2019届高考数学(文)二轮复习查漏补缺课时练习：(十一)第11讲函数与方程(含解析)

课时跟踪检测（十一） 函数与方程(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 12xB ．y ＝2x －1C ．y ＝x 2－12D ．y ＝－x 3解析：选B 函数y ＝log 12x 在定义域上单调递减，y ＝x 2－12在(－1,1)上不是单调函数，y ＝－x 3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y ＝2x －1，当x ＝0∈(－1,1)时，y ＝0且y ＝2x －1在R 上单调递增．故选B.2．已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数y A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个解析：选B 依题意，f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，根据零点存在性定理可知，f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个．3.(2018·四川双流中学必得分训练)函数f (x )＝2x ＋2x 的零点所处的区间是( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[1,2]解析：选B f (－2)＝2－2＋2×(－2)<0，f (－1)＝2－1＋2×(－1)<0，f (0)＝20＋0>0，由零点存在性定理知，函数f (x )的零点在区间[－1,0]上．故选B.4.(2018·甘肃天水一中月考)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪{1}解析：选C 由题意，显然x ＝1是函数f (x )的一个零点，取a ＝－1，则f (x )＝ln x ＋x 2－x ，f ′(x )＝2x 2－x ＋1x ＝2⎝⎛⎭⎫x －142＋78x>0恒成立．则f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除A 、D ；取a ＝1，则f (x )＝ln x －x 2＋x ，f ′(x )＝1－2x 2＋x x ＝(1＋2x )(1－x )x，令f ′(x )＝0，得x ＝1，则f (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，f (x )max ＝f (1)＝0，即f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除B ，故选C.5．(2018·云南第一次统一检测)已知a ，b ，c ，d 都是常数，a ＞b ，c ＞d .若f (x )＝2 018－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a ＞c ＞b ＞dB ．a ＞b ＞c ＞dC ．c ＞d ＞a ＞bD ．c ＞a ＞b ＞d解析：选D f (x )＝2 018－(x －a )·(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 018，又f (a )＝f (b )＝2 018，c ，d 为函数f (x )的零点，且a ＞b ，c ＞d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象如图所示，由图可知c ＞a ＞b ＞d ，故选D.6．函数f (x )＝e x ＋12x －2的零点有______个．解析：∵f (x )在R 上单调递增， 又f (0)＝1－2<0，f (1)＝e －32>0，∴函数f (x )有且只有一个零点． 答案：17．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x ，x ＞0，x 2－x －2，x ≤0，则其零点为________．解析：当x ＞0时，由f (x )＝0，即x ln x ＝0得ln x ＝0，解得x ＝1；当x ≤0时，由f (x )＝0，即x 2－x －2＝0，解得x ＝－1或x ＝2.因为x ≤0，所以x ＝－1.综上，函数的零点为1，－1. 答案：1，－18．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象如图所示．由于函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得0＜m ＜1，即m ∈(0,1)．答案：(0,1)9.已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.求证：存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使f (x 0)＝x 0. 证明：令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝⎛⎭⎫12<0.又∵函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，12上是连续不断的曲线， ∴存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0. 10．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x . (1)写出函数y ＝f (x )的解析式．(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围． 解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝x 2＋2x .又因为f (x )是奇函数， 所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.(2)方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，即y ＝f (x )与y ＝a 的图象有3个不同的交点．作出y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图所示，故若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，只需－1＜a ＜1，故a 的取值范围为(－1,1)． B 级——拔高题目稳做准做1.已知x 0是f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1x 的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则( ) A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0 C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0解析：选C 因为x 0是函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1x 的一个零点，所以f (x 0)＝0，因为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上是单调递减函数，且x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，所以f (x 1)＞f (x 0)＝0＞f (x 2)．2.设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( ) A ．g (a )<0<f (b ) B ．f (b )<0<g (a ) C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<0解析：选A 因为函数f (x )＝e x ＋x －2在R 上单调递增，且f (0)＝1－2<0，f (1)＝e －1>0，所以f (a )＝0时，a ∈(0,1)．又g (x )＝ln x ＋x 2－3在(0，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－2<0，所以g (a )<0.由g (2)＝ln 2＋1>0，所以g (b )＝0时，b ∈(1,2)， 又f (1)＝e －1>0，所以f (b )>0.综上可知，g (a )<0<f (b )．3.(2018·福建宁德一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋3，x ≥0，⎝⎛⎭⎫12x ，x ＜0，若方程f (f (x ))－2＝0恰有三个实数根，则实数k 的取值范围是________． 解析：∵f (f (x ))－2＝0，∴f (f (x ))＝2， ∴f (x )＝－1或f (x )＝－1k(k ≠0)．(1)当k ＝0时，作出函数f (x )的图象如图①所示， 由图象可知f (x )＝－1无解，∴k ＝0不符合题意； (2)当k ＞0时，作出函数f (x )的图象如图②所示， 由图象可知f (x )＝－1无解且f (x )＝－1k 无解， 即f (f (x ))－2＝0无解，不符合题意；(3)当k ＜0时，作出函数f (x )的图象如图③所示， 由图象可知f (x )＝－1有1个实根，∵f (f (x ))－2＝0有3个实根，∴f (x )＝－1k 有2个实根， ∴1＜－1k ≤3，解得－1＜k ≤－13.综上，k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，－13. 答案：⎝⎛⎦⎤－1，－13 4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．解析：函数y ＝|x |为偶函数，且左减右增．函数y ＝x 2－2mx ＋4m (x＞m )图象的对称轴为x ＝m ，且在对称轴右侧单调递增．故当x ≤m 时函数f (x )先减后增，当x ＞m 时函数f (x )单调递增，画出函数大致图象如图所示，要使f (x )＝b 有三个不同的根，则必须满足m ＞m 2－2m 2＋4m ，解得m ＞3.答案：(3，＋∞)5．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝⎛⎭⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题．依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝⎛⎭⎫0，12内各有一个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＞0，f (0)＜0，f ⎝⎛⎭⎫12＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a ＞0，1－2a ＜0，34－a ＞0，解得12＜a ＜34.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，34.6.已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}．(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数g (x )＝f (x )x－4ln x 的零点个数． 解：(1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}， ∴设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. ∵f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，∴a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x >0)， ∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝(x －1)(x －3)x 2.令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，因而g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点． 故g (x )在(0，＋∞)上仅有1个零点．。

课时作业(十一)第11讲函数与方程时间/ 30分钟分值/ 80分基础热身1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续的,则下列说法正确的是()A. 若f(a)f(b)>0,则不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0B. 若f(a)f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0C. 若f(a)f(b)<0,则有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0D. 若f(a)f(b)<0,则有且只有一个实数c∈(a,b)使得f(c)=02.[2017·揭阳一模]曲线y=与y=的交点横坐标所在区间为()A. B.C. D.3.已知函数f(x)=-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,4)D. (4,+∞)4.已知关于x的方程x2+mx-6=0的一个根比2大,另一个根比2小,则实数m的取值范围是.5.设函数f(x)=logπx,g(x)=sin 2x,则f(x)与g(x)的图像的交点个数为.能力提升6.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是()A. B.C. (1,2)D. (2,+∞)7.若f(x)是奇函数,且x0是y=f(x)+e x的一个零点,则-x0一定是下列哪个函数的零点()A. y=f(-x)e x-1B. y=f(x)e-x+1C. y=e x f(x)-1D. y=e x f(x)+18.函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A. (1,3)B. (1,2)C. (0,3)D. (0,2)9.定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2019x+log2019x,则方程f(x)=0的实根的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 510.[2017·凉山州二诊]已知函数f(x)=g(x)=x2-2x,则函数f[g(x)]的所有零点之和是()A. 2B. 2C. 1+D. 011.[2017·江西九校联考]已知函数f(x)=则“函数f(x)有两个零点”成立的充分不必要条件是a∈()A. (0,2]B. [0,2]C. (1,2)D. [0,1]12.函数f(x)=的零点个数为.13.若方程2x+3x=k的解在[1,2)内,则k的取值范围为.14.若函数f(x)=log3-a在区间(1,2)内有零点,则实数a的取值范围为.难点突破15.(5分)[2017·深圳二模]若对任意实数a,函数f(x)=(x-1)ln x-ax+a+b有两个不同的零点,则实数b的取值范围是 ()A. (-∞,-1]B. (-∞,0)C. (0,1)D. (0,+∞)16.(5分)[2017·盐城二模]若函数f(x)=x2-m cos x+m2+3m-8有唯一零点,则满足条件的实数m组成的集合为.课时作业(十一)1. B[解析] 易知选项B正确.2. B[解析] 令f(x)=-,则f(x)的图像在[0,+∞)上是连续不断的,因为f(0)=1>0,f=->0,f=-<0,所以函数f(x)的零点所在区间是.故选B. 3.C[解析] 因为f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4)=-log24=-<0,所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4),故选C.4. (-∞,1)[解析] 设函数f(x)=x2+mx-6,则根据条件有f(2)<0,即4+2m-6<0,解得m<1.5. 1[解析] 作出f(x),g(x)的大致图像,如图所示,可知有1个交点.6. B[解析] 在同一坐标系中分别画出函数f(x),g(x)的图像如图所示,方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图像有两个不同的交点,结合图像可知,当直线y=kx的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线y=x-1的斜率时符合题意,故<k<1.故选B.7. C[解析] 由已知可得f(x0)=-,则f(x0)=-1,f(-x0)=1,故-x0一定是y=e x f(x)-1的零点.故选C.8.C[解析] 因为函数f(x)=2x--a在区间(1,2)上单调递增,函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,所以f(1)·f(2)<0,所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,所以0<a<3.故选C.9.C[解析] 由奇函数的性质可知f(0)=0,又当x>0时,f(x)为增函数,当x从右侧趋向于0时,函数值趋向于-∞,而f(1)=2019>0,则x>0时,函数f(x)的图像与x轴有唯一交点.由函数图像的对称性得方程f(x)=0的实根的个数为3,故选C.10.A[解析] g(x)=x2-2x=(x-1)2-1,当g(x)≥0时,得x≤0或x≥2;当g(x)<0时,得0<x<2.所以当x≤0或x≥2时,f[g(x)]=-2=0,即x2-2x-2=1,解得x=-1或x=3;当0<x<2时,f[g(x)]=x2-2x+2=0,此方程无解.所以函数f[g(x)]的所有零点之和是-1+3=2,故选A. 11.C[解析] 因为函数f(x)有两个零点,所以当x>1时,f(x)=-x+a必有一个零点,则a>1.当a>1,x≤1时,若f(x)=2x-a有一个零点,则1<a≤2,所以“函数f(x)有两个零点”成立的充要条件是a∈(1,2],所以“函数f(x)有两个零点”成立的充分不必要条件是a∈(1,2).故选C.12. 2[解析] 令f(x)=0,得①解得x=-1.②在同一个直角坐标系中画出y=2-x,x>0和y=ln x,x>0的图像,如图所示.函数y=2-x,x>0和y=ln x,x>0的图像在同一个直角坐标系中交点个数是1,所以f(x)的零点个数为2.13. [5,10)[解析] 令函数f(x)=2x+3x-k,则f(x)在R上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1,2)内时,f(1)·f(2)<0,即(5-k)(10-k)<0,解得5<k<10.当f(1)=0时,k=5.所以k∈[5,10).14.(log32,1)[解析] 由题意知方程log3=a在区间(1,2)上有解,由1<x<2得2<<3,所以log32<log3<1,所以a∈(log32,1).15.B[解析] 当b=0时,不满足题意,所以x=1不是函数的零点,问题转化为:对任意的实数a,方程a=ln x+有两个不同的解,即y1=a的图像与y2=ln x+的图像有两个不同交点.当b<0时,y2在(0,1)和(1,+∞)上单调递增,且x→0+时,y2→-∞,x→1-时,y2→+∞,x→1+时,y2→-∞,x→+∞时,y2→+∞,所以b<0.故选B.16.{2}[解析] 依题意知,函数f(x)是偶函数,在x=0处存在唯一零点,所以唯一零点是0,于是02-m cos 0+m2+3m-8=0,解得m=-4或m=2.若m=-4,则f(x)=x2+4cos x-4,令f(x)=0,得x2+4cos x-4=0,即4cos x=4-x2,由y=4cos x和y=4-x2的图像知,两图像的交点不只有一个,所以m=-4不合题意.而m=2时,符合题意.所以m=2,即满足条件的实数m组成的集合为{2}.。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------2019届高考数学总复习学案（北师大版）：《函数与方程》学案 11 函数与方程导学目标：1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值．自主梳理 1．函数零点的定义 (1)对于函数 y＝f(x) (xD)，把使________成立的实数 x 叫做函数 y＝f (x) (xD)的零点． (2)方程 f(x)＝0 有实根函数 y ＝f (x)的图象与____有交点函数 y＝f (x)有________． 2．函数零点的判定如果函数 y＝f(x)在区间[a， b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数 y＝f(x)在区间________内有零点，即存在 c(a， b)，使得________，这个____也就是 f (x)＝0 的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理． 3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a0)的图象与零点的关系 0 ＝0 0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a0)的图象与x 轴的交点________，________ ________ ________ 无交点零点个数 4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间[a，b]，验证________________，给定精确度；第二步，求区间(a， b)的中点 c；第三步，计算______：①若________，则 c 就是函数的零点；②若________，则令 b＝c[此时零点 x0(a， c)]；③若________，则令 a＝c[此时1 / 11零点 x0(c， b)]；第四步，判断是否达到精确度：即若|a－b|，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复第二、三、四步．自我检测． 0 B． 1 C． 2 2．若函数 y＝f (x)在 R 上递增，则函数 y＝f(x)的零点 A．至少有一个 B．至多有一个 C．有且只有一个 D．可能有无数个3．如图所示的函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( ) ________ ________ 1． (2010福建)f(x)＝＋2x－3， x0－2＋ln x x0的零点个数为 ( ) D． 3 ( ) A．①② C．①④ 4．设 f (x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程 3x＋3x－8＝0 在 x(1,2)内近似解的过程中得 f (1)0， f (1.5)0，f(1.25)0，则方程的根所在的区间是A． (1,1.25) C． (1.5,2) 5． (2019福州模拟)若函数 f(x)的零点与 g(x)＝4x＋2x－2 的零点之差的绝对值不超过0.25，则 f(x)可以是 ( ) A． f(x)＝4x－1 C． f (x)＝ex－1 B．①③ D．③④ ( ) B． (1.25,1.5) D．不能确定 B． f (x)＝(x－1)2 D． f(x)＝ln(x－0.5) 探究点一函数零点的判断例 1 判断函数 y＝ln x＋2x－6 的零点个数．变式迁移1 (2019烟台模拟)若定义在R上的偶函数f(x)满足f (x＋2)＝f (x)，且当 x[0,1]时， f(x)＝x，则函数 y＝f (x)－log3|x|的零点个数是 A．多于 4 个C． 3 个探究点二用二分法求方程的近似解例 2 求方程2x3＋3x－3＝0 的一个近似解(精确度 0.1)． ( )---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------3 / 11B ． 4 个 D ． 2 个 变式迁移 2 (2019淮北模拟)用二分法研究函数f (x)＝x3＋线上应填的内容为 12探究点三 利用函数的零点确定参数 例 3 已知a 是实数， 函数 f (x)＝2ax2＋2x －3－a ， 如果函数 y ＝f(x)在区间[－1,1]上有＋12的零点时， 第一次经计算 f(0)0，， 可得其中一个零点 x0________， 第二次应计算________． 以上横 ，B ． ， ，零点， 求 a 的取值范围． 变式迁移 3若函数 f(x)＝4x ＋a2x ＋a ＋1 在(－， ＋)上存在零点， 求实数 a的取值范围． 1． 全面认识深刻理解函数零点：(1)从数 的角度看：即是使 f(x)＝ 0 的实数 x ； (2)从形 的角度看：即是函数 f (x)的图象与 x 轴交点的横坐标； (3)若函数 f(x)的图象在 x ＝ x0处与 x 轴相切， 则零点 x0通常称为不变号零点；(4)若函数 f (x)的图象在 x ＝ x0处与 x 轴相交， 则零点 x0通常称为变号零点． 2． 求函数 y ＝ f(x)的零点的方法：(1)(代数法)求方程 f(x)＝ 0 的实数根(常用公式法、 因式分解法、 直接求解法等)； (2)(几何法)对于不能用求根公式的方程， 可以将它与函数 y ＝ f(x)的图象联系起来， 并利用函数的性质找出零点； (3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值， 二分法的条件 f(a)f (b)0 表明：用二分法求函数的近似零点都是指变号零点． 3．有关函数零点的重要结论：(1)若连续不间断的函数 f (x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点； (2)连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； (3)连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变． (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1． (2010天津)函数 f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是 ( ) A． (－2，－1) C． (0,1) 2． (2019福州质检)已知函数 f (x)＝log2x－则 f (x1)的值 ( ) A．恒为负 C．恒为正 3．下列函数图象与 x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是 ( ) 13 B． (－1,0) D． (1,2) x，若实数x0是方程 f (x)＝0 的解，且0x1x0，B．等于零 D．不小于零 4．函数 f(x)＝(x－2)(x－5)－1 有两个零点 x1、 x2，且 x1x2，则 ( ) A． x12,2x25 B． x12， x25 C． x12， x25 D． 2x15，－4x＋3，x1的零点个数是 ( ) A． 4 B． 3 C． 2 题号 1 2 答案二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6．定义在 R 上的奇函数 f(x)满足：当 x0 时， f(x)＝2 006x＋log2 006x，则在 R 上，函数f(x)零点的个数为________． 7． (2019深圳模拟)已知函数 f(x)＝x---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------＋2x， g(x)＝x＋ln x， h(x)＝x－ x－1 的零点分别为x1， x2，x3，则 x1， x2， x3的大小关系是______________． 8． (2009山东)若函数 f(x)＝ax－x－a(a0，且 a1)有两个零点，则实数 a的取值范围是________．三、解答题(共 38 分) 9． (12 分)已知函数 f(x)＝x3－x2＋x4. 12)，使 f (x0)＝x0. 10． (12 分)已知二次函数 f (x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1 在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f(c)0，求实数p 的取值范围． 11． (14 分)(2019杭州调研)设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，且 f (1)＝－a5． (2019厦门月考)设函数 f(x)＝－4，x1， g(x)＝log2x，则函数 h(x)＝f (x)－g(x) 3 D． 14 5 2＋1证明：存在 x0(0，2， 3a2c2b，求证：(1)a0 且－3ba－34； (2)函数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点； (3)设 x1， x2是函数 f(x)的两个零点，则 2|x1－x2|574. 答案自主梳理 1． (1)f (x)＝0 (2)x 轴零点 2.f(a)f (b)0 (a，b) f(c) ＝ 0 c 3.(x1,0) (x2,0) (x1,0) 两个一个自我检测 1． C [当 x0 时，令 x2＋ 2x－ 3＝ 0，解得 x＝－ 3；当x0 时，令－ 2＋ ln x＝ 0，解得 x＝ e2，所以已知函数有两个零点． ] 2． B 3.B 4.B 5.A 课堂活动区例 1 解题导引判断函数零点个数最常用的方法是令 f(x)＝ 0，转化为方程根的个数，解出方程有几个根，函数 y＝ f(x)就有几个零点，如果方程的根5 / 11解不出，还有两种方法判断：方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要注意参考单调性可判定零点的唯一性；方法二是数形结合法，要注意作图技巧．解方法一设 f(x)＝ ln x＋ 2x－ 6，∵ y＝ ln x 和 y ＝ 2x－ 6 均为增函数， f(x)也是增函数．又∵ f(1)＝ 0＋ 2－ 6＝－ 40， f (3)＝ ln 30， f(x)在(1,3)上存在零点．又 f (x)为增函数，无 4.f(a)f (b)0 f(c) ①f(c)＝0 ②f (a)f(c)0 ③f(c)f (b)0 函数在(1,3)上存在唯一零点．方法二在同一坐标系画出 y＝ ln x与 y＝ 6－ 2x的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数 y＝ ln x＋ 2x－ 6 只有一个零点．变式迁移1 B [由题意知 f(x)是偶函数并且周期为 2.由 f (x)－ log3|x|＝ 0，得 f(x)＝ log3|x|，令 y＝ f (x)， y＝ log3|x|，这两个函数都是偶函数，画两函数 y 轴右边的图象如图，两函数有两个交点，因此零点个数在 x0， x R 的范围内共 4 个． ] 例 2 解题导引①用二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将计算过程所得的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中，可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程，有时也可利用数轴来表示这一过程；②在确定方程近似解所在的区间时，转化为求方程对应函数的零点所在的区间，找出的区间[a， b]长度尽可能小，且满足 f(a)f(b)0；③求方程的近似解，所要求的精确度不同得到的结果也不同，精确度，是指在计算过程中得到某个区间(a， b)后，直到|a－ b| 时，可停止计算，其结果可以是满足精确度的---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 最后小区间的端点或区间内的任一实数，结果不唯一．解设 f (x)＝ 2x3＋ 3x－ 3. 经计算， f(0)＝－ 30， f (1)＝ 20，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程 2x3＋ 3x－ 3＝ 0 在(0,1)内有解．取(0,1)的中点 0.5，经计算 f(0.5)0，又 f (1)0，所以方程 2x3＋ 3x－ 3＝ 0 在(0.5,1)内有解，如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表. (a， b) (a， b) 的中点＋ b20.5 0.75 0.625 0.687 5 |0.687 5－ 0.75|＝0.062 50.1 (0,1) (0.5,1) (0.5,0.75) (0.625,0.75) (0.687 5,0.75) f(0.5)0 f(0.75)0 f(0.625)0 f (0.687 5)0 至此，可以看出方程的根落在区间长度小于 0.1 的区间(0.687 5,0.75)内，可以将区间端点 0.687 5 作为函数 f(x)零点的近似值．因此 0.687 5 是方程 2x3＋ 3x－ 3＝ 0 精确度 0.1 的一个近似解．变式迁移2 D [由于 f (0)0，故 f(x)在第二次计算应计算 0 和12在数轴上对应的中点 0＋1224.] 例 3 解若 a＝ 0， f (x)＝ 2x－ 3，显然在[－ 1， 1]上没有零点，所以 a0. 令＝ 4＋ 8a(3＋ a)＝ 8a2＋ 24a＋ 4＝ 0，解得 a＝－ 3 72. ①当 a ＝－ 3－2当 a＝－ 3＋22 y＝ f(x)恰有一个零点在[－ 1,1]上；②当 f (－ 1)f (1)＝ (a－ 1)(a－ 5)0，即 1a5 时， y＝ f (x)在[－ 1,1]上也恰有一个零点．③当 y＝ f (x)在[－ 1,1]上有两个零点时，则 120，而 f(x)＝ x3＋＋12中的 x3及＋12在－12，＋上是增函数，故7 / 11f(x)在－12，＋上也是增函数， 12， 0，12上存在零点，所以，x1＝＝17时， f(x)＝ 0 的重根 x＝3－727 [－ 1,1]， 7时， f(x)＝ 0 的重根 x＝3＋[－ 1,1]，解得a5 或a－3－＝8a2＋24a＋40－1－－，或＝ 8a2＋ 24a＋ 40－ 1－－， 72. 综上所述实数 a 的取值范围是 a1 或 a－ 3－72变式迁移 3 解方法一 (换元) 设 2x＝ t，则函数 f(x)＝ 4x＋ a2x＋ a＋ 1 化为 g(t)＝ t2＋ at＋ a＋ 1 (t (0，＋ ))．函数 f (x)＝ 4x＋ a2x＋ a＋ 1 在(－，＋ )上存在零点，等价于方程 t2＋ at＋ a＋ 1＝ 0，①有正实数根． (1)当方程①有两个正实根时， a 应满足＝ a2－＋＋ t2＝－ a0t1t2＝ a＋ 10，解得：－ 1a2－ 2 2； (2)当方程①有一正根一负根时，只需 t1t2＝ a＋ 10，即 a－ 1； (3)当方程①有一根为 0 时， a＝－ 1，此时方程①的另一根为 1. 综上可知 a2－ 2 2. 方法二令 g(t)＝ t2＋ at＋ a＋ 1 (t (0，＋ ))． (1)当函数 g(t)在(0，＋ )上存在两个零点时，＝ a2－＋－a20实数 a 应满足＝ a＋ 10，解得－ 1a2－ 2 2； (2)当函数g(t)在(0，＋ )上存在一个零点，另一个零点在(－， 0)时，实数 a 应满足g(0)＝ a＋ 10，解得 a－ 1； (3)当函数 g(t)的一个零点是 0 时， g(0)＝ a＋ 1＝ 0， a＝－ 1，此时可以求得函数 g(t)的另一个零点是 1. 综上(1)(2)(3)知 a2－ 2 2. 课后练---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 习区 1． B [因为 f(－ 1)＝12－ 30， f(0)＝ 10，所以 f (x)在区间(－ 1,0)上存在零点． ] 2． A 3． C [能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a， b]上连续不断，并且有 f (a)f (b)0.A、B 中不存在 f(x)0， D 中函数不连续． ] 4． C 5． B [当 x1 时，函数 f (x)＝ 4x－ 4 与 g(x)＝ log2x 的图象有两个交点，可得h(x)有两个零点，当 x1 时，函数 f(x)＝ x2－ 4x＋ 3 与 g(x)＝ log2x 的图象有 1 个交点，可得函数 h(x)有 1个零点，函数h(x)共有 3 个零点． ] 6． 3 解析函数 f (x)为 R 上的奇函数，因此 f (0)＝ 0，当 x0 时， f(x)＝ 2 006x＋ log2 006x 在区12 006)内存在一个零点，又 f (x)为增函数，因此在(0，＋ )内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－， 0)内有且仅有一解，从而函数在 R 上的零点的个数为 3. 7． x1x2x3 解析令 x ＋ 2x＝ 0，即 2x＝－ x，设 y＝ 2x， y＝－ x；令 x＋ ln x＝ 0，即 ln x＝－ x，设 y＝ ln x， y＝－ x. 在同一坐标系内画出 y＝ 2x， y＝ ln x， y＝－ x，如图：x10x21，令 x－( x)2－x－ 1＝ 0， x＝1＋2，即 x3＝3＋21，所以 x1x2x3. 间(0，x－ 1＝ 0，则55 8． a1 解析设函数 y＝ax(a0，且 a1)和函数 y＝x＋a，则函数 f (x)＝ax－x －a(a0，且 a1)有两个零点，就是函数 y＝ax(a0，且 a1)与函数y＝x＋a 有两个交点，由图象可知当 0a1时两函数只有一个交点，不符合；当 a1 时，因为函数 y＝ax(a1)的图象过点(0,1)，而直9 / 11线y＝x＋a 所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点，所以实数 a 的取值范围是 a1. 9．证明令 g(x)＝ f(x)－ x.(2分) ∵ g(0)＝18， g(0)g(12)0.(8 分) 12)上连续， (10 分) 12)，使 g(x0)＝ 0. 即 f (x0)＝ x0. (12分) 10．解二次函数 f(x)在区间[－ 1,1]内至少存在一个实数 c，使 f (c)0 的否定是：对于区间[－ 1,1]内的任意一个 x 都有 f(x)0.(4分p32或 p－ 3.(10 分) 二次函数 f(x)在区间[－ 1,1]内至少存在一个实数c，使f(c)0 的实数p 的取值范围是－3p32. (12分) 11．证明(1)∵ f (1)＝ a＋ b＋ c＝－a2， 3a＋ 2b＋ 2c＝ 0. 又 3a2c2b， 3a0,2b0， a0， b0. 又 2c＝－ 3a－2b，由 3a2c2b， 3a－ 3a－2b2b. ∵ a0，－ 3b4.(4 分) (2)∵f(0)＝ c， f(2)＝ 4a＋ 2b＋ c＝ a－ c. ①当 c0 时，∵ a0，f(0)＝ c0 且 f (1)＝－a20，函数 f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点． (7 分) ②当 c0 时，∵ a0， f(1)＝－a20 且 f(2)＝ a－ c0， 4， g(12)＝ f (12)－12＝－1又函数 g(x)在(0，所以存在 x0 (0，此时－，即＋ 3p－ 902p2－ p－ 10，解得：a－3 函数 f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点．综合①②得 f (x)在(0,2)内至少有一个零点． (10分) (3)∵ x1， x2是函数 f(x)的两个零点，则 x1， x2是方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0 的两根． x1＋ x2＝－＋－－，x1x2＝ca＝－32－b |x1－ x2|＝＝－－32－b＝a＋---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ ＋ 2.(12 分) ∵ － 3b4， a－32|x1－ x2|574.(14分)11 / 11。

课时分层训练(十一) 函数与方程A 组 基础达标一、选择题1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0,2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12C [由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a .令g (x )＝bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.]2．已知函数y ＝f (x )的图像是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数y ＝f (x A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个B [由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以y ＝f (x )在[1,6]上至少有3个零点．故选B.]3．(2017·广东揭阳一模)曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝x 12的交点横坐标所在区间为( )【导学号：79140063】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，14．已知三个函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜bB [由于f (－1)＝12－1＝－12＜0，f (0)＝1＞0，且f (x )为R 上的增函数，故f (x )＝2x＋x 的零点a ∈(－1,0)．因为g (x )是R 上的增函数，g (2)＝0，所以g (x )的零点b ＝2.因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1＋12＝－12＜0，h (1)＝1＞0，且h (x )为(0，＋∞)上的增函数，所以h (x )的零点c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因此a ＜c ＜b .]5．(2018·合肥第一次质检)从[－2,2]中随机选取一个实数a ，则函数f (x )＝4x－a ·2x ＋1＋1有零点的概率是( ) A.14 B.13 C.12D.23A [函数f (x )有零点，即f (x )＝4x －2a ·2x ＋1＝0有解，则2a ＝2x＋12x ≥2，a ≥1，当且仅当x ＝0时，等号成立．所求概率为2－12＋2＝14，故选A.]二、填空题6．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是________．(－∞，1) [设函数f (x )＝x 2＋mx －6，则根据条件有f (2)＜0，即4＋2m －6＜0，解得m ＜1.]7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x ＞0的零点所构成的集合为________．{－2，e} [由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.]8．若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________.【导学号：79140064】(0,2) [由f (x )＝|2x－2|－b ＝0得|2x－2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图像，如图所示，则当0<b <2时，两函数图像有两个交点，从而函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.[证明] 令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0. 又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0， 即f (x 0)＝x 0.10．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x ＞0)．(1)作出函数f (x )的图像；(2)当0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．[解] (1)如图所示．(2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝故f (x )在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，由0＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，得0＜a ＜1＜b ，且1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b＝2.(3)由函数f (x )的图像可知，当0＜m ＜1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根．B 组 能力提升11．已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14 B.18 C ．－78D ．－38C [令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.]12．(2018·杭州质检)设方程x ＝ln(ax )(a ≠0，e 为自然对数的底数)，则( )A ．当a ＜0时，方程没有实数根B ．当0＜a ＜e 时，方程有一个实数根C ．当a ＝e 时，方程有三个实数根D ．当a ＞e 时，方程有两个实数根D [由x ＝ln(ax )得e x＝ax ，则函数y ＝e x，y ＝ax 图像的交点个数是原方程根的个数．当a ＜0时，在第二象限有一个根，A 错误；设过原点的直线与y ＝e x相切的切点坐标为(x 0，e x 0)，则e x 0＝ex 0x 0，x 0＝1，则切线斜率为e ，所以当0＜a ＜e 时，方程无根；当a ＝e 时，方程有一个实数根；当a ＞e 时，方程有两个实数根，D 正确，故选D.]13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m的取值范围是________．(0,1) [函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图像，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．]14．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x－4ln x 的零点个数. 【导学号：79140065】[解] (1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a ＞0.∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1.故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x ＞0)，∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x＝(x －1)(x －3)x2. 令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：所以当又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，且g (3)＜0，g (e 3)＞0，所以g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点．故g (x )在(0，＋∞)上仅有1个零点．。

课时作业(十一)第11讲 函数与方程时间 / 30分钟 分值 / 80分基础热身1.[2018·咸阳二模] 函数f (x )=2x -1x的零点个数为 ( ) A .0 B .1 C .2 D .32.已知函数f (x )=4x-log 3x ,在下列区间中,包含f (x )零点的区间是 ( ) A .(1,2) B .(2,3) C .(3,4)D .(4,+∞)3.已知函数f (x )=x-2x 2,则函数f (x-1)的零点是 ( )A .8B .7C .±√23+1 D .√23+14.若函数f (x )=2x -2x-a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数a 的取值范围是 ( ) A .(1,3) B .(1,2) C .(0,3)D .(0,2)5.函数f (x )={1+lgx,x >0,x 2+x,x ≤0的零点是 .能力提升6.已知f (x )是定义域上的偶函数且当x>0时,f (x )=2x +log 2x ,则方程f (x )=0的实根的个数为 ( )A .1B .2C .3D .57.函数f (x )=x cos 2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为 ( ) A .2 B .3 C .4 D .58.若函数f (x )=2ax 2-x-1在(0,1)内恰有一个零点,则实数a 的取值范围是 ( ) A .(-1,1) B .[1,+∞) C .(1,+∞) D .(2,+∞)9.若f (x )是奇函数,且x 0是y=f (x )+e x 的一个零点,则-x 0一定是下列哪个函数的零点 ( ) A .y=f (-x )e x -1 B .y=f (x )e -x +1 C .y=e x f (x )-1 D .y=e x f (x )+110.已知f (x )={4x -1,x ≥0,f(x +2),−6≤x <0,则方程f (x )=3的根有 ( )A .5个B .4个C .1个D .无数多个11.[2018·黄山一模] 已知函数f (x )=e |x|+|x|,若关于x 的方程f (x )=k 有两个相异实根,则实数k 的取值范围是 ( ) A .(0,1) B .(1,+∞) C .(-1,0) D .(-∞,-1)12.[2018·北京一零一中学月考] 已知函数f (x )={xsinx,0<x <π,√x,x ≥π,则函数g (x )=f (x )-x 的零点个数是 .13.已知函数f (x )=ln x+2x-6的零点在区间(k 2,k+12)(k ∈Z )内,则k= .14.[2018·开封三模] 若函数f (x )=2x -a 2-a 在(-∞,1]上存在零点,则正实数a 的取值范围是 .难点突破15.(5分)已知函数f (x )是定义在[-1,1]上的偶函数,当x ∈[0,1]时,f (x )=x 2,若函数g (x )=f (x )-mx-m 在[-1,1]上有两个零点,则实数m 的取值范围是 ( ) A .[0,12) B .[12,+∞) C .(0,13) D .(0,12]16.(5分)若函数y=f (x )(x ∈R )满足f (x+2)=f (x )且当x ∈[-1,1]时,f (x )=1-x 2,函数g (x )={lgx,x >0,-1x,x <0,则函数h (x )=f (x )-g (x )在区间[-5,5]内的零点的个数为 ( ) A .7 B .8 C .9 D .10课时作业(十一)1.B[解析]作出函数y=2x和y=1x的图像(图略),由图知两函数的图像有1个交点,所以f(x)有1个零点.故选B.2.C[解析]因为y=4x,y=-log3x在(0,+∞)上均为减函数,所以f(x)在(0,+∞)上为减函数,又f(1)=4-log31=4>0,f(2)=2-log32>0,f(3)=43-1>0,f(4)=1-log34<0,所以函数f(x)的零点所在区间为(3,4),故选C.3.D[解析]f(x-1)=(x-1)-2(x-1)2,令f(x-1)=0,即(x-1)-2(x-1)2=0,化简得(x-1)3-2=0,且x-1≠0,则x=√23+1.故选D.4.C[解析]由题易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)< 0,解得0<a<3.故选C.5.-1,0,110[解析]当x>0时,由1+lg x=0得x=110;当x≤0时,由x2+x=0得x=0或x=-1.所以函数f(x)的零点是-1,0,110.6.B[解析]当x>0时,f(x)为增函数,当x→0时,f(x)→-∞,而f(1)=2>0,则此时函数f(x)的图像与x轴有唯一交点.又因为f(x)是偶函数,所以当x<0时,f(x)的图像与x轴有1个交点,所以方程f(x)=0的实根的个数为2,故选B.7.D[解析]由f(x)=x cos 2x=0得x=0或cos 2x=0,又cos 2x=0在[0,2π]上有4个根,分别为π4,3π4,5π4,7π4,所以函数f(x)在[0,2π]上有5个零点.故选D.8.C[解析]当a=0时,函数f(x)的零点是-1,-1∉{x|0<x<1},不符合题意;当a≠0时,由{Δ>0,f(0)f(1)<0,即{1+8a>0,-(2a-2)<0,解得a>1;当Δ=0,即a=-18时,函数f(x)的零点是-2,-2∉{x|0<x<1},不符合题意.故选C.9.C[解析]由已知可得f(x0)=-e x0,则e-x0f(x0)=-1,e-x0f(-x0)=1,故-x0一定是y=e x f(x)-1的零点.故选C.10.B[解析]当x≥0时,f(x)=4x-1,将函数f(x)在区间[0,2)上的图像向左平移2个单位长度即可得到函数f(x)在区间[-2,0)上的图像,将得到的图像依次向左平移2个单位长度、4个单位长度,得到的四段曲线即为函数f(x)的图像.在同一坐标系中作出直线y=3,观察可得,函数f(x)的图像与直线y=3有4个交点,即方程f(x)=3有4个根.故选B.11.B[解析]易知函数f(x)是偶函数.当x≥0时,f(x)=e x+x,因为f'(x)=e x+1>0在[0,+∞)上恒成立,所以f(x)≥f(0)=1,又f(x)是偶函数,所以在R上f(x)≥1,当关于x的方程f(x)=k有两个相异实根时k>1.故选B.12.1[解析]g(x)=f(x)-x的零点,即方程f(x)=x的根.当0<x<π时,x sin x=x,即sin x=1,得x=π2,满足条件;当x≥π时,√x=x,解得x=0或x=1,都不满足条件.所以g(x)的零点个数是1.13.5[解析]显然函数f(x)是(0,+∞)上连续的增函数,且f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,由零点存在性定理,可知函数f(x)的零点在(2,3)内,即∃x0∈(2,3),f(x0)=0.又f(52)=ln 52-1<0,f(x)的零点在(k2,k+12)(k∈Z)内,所以k2=52,得k=5.14.(0,1][解析]当x∈(-∞,1]时,2x∈(0,2].由函数f(x)=2x-a2-a在(-∞,1]上存在零点,可得0<a2+a≤2,又由a为正实数,得a∈(0,1].15.D[解析]令h(x)=m(x+1),则h(x)=m(x+1)的图像为过定点(-1,0)的直线.作出函数f(x)的图像和过点(-1,0),(1,1)的直线l1,如图所示.易知当直线h(x)=m(x+1)的斜率满足0<m≤k l1时,函数g(x)在[-1,1]上有两个零点,此时0<m≤12.故选D.16.B[解析]当x∈[-1,1]时,y=f(x)的图像是一段开口向下的抛物线,y=f(x)的最大值为1.因为f(x+2)=f(x),所以f(x)是以2为周期的周期函数.f(x)和g(x)在[-5,5]内的图像如图所示,可知两个图像有8个交点,所以函数h(x)在[-5,5]内有8个零点.故选B.。

课时达标 第11讲[解密考纲]本考点考查函数与方程的关系、函数的零点．在近几年的高考卷中选择题、填空题、解答题都出现过．选择题、填空题通常排在中间位置，解答题往往与其他知识综合考查，题目难度中等．一、选择题1．函数f (x )＝x 3＋2x －1的零点所在的大致区间是( A ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析 f (0)＝－1<0，f (1)＝2>0，则f (0)·f (1)＝－2<0，且函数f (x )＝x 3＋2x －1的图象是连续曲线，所以f (x )在区间(0,1)内有零点．2．用二分法找函数f (x )＝2x ＋3x －7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为( B )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(2,3)D ．(2,4)解析 因为f (0)＝20＋0－7＝－6<0，f (4)＝24＋12－7>0，又已知f (2)＝22＋6－7>0，所以f (0)·f (2)<0，所以零点在区间(0,2)内．故选B ．3．f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( B ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析 令f (x )＝2sin πx －x ＋1＝0，则2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题转化为两个函数h (x )与g (x )图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，在同一坐标系中，画出两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点一共有5个，所以f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.4．已知方程|x 2－a |－x ＋2＝0有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围为( B ) A ．(0,4) B ．(4，＋∞) C ．(0,2)D ．(2，＋∞)解析 依题意，知方程|x 2－a |＝x －2有两个不等的实数根，即函数y 1＝|x 2－a |的图象与函数y 2＝x －2的图象有两个不同的交点．如图，则a >2，即a >4.故选B ．5．已知函数f (x )＝e |x |＋|x |，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是( B )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)解析 因为f (－x )＝e |－x |＋|－x |＝e |x |＋|x |＝f (x )，故f (x )是偶函数．当x ≥0时，f (x )＝e x ＋x是增函数，故f (x )≥f (0)＝1，由偶函数图象关于y 轴对称，知f (x )在(－∞，0)上是减函数，所以f (x )的值域为[1，＋∞)，作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示，由图可知，实数k 的取值范围是(1，＋∞)．故选B ．6．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( C )A ．－12B ．13C ．12D ．1解析 由f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e 2－x －1＋e－(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e 1－x ＋e x －1)＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)，所以f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e 1－1＋e－1＋1)＝0，解得a ＝12.故选C ．二、填空题7．若二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4在(1，＋∞)内有两个零点，则实数a 的取值范围为__⎝⎛⎭⎫2，52__. 解析 依据二次函数的图象有⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－－2a 2>1，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－16>0，a >1，a <52，解得2<a <52.8．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 019x ＋log 2 019x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为__3__.解析 函数f (x )为R 上的奇函数，因此f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝2 019x ＋log 2 019x 在区间⎝⎛⎭⎫0，12 019内存在一个零点，又f (x )为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一解，从而函数f (x )在R 上的零点的个数为3.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，x 2－3ax ＋a ，x >0有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是__⎝⎛⎦⎤49，1__.解析 依题意，要使函数f (x )有三个不同的零点，则当x ≤0时，方程2x －a ＝0，即2x＝a 必有一个根，此时0<a ≤1；当x >0时，方程x 2－3ax ＋a ＝0有两个不等的实根，即方程x 2－3ax ＋a ＝0有两个不等的正实根，于是有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9a 2－4a >0，3a >0，a >0，解得a >49，因此，满足题意的实数a 需满足⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，a >49，即49<a ≤1.三、解答题10．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围． 解析 方法一 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]． ①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，∴f (2)<0.又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m <－32.②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解， 则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，0<－m －12<2，f (2)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)2－4≥0，－3<m <1，4＋(m －1)×2＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3<m <1，m ≥－32.∴－32≤m ≤－1.由①②可知实数m 的取值范围是(－∞，－1]．方法二 由x 2＋(m －1)x ＋1＝0得x ＝0不是方程的根， ∴x ≠0.当x ∈(0,2]时，－(m －1)x ＝x 2＋1,1－m ＝x ＋1x .∵x ∈(0,2]时，x ＋1x ≥2，∴1－m ≥2，即m ≤－1，故实数m 的取值范围为(－∞，－1]． 11．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围．解析 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.所以函数f (x )的零点为3或－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根， 所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立， 所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1， 因此实数a 的取值范围是(0,1)．12．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x . (1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围． 解析 (1)当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， 因为y ＝f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，最小值为－1；当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x 2－2x ＝1－(x ＋1)2，最大值为1.可作出函数y ＝f (x )的图象(如图所示)，根据图象，若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是(－1,1)．。

课时作业11 函数与方程一、选择题1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，x <0，x －1，x ≥0的所有零点的和等于( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－2＝0，解得x ＝－1，令x －1＝0，解得x ＝1，所以函数f (x )存在两个零点1和－1，其和为0.答案：C2．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 12x B ．y ＝2x－1C ．y ＝x 2－12D ．y ＝－x 3解析：函数y ＝log 12x 在定义域上是减函数，y ＝x 2－12在(－1,1)上不是单调函数，y ＝－x 3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y ＝2x－1，当x ＝0∈(－1,1)时，y ＝0且y ＝2x－1在R 上单调递增．故选B.答案：B3．函数f (x )＝x －4x的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个解析：方法一：令f (x )＝x －4x ＝0，∴x ＝4x，∴x 2＝4，∴x ＝±2，有2个零点．方法二：令f (x )＝x －4x ＝0，∴x ＝4x，令y 1＝x ，y 2＝4x结合图象有2个零点．答案：C4．(2018·豫南十校联考)函数f (x )＝x 3＋2x －1的零点所在的大致区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)解析：因为f (0)＝－1<0，f (1)＝2>0，则f (0)·f (1)＝－2<0，且函数f (x )＝x 3＋2x －1的图象是连续曲线，所以f (x )在区间(0,1)内有零点．答案：A5．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)． 在同一直角坐标系画出函数y 1＝|x －2|(x >0)，y 2＝ln x (x >0)的图象，如图所示：由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2. 答案：C6．根据下面表格中的数据，可以判定方程e x－x －2＝0的一个根所在的区间为( )x－1 0 1 2 3 e x0.37 1 2.72 7.39 20.09 x ＋212345A.(1,2) B ．(0,1) C ．(－1,0) D ．(2,3)解析：本题考查二分法的应用．令f (x )＝e x－x －2，则由表中数据可得f (1)＝2.72－3<0，f (2)＝7.39－4>0，所以函数f (x )的一个零点在(1,2)上，即原方程的一个根在区间(1,2)上．答案：A7．(2018·广东揭阳一模)曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝x12的交点横坐标所在区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎝⎛⎭⎪⎫12，23D.⎝⎛⎭⎪⎫23，1解析：设f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫13x－x12，∵f⎝⎛⎭⎪⎫13＝⎝⎛⎭⎪⎫1313－⎝⎛⎭⎪⎫1312>0，f⎝⎛⎭⎪⎫12＝⎝⎛⎭⎪⎫1312－⎝⎛⎭⎪⎫1212<0，∴f⎝⎛⎭⎪⎫13·f⎝⎛⎭⎪⎫12<0，根据函数零点存在性定理可得函数零点所在区间为⎝⎛⎭⎪⎫13，12，即交点横坐标所在区间为⎝⎛⎭⎪⎫13，12，故选B.答案：B8．(2018·云南省第一次统一检测)已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( )A．a>c>b>d B．a>b>c>dC．c>d>a>b D．c>a>b>d解析：f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2 017，又f(a)＝f(b)＝2 017，c，d为函数f(x)的零点，且a>b，c>d，所以可以在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如图所示，由图可知c>a>b>d，故选D.答案：D9．(2018·河南新乡三模)若函数f(x)＝log2(x＋a)与g(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)存在相同的零点，则a的值为( )A．4或－52B．4或－2C．5或－2 D．6或－52解析：g(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)＝(x＋4)[x－(a＋5)]，令g(x)＝0，得x＝－4或x＝a＋5，则f(－4)＝log2(－4＋a)＝0或f(a＋5)＝log2(2a＋5)＝0，解得a＝5或a＝－2.答案：C10．(2018·四川绵阳模拟)函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A．(1,3) B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)解析：由题意，知函数f (x )在(1,2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1,2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧f 1<0，f2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，4－1－a >0，解得0<a <3.答案：C二、填空题11．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．解析：因为f (0)<0，f (0.5)>0，由二分法原理得一个零点x 0∈(0,0.5)；第二次应计算f ⎝⎛⎭⎪⎫0＋0.52＝f (0.25)．答案：(0,0.5) f (0.25)12．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a <0)在区间(0,1)上有零点，则a 的范围为________． 解析：由题意f (1)·f (0)<0.∴a (2＋a )<0. ∴－2<a <0. 答案：(－2,0)13．(2018·陕西省宝鸡市高三质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x <1log 2x ，x ≥1，若函数y ＝f (x )－k 有且只有两个零点，则实数k 的取值范围是________．解析：∵当x <1时，2－x >12，当x ≥1时，log 2x ≥0，依题意函数y ＝f (x )的图象和直线y＝k 的交点有两个，∴k >12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 14．(2018·南京二模)若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8＝0有唯一零点，则满足条件的实数m 所组成的集合为________．解析：本题考查函数的性质、导数在研究函数中的应用．因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )是R 上的偶函数，所以函数f (x )的唯一零点只能是0，即f (0)＝m 2＋2m －8＝0，解得m ＝2或m ＝－4.当m ＝2时，f (x )＝x 2－2cos x ＋2，易证f ′(x )＝2x ＋2sin x >0，x ∈(0，＋∞)，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．此时f (x )有唯一零点；当m ＝－4时，f (x )＝x 2＋4cos x －4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π32－2<0，f (π)＝π2－8>0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π上有零点不符合，舍去，故实数m 的取值集合为{2}．灵活应用偶函数图象的对称性是解答本题的关键．答案：{2}[能力挑战]15．(2018·四川成都市高中毕业班第一次诊断预测)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cosπx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解之和为( ) A ．－7 B ．－6 C ．－3 D ．－1解析：因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2，又当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cosπx |的图象，如图所示．由图知关于x 的方程f (x )＝|cosπx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的实数解有7个．不妨设x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图，得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cosπx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7，故选A.答案：A16．(2018·南昌模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，且当x ∈[1,2]时，f (x )＝ln x －x ＋1，若函数g (x )＝f (x )＋mx 有7个零点，则实数m 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 28，1－ln 26∪⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－16，ln 2－18B.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－16，ln 2－18 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 28，1－ln 26 D.⎝⎛⎭⎪⎫1－ln 28，ln 2－16 解析：本题考查函数与方程、导数的应用．由f (2－x )＝f (x )得f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又f (x )是偶函数，所以f (x )是以2为周期的周期函数．当x ∈[1,2]时，f (x )＝ln x －x ＋1，则f ′(x )＝1x －1＝1－xx≤0，f (x )在[1,2]上单调递减，作出f (x )在(0，＋∞)上的部分图象如图所示．函数g (x )＝f (x )＋mx 有7个零点，等价于f (x )的图象与直线y ＝－mx 有7个交点，由图易得ln 2－16<－m <ln 2－18，同理，在(－∞，0)上有ln 2－1－8<－m <ln 2－1－6，所以1－ln 28<m <1－ln 26或ln 2－16<m <ln 2－18，故选A.答案：A17．(2018·天津十二县区联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x＋m －1，x ≥0，ax ＋b ，x <0，其中m <－1，对于任意x 1∈R 且x 1≠0，均存在唯一实数x 2，使得f (x 2)＝f (x 1)，且x 1≠x 2，若|f (x )|＝f (m )有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－1,0)C ．(－2，－1)∪(－1,0)D ．(－2，－1)解析：本题考查函数的性质、函数与方程．当a ＝0时，显然不符合题意；当a ≠0时，函数y ＝e x＋m －1(x ≥0)和函数y ＝ax ＋b (x <0)都是定义域内的单调函数，且函数y ＝e x＋m －1(x ≥0)的值域为[m ，＋∞)，则由题意得函数y ＝ax ＋b (x <0)的值域为(m ，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝m ，a <0，则函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x＋m －1，x ≥0，ax ＋b ，x <0，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x＋m －1，x ≥0，ax ＋m ，x <0的值域为[m ，＋∞)，|f (x )|的大致图象如图所示，由函数图象易得要使方程|f (x )|＝f (m )有4个不相等的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧f m >0，|f m |<|m |，即⎩⎪⎨⎪⎧am ＋m >0，|am ＋m |<|m |，又因为m <－1，解得－2<a <－1，故选D.根据题意确定函数的值域和函数的大致图象是解题的关键． 答案：D。

课时提升练(十一) 函数与方程一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．0【解析】 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，得x ＝12，又∵x >1，∴此时方程无解，故原函数的零点只有0. 【答案】 D2．若函数f (x )＝x 2＋mx ＋1有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【解析】 依题意，Δ＝m 2－4＞0，∴m ＞2或m ＜－2. 【答案】 C3．为了求函数f (x )＝2x －x 2的一个零点，某同学用计算器，得到自变量x 和函数值f (x )的部分对应值(精确到0.01)如下表所示：A ．(0.6,1.0)B ．(1.4,1.8)C ．(1.8,2.2)D ．(2.6,3.0)【解析】 由题表可知，f (1.8)>0，f (2.2)<0，故选C.【答案】 C4．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f ⎝⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根【解析】 ∵f (x )在[－1,1]上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上有唯一零点，故方程f (x )＝0在[－1,1]上有唯一实数根．【答案】 C5．若f (x )是奇函数，且x 0是y ＝f (x )＋e x 的一个零点，则－x 0一定是下列哪个函数的零点( )A ．y ＝f (－x )e x －1B ．y ＝f (x )e －x ＋1C ．y ＝e x f (x )－1D ．y ＝e x f (x )＋1【解析】 由已知可得f (x 0)＝－e x 0，则e －x 0f (x 0)＝－1，又∵f (x 0)＝－f (－x 0)，∴e －x 0f (－x 0)＝1，故－x 0一定是y ＝e x f (x )－1的零点．【答案】 C6．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝2x －1 C ．y ＝x 2－2D ．y ＝－x 3【解析】 y ＝log 2x 的零点是1，y ＝x 2－2的零点为±2，都不在(－1,1)内，y ＝－x 3的零点是0，在(－1,1)内，但其为减函数，只有y ＝2x －1符合要求．【答案】 B7．已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln x的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 令f (x )＝0，则sgn(ln x )＝ln x ， sgn(ln x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >1，0，x ＝1，－1，0<x <1，分别作出y ＝sgn(ln x )与y ＝ln x 的图象，由图象可知，它们有三个交点，故函数f (x )＝sgn(ln x )－ln x 有三个零点．故选C.【答案】 C8．(2015·临沂模拟)已知函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a ，b 满足2a ＝3,3b ＝2，则n 的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1【解析】 由题意a >1,0<b <1，∴f (x )为R 上的增函数， 又f (－1)＝1a －1－b <0，f (0)＝1－b >0， ∴f (－1)·f (0)<0，因此x 0∈(－1,0)，n ＝－1. 【答案】 B9．(2015·东城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －x 3(x ≤0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －log 2x (x >0)，若x 0是y ＝f (x )的零点，且0<t <x 0，则f (t )( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．等于0D ．不大于0【解析】 当x >0时，f ′(x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ln 3－1x ln 2<0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上递减，若函数存在零点x 0，即f (x 0)＝0，则当0<t <x 0时，f (t )>f (x 0)＝0.【答案】 B10．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cos πx (－2≤x ≤4)的所有零点之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cos πx ＝0， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＝－2cos πx ， 令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)，h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)，又因为g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，1≤x ≤4，2x －1，－2≤x ＜1.在同一坐标系中分别作出函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象(如图)，由图象可知，函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|关于x ＝1对称，又x ＝1也是函数h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的对称轴，所以函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的交点也关于x ＝1对称，且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.【答案】 C11．(2012·辽宁高考)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8【解析】 根据题意，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数且0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos(πx )|，所以当x ＝0时，f (x )＝g (x )．当x ≠0时，若0<x ≤12，则x 3＝x cos(πx )，即x 2＝|cos πx |.同理可以得到在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0，⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32上的关系式都是上式，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根．所以总共有6个．【答案】 B12．(2013·安徽高考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，若f (x 1)＝x 1＜x 2，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，函数f (x )的两个极值点为x 1，x 2，则f ′(x 1)＝0，f ′(x 2)＝0，所以x 1，x 2是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根，所以解关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0，得f (x )＝x 1或f (x )＝x 2.由上述可知函数f (x )在区间(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在区间(x 1，x 2)上单调递减，又f (x 1)＝x 1＜x 2，如图所示．由数形结合可知f (x )＝x 1时有两个不同实根，f (x )＝x 2有一个实根，所以不同实根的个数为3.【答案】 A 二、填空题13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0满足f (0)＝1，且f (0)＋2f (－1)＝0，那么函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．【解析】 ∵f (0)＝1，∴c ＝1，又∵f (0)＋2f (－1)＝0，∴f (－1)＝－1－b ＋1＝－12，∴b ＝12.∴当x >0时，g (x )＝2x －2＝0有唯一解x ＝1；当x ≤0时，g (x )＝－x 2＋32x ＋1，令g (x )＝0得x ＝－12或x ＝2(舍去)，综上可知，g (x )＝f (x )＋x 有2个零点． 【答案】 214．若函数y ＝f (x )(x ∈R ) 满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2；函数g (x )＝lg|x |，则函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在区间[－5,5]内的交点个数共有________个．【解析】 函数y ＝f (x )以2为周期，y ＝g (x )是偶函数，画出图象可知有8个交点．【答案】 815．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．【解析】画出f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图．由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点， 结合图象得：0<m <1，即m ∈(0,1)． 【答案】 (0,1)16．(2014·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x ＞0.若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．【解析】 画出函数f (x )的图象如图所示．函数y ＝f (x )－a |x |有4个零点，即函数y 1＝a |x |的图象与函数f (x )的图象有4个交点(根据图象知需a ＞0)．当a ＝2时，函数f (x )的图象与函数y 1＝a |x |的图象有3个交点．故a ＜2.当y 1＝a |x |(x ≤0)与y ＝|x 2＋5x ＋4|相切时，在整个定义域内，f (x )的图象与y 1＝a |x |的图象有5个交点，此时，由⎩⎨⎧y ＝－ax ，y ＝－x 2－5x －4得x 2＋(5－a )x ＋4＝0.由Δ＝0得(5－a)2－16＝0，解得a＝1，或a＝9(舍去)，则当1＜a＜2时，两个函数图象有4个交点．故实数a的取值范围是1＜a＜2.【答案】1＜a＜2。