的分布列；（３）与独立事件（或独立重复试验）有关的分布列的求法．（下一讲内容）角度一用频率代替概率的离散型随机变量的分布列某商店试销某种商品２0天，获得如下数据：日销售量（件）0１２３频数１５9５结束后检查存货，若发现存量少于２件，则当天进货补充至３件，否则不进货，将频率视为概率．（１）求当天商店不进货的概率；（２）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．【解】（１）P（当天商店不进货）＝P（当天商品销售量为0件）＋P（当天商品销售量为１件）＝错误!＋错误!＝错误!.（２）由题意知，X的可能取值为２，３．P（X＝２）＝P（当天商品销售量为１件）＝错误!＝错误!；P（X＝３）＝P（当天商品销售量为0件）＋P（当天商品销售量为２件）＋P（当天商品销售量为３件）＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.所以X的分布列为X２３P错误!错误!（２0１7·高考山东卷节选）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A，A２，A３，A４，A５，A6和４名女志愿者B１，B２，B３，B４，从中随机抽取５人接受甲种心理暗示，１另５人接受乙种心理暗示．（１）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A１但不包含B１的概率；（２）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．【解】（１）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A１但不包含B１的事件为M，则P（M）＝错误!＝错误!.（２）由题意知X可取的值为：0，１，２，３，４，则P（X＝0）＝错误!＝错误!，P（X＝１）＝错误!＝错误!，P（X＝２）＝错误!＝错误!，P（X＝３）＝错误!＝错误!，P（X＝４）＝错误!＝错误!.因此X的分布列为X0１２３４P错误!错误!错误!错误!错误!错误!离散型随机变量分布列的求解步骤（１）明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义．（２）求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．（３）画表格：按规范要求形式写出分布列．（４）做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友（n>8且n∈N*），其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出２位校友代表，若选出的２位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．（１）若随机选出的２位校友代表为“最佳组合”的概率不小于错误!，求n的最大值；（２）当n＝１２时，设选出的２位校友代表中女校友人数为X，求X的分布列．解：（１）由题意可知，所选２人为“最佳组合”的概率为错误!＝错误!，则错误!≥错误!，化简得n２—２５n＋１４４≤0，解得9≤n≤１6，故n的最大值为１6．（２）由题意得，X的可能取值为0，１，２，则P（X＝0）＝错误!＝错误!，P（X＝１）＝错误!＝错误!，P（X＝２）＝错误!＝错误!，X的分布列为X0１２P错误!错误!错误!超几何分布一个袋中有大小相同的黑球和白球共１0个．已知从袋中任意摸出２个球，至少得到１个白球的概率是错误!.（１）求白球的个数；（２）从袋中任意摸出３个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．【解】（１）记“从袋中任意摸出２个球，至少得到１个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P（A）＝１—错误!＝错误!，得到x＝５．故白球有５个．（２）X服从超几何分布，其中N＝１0，M＝５，n＝３，P（X＝k）＝错误!，k＝0，１，２，３．于是可得其分布列为X0１２３P错误!错误!错误!错误!超几何分布的特点（１）对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出；（２）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．１．从装有３个白球、４个红球的箱子中，随机取出了３个球，恰好是２个白球、１个红球的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｃ．如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝错误!＝错误!.２．第二十八届亚洲男篮锦标赛在长沙举行，为了做好亚锦赛期间的接待服务工作，长沙大学学生实践活动中心从8名学生会干部（其中男生５名，女生３名）中选３名参加亚锦赛的志愿者服务活动．若所选３名学生中的女生人数为X，求X的分布列．解：因为8名学生会干部中有５名男生，３名女生，所以X的分布列服从超几何分布．X的所有可能取值为0，１，２，３，其中P（X＝i）＝错误!（i＝0，１，２，３）．由公式可得P（X＝0）＝错误!＝错误!，P（X＝１）＝错误!＝错误!，P（X＝２）＝错误!＝错误!，P（X＝３）＝错误!＝错误!.所以X的分布列为X0１２３P错误!错误!错误!错误!对于随机变量X的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．易错防范（１）确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．（２）对于分布列易忽视其性质p１＋p２＋…＋p n＝１及p i≥0（i＝１，２，…，n），其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．１．设随机变量X的概率分布列如下表所示：X0１２P a错误!错误!若F（x）＝P（XＡ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．由分布列的性质，得a＋错误!＋错误!＝１，所以a＝错误!.而x∈[１，２），所以F（x）＝P（X≤x）＝错误!＋错误!＝错误!.２．在１５个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选１0个村庄，用X表示这１0个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于错误!的是（）Ａ．P（X＝２）B．P（X≤２）Ｃ．P（X＝４）D．P（X≤４）解析：选Ｃ．X服从超几何分布，P（X＝k）＝错误!，故k＝４，故选Ｃ．３．抛掷２颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P（X≤４）＝________．解析：抛掷２颗骰子有３6个基本事件，其中X＝２对应（１，１）；X＝３对应（１，２），（２，１）；X＝４对应（１，３），（２，２），（３，１）．所以P（X≤４）＝P（X＝２）＋P（X＝３）＋P（X＝４）＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.答案：错误!４．已知随机变量ξ只能取三个值：x１，x２，x３，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．解析：设ξ取x１，x２，x３时的概率分别为a—d，a，a＋d，则（a—d）＋a＋（a＋d）＝１，所以a＝错误!，由错误!得—错误!≤d≤错误!.答案：错误!５．抛掷一枚质地均匀的硬币３次．（１）写出正面向上次数X的分布列；（２）求至少出现两次正面向上的概率．解：（１）X的可能取值为0，１，２，３．P（X＝0）＝错误!＝错误!；P（X＝１）＝错误!＝错误!；P（X＝２）＝错误!＝错误!；P（X＝３）＝错误!＝错误!.所以X的分布列为P错误!错误!错误!错误!P（X≥２）＝P（X＝２）＋P（X＝３）＝错误!＋错误!＝错误!.6．（２0１8·惠州市第三次调研考试）某大学志愿者协会有6名男同学，４名女同学．在这１0名同学中，３名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这１0名同学中随机选取３名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（１）求选出的３名同学是来自互不相同学院的概率；（２）设X为选出的３名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．解：（１）设“选出的３名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P（A）＝错误!＝错误!.所以选出的３名同学是来自互不相同学院的概率为错误!.（２）随机变量X的所有可能值为0，１，２，３．P（X＝k）＝错误!（k＝0，１，２，３）．所以随机变量X的分布列是X0１２３P错误!错误!错误!错误!7理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知次数在[１00，１１0）间的频数为7，次数在１１0以下（不含１１0）视为不达标，次数在[１１0，１３0）间的视为达标，次数在１３0以上视为优秀．（１）求此次抽样的样本总数为多少人？（２）在样本中，随机抽取一人调查，则抽中不达标学生、达标学生、优秀学生的概率分别是多少？（３）将抽样的样本频率视为总体概率，若优秀成绩记为１５分，达标成绩记为１0分，不达标成绩记为５分，现在从该校高一学生中随机抽取２人，他们的分值和记为X，求X的分布列．解：（１）设样本总数为n，由频率分布直方图可知：次数在[１00，１１0）间的频率为：0．0１４×１0＝0．１４，所以错误!＝0．１４，解得n＝５0．（２）记抽中不达标学生的事件为C，抽中达标学生的事件为B，抽中优秀学生的事件为A.P（C）＝0．006×１0＋0．0１４×１0＝0．２0；P（B）＝0．0２8×１0＋0．0２２×１0＝0．５0；P（A）＝１—P（B）—P（C）＝0．３0．（３）在高一学生中随机抽取２名学生的成绩和X＝１0，１５，２0，２５，３0．P（X＝１0）＝0．２×0．２＝0．0４；P（X＝１５）＝２×0．２×0．５＝0．２；P（X＝２0）＝0．５２＋２×0．２×0．３＝0．３7；P（X＝２５）＝２×0．３×0．５＝0．３；P（X＝３0）＝0．３２＝0．09．X的分布列为X１0１５２0２５３0P 0．0４0．２0．３70．３0．09１．（２0１8·广东省五校协作体第一次诊断考试）下图是某市１１月１日至１４日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于１00表示空气质量优良，空气质量指数大于２00表示空气重度污染，某人随机选择１１月１日至１２日中的某一天到达该市，并停留３天．（１）求此人到达当日空气重度污染的概率；（２）设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列．解：设A i表示事件“此人于１１月i日到达该市”（i＝１，２，…，１２）．依题意知，P（A i）＝错误!，且A i∩A j＝∅（i≠j）．（１）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A１∪A２∪A３∪A7∪A１２，所以P（B）＝P（A１∪A２∪A３∪A7∪A１２）＝P（A１）＋P（A２）＋P（A３）＋P（A7）＋P（A１２）＝错误!.即此人到达当日空气重度污染的概率为错误!.（２）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，１，２，３，P（ξ＝0）＝P（A４∪A8∪A9）＝P（A４）＋P（A8）＋P（A9）＝错误!＝错误!，P（ξ＝２）＝P（A２∪A１１）＝P（A２）＋P（A１１）＝错误!＝错误!，P（ξ＝３）＝P（A１∪A１２）＝P（A１）＋P（A１２）＝错误!＝错误!，P（ξ＝１）＝１—P（ξ＝0）—P（ξ＝２）—P（ξ＝３）＝１—错误!—错误!—错误!＝错误!.所以ξ的分布列为２．（２0一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行的方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了５0人，将调查结果进行整理后制成下表：求恰有２人不赞成的概率；（２）在（１）的条件下，令选中的４人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．解：（１）由表知，年龄在[１５，２５）内的有５人，不赞成的有１人，年龄在[２５，３５）内的有１0人，不赞成的有４人，恰有２人不赞成的概率为P＝错误!·错误!＋错误!·错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.（２）ξ的所有可能取值为0，１，２，３．P（ξ＝0）＝错误!·错误!＝错误!×错误!＝错误!，P（ξ＝１）＝错误!·错误!＋错误!·错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!，P（ξ＝２）＝错误!，P（ξ＝３）＝错误!·错误!＝错误!×错误!＝错误!，所以ξ的分布列是。