浙江省普通高校招生学考科目考试2021年高考数学高考数学压轴题 数列多选题分类精编附答案

一、数列多选题1．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a na a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．11a =B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >答案：BC 【分析】根据递推公式，得到，令，得到，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到，求出，可得C 正确，D 错. 【详解】 由可知，即，当时，则，即得到，故选项B 正确；无法计算，故A 错； ，所以，则解析：BC 【分析】根据递推公式，得到11n n nn n a a a +-=-，令1n =，得到121a a =，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到1n n nS a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n na n n n a a a a ++--==+，即11n n n n n a a a +-=-， 当1n =时，则121a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】 方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解；（2）累乘法，形如()1n na f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解； （3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解.2．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0答案：ABD 【分析】对于A ，由题意得bn＝an2，然后化简4(b2020－b2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{an}满足a1＝a2＝1，an ＝an －1＋an －2 (n≥3解析：ABD 【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】 由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n－12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题3．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2答案：ABC 【分析】根据不等式对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有恒成立，当n 为偶数时有恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：恒成立， 由递减解析：ABC 【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n-<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立，由12+n 递减，且1223n<+≤，所以2a -≤，即2a ≥-，当n 为偶数时有：12a n<-恒成立， 由12n -第增，且31222n≤-<， 所以32a <， 综上可得：322a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 4．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n= B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1{}nS 为递增数列 答案：AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得. 【详解】因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确；解析：AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 11104n n n S S S -≠∴-= 因此数列1{}n S 为以114S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确；所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，即B ，C 不正确；故选：AD 【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.5．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4B ．5C ．7D ．8答案：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差即每一层比上一层多的根数为，设一共放层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差解析：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：()()111110022n n n d n n S na na --=+=+= 整理得120021a n n=+-，因为1a *∈N ，所以n 为200的因数，()20012n n+-≥且为偶数， 验证可知5,8n =满足题意. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题. 6．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．110S =B ．10n n S S -=（110n ≤≤）C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥答案：BC 【分析】设公差d 不为零,由，解得，然后逐项判断. 【详解】 设公差d 不为零, 因为， 所以， 即， 解得， ，故A 错误； ，故B 正确；若，解得，，故C 正确；D 错误； 故选：BC解析：BC 【分析】 设公差d 不为零,由38a a =，解得192a d =-，然后逐项判断.【详解】 设公差d 不为零, 因为38a a =，所以1127a d a d +=+， 即1127a d a d +=--， 解得192a d =-，11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭，故A 错误；()()()()()()221101110910,10102222n n n n n n d dna d n n n a n n S S d ----=+=-=-+=-，故B 正确；若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=> ⎪⎝⎭，解得0d >，()()22510525222n d d d n n S n S =-=--≥，故C 正确；D 错误； 故选：BC 7．已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a d +=+（d 为常数） B ．数列{}n a -是等差数列 C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 D ．1n a +是n a 与2n a +的等差中项答案：ABD 【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】A.因为数列是等差数列，所以，即，所以A 正确；B. 因为数列是等差数列，所以，那么，所以数解析：ABD 【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】A.因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，即1n n a a d +=+，所以A 正确；B. 因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，那么()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-，所以数列{}n a -是等差数列，故B 正确；C.111111n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==，不是常数，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等差数列，故C 不正确；D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+，所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型.8．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是（ ）A ．{}n a 为等差数列B ．0n a >C ．n S 最小值为214-D ．{}n a 为单调递增数列答案：AD 【分析】利用求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对进行配方可对C 进行判断 【详解】 解：当时，， 当时，， 当时，满足上式， 所以，由于，所以数列为首项为，公差为2的等差数列， 因解析：AD 【分析】 利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断【详解】解：当1n =时，11154a S ==-=-，当2n ≥时，2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，当1n =时，14a =-满足上式， 所以26n a n =-，由于()122n n a a n --=≥，所以数列{}n a 为首项为4-，公差为2的等差数列， 因为公差大于零，所以{}n a 为单调递增数列，所以A ，D 正确，B 错误， 由于225255()24n S n n n =-=--，而n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，n S 取最小值，且最小值为6-，所以C 错误， 故选：AD 【点睛】此题考查,n n a S 的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题，属于基础题 9．下列命题正确的是（ ）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列答案：BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知，必是递增数列；C 选项：时，是等差数列，而a = 1，解析：BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD 【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题. 10．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（ ）A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；B ．2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈）；C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ； D ．{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈）.答案：AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．【详解】A 选项中（，为常数，），数列的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中（为常数，），不符合从第二项起解析：AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列． 【详解】A 选项中n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；C 选项中()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ，对于数列{}n a 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈），不符合2n S An Bn =+，所以{}n a 不为等差数列．故错误． 故选：AC 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．。

浙江省2021年高考数学压轴卷〔含解析〕本试题卷分选择题和非选择题两局部。

全卷共4页 , 选择题局部1至2页 ; 非选择题局部3至4页。

总分值150分。

考试用时120分钟。

参考公式 : 如果事件A ,B 互斥 , 那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A , B 相互独立 , 那么()()()P AB P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k kn kn nP k p p k n -=-=台体的体积公式11221()3V S S S S h =++其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积 ,h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积 , h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积 , h 表示锥体的高球的外表积公式 24S R =π球的体积公式 343V R =π 其中R 表示球的半径选择题局部〔共40分〕一、选择题 : 本大题共10小题 , 每道题4分 , 共40分。

在每道题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．已知集合{0A x x =≤或}2x ≥ , {}|11B x x =-<< , 那么A B =〔 〕A ．()1,-+∞B ．()1,1-C ．(]1,0-D ．[)0,12．已知i 是虚数单位 , 那么()()112i i +-=〔 〕 A ．3i +B ．3i -C ．1i -+D ．1i --3．已知a 、b R ∈ , 且a b > , 那么A ．11a b<B ．sin sin a b >C ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22a b >4．函数()2cos xx x f x e+=在[]2,2ππ-上的大致图象为〔 〕A ．B ．C ．D ．5．设m R ∈ , 那么〞12m ≤≤〞是〞直线:0l x y m +-=和圆22:2420C x y x y m +--++=有公共点〞的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知离散型随机变量X 的所有可能取值为0 , 1 , 2 , 3 , 且()213P X ≥=, 1(3)6P X ==, 假设X 的数学期望()54E X = , 那么()43D X -=〔 〕A ．19B ．16C ．194 D ．747．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为()12,0F - , ()22,0F , P为双曲线上位于第二象限内的一点 , 点Q 在y 轴上运动 , 假设21PQ QF PF +-的最小值为233, 那么双曲线的离心率为〔 〕 A ．3B ．23C ．33D ．438．已知1x , 2x , 是函数()()()tan 0,0f x x ωϕωϕπ=-><<的两个零点 , 且12x x -的最小值为3π, 假设将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度后得到的图象关于原点对称 , 那么ϕ的最大值为〔 〕 A ．34π B ．4π C ．78π D ．8π 9．如以下图 , 正方形ABCD 和正方形ADEF 成60︒的二面角 , 将DEF 绕DE 旋转 ,在旋转过程中〔1〕对任意位置 , 总有直线AC 与平面DEF 相交 ;〔2〕对任意位置 , 平面DEF 与平面ABCD 所成角大于或等于60︒ ; 〔3〕存在某个位置 , 使DF ⊥平面ABCD ; 〔4〕存在某个位置 , 使DF BC ⊥. 其中正确的选项是〔 〕. A ．〔1〕〔3〕 B ．〔2〕〔3〕C ．〔2〕〔4〕D ．〔3〕〔4〕10．已知函数()321162f x x bx cx =++的导函数()'f x 是偶函数 , 假设方程()'ln 0f x x -=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(其中e 为自然对数的底)上有两个不相等的实数根 , 那么实数c 的取值范围是 A ．2111,2e 2⎡⎤---⎢⎥⎣⎦B ．2111,2e 2⎡⎫---⎪⎢⎣⎭C ．2111e ,22⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．2111e ,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦非选择题局部〔共110分〕二、填空题 : 本大题共7小题 , 多空题每道题6分 , 单空题每道题4分 , 共36分。

2021年高考数学高考数学压轴题 数列多选题分类精编及解析一、数列多选题1．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ） A ．－4 B ．－2C ．0D ．2【答案】AB 【分析】 由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-， 上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<，()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.2．已知数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， n S 是数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ） A ．()21121n nS n a -=-⋅ B ．212n n S S =C ．2311222n n n S S ≥-+ D ．212n n S S ≥+【答案】CD 【分析】根据数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，得到1223+++=+n n a a n ，两式相减得：22n n a a +-=，然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式，再逐项判断.【详解】因为数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， 所以1223+++=+n n a a n ， 两式相减得：22n n a a +-=，所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列； 偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列； 所以数列{} n a 的通项公式是n a n =， A. 令2n =时， 311111236S =++=，而 ()1322122⨯-⋅=，故错误； B. 令1n =时， 213122S =+=，而 11122S =，故错误；C. 当1n =时， 213122S =+=，而 31132222-+=，成立，当2n ≥时，211111...23521n n S S n =++++--，因为221n n >-，所以11212n n >-，所以111111311...1 (352148222)n n n ++++>++++=--，故正确； D. 因为21111...1232n n S S n n n n-=+++++++，令()1111...1232f n n n n n=+++++++，因为()111111()021*******f n f n n n n n n +-=+-=->+++++，所以()f n 得到递增，所以()()112f n f ≥=，故正确；故选：CD【点睛】本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题.3．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，且112n n n S a a +=⋅-，则（ ）A ．12d =B ．11a =C ．数列{}n a 中可以取出无穷多项构成等比数列D ．设(1)nn n b a =-⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2n T n =【答案】AC 【分析】利用已知条件可得11212n n n S a a +++=-与已知条件两式相减，结合{}n a 是等差数列，可求d的值即可判断选项A ，令1n =即可求1a 的值，可判断选项B ，分别计算{}n a 的通项即可判断选项C ，分别讨论两种情况下21212n n b b -+=，即可求2n T 可判断选项D. 【详解】 因为112n n n S a a +=-，所以11212n n n S a a +++=-， 两式相减，得()11212n n n n n a a a a da ++++=-=， 因为0d ≠，所以21d =，12d =，故选项 A 正确； 当1n =时，1111122a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，易解得11a =或112a =-，故选项B 不正确；由选项A 、B 可知，当112a =-，12d =时，()1111222n na n =-+-⨯=-，{}n a 可取遍所有正整数，所以可取出无穷多项成等比数列，同理当()()1111122n a n n =+-⨯=+时也可以取出无穷多项成等比数列，故选项C 正确； 当()112n a n =+时，()221212n n b a n ==+，()212112112n n b a n n --=-=--+=-， 因为21221212n n n n b b a a --+=-+=，所以()()()212342122n n n n T b b b b b b -=++++++=，当12n n a =-时，2212112n n b a n n ==⨯-=-，2121213122n n n b a n ---⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭， 所以22131122n n b b n n -+=-+-=， 此时()()()22212223212n n n n n nT b b b b b b ---=++++++=， 所以2n T n ≠，故选项D 不正确． 故选：AC. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.4．设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，1121,n n n S S S n++==，且212n n n n a b a a ++=，则下列结论正确的是（ ） A ．20202020a = B ．()12n n n S += C ．()112n b n n =-+D ．1334n T n ≤-< 【答案】ABD 【分析】可由累乘法求得n S 的通项公式，再由()12n n n S +=得出n a n =，代入212n n n n a b a a ++=中可得()112n b n n =++.由裂项相消法求出n T ，利用数列的单调性证明1334n T n ≤-<.【详解】由题意得，12n n S n S n++=，∴当2n ≥时，121121112n n n n n S S S n n S S S S S n n ---+=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅--()13112n n +⋅=，且当1n =时也成立， ∴ ()12n n n S +=，易得n a n =，∴ 20202020a =，故,A B 正确； ∴ ()()()211111112222n n b n n n n n n +⎛⎫==+=+- ⎪+++⎝⎭，∴11111111111111112324351122212n T n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-+-=++-- ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭3111342124n n n n ⎛⎫=+-+<+ ⎪++⎝⎭， 又n T n -随着n 的增加而增加， ∴1113n T n T -≥-=，∴1334n T n ≤-<，C 错误，D 正确， 故选：ABD. 【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且12a =，38a =则（ ） A ．512a = B ．公差3d = C ．()261n S n n =+ D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为64nn + 【答案】BCD 【分析】根据已知条件求出等差数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，即可判断选项A 、B 、C ，再利用裂项求和即可判断选项D. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，则312228a a d d =+=+=，解得：3d =，故选项B 正确； 所以()21331n a n n =+-⨯=-，对于选项A ：535114a =⨯-=，故选项A 不正确；对于选项C ：()()2222132612n n S n n n ++-⨯⎡⎤⎣⎦=⨯=+，所以故选项C 正确；对于选项D ：()()111111313233132n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以前n 项和为111111111325588113132n n ⎛⎫-+-+-++-⎪-+⎝⎭()611132322324n n n n n ⎛⎫=-== ⎪++⎝⎭+，故选项D 正确， 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.6．在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．2qB ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列【答案】ABC 【分析】 计算可得2q，故选项A 正确；8510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确；lg lg 2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 【详解】{}n a 为递增的等比数列，由142332,12,a a a a =⎧⎨+=⎩得23142332,12,a a a a a a ==⎧⎨+=⎩解得234,8a a =⎧⎨=⎩或238,4a a =⎧⎨=⎩，∵{}n a 为递增数列，∴234,8a a =⎧⎨=⎩∴322a q a ==，212a a q ==，故选项A 正确； ∴2nn a =，()12122212nn nS +⨯-==--，∴9822510S =-=，122n n S ++=，∴数列{}2n S +是等比数列，故选项B 正确；所以122n n S +=-,则9822510S =-=，故选项C 正确.又lg 2lg 2lg nn n a ==⋅，∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：证明数列为等差（等比）数列常用的方法有： （1）定义法； （2）通项公式法 （3）等差（等比）中项法（4）等差（等比）的前n 项和的公式法.要根据已知灵活选择方法证明.7．某集团公司有一下属企业A 从事一种高科技产品的生产.A 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A 企业从第一年开始，每年年底上缴资金t 万元（800t <），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底A 企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.则（ ） A ．22800a t =- B ．175n n a a t +=- C ．1n n a a +> D ．当400t =时，33800a >【答案】BC 【分析】先求得第一年年底剩余资金1a ，第二年底剩余资金2a ，即可判断A 的正误；分析总结，可得1n a +与n a 的关系，即可判断B 的正误；根据题意，求得n a 的表达式，利用作差法即可比较1n a +与n a 的大小，即可判断C 的正误，代入400t =，即可求得3a ，即可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】第一年年底剩余资金12000(140%)2800a t t =⨯+-=-，第二年底剩余资金211712(140%)392055a a t a t t =⨯+-=-=-，故A 错误； 第三年底剩余资金3227109(140%)5488525t a a t a t =⨯+-=-=-，⋅⋅⋅ 所以第n +1年年底剩余资金为17(140%)5n n n a a t a t +=⨯+-=-，故B 正确； 因为212277777()()55555n n n n a a t a t t a t t ---=-=--=--12217777()[1()()]5555n n a t --=-+++⋅⋅⋅+117[1()]75()(2800)7515n n t t ---=---=11757()(2800)[()1]525n n t t -----=1775()(2800)522n t t --+， 所以111722775277[()(2800)]()(2800)555522552n n n n n n n t t ta a a t a a t t --+-=--=-=-+-=-，因为800t <，所以7280002t->， 所以11277()(2800)0552n n n ta a -+-=->，即1n n a a +>，故C 正确； 当400t =时，310910940054885488374438002525t a ⨯=-=-=<，故D 错误； 故选：BC 【点睛】解题的关键是根据123,,a a a ，总结出n a ，并利用求和公式，求得n a 的表达式，综合性较强，考查计算化简的能力，属中档题.8．（多选）在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．1q =B ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列【答案】BC 【分析】 计算可得2q，故选项A 错误；8510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确；lg lg 2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误.【详解】∵142332,12,a a a a =⎧⎨+=⎩∴23142332,12,a a a a a a ==⎧⎨+=⎩ 解得234,8a a =⎧⎨=⎩或238,4a a =⎧⎨=⎩，∵{}n a 为递增数列， ∴234,8a a =⎧⎨=⎩∴322a q a ==，212a a q ==，故选项A 错误； ∴2nn a =，()12122212nn nS +⨯-==--，∴9822510S =-=，122n n S ++=，∴数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确； 又lg 2lg 2lg nn n a ==⋅，∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：证明数列的性质，常用的方法有：（1）定义法；（2）中项公式法.要根据已知灵活选择方法证明.9．数列{}n a 满足11a =，且对任意的*n ∈N 都有11n n a a a n +=++，则下列说法中正确的是（ ） A ．(1)2n n n a +=B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和为20202021 C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和为40402021 D ．数列{}n a 的第50项为2550 【答案】AC 【分析】用累加法求得通项公式，然后由裂项相消法求1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的和即可得． 【详解】因为11n n a a a n +=++，11a =， 所以11n n a a n +-=+， 所以2n ≥时，121321(1)()()()1232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++=， 11a =也适合此式，所以(1)2n n n a +=， 501275a =，A 正确，D 错误， 12112()(1)1n a n n n n ==-++， 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为202011111404021223202020212021S ⎛⎫=-+-++-=⎪⎝⎭，B 错，C 正确． 故选：AC ． 【点睛】本题考查用累加法数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．10．斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，其通项公式n nn a ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，即21n n n a a a ++=+，记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．10711S a =B ．2021201920182a a a =+C ．202120202019S S S =+D ．201920201S a =-【答案】AB 【分析】选项A 分别求出710S a ，可判断，选项B 由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+可判断,选项C ，由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可判断.选项D.由()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-可判断.【详解】因为10143S =，711143a =，所以10711S a =，则A 正确； 由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+， 所以2021201920182a a a =+，所以B 正确；因为202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ， 两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，所以2021202020191S S S =++，所以C 错误；因为()()()()()123324354652122n n n n n S a a a a a a a a a a a a a a a a +++=++++=-+-+-+-++-=-21n a +=-，所以201920211S a =-，所以D 错误.故选：AB.【点睛】 关键点睛：本题考查数列的递推关系的应用，解答本题的关键是由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，以及由递推关系可得()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-，属于中档题.。

2021年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学一、选择题1.设集合{|1}A x x =≥，{|12}B x x =-<<，则A B ⋂=（ ）A.{|1}x x >-B.{|1}x x ≥C.{|11}x x -<<D.{|12}x x ≤<答案：D解析：易知{|12}A B x x ⋂=≤<.故选D2.已知a R ∈，(1)3ai i i +=+（i 为虚数单位），则a =（ ）A.1-B.1C.3-D.3答案：C解析：(1)33ai i i a i a +=-=+⇒=-.故选择：C.3.已知非零向量a ，b ，c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：若c a ⊥且c b ⊥，则0a c b c ⋅=⋅=，但a 不一定等于b ，故充分性不成立，若a b =，则a c b c ⋅=⋅，必要性成立，故为必要不充分条件.故选B.4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A.32B.3C.2D.答案：A解析：易知原图为一个等腰梯形为底面的四棱柱ABCD A B C D ''''-，作C E A D '''⊥，则根据三视图可知1C D ''=，而C ED ''∆为等腰直角三角形，所以2D E C E ''==，再根据三视图可知B C ''=A D ''=故113()12222ABCD A B C D V B C A D C E BB ''''-''''''=+⋅⋅=⨯⨯=.故选A.5.若实数x ，y 满足约束条件1002310xx y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则12z x y =-的最小值是（ ）A.2-B.32- C.12- D.110答案：B解析：画出可行域，如图所示：令直线l ：22y x z =-，易知当l 过点(1,1)-时，z 最小，即为min 13122z =--=-.故选B.6.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（ ）。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(浙江卷)一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={x|x⩾1} , B= {x|−1<x<2}，则A∩B=()A. B. C. D.2.已知a∈R，(1+ai) i =3+i(i为虚数单位)，则a=()A. B. C. D.3.已知非零向量a⃗，b⃗ ，c⃗，则“a⃗⋅c⃗=b⃗ ⋅c⃗”是“a⃗=b⃗ ”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.某几何体的三视图如图所示(单位：厘米)，则该几何体的体积是(单位：cm3)()A.B.C.D.5.若实数x , y满足约束条件{x+1≥0x−y≤02x+3y−1≤0，则z=x−12y最小值是()A. B. C. D.6.已知正方体，，分别是，，，的中点，则()A. 直线与直线垂直，直线平面B. 直线与直线平行，直线平面C. 直线与直线相交，直线平面D. 直线与异面，直线平面7.已知函数，则为右图的函数可能是()A.B. y =f(x)−g(x)−14 C.D.8. 已知，，是三个锐角，则，，中，大于的数至多有( )A. 个B. 个C. 个D. 个9. 已知 a , b ∈ R , a b >0，若函数f(x)=ax 2+b (x ∈R)，且f(s −t)，f(s)，f(s +t)成等比数列，则平面上点(s , t)的轨迹是( )A. 直线和圆B. 直线和椭圆C. 直线和双曲线D. 直线和抛物线10. 已知数列满足，，记数列的前和项，则( )A.B.C.D.二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)，若直角三角形直角边的长分别为3，4，记大正方形的面积为S 1，小正方形的面积为S 2，则S1S 2= ．12. 已知，函数；若，则_________． 13. 已知多项式，则__________；__________．14. 在中，，，是的中点，，则__________；__________．15.袋中有4个红球，个黄球，个绿球，现从中任取两个球，记取出的红球数为；若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则_________，_________．16.已知椭圆，焦点，；过的直线和圆相切，并与椭圆的第一象限交于点，且轴，则该直线的斜率是_________，椭圆的离心率是__________．17.已知平面向量，，满足，，，，记平面向量在，方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为，则的最小值的等于__________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.设函数f(x)=sinx+cosx(x∈R).(1)求函数y=[f(x+π2)]2的最小正周期；(2)求函数y=f(x)f(x−π4)在[0,π2]上的最大值．19.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，，．1证明：；2求直线与平面所成角的正弦值．20.已知数列a n的前n项和为S n，a1=−9，且4S n+1=3S n−9(n∈N∗).4(1)求数列a n的通项公式；(2)设数列{b n}满足3b n+(n−4)a n=0(n∈N∗)，记{b n}的前项和为T n，若T n≤λb n对任意n∈N∗恒成立，求实数λ的取值范围．21.如图，已知F是抛物线y2=2px (p>0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|=2．(1)求抛物线方程；(2)设过点F的直线交抛物线于A , B两点，若斜率为2的直线l与直线MA , MB , AB , x轴依次交于点P , Q , R , N，且满足|RN|2=|PN|·|QN|，求直线l在x轴上截距的取值范围．22.设a , b为实数，且a>1，函数f(x)=a x−b x+e2(x∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意b>2e2，函数f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围；(3)当a=e时，证明：对任意b>e4，函数f(x)有两个不同的零点x1，x2(x1<x2)，且满足x2>blnb2e2x1+e2b．答案和解析1.【答案】D【知识点】相等关系与不等关系、交集及其运算【解析】【解析】由题意可知，A∩B= { x | 1⩽x<2 }，故选D．2.【答案】C【知识点】复数的概念、复数的四则运算、复数相等的充要条件【解析】【解析】∵(1+ai) i = −a+i = 3+i，∴a=−3.故选：C．3.【答案】B【知识点】推理、必要条件、充分条件与充要条件的判断、向量的数量积【解析】【解析】∵a⃗⋅c⃗=b⃗ ⋅c⃗，∴(a⃗−b⃗ )⋅c⃗=0，即(a⃗−b⃗ )⊥c⃗，但a⃗≠b⃗ 不一定成立，故充分性不满足，若a⃗=b⃗ ，则a⃗⋅c⃗=b⃗ ⋅c⃗必成立，故必要性满足，所以是必要不充分条件．故选：B．4.【答案】A【知识点】几何体的侧面积、表面积、体积问题、数学模型与数学探究活动、简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征、空间几何体的三视图【解析】【解析】由三视图可得，直观图如图所示，四棱柱A B C D−A1B1C1D1，由俯视图可知，底面A B C D为等腰梯形，将四棱柱补形成棱长为2的长方体，则BE=√22，所以V=12×(√2+2√2)×√22⋅1=32．故选：A．5.【答案】B【知识点】数学思想和方法、范围与最值问题、二元一次不等式（组）与平面区域【解析】【解析】由题意可知，可行域如图所示，令直线l：y=2x−2z，当直线l过点A(−1 ,1)时，z有最小值−32．故选：B．6.【答案】A【知识点】空间中直线与直线的位置关系、空间中直线与平面的位置关系、简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征、空间中的位置关系 【解析】【解析】连接AD 1，则AD 1与A 1D 交于M ，AD 1⊥AD 1， 在正方体中，∵A B ⊥平面ADD 1A 1，∴A B ⊥A 1D ， ∴AD 1⊥平面ABD 1， ∴A 1D ⊥D 1 B ， ∵M 为AD 1中点， N 为D 1 B 中点， ∴M N//A B ，∴M N//平面A B C D ． 故选：A ．7.【答案】D【知识点】函数的图象、函数的奇偶性、复合函数的单调性、数学模型与数学探究活动 【解析】【解析】易知函数图像表示的是奇函数，y =f(x)+g(x)−14=x 2+sinx 与y =f(x)−g(x)−14=x 2−sinx 均为非奇非偶函数，排除A 和B ，对于C ，y =f(x)g(x)=(x 2+14) sinx 在[0， π2]上单调，与题意不符． 故选：D ．8.【答案】C【知识点】推理、运用反证法证明、三角恒等变换【解析】【解析】假设sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα均大于12，即sinαcosβ>12，sinβcosγ>12，sinγcosα>12，则(sinαcosβ)⋅(sinβcosγ)⋅(sinγcosα)>18，而另一方面，(sinαcosβ)(sinβcosγ)(sinγcosα)=(sinαcosα)(sinβcosβ)(sinγcosγ)，化简得，12sin2α⋅12sin2β⋅12sin2γ=18sin2α⋅sin2β⋅sin2γ≤18，故sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα不可能均大于12，取β=π4，α=π3，γ=π6，得到sinαcosβ=√64>12，且sinβcosγ=√64>12，∴大于12的数至多有2个．故选：C．9.【答案】C【知识点】数学思想和方法、圆锥曲线中的对称性问题、直线方程的综合应用、双曲线的概念及标准方程【解析】【解析】∵f(s−t)，f(s)，f(s+t)成等比数列，∴f2(s)=f(s−t)⋅f(s+t)⇒[a(s−t)2+b][a(s+t)2+b]=(as2+b)2，⇒a2(s2−t2)2+a b(2s2+2t2)+b2=a2s4+2abs2+b2，⇒a2(s4−2s2t2+t4)+2abs2+2abt2+b2=a2s4+2abs2+b2，∴a2t4−2a2s2t2+2abt2=0⇒at4−2as2t2+2bt2=0⇒t2(at2−2as2+2b)= 0，当t=0时，(s , t)的轨迹是直线，当at2−2as2+2b=0时，2s2−t2=2ba>0，即s2ba−t2a=1，此时(s , t)的轨迹是双曲线．故选：C．10.【答案】A【知识点】运用放缩法证明不等式、数列的递推关系、数列的求和【解析】【解析】∵a n+1=n1+√a ⇒a n+1+a n+1√a n =a n ，∴a n+1=n n+1√a ，∵√a n >12(√a n +√a n+1)， ∴a n+1<n n+112(√a +√a )=2(√a n −√a n+1)，∴S 100<1+2(√a 1−√a 2+√a 2−√a 3+⋯+√a 99−√a 100)=1+2(1−√a 100)<3， 易知：n ⩾2时，a n ≤12，先证明：n ⩾2时，√a n <712(√a n +√a n+1)⇔5√a n <7√a n+1⇔25 a n <49 a n+1，即：25a n <49⋅n1+√a ⇔√a n <2425(n ⩾2)成立，当n ⩾2，a n+1>n n+1712(√a +√a )=127(√a n −√a n+1)， 由a n+1=n 1+√a ⇒1an+1=1+√a n a n=1a n+√1a n ⇒1a n+1−1a n =√1a n≥1，则1a 2−1a 1>1 , 1a 3−1a 2>1 , ⋯ , 1a100−1a 99>1 ⇒1a 10>100，即a 100<1100， ∴S 100>1+12+127(√a 2−√a 3+√a 3−√a 4+⋯+√a 99−√a 100)=1+12+6√27−127√a 100≥32+6√27−635>52，综上：52<S 100<3． 故选：A ．11.【答案】25．【知识点】数学思想和方法、数学模型与数学探究活动【解析】【解析】由题意可知，大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，则S 1S 2=251= 25．故答案为：25．12.【答案】2.【知识点】函数的解析式、复合函数、分段函数【解析】【解析】f(√6)=(√6)2−4=2，f(2)=|2−3|+a =3，解得a =2． 故答案为：2．13.【答案】5；10．【知识点】数学思想和方法、二项展开式的特定项与特定项的系数【解析】【解析】a 1 x 3=C 30x 3(−1)0+C 41x 3=5x 3，则a 1=5； a 2 x 2=C 31x 2(−1)1+C 42x 2=3x 2，则a 2=3； a 3 x =C 32x 1(−1)2+C 43x =7x ，则a 3=7； a 4=C 33x 0(−1)3+C 44=0；a 2+a 3+a 4=3+7+0=10． 故答案为：5；10．14.【答案】2√13；2√3913．【知识点】解三角形、数学模型与数学探究活动、余弦定理 【解析】【解析】因为= 60∘ ，AB =2 ，AM =2√3 ，所以BM =4 ，所以BC =8 ，AC = √AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB = 2√13 ， cos∠MAC =AC 2+AM 2−CM 22⋅AC⋅AM = 2√3913。

2021浙江省高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

已知全集U=R ，集合M=}032|{2≤--x x x ,N=}13|{2+=x y y ,那么=)(N C M u （ ）A ．}11|{<≤-x xB ．}11|{≤≤-x xC ．}31|{≤≤x xD ．}31|{≤<x x 已知i 为虚数单位，那么复数iiz 325+-=在复平面内表示的点位于（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=0,0,2)(x x x x f x ，那么“4)(=a f ”是“2=a ”的（ ）A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件已知21,e e 为相互垂直的单位向量，假设向量21e e +λ与21e e λ+的夹角等于30，那么实数λ等于（ ） A ．32± B ．3± C ．33±D ．333或 执行如下图的程序框图，假设输出的值S=16，那么输入自然数n 的最小值应等于（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 若yx ,知足约束条件y kx y x y y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥-+z 22201，且取得最小值时的点有无数个，那么k=（ ） A ．-1 B ．2 C ．-1或2 D ．1或 -2已知函数，，，⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=10621100|lg |)(x x x x x f 假设函数92)(2)(2-+-=b x bf x f y 有6个零点，那么b 的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛31,9297,32B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞31,,32C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1,3231,0 D ．⎪⎭⎫⎝⎛97,92 设m ，n 是两条不同的直线，βα，是两个不同的平面，那么以下命题不正确的选项是（ ） A ．βαβα⊥⇒⊥n m n m ////，， B ．αα⊥⇒⊥n n m m //，C ．βαβα⊥⇒⊂⊂⊥m n n m ，，D ．n m n m m ////⇒=⊂βααβ ，，设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右核心别离为21F ，F ，如图，过2F 于双曲线一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点P ，假设21PF F ∠为钝角，那么该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．()∞+，2 B ．()∞+，3 C ．()21， D ．()21， 设数字1，2，3，4，5，6的一个排列为654321,,,,,a a a a a a ，假设对任意的)6,5,4,3,2(=i a i 总有)5,4,3,2,1(=<k i k a k ，知足,1||=-k i a a 那么如此的排列共有（ ）A ．36B ．32C ．28D ．20 二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分 若_____________2sin ),4sin(2cos 3),,2(=-=∈θθπθππθ则且.一个几何体的三视图如右图所示，那么该几何体的体积为_______________.=2a _______________.若444332210)12()12()12()12(x x a x a x a x a a =-+-+-+-+，那么_________________.假设正数的最小值，则满足y x xy y x y x +=+53,为已知数列{}n a 知足：)(11*11N n n a a a a n n n n ∈=+--+++，且284=a ，，那么{}n a 的通项公式为n a =_____________.圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）。

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(浙江卷)压轴题详解10．已知数列{}n a 满足11a =，1*)n a n N +∈．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则( )A ．100132S << B ．10034S << C ．100942S <<D ．100952S << 分析：本题主要考查数列的递推关系式及其应用，数列求和与放缩的技巧等知识，考查数学抽象，运算求解能力． 答案：A解：由题意可得：22111111)?)242n n a a +=+=+<+，∴1?111222n n +<++=， 从而1241,2(1)3111n n nn n na a n a a a n n a n ++==+++++， ∴1100161111316(?)133(1)(2)24522n n na n a S a n n n ++⇒⇒+++<++=+++． 故选：A ．16．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，焦点1(,0)F c -，2(F c ，0)(0)c >．若过1F 的直线和圆2221()2x c y c -+=相切，与椭圆的第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 ．分析：本题考查了椭圆、圆的简单几何性质，以及点到直线的距离公式，考查分类讨论，逻辑推理，数学运算能力 解：直线斜率不存在时，直线与圆不相切，不符合题意；由直线过1F ，设直线的方程为()y k x c =+， 直线和圆2221()2x c y c -+=相切，∴圆心1(,0)2c 到直线的距离与半径相等，∴|0|ck kc c ⋅-+=，解得k =，将x c=代入22221x ya b+=，可得P点坐标为2(,)bP ca，221212tan2bPF aPF F kF F c∠====，∴222a cac-=，∴212ee-=，∴e=17.已知平面向量,,(0)a b c c ≠满足1,2,0,()0a b a b a b c==⋅=-⋅=记平面向量d在,a b方向上的投影分别为,,x y d a-在c方向上的投影为z,则222x y z++的最小值是分析：考查向量的投影，向量的数量积运算，均值不等式，考查分析问题，数学运算的能力答案：25解：令(1,0),(0,2),(,)a b c m n===，因为()0a b c-⋅=，故(1，2)(m-⋅，)0n=，20m n∴-=，令(2,)c n n=，?d a在c 方向上的投影分别为x，y，设(,)d x y=，则：?(1,),()2(1),||5d a x y d a c n xny c n=--⋅=-+=，从而：()2||da c xzc-⋅==，故22xy+=，则222x y z++表示空间中坐标原点到平面22x y+=上的点的距离的平方，由平面直角坐标系中点到直线距离公式推广得到的空间直角坐标系中点到平面距离公式可得：222242()105minx y z++===．21.如图，已知F是抛物线22(0)y px p=>的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且||2MF=．（Ⅰ）求抛物线的方程：（Ⅱ）设过点F的直线交抛物线于A，B两点，若斜率为2的直线l与直线MA，MB，AB，x轴依次交于点P，Q，R，N，且满足2||||||RN PN QN=⋅，求直线l在x轴上截距的取值范围．分析：本题抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，求范围问题，考查逻辑推理能力，数学运算能力。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()UA B ⋃=（ ）A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-【答案】D 【解析】根据补给和并集的定义求解即可. 【详解】 易知{}1,3UA =-，则()U AB ⋃{}1,0,1,3-=.故选：D.2．若复数z 满足()11z i i -=+，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】先求出复数z ，进而得到其对应点所在象限. 【详解】()11,z i i -=+()211112i i iz i i i++∴=+=+=-, ∴复数z 在复平面内对应的点（2，-1）在第四象限， 故选：D3．若x 、y 满足约束条件323010x y x y x -≥-⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．9B ．7C ．6D ．3【答案】C 【解析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线2z x y =+，找出使得直线2z x y =+在x 轴上的截距最大时的最优解，代入目标函数计算即可得解. 【详解】作出不等式组323010x y x y x -≥-⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立3230x y x y -=-⎧⎨+-=⎩，解得03x y =⎧⎨=⎩，即点()0,3C ，平移直线2z x y =+，当直线2z x y =+经过点C 时，直线2z x y =+在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 0236z =+⨯=. 故选：C.4．如图，图象对应的函数解析式可能是（ ）A ．cos sin y x x x =+B ．sin cos y x x x =+C ．sin y x x =D ．cos y x x =【答案】A 【解析】分析各选项中函数的奇偶性、及各函数在2x π=处的函数值，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，设()1cos sin f x x x x =+，该函数的定义域为R ，()()()()()11cos sin cos sin cos sin f x x x x x x x x x x f x -=--+-=--=-+=-，该函数为奇函数，且1cos sin 102222f ππππ⎛⎫=+=>⎪⎝⎭，满足条件； 对于B 选项，设()2sin cos f x x x x =+，该函数的定义域为R ，()()()()22sin cos sin cos f x x x x x x x f x -=--+-=+=，该函数为偶函数，不满足条件；对于C 选项，设()3sin f x x x =，该函数的定义域为R ，()()()33sin sin f x x x x x f x -=--==，该函数为偶函数，不满足条件；对于D 选项，设()4cos f x x x =，该函数的定义域为R ，()()()44cos cos f x x x x x f x -=--=-=-，该函数为奇函数，4cos0 222fπππ⎛⎫==⎪⎝⎭，不满足条件.故选：A.思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（）A．5500立方尺B．4000立方尺C．6000立方尺D．5000立方尺【答案】D【解析】由题意，将锲体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，利用所给数据，即可求出体积【详解】解：由题意，将锲体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的体积V112=⨯3×1×2＝3，四棱锥的体积V213=⨯1×3×1＝1，由三视图可知两个四棱锥大小相等，∴V ＝V 1+2V 2＝5立方丈＝5000立方尺． 故选：D ．6．已知直线:20l ax y +-=与()()22:14C x y a -+-=相交于A 、B 两点，则ABC 为钝角三角形的充要条件是（ ） A ．()1,3a ∈B．(22a ∈C．()(21,2a ∈⋃+ D．((),22a ∈-∞⋃++∞【答案】C 【解析】设圆心C 到直线l 的距离为d ，根据已知条件可得出2d r <，可出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】圆C 的圆心为()1,C a ，半径为2r，由于ABC 为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则45CAB ∠<， 设圆心C 到直线l 的距离为d，则d =则sin 2d CAB r ∠==<，整理可得2410a a -+<，解得22a << 因为直线l 不过圆心C ，则220a -≠，解得1a ≠.综上所述，()(21,2a ∈⋃+. 故选：C.7．已知函数()122xxf x =-，若实数m 满足()()313log log 21f m f m f ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，则实数m 的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．[)3,+∞ 【答案】D【解析】易知()f x 为R 上的增函数，且()f x 为奇函数，将()()313log log 21f m f m f ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭转化为()()3log 1f m f ≥，利用单调性求解.【详解】因为函数的定义域为R ，且()()112222xx x x f x f x ---=-=-=-， 所以()f x 为奇函数，又()f x 为R 上的增函数，所以()()()()()313333log log log log 2log 21f m f m f m f m f m f ⎛⎫-=--=≥ ⎪⎝⎭，即()()3log 1f m f ≥， 所以3log 1m ≥， 解得3m ≥，所以实数m 的取值范围是[)3,+∞. 故选：D.8．在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-，记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【答案】B 【解析】由题意，计算公差d ，写出等差数列的通项公式，可得123456701a a a a a a a <<<<<<=<<，从而得50T <且()06,i T i i N <≥∈，所以可判断数列{}n T 不存在最小项，且最大项为4T . 【详解】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--， 则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， 因为123456701a a a a a a a <<<<<<=<<，且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈， 由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项， 由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=， 故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=. 故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T . 故选：B.9．已知点2(0)A -，，椭圆E ：22221x y a b +=(0a b >>)F 是椭圆E 的右焦点，直线AFO 为坐标原点.设过点A 的动直线l 与E 相交于P .Q 两点，当OPQ △的面积最大时，直线l 的斜率为（ ） A ．12±B．2±C．2±D．2±【答案】D 【解析】先由已知求出椭圆方程，再设直线方程l ：y ＝kx ﹣2，联立直线和椭圆的方程，结合韦达定理，将OPQ △的面积表示为关于k 的表达式，利用不等式求得最值及取得最值时的k 即可． 【详解】设椭圆E ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的右焦点F （c ，0），因为直线AF2c =c = 又椭圆E ：2222x y a b +=1（a ＞b ＞0，∴c a =a ＝2．则E 的方程为2214x y +=，当l ⊥x 轴时，不存在OPQ △；所以直线l 存在斜率，则设2y kx =-，设11()P x y ，.22()Q x y ，，将2y kx =-代入2214x y +=得：22(14)16120k x kx +-+=，由216(43)0k ∆=->得234k >，241PQ k ==+，又点O 到直线PQ的距离d =，t =，则2144424OPQt Sd PQ t t t=⨯⨯==++，则44t t +≥，当且仅当2t =时k =时等号成立，且满足0∆>，∴1OPQS ≤，当OPQ △的面积最大时直线l的斜率为2±， 故选：D .10．设a ，b ，c 为实数，记集合2{|()()0S x x a x bx c =+++=，}x R ∈，2{|(1)(1)0T x ax cx bx =+++=，}x R ∈.若||S ，||T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）A ．||1S =且||0T =B ．||1S =且||1T =C ．||2S =且||2T =D ．||2S =且||3T =【答案】D 【解析】要发现0x a +=与10ax +=､20x bx c ++=与210cx bx ++=的解的关系，同时考虑0a =，0c以及判别式对方程的根的个数的影响，通过假设最高次含参数的方程10ax +=有一个解，210cx bx ++=有两个解，逆推集合S 的解的情况即可. 【详解】令()2()0x a x bx c +++=，则方程至少有1个实数根x a =-，当240b c -=时，方程还有一个根2b x =-， 只要2b a ≠，方程就有2个实数根，2b a =，方程只有1个实数根，当240b c -<时，方程只有1个实数根， 当240b c ->时，方程有2个或3个实数根， 当0a b c ===时，||1S =且||0T =， 当0,0,0a b c >=>时，||1S =且||1T =， 当1,2a b b ===-时，||2S =且||2T =，若||3T =时，10ax +=有一个解，210cx bx ++=有两个解， 且10ax +=的解1x a=-不是210cx bx ++=的解， ∴211()()0c b c a a-+-+≠，即20a ab c -+≠，0x a ∴+=的解不是20x bx c ++=的解，又210cx bx ++=有两个解，故240b c ∆=->，20x bx c ++=有两个不等的根，2()()0x a x bx c ∴+++=有3个解，即3S =，故D 不可能成立， 故选：D .第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c ，*∈N a b c d ，，，，则b da c ++是x 的更为精确的近似值．己知11363π3620<<，试以上述π的不足近似值11336和过剩近似值6320为依据，那么使用两次“调日法”后可得π的近似分数为________． 【答案】13543【解析】根据题中所给定义及数据，可得第一次使用“调日法”可得近似分数，与π比较，进行第二次运算，即可得答案. 【详解】 因为11363π3620<<，所以第一次使用“调日法”可得近似分数为11363176223.14283620567+==≈+，所以227π<， 所以11322367π<<， 所以第二次使用“调日法”可得近似分数为1132213536743+=+.故答案为：1354312． ()5212x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为______，常数项为__________． 【答案】120- 20 【解析】求出()512x -的展开式的通项，分别令2r 和4即可求出3x 的系数，再令1r =可求常数项.【详解】()512x -的展开式的通项为()()5155122r rr r r rr T C x C x -+=⋅⋅-=-⋅，则()5212x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为()()242455222120C C --⨯-=-， 常数项为()1152220C -⨯-=.故答案为：120-；20.13．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(1,0)程为____，渐近线方程为__________．【答案】225514y x -= 2y x =±【解析】由题意，双曲线知c = 1，结合其离心率确定参数,a b ，即可写出双曲线方程及其渐近线方程. 【详解】由题意知：1c =，且5ce a ==，得5a =，而2221a b c +==，则25b =，∴双曲线的方程为225514y x -=，故其渐近线方程为2y x =±.故答案为：225514y x -=，2y x =±.14．若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=______，cos 2=α______. 【答案】75 1237-【解析】tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦利用两角和的正切公式展开即可求解，22cos 2cos sin =-ααα再利用化弦为切即可求解.【详解】1tan tan 17446tan tan 1445111tan tan644ππαππααππα⎛⎫-++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦-⨯--⋅ ⎪⎝⎭，222222222271cos sin 1tan 125cos 2cos sin cos sin 1tan 37715ααααααααα⎛⎫- ⎪--⎝⎭=-====-++⎛⎫+ ⎪⎝⎭故答案为：75；1237-. 15．由正三棱锥P ABC -截得的三棱台111ABC A B C -6AB =，113A B =．若三棱台111ABC A B C -的各顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为______．【答案】60π【解析】设三棱台111ABC A B C -的上底面111 A B C 的外接圆的圆心为1G ，下底面ABC 的外接圆的圆易得三棱台111 ABC A B C -的外接球的球心O 在1GG 上，分别求得AG ，1AG ，在11Rt AG O △和Rt AGO △，利用勾股定理求解. 【详解】 如图所示：设三棱台111ABC A B C -的上底面111 A B C 的外接圆的圆心为1G ， 下底面ABC 的外接圆的圆心为G ，则1G ，G 为所在正三角形的中心，故三棱台111ABC A B C -的外接球的球心O 在1GG 上， 因为ABC 是边长为6的等边三角形，故2sin 60233AG AB =⨯⨯=，同理可得1AG =设三棱台111ABC A B C -的外接球的半径为R ，在11Rt AG O △中，1OG ==在Rt AGO △中，OG ==又三棱台111ABC A B C -因为212R ≥，所以13OG =≥=，故球心O 在1G G 的延长线上，则1OG OG -==解得215R =，所以球O 的表面积为2460S R ππ==． 故答案为：60π．16.为了抗击新冠肺炎疫情，现从A 医院150人和B 医院100人中，按分层抽样的方法，选出5人加入“援鄂医疗队”，现拟再从此5人中选出两人作为联络人，则这两名联络人中B 医院至少有一人的概率是______.设两名联络人中B 医院的人数为X ，则X 的期望为_____. 【答案】710 45【解析】先按照分层抽样计算出A 医院的人数和B 医院的人数，从5人中选出两人作为联络人，这两名联络人中B医院至少有一人的情况分为两种情况：一是A 医院1人B 医院1人，有3211C C 种选法，二是B 医院2人，有22C 种选法，然后按照古典概型的概率计算公式计算“B 医院至少有一人”的概率即可；由题意可知X 的取值可能为0，1，2，分别求出对应的概率，最后按照期望计算公式计算即可. 【详解】因为是分层抽样的方法选出的5人，所以这5人中， A 医院有150********⨯=+人，B 医院有10052150100⨯=+人，所以从这5人中选出2人，B 医院至少有1人的概率为1123222255710C C C C C +=， 由题意可知X 的取值可能为0，1，2，当X 0=时，2325310C P C ==，当1X =时，11322535C C P C ==， 当2X =时，2225110C P C ==，则()3314012105105E X =⨯+⨯+⨯=. 故答案为：710，45.17．设OAB 中，OA a =，OB b =且满足a b a -=，2a b +=，当OAB 面积最大时，则a b +与b夹角的大小是______． 【答案】45︒ 【解析】根据向量运算几何意义，运用余弦定理和正弦定理建立边角关系，再应用三角公式求解． 【详解】解：在OAB 中，取AB 中点C ，连接OC ，设COB α∠=，OAB θ∠=，OA a =，OB b =且满足||||a b a -=，||2a b +=，由向量及其运算几何意义知，||AB a b =-，||OA a =，1|()|12OC a b =+=，a b +与b 夹角即为α，设AC x =，则2OA x =，BC x =；设OAB 的面积为S ， 21x x +>，12113x x x -<⇒<<； 由余弦定理得22222511(2)22cos cos 4x x x x x x θθ-=+-⋅⋅⋅⇒=，21(2)sin 22S x x θ==，当2115929x +==，即x =，4cos 5θ=时，S 取最大值． 由正弦定理得sin()sin 221x πθα-=，所以sin cos2x θα==== 因为α为锐角，所以45α=︒． 故答案为：45︒三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．在三角形ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a,b,c ，若()31sin ,tan 53A A B =-=，角C 为钝角， 5.b = （1）求sin B 的值； （2）求边c 的长.【答案】（1）sin 10B =（2）13c = 【解析】(1)因为角C 为钝角，3sin 5A = ，所以4cos 5A == ， 又()1tan 3AB -= ，所以02A B π<-< ， 且()()sinA B A B -=-= ， 所以()()()sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A A B ⎡⎤=--=---⎣⎦3455=-=.(2)因为sin sin a A b B ==，且5b = ，所以a =， 又()cos cos cos cos sin sinC A B A B A B =-+=-+= ，则2222cos 952525169c a b ab C ⎛=+-=+-⨯= ⎝ ，所以 13c = .19．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥DC ，∠BAD ＝90°，点E 为PB 的中点，且CD ＝2AD ＝2AB ＝4，点F 在CD 上，且13DF FC =．（Ⅰ）求证：EF ∥平面P AD ；（Ⅱ）若平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ＝PD 且P A ⊥PD ，求直线P A 与平面PBF 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；． 【解析】（Ⅰ）根据三角形的中位线和平行四边形性质证得EF ∥DM ，再根据线面平行的判定定理可得证； （Ⅱ）建立空间直角坐标系，运用线面角的向量计算方法求得答案. 【详解】解：（Ⅰ）证明：取P A 的中点，连接DM ，EM ，在△P AB 中，ME 为一条中位线，则12ME AB =，//ME AB ， 又由题意有，12DF AB =，//DF AB ，故ME DF =，//ME DF ， ∴四边形DFEM 为平行四边形，∴EF ∥DM ， 又EF ⊄平面P AD ，DM ⊂平面P AD ， ∴EF ∥平面P AD ；（Ⅱ）取AD 中点N ，BC 中点H ，连接PN ，NH ，由平面P AD ⊥平面ABCD ，且PN ⊥AD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，可知PN ⊥平面ABCD ， 又AD ⊥NH ，故以N 为原点，NA ，NH ，NP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,0,1),(1,0,0),(1,2,0),(1,1,0)P A B F -，(1,2,1),(2,1,0)BP BF =--=--，设平面PBF 的一个法向量为(,,)m a b c =，则2+020m BP a b c m BF a b ⎧⋅=--=⎨⋅=--=⎩，可取(1,2,3)m =--，又(1,0,1)PA =-，故27|cos ,||7||||PA m PAm PA m ⋅<>==，∴直线P A 与平面PBF 所成角的正弦值为7．20．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1＝2，a n ＋1＝S n ＋2． (1)证明：{a n }为等比数列； (2)记b n ＝log 2a n ，数列1n n b b λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，若T n ≥10恒成立，求λ的取值范围．【答案】(1)答案见解析； (2)[20,+∞). 【解析】(1)由递推公式12n n a S +=+消去S n ，得a n +1与a n 的关系式，推得等比数列； (2)求出b n 的表达式，利用裂项相消法求出T n ，再转化为恒成立问题解决. 【详解】(1)S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1=S 1=2，而1,2n n n N a S *+∀∈=+，2n ∴≥时，12n n a S -=+，所以1112n n n n n n n a a S S a a a +-+-=-=⇒=，211242a S a =+==，1,2n na n N a *+∴∀∈=，即数列{a n }是a 1=2，公比q =2的等比数列；(2)由(1)知22,log 2nnn n a b n ===，111()(1)1n n b b n n n n λλλ+∴==-++，1111111[(1)()()()]2233411n nT n n n λλ=-+-+-++-=⋅++，而T n ≥10，即11010(1)1n n n λλ⋅≥⇒≥⋅++，显然数列1{1}n +是递减的， n =1时，max 1(1)2n+=，所以20λ≥，即λ的取值范围是[20,+∞).21．已知抛物线E ：22x py =的焦点为F ，准线为l ，l 与y 轴的交点为P ，点M 在抛物线E 上，过点M 作MN ⊥l 于点N ，如图1．已知cos ∠FMN ＝35，且四边形PFMN 的面积为72．（1）求抛物线E 的方程；（2）若正方形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 都在抛物线E 上（如图2），求正方形ABCD 面积的最小值． 【答案】（1）22x y =，（2）8 【解析】（1）设5MF MN a ==，可推出4,2PN a PF a p ===，通过四边形PFMN 的面积为72，求出p ，从而可得抛物线的方程；（2）设222312123(,),(,),(,)222x x x A x B x C x ，直线BC 的斜率为k ，不妨设123x x x <<，则0k >，由斜率公式得322x x k +=，再由AB BC ⊥，可得1212x x k +-=，从而得12322,2x x x k x k=--=-，由AB BC =可得2132()x x k x x -=-，则3221k x k k-=+，所以可得正方形ABCD 面积为222224(1)1(1)k k k k ++⨯+，然后利用基本不等式求其最小值 【详解】解：（1）设5MF MN a ==，由已知可得4,2PN a PF a p ===， 因为四边形PFMN 的面积为72，所以22(25)47714222a a a S a p +⨯====， 解得1p =，所以抛物线E 的方程为22x y =，（2）设222312123(,),(,),(,)222x x x A x B x C x ，直线BC 的斜率为k ，不妨设123x x x <<，则0k >，且22323232222x x x x k x x -+==-， 因为AB BC ⊥，所以221212121222x x x x k x x -+-==-， 由AB BC =，得2222132211()(1)()x x k x x k ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，即2222132()()x x k x x -=-， 即2132()x x k x x -=-， 将12322,2x x x k x k =--=-代入得2222(22)x k k x k+=-， 所以221(1)k x k k +=-，所以3221k x k k-=+，所以正方形ABCD 面积为22232(1)()S BC k x x ==+-222(1)(22)k k x =+-222214(1)k k k k ⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭222224(1)1(1)k k k k ++=⨯+ 因为212k k +≥，所以222(1)4k k+≥（当且仅当1k =时取等号）12k +≥，所以22(1)12k k ++≥， 所以2211(1)2k k +≥+（当且仅当1k =时取等号）， 所以14482S ≥⨯⨯=（当且仅当1k =时取等号）， 所以正方形ABCD 面积的最小值为822．已知函数()()ln xf x ae x b a b R =-+∈,,．（1）当1a e b ≥=，时，证明()x 2f >； （2）当0b =时，令()()1g x f x =- ①若()g x 有两个零点，求a 的取值范围；②已知0.0480.0451.098ln3 1.099 1.0500.956e e -<<<<，，，证明：1.14ln 1.15π<<． 【答案】（1）证明见解析； （2）1(0,)e； （3）证明见解析. 【解析】（1）当1a e b ≥=，时，可得()()()+1ln 1ln 1xx f x ae x ex =-+≥-+，令1(0)t x t =+>，令()ln 2t h t e t =--，利用导数求得函数()h t 的单调性与最值，即可求解.（2）当0b =时，单调()ln 1xae g x x --=，①若()g x 有两个零点，转化为ln 1exx a +=在(0,)+∞有两个解，令()ln 1xx m x e+=，利用导数求得函数()m x 的单调性与极值，即可求解；②令1()ln 1x n x e x -=--，令导数得到()0n x ≥，即1ln 1x e x -≥+，进而得到结论. 【详解】（1）当1a e b ≥=，时，函数()()()+1ln 1ln 1xx f x ae x ex =-+≥-+，令1(0)t x t =+>，令()ln 2t h t e t =--，即证()0h t >，又由()1t h t e t '=-，令()1t t e t ϕ=-，可得()210t t e tϕ'=+>， 所以函数()t ϕ在(0,)+∞上单调递增，因为()12111,()202h e h e ''=-=-<，所以01(,1)2t ∃∈，使得()00h t '=， 即()00010t h t e t '=-=，可得001t e t =， 所以函数()h t 在0(0,)t 上单调递减，在0()t ∞,+上单调递增，则()()000001ln 2220t h t g t e t t t ≥=--=+-≥=， 当且仅当01t =时，即0x =时等号成立，因为01t ≠，所以()2h t >，即()x 2f >.（2）当0b =时，令()()1ln 1xa g x f e x x -=--= ①若()g x 有两个零点，即()ln 10xg a x e x --==有两个解， 即ln 1ex x a +=在(0,)+∞有两个解， 令()ln 1x x m x e +=，可得()1ln 1xx x m x e --'=， 令1()ln 1w x x x =--，可得211()0w x x x '=--<， 所以()w x 在(0,)+∞上单调递减，且(1)0w =，所以当(0,1)x ∈时，()0m x '>，()m x 单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减， 当1x =时，()11m e =，当0x →时，()m x →-∞，当x →+∞时，()0m x →， 若方程ln 1ex x a +=在(0,)+∞有两个解，即y a =与()y m x =的图象有两个交点， 所以10a e <<，即实数a 的取值范围是1(0,)e.②令1()ln 1x n x e x -=--，可得11()x n x e x-'=-，可得(1)0n '=， 当(0,1)x ∈时，()0n x '<，()n x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0n x '>，()n x 单调递增，又由1x =时，(1)0n =，所以()0n x ≥，即1ln 1x e x -≥+， 可得10.04831.0501ln ln 1ln 3ln 1 1.099ln 0.13e e πππππ->>>+=+->+->-，则ln 1.150π<， 又由310.04531 1.098ln 1ln 3ln 1ln 0.956e e ππππ--+-<+-=+<<<， 则ln 1.142 1.14π>>，所以1.14ln 1.15π<<.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.。

2021年浙江省高考数学压轴试卷（5月份）一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|x ≤0，或x ≥2}，B ={x|−1<x <1}，则A ∩B =( )A. (−1,+∞)B. (−1,1)C. (−1,0]D. [0,1)2. 已知i 是虚数单位，则(1+i)(1−2i)=( )A. 3+iB. 3−iC. −1+iD. −1−i3. 已知a ，b ∈R ，且a >b ，则( ) A. 1a <1bB. sina >sinbC. (13)a <(13)bD. a 2>b 2 4. 函数f(x)=cosx+x 2e |x|在[−2π,2π]上的大致图象为( )A. B.C. D.5. 设m ∈R ，则“1≤m ≤2”是“直线l ：x +y −m =0和圆C ：x 2+y 2−2x −4y +m +2=0有公共点”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 已知离散型随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，且P(X ≥1)=23，P(X =3)=16，若X 的数学期望E(X)=54，则D(4X −3)=( ) A. 19B. 16C. 194D. 74 7. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1(−2,0)，F 2(2,0)，P 为双曲线上位于第二象限内的一点，点Q 在y 轴上运动，若|PQ|+|QF 2|−|PF 1|的最小值为2√33，则双曲线的离心率为( ) A. √3 B. 2√3 C. 3√3 D. 4√38. 已知x 1，x 2是函数f(x)=tan(ωx −φ)(ω>0,0<φ<π)的两个零点，且|x 1−x 2|的最小值为π3，若将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度后得到的图象关于原点对称，则φ的最大值为( )A. π8B. π4C. 78πD. 34π 9. 如图，正方形ABCD 和正方形ADEF 成60°的二面角，将△DEF 绕DE 旋转，在旋转过程中．(1)对任意位置，总有直线AC 与平面DEF 相交；(2)对任意位置，平面DEF 与平面ABCD 所成角大于或等于60°；(3)存在某个位置，使DF ⊥平面ABCD ；(4)存在某个位置，使DF ⊥BC ．其中正确的是( )A. (1)(3)B. (2)(3)C. (2)(4)D. (3)(4)10. 已知函数f(x)=16x 3+12bx 2+cx 的导函数f′(x)是偶函数，若方程f′(x)−lnx =0在区间[1e ,e](其中e为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，则实数c 的取值范围是( ) A. [−1−12e 2,−12] B. [−1−12e 2,−12) C. [1−12e 2,−12)D. [1−12e 2,−12] 二、单空题（本大题共7小题，共36.0分） 11. 已知二项展开式(1+x)9=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 9x 9，则a 0= ______ ；a 1+a 2+a 3+a 4=______ .(用数字作答)12. 某省派出由4名医生、5名护士组成的医疗小组前往疫区支援，要求将这9名医护人员平均派往某地的A ，B ，C 3家医院，且每家医院至少要分到一名医生和一名护士，则不同的分配方案有______ 种.(用数字作答)13. 已知实数x ，y 满足不等式组{x +y +1≥02x −y −4≤0x +3y −2≤0，则点(x,y)表示的平面区域的面积为______ ，z =x +2y 的取值范围为______ ．14. 已知某几何体是由一个三棱锥和一个四棱锥组合而成，其三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为______ cm 3，表面积为______ cm 2．15.设S n是数列{a n}的前n项和，满足(S n+2+3S n)−(3S n+1+S n−1)=2(n≥2,n∈N∗)，且a1=2，a2=6，a3=12，则a n=______ ；若b n=1a n，则数列{b n}的前2021项和为______ ．16.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗+b⃗ |=3，a⃗⋅b⃗ =0.若c⃗=λa⃗+(1−λ)b⃗ ，且c⃗⋅a⃗=c⃗⋅b⃗ ，则|c⃗|的最大值为______ ．17.已知x>0，y>0，若(x+1x )(y+1y)≥(x+y2+2x+y)2，则(x+y)2的最大值是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.如图，在△ABC中，AB=6，cosB=34，点D在BC边上，AD=4，∠ADB为锐角．(1)若AC=6√2，求线段DC的长度；(2)若∠BAD=2∠DAC，求sin C的值．19.如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，∠AA1B1=∠D1A1A，△A1B1D1是等边三角形，D1B1⊥BC．(1)求证：C1B⊥B1D1；(2)若BB1=BC=√3，AB=1，∠B1BC=60°，求直线BC1与平面AD1B1所成角的正弦值．20.已知数列{a n}是正项等比数列，且a1=2，1a3−1a2=1，若数列{b n}满足b1=14，b n+1=b n+1an．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)已知c n=1a n+1⋅b n⋅b n+1，记S n=c1+c2+⋅⋅⋅+c n.若S n>8−λn2恒成立，求实数λ的取值范围．21.已知F1是椭圆C：x2a2+y23=1(a>√3)的左焦点，经过点P(0,−2)作两条互相垂直的直线l1和l2，直线l1与C交于点A，B.当直线l1经过点F1时，直线l2与C有且只有一个公共点．(1)求C的标准方程；(2)若直线l2与C有两个交点，求|AB|的取值范围．22.已知函数f(x)=xlnx−me x(m∈R)．(1)当m=1时，求函数f(x)的单调区间；e(2)当m≥2时，求证：f(x)<0．e2答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A ={x|x ≤0，或x ≥2}，B ={x|−1<x <1}，∴A ∩B =(−1,0]．故选：C ．进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法和区间的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：(1+i)(1−2i)=1−2i +i −2i 2=3−i ．故选：B ．根据已知条件，运用复数乘法的运算法则，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查不等式的性质及指数函数的图象及性质，属于基础题．由不等式的性质及指数函数的图象及性质直接判断得解．【解答】解：设y =(13)x ，由指数函数的性质知，函数y =(13)x 为R 上的减函数，又a >b ，故(13)a <(13)b ．故选C ． 4.【答案】A【解析】解：因为f(x)的定义域为R ，且f(x)=cosx+x 2e |x|=cos(−x)+(−x)2e |x|=f(−x)，所以f(x)为偶函数，排除选项B ；又f(0)=cos0e 0=1，排除选项D ；又f(2π)=cos2π+(2π)2e 2π>0，排除选项C ． 故选：A ．利用函数的奇偶性排除B ，由特殊值排除C ，D ，即可得到答案．本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：圆的圆心C(1,2)，半径r =12√4+16−4(m +2)=√3−m圆心C 到直线的距离d =√2=√2∵直线与圆有公共点，∴d ≤r ，即 √2≤√3−m ，∴1≤m ≤3，∵[1,2]⫋[1.3]，∴1≤m ≤2是直线x +y −m =0与圆x 2+y 2−2x −4y +m +2=0有公共点的充分不必要条件． 故选：A ．由直线与圆的位置关系可得d ≤r ，可解得1≤m ≤3，由[1,2]⫋[1.3]，可得结论．本题考查充要条件的判断，涉及直线与圆的位置关系，从集合的包含关系入手是解决问题的关键，属基础题．6.【答案】A【解析】解：由题知P(X =0)=13，设P(X =1)=a ，则P(X =2)=12−a ，因此E(X)=0×13+1×a +2×(12−a)+3×16=54，解得a =14，因此离散型随机变量X 的分布列如下：则D(X)=13×(0−54)2+14×(1−54)2+14×(2−54)2+16×(3−54)2=1916，因此D(4X−3)=16D(X)=19．故选：A．利用互斥事件的概率，结合分布列的性质求出分布列，然后求解期望推出方差即可．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望方差的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．7.【答案】B【解析】解：如图所示：连接PF2，因为|PQ|+|QF2|−|PF1|≥|PF2|−|PF1|=2a，当且仅当P，Q，F2三点共线时等号成立，所以|PQ|+|QF2|−|PF1|的最小值为2a，所以2a=2√33，解得a=√33．由题意知c=2，∴e=ca=2√3，故选：B．结合图形，利用三角形的性质得出|PQ|+|QF2|−|PF1|取得最小值时P，Q，F2三点共线求解．本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查数形结合以及分析问题解决问题的能力，是中档题．8.【答案】B【解析】∵正切函数tan x的周期为π，且该函数一个周期只有一个零点，又∵|x1−x2|的最小值为π3，∴f(x)的最小正周期为π3，∴ω=πT =ππ3=3，∴f(x)=tan(3x −φ)，将f(x)图像向左平移π12个单位得到图像g(x)=tan[3(x +π12)−φ]=tan(3x +π4−φ)，∵该图像关于原点对称，∴g(0)=0，即π4−φ=kπ，k ∈Z ，∵0<φ<π，∴φ=π4， 故选：B ．根据正切函数周期、零点的性质，即可求解．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据已知条件求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：过D 作AC 的平行线l ，当平面DEF 过l 时，直线AC 与平面DEF 平行，故(1)错误； △DEF 绕DE 旋转形成一个以DE 为高，EF 为底面半径的圆锥，设平面ABCD 的法向量为n⃗ ，平面DEF 的法向量为r ⃗ ， 则向量n⃗ 所在直线与圆锥底面所成角为60°，向量r ⃗ 所在直线为圆锥底面的半径所在直线， 根据最小角原理，n⃗ 与r ⃗ 的夹角大于或等于60°，故(2)正确； 若有DF ⊥平面ABCD ，则AD ⊥DF ，∴AD ⊥平面DEF ，则F 在平面DEC 内，此时DF 与平面ABCD 所成角为15°或75°，矛盾，故(3)错误；当AD ⊥DF ，∴AD ⊥平面DEF 时，AD ⊥DF ，∴DF ⊥BC ，故(4)正确．故选：C ．利用直线与平面平行的判断定理判断(1)；判断二面角的大小，判断(2)；通过直线与平面垂直的判断定理判断(3)；直线与平面垂直的性质定理判断(4)．本题考查命题的真假的判断，空间直线与平面的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．10.【答案】B【解析】解：∵f(x)=16x 3+12bx 2+cx ，∴f′(x)=12x 2+bx +c ，∵f′(x)是偶函数，∴b =0，∴f′(x)=12x 2+c ，设g(x)=f′(x)−lnx =12x 2+c −lnx ，∴g′(x)=x −1x =x 2−1x ，令g′(x)=0得x =1，当1<x <e 时，g′(x)>0，g(x)在[1,e]上单调递增，当1e <x <1时，g′(x)<0，g(x)在[1e ,1]上单调递减，要使方程f′(x)−lnx =0在区间[1e ,e](其中e 为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，只需g(x)在区间[1e ,e]上有两个不同的交点，{g(1)<0g(1e )≥0g(e)≤0，即{ 12+c <012e 2+c +1≥012e 2+c −1≥0解得−1−12e 2≤c <−12， 故选：B ．先求导，根据导函数f′(x)是偶函数得b =0，再设g(x)=f′(x)−lnx 求出单调性极值，由g(x)在区间[1e ,e](其中e 为自然对数的底)上有两个不相等的实数根可求实数c 的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，属于中档题．11.【答案】1 130【解析】解：∵二项展开式(1+x)9=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 9x 9，则令x =0，可得a 0=1．a 1+a 2+a 3+a 4=C 90+C 91+C 92+C 93=1+9+36+84=130，故答案为：1；130．由题意令x =0，可得a 0=1.再利用组合数的计算公式求得a 1+a 2+a 3+a 4的值．本题主要考查二项式定理的应用，组合数的计算公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．12.【答案】1080【解析】解：由题可知，4名医生要分配到3家医院，且每家医院至少有一名医生，则必有一家医院有2名医生，其余2家医院各有1名医生．假设A医院分配的是2名医生1名护士，则B，C医院均分配1名医生2名护士，则分配方案有C42C51C21C42= 360(种)，故不同的分配方案有360×3=1080(种)．故答案为：1080．4名医生要分配到3家医院，且每家医院至少有一名医生，则必有一家医院有2名医生，其余2家医院各有1名医生．然后利用分步计数原理求解即可．排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法．要根据已知灵活选择方法求解．13.【答案】214[−3,2]【解析】解：由约束条件作出可行域如图：其中A(2,0)，联立方程组解得B(−52,32)，C(1,−2)，∴点(x,y)表示的平面区域的面积为12×[2−(−1)]×[32−(−2)]=214．由z=x+2y，得y=−12x+z2，作直线y=−12x并平移，数形结合可知当平移后的直线经过点C时，z取得最小值，经过点A时，z取得最大值，故z max=2，z min=1−4=−3，所以z=x+2y的取值范围为[−3,2]．故答案为：214；[−3,2]由约束条件作出可行域，联立方程组求得三角形三个顶点的坐标，则面积可求；作出直线x+2y=0，数形结合得到最优解，平移直线x+2y=0，可知当平移后的直线经过点C时，z取得最小值，经过点A时，z取得最大值，把最优解的坐标代入目标函数，即可求得z=x+2y的取值范围．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．14.【答案】125+√3+2√22【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为正方形ABCD，高为PD和DQ的棱锥构成的组合体；如图所示：故V=V P−ABCD+V Q−ABCD=16+13=12，S 表=5×12×1×1+√34×(√2)2+12×1×√2+12×1×√2=5+√3+2√22．故答案为：12,5+√3+2√22．首先把三视图和几何体的直观图之间进行转换，进一步利用几何体的体积和表面积公式求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积和表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．15.【答案】n(n+1)20212022【解析】解：当n≥2时，由(S n+2+3S n)−(3S n+1+S n−1)=2，得(S n+2−S n−1)−3(S n+1−S n)=2，所以a n+2+a n+1+a n−3a n+1=2，整理得(a n+2−a n+1)−(a n+1−a n)=2，则数列{a n+1−a n}从第二项起是等差数列．因为a1=2，a2=6，a3=12，所以(a3−a2)−(a2−a1)=2，符合上式，所以{a n+1−a n}是等差数列，所以a n+1−a n=4+2(n−1)=2(n+1)．当n ≥2时，a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋅⋅⋅+(a 2−a 1)+a 1=2n +2(n −1)+⋅⋅⋅+2×2+2=n(n +1)，a 1=2也符合上式，所以a n =n(n +1)，所以b n =1a n=1n −1n+1，所以数列{b n }的前2021项和为(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋅⋅⋅+(12021−12022)=1−12022=20212022．故答案为：n(n +1)；20212022．(1)根据递推关系式得出{a n+1−a n }从第二项起是等差数列，注意不是从第一项起，要验证第一项是否满足；(2)数列递推公式是以前后项的差给出时，利用累加法求出a n ．本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式以及数列求和的方法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．16.【答案】32【解析】解：令a ⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则a ⃗ +b ⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ +b ⃗ |=3，故|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3， 又a ⃗ ⋅b ⃗ =0，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .以AB 为直径作直角三角形ABM 的外接圆O ， 进而得出当NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 时，AC⃗⃗⃗⃗⃗ 即|c ⃗ |取得最大值．令AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，连接MN.设c ⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为c ⃗ =λa ⃗ +(1−λ)⋅b ⃗ ，所以点C 在直线MN 上， 又c ⃗ ⋅a ⃗ =c ⃗ ⋅b ⃗ ，所以c ⃗ ⋅(a ⃗ −b ⃗ )=0，即AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 结合图形可知，当NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 时，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 即|c ⃗ |取得最大值，且|c ⃗ |=|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=32． 故答案为：32．令a ⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则a ⃗ +b ⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，以AB 为直径作直角三角形ABM 的外接圆O ，进而得出当NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 时，AC⃗⃗⃗⃗⃗ 即|c ⃗ |取得最大值．利用数形结合转化求解即可． 本题考查向量的数量积的求法与应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题．17.【答案】8+4√5【解析】解：根据题意，令xy=t，则0<t≤(x+y)24，令f(t)=t+1+(x+y)2t，因为(x+1x )⋅(y+1y)≥(x+y2+2x+y)2⇔xy+1+(x+y)2xy−2≥(x+y2+2x+y)2，等价于f(t)≥f((x+y)24)，所以问题可转化为函数f(t)=t+1+(x+y)2t 在(0,(x+y)24]有最小值f((x+y)24)，因为对勾函数f(t)=t+1+(x+y)2t在(0,√1+(x+y)2]上递减，在(√1+(x+y)2,+∞)上递增，所以(x+y)24≤√1+(x+y)2，即(x+y)4−16(x+y)2−16≤0，所以(x+y)2≤8+4√5，故(x+y)2的最大值是8+4√5．故答案为：8+4√5以xy为主元，以x+y为参数，将问题转化为对勾函数的最值问题，利用对勾函数的单调性求解即可．本题考查基本不等式在求最值中的应用．根据具体条件和解题需要，从不同的角度出发，在众多变元中选用一个变元为主元，并以此为线索把握解决问题的方法叫做主元法．本题中以xy为主元、x+y为参数，将问题转化为了对勾函数的最值问题，达到了“避虚就实、变繁成简，化难为易”的解题效果．属于中档题．18.【答案】解：(1)在△ABD中，由余弦定理得cosB=AB2+BD2−AD22AB⋅BD =36+BD2−1612⋅BD=34，∴BD=5或BD=4．当BD=4时，cos∠ADB=16+16−362×4×4<0，则∠ADB>π2，不合题意，舍去；当BD=5时，cos∠ADB=16+25−362×4×5>0，则∠ADB<π2，符合题意．∴BD=5．在△ABC中，cosB=AB2+BC2−AC22AB⋅BC =36+BC2−7212⋅BC=34，∴BC=12或BC=−3(舍)．∴DC=BC−BD=7．(2)记∠DAC=θ，则∠BAD=2θ.在△ABD中，cos∠BAD=cos2θ=AB2+AD2−BD22AB⋅AD =916，∴2θ为锐角，得sin 2θ=1−cos2θ2=732，sin2θ=5√716，即sinθ=√148，cosθ=5√28， 解法一：sin3θ=sin2θcosθ+cos2θsinθ=17√1464，同理cos3θ=5√264． 由cosB =34知：sinB =√74，∴sinC =sin(π−B −3θ)=sin(B +3θ)=sinBcos3θ+cosBsin3θ=7√1432． 解法二：cos∠BDA =AD 2+BD 2−AB 22AD⋅BD=16+25−362×4×5=18，sin∠BDA =3√78． ∴sinC =sin(∠BDA −θ)=sin∠BDAcosθ−cos∠BDAsinθ=7√1432．【解析】(1)应用余弦定理求三角形的边长，根据边的数量关系求DC ； (2)由余弦定理，利用诱导公式及两角和或差的正弦公式，求角的正弦值即可．本题考查三角形的余弦定理的运用，以及三角函数的恒等变换，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19.【答案】(1)证明：如图，取D 1B 1的中点E ，连接A 1E ，AE ， 因为△A 1B 1D 1是等边三角形， 所以A 1D 1=A 1B 1，A 1E ⊥D 1B 1． 又∠AA 1B 1=∠D 1A 1A ，AA 1=AA 1， 所以△AA 1B 1≌△AA 1D 1， 所以AB 1=AD 1， 所以AE ⊥D 1B 1．又A 1E ，AE ⊂平面AA 1E ，A 1E ∩AE =E ， 所以D 1B 1⊥平面AA 1E . 又A 1A ⊂平面AA 1E ， 所以D 1B 1⊥A 1A ， 因为AA 1//BB 1，所以D 1B 1⊥B 1B .因为D 1B 1⊥BC ，BB 1∩BC =B ，BB 1，BC ⊂平面BB 1C 1C ， 所以D 1B 1⊥平面BB 1C 1C ， 又C 1B ⊂平面BB 1C 1C ， 所以C 1B ⊥B 1D 1．(2)解：由(1)知，D 1B 1⊥平面BB 1C 1C ，则以B 1为坐标原点，以B 1C 1，B 1D 1所在直线分别为x 轴、z 轴， 在平面BB 1C 1C 内过B 1且垂直于B 1C 1的直线为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B 1(0,0，0)，C 1(√3,0,0)，D 1(0,0，1)，B(−√32,32,0)，A 1(−√32,0,12)，所以BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3√32,−32,0)，B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，B 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,32,12)． 设平面AD 1B 1的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =z =0n ⃗ ⋅B 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +32y +12z =0， 取x =√3，则y =2，则平面AD 1B 1的一个法向量为n ⃗ =(√3,2,0)． 从而cos〈n ⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=n ⃗⃗ ⋅BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√714， 所以直线BC 1与平面AD 1B 1所成角的正弦值为√714．【解析】(1)取D 1B 1的中点E ，连接A 1E ，AE ，证明A 1E ⊥D 1B 1.AE ⊥D 1B 1.推出D 1B 1⊥平面AA 1E .得到D 1B 1⊥A 1A ，D 1B 1⊥B 1B .结合D 1B 1⊥BC ，推出D 1B 1⊥平面BB 1C 1C ，即可证明C 1B ⊥B 1D 1．(2)以B 1为坐标原点，以B 1C 1，B 1D 1所在直线分别为x 轴、z 轴，在平面BB 1C 1C 内过B 1且垂直于B 1C 1的直线为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面AD 1B 1的一个法向量，利用空间向量的数量积求解直线BC 1与平面AD 1B 1所成角的正弦值值即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，证明直线和平面垂直的常用方法：①线面垂直的定义；②判定定理；③垂直于平面的传递性(a//b,a ⊥α⇒b ⊥α)；④面面平行的性质(a ⊥α,α//β⇒a ⊥β)；⑤面面垂直的性质．是中档题．20.【答案】解：(1)设数列{a n }的公比为q ，则q >0，因为a 1=2，1a 3−1a 2=1，所以12q 2−12q =1，即1q 2−1q −2=0，解得q =−1(舍去)或q =12， 故数列{a n }的通项公式为a n =2×12n−1=12n−2． 因为b n+1=b n +1a n，所以b n+1−b n =2n−2，又b 1=14，所以当n ≥2时，b n =b 1+(b 2−b 1)+(b 3−b 2)+⋅⋅⋅+(b n −b n−1)=14+12+⋅⋅⋅+2n−3 =14(1−2n )1−2=14(2n −1)． 经检验，b 1=14也满足上式，所以b n =14(2n −1)． (2)由(1)得，c n =1a n+1⋅b n ⋅b n+1=2n−1116(2n −1)⋅(2n+1−1)=8⋅2n(2n −1)⋅(2n+1−1)=8⋅[(2n+1−1)−(2n −1)](2n −1)⋅(2n+1−1)=8(12n −1−12n+1−1)，所以S n =c 1+c 2+⋅⋅⋅c n =8(121−1−122−1+122−1−123−1+⋅⋅⋅+12n −1−12n+1−1) =8(121−1−12n+1−1)=8(1−12n+1−1)． 又S n >8−λn 2恒成立，所以λ>8n 22n+1−1恒成立．设f(n)=n 22n+1−1，n ∈N ∗则f(n +1)−f(n)=(n+1)22n+2−1−n 22n+1−1=(−n 2+2n+1)⋅2n+1−(2n+1)(2n+2−1)(2n+1−1)．易知当n ≤2时，f(n +1)−f(n)>0；当n ≥3时，f(n +1)−f(n)<0． 于是f(1)<f(2)<f(3)>f(4)>f(5)>⋅⋅⋅， 所以f(n)max =f(3)=35， 所以实数λ的取值范围是(245,+∞)．【解析】(1)设数列{a n }的公比为q ，则q >0，利用a 1=2，1a 3−1a 2=1，求解公比，然后求解通项公式．数列{b n }满足b 1=14，b n+1=b n +1a n.利用等比数列求和公式求解通项公式即可．(2)化简c n =1an+1⋅b n ⋅b n+1，利用裂项消项法，求出数列的和，结合S n >8−λn 2恒成立，得到λ>8n 22n+1−1恒成立．构造函数利用比较法，推出当n≤2时，f(n+1)−f(n)>0；当n≥3时，f(n+1)−f(n)<0.然后求解实数λ的取值范围．本题考查等比数列的通项公式，考查累加法求通项公式，裂项相消法求和，数列不等式恒成立问题．数列不等式恒成立问题角方法一般也是分离参数后求最值，只是数列作为特殊的函数，其自变量取值只能是正整数．因此可用作差法得出数列的增减性．21.【答案】解：(1)设F1(−c,0)，其中c=√a2−3①当直线l1经过点F1时，直线l1的斜率k PF1=−2c，∴直线l2的斜率为c2，方程为y=c2x−2，与椭圆C的方程联立，消去y得：3x2+a2(c2x−2)2=3a2，整理得：(a2c2+12)x2−8a2cx+4a2=0.∵直线l2与椭圆C有且只有一个公共点，∴△=64a4c2−16a2(a2c2+12)=0，即ac=2②由①②得：a2=4，解得：a=2，c=1，∴b=√a2−c2=√3，∴C的标准方程为x24+y23=1．(2)由题意知：直线l1的斜率存在且不为零，设其方程为y=kx−2(k≠0)，与椭圆C的方程联立，消去y得：(3+4k2)x2−16kx+4=0，则△=256k2−16(3+4k2)>0，解得：k2>14．同理：当直线l2与椭圆C有两个交点时，k2<4，∴14<k2<4．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=16k3+4k2，x1x2=43+4k2，∴|AB|=√1+k2⋅|x1−x2|=√1+k2⋅4√3(4k2−1)3+4k2=2√3⋅√(4k2+4)(4k2−1)(3+4k2)2．设t=3+4k2，则t∈(4,19)，∴(4k 2+4)(4k2−1)(3+4k2)2=(t+1)(t−4)t2=t2−3t−4t2=−4(1t+38)2+2516，∵f(t)=−4(1t +38)2+2516在(4,19)上单调递增，∴f(t)∈(0,300192)，∴|AB|的取值范围是(0,6019)．【解析】(1)利用椭圆方程，求出焦点坐标，结合直线的斜率，得到直线方程，利用直线与椭圆相切，求解a，c，即可得到椭圆方程．(2)根据直线l1，l2与椭圆C的位置关系得到14<k2<4；利用根与系数的关系和弦长公式得到|AB|关于k 的表达式，然后换元，利用函数的单调性求解范围．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．22.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，当m=1e时，f(x)=xlnx−e x−1，则f′(x)=1+lnx−e x−1，记g(x)=1+lnx−e x−1，则g′(x)=1x−e x−1，显然g′(x)在(0,+∞)上单调递减，且g′(1)=0，所以当x∈(0,1)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，当x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，所以g(x)≤g(1)=1+ln1−1=0，即f′(x)≤0恒成立，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，所以函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞)，无单调递增区间．(2)证明：要证f(x)<0，只需证me x>xlnx，①当0<x≤1时，e x>1,xlnx≤0,m≥2e2，不等式显然成立，②当x>1时，xlnx>0，e x>e，由m≥2e2可得，me x≥2e2e x，于是原问题可转化为求证：2e2⋅e x>xlnx，即证2e x−2x−lnx>0，令ℎ(x)=2e x−2x −lnx，则ℎ′(x)=2e x−2(x−1)−xx2，令p(x)=2e x−2(x−1)−x，则p′(x)=2xe x−2−1，易知p′(x)在(0,+∞)上单调递增，又p′(1)=2e−1<0,p′(2)=3>0，所以存在x0∈(1,2)使得p′(x0)=0，所以p(x)在(1,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，又p(1)=−1<0，p(2)=0，故当x∈(1,2)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，当x∈(2,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，所以当x>1时，ℎ(x)≥ℎ(2)=1−ln2>0，即f(x)<0，综上，f(x)<0．【解析】(1)代入m的值，求出函数的导数，判断函数的单调区间即可；(2)问题转化为证2e x−2x −lnx>0，令ℎ(x)=2e x−2x−lnx，求出函数的导数，根据函数的单调性证明结论成立即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的由于以及转化思想，是难题．。

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n kn n P k p p k n -=-=台体的体积公式121()3V S S h=+其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh=其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh=其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R =π球的体积公式343V R =π其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B = （）A.{}1x x >- B.{}1x x ≥ C.{}11x x -<< D.{}12x x ≤<2.已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则a =（）A.1- B.1C.3- D.33.已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.32B.3C.322D.5.若实数x ，y 满足约束条件1002310x x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则12z x y =-的最小值是（）A.2- B.32-C.12-D.1106.如图已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（）A.直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCDB.直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC.直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD.直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B 7.已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（）A.1()()4y f x g x =+- B.1()()4y f x g x =--C.()()y f x g x = D.()()g x y f x =8.已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（）A.0B.1C.2D.39.已知,R,0a b ab ∈>，函数()2R ()f x ax b x =+∈.若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列，则平面上点(),s t 的轨迹是（）A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线10.已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A.100321S << B.10034S << C.100942S <<D.100952S <<非选择题部分（共110分）二､填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。