泰勒公式在比较大小的应用

高考数学比大小泰勒公式高考数学中比大小题型常用的方法是利用泰勒公式进行近似求解。

泰勒公式是数学中用来近似计算函数值的一种方法，通过利用函数在其中一点附近的导数信息，可以用较低次数的多项式来逼近函数的真实取值。

下面将从定义、公式和应用三个方面详细介绍泰勒公式在高考数学中的比大小题型中的应用。

首先我们来看泰勒公式的定义。

给定一个函数f(x)，如果函数在x=a附近的一些区间上有无穷多阶导数，则对于该函数在x=a附近的任意点x，可以用以下形式的多项式近似表示：f(x)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2}(x-a)^{2}+\frac{f^{\prime \prime\prime}(a)}{3 !}(x-a)^{3}\]其中，f^{\prime}(a)表示函数在点a处的一阶导数，f^{\prime\prime}(a)表示函数在点a处的二阶导数，f^{\prime \prime \prime}(a)表示函数在点a处的三阶导数，以此类推。

在高考数学中，会利用泰勒公式中的前几项来进行函数值的近似计算。

常用的近似形式有以下两种：1.二阶泰勒公式：对于一个二次可导函数f(x)，在点x=a附近的其中一区间上，可以用以下形式的二次多项式近似表示：f(x) \approx f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2}(x-a)^{2}\]其中，f^{\prime}(a)表示函数在点a处的一阶导数，f^{\prime\prime}(a)表示函数在点a处的二阶导数。

2.一阶泰勒公式：对于一个一次可导函数f(x)，在点x=a附近的其中一区间上，可以用以下形式的一次多项式近似表示：f(x) \approx f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)\]其中，f^{\prime}(a)表示函数在点a处的一阶导数。

泰勒公式的应用与技巧
泰勒公式又称为差分量化展开式，它具有极强的多项式和多元函数近似扩展能力，能够精确地表示一个函数曲线的关系，在工程领域应用广泛。

以下是泰勒公式的应用与技巧：
1. 应用
(1) 在离散系统分析中，泰勒公式可以提供系统动态响应曲线以及各自对输入信号的响应，从而降低系统设计的复杂性。

(2) 在数值分析中，泰勒公式可以用来估算函数值及其发散性，进而可以估算函数的零点及其根的估计精度。

(3) 在经济学领域，泰勒公式用来分析一系列宏观经济指标的变化对经济效果的影响，以此决定政策制定的深度和维度。

(4) 在电子工程领域，泰勒公式可以用来表征电路作用功能，求解电路实现特定功能的最优解，从而提高电路设计的效率。

2. 技巧
(1) 避免系数繁多带来的计算量大，可以将展开项作简化处理，以消除多余系数，且减少复杂度。

(2) 对于数据情况复杂的情况，可以采用交叉验证的方法，令数据集分割成多组，轮流用作训练集和测试集进行模型训练和验证，从而可以更准确地识别数据趋势。

(3) 充分利用光滑点和区间插值减少计算量，使用雅可比条件数字求
导法应对多变量多元函数及其导数求解。

(4) 针对大量样本，可以采用分类、线性回归、判别分析等机器学习模型，来更精确地分析泰勒公式的表达结果。

泰勒公式的应用超强总结泰勒公式（Taylor series）是一种用来近似表示函数的方法，它将一个光滑的函数表示为多项式的形式。

在实际应用中，泰勒公式有着广泛的应用，包括物理、工程、经济等领域。

以下是泰勒公式的一些超强应用总结。

1.函数逼近：泰勒公式可以将一个复杂的函数逼近成一个多项式，用来简化计算。

这在数值计算和科学建模中广泛应用。

比如，在物理学中，我们可以使用泰勒公式将一个非线性运动的函数逼近成一个线性函数，从而简化计算。

2.误差估计：通过泰勒公式，我们可以对近似函数的误差进行估计。

在实际计算中，我们通常使用有限项的泰勒公式近似计算，而丢弃高阶项将会引入误差。

通过估计误差，我们可以更好地控制近似结果的精度，从而提高计算效率。

3.求解无解析解的问题：有些函数在数学上没有解析解，即无法用一个简单的表达式表示。

泰勒公式可以帮助我们近似求解这些问题。

比如，在微积分中，我们可以使用泰勒公式近似求解一些复杂的微分方程，从而得到数值解。

4.数值积分：泰勒公式可用于数值积分的近似计算。

在实际计算中，我们通常使用数值积分方法来计算曲线下面积或求解积分方程。

泰勒公式可以将被积函数展开成无穷级数，再通过对级数进行近似计算来求解积分。

5.精确度改善：通过对泰勒公式进行适当的变换和近似，可以提高计算结果的精度。

在数值计算中，我们经常会遇到舍入误差和近似误差等问题，通过泰勒公式的应用可以对这些误差进行修正和改善，从而得到更精确的计算结果。

6.其他应用领域：泰勒公式还可以应用于信号处理、图像处理、优化问题等领域。

例如，在信号处理中，泰勒公式可以用来进行信号的近似重构和滤波。

在优化问题中，泰勒公式可以用来近似目标函数，并帮助我们求解最优化问题。

总之，泰勒公式在科学和工程中具有广泛的应用。

通过对函数的逼近和近似，我们可以简化计算、提高精度、解决无解析解的问题，以及在数值计算、积分、优化等领域中得到更好的结果。

因此，掌握泰勒公式的应用是非常重要的，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

Taylor公式的应用一、什么是T a y l o r公式T a yl or公式是数学中的一个基本定理，描述了一个函数在某一点附近的局部行为。

它通过一系列的多项式逼近函数，能够准确地描述函数的近似值。

T ay lo r公式在多个领域都有广泛的应用，例如物理学、工程学和金融学等。

二、T a y l o r公式的推导根据Ta yl or公式的定义，函数可以用多项式进行逼近。

设函数f(x)在x=a处具有n阶连续导数，那么在x=a处展开得到的n阶T ay lo r多项式为：$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\fr ac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cd ot s+\f rac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$式中，$f'(a)$表示函数f(x)在x=a处的导数，$f''(a)$表示二阶导数，$f^{(n)}(a)$表示n阶导数，'!'表示阶乘运算。

三、使用T aylor公式进行函数逼近T a yl or公式可以将复杂的函数用多项式逼近，从而简化计算和分析过程。

下面介绍几个常见的应用示例。

1.函数局部近似利用Ta yl or公式，可以在一个点附近对函数进行局部逼近。

通过忽略高阶项，我们可以得到函数的线性或二次逼近，从而更容易理解函数在该点的行为。

2.数值计算T a yl or公式在数值计算中有广泛的应用。

例如，通过将函数展开为有限项的Ta yl or多项式，可以用较小的代价来计算函数值。

这在数字积分、数值微分和常微分方程数值解等领域都有重要意义。

3.求解复杂问题有些函数可能很难直接求解，但是对于这些函数，我们可以使用已知的函数通过T ay lo r公式进行逼近，从而转化为求解简化的问题。

这样可以大大简化计算的难度。

4.牛顿法牛顿法是一种经典的数值方法，用于求解方程的根。

它通过不断迭代逼近的方式，利用函数的Ta yl or展开来快速找到近似的根。

泰勒公式在不等式中的应用泰勒公式是高等数学中的一个重要定理，它用于近似计算函数在一些点附近的值。

泰勒公式的应用非常广泛，不仅在数学中有重要地位，而且在物理、工程等领域中也有广泛应用。

在不等式中，泰勒公式的应用可以帮助我们解决许多复杂的问题，下面就详细介绍一些泰勒公式在不等式中的应用。

1.近似计算：泰勒公式可以将一个函数在特定点附近展开成一个幂级数，从而得到该点附近的函数值的近似值。

通过控制展开的项数，我们可以得到不同精度的近似值。

在不等式中，我们常常需要计算函数在一些特定点的值，而泰勒公式可以帮助我们进行快速的近似计算。

2.函数的最大值和最小值：对于一些函数，我们要求它在一些区间内的最大值或最小值时，通常会用到泰勒公式。

我们首先计算函数在区间端点处的值，然后使用泰勒公式计算函数在端点附近的近似值。

通过比较得到的近似值，我们可以确定函数在给定区间内的最大值或最小值。

3.不等式的证明：对于一些不等式问题，我们需要证明一些函数的性质。

泰勒公式可以帮助我们简化不等式的证明过程。

通过将不等式中的函数展开成泰勒级数，我们可以得到关于函数各阶导数的不等式，进而用数学归纳法证明原不等式的成立。

4.不等式的精确解：在一些不等式问题中，直接找到不等式的精确解并不容易。

泰勒公式可以提供一种逼近的方法，通过展开不等式中的函数，我们可以得到不等式的一个近似解。

然后，我们可以通过迭代等方法，不断提高近似解的精度，最终得到不等式的精确解。

5.不等式的证明：对于一些复杂的不等式问题，我们需要找到一种合适的方法进行证明。

泰勒公式可以帮助我们得到函数在一些点附近的近似值，从而将原不等式转化成一个更简单的不等式。

通过对近似不等式的分析，我们可以得到原不等式的一些性质，从而完成证明过程。

需要注意的是，泰勒公式在不等式中的应用需要一定的数学基础知识和推理能力。

在应用过程中，我们还需要注意确定合适的展开点、控制近似值的精度等问题。

因此，在进行不等式的计算和证明时，我们应该结合具体问题选择合适的方法，以达到更好的效果。

数分证明习题e的x次方大于1加x的平方用泰勒公式证明我们要证明e的x次方大于1加x的平方，即要证明e^x>1+x^2、我们可以使用泰勒公式来证明这个不等式。

首先，泰勒公式可以用来将一个函数表示为它的一阶、二阶、三阶，等等导数的和。

对于函数f(x)，泰勒公式的一般形式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f'(x)表示f(x)的一阶导数，f''(x)表示f(x)的二阶导数，f'''(x)表示f(x)的三阶导数，以此类推。

a是我们选择的一个点，通常选取为0，这样公式简化为：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+f'''(0)x^3/3!+...现在我们就来证明e的x次方大于1加x的平方：我们首先计算f(x)=e^x在x=0处的一阶、二阶、三阶导数，以及它的值：f(0)=e^0=1f'(0)=e^0=1f''(0)=e^0=1f'''(0)=e^0=1现在我们将这些值代入泰勒公式中，得到：f(x)=1+1x+1x^2/2!+1x^3/3!+...我们可以将右边的项进一步展开，得到：f(x)=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...我们可以将右边的项重新排列，得到：f(x)=1+x(1+x/2+x^2/3!+...)现在我们只需要证明右边的括号内的部分大于0，即1+x/2+x^2/3!+ 0我们可以发现，右边的括号内的部分正是无限级数1+x/2+x^2/3!+...的和。

根据数学定义，当一个级数的每一项都大于等于0且收敛时，该级数的和大于0。

对于这个级数，我们可以看到每一项都大于等于0，因为分母是一个正整数，而分子是x的一次方、二次方等等。

泰勒公式及其应用本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！引言在我们解决一些数学问题中，泰勒公式是一个极为有用的公式。

当解决某些比较复杂的函数时，泰勒公式可以把这些复杂的函数近似的表示为一种简单的多项式函数，这会使我们减少了许多不必要的麻烦，起到事半功倍的作用。

泰勒公式是我们解决一些代数和数值计算发挥了决定性的作用。

本文通过对其定义及其展开式、常见的展开式和余项进行介绍，总结泰勒公式在解决许多数学问题中常见的应用，即求函数的极限、在等式与不等式方面、在近似计算上、在证明中值公式中、判断级数及积分收敛中、求函数高阶导、判断函数的极值点中、在界的估计方面、求行列式的值方面的应用[2-16]，并通过例题对其应用进行解释说明。

第一章泰勒公式泰勒公式的背景及意义英国著名的数学家布鲁克•泰勒，是十八世纪早期英国牛顿学派的杰出代表人物之一，1685年出生于米德尔赛克斯的埃德蒙，泰勒公式得名于他。

泰勒一生中有许多著作，其中主要的著作是《正和得增量方法》，书中描述了他在1712年7月给他的老师梅钦（数学家，天文学家）信中首先提出的著作定理——泰勒公式[1]。

在数学分析中，对于我们解决某些问题，比如我们常常会碰到一些比较复杂的函数，为了解决此类问题，可以利用泰勒公式将复杂的问题变成简单的作用，将这些复杂的函数转化为常见的、简单的多项式，这样我们就能够更简便的解决出问题。

可以看出这对某些函数值的计算和函数形态的研究都具有极为重要的意义。

泰勒公式的意义是：一个多项式，它是函数关于的n次多项式，用它与函数作差后所得的是比高阶的无穷小，并给出其误差，这样就为研究和计算一些比较复杂的函数和估计误差提供了有效的方法。

泰勒公式是由关于的n次多项式以及余项组成的，下面来探讨一下：当时，有是的曲线在点处的切线（方程），称为曲线在点的一次密切[2]。

泰勒公式及其应用本文将介绍泰勒公式在数学分析中的应用。

泰勒公式是一种重要的工具，可以用于近似计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面。

本文将重点讨论泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。

2.泰勒公式泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。

它可以分为带有拉格朗日余项、皮亚诺型余项、积分型余项和柯西型余项的泰勒公式。

这些不同类型的泰勒公式可以用于不同的问题求解。

2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式具有拉格朗日余项的泰勒公式是最常用的一种泰勒公式。

它可以将一个函数展开为一个幂级数，其中每一项的系数都与函数的导数有关。

这个公式的余项是一个拉格朗日型余项，可以用来估计函数在某个点的误差。

2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式带有皮亚诺型余项的泰勒公式是一种更精确的泰勒公式。

它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。

2.3带有积分型余项的泰勒公式带有积分型余项的泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。

它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。

2.4带有柯西型余项的泰勒公式带有柯西型余项的泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。

它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。

3.泰勒公式的应用泰勒公式在数学分析中有广泛的应用。

本文将介绍泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。

3.1利用泰勒公式求未定式的极限利用泰勒公式可以求解一些未定式的极限。

例如，可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数，并利用级数的性质求解未定式的极限。

3.2利用泰勒公式判断敛散性泰勒公式可以用来判断一些级数的敛散性。

例如，可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数，并利用级数的性质判断级数是否收敛。

3.3利用泰勒公式证明中值问题泰勒公式可以用来证明一些中值问题。

NEW EDUCATION中专职教泰勒公式和泰勒级数的应○琼台师范高等专科学校何勤一、预备知识泰勒公式：若函数f 在x 0的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数，则f (x)=f ′(x 0)(x 0-x 0)+f (x 0)2(x -x 0)2+…+f n(x 0)n!(x-x 0)n+R(x)①Rn(x)=f n+1(ξ)(n+1)!(x-x 0)n+1其中ξ在x 与x 0之间，称①为f 在x 0处的泰勒公式。

如果在①中抹去余项R n （x ），那么在x 0处附近f 可用①式右端的多项式来近似代替。

如果函数f 在x=x 0处存在任何阶的导数，这时称形式为f (x)=f ′(x 0)(x-x 0)+f ″(x 0)2(x-x0)2+…+f n(x 0)n!(x-x 0)n+…②的级数为函数f 在x 0的泰勒数。

二、泰勒级数在不等式证明中的应用函数f （x ）在x 0的某邻域上能展开为泰勒级数①，应用对泰勒公式R n (x)的讨论，可能证明一些不等式。

虽然泰勒级数在不等式的证明中应用不多，但是能够应用泰勒公式时，往往能收到事半功倍的效果。

例证明不等式1+x 2-x 28＜1+x 姨（x ＞0)分析：不等式左边是二次三项。

右边是无理式，两者没有明显的大小关系，作差显然不行，作商也比较麻烦，用微分的方法也麻烦，这时，可将1+x 姨用x 0=0时二阶泰勒公式表示出来，然后与左边的二次三项式作比较，进行判断两者的大小关系。

证明：设f （x)=1+x 姨,则f (0)=1f (x)=12(1+x)则f (0)=12f (x)=14(1+x)则f (0)=14f 苁(x)=38(1+x)代入x 0=0的二阶泰勒公式有f （x)=1+x 姨=1+x 2-x 28+116(1+θx)x 3,0＜θ＜1当x ＞0时余项116（1+θx)x 3＞0从而有：1+x 2-x 28＜1+x 姨。

三、在正项级数敛散性判定中的应用1.在级数理论中，要判定一个正项级数∞n =1Σαn是否收敛，通常要找一个较简单(p ＞0),再用比较判别法来判定,在的问题是如何选取适当的∞n =1Σ1np例如（1）若p =2，此时∞n =1Σ1n 2收敛lim n -＞∞a n 1n 2=+∞。

泰勒公式和其应用摘要文章简要介绍了泰勒公式的证明和其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。

关键词：泰勒公式，最优化理论，应用一、泰勒公式1.1 一元泰勒公式若函数)(x f 在含有的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和：10)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()!1()(++-+n n x x n f ξ在和之间的一个数，该余项)(x R n 为拉格朗日余项。

1.1.1 泰勒公式的推导过程我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式：n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+=来近似表达函数)(x f ；设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以)(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 !2)(02x f a ''=n n a n x p !)(0)(=，所以有!)(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(!)()(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）：设)()()(x p x f x R n -=于是有0)()()(000=-=x p x f x R n所以有0)()()()(0)(000===''='=x R x R x R x R n n n n n根据柯西中值定理可得：n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ是在和之间的一个数； 对上式再次使用柯西中值定理，可得：)1(022*******))(1()()0))(1(()()())(1()(--+''=--+'-'=-+'n n n n n n n x n n R x n x R R x n R ξξξξξξ是在和之间的一个数； 连续使用柯西中值定理1+n 次后得到：)!1()()()()1()1(0+=-++n R x x x R n n n n ξ 这里是介于和之间的一个数。

比较两函数大小的方法
比较两个函数的大小有以下几种方法：
1.比较两个函数在同一自变量区间上的函数值大小。

对于给定的自变量x，分别计算两个函数f(x)和g(x)的值，并比较它们的大小。

2.比较两个函数的导数大小。

若对于自变量x在某个区间上，函数
f(x)的导数大于函数g(x)的导数，则认为函数f(x)在这个区间上大于函数g(x)。

3.比较两个函数的二阶导数大小。

若对于自变量x在某个区间上，函数f(x)的二阶导数大于函数g(x)的二阶导数，则认为函数f(x)在这个区间上大于函数g(x)。

4.比较两个函数的泰勒展开式的截断误差大小。

若对于自变量x在某个区间上，函数f(x)的泰勒展开式的截断误差小于函数g(x)的泰勒展开式的截断误差，则认为函数f(x)在这个区间上大于函数g(x)。

以上几种方法有其各自的特点和应用范围，要根据具体情况选择合适的方法进行比较。

《高等数学》课程中泰勒公式的应用泰勒公式是数学中的一种重要工具，它可以将一个可导函数在某个点附近展开成一个无限项的多项式，从而方便于研究函数的性质和行为。

在《高等数学》课程中，泰勒公式的应用非常广泛，涉及到数值逼近、极限计算、函数性质的研究等方面。

泰勒公式可以用于数值逼近。

我们知道，实际中很多函数的精确计算是非常困难的，特别是在计算机上进行数值计算时。

我们常常使用泰勒公式来近似计算函数的值。

泰勒公式展开后的多项式可以截断成一定项数，从而得到函数在某个点的近似值。

这样的逼近方法在实际应用中非常重要，比如在科学计算、工程设计、物理模拟等方面都有广泛的应用。

泰勒公式还可以用于函数的极限计算。

我们可以将一个函数在某个点附近进行泰勒展开，然后通过取极限的方式来研究函数在该点处的性质。

我们可以利用泰勒公式来求解不定形式的极限，如0/0、∞/∞、1^∞等形式的极限。

通过适当的泰勒展开和计算，我们可以得到这些极限的具体值或者给出它们的一些性质。

泰勒公式还可以用于研究函数的性质。

我们知道，泰勒公式展开后的多项式包含了函数的各阶导数信息，通过研究这些导数可以得到函数的一些特征。

通过观察函数的高阶导数可以判断函数的单调性、凹凸性、拐点等性质。

泰勒公式还可以用于研究函数的最值，通过求取泰勒多项式的导数信息，可以确定函数的最大值或最小值，并找到最值点的坐标。

泰勒公式还有一些特殊的应用。

在微积分学中，我们常常遇到一些复杂的函数，难以直接进行求导或积分。

而泰勒公式则可以将这些函数近似表示成一个多项式，从而使得计算和研究变得简便。

泰勒公式还可以用于构造一些特殊的函数，比如常用的三角函数、指数函数、对数函数等。

泰勒公式在《高等数学》课程中有着广泛的应用。

它不仅可以用于数值逼近和极限计算，还可以用于研究函数的性质和解决一些数学问题。

对于学习数学的学生来说，理解和掌握泰勒公式的应用，对于深入理解和掌握微积分学的基本原理和方法具有重要意义。

泰勒展开与比较函数大小张㊀岩㊀㊀李㊀丹(海南三亚学院理工学院ꎬ海南三亚５７２０２２)摘㊀要:本文从高等数学视角出发ꎬ以高考数学真题为例ꎬ通过把函数展开成泰勒级数ꎬ让函数求导变得容易ꎬ进而快速判断不同种类函数大小.不仅增加了一种解题方法ꎬ也拓宽了学生眼界ꎬ让素质教育落在实处.关键词:函数ꎻ导数ꎻ泰勒展开中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１３－００６２－０３收稿日期:２０２３－０２－０５作者简介:张岩(１９８１.１２－)ꎬ男ꎬ吉林省四平市人ꎬ硕士ꎬ讲师ꎬ从事应用数学研究ꎻ李丹(１９８５.１１－)ꎬ女ꎬ河北省保定市人ꎬ硕士ꎬ讲师ꎬ从事数学类课程思政建设研究.基金项目:三亚学院第二批课程思政建设项目:高等数学(项目编号:ＳＹＪＫＳＺ２０２２１６４)㊀㊀比较数值大小或函数大小是高考数学中的常见题型ꎬ通常作为选择压轴题出现ꎬ而数值通常可以抽象为某个函数的函数值ꎬ因此最终都转化为比较函数大小ꎬ解决这类题型的通常做法是作差㊁求导㊁判断单调性ꎬ从而确定函数差的符号ꎬ最终确定函数大小.但在具体问题中ꎬ往往没有这么简单ꎬ难点是导数符号并不好判断ꎬ可能需要求两次甚至三次导数ꎬ才能讨论出导数的正负号ꎬ过程较为繁琐ꎬ学生往往找不到解题思路.如果以高等数学中的泰勒展开为工具ꎬ通过放缩比较函数间的大小或是求导通过单调性比较大小ꎬ都会变得十分简单ꎬ下面通过具体例子来展现泰勒展开的强大威力.例１㊀(２０２２年新高考Ⅰ卷第７题)设ａ＝０.１ｅ０.１ꎬｂ＝１９ꎬｃ＝－ｌｎ０.９ꎬ则(㊀).Ａ.ａ<ｂ<ｃ㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ.ｃ<ｂ<ａＣ.ｃ<ａ<ｂＤ.ａ<ｃ<ｂ解法１㊀由于０.９＝１－０.１ꎬ故可将ｃ＝－ｌｎ０.９写成ｃ＝－ｌｎ(１－０.１)ꎬ把ｂ＝１９写成ｂ＝０.１１－０.１.又由于０.１接近于０ꎬ把０.１抽象成变量ｘꎬ进而把ａ㊁ｂ㊁ｃ分别抽象成函数ｈ(ｘ)＝ｘｅｘꎬｇ(ｘ)＝ｘ１－ｘꎬｆ(ｘ)＝－ｌｎ(１－ｘ)ꎬ比较ａ㊁ｂ㊁ｃ的大小ꎬ也就是比较ｈ(ｘ)㊁ｇ(ｘ)㊁ｆ(ｘ)在ｘ＝０.１处的大小.用比差法与单调性比较大小ꎬ令Ｈ(ｘ)＝ｈ(ｘ)－ｇ(ｘ)＝ｘｅｘ－ｘ１－ｘꎬＨ(０)＝０ꎬＨᶄ(ｘ)＝ｅｘ＋ｘｅｘ－(１－ｘ)＋ｘ(１－ｘ)２＝ｅｘ(１＋ｘ)(１－ｘ)２－１(１－ｘ)２.当ｘɪ(０ꎬ１)时ꎬ(１－ｘ)２>０ꎬｅｘ(１＋ｘ)(１－ｘ)２－１的符号不确定ꎬ令ｋ(ｘ)＝ｅｘ(１＋ｘ)(１－ｘ)２－１ꎬｋ(０)＝０ꎬｋᶄ(ｘ)＝ｅｘ(１－ｘ)(－ｘ２－３ｘ)ꎬ当ｘɪ(０ꎬ１)时ꎬｅｘ>０ꎬ１－ｘ>０ꎬ－ｘ２－３ｘ<０ꎬ所以ｋᶄ(ｘ)<０ꎬｋ(ｘ)单调递减ꎬｋ(ｘ)<０ꎬ所以Ｈᶄ(ｘ)<０ꎬＨ(ｘ)在(０ꎬ１)上单调递减ꎬＨ(ｘ)<０ꎬ即ｈ(ｘ)<ｇ(ｘ)ꎬ所以２６ａ<ｂ.同理ꎬ令Ｆ(ｘ)＝ｈ(ｘ)－ｆ(ｘ)＝ｘｅｘ＋ｌｎ(１－ｘ)ꎬＦ(０)＝０ꎬＦᶄ(ｘ)＝ｅｘ＋ｘｅｘ－１１－ｘ＝ｅｘ(１＋ｘ)(１－ｘ)－１１－ｘꎬ当ｘɪ(０ꎬ０.１]时ꎬ分母１－ｘ>０ꎬ令ｔ(ｘ)＝ｅｘ(１＋ｘ)(１－ｘ)－１ꎬｔᶄ(ｘ)＝(１－２ｘ－ｘ２)ｅｘꎬ当ｘɪ(０ꎬ０.１]时ꎬｔᶄ(ｘ)>０ꎬ所以Ｆᶄ(ｘ)>０ꎬＦ(ｘ)在(０ꎬ０.１]上单调递增ꎬ在(０ꎬ０.１]上Ｆ(ｘ) >０ꎬ即ｈ(ｘ)>ｆ(ｘ)ꎬ所以ａ>ｃ.综上ꎬｃ<ａ<ｂꎬ故选Ｃ.解法２㊀将ｈ(ｘ)＝ｘｅｘꎬｇ(ｘ)＝ｘ１－ｘꎬｆ(ｘ)＝－ｌｎ(１－ｘ)展开成泰勒级数ꎬ再比较大小ꎬｈ(ｘ)＝ｘｅｘ＝ｘ＋ｘ２＋ｘ３２!＋ｘ４３!＋ ꎬｇ(ｘ)＝ｘ１－ｘ＝ｘ＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ ꎬｆ(ｘ)＝－ｌｎ(１－ｘ)＝ｘ＋ｘ２２＋ｘ３３＋ｘ４４＋当ｘ>０ꎬ显然ｇ(ｘ)>ｈ(ｘ)ꎬｇ(ｘ)>ｆ(ｘ)ꎬ因此ｂ>ａꎬｂ>ｃ.ｈ(ｘ)－ｆ(ｘ)＝ｘ２２＋ｘ３６－ｘ４１２－ ꎬ当ｘ＝０.１时是否大于零?ｆ(ｘ)＝ｘ＋ｘ２２＋ｘ３３＋ｘ４４＋ <ｘ＋ｘ２２(１＋ｘ＋ｘ２＋ )＝ｘ＋ｘ２２(１－ｘ)ꎬ当ｘɪ(０ꎬ１２)时ꎬｘ２２(１－ｘ)<ｘ２ꎬ即ｆ(ｘ)＝ｘ＋ｘ２２(１－ｘ)<ｘ＋ｘ２<ｈ(ｘ)ꎬ所以ｈ(ｘ)－ｆ(ｘ)>０ꎬ即ａ>ｃꎬ综上ꎬｂ>ａ>ｃ有些函数的泰勒展开各项间是正负交错的ꎬ利用放缩法不容易判断符号ꎬ但是泰勒展开会使求导变得容易ꎬ利用泰勒展开的导数判断单调性也可以比较函数大小ꎬ见下面的例２.例２㊀(２０２２年高考甲卷(理科)第１２题)已知ａ＝３１３２ꎬｂ＝ｃｏｓ１４ꎬｃ＝４ｓｉｎ１４ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ｃ>ｂ>ａ㊀㊀㊀Ｂ.ｂ>ａ>ｃＣ.ａ>ｂ>ｃＤ.ａ>ｃ>ｂ解析㊀由于１４较接近于０ꎬ因此把１４抽象成变量ｘꎬ把ａ＝３１３２＝１－１３２抽象成函数ｆ(ｘ)＝１－１２ｘ２ꎬｂ＝ｃｏｓ１４抽象成函数ｇ(ｘ)＝ｃｏｓｘꎬｃ＝４ｓｉｎ１４抽象成函数ｈ(ｘ)＝１ｘｓｉｎｘꎬ将ｆ(ｘ)＝１－１２ｘ２ꎬｇ(ｘ)＝ｃｏｓｘꎬｈ(ｘ)＝１ｘｓｉｎｘ展开成泰勒级数:ｆ(ｘ)＝１－１２ｘ２ꎬｇ(ｘ)＝ｃｏｓｘ＝１－ｘ２２!＋ｘ４４!－ｘ６６!＋ ꎬｈ(ｘ)＝１ｘｓｉｎｘ＝１－ｘ２３!＋ｘ４５!－ｘ６７!＋ ꎬｄ(ｘ)＝ｇ(ｘ)－ｆ(ｘ)＝ｘ４４!－ｘ６６!＋ ꎬｄ(０)＝ｄᶄ(０)＝ｄᵡ(０)＝ｄ‴(０)＝０<ｄ(４)(０)＝１ꎬ当ｘɪ(０ꎬ１４]时ꎬｄ(４)(ｘ)>０ꎬｄ‴(ｘ)单调递增ꎬｄ‴(ｘ)>０ꎬｄᵡ(ｘ)单调递增ꎬｄᵡ(ｘ)>０ꎬｄᶄ(ｘ)单调递增ꎬｄᶄ(ｘ)>０ꎬｄ(ｘ)单调递增ꎬｄ(ｘ)>０ꎬｇ(ｘ)>ｆ(ｘ)ꎬ即ｂ>ａ.同理ꎬ令ε(ｘ)＝ｈ(ｘ)－ｇ(ｘ)＝ｘ２３－ｘ４３０＋ｘ６８４０－ ꎬ显然ε(０)＝εᶄ(０)＝０<εᵡ(０)＝２３.当ｘɪ(０ꎬ１４]时ꎬεᵡ(ｘ)>０ꎬεᶄ(ｘ)单调递增ꎬεᶄ(ｘ) >０ꎬε(ｘ)单调递增ꎬε(ｘ)>０ꎬｈ(ｘ)>ｇ(ｘ)ꎬ即ｃ>ｂ.综上ꎬ即ｃ>ｂ>ａ.泰勒展开可以辅助求导ꎬ一阶导数就是一次项系数ꎬ二阶导数是二次项系数的２倍ꎬ三阶导数是３次项系数的６倍ꎬ四阶导数是４次项系数的２４倍ꎬ在零点附近作泰勒展开ꎬ这点的各阶导数由泰勒展开系数决定ꎬ这就是泰勒展开决定求导.泰勒展开的优势不是不求导数ꎬ而是导数很容易求ꎬ由３６导数的符号逐级反推函数的单调性和正负ꎬ最终比较出两个函数的大小ꎬ上面的过程还可以进一步简化ꎬ见例３.例３㊀(２０２１年全国乙卷(理科)第１２题)已知ａ＝２ｌｎ１.０１ꎬｂ＝ｌｎ１.０２ꎬｃ＝１.０４－１ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ａ<ｂ<ｃ㊀㊀㊀Ｂ.ｂ<ｃ<ａＣ.ｂ<ａ<ｃＤ.ｃ<ａ<ｂ解析㊀由于１.０１＝１＋０.０１ꎬ１.０２＝１＋０.０２ꎬ１.０４＝１＋０.０４ꎬ０.０１更接近于０ꎬ把０.０１抽象成变量ｘꎬ因此ａ㊁ｂ㊁ｃ可以分别抽象为ｆ(ｘ)＝２ｌｎ(１＋ｘ)ꎬｇ(ｘ)＝ｌｎ(１＋２ｘ)ꎬｈ(ｘ)＝１＋４ｘ－１ꎬ问题转化成比较ｆ(ｘ)㊁ｇ(ｘ)㊁ｈ(ｘ)在０.０１处的大小ꎬ把ｆ(ｘ)㊁ｇ(ｘ)㊁ｈ(ｘ)展开成泰勒级数:ｆ(ｘ)＝２ｌｎ(１＋ｘ)＝２ｘ－ｘ２＋２３ｘ３－１２ｘ４＋ ꎬｇ(ｘ)＝ｌｎ(１＋２ｘ)＝２ｘ－１２(２ｘ)２＋１３(２ｘ)３－１４(２ｘ)４＋ ＝２ｘ－２ｘ２＋８３ｘ３－４ｘ４＋ ꎬｈ(ｘ)＝１＋４ｘ－１＝２ｘ－２ｘ２＋４ｘ３－８ｘ４＋ .这又是正负交错的泰勒展开ꎬ可以预估它们在０处的导数值ꎬｆ(０)＝ｇ(０)＝ｈ(０)ꎬｆᶄ(０)＝ｇᶄ(０)＝ｈᶄ(０)＝２ꎬｆᵡ(０)＝－２>ｇᵡ(０)＝ｈᵡ(０)＝－４ꎬ说明在零附近ｆ(ｘ)>ｇ(ｘ)ꎬｆ(ｘ)>ｈ(ｘ).又ｇ‴(０)＝１６<ｈ‴(０)＝２４ꎬ说明当ｘ足够小时ꎬｇ(ｘ)<ｈ(ｘ)ꎬ所以ｆ(ｘ)>ｈ(ｘ)>ｇ(ｘ)ꎬ当ｘ足够小时ꎬａ>ｃ>ｂꎬ那么ｘ＝０.０１是否足够小呢?再用ｆ(ｘ)㊁ｇ(ｘ)㊁ｈ(ｘ)之间差的导数检验一下:ｄ(ｘ)＝ｈ(ｘ)－ｇ(ｘ)＝１＋４ｘ－１－ｌｎ(１＋２ｘ)ꎬｄ(０)＝０ꎬｄᶄ(ｘ)＝２１＋４ｘ－２１＋２ｘ＝２ (１＋２ｘ)－１＋４ｘ１＋４ｘ(１＋２ｘ)ꎬ当ｘɪ(０ꎬ０.０１]时ꎬ分母１＋４ｘ(１＋２ｘ)>０ꎬ令ε(ｘ)＝(１＋２ｘ)－１＋４ｘꎬε(０)＝０ꎬεᶄ(ｘ)＝２－２１＋４ｘꎬ当ｘɪ(０ꎬ０.０１]时ꎬ１＋４ｘ>１ꎬ０<１１＋４ｘ<１ꎬ２１＋４ｘ<２ꎬεᶄ(ｘ)＝２－２１＋４ｘ>０ꎬ所以ε(ｘ)单调递增ꎬε(ｘ)>０ꎬ即ｄᶄ(ｘ)>０ꎬｄ(ｘ)单调递增ꎬｄ(ｘ)>０ꎬ所以ꎬ当ｘɪ(０ꎬ０.０１]时ꎬｈ(ｘ)>ｇ(ｘ)ꎬ即ｃ>ｂ.δ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｈ(ｘ)＝２ｌｎ(１＋ｘ)－(１＋４ｘ－１)＝２ｌｎ(１＋ｘ)－１＋４ｘ＋１ꎬδ(０)＝０ꎬδᶄ(ｘ)＝２１＋ｘ－２１＋４ｘ＝２ １＋４ｘ－(１＋ｘ)(１＋ｘ)１＋４ｘꎬ当ｘɪ(０ꎬ０.０１]时ꎬ分母(１＋ｘ)１＋４ｘ>０ꎬ令α(ｘ)＝１＋４ｘ－(１＋ｘ)ꎬα(０)＝０ꎬαᶄ(ｘ)＝２１＋４ｘ－１＝２－１＋４ｘ１＋４ｘꎬ当ｘɪ(０ꎬ０.０１]时ꎬ０<１＋４ｘ<２ꎬ２－１＋４ｘ>０ꎬαᶄ(ｘ)>０ꎬα(ｘ)单调递增ꎬ即α(ｘ)>０ꎬδᶄ(ｘ)>０ꎬδ(ｘ)单调递增ꎬδ(ｘ)>０ꎬ所以ꎬ当ｘɪ(０ꎬ０.０１]时ꎬｆ(ｘ)>ｈ(ｘ)ꎬ即ａ>ｃ.综上ａ>ｃ>ｂ.验证了泰勒展开估计ａ㊁ｂ㊁ｃ大小的正确性ꎬ泰勒展开可以指挥求导ꎬ从而快速判断函数大小.以上方法就是把指数函数㊁对数函数用泰勒展开变成无穷级数ꎬ只用加减乘除就能判定函数取值的大小ꎬ比导数更容易被中学生掌握ꎬ只需背诵几个常用的展开式ꎬ威力比导数更强大.高考中能否允许使用泰勒展开?如果是选择题完全不需要担心ꎬ因为选择题只看结果不看方法ꎬ如果是解答题ꎬ担心不让用ꎬ也可以在草纸上写出泰勒展开公式ꎬ通过泰勒公式指挥求导发现求几次导才不为０ꎬ然后胸有成竹地在答题卡上按部就班地写出高考的标准解法.参考文献:[１]李尚志.大学视角下的中学数学(泰勒展开)[Ｊ].数学通报ꎬ２０１９ꎬ５８(０８):１－５.[责任编辑:李㊀璟]４６。

泰勒公式在求解比较大小选择题中的应用
李素馨;冯硕文
【期刊名称】《中学数学:高中版》
【年(卷),期】2023()1
【摘要】新课改要求学生能利用函数模型解决问题,而泰勒公式可以在比较与估计类的问题中大大地简化运算.本文中结合书本例题和高考题主要叙述了泰勒公式如何在比较与估计问题中灵活运用.
【总页数】2页(P13-14)
【作者】李素馨;冯硕文
【作者单位】湖北大学数学与统计学学院
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.二次函数在闭区间上的最值问题两类轴对称问题的辨析小议辅助角公式的求解策略抽象函数问题分类例析均值不等式的应用与分析对称问题中参数范围的一种求解策略关于解不等式问题的若干策略简化解析几何计算的若干策略“定”，“动”相宜——二次函数在闭区间上的最值问题
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3.泰勒公式在高等数学解题中的应用举例
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