有理数的相关概念(终审稿)

有理数的知识点整理一、有理数的概念1. 定义- 整数和分数统称为有理数。

整数包括正整数、0、负整数，例如3、0、-5等；分数包括有限小数和无限循环小数，有限小数如0.25，无限循环小数如0.3̇。

2. 有理数的分类- 按定义分类：- 有理数cases(整数begin{cases}正整数0负整数)分数cases(正分数负分数)end{cases}- 按性质符号分类：- 有理数cases(正有理数begin{cases}正整数正分数)0负有理数cases(负整数负分数)end{cases}二、数轴1. 定义- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，缺一不可。

2. 数轴上的点与有理数的关系- 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数（还有无理数）。

例如，2可以用数轴上原点右边距离原点2个单位长度的点来表示；-1.5可以用原点左边距离原点1.5个单位长度的点来表示。

3. 利用数轴比较有理数的大小- 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

正数大于0，0大于负数，正数大于负数。

例如，在数轴上3在1的右边，所以3 > 1；-2在-3的右边，所以-2>-3。

三、相反数1. 定义- 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

0的相反数是0。

例如，3和-3互为相反数，-(1)/(2)和(1)/(2)互为相反数。

2. 性质- 互为相反数的两个数的和为0，即若a与b互为相反数，则a + b=0。

例如，5+(-5) = 0。

- 在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等。

例如，3和-3在数轴上到原点的距离都是3个单位长度。

四、绝对值1. 定义- 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作| a|。

例如，|3| = 3，| - 3|=3。

2. 性质- 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

关于有理数的知识点总结一、有理数的概念及性质1. 有理数的定义有理数是指可以表示为两个整数的比的数，它通常用分数形式表示。

实际上，每个有理数都可以写成一个整数和一个非零整数的商。

例如，2/3、-5/4、3等都是有理数。

2. 有理数的性质（1）有理数可以用分数形式表示，例如2/3、-5/4等。

（2）有理数中包括正整数、负整数、零以及所有的分数。

（3）有理数的数轴表示：有理数可以用数轴上的点来表示，正数在原点的右侧，负数在原点的左侧，0在原点上。

二、有理数的表示和分类1. 有理数的表示有理数可以用分数形式表示或者小数形式表示。

对于分数形式，它可以用a/b的形式表示，其中a为分子，b为分母；对于小数形式，它可以用有限小数或者循环小数来表示。

2. 有理数的分类有理数可以分为正数、负数和零三种。

其中正数是大于0的数，负数是小于0的数，零表示0。

三、有理数的加法和减法1. 有理数的加法（1）同号数的加法：两个正数相加或者两个负数相加，结果为正数；例如2+3=5，(-2)+(-3)=-5。

（2）异号数的加法：两个正数相加或者一个正数和一个负数相加，结果的绝对值大的减去绝对值小的，符号取绝对值大的数的符号；例如2+(-3)=-1，(-2)+3=1。

2. 有理数的减法有理数的减法可以转化为加法来进行，即a-b=a+(-b)。

也就是说，将减法问题转化为加法问题，然后按照加法的规则进行计算。

四、有理数的乘法和除法1. 有理数的乘法（1）同号数的乘法：两个正数相乘或者两个负数相乘，结果为正数；例如2*3=6，(-2)*(-3)=6。

（2）异号数的乘法：一个正数和一个负数相乘，结果为负数；例如2*(-3)=-6。

2. 有理数的除法有理数的除法同样可以转化为乘法来进行，即a/b=a*(1/b)。

也就是说，将除法问题转化为乘法问题，然后按照乘法的规则进行计算。

五、有理数的绝对值1. 有理数绝对值的定义有理数a的绝对值定义为a的非负数表示，即a的绝对值记为|a|，有两种定义形式：（1）当a>=0时，|a|=a；（2）当a<0时，|a|=-a。

第五章 有理数第一节 有理数像6，2.5，43，%2.1等数叫做正数(positive number ). 在正数前面加上“-”号的数叫做负数(negative number ).如%2,43,2.1,4----等.零既不是正数也不是负数.零和正数又可以称为非负数. 整数和分数统称为有理数(rational number)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 注1：•如果我们把整数看成是分母为上的分数,那么在这个意义下,所有的有理数都是分数.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(number axis).任何一个有理数都可以有数轴上的一个点表示.注2：•原点、正方向和单位长度是画数轴的三要素.•有理数可以用数轴上的点来表示,但数轴上的点不一定表示有理数.只有符号不同的丙具数,我们称其中一个数为另一个数的相反数(opposite number),也称这两个数互为相反数.零的相反数是零.注3：•在数轴上,表示互为相反数的两具点位于原点的丙侧,并且与原点的距离相等.•一个数的相反数的相反数是这个数的本身.一个数在数轴上所对应的点与原点的距离,叫做这个数的绝对值(absolute value). 用符号a 表示数a 的绝对值.一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0，记作00=在数轴上，右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大.•数轴上的点从左至右排列的有序性,而每一个有理数都是可以在数轴上用唯一的上个点来表示,因此,任何两个有理数都可以比较大小.并且,正数大于零，零大于负数,正数大于负数.•一个数所表示的点离开原点的距离越远,绝对值越大,离开原点的距离越近,绝对值越小.•互为相反数的两个数在数轴上表示它们的对应点在原点两侧,并且与原点的距离相等.两个负数,绝对值大的那个数反而小.第二节有理数的运算有理数加法法则同号两数相加,取原来的符号,并把绝对值相加.异号两数相加,绝对值相等时和为零;绝对值不相等时,其和的绝对值为较大的绝对值减去较小的绝对值所得的差,其和的符号取绝对值较大的加数的符号.一个数同零相加，仍得这个数.有理数加法的运算律交换律：a=a++bb结合律：)a++b++=c(a)b(c语言叙述：两个有理数相加,交换加数的位置，其和不变.三个有理数相加,先把前两个数相加再与第三个数相加,或者先把后两个数相加再与第一个数相加,其和不变.•根据加法交换律和结合律可以得出：三个以上的有理数相加,可以任意交换加数的位置,也可以先把其中的几个数相加.有理数减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数.+=-a-)(bab两数相乘的符号法则正乘正得正,正乘负得负,负乘正得负,负乘负得正.有理数乘法法则两数相乘，同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.任何数与零相乘，都得零.•几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有厅数个时，积为负；当负因数有偶数有偶数个时，积为正.几个数相乘，有因数为零，积就为零.•乘法交换律:ba ab =乘法结合律:)()(bc a c ab =乘法对加法的分配律:ac ab c b a +=+)(这些运算律在有理数运算中依然成立.有理数除法法则两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.零除以任何一个不为零的数，都得零.a -的倒数是p q a a -≠-),0(1的倒数是).0,0(≠≠-q p pq 甲数除以乙数(零除外)等于甲数乘以乙数的倒数.一般地，我们将n 个相同因数a 相乘，记作n a ，即n nn a a a a a a =⨯⨯⨯⨯⨯个 −−−←↑−−→−指数幂底数n a求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方(power)乘方的结果叫做幂(power).在n a 中,叫做底数(base number),n 叫做指数(exponent).n a 读作a 的次方.n a 的a 的n 次结果时，读作a 的n 次幂.•正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数.•特别地，)(00,11为正整数n n n ==.有理数混合运算规律有理数混杂合运算的顺序：先乘方，后乘除，再加减;同级运算从左到右;如果有括号，先算小括号，后处中括号，再算大括号.•括号前带负号，去掉括号内各项要变号，即b a b a --=+-)(， b a b a +-=--)(把一个数写成),101(10是正整数其中n a a n ≤≤⨯，这种形的记数方法叫做科学记数法(scientific notation)。

初中有理数知识点有理数是初中数学中的重要概念，它是进一步学习数学的基础。

接下来，让我们一起深入了解有理数的相关知识。

一、有理数的定义有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。

整数可以看作是分母为 1 的分数，比如 5 可以写成 5/1。

分数则是由两个整数（分子和分母）组成，表示把一个整体平均分成若干份，其中的一份或几份。

例如 1/2 表示把一个整体平均分成 2 份，取其中的 1 份。

有理数包括正有理数、0 和负有理数。

正有理数包括正整数和正分数，例如 3、5/4 等。

负有理数包括负整数和负分数，比如－2、－7/3 等。

二、有理数的分类1、按定义分类：整数：正整数、0、负整数。

分数：正分数、负分数。

2、按性质符号分类：正有理数：正整数、正分数。

0 。

负有理数：负整数、负分数。

三、有理数的数轴表示数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。

任何一个有理数都可以在数轴上找到对应的点。

例如，2 这个有理数在数轴上对应的点是在原点右边 2 个单位长度的位置；－3 对应的点在原点左边 3 个单位长度的位置。

在数轴上，右边的数总比左边的数大。

四、有理数的大小比较1、正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数。

2、两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

例如，比较－5 和－3 的大小。

先求出它们的绝对值，｜－5| ＝5，｜－3| ＝ 3。

因为 5 ＞ 3，所以－3 ＞－5 。

五、有理数的加减法1、加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

例如，3 ＋ 5 ＝ 8 ，－3 ＋（－5) ＝－8 。

异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

比如 5 ＋（－3) ＝ 2 ，－5 ＋ 3 ＝－2 。

一个数同 0 相加，仍得这个数。

2、加法运算律：加法交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a 。

加法结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c) 。

有理数章节知识点总结有理数是数学中的一个重要概念，它是整数和分数的统称。

在这一章节中，我们将深入学习有理数的相关知识。

一、有理数的定义有理数包括整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）。

整数可以看作是分母为 1 的分数。

例如：5 是整数，也可以表示为 5/1；－3 是负整数，也能写成－3/1；1/2 是正分数，－2/3 是负分数。

需要注意的是，有限小数和无限循环小数也属于有理数，因为它们都可以化为分数。

二、有理数的分类1、按定义分类整数：正整数、零、负整数。

分数：正分数、负分数。

2、按性质分类正有理数：正整数、正分数。

零负有理数：负整数、负分数。

三、数轴数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。

数轴的作用非常重要：1、可以直观地表示有理数，有理数都可以在数轴上找到对应的点。

2、利用数轴可以比较有理数的大小，数轴上右边的数总比左边的数大。

例如：在数轴上，5 在 2 的右边，所以 5 大于 2。

四、相反数绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数。

例如：5 的相反数是－5，－3 的相反数是 3，0 的相反数是 0。

相反数的性质：1、互为相反数的两个数之和为 0。

2、正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。

五、绝对值数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值。

绝对值的性质：1、正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。

即：当 a＞0 时，｜a| ＝ a；当 a ＝ 0 时，｜a| ＝ 0；当 a＜0 时，｜a| ＝ a2、互为相反数的两个数的绝对值相等。

六、有理数的大小比较1、正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。

2、两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

例如：比较－5 和－3 的大小，因为｜－5| ＝ 5，｜－3| ＝ 3，5＞3，所以－3＞－5 。

七、有理数的加法1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

例如：3 ＋ 5 ＝ 8 ，－3 ＋（－5) ＝－82、异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

1、有理数的定义和概念
1.1 定义
有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。

1.2 概念
1）整数：包括正整数、负整数和0。

例如：1、-2、0等。

2）分数：由分子和分母组成，分子和分母都是整数，且分母不为0。

例如：1/2、-3/4等。

3）有理数可以表示为两个整数之比的形式。

4）有理数具有有限小数或无限循环小数的形式。

例如，0.25（有限小数）是有理数，0.333…（无限循环小数）也是有理数。

2、无理数的定义和概念
2.1 定义
无理数是无限不循环小数。

2.2 概念
1）不能表示为两个整数之比的形式。

2）常见的无理数有：
①圆周率π，约为3.1415926…，它是一个无限不循环小数。

②自然对数的底数e，约为2.71828…，也是无限不循环小数。

③开方开不尽的数，如√2、√3 等。

3）无理数的小数部分是无限不重复的，没有规律可循。

有理数的概念有理数是数学中的一种数，包含整数和分数两种形式。

在实际生活中，我们经常遇到各种有理数的应用。

本文将详细介绍有理数的概念、性质以及在实际生活中的应用案例。

一、有理数的概念有理数是可以表示为两个整数的比例形式，即分子和分母都是整数的数。

有理数可以用多种形式表示，包括整数、真分数和带分数。

例如，-3、1/2、2.5都是有理数。

有理数的特点在于可以进行四则运算，并且不会产生无限循环小数。

这是因为有理数可以经过化简处理，将分数形式转化为整数形式，避免了无限循环的发生。

二、有理数的性质有理数有许多重要的性质，包括封闭性、可比性以及相反数和倒数等。

1. 封闭性：有理数在加法、减法、乘法和除法运算下都是封闭的。

也就是说，对任意两个有理数进行四则运算后，所得结果仍然是有理数。

2. 可比性：对于任意两个不相等的有理数，它们之间可以进行大小的比较。

这可以通过将有理数转化为相同分母的分数形式，然后比较分子的大小来实现。

3. 相反数和倒数：每个有理数都有一个对应的相反数和倒数。

相反数是指与原数的和为零的数，倒数是指与原数的积为1的数。

例如，-3的相反数是3，2/5的倒数是5/2。

三、有理数的应用案例有理数在实际生活中有广泛的应用，涉及到数学、科学、经济等各个领域。

以下是几个有理数应用的案例。

1. 温度计算：温度的正负可以用有理数表示。

例如，0摄氏度可以表示为有理数0，而-10摄氏度可以表示为有理数-10。

通过有理数的加减运算，可以计算温度的变化和差值。

2. 资金管理：在个人理财和企业经济中，有理数被广泛用于计算和管理资金。

例如，银行账户的余额、收入和支出等都可以表示为有理数，通过有理数的运算可以进行资金的统计和预测。

3. 科学测量：物理学、化学等科学领域中，很多测量结果可以表示为有理数。

例如，质量、体积、密度等都可以用有理数进行表示和计算。

这有助于进行实验结果的分析和比较。

4. 时间管理：时间的计算和管理也可以用有理数进行表示。

有理数的概念知识点归纳及练习题YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】有理数的概念知识梳理有理数的概念一、目标认知学习目标：了解正数、负数、有理数的概念，会用正数和负数表示相反意义的量。

掌握一个数的相反数的求法和性质，学习使用数轴，借助数轴理解相反数的几何意义，会借助数轴比较有理数的大小。

掌握一个数的绝对值的求法和性质，进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义。

重点：有理数的概念及其分类，相反数的概念及求法，绝对值的概念及求法，数轴的概念及应用；有理数比较大小难点：绝对值的概念及求法，尤其是用字母表示的时候的意义。

运用数轴理解绝对值的几何意义。

有理数比较大小的方法的掌握。

二、知识要点梳理知识点一：负数的引入要点诠释：正数和负数是根据实际需要而产生的，随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，比如一些有相反意义的量：收入200元和支出100元、零上6℃和零下6℃等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎样表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的的量规定为负的，这样就产生了正数和负数。

用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。

知识点二：正数和负数的概念要点诠释：（1）像3、1.5、、584等大于0的数，叫做正数，在小学学过的数，除0以外都是正数，正数比0大。

（2）像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”(读作负)号的数，叫做负数。

负数比0小。

（3）零既不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。

注意：（1）为了强调，正数前面有时也可以加上“＋”（读作正）号，例如：3、1.5、也可以写作＋3、＋1.5、＋。

（2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。

有理数的有关概念
有理数是指能够表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数。

以下是有关有理数的一些概念：
1. 分数：分数是有理数的一种形式，由分子和分母组成，分子表示其中的整数部分，分母表示其中的分割单位。

例如，1/2、3/4等都是分数。

2. 正有理数和负有理数：正有理数是大于0的有理数，负有理数是小于0的有理数。

例如，2和-2都是有理数，其中2是正有理数，-2是负有理数。

3. 带分数：带分数是由整数部分和真分数部分组成的数。

带分数可以转化为分数，例如1 1/2可以转化为3/2。

4. 小数：小数是表示非整数的有理数的一种方式。

有理数的小数形式可以是有限小数或无限循环小数。

例如，1/4可以表示为0.25，其中0.25是有限小数；而1/3可以表示为0.3333...，其中0.3333...是无限循环小数。

5. 相反数：对于任意有理数a，其相反数为-b，满足a + (-b) = 0。

例如，对于有理数2，其相反数为-2。

6. 绝对值：绝对值是数的大小与其符号无关的非负值。

对于有理数a，其绝对值表示为a ，满足如果a ≥0，则a = a；如果a < 0，则a = -a。

例如，
2 = 2，-2 = 2。

7. 有理数的比较：有理数可以通过大小进行比较。

对于两个有理数a和b，如果a < b，则a比b小；如果a > b，则a比b大；如果a = b，则a和b相等。

这些概念是有关有理数的基本概念，有助于理解和运用有理数的性质和相关运算。

有理数概念整理一、 有理数的意义 1、 正数和负数知识点1正数和负数的概念（1） 在正数前面加“－”的数，叫做负数。

负数比0小。

（2） 零即不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。

（2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。

例如：－a 一定是负数吗？答案是不一定。

知识点2 有理数的有关概念 有理数：整数和分数统称为有理数。

知识点3 有理数的分类（1） 按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数有理数正分数分数负分数 ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数0负整数负有理数负分数 注 通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。

2、 数轴知识点1 数轴的概:规定了原点、正方向和单位长度的直线 数轴有三要素——原点、正方向、单位长度 知识点2数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点表示。

正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。

知识点3 利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。

3、相反数知识点1 相反数的概念：只有符号不同的两个数，0的相反数是0。

知识点2 相反数的关系若a 、b 互为相反数则a+b=04、绝对值知识点1 绝对值的概念：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作“a ”绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

即, 0)00, (0) 0-(0)a a a a a a a a a a a >⎧≥⎧⎪===⎨⎨≤⎩⎪<⎩（， （）或－。

（）。

绝对值的非负性a ≥0知识点2 两个负数大小的比较：一、先分别求出这两个负数的绝对值；二、比较这两个绝对值的大小；三、根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。

概念有理数的概念理数是数的一种，指能用分数表示的有限小数和无限循环小数的总称。

理数包括整数、有理数和无理数三种。

而其中，有理数指能用两个整数的比表示的数，包括正整数、负整数、零、正分数和负分数。

首先，有理数的定义是基于整数的概念的。

整数是自然数，负自然数和零的总称。

自然数是数学中最基本的概念之一，表示从1开始的无穷序列。

负自然数表示小于零的整数，如-1，-2等。

而零则表示不是正数也不是负数的特殊数。

进一步说，有理数可以分为整数和分数。

整数是不带小数部分的有理数，可以正和负。

例如，1、2、3等正整数和-1、-2、-3等负整数都属于整数。

分数是整数与整数相除得到的数，即两个整数的比。

例如，1/2、1/3、2/3等都是分数。

分数有正分数和负分数之分，正分数指分子大于零的分数，而负分数指分子小于零的分数。

对于有理数的表示方法，可以通过有限小数和无限循环小数来表示。

有限小数指小数部分有限位数的小数，例如0.5、0.75等。

无限循环小数指小数部分有限位数后开始循环的小数，例如1/3=0.3333...，其中“3”是无限循环的。

另外，有理数之间的关系可以通过比较大小来表示。

两个有理数的大小关系可以分为三种情况，即小于、等于和大于。

例如，1小于2，-2小于-1，1/2小于3/4等。

当两个有理数相等时，它们的分数表示必须为最简形式。

而当两个有理数不相等时，可以通过比较分数的差值来确定大小关系。

有理数的四则运算是数学中最基本的运算之一。

四则运算包括加法、减法、乘法和除法。

两个有理数相加、相减、相乘和相除的结果仍然是有理数。

例如，1/2+1/3=5/6，2-1/2=3/2，1/2×3/4=3/8等。

最后，有理数的应用非常广泛。

在实际生活中，有理数可以用来表示各种度量和比率，如时间、长度、速度、温度等。

在数学中，有理数是许多其他数的基础，如无理数和复数。

此外，有理数还可以用来解决各种实际问题，如分配问题、购物问题等。

绵阳中学英才学校四初一期末复习之有理数有理数概念整理班级：姓名：（一）有理数：（1）整数与分数统称_________________________按定义分类：________按符号分类：有理数_____有理数零___________________________注：①正数和零统称为；②负数和零统称为；③正整数和零统称为；④负整数和零统称为.注意：都大于零，都小于零 . “ 0”即不是，也不是.（3）用正数、负数表示相反意义的量：如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其意义的量，如果负数表示某种意义的量，则正数表示其意义的量 . 如：若 -5 米表示向东走 5 米，则 +3米表示向走 3 米；若+6 米表示上升 6 米，则 -2米表示；+7 C表示零上 7 C，- 7 C则表示.（4）有理数“ 0”的作用：作用举例表示数的性质0 是自然数、是有理数、是整数表示没有 3 个苹果用 +3 表示，没有苹果用0 表示表示某种状态00C 表示冰点表示正数与负数的界点0 非正非负，是一个中性数（二）数轴（ 1）概念：规定了、和的直线注：①、、称为数轴的三要素，三者缺一不可.（2）数轴的画法及常见错误分析①画一条水平的；②在这条直线上适当位置取一实心点作为：③确定向右的方向为，用表示；⑤数轴画法的常见错误（3）有理数与数轴的关系一切有理数都可以用数轴上的表示出来 . 在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数，正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数 .注意：数轴上的点不都是有理数，如.（三）相反数（1）相反数：只有的两个数互称为相反数．特别地，0 的相反数是；若 a与b互为相反数，则a b _ _ _ ，反之亦然 .（2）相反数的性质：①代数意义：只有的两个数叫做互为相反数，特别地，O的相反数是 0．相反数必须出现，不能单独存在．例如+5 和互为相反数，或者说 +5 是的相反数，－5 是的相反数，而单独的一个数不能说是．另外，定义中的“只有”指除以外，两个数，注意应与“只要符号不同”区分开．例如+3 与－3 互为相反数，而+3与－2虽然不同，但它们不是相反数．②几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于两侧，并且到原点的相等．这两点是关于对称的．③求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．一般地，数a的相反数是；这里以 a 表示任意一个数，可以为、、负数，也可以是任意一个代数式．注意－ a 不一定是．注意：当 a＞0 时，－ a0(正数的相反数是数 ) ；当 a=0 时，－ a O(0的相反数是)；当 a＜ 0 时， a O (负数的相反数是)．④互为相反数的两个数的和为，即若 a 与 b 互为，则 a+b=0，反之，若 a+b=O，则 a 与 b 互为．⑤多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋”号，都可以全部；一个正数前面有个“－” 号，也可以把“－”号全部去掉；一个正数前面有个“－”号，则化简后只保留一个“－”号，即“负正”（其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数的，“负正”是指化简的最后结果的.（四）绝对值（1）绝对值的代数意义及几何意义① 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的； 0的绝对值是.② 绝对值的几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的与的距离 . 数 a 的绝对值记作.注意：①取绝对值也是一种，这个符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质绝对值符号 .②绝对值具有性，取绝对值的结果总是.③任何一个有理数都是由部分组成：和它的，如：－ 5，符号是，绝对值是.（2）字母 a 的绝对值的分类_ _ _,( a o)_ _ _,( a0)_ _ _ ,( a0)a_ _ _,( a 0) 或a_ _ _,( a 或 a0)_ _ _,( a0)0)_ _ _,( a （3）利用绝对值比较两个负有理数的大小规则：两个负数，绝对值大的反而.步骤：①计算两个负数的.②比较这两个的大小 .③写出正确的判断结果 .④如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为.例如：若a b c 0,则 a____,b____,c______知识点二：有理数运算（一）有理数比较大小两数同号同正：大的数大同负：大的反而小1、比较大小两数异号（一正一负）：大于_______正数与0：大于0其中有时0负数与0：小于02、数形结合利用数轴比较有理数大小。

有理数的概念、数轴、相反数、绝对值一、知识分类知识点1．有理数的分类知识点2．数轴知识点3. 相反数知识点4. 绝对值2、重难点1、能分清哪些是有理数，哪些不是有理数，并对有理数再进行细分2、会画数轴，会利用数轴来比较数的大小3、掌握相反数的性质4、理解绝对值的含义，会熟练的去绝对值符号三、知识体系（一）、有理数的概念★整数和分数统称为有理数。

有理数（二）、什么是数轴呢？★数轴三要素：原点，正方向、单位长度任何一个有理数都能够在数轴上表示。

（三）、什么是相反数？★数字相同、符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，零的相反数为零。

互为相反数的两个数之和为零。

（四）、什么是绝对值？★一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。

用符号“”表示，例如：，，。

一个正数的绝对值就是它本身；一个负数的绝对值就是它的相反数；零的绝对值就是零。

两个负数，绝对值大的那个数反而小。

实战演习：一、有理数的概念1.把下列各数分类：1，，8.2，-7，，0，-3.5，1008，-0.5，-10正数：负数：整数：分数：有理数：2、再来一题吧~~~12，-3，-，+0.01，+56,0，+，正数：负数：整数：分数：有理数：3、最小的正整数是_________,最大的负整数是________.4、零不是（）A. 正数B. 整数C. 非负数D. 偶数5、-100不是（）A．有理数 B．自然数 C．整数 D．负有理数6、下列四个判断中，错误的是（）A. 存在着最小的自然数B.存在着最小的正有理数C.不存在最大的正有理数D.不存在最大的负有理数7、在以下说法中，正确的是[ ]A．非负有理数就是正有理数 B．零表示没有，不是有理数C．正整数和负整数统称为整数 D．整数和分数统称为有理数小儿科？？？那再试试这个……2、数轴1、下列各图中，符合数轴定义的是(A. B.-1 0 1 1C. D.-1 0 1 -1 0 12、在数轴上，分别标出-2，3，-4，0，1各数的点3、画一个数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：2，-3.5 ，5，-0.5,-7，+44、指出数轴上A，B，C，D，E各点分别表示什么数．5、说出下面数轴上A，B，C，D，O，M各点表示什么数？6、数轴上点M表示2，点N表示-3.5,点A表示-1，在点M和点N中，距离A点较远的点是点_________.7、在数轴上点A表示7，点B、C表示的数互为相反数，且C与A间的距离为2，则点B、C对应的数分别是________.8、若数轴上的点A和点B表示两个互为相反数的数，并且这两个数间的距离为8，求A点和B点表示的数是什么．(A>B9、实数a在数轴上对应的点如图1-2-1所示，则a,-a,1的大小关系正确的是（）A.-a 1 C .1<-a10、判断的大小不过瘾？？？还有更刺激的，吼吼……3、相反数1、如果收入20元记作+20元，那么-75元表示。

有理数的相关概念有理数的相关概念有理数是数学中的一个重要概念，它包括整数和分数这两种基本数的集合。

有理数具有一些特点和性质，下面将简要介绍有理数的相关概念及其特点。

有理数的定义•有理数是可以表示为两个整数之比的数，形式为p/q，其中p、q 为整数，且q≠0。

•有理数的分子和分母都有正负之分。

有理数的分类•正有理数：分子和分母均为正数的有理数，如1/2、3/4等。

•负有理数：分子和分母均为负数的有理数，如-3/5、-2/7等。

•0：分子为0，分母不为0的有理数，如0/3、0/7等。

有理数的特点有限小数和无限循环小数•有些有理数的分数形式可以化简为有限小数，如1/4可以化为。

•有些有理数的分数形式无法化简为有限小数，而是无限循环小数，如1/3可以表示为..，其中3会一直循环重复。

有理数的加法和减法•有理数的加减法可以通过通分、相加（减）来进行，结果仍为有理数。

•两个有理数相加（减）时，同号求和（差）的结果为同号有理数，异号求和（差）的结果为异号有理数。

有理数的乘法和除法•有理数的乘法可以通过分子相乘，分母相乘得出结果，结果仍为有理数。

•两个有理数相乘时，同号得正，异号得负。

•有理数的除法可以通过倒数的方式进行，结果仍为有理数。

•有理数相除时，除数不为0，除以0是没有意义的。

有理数的大小比较•两个有理数大小的比较可以转化为整数的大小比较。

•正数大于负数，正整数之间的大小关系根据绝对值的大小来决定。

总结有理数作为整数和分数的集合，具有一些特点和性质，包括有限小数和无限循环小数的表示、加减乘除的运算规则以及大小比较的方法。

了解和掌握有理数相关概念，对于数学的学习和问题解决都具有重要意义。

有理数的运算性质加法的运算性质•有理数的加法具有交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

•有理数的加法具有零元素，即对任意有理数a，都有a + 0 = 0 + a = a。

有理数知识汇总有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，在数学中，有理数包括整数、分数和循环小数等形式。

下面我将对有理数的基本概念、性质以及运算法则进行汇总。

一、有理数的基本概念：1.整数：正整数、负整数和零的集合。

用Z表示。

2.分数：由整数表示的两个数的比值。

分数的形式为a/b，其中a为分子，b为分母，且分子和分母是整数，分母不为0。

3.有理数：整数和分数的统称，用Q表示。

每个有理数都可以表示为一个真分数、带分数或整数。

二、有理数的性质：1.有理数可以用数轴表示，并且可以在数轴上进行比较大小。

2.有理数可以相加、相减、相乘和相除。

其运算结果仍然是有理数。

3.有理数具有封闭性，即任意两个有理数之间的和、差、积和商仍然是有理数。

4.有理数的乘法满足交换律、结合律和分配律。

5.有理数的加法满足交换律、结合律和消去律。

三、有理数的运算法则：1.加法：a.相同符号的有理数相加，保留符号并将绝对值相加。

b.不同符号的有理数相加，绝对值大的减去绝对值小的，保留绝对值大的符号。

2.减法：a.减去一个有理数，等于加上其相反数。

b.加上一个有理数，等于减去其相反数。

3.乘法：a.有理数相乘，符号相同则结果为正，符号不同则结果为负。

b.相同符号的有理数相乘，绝对值相乘。

c.不同符号的有理数相乘，绝对值相乘取负。

4.除法：a.有理数相除，除以一个非零有理数等于乘以其倒数。

b.除以零没有意义。

四、有理数的常见应用：1.数据分析和比较：有理数可以用于统计学、经济学等领域中的数据分析和比较，如平均数、比率和百分比等。

2.几何学：有理数可以用于解决几何学中的问题，如长度、面积和体积的计算。

3.物理学：有理数可以用于解决物理学中的测量和计算问题，如速度、加速度和能量的计算。

4.金融学：有理数可以用于解决金融学中的利率、折现和投资等问题。

总结：有理数是数学中一类重要的数，包括整数、分数和循环小数等形式。

有理数具有各种运算法则，并且可以应用于各个领域中。

绵阳中教英才书籍院四月朔期终复习之有理数之阳早格格创做有理数观念整治班级：姓名：（一）有理数：（1按标记分类：整统称为；④背整数战整统称为.注意：皆大于整，皆小于整.“0”即不是，也不是.（3）用正数、背数表示差同意思的量：如果用正数表示某种意思的量，那么背数表示其意思的量，如果背数表示某种意思的量，则正数表示其意思的量.如：若-5米表示背东走5米，则+3米表示背走3米； 若+6米表示降下6米，则-2米表示；示.（4）有理数“0”的效率：（二）数轴（1）观念：确定了、战的曲线注：①、、称为数轴的三果素，三者缺一不可.（2）数轴的绘法及罕睹过失分解①绘一条火仄的；②正在那条曲线上适合位子与一真心面动做：③决定背左的目标为，用表示；⑤数轴绘法的罕睹过失（3）有理数与数轴的闭系十足有理数皆不妨用数轴上的表示出去.正在数轴上，左边的面所对于应的数总比左边的面所对于应的数，正数皆大于，背数皆小于，正数大于十足背数.注意（三）差同数（1）差同数：惟有的二个数互称为差同数．特天天，0的差同数是.（2）差同数的本量：①代数意思：惟有的二个数喊搞互为差同数，特天天，O的差同数是0．差同数必须出现，不克不迭单独存留．比圆+5战互为差同数，大概者道+5是的差同数，－5是的差同数，而单独的一个数不克不迭道是．其余，定义中的“惟有”指除以中，二个数，注意应与“只消标记分歧”区别启．比圆+3与－3互为差同数，而+3与－2虽然分歧，但是它们不是差同数．②几许意思：一对于差同数正在数轴上应分别位于二侧，而且到本面的相等．那二面是闭于对于称的．③供任性一个数的差同数，只消正在那个数的前里加上“”号即可．普遍天，数a的差同数是；那里以a表示任性一个数，不妨为、、背数，也不妨是任性一个代数式．注意－a纷歧定是．注意：当a＞0时，－a0(正数的差同数是数)；当a=0时，－aO(0的差同数是)；当a＜0背数的差同数是)．④互为差同数的二个数的战为，即若a与b互为，则a+b=0，反之，若a+b=O，则a与b互为．⑤多沉标记的化简：一个正数前里不管有几个“＋”号，皆不妨局部；一个正数前里有个“－”号，也不妨把“－”号局部去掉；一个正数前里有个“－”号，则化简后只生存一个“－”号，即“背正”（其中“奇奇”是指正数前里的“”号的个数的，“背正”是指化简的终尾截止的.（四）千万于值（1）千万于值的代数意思及几许意思①千万于值的代数意思：一个正数的千万于值是；一个背数的千万于值是它的；0的千万于值是.②千万于值的几许意思：一个数a的千万于值便是数轴上表示数a的与的距离.数a的千万于值记做.注意：①与千万于值也是一种，那个标记是“”，供一个数的千万于值，便是根据本量千万于值标记.②千万于值具备性，与千万于值的截止经常.③所有一个有理数皆是由部分组成：战它的，如：－5，标记是，千万于值是.（3）利用千万于值比较二个背有理数的大小准则：二个背数，千万于值大的反而.步调：①估计二个背数的.②比较那二个的大小.③写出精确的推断截止.④如果若搞个非背数的战为0，那么那若搞个非背数皆必为.比圆：若0,____,____,______a b c a b c++====则知识面二：有理数运算（一）有理数比较大小1、⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩同正：__________大的数大两数同号同负：__________大的反而小比较大小两数异号（一正一负）：______大于_______正数与0：_______大于0其中有时负数与0：_______小于02、数形分离利用数轴比较有理数大小.（二）有理数的加减法（1）有理数加法规则①共号二数相加，与相共的，并把千万于值 .②千万于值不相等的同号二数相加，与的加数的标记，并用较大的减去较小的.③一个数共0相加，仍得.（2）有理数加法的运算步调规则是运算的依据，根据有理数加法的运算规则，不妨得到加法的运算步调：①决定战的；②供战的千万于值，即决定是二个加数的千万于值的.（3）有理数加法的运算律①二个加数相加，接换加数的位子，稳定.即a+b=b+a(加执法)②三个数相加，先把前二个数相加，大概者先把后二个数相加，稳定.即 (a+b)+c=a+(b+c)（加执法）（4）有理数加法的运算本领①分数与小数均奇尔，应先化为形式.②戴分数可分为与二部分介进运算.③多个加数相加时，若有互为差同数的二个数，可先分离得④若有不妨凑整的数，即相加得整数时，可先分离.⑤若有共分母的分数大概易通分的分数，应先分离正在所有.⑥相共的数不妨先分离正在所有.（5）有理数减法规则减去一个数，等于，即a-b=a+()（6）有理数减法的运算步调①把减号形成加号（改变运算标记）②把减数形成它的差同数（改变本量标记）③把减法转移为加法，依照加法运算的步调举止运算.（7）有理数加减混同运算的步调①把算式中的减法转移为加法；②简略加号与括号；③利用运算律及本领烦琐估计，供出截止.注意：根据有理数减法规则，减去一个数等于加上，果此加减混同运算不妨依据上述规则转移成惟有的运算，即形成供几个正数，背数战0的战，那个战称为代数战.为了书籍写烦琐，不妨把加号与每个加数中的括号均简略，写成简略加号战的形式，（三）有理数的乘除法（1）有理数乘法规则二数相乘，共号得，同号得，并把相乘.所有数共相乘，皆得0.（2）有理数乘法的运算律①二个数相乘，接换果数的位子，积相等.即ab=（乘法分离律）②三个数相乘，先把前二个数相乘，大概者先把后二个数相乘，积相等.即 abc=（乘法分离律）③一个数共二个数的战相乘，等于把那个数分别共那二个数相乘，再把积相加. 即 a(b+c)=（乘法调配律）（3）有理数乘法规则的推广①几个不等于0的数相乘，积的标记由的个数决断，当的个数是奇数时，积为；的个数是奇数时，积为.②几个数相乘，如果有一个果数为0，则积为.正在举止乘法运算时，若有戴分数，应先化为，便于约分；若有小数及分数，普遍先将小数化为，大概凑整估计；利用乘法调配律及其顺用，也可简化估计.（4）有理数除法规则：除以一个不等于0的数，等于乘那个数的.即a÷b=a· (b≠0)二数相除，共号得，同号得，并把千万于值，除以所有一个不等于0的数，皆得0.（5）倒数及有理数除法①乘积为的二个数互为倒数.倒数是出现的，单独一个数不克不迭称为倒数；互为倒数的二个数的乘积一定；不倒数；供一个非整有理数的倒数，只消把它的分子战分母即可（正整数不妨瞅做分母为1的分数）.注意：反之亦然.②有理数除法的运算步调：最先决定商的，而后再供出商的千万于值.（四）有理数的乘圆（1.（2）含意：.3×3×3×3×3，-3）×（-3）×（-3）×（-3）×（-3），特天注意背数及分数的乘圆，应把底数加上括号. 如7个2相乘的积的.当n为奇数时，；而当n为奇数时，注意：背数的奇次幂是，背数的幂是正数.正数的所有次幂皆是，0的所有次幂皆是，所有不为0的数的0次幂皆是.（3）“奇背奇正”心诀的应用心诀“奇背奇正”正在多处知识面中均提到过，它简曲的应用犹如下几面：①多沉背号的化简，那里奇奇指的是“－”号的个数，比圆：－[－（－3）]=，－[+（－3）]=.②有理数乘法，当多个非整果数相乘时，那里奇奇指的是背果数的个数，正背指截止中积的标记，比圆：（－3）×（－2）×（－6）=，而（－3）×（－2）×6=.③有理数乘圆，那里奇奇指的是指数，当底数为背数时，指数为奇数，则幂为；指数为奇数，则幂为，比圆：（－3，（－3（4）有理数混同运算的运算程序：①先乘圆，再乘除，终尾加减；②共级运算，从左到左举止；③如有括号，先搞括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次举止.加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘圆及启圆（以去教）称为三级运算.共级运算，按从左到左的程序举止；分歧级运算，应先算级运算，而后级，终尾级；如果有括号，先算括号里的，有多沉括号时，应先算___括号里的，再算括号里的，终尾算括号里的. 以上运算程序不妨简记为：“从左到左，从下（级）到矮（级），从小（括号）到大（括号）”.（五）近似数、战科教记数法（1）科教记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中.比圆：. 又如：10200000=也是.（2）科教计数法a战n的决定：a便是把本数的小数面移动过到左边第1个不是0的数字后里所到的数；n的值比本数的整数位少1.。

有理数知识点总结有理数是数学中的一个重要概念，它包括整数和分数。

有理数的运算规则和性质是数学学习的基础，下面将从有理数的定义、四则运算、有理数的比较和绝对值等方面进行总结。

一、有理数的定义有理数是可以表示为两个整数之比的数，其中分母不为零。

有理数的特点是可以用分数形式来表示，且分数的分子和分母都是整数。

例如，1/2、-3/4、5、-7等都是有理数。

二、有理数的四则运算1. 加法：有理数的加法满足交换律和结合律。

当两个有理数的符号相同时，将其绝对值相加，并保持符号不变；当两个有理数的符号不同时，将其绝对值相减，并取绝对值较大的符号作为结果的符号。

2. 减法：有理数的减法可以转化为加法，即将减数取相反数，然后进行加法运算。

3. 乘法：有理数的乘法满足交换律和结合律。

当两个有理数的符号相同时，将其绝对值相乘，并保持符号不变；当两个有理数的符号不同时，将其绝对值相乘，并取负号作为结果的符号。

4. 除法：有理数的除法可以转化为乘法，即将被除数乘以除数的倒数，然后进行乘法运算。

三、有理数的比较1. 相等性：两个有理数相等，当且仅当其分数表示形式相同。

2. 大小关系：有理数的大小关系可以通过比较其分数表示的分子和分母来确定。

若两个有理数的分子相同，则分母越小的数越大；若两个有理数的分母相同，则分子越大的数越大；若两个有理数的分子和分母都不相同，则可以通过交叉相乘法比较大小。

四、有理数的绝对值有理数的绝对值是该数到零的距离，即不考虑其正负。

对于正数，其绝对值等于其本身；对于负数，其绝对值等于其相反数；对于零，其绝对值仍然是零。

五、有理数的应用有理数在数学和实际生活中有广泛的应用。

在数学中，有理数是实数的一个重要组成部分，它们在代数运算中起着重要的作用。

在实际生活中，有理数可以用来表示温度、长度、质量、时间等物理量，以及货币、股票等经济数据。

六、总结有理数是数学中重要的数集，包括整数和分数。

有理数的四则运算规则和性质是数学学习的基础，通过对有理数的运算和比较，可以解决实际问题。