离散型随机变量及分布列(一轮复习)

1 2． 1．2离散型随机变量的分布列

教学目标：

知识与技能：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。

过程与方法：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。

情感、态度与价值观：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。

教学重点：离散型随机变量的分布列的概念

教学难点：求简单的离散型随机变量的分布列

授课类型：新授课

课时安排：4课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示

2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量

3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量

4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出

若是随机变量，baba,,是常数，则也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）

请同学们阅读课本P5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？

二、讲解新课：

1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为

x1，x2，…，x3，…，

ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为()iiPxp，则称表

ξ x1 x2 … xi …

P P1 P2 … Pi …

为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列

2.

分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0AP，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：

⑴Pi≥0，i＝1，2，…；

离散型随机变量的分布列(高三复习课教学设计)

失散型随机变量的散布列 (高三复习课教课方案） 一、教课目 ：

1. 理解失散型随机 量的散布列的意 ，会求某些 的失散型随机 量的散布列； 2. 掌握失散型随机 量的散布列的两个基天性 ，并会用它来解决一些 的 ． 3. 会求出某些 的失散型随机 量的散布列 二、教课要点：

认识失散型随机 量的意 ，会求出某些 的失散型随机 量的散布列三．教课

点： 几何散布与二 散布的区 ．四、教课 ：

（一）知

1．事件与概率：

事 件 定 概 率

等可能事件 ① 每次 只有有限个 果 m

② 每个 果出 的时机相等． P( A)

n

互斥事件 不行能同 生的几个事件 P(A+B)=P(A)+P(B)

立事件 在一次 中必有一个 生的两个互斥事件 P(A+B)=P(A)+P(B)=1

互相独立事件 事件 A 能否 生 事件 B 生的概率无影响 P(AB)=P(A)P(B)

独立重复 ① 能够在同样的条件下重复 行． Pn (k ) Cnk p k (1 p) n k

( 努利 ) ②事件 A 在每次 中 生的概率同样．

2．随机 量 ：假如随机 的 果能够用一个 量来表示，那么 的 量叫做随机 量 随机 量常用希腊字母 ξ 、η 等表示

3．失散型随机 量的散布列 : ξ 可能取的 x1 , x2 xn 且 P( xi ) pi 称表：

ξ X1 x2 ⋯ xi ⋯ P P1 P2 ⋯ Pi ⋯

随机 量 ξ 的散布列．

4 ．失散型随机 量的散布列的性 : ① pi 0(i 1,2,⋯ )；② P1+P2+⋯ =1

5 二 散布 : 事件 A 在一次 中 生的概率 p， 在 n 次独立重复 中事件 A

离散型随机变量的分布列（学案）

学习目标：

1、理解离散型随机变量及其分布的概念，掌握分布列的两个基本性质；

2、会求一些简单的离散型随机变量的分布列。

一、温故知新

1. 随机变量

随着

结果变化而变化的

称为随机变量。常用字母

表示。

2、离散型随机变量

所有取值可以 的随机变量，称为离散型随机变量。

二、实例引入

在随机试验掷一枚骰子中，我们可以定义一个随机变量X , X 的值分别对应试验所得的点数，X 的可取值是什么？X 取每个值的概率分别是多少？

三、新授知识

1. 分布列:

设离散型随机变量X可能取的不同值为

x1，x2，„，x3，„，xn

X取每一个值xi（i=1，2，„n）的概率为iipxXP)(，则称表

X x1 x2 „

xi „ xn

P P1 P2 „ Pi „ Pn

为随机变量X的 ，简称 .

2、分布列的三种表示法

（1）解析式法

iipxXP)( （i=1，2，„n）

（2）表格法

（3）图象法 Key：函数可以用解析式、表格或图象表示，离散型随机变量的分布列也可以用解析式、表格或图象表示。

练一练：分别用三种表示形式写出“实例引入”的分布列。

3、 离散型随机变量的分布列的两个性质：

（1） ；

（2） 。

四、典型例题

例1. 某一射手射击所得环数ξ 的分布列如下:

ξ 4 5 6 7 8 9 10

P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29

0.22

求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率.

例2、随机变量X的分布列为

日照实验高中2007级导学案——概率

2.1.2离散型随机变量的分布列

学习目标：

1：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。

2：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。

学习重点、难点：离散型随机变量的分布列的概念；求简单的离散型随机变量的分布列

自主学习：

一、知识再现：

1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示

2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量

3. 若是随机变量，baba,,是常数，则也是随机变量 并且不改变其属性（离散型）

请同学们阅读课本的内容，说明什么是随机变量的分布列？

二、新课探究：

1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为

x1，x2，„，x3，„，

ξ取每一个值xi（i=1，2，„）的概率为()iiPxp，则称表

ξ x1 x2 „ xi „

P P1 P2 „ Pi „

为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列

2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0AP，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：

⑴Pi≥0，i＝1，2，„；

⑵P1+P2+„=1．

对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即)()()(1kkkxPxPxP

三．例题解析

例1.在掷一枚图钉的随机试验中，令

1，针尖向上；X=0,针尖向下.

如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量 X 的分布列．

解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（1p) ．于是，随机变量 X 教师备课

学习笔记

的分布列是

ξ 0 1

P 1p p

日照实验高中2007级导学案——概率

2.1.2离散型随机变量的分布列

学习目标：

1：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。

2：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。

学习重点、难点：离散型随机变量的分布列的概念；求简单的离散型随机变量的分布列

自主学习：

一、知识再现：

1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示

2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量

3. 若是随机变量，baba,,是常数，则也是随机变量 并且不改变其属性（离散型）

请同学们阅读课本的内容，说明什么是随机变量的分布列？

二、新课探究：

1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为

x1，x2，…，x3，…，

ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为()iiPxp，则称表

ξ x1 x2 … xi …

P P1 P2 … Pi …

为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列

2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0AP，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：

⑴Pi≥0，i＝1，2，…；

⑵P1+P2+…=1．

对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即)()()(1kkkxPxPxP

三．例题解析

例1.在掷一枚图钉的随机试验中，令

1，针尖向上；X=0,针尖向下.

如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量 X 的分布列．

解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（1p) ．于是，随机变量 X 教师备课

学习笔记

的分布列是

ξ 0 1

P 1p p

专注·专业·口碑·极致 - 1 -

1．离散型随机变量的概率分布

(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量；所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．

(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

为离散型随机变量X的概率分布表，具有如下性质：

①pi____0，i＝1,2，…，n；

②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝__1__.

离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．

2．两点分布

如果随机变量X的概率分布表为

X

0 1

P 1－p p

其中0

3．超几何分布

一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n (n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么

P(X＝r)＝CrMCn－rN－MCnN (r＝0,1,2，…，l)．

即

专注·专业·口碑·极致 - 2 - X 0 1 … l

P C0MCn－0N－MCnN C1MCn－1N－MCnN … ClMCn－lN－MCnN

其中l＝min(M，n)，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.

如果一个随机变量X的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( )

(2)离散型随机变量的概率分布描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( )

(3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．( )

(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．( )

(5)离散型随机变量的概率分布中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( )

第七讲 离散型随机变量及其分布列

A组基础巩固

一、单选题

1．设随机变量X的概率分布列如下表所示：

X 0 1 2

P a 13 16

F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)＝( D )

A．13 B．16

C．12

D．56

[解析] ∵a＋13＋16＝1，∴a＝12.

∵x∈[1,2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝12＋13＝56.

2．(2019·合肥模拟)设某项试验的成功率是失败率的2倍，试验一次要么成功要么失败，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于( C )

A．0 B．12

C．13 D．23

[解析] X可能取值为0或1，而P(X＝1)＝2P(X＝0)，且P(X＝1)＋P(X＝0)＝1.所以P(X＝0)＝13.故选C.

3．(2019·陕西西安高三检测)已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝12k，k＝1,2，…，则P(2

A．316 B．14

C．116 D．15

[解析] P(2

4．(2019·孝感模拟)已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)＝( B )

A．185 B．215 C．4 D．245

[解析] 由题意知，X的所有可能取值为3,4,5，且P(X＝3)＝C33C35＝110，P(X＝4)＝C23·C12C35＝35，P(X＝5)＝C13·C22C35＝310，所以E(X)＝3×110＋4×35＋5×310＝215.

5．(2020·安徽六校联考)2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”．现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为( B )

离散型随机变量的均值与方差、正态分布

一、基础知识

1.均值

一般地，若离散型随机变量X的分布列为：

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

1期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.,2EX是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而EX是不变的，它描述X取值的平均状态.,3EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接给出了EX的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加.

2.方差

设离散型随机变量X的分布列为：

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度.而D(X)＝(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根DX为随机变量X的标准差.

1随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.DX越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散.反之，DX越小，X的取值越集中在EX附近.,2方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负.

3.两个特殊分布的期望与方差

分布 期望 方差

两点分布 E(X)＝p D(X)＝p(1－p)

二项分布 E(X)＝np D(X)＝np(1－p)

4.正态分布

(1)正态曲线的特点

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；

1 第60课 离散型随机变量及其概率分布

[最新考纲]

内容 要求

A B C

离散型随机变量及其分布列 √

超几何分布 √

1．离散型随机变量

随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．

2．离散型随机变量的分布列及性质

(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下表称为离散型随机变量X的概率分布.

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

(2)离散型随机变量的概率分布的性质：

①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋p3＋…＋pn＝1.

3．常见离散型随机变量的概率分布

(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其概率分布为

X 0 1

P 1－p p

，其中p＝P(X＝1)称为成功概率．

(2)超几何分布

一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品， 2 用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝r)＝CrMCn－rN－MCnN(r＝0,1,2，…，l)．

即

X 0 1 … l

P C0MCn－0N－MCnN C1MCn－1N－MCnN … ClMCn－lN－MCnN

其中l＝min(n，M)，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋.

如果一个随机变量X的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)离散型随机变量的概率分布中，各个概率之和可以小于1.( )

(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )

(3)如果随机变量X的概率分布由下表给出，则它服从两点分布．( )

X 2 5

P 0.3 0.7

(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．( )

§9.5 离散型随机变量的分布列和数字特征 考试要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征．

1．离散型随机变量

一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．

2．离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．

3．离散型随机变量的分布列的性质：

①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.

4．离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

(1)均值

称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝i＝1nxipi为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(2)方差

称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝i＝1n (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称DX为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．

5．均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． 微思考

1．某电子元件的使用寿命x1，掷一枚骰子，正面向上的点数x2，思考x1，x2可作为离散型随机变量吗？

提示 x1不可作为离散型随机变量，x2可作为离散型随机变量．

2．期望和算术平均数有何区别？

提示 期望刻画了随机变量取值的平均水平；而算术平均数是针对若干个已知常数来说的．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

1 第60讲 离散型随机变量及其分布列

[解密考纲]离散型随机变量及其分布列在高考中一般与排列、组合及古典概型、几何概型、二项分布及超几何分布相结合，以实际问题为背景呈现在三种题型中，难度中等或较大．

一、选择题

1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝( C )

A．0 B．12

C．13 D．23

解析 设X的分布列为：

X 0 1

P p 2p

即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p，∴由p＋2p＝1，得p＝13，故选C．

2．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于n－m2mA3n的是( D )

A．P(X＝3) B．P(X≥2)

C．P(X≤3) D．P(X＝2)

解析 由超几何分布知P(X＝2)＝n－m2mA3n.

3．设X是一个离散型随机变量，其分布列为

X －1 0

1

P 13 2－3q q2

则q＝( C )

A．1

B．32±336

C．32－336 D．32＋336

解析 由分布列的性质知 2－3q≥0，q2≥0，13＋2－3q＋q2＝1，∴q＝32－336. 2 4．随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝ann＋(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P12

A．23 B．34

C．45 D．56

解析 ∵P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝a2＋a6＋a12＋a20＝1，∴a＝54，∴P12

5．若随机变量X的分布列为

X －2 －1 0 1 2 3

P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1

则当P(X

A．(－∞，2] B．[1,2]

C．(1,2] D．(1,2)

解析 由随机变量X的分布列知：P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X

第九章 第七节 离散型随机变量及分布列

一、选择题

1．某射手射击所得环数X的分布列为：

X 4 5 6 7 8 9 10

P 0.02 0.04 0.06 0.09

0.28 0.29 0.22

则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( )

A．0.28

B．0.88

C．0.79 D．0.51

2．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C47C68C1015的是( )

A．P(X＝2) B．P(X≤2)

C．P(X＝4) D．P(X≤4)

3．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为( )

A.1220 B.2755

C.27220 D.2125

4．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，若P(X＜4)＝0.3，则( )

A．n＝3 B．n＝4

C．n＝9

D．n＝10

5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：

X －1 0

1

P 0.5 1－2q q2

则q等于( )

A．1 B．1±22

C．1－22 D．1＋22

6．随机变量X的概率分布规律为P(X＝k)＝ckk＋，k＝1,2,3,4，其中c是常数，则P(12

A.23 B.34

C.45 D.56

二、填空题

7．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．

8．设随机变量X的概率分布列如下表所示：

课时作业(六十二) 第62讲 离散型随机变量及其分布列

时间：45分钟 分值：100分

基础热身

1．10件产品中有3件次品，从中任取两件，可作为随机变量的是( )

A．取到产品的件数

B．取到正品的概率

C．取到次品的件数

D．取到次品的概率

2．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是( )

A．第一枚6点，第二枚2点

B．第一枚5点，第二枚1点

C．第一枚1点，第二枚6点

D．第一枚6点，第二枚1点

3．已知随机变量X的分布列如下表：

X 1 2 3

4

5

P 115 215 m 415 13

则m的值为( )

A.115 B.215 C.15 D.415

4．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于C47C68C1015的是(

)

A．P(X＝2) B．P(X≤2)

C．P(X＝4) D．P(X≤4)

能力提升

5．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有( )

A．17个 B．18个

C．19个 D．20个

6．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝a·23i，i＝1,2,3，则a的值为( )

A.1738 B.2738 C.1719 D.2719

7．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝i2a，(i＝1,2,3)，则P(X＝2)等于( )

A.19 B.16 C.13 D.14

8．50个乒乓球中，合格品为45个，次品为5个，从这50个乒乓球中任取3个，出现次品的概率是(

)

A.C35C350 B.C15＋C25＋C35C350

C．1－C345C350 D.C15C245C350

9．随机变量X的分布列为P(X＝k)＝ck(k＋1)(k＝1,2,3,4)，其中c为常数，则P12

第九节 离散型随机变量的均值与方差

1．离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为P(ξ＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n

(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．

(2)方差：称D(X)＝i＝1n (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，其算术平方根D（X）为随机变量X的标准差．

2．均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．

(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．

3．两点分布与二项分布的均值、方差

均值 方差

变量X听从两点分布 E(X)＝p D(X)＝p(1－p) X～B(n，p) E(X)＝np D(X)＝np(1－p)

1．(质疑夯基)推断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．( )

(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．( )

(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．( )

(4)在篮球竞赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，假如某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是0.7.( )

答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×

2．已知X的分布列为( )

X －1 0 1

P 12 13 16

设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( )

A.73 B．4

C．－1 D．1

解析：E(X)＝－12＋16＝－13，

E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝73.

答案：A

3．已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则a的值为( )

X

4

a

9

P 0.5 0.1 b

A.5 B．6

高考数学总复习考点知识专题讲解

专题11离散型随机变量及其分布列

知识点一 随机变量的概念、表示及特征

1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)

与之对应，我们称X为随机变量．

2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的

取值，如x，y，z.

3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特

征：

(1)取值依赖于样本点．

(2)所有可能取值是明确的．

知识点二 离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量．

判断离散型随机变量的方法

(1)明确随机试验的所有可能结果；

(2)将随机试验的结果数量化；

(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离

散型随机变量，否则不是．

【例1】（（2023•丰台区期末）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为

()

①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数

1X；②一个沿直线

2yx进行随机运动的质点离坐标原点的距离

2X；③某同学射击3次，命中的次数

3X；④某电子元件的寿

命

4X；

A．①②B．③④C．①③D．②④

【例2】（2023•从化区期中）袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个

号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量

X，

则

X所有可能取值的个数是

()

A．25B．10C．9D．5

知识点三 离散型随机变量的分布列及其性质

1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x

1，x

2，…，x

n，我们称X取每一

个值x

i的概率P(X＝x

i)＝p

i，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列．

2．分布列的性质

(1)p

i≥0，i＝1,2，…，n.

(2)p

1＋p

2＋…＋p

n＝1.

分布列的性质及其应用

(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值

离散型随机变量及分布列

课时作业

1．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为( )

A．X＝4 B．X＝5

C．X＝6 D．X≤4

答案 C

解析 第一次取到黑球，则放回1个球，第二次取到黑球，则放回2个球，…，共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.

2．一个人有5把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，试过的次数ξ为随机变量，则P(ξ＝3)＝( )

A.35 B.15

C.25 D.3！5！

答案 B

解析 ξ＝3表示第3次恰好打开，前2次没有打开，所以P(ξ＝3)＝A24A35＝15.

3．若随机变量X的分布列为

X －2 －1 0 1 2 3

P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1

则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是( )

A．(－∞，2] B．[1,2]

C．(1,2] D．(1,2)

答案 C

解析 由随机变量X的分布列，得P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．

4．(2019·淄博一中模拟)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于( )

A．0 B.13

C.12 D.23

答案 B 解析 设P(ξ＝1)＝p，则P(ξ＝0)＝1－p.依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝23.故P(ξ＝0)＝1－p＝13.

5．(2019·新疆乌鲁木齐模拟)口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为( )

A.13 B.23

C．2 D.83

答案 D

解析 因为口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号X的可能取值为2,3，所以P(X＝2)＝1C23＝13，P(X＝3)＝C12C11C23＝23，所以E(X)＝2×13＋3×23＝83.