四种命题

四种命题四种命题间的相互关系1、四种命题的概念，写出某个命题的逆命题、否命题和逆否命题。

2、四种命题之间的关系以及真假性之间的联系。

3、会用命题的等价性解决问题。

【核心扫描】：1、结合命题真假的判定，考查四种命题的结构。

(重点)2、掌握四种命题之间的相互关系。

(重点)3、等价命题的应用。

(难点)1、四种命题的概念(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题。

其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题。

若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则P”。

(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题。

如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。

也就是说，若原命题为“若p，则q”则否命题为“若非p，则非q”。

(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题。

如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，若原命题为“若p，则q”，则逆否命题为若非q，则非p。

任何一个命题的结构都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题，因而任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题。

2、四种命题的相互关系(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假(2)四种命题的真假性之间的关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0，2，4.一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p与q的否定，则四种命题的形式可表示为：原命题：若P，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若非P，则非q；逆否命题：若非q，则非p.(1)关于四种命题也可叙述为：①交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题；②同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题；③交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题．(2)已知原命题，写出它的其他三种命题：首先，将原命题写成“若p，则q”的形式，然后找出条件和结论，再根据定义写出其他命题。

四种命题1．会判断所给语句是否是命题，并能判断一些简单命题的真假．2．理解命题的逆命题、否命题与逆否命题的含义．3．能分析四种命题的相互关系．1．命题的定义能够判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．命题的结构在数学中，“若p则q”这种形式的命题是常见的，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．3．四种命题的概念一般地，设“若p则q”为原命题，“若q则p”就叫做原命题的逆命题，“若非p则非q”就叫做原命题的否命题，“若非q则非p”就叫做原命题的逆否命题．4．四种命题的真假性(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．对点讲练命题的判断【例1】下列语句：①2是无限循环小数；②x2－3x＋2＝0；③当x＝4时，2x>0；④垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？⑤一个数不是合数就是质数；⑥把门关上．其中不是命题的是________(写出所有正确的序号)．答案②④⑥解析①是命题，能判断真假．②不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假(这种语句叫“开语句”)．③是命题，能作出判断的语句，是一个真命题．④不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断．⑤是命题，是假命题，因为1既不是合数也不是质数．⑥不是命题，没有作出判断．变式迁移1判断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)一条直线l，不是与平面α平行就是相交；(2)x2＋2x－3<0；A B C；(3)作△ABC≌△'''(4)二次函数的图象太美了！(5)4是集合{1,2,3}中的元素．解(1)直线l与平面α的位置有三种：平行、相交和在平面内，为假，是命题．(2)在x未赋值之前，不能判断其真假，不是命题．(3)祈使句，不是命题．(4)感叹句，不是命题．(5)由于4∉{1,2,3}，所以“4是集合{1,2,3}中的元素”为假，是命题．命题的转换及命题的真假【例2】写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)实数的平方是非负数；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．解 (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．真命题．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．假命题．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．假命题． 否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．假命题． 逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题． 反思感悟 分清条件和结论，即可容易的写出各种命题．判断一个命题为假，只需举出一个反例．变式迁移2 判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(2)若q <1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根．解 (1)原命题是真命题．逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，真命题. 逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，真命题．(2)原命题是真命题．逆命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q <1，假命题．否命题：若q ≥1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，假命题．逆否命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则有q ≥1，真命题．等价命题的应用【例3】 判断命题“已知a 、x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假．解 因逆否命题的真假与原命题一致，故判断原命题即可，因此，只须Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0.即4a －7≥0，∴a ≥74>1. 原命题为真，故逆否命题为真．反思感悟 由于互为逆否的命题真假性一致，因此当原命题的真假难判断时，可以判断逆否命题的真假，当否命题的真假难判断时，可以判断逆命题的真假．变式迁移3 已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R .证明：若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.证明 要证明命题不易入手，则证明其逆否命题即可．原命题的逆否命题为“若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．”若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．1．由于互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假．因此，四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个、2个或4个．2．当一个命题是否定形式的命题，且不易判断其真假时，可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的．课时作业一、填空题1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．答案 2解析由a>－3⇒a>－6，但由a>－6⇒a>－3，故真命题为原命题及原命题的逆否命题．2．下列语句中命题的个数为________．①空集是任何非空集合的真子集．②三角函数是周期函数吗？③若x∈R，则x2＋4x＋7>0.④指数函数的图象真漂亮！答案 2解析①是命题，是真命题．②是疑问句，故不是命题．③是命题，因为Δ＝16－28<0，所以是真命题．④是感叹句，所以不是命题．3．对于命题“若数列{a n}是等比数列，则a n≠0”，下列说法正确的是________．①它的逆命题是真命题；②它的否命题是真命题；③它的逆否命题是假命题；④它的否命题是假命题．答案④4．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是________．答案若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数解析由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．5．有下列四个命题，其中真命题有________．①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．答案①③解析①的逆命题显然成立；②的否命题为“如果三角形不全等，则它们的面积不相等”，由三角形的面积公式可知②的否命题为假命题；③的逆命题中，因方程x2＋2x ＋q＝0有实根，则Δ＝4－4q≥0，即q≤1，故③的逆命题为真命题；④的逆否命题与命题④同真假，④是假命题．6命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的否命题是____________________，逆否命题是____________________．答案若A∪B≠B，则A⊆B若A⊆B，则A∪B≠B7．命题“若x、y是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是________________________________．答案若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数二、解答题8．把命题“正方形的四条边相等”改写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题．解原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．9．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0. 证明假设a＋b<0，即a<－b，∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)<f(－b)．又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0.即原命题的逆否命题为真，故原命题为真．。

四种命题的形式四种命题的形式1、命题什么叫命题？能够明确判断真假的陈述性语句，叫做命题。

其中，判断为真的语句，叫真命题，判断为假的语句，叫假命题。

命题的结构？（条件+结论）如果…，那么…。

问题1：我是你的数学老师。

真X＞15 不是命题全等三角形的面积相等。

真3是10的约数吗？不是命题两直线平行，同位角相等。

真上课请不要讲话不是命题注：（1）疑问句，祈使句，感叹句不是命题。

（2）要判断一个语句是不是命题，关键是能不能判断真假。

（3）判断命题真假的方法有：逻辑推理法、要证明命题是假命题，只需要举出满足条件，不满足结论的例子即可；要证明命题为真，就需要证明满足命题的条件，就一定能推出命题的结论。

2、推出关系如果α成立可以推出β成立，那么就说由α可以推出β，记作：α＝＞β，换言之，α＝＞β表示以α为条件、β为结论的命题是真命题。

如果α成立不能推出β成立，记作：α≠＞β，换言之，α≠＞β表示以α为条件、β为结论的命题是假命题。

3、四种命题形式问题2:判断下列命题的真假，你能发现各命题之间有什么关系？①如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；（如果α，那么β）②如果两个三角形的面积相等，那么它们全等；（如果β，那么α）③如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等；（如果，那么）④如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等；（如果，那么）注：两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系两个命题为互为逆否命题,它们的真假性相同例1.写出命题“若a=0,则ab=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。

例2．写出命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。

4、否命题及命题的否定否命题是既否都条件，也否定结论，而命题的否定只否定结论。

（1）常见词语的否定形式“至少”比“至多”多一个：比如，“至多3个”的否定是“至少4个”；“至多”比“至少”少一个：比如，“至少3个”的否定是“至多2个”。