第二十一章 二次根式单元计划

第21章二次根式复习教学目标1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．教学重点：含二次根式的式子的混合运算．教学难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．教学过程：一．知识点复习：（一）二次根式的基本性质：（1）()()02≥=a a a （2）()()02≥=a a a ； （二）．二次根式的运算：1．二次根式的乘法 ：ab b a =⋅；()0,0≥≥⋅=b a b a ab2．二次根式的除法：b a ba =；b a b a =()0,0>≥b a 3．二次根式的加减（1）最简二次根式必须满足两个条件：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

（2）、把一个式子化为最简二次根式的方法是：（1）如果被开方数是整式或整数，先把它分解成因式（或因数）的积的形式，把开得尽方的因式（或因数）移到根号外；（2）如果被开方数含有分母，应去掉分母的根号。

（3）、二次根式加减运算的步骤：第一步：先把各个二次根式化为最简二次根式，判断其中哪些二次根式是同类二次根式；第二：把化成最简二次根式中的同类二次根式合并。

（4）、两个含二次根式的代数式，如果它们的积不含有二次根式，我们把这两个代数式叫做互为有理化因式。

4．二次根式的混合运算：在进行二次根式的加减乘除运算时，先运用乘法分配律（如果是除法，先转化为乘法）进行二次根式的乘法运算，再进行二次根式的加减运算。

在进行二次根式的和与差的乘法运算时，可以直接运用完全平方公式进行计算，根据所给题目的特点，可灵活运用公式进行计算。

二．运用复习：例1. x 取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：（1）23-+-x x （2）212x x-（3）x x 22-+（4）xx 32+ 分析：(1)题是两个二次根式的和，x 的取值必须使两个二次根式都有意义；（2）即x 不能取使012=-x 的值(3)题是两个二次根式的和，x 的取值必须使两个二次根式都有意义；(4)题的分子是二次根式，分母是含x 的单项式，因此x 的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．解：（1）2≤x ≤3；（2）x ≠±1；（3）x=0；4）x ≥-2且x ≠0；例2．计算：)3418)(4823(-+分析：先化简，再运算 解：)3418)(4823(-+ =)3423)(3423(-+ =22)34()23(-=18-48=-30例3．计算：)302223)(532(-+++ 解：)302223)(532(-+++=12例4．计算：aa a a a a a -+--∙+-+-1123344422 分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a ≥0和1-a ＞0．解： 因为1-a ＞0，3-a ≥0，所以a ＜1，|a -2|＝2-a ．(a -1)(a -3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0． 所以aa a a a a a -+--∙+-+-1123344422 =aa a a a a -+--∙---1123)3)(1()2(2 =0三、小结1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握．2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．四．练习：1．选择题：（1）a a -=-2)2(2，a 的取值范围是（ ）A ．a ≤2B ．a ≥2C ．a ≠2D ．a ＜2（2）x ＜-2时，2)2(+x 等于（ ）A ．x+2B ．-x -2C ．-x+2D ．x -2（3）化简22)()(a x a x ++-（0＜x ＜a ）等于（ ）A ．2xB ．2aC ．-2xD ．-2a（4）把根号外面的因式移入根号内，mm 1-=（ ） A.m B.m - C.m -- D.m -(5)若0＜x ＜12+，则2)12(2--++x x 等于（ ） A.122-- B.2x-1 C.122+ D.122-2．填空题：（1）若54--x x 有意义，则x 的取值范围是________ （2）若12-=aa ，则a 的取值范围是__________ （3）化简31a a -=____________ （4）若1223-+n n m 与6是同类最简二次根式，则n=_____,m=________（5）化简223b a （a ＞0，b ＜0）=______________（6）若a ＞0，b ＜0，则2b a -=____________3．求a a a 200111+---的值。

人教版九年级上册第21章二次根式第3节二次根式的加减第1课时二次根式的加减精品教案教学目标知识技能:能够正确进行简单的二次根式加减法的运算.并能利用二次根式加减法解决一些实际问题.数学思考:通过整式加减法运算与二次根式加减法运算的比较体会类比思想.培养学生将实际问题抽象为数学问题的能力.解决问题:通过二次根式加减法运算培养学生运算能力.并获得把实际问题转化为数学问题的体验.情感态度:通过对二次根式加减法的探究,激发学生的探索热情,让学生充分参与到数学学习的过程中来,使他们体验到成功的乐趣.通过独立思考与小组讨论,培养良好的学习态度.教学重点:二次根式加减法的运算和将实际问题抽象为数学问题.教学难点:探讨二次根式加减法运算的方法,快速准确进行二次根式加减法的运算.被开方式中含有字母、被开方式中含有分母的二次根式的化简．教学内容:课本第14至16页.教学过程设计活动一.展示问题,进入新课.1.问题.现有一块长7.5dm,宽5dm的木板,能否在这块木板上截出两个面积分别为8dm2和18dm2的正方形木板?解:因为大、小正方形木板的面积分别为8dm2和18dm2,所以,它们的边长为8dm和18dm.两个正方形的边长的和为(8+18)dm,实际上是求8和18两个二次根式的和,由此我们可以这样来计算: 28=+=+1852322由2＜1.5可知52＜7.5 又因为,8=32＜5所以,可以在这块木板上截取这两个正方形木板.由上述过程可以看出,二次根式有的能合并,有的不能合并,那么你能说说什么样的二次根式能合并,什么样的不能合并吗？2.归纳.二次根式加减时,先将二次根式化简成最简二次根式后,再将被开方数相同的进行合并.教学说明:带领学生寻找将实际问题转化为数学问题的思路.培养学生观察图形分析图形的能力. 活动二.知识应用,例题解析.例1. 计算:（1）a a 259+ （2）4580-解:（1）a a 259+=a a a 853=+=（2）4580-55354=-=.例2. 计算: （1）323814182+- （2）)7581()31232(--- 解:（1）原式=212226+- =217；（2）原式=+--2413322435=33132415+. 例 3.要焊接一个如课本图21.3-2所示的钢架,大约需要多少米钢材（精确到0.01m ）?解:根据图中尺寸可得 AB=222224+=+BD AD 5220== BC=5122222=+=+CD BD∴所需钢材的长度为:AB+BC+AC+BD=25552+++=≈+7533×2.236+7≈13.71（m ） 答:要焊接一个如图所示的钢架约需要13.7m 的钢材. 教学说明:在讲解时尽可能将步骤写完整,注意训练学生的审题能力,让学生进一步体会数学来源于生活,应用于生活.培养学生严谨的思维习惯.活动三.知识巩固,课堂练习.课本第16页小练习.活动四.知识梳理,课堂小结.1.谈谈本节课你有哪些收获.2.数学来源于生活,应用于生活,因此我们应该热爱生活,热爱数学,会将实际问题转化为数学问题,只要审清题意,就一定可以做出来.活动五.知识反馈,作业布置.课本第17至18页第2,3,7题.。

21.1.1二次根式的基本性质（1）教学目标：（1a ≥0）的意义求字母的取值范围． （2）二次根式的基本性质：（1）()()02≥=a a a ；（2）()()02≥=a a a ．教学重点：二次根式的概念；教学难点：a ≥0）”解决具体问题． 教学过程：一．复习：1．如果 x ² = a 那么 x 叫做a 的平方根，表示为x=±a ≥0）a 的算术平方根，-a 的算术平方根的相反数例如（114412；（2）0.810.9--2．练习：（1）求下列各数的平方根和算术平方根：0,10,64.0,92-（2）什么叫一个数a 的平方根？算术平方根？怎样表示？0的平方根是什么？负数有没有平方根？二．二次根式的意义： 前面已经学过，符号“”叫做二次根号，二次根号下面的数叫被开方数。

因为在实数范围内，负数无平方根，所以被开方数中只能是非负数。

一般地，我们用a 表示被开方数，把式子a ()0≥a 叫做二次根式。

二次根式有两上要点：（1）要含有；（2）被开方数是非负数例1 .x 是怎样的实数时，下列各数在实数范围内有意义？（1）1-x （2）x 5- （3）1+x （4）21--x x分析：当各式的被开方数为非负数时，这些式子在实数范围内才意义。

如(1),就是求当x 是一个怎样的实数时,1-x 非负,因此可以解关于x 的一元二次不等式,分别得出x 的取值范围。

解：（1）由01≥-x 得1≥x 。

当1≥x 时，式子1-x 有意义。

（2）x ≥0（3）x 为一切实数（4）x ≥1且x ≠2 小结:要使一个式了有意义要从两方面来思考（1）分式的分母不为零； （2）偶次根号里的被开方数要是非负数 练习1：x 是怎样的实数时，下列各数在实数范围内有意义？（1）x 34- （2）2-x （3）12+x （4）31+-x三．二次根式的性质求下列各数的算术平方根的平方值，并说出这些值与原来的各数有什么关系？94,0,2,4解：42)4(22==，2)2(2=，0)0(2=，94)32()94(22==问：如果用字母a 表示数，上述结论是否成立？成立的条件是什么？ 答：如果,0≥a 那么()a a =2，我们得到二次根式的基本性质()()02≥=a a a问题：请判断下列各式是否成立？（1）()552= （2）()552=- （3）()552-=- （4）()()0222≥=m m m解：（1）正确（2）正确 （3）错误 ，应该=5（4）正确例2计算（1）253⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （2）()232 （3）()272- （4）()2n m答：（1）53（2）1234)3(222=⨯=⨯= （3）28)7()2(22=⨯-= （4）n m n m 222)(=⨯= 练习2：计算（1）()23.0 （2）2531⎪⎭⎫ ⎝⎛ （3）2321⎪⎭⎫ ⎝⎛- （4）()2b a （5）24332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛例3 化简：()xy yx ---22解:∵0≥-y x 即y x ≥ ∴yx x y -=-∴()x y yx ---22=()xy y x y x -=---2练习3：若521=--+-+b a b a ，求a 与b 的值。

21.2二次根式的乘除(3)教学目的：（1）理解b a ba=()0,0>≥b a ； （2）运用b aba =()0,0>≥b a 进行二次根式的有关运算。

教学重点：运用b a ba=()0,0>≥b a 进行二次根式的有关运算。

教学难点：运用b ab a =()0,0>≥b a 进行二次根式的有关运算。

教学过程：一、复习1、分别用式子表示二次根式积的算术平方根的性质及二次根式的乘法法则。

二者的关系是什么？ 答：二次根式积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

即()0,0≥≥⋅=b a b a ab二次根式的乘法法则是： ()0,0≥≥=⋅b a ab b a 这两个式子是互逆的关系。

2、二次根式商的算术平方根的性质是什么？并用式子表示。

答：二次根式商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以式的算术平方根，即b a b a =()0,0>≥b a 。

二、新课 把式子b a ba =()0,0>≥b a 反过来，得到b a b a =()0,0>≥b a 这是二次根式的除法法则。

运用这个法则可以进行二次根式的除法运算。

例1 计算 （1）672； （2）61211÷。

解：(1) 672=3232321267222=⨯=⨯== (2) 61211÷=6123÷=6123÷=623⨯=9=3练习1：计算（1）354- （2）531513÷例2 计算：（1）4540（2）345653n m n m ÷ 解：（1）4540=32298984540=== （3）345653n m n m ÷=mn n m n m n m n m n m n m 5353535353222234563456====指出：在（2）中把两个二次根式中的根号外面的数与被除数开方数分别相除，然后取其积。

练习2：（1）188146÷ （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷233212y x xy （3）y x y x x -÷-224 例3 计算 （1）21223222330÷⨯; (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷b a a b b a ab b 3252362 分析：二次根式乘除的混合运算与有理数的乘除混合运算一样，按先后顺序进行。

第二十一章二次根式教材内容1．本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．2．本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标1．知识与技能（1）理解二次根式的概念．（2a≥0）是一个非负数，2=a（a≥0）（a≥0）．（3（a≥0，b≥0）；a≥0，b>0）a≥0，b>0）．（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．2．过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．•再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，•并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维，•得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．3．情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点1．二次根式a≥0a≥0）是一个非负数；2＝a（a≥0）；（a≥0）•及其运用．2．二次根式乘除法的规定及其运用．3．最简二次根式的概念．4．二次根式的加减运算．教学难点1a≥0）是一个非负数的理解；对等式（2＝a（a≥0（a ≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制．3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．教学关键1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，•培养学生一丝不苟的科学精神．单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：21．1 二次根式 3课时21．2 二次根式的乘法 3课时21．3 二次根式的加减 3课时教学活动、习题课、小结 2课时21．1 二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键1a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．AC问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x=，所．问题2：由勾股定理得问题3：由方差的概念得二、探索新知a≥0）•的式子叫做二次根式，（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0老师点评:（略）例1、1xx>0）、1x y+（x≥0，y•≥0）．分析”；第二，被开方数是正数或0．x>0）（x ≥0，y ≥0）；不是二1x、、1x y+．例2．当x 在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13在实数范围内有意义．三、巩固练习教材P 练习1、2、3． 四、应用拓展例3．当x 11x +在实数范围内有意义？分析11x +在实数范围内有意义，必须同时满足0和11x +中的x+1≠0．解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-111x +在实数范围内有意义．例4(1)已知，求x y的值．(答案:2)(2)，求a 2004+b 2004的值．(答案:25)五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1a≥0）的式子叫做二次根式，”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业1．教材P8复习巩固1、综合应用5．2．选用课时作业设计．第一课时作业设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A．．．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）A．．1 x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 B．15D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当xx+x2在实数范围内有意义？3．4.使式子x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b=b+4，求a、b的值．第一课时作业设计答案:一、1．A 2．D 3．B二、1a≥0） 2．没有三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：．2．依题意得：230xx+≥⎧⎨≠⎩，32xx⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x≠0x＋x2在实数范围内没有意义．3.1 34．B5．a=5，b=-421.1 二次根式(2)第二课时教学内容1．a≥0）是一个非负数；2．（2=a（a≥0）．教学目标理解a≥02=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a≥0）是一个非负数，用具2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键1a≥0）是一个非负数；2=a（a≥0）及其运用．2．难点、关键：用分类思想的方法导出a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出（2=a（a≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答 1．什么叫二次根式？2．当a ≥0a<0 老师点评（略）．二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答）a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：2=_______；2=_______；2=______；）2=_______；2=______；）2=_______；）2=_______．4是一个平方等于42=4．同理可得：（）2=2，2=9，）2=3，）2=13，2=72，）2=0，所以例1 计算1．（2 2．（2 3．2 4．2）2分析2=a （a ≥0）的结论解题．解：（2 =32，（2 =32²2=32²5=45，（2=56，（2）2724．三、巩固练习计算下列各式的值：2）24）22（ 222-四、应用拓展例2 计算1．2（x≥0） 2．2 3．）24． 2分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-2²2x²3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的42=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x≥0，所以x+1>0（2=x+1（2）∵a2≥02=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 =a2+2a+1 （4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2²2x²3+32=（2x-3）2又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥0）2=4x2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：1．a≥0）是一个非负数；2．（2=a（a≥0）;反之:a=（2（a≥0）．六、布置作业1．教材P8复习巩固2．（1）、（2） P97．2．选用课时作业设计．第二课时作业设计 一、选择题1的个数是（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．12．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）． A ．a>0 B ．a ≥0 C ．a<0 D ．a=0 二、填空题1．（2=________．2_______数．三、综合提高题 1．计算（1）2 （2）-2 （3）（122 （4）（）2(5) 2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3）16（4）x （x ≥0）3，求x y 的值．4．在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-2 （2）x 4-9 3x 2-5第二课时作业设计答案: 一、1．B 2．C 二、1．3 2．非负数三、1．（1）2=9 （2）-）2=-3 （3）（12）2=14³6=32（4）（-32=9³23=6 (5)-62．（1）5=2 （2）3.4=2（3）16=（2 （4）x=2（x ≥0）3．103304x y x x y -+==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩ x y =34=814.（1）x 2-2=（（（2）x 4-9=（x 2+3）（x 2-3）=（x 2+3）（）（ (3)略21.1 二次根式(3)第三课时教学内容a （a ≥0） 教学目标理解（a ≥0）并利用它进行计算和化简．（a ≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键1a （a ≥0）． 2．难点：探究结论．3．关键：讲清a ≥0a 才成立． 教学过程 一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1a ≥0）的式子叫做二次根式；2．a ≥0）是一个非负数；3．(2＝a （a ≥0）．那么，我们猜想当a ≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知（学生活动）填空：；=_______．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：；=110=23=37．例1 化简（1（2） （3 （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a ≥0）•去化简．解：（1=3 （2（3（4 三、巩固练习 教材P 7练习2． 四、应用拓展例2 填空：当a ≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a 可以是什么数？（2，则a 可以是什么数？（3，则a 可以是什么数？分析（a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a ≤0-a ≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1）因为，所以a≥0；（2，所以a≤0；（3）因为当a≥0，，即使a>a所以a不存在；当a<0，，即使-a>a，a<0综上，a<0例3当x>2．分析：(略)五、归纳小结（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．六、布置作业1．教材P8习题21．1 3、4、6、8．2．选作课时作业设计．第三课时作业设计一、选择题1．）．A．0 B．23C．423D．以上都不对2．a≥0时，（）．AC．二、填空题1．-=________．2m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│=a，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│答案:一、1．C 2．A二、1．-0．02 2．5三、1．甲甲没有先判定1-a是正数还是负数2．由已知得a-•2000•≥0，•a•≥2000所以=a=1995，a-2000=19952，所以a-19952=2000．3. 10-x21．2 二次根式的乘除第一课时教学内容（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．教学目标理解a≥0，b≥0），（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及它们的运用．难点：发现规律，导出a≥0，b≥0）．关键：要讲清（a<0,b<0）=，如)=或教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1=______；（2=_______=________．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．³_____，³_____，³2．利用计算器计算填空（1，（2（3（4，（5老师点评（纠正学生练习中的错误）二、探索新知（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为反过来例1．计算（1（2（3（4分析：a≥0，b≥0）计算即可．解：（1（2（3==（4例2 化简（1（2（3（4（5）（a≥0，b≥0）直接化简即可．解：（1³4=12（2³9=36（3³10=90（4=3xy（5三、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）①②³(2) 化简练习全部教材P11四、应用拓展例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4³=4解：（1）不正确．³3=6（2）不正确．＝五、归纳小结本节课应掌握：（1＝=（a≥0，b≥0）（a≥0，b ≥0）及其运用．六、布置作业1．课本P1，4，5，6．（1）（2）．152．选用课时作业设计．第一课时作业设计一、选择题1，•那么此直角三角形斜边长是（）．A．．．9cm D．27cm2．化简a）．A．．．3=）A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-14．下列各等式成立的是（）．A．4．C．4³．二、填空题1．．2．自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．三、综合提高题1．一个底面为30cm³30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）=验证：2==（2）验证：3³=同理可得：4==，……通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．答案:一、1．B 2．C 3.A 4.D二、1． 2．12s三、1．设：底面正方形铁桶的底面边长为x，则x2³10=30³30³20，x2=30³30³2，x=．2．验证：===.21．2 二次根式的乘除第二课时教学内容a≥0，b>0），反过来（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．教学目标a≥0，b>0）和a≥0，b>0）及利用它们进行运算．理解利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空；（1，；（2）（3；（4），．3．利用计算器计算填空:，（2，（3=______，（4=________．（1。

人教版九年级上册第21章二次根式第1节二次根式的性质第1课时精品教案教学目标知识技能:使学生初步掌握利用(a )2=a (a ≥0)进行计算.数学思考:乘方与开方互为逆运算在推导结论(a )2=a (a ≥0)中的应用. 解决问题:二次根式的非负性和如何利用(a )2=a (a ≥0)解题.情感态度:通过利用乘方与开方互为逆运算推导结论(a )2=a (a ≥0),使学生感受到数学知识的内在联系.教学重点:应用(a )2=a (a ≥0)进行计算.教学难点:利用二次根式的非负性和利用(a )2=a (a ≥0)解题.教学内容:课本第3至4页.教学过程设计活动一.复习回顾,引入新课.1.问题: (1)3 ，a 有意义吗？为什么？ (2)3表示的意义是什么??利用这几个式子复习被开方式的取值范围和算术平方根的基本形式. ,新知解读.1.请同学们想一想a 有没有可能小于零？为什么？(a ≥0,a ≥0)2.例1.已知6+x +5-y =0，求xy 的值是多少？ 解: ∵ 6+x +5-y =0∴ 6+x ≥0且5-y ≥0∴ 6+x =0且5-y =0即x+6=0且y-5=0 解得x=-6,y=5∴ xy=-30.3.练习:已知a +2+7+b =0， 求a -b 的值. 答案:a -b=5.利用此问题引出初中阶段的第三个非负式.使学生理解非负式的应用..活动三.合作交流,规律探索.1.根据算术平方根的意义填空: (1)(9)2=___ _ (2)(3)2=____ (3)2)51(=___ _ (4)(0)2=___ (5)(a )2=______ (a ≥0)由于a (a ≥0)表示非负数a 的算术平方根，根据平方根的意义，a 的平方等于a ，因此我们就得到一个结论: (a )2=a (a ≥0)2.例2.计算:(1)2)3.2( (2)(25)2 (3)22)3(+m解:(1) 2)3.2(=2.3 (2)(25)2=22×(5)2=4×5=20 (3)(22)3(+m =m 2+33.练习.计算: (1)(5.0)2； (2)(710)2； (3)(372)2； (4)(22b a +)2. 解:(1)(5.0)2=0.5； (2)(710)2=490； (3)(372)2=4912)2=a 2+b 2.学生自己发现规律,他们就更容易记住,逐层深入使学生对≥0）有更深刻的理解,进一步巩固所学内容.活动四.知识梳理,课堂小结. 1.注意二次根式的非负性在解题中的应用；2.(a )2=a (a ≥0)的应用范围，一定要注意；3.请谈一谈本节所学的内容与哪些学过的知识有联系.活动五.知识反馈,布置作业.1.课本第5页第1,2题.2.补充题.计算:(1)2)9( (2)2)11( (3)2)33(- (4)2)5.12(。

二次根式单元教学计划本文介绍一份二次根式单元教学计划，旨在帮助教师系统地设计和实施教学活动，以提高学生的数学能力和推理思维能力。

一、教学目标1. 理解二次根式的定义与性质，能够简化和展开二次根式。

2. 掌握解决二次方程的方法，并能将解表达为二次根式。

3. 发现并探究二次根式在实际生活中的应用。

二、教学内容三、教学方法1. 探究式教学法引导学生通过实例和探究发现二次根式的性质和规律，培养学生的自主学习和思考能力。

2. 演示法通过讲解和演示，详细讲解二次根式的定义、性质、简化和展开方法，帮助学生掌握相关知识点。

3. 实践教学法设计一些基于实际问题的案例，帮助学生发现二次根式的应用实例，并通过实际操作，加深学生对二次根式的掌握和应用能力。

四、教学步骤1. 二次根式的定义与性质引导学生通过几个实例，理解二次根式的定义和性质，并让学生自己总结和归纳。

通过一些实例演示二次根式的简化方法，并设计一些练习题检验学生的掌握情况。

4. 二次方程的解法及二次根式表示法讲解二次方程的解法，通过实例演示和练习，引导学生掌握如何将解表达为二次根式。

5. 二次根式在实际生活中的应用五、教学评价1. 学生课后写作业情况。

2. 学生成绩表现。

3. 学生在课堂上积极参与讨论和实践活动的情况。

4. 组织学生小组展示和演讲，考察学生对二次根式应用的探究和创新能力。

六、反思教学中应该充分考虑学生的实际情况和需求，采用多种教学方法，从实际出发，注重实践和探究，让学生的知识学习产生现实的价值和效果。

教学还应关注学生的个性差异，注重培养学生的创新和思维能力，让学生在实践中发现和解决问题。

同时，教师还应时刻关注学生的学习进度和情况，及时调整教学策略和方法，保证教学质量和效果。

教学目的1．使学生掌握最简二次根式的定义，并会应用此定义判断一个根式是否为最简二次根式；2．会运用积和商的算术平方根的性质，把一个二次根式化为最简二次根式。

教学重点最简二次根式的定义。

教学难点一个二次根式化成最简二次根式的方法。

教学过程一、复习引入1．把下列各根式化简，并说出化简的根据：2．引导学生观察考虑：化简前后的根式，被开方数有什么不同？化简前的被开方数有分数，分式；化简后的被开方数都是整数或整式，且被开方数中开得尽方的因数或因式，被移到根号外。

3．启发学生回答：二次根式，请同学们考虑一下被开方数符合什么条件的二次根式叫做最简二次根式？二、讲解新课1．总结学生回答的内容后，给出最简二次根式定义：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式。

最简二次根式定义中第(1)条说明被开方数不含有分母；分母是1的例外。

第(2)条说明被开方数中每个因式的指数小于2；特别注意被开方数应化为因式连乘积的形式。

2．练习：下列各根式是否为最简二次根式，不是最简二次根式的说明原因：3．例题：例1 把下列各式化成最简二次根式：例2 把下列各式化成最简二次根式：4．总结把二次根式化成最简二次根式的根据是什么？应用了什么方法？当被开方数为整数或整式时，把被开方数进行因数或因式分解，根据积的算术平方根的性质，把开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替移到根号外面去。

当被开方数是分数或分式时，根据分式的基本性质和商的算术平方根的性质化去分母。

此方法是先根据分式的基本性质把被开方数的分母化成能开得尽方的因式，然后分子、分母再分别化简。

三、巩固练习1．把下列各式化成最简二次根式：2．判断下列各根式，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？如果不是，把它化成最简二次根式。

四、小结本节课学习了最简二次根式的定义及化简二次根式的方法。

同学们掌握用最简二次根式的定义判断一个根式是否为最简二次根式，要根据积的算术平方根和商的算术平方根的性质把一个根式化成最简二次根式，特别注意当被开方数为多项式时要进行因式分解，被开方数为两个分数的和则要先通分，再化简。

21.3二次根式的加减(4)教学目的：1、使学生运用平方差公式进行二次根式的混合运算；2、理解两个含二次根式的式子互为有理化因式的概念，并会求含二次根式的代数式的有理化因式；3、会将分母为含两个二次根式的和（或差）的式子进行化简，并求出这些式子的近似值。

教学重点：运用平方差公式进行二次根式的混合运算及将分母为两个二次根式的和（或差）的式子进行化简教学难点：掌握分母有理化的多种方法 教学过程： 一、复习在整式乘法公式中平方差公式是什么？答：22))((b a b a b a -=-+，这个公式对二次根式也适用。

二、新课1、运用平方差公式进行二次根式的混合运算 例1 计算：（1）()()6363-+ （2）()()by ax by ax 5252---问：请同学们观察上面各题中，相乘的两个代数式的结构有什么特点？ 两数的和与这两数的差相乘，可以运用平方差公式，进行计算化简。

解：（1）()()6363-+=22)6()3(-=3-6= -3（2）()()by ax by ax 5252---=()()ax by ax by 2525+---=22)2()5(ax by --=25by-4ax问：上面各题的运算结果有什么共同特点？答：运算结果都是有理数或有理式，不再含有二次根式。

两个含二次根式的代数式，如果它们的积不含有二次根式，我们把这两个代数式叫做 互为有理化因式。

2、互为有理化因式的应用首先要根据互为有理化因式的概念，判断两个含二次根式的式子是否互为有理化因式。

例如：a 与a 或a 2；63+与63-是互为有理式因式。

而a 与a 2，52+与72-不是互为有理式因式。

其次要根据互为有理化因式的概念求出一个含二次根式的代数式的有理化因式。

例2 求下列各式的有理化因式：（1）38a ； （2）625+; (3)ab a -2;（4）b a a +-3； （5）n m n m -++； （6）y x --。

《人教版九年级上册全书教案》第二十一章二次根式教材内容1．本单元教学地主要内容：二次根式地概念；二次根式地加减；二次根式地乘除；最简二次根式．2．本单元在教材中地地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容地基础之上继续学习地，它也是今后学习其他数学知识地基础．教学目标1．知识与技能（1）理解二次根式地概念．（2a≥0）是一个非负数，2=a（a≥0）（a≥0）．（3（a≥0，b≥0）；a≥0，b>0）a≥0，b>0）．（4）了解最简二次根式地概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．2．过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．•再对概念地内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式地计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式地乘（除）法规定，•并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维，•得出二次根式地乘（除）法规定地逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面地计算和化简结果，抓住它们地共同特点，•给出最简二次根式地概念．利用最简二次根式地概念，来对相同地二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简地目地．3．情感、态度与价值观通过本单元地学习培养学生：利用规定准确计算和化简地严谨地科学精神，经过探索二次根式地重要结论，二次根式地乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题地能力．教学重点1．a≥0）a≥0）是一个非负数；2＝a（a≥0）（a≥0）•及其运用．2．二次根式乘除法地规定及其运用．3．最简二次根式地概念．4．二次根式地加减运算．教学难点1a≥0）2＝a（a≥0（a≥0）地理解及应用．2．二次根式地乘法、除法地条件限制．3．利用最简二次根式地概念把一个二次根式化成最简二次根式．教学关键1．潜移默化地培养学生从具体到一般地推理能力，突出重点，突破难点．2．培养学生利用二次根式地规定和重要结论进行准确计算地能力，•培养学生一丝不苟地科学精神．单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：21．1 二次根式3课时21．2 二次根式地乘法3课时21．3 二次根式地加减3课时教学活动、习题课、小结2课时21．1 二次根式第一课时教学内容二次根式地概念及其运用教学目标a≥0）地意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键1a≥0）地式子叫做二次根式地概念；2a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它地图象在第一象限横、•纵坐标相等地点地坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边地长是__________．AC问题3：甲射击6次，各次击中地环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击地方差是S 2，那么S=_________． 老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y ，所以x 2=3．因为点在第一象限，所以，所以）．问题2：由勾股定理得问题3：由方差地概念得. 二、探索新知（a ≥0）•地式子叫做二次根式， （学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0地算术平方根是多少？3．当a<0老师点评:（略）例1．下列式子，哪些是二次根式，1x x>0）、、1x y+x ≥0，y •≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号；第二，被开方数是正数或0．x>0）、（x ≥0，y ≥0）；不是二次1x 、1x y +．例2．当x 在实数范围内有意义？分析：由二次根式地定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13在实数范围内有意义． 三、巩固练习教材P 练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x +11x +在实数范围内有意义？分析+11x +0和11x +中地x+1≠0．解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩ 由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-111x +在实数范围内有意义．例4(1)已知，求x y 地值．(答案:2)(2)=0，求a 2004+b 2004地值．(答案:25) 五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1（a ≥0）地式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业1．教材P 8复习巩固1、综合应用5．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第一课时作业设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式地是（ ）A ．BCD ．x2．下列式子中，不是二次根式地是（ ）A B C D ．1x3．已知一个正方形地面积是5，那么它地边长是（ ）A ．5BC ．15D ．以上皆不对二、填空题1．形如________地式子叫做二次根式．2．面积为a地正方形地边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3地产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b，求a、b地值．第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B二、1（a≥0）23．没有三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：2．依题意得：230xx+≥⎧⎨≠⎩，32xx⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x≠0时，x＋x2在实数范围内没有意义．3.1 34．B5．a=5，b=-4版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures,and design. Copyright is personal ownership.rqyn1。

人教版九年级上册第21章二次根式第1节二次根式的性质第2课时精品教案教学目标知识技能:使学生理解并掌握=,并能利用这一结论进行计算.数学思考:通过对的化简，培养学生分类讨论的思想.解决问题:解决了这一类问题的化简问题.情感态度:培养学生用分类讨论的思想分析生活中出现的不同事物.教学重点:利用2a =a （a ≥0）进行计算和化简.教学难点:当a <0时，2a =-a 这一结论的推导和应用.教学内容:课本第4至5页.教学过程设计活动一.复习回顾,引入新课. (1).(19)2= . (2).(x )2=_______.通过这两道小题是复习旧知识,使学生清楚与本节课的内容不同的地方. 活动二.合作交流,新知探索.1.探索填空.22=_____ 24=_____ 21.0=__ __ 2)32(=_____ 20=_____ 22求的是22算术平方根，即求4的算术平方根是2；同理依次可得:4，0.1，32，0；2.总结得出:当a ≥0时,2a =a.当a ＜0时,2a =-a.3.例1.化简:（1）28；（2）16；（3）22)1(+x .解：（1）28=8；（2）16=24=4；（3）22)1(+x =x 2+1.4.练习.计算：（1）23.0； （2）2)72( （3）25； （4）210-.解：（1）23.0=0.3；（2）72)72(2=. （3）25=5；（4）210-=10-1=0.1.使学生理解2a （a ≥0）实际上是求a 2的算术平方根.培养学生的分析理解能力. 活动三.拓展升华,知识应用.1.议一议：2)4(-=_______=______；2)5(-=_______=______；2)10(-=______=______； 由上可知,2a 需要a 的范围吗？为什么？2a 当a<0时，2a =？2a = (a ≥0)= (a <0). 2.例2.计算:（1）2)3(-；（2）287⎪⎭⎫ ⎝⎛-；（3）2)1(-m . 解:（1）2)3(-=3 （2）287⎪⎭⎫ ⎝⎛-=87 （3）2)1(-m =m-1 (m ≥1)=1-m （m<1）.3.代数式定义:用运算符号把数和字母连接起来的式子,叫做代数式.例如: 7,a , x+y,-2ab, t s, m 2,25,等都是代数式.引导学生从特殊到一般归纳完整的2a 化简的结论.并通过例题进一步使学生对2a 的化简有更深刻的理解.介绍代数式的定义是为今后的学习代数式化简做好准备. 活动四.知识巩固,课堂练习.课本第5页小练习.活动五.知识梳理,课堂小结.1.2a 的化简；2.2a 与（a ）2的区别. 3.代数式定义. 活动五.知识反馈,作业布置.1.课本第6页第4,5,6题.2.补充题. (1)计算：①23 ②26.0 ③410- ④2)(π--.(2)已知直角三角形的两条直角边为 a 和 b ,斜边为 c .①如果 a =12, b =5,求 c ；②如果 a =3, c =4,求 b ；③如果 c =10,b =9,求 a ；④如果 a =b =2,求 c .。

21.2二次根式的乘除(2)教学目标：（1）理解b a ba =()0,0>≥b a ． （2）利用b a ba =()0,0>≥b a 进行运算 教学重点：运用a ≥0，b>0）进行计算和化简． 教学难点：运用a ≥0，b>0）进行计算和化简．教学过程： 一、导入新课分别计算下列各式，并判断各题中的左式与右式的值是否相等？你能发现什么规律吗？请用语言叙述。

（1）94与94； （2）10049与10049； （3）6425与6425。

每题中的左式和右式的值相等。

发现的规律是：两个数的商的算术平方根等于被除数除数的算术平方根除以除数的算术平方根。

二、新课教学上面的规律，同学们能用式子表示吗？式子在什么条件下成立？答：b a ba =()0,0>≥b a 指出：1、这个式子表示的商的算术平方根的性质，即商的算术平方根等于被式的算术平方根除以除式的算术平方根；2、被除式0≥a ，除式0>b ；3、式子b a ba =()0,0>≥b a 可以用来求分式（或分数）的算术平方根。

练习1：选择题：（1）等式1313--=--a a a a 成立的条件是（ ） A 、1≠a B 、3≥a 且1≠a C 、1>a D 、3≥a（2）如果b a是二次根式，应满足的条件是（ ）A 、b a ,同号B 、0,≥≥b o aC 、0,0>≥b aD 、0≥b a例1 化简： （1）49151； （2）1003。

解：（1）49151=7849644964== （2）1003=1003=103练习2：计算：（1）412（2）2563（3）361225例2 化简：（1）24925y x ； （2）4381125b a 。

解：（1）24925y x=yx y x35925224= （2）4381125b a =()()2222955955b aa b aa =⋅练习3：（1）4212116m n （2）6325169y x例3 化简：（1）2509.0421.1⨯⨯； （2）42234984y a a x x +； （3）()()()2789--⋅-.请同学说出各题的解题思路：答(1)中的被除数开方数的分子与分母都是两个因数之积,因此先运用商算术平方根的性质,再运用积的算术平方根的性质将分子与分母别化简。

21.2二次根式的乘除（5）教学目标：（1）理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．（2）通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．教学重点：最简二次根式的运用．教学难点：会判断一个二次根式是否是最简二次根式． 教学过程： 一、导入新课思考：以下二次根式是最简的吗？（1）31； （2）27 （3）26a （4）312a答：（1）不是，31根号里有分母，可以化简为3331⨯⨯=33（根号内没有分母）（2）不是，27=93⨯=33（被开方数27还可以有因数9可以开方）（3）不是，26a =6a （被开方数还有2a 可以开方）（4）不是，312a =a a a ⨯⨯⨯334=232a a （被开方数有分母且有能开方的因式）上述4个小题只有化成右边的形式才是最简的二次根式二、新课：观察上面的计算题，得到结果33、33、6a 及232a a都具有什么特点呢答：1、被开方数的因式是整式；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

满足上面两个条件的二次根式叫做最简二次根式。

例1 指出下列根式中的最简二次根式，并说明为什么。

（1）；（2）； （3）ab 12；（4）。

分析：（1）是，满足最简二次根式的两个条件。

（2）不是，或。

（3）不是，。

（4）是，满足最简二次根式的两个条件。

练习1。

试判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？（1）b a 23； （2）23ab； （3）22y x +； （4）()b a b a >-； （5）35x； （6）xy 8。

指出：从（1）（2）（6）题可以看到如下两个结论。

1、在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；2、在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式。

练习2：（1）、在下列各式中，最简二次根式的式子为（ ）A 、a 16B 、5nm - C 、18a D 、346y x（2）在式子b a ba a x m +++,2,4,5.0,31,182中，是最简二次根式的式子有（ ）A 、3个B 、2个C 、1个D 、0个例2 把下列各式化为最简二次根式： （1）12； （2）b a 245； （3）()38y x +分析：把被开方数分解因式或因数，再利用积的算术平方根的性质及()02≥=a a a 进行化简。

“二次根式”教材分析和教案设计一、教材分析新教材打破了旧教材从定义出发，由理论到理论，按部就班的旧格局，创造出从实践到理论再回到实践，由浅入深，符合认知结构的新模式。

其主要的特点和优点有：（一）以四则运算贯穿全章的始末，使教学有明确的主攻方向。

新教材一改旧教材中概念性质与运算脱节的陈规，以运算为主线进行编排。

对于概念性质则根据它们在运算中所起的作用，穿插介绍，有机地与运算结合。

这样，在教学过程中学生能清楚地认识到，为了解决实际问题必须学习根式运算；为了探求根式运算法则就必须研究根式的概念和性质。

由于学生的学习目的性明确，一开始就带着问题以极大的热情投入学习。

从上章算术平方根的概念出发，很快地掌握了二次根式的意义和基本性质。

紧接着把这些基本性质用到二次根式乘除中去，并且解决了实际问题。

接着教师又提出新的问题，引导学生研究二次根式的化简和加减运算。

这样，一环扣一环，研究一个个运算，解决一个个实际问题，突破一个个难点，最后成功地完成全章的教学任务。

（二）先乘除后加减，由易到难，由简到繁编排教材，符合学生的认识心理。

旧教材先讲二次根式的加减法，后讲二次根式的乘除法。

因为要掌握加减法，就得先研究根式的化简，而根式的化简实际上可以通过根式的乘除来实现，可是乘除法未学，不能超前使用这个工具，只好一个个地从定义出发来化简，这样增加了运算的难度。

新教材克服了旧教材的弊端，先介绍乘除法后介绍加减法，而乘除法比加减法容易学，这样由浅入深，循序渐进地学习，困难不大。

在化简根式时，除了从定义出发外，还可以运用除法。

知识是一种越用越多的财富。

运用乘除法来化简根式，不仅可以复习巩固乘除法则，而且增加了化简根式的工具。

乘除的基础打好了，又增添了化简根式的工具，因而根式加减的困难也就迎刃而解了。

二、教学方法如果把教材比做一张蓝图，那么编者就是这幅蓝图的总设计师，而教师便是忠实的施工员。

首先，施工员要领会设计师的匠心和设计意图，忠实地按图施工。