有理数基本概念

有理数的知识点总结一、有理数的定义及基本性质：有理数是指所有可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和零。

有理数可以用一组整数的比值表示成两种形式：分数形式（也称作比例效应）和小数形式（也称作数列形式）。

有理数的集合通常记作Q。

有理数具有以下基本性质：1. 有理数的加法、减法、乘法和除法仍然是有理数，也就是说，有理数集合对于这四种运算是封闭的。

2. 有理数满足交换律和结合律，在加法和乘法运算中，a+b =b+a，(a+b)+c = a+(b+c)；在乘法运算中，a×b = b×a，(a×b)×c= a×(b×c)。

3. 有理数乘法和除法具有倒数性质，即对于任意非零有理数a，存在一个有理数b使得a×b = 1。

4. 有理数乘法符合分配律，即对于任意有理数a、b和 c，a×(b+c) = a×b + a×c。

5. 有理数具有唯一分解性质，即任何一个非零有理数都可以唯一表示为两个整数的比值，而且这个比值对于最简分数形式是唯一的。

二、有理数的四则运算：1. 有理数的加法和减法：对于两个有理数a/b和 c/d，它们的加法定义为(a/b) + (c/d) = (ad+bc)/bd，减法定义为(a/b) - (c/d) = (ad-bc)/bd。

在进行加法和减法运算时，通常需要化简结果为最简分数形式。

2. 有理数的乘法和除法：对于两个有理数 a/b和 c/d，它们的乘法定义为(a/b) × (c/d) =ac/bd，除法定义为(a/b) ÷ (c/d) = ad/bc（其中c/d≠0）。

在进行乘法和除法运算时，同样需要化简结果为最简分数形式。

三、有理数的大小比较：在有理数集合中，任何两个有理数都可以通过大小比较运算来确定它们的相对大小。

有理数的大小比较有以下几个基本原则：1. 相同符号的有理数比较大小，绝对值越大的数为更大的数；2. 不同符号的有理数比较大小，正数大于零，零大于负数；3. 相同符号的两个有理数的绝对值比较，绝对值较小的数较小。

有理数基本概念及加减运算
有理数是数学中的一种基本数，包括整数和分数。

我们可以用有理数来描述现实生活中的许多情况，比如温度、长度和时间等。

有理数的基本概念
有理数可以用分数的形式表示，其中分子和分母都是整数。

有理数可以是正数、负数或零。

例如，下面是一些有理数的例子：
- 1
- -3
- 2/3
- -5/4
- 0
有理数可以用数轴来表示，数轴上的正方向表示正数，负方向表示负数，而中点上的零表示零。

有理数的加减运算
有理数可以进行加减运算，下面是加法和减法的基本规则：
加法规则
- 正数加正数：将两个正数的绝对值相加，并保持符号为正。

- 负数加负数：将两个负数的绝对值相加，并保持符号为负。

- 正数加负数：将两个数的绝对值相减，取绝对值较大的数的符号。

例如，计算下面的加法：
- 2 + 3 = 5
- -4 + (-6) = -10
- 5 + (-2) = 3
减法规则
减法可以看作是加法的逆运算，减去一个数等于加上它的相反数。

例如，减法可以通过加上相反数来实现。

例如，计算下面的减法：
- 6 - 3 = 6 + (-3) = 3
- -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
- 4 - (-5) = 4 + 5 = 9
以上是有理数基本概念及加减运算的简要介绍。

有理数的运算规则和性质还有很多，可以继续深入学习和研究。

有理数的学习方法详细解读学习有理数是学习数学的基础，它是指可以表示为两个整数的比例的数。

有理数可以写成分数的形式，包括整数、正数、负数和0。

学习有理数的理解很重要，因为它们在日常生活和数学中都有广泛的应用。

下面是有理数的学习方法的详细解读。

1.理解有理数的概念有理数是可以用两个整数的比表示的数，可以是正数、负数或0。

这意味着有理数是有限或无限循环小数。

有理数与整数和分数的关系密切，因此在学习有理数之前，需要对整数和分数的概念进行详细的了解。

2.掌握有理数的表示方法有理数可以用分数的形式表示，其中分子是整数，分母是非零整数。

这种表示方法非常灵活，可以表示各种大小的数。

此外，有理数也可以用十进制表示方法，可以是有限小数、无限不循环小数或无限循环小数。

学习有理数时，需要掌握两种表示方法，并能够相互转换。

3.了解有理数的基本性质学习有理数的基本性质对于进行计算和解决问题非常重要。

有理数满足加法、减法、乘法和除法的封闭性。

也就是说，两个有理数的和、差、积和商仍然是有理数。

此外，有理数满足交换律、结合律和分配律等运算性质。

掌握这些基本性质可以帮助学生更好地理解和运用有理数。

4.运用有理数解决实际问题学习有理数不仅仅是为了做数学题而存在的，还可以运用到实际生活中的问题求解中。

实际生活中的许多情况都可以用有理数来表示，比如温度的变化、货币的兑换、时间的计算等等。

通过将实际问题转化为数学问题，并运用有理数的概念和性质进行求解，可以提高数学思维能力和解决实际问题的能力。

5.做大量的练习题对于学习有理数来说，做大量的练习题是非常重要的。

通过大量练习，可以熟悉有理数的概念、表示方法和运算性质，提高计算速度和准确性。

练习题的难度可以逐渐增加，包括基础计算、应用题和解决实际问题等。

此外，还可以通过做一些拓展题或挑战题来提高思维能力和解决问题的能力。

6.查漏补缺，及时复习在学习过程中，可能会遇到一些难题或者理解上的困难。

遇到这种情况时，要及时向老师、同学或家长请教，弄清楚困惑的地方。

（一）有理数的基本概念1、正数和负数（1）、大于0的数叫做正数。

（2）、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。

（3）、数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界。

（4）、在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。

2、有理数(1)凡能写成分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，如：-（-2）=4，这个时候的a=-2。

π不是有理数；(2)有理数的分类:①⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)自然数＜====＞0和正整数；a ＞0 ＜====＞a 是正数； a ＜0 ＜====＞a 是负数； a ≥0＜====＞a 是正数或0＜====＞a 是非负数； a ≤0＜====＞a 是负数或0＜====＞a 是非正数.3、数轴【重点】（1）、用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

它满足以下要求：① 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；② 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； ③ 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1,2,3…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2，-3…（2）、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。

（3）、画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。

数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。

注意：所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。

（4）、一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数-a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度。

4、相反数（1）、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

有理数的基本概念知识点睛1. 用正、负数表示相反意义的量：“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量. 2. 有理数:按定义整数与分数统称有理数.()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数 ()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数 ✧ ⑴正数和零统称为非负数； ⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数； ⑷负整数和零统称为非正整数. 3. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.有理数与数轴的关系：错例原因无原点没有正方向单位长度不统一没有单位长度4. 相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是0. (1)代数意义：只有符号不同的两个数．相反数必须成对出现，不能单独存在⑵几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．两点是关于原点对称的 ⑶求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“—”号即可．——奇负偶正⑷互为相反数的两个数的和为零，即若a 与b 互为相反数，则0a b +=，若0a b +=则a 与b 互为相反数． 5. 绝对值：几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a .✧ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ✧ 比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.2312234✧ 一切有理数都可以用数轴上的点表示出来. ✧ 数轴上的点不都代表有理数，如π.利用数轴比较有理数的大小：✧ 数轴上右边的数总大于左边的数.✧ 正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数.例题精讲【例1】 ⑴ 如果收入2000元，可以记作2000+元，那么支出5000元，记为 .⑵ 高于海平面300米的高度记为海拔300+米，则海拔高度为600-米表示 . ⑶ 某地区5月平均温度为20C ︒，记录表上有5月份5天的记录分别为 2.7+，0，1.4+，3-，4.7-，那么这5项记录表示的实际温度分别是 . ⑷ 向南走200-米，表示 . 【解析】 ⑴5000-元；⑵低于海平面600米的高度；⑶22.7C ︒，20C ︒，21.4C ︒，17C ︒，15.3C ︒；⑷向北走200米.【例2】 珠穆朗玛峰海拔高度为8848米，吐鲁番盆地海拔高度为155-米，则海平面为 【解析】 0米【例3】 耐克饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030±(mL )”字样，请问“30mL ±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603mL ，611mL ，589mL ，573mL ， 627mL ，问抽查产品的容量是否合格？ 【解析】 “60030±(mL )”表示：若每瓶饮料容量记为a ，则570630a ≤≤.抽查的5瓶容均是合格的. 【例4】 下列数中，哪些属于负数？哪些属于非正数？属于正分数？哪些属于非负有理数？4.5-，6，0， 2.4，π，12-，0.313-，3.14，11-【解析】 属于负数的有： 4.5-，12-，0.313-，11-；属于非正数的有：0， 4.5-，12-，0.313-，11-；属于正分数的有： 2.4，3.14；属于非负有理数的有：6，0， 2.4，3.14【例5】 把下列各数分别填在题后相应的集合中：05207385378131422，，，，，，，，--+--.. 正数集合：（07353782.，，，……+） 负数集合：（----52813142，，，…….）整数集合：（085312，，，，……-+-）分数集合：（--52073783142，，，……..）正整数集合：（+532，……） 负整数集合：（--81，……） 正分数集合：（07378.，……） 负分数集合：（--523142，…….）【例6】 ⑴在数轴上表示下列各数，再按大小顺序用“＜”号连接起来. 4-，0， 4.5-，112-，2，3.5，1，122⑵(2006年乌鲁木齐中考题)如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_________.(1-，0，1，2.)【解析】 ⑴先画出数轴，在数轴上方标注所求数（如图下所示），根据数轴上的大小顺序，按从左到右依次用“＜”号连接起来.即:114.5410122 3.522-<-<-<<<<<-1.3 2.6-112-4.5102123.5【例7】 数轴上有一点到原点的距离是5.5，那么这个点表示的数是 _________. 【解析】 5.5±.【例8】 在数轴上，下面说法中不正确的是( )．D A ．两个正数，小的离原点B ．两个有理数，大数对应的点在右边C ．两个负数，较大的数对应的点离原点近D ．两个有理数，大的离原点较远【例9】 m -的相反数是 ，1m -+的相反数是 ，m n a b +-+的相反数是 . 【解析】 m ，1m -，m n a b --+-.【例10】 如果0a <，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数⑴()a -+；⑵()a --；⑶[]()a -+-；⑷[]()a ---；⑸(){}a -+--⎡⎤⎣⎦【解析】 ⑴()a a -+=-，是正数；⑵()a a --=，是负数；⑶[]()a a -+-=，是负数；（4）[]()a a ---=-，是正数；⑸(){}a a -+--=-⎡⎤⎣⎦，是正数.【例11】 下列说法错误的是( )A .(3)+-与(3)--互为相反数B .(3)+-与(3)++互为相反数C .(3)+-与(3)-+互为相反数D .3-与(3)--互为相反数 【解析】 选择C .【例12】 绝对值等于5的整数有 个，绝对值小于5的整数有 个 (2；9个) 【例13】 已知x y -++=320，求下列代数式的值。

有理数必考43个知识点一、有理数的基本概念。

1. 有理数的定义。

- 整数和分数统称为有理数。

整数包括正整数、0、负整数；分数包括有限小数和无限循环小数。

例如，3是正整数，属于有理数；0.5是有限小数，也是有理数； - 2是负整数，同样是有理数。

2. 有理数的分类。

- 按定义分类：有理数可分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。

- 按性质分类：有理数可分为正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。

3. 数轴。

- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

原点表示0，原点右边为正数，左边为负数。

例如，在数轴上表示 - 3，就是在原点左边距离原点3个单位长度的点。

- 数轴上的点与有理数的关系：每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的点不都表示有理数（还有无理数）。

4. 相反数。

- 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

例如，3和 - 3互为相反数，0的相反数是0。

- 互为相反数的两个数在数轴上的对应点关于原点对称。

- 若a与b互为相反数，则a + b=0。

5. 绝对值。

- 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作a。

例如，3 = 3，- 3 = 3。

- 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

即当a>0时，a = a；当a = 0时，a = 0；当a<0时，a=-a。

6. 倒数。

- 乘积为1的两个数互为倒数。

例如，2的倒数是1/2， - 3的倒数是 - 1/3，0没有倒数。

- 若a与b互为倒数，则ab = 1。

二、有理数的运算。

7. 有理数的加法法则。

- 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

例如，2+3 = 5，( - 2)+( - 3)= - 5。

- 异号两数相加，绝对值相等时和为0（互为相反数的两数相加得0）；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

例如，2+( - 3)= - 1，3+( - 2)=1。