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课时规范练34《素养分级练》P369基础巩固组1.能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是( )答案:A解析:此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成,是由A 中的平面图形旋转形成的.故选A .2.(2022·广东潮州二模)已知一个圆柱的轴截面为正方形,且它的侧面积为36π,则该圆柱的体积为( ) A.16π B.27πC.36πD.54π答案:D解析:设圆柱底面半径为R ,高为h ,则{ℎ=2R ,2πRℎ=36π,解得{R =3,ℎ=6,∴圆柱的体积V=πR 2h=54π.3.(2022·广东深圳二模)已知一个球的表面积在数值上是它的体积的√3倍,则这个球的半径是( ) A.2 B.√2C.3D.√3答案:D解析:设球的半径为R ,则根据球的表面积公式和体积公式,可得4πR 2=43πR 3×√3,化简得R=√3. 4.(2023·福建福州格致中学模拟)已知一个直三棱柱的高为2,其底面ABC 水平放置的直观图为A'B'C',如图所示,其中O'A'=O'B'=O'C'=1,则此三棱柱的表面积为( )A.4+4√2B.8+4√2C.8+4√5D.8+8√5答案:C解析:由斜二测画法可得底面的平面图如图所示,其中OA=2OB=2OC=2,所以AB=AC=√5,所以此三棱柱的表面积S=2×12×2×2+(2+2√5)×2=8+4√5.5.(2022·山东菏泽一模)如图1,在高为h的直三棱柱容器ABC-A1B1C1中,AB=AC=2,AB⊥AC.现往该容器内灌进一些水,水深为2,然后固定容器底面的一边AB于地面上,再将容器倾斜,当倾斜到某一位置时,水面恰好为A1B1C(如图2),则容器的高h为()图1图2A.3B.4C.4√2D.6答案:A解析:在图1中V水=12×2×2×2=4,在图2中,V水=V ABC-A1B1C1−V C-A1B1C1=12×2×2×h-1 3×12×2×2×h=43h,∴43h=4,∴h=3.6. (2022·广东佛山二模)如图,某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成,且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为36π的球的球面上,若圆柱的高为2,则圆锥的侧面积为()A.2√6πB.4√6πC.16πD.16π3答案:B解析:依题意,作球的剖面图,其中,O 是球心,E 是圆锥的顶点,EC 是圆锥的母线.设球的半径为R ,则43πR 3=36π,R=3.∵圆柱的高为2,∴OD=1,DE=3-1=2,DC=√32-12=2√2,母线EC=√22+8=2√3.∴圆锥的侧面积S=12·EC ·2π·DC=12×2√3×2π×2√2=4√6π.故选B .7.(2022·全国甲,理9)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S 甲和S 乙,体积分别为V 甲和V 乙.若S 甲S 乙=2,则V 甲V 乙=( )A.√5B.2√2C.√10D.5√104答案:C如图,甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆,设圆的半径(即圆锥的母线长)为3,则圆的周长为6π,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r 1,r 2,高分别为h 1,h 2,则2πr 1=4π,2πr 2=2π,则r 1=2,r 2=1,由勾股定理得,h 1=√5,h 2=2√2,所以V 甲V 乙=13πr 12ℎ113πr 22ℎ2=2√512×2√2=√10.故选C .8.(多选)(2023·广东广州高三检测)某班级到一工厂参加社会实践劳动,加工出如图所示的圆台O 1O 2,在轴截面ABCD 中,AB=AD=BC=2 cm,且CD=2AB ,则( )A.该圆台的高为1 cmB.该圆台轴截面面积为3√3 cm 2C.该圆台的体积为7√3π3cm 3 D.一只小虫从点C 沿着该圆台的侧面爬行到AD 的中点,所经过的最短路程为5 cm 答案:BCD解析:如图,作BE⊥CD交CD于点E,易得CE=CD-AB2=1,则BE=√22-12=√3,则圆台的高为√3 cm,故A错误;圆台的轴截面面积为12×(2+4)×√3=3√3(cm2),故B正确;圆台的体积为13×√3×(π+4π+√π·4π)=7√3π3(cm3),故C正确;由圆台补成圆锥,可得大圆锥的母线长为4 cm,底面半径为2 cm,侧面展开图的圆心角θ=2π·24=π,设P为AD的中点,连接CP,可得∠COD=π2,OC=4,OP=3,则CP=√42+32=5,从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点,所经过的最短路程为5 cm,故D正确.故选BCD.9. (2023·湖南长沙一中高三检测)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱AB,BC,CD,DA的中点,将该正方体挖去两个四分之一圆锥,得到如图所示的几何体,则该几何体的体积为.答案:8-π3解析:∵该几何体为正方体挖去两个四分之一圆锥,圆锥底面圆半径R=1,高h=2,∴该几何体的体积V=23-12×13×π×12×2=8-π3.10.(2022·福建漳州一模)某中学开展劳动实习,学习加工制作包装盒.现将一张足够用的正方形硬纸片加工制作成轴截面的顶角为60°,高为6的圆锥形包装盒,若在该包装盒中放入一个球形冰淇淋(内切),则该球形冰淇淋的表面积为.答案:16π解析:如图,由题意知,∠BAC=60°,AO1=6,故在Rt△AO1C中,AC=4√3,O1C=2√3.设内切球球心为O,半径为R,则OD=OO1=R.在Rt△ADO中,∠OAD=30°,所以2R=6-R,解得R=2.所以该球形冰淇淋的表面积S=4πR2=16π.综合提升组11. (2022·山东青岛二模)《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语,指的是一段类似隧道形状的几何体.如图,羡除ABCDEF 中,底面ABCD 是正方形,EF ∥平面ABCD ,EF=2,其余棱长都为1,则这个几何体的外接球的体积为( )A.√2π3B.4π3C.8√2π3D.4π答案:B解析:连接AC ,BD 交于点M ,取EF 的中点O ,连接OM ,则OM ⊥平面ABCD ,取BC 的中点G ,连接FG ,作GH ⊥EF ,垂足为H ,如图所示.由题意可知,HF=12,FG=√32,所以HG=√FG 2-HF 2=√22,所以OM=HG=√22.又AM=√22,所以OA=√OM 2+AM 2=1.又OE=1,所以OA=OB=OC=OD=OE=OF=1,即这个几何体的外接球的球心为O ,半径为1,所以这个几何体的外接球的体积为V=43×π×13=43π.12. (2022·山东泰安三模)如图,已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是等腰直角三角形,AA 1⊥底面ABC ,AC=BC=2,AA 1=4,点D 在上底面A 1B 1C 1(包括边界)上运动,则三棱锥D-ABC 的外接球表面积的最大值为( )A.81π4B.24πC.243π16D.8√6π答案:B解析:因为△ABC 为等腰直角三角形,AC=BC=2,所以△ABC 的外接圆的圆心为AB 的中点O 1,且AO 1=√2.连接O 1与A 1B 1的中点E ,则O 1E ∥AA 1,所以O 1E ⊥平面ABC.设球的球心为O ,由球的截面性质可得O 在O 1E 上,设OO 1=x ,DE=t (0≤t ≤√2),球的半径为R.因为OA=OD=R ,所以√2+x 2=√(4-x)2+t2,所以t2=8x-14.又0≤t≤√2,所以74≤x≤2.因为R2=2+x2,所以8116≤R2≤6,所以三棱锥D-ABC的外接球表面积的最大值为24π.13.(多选)(2022·山东滨州二模)在边长为4的正方形ABCD中,如图1所示,E,F,M分别为BC,CD,BE的中点,分别沿AE,AF及EF所在直线把△AEB,△AFD和△EFC折起,使B,C,D三点重合于点P,得到三棱锥P-AEF,如图2所示,则下列结论正确的是()图1图2A.PA⊥EFB.三棱锥M-AEF的体积为4C.三棱锥P-AEF外接球的表面积为24πD.过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得截面的面积的取值范围为[π,6π]答案:ACD解析:由题意,将三棱锥补形为长方体,其中PA=4,PE=2,PF=2,如图所示.对于A,因为AP⊥PE,AP ⊥PF,PE∩PF=P,PE,PF⊂平面PEF,所以AP⊥平面PEF,又EF⊂平面PEF,所以PA⊥EF,故A正确;对于B,因为M为PE的中点,所以V M-AEF=12V P-AEF=12V A-PEF=12×13×12×2×2×4=43,故B错误;对于C,三棱锥P-AEF的外接球即为补形后长方体的外接球,所以外接球的直径2R=√22+22+42=2√6,所以三棱锥P-AEF外接球的表面积为S=4πR2=24π,故C正确;对于D,过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得截面为圆,其中最大截面为过球心O的大圆,此时截面圆的面积为πR2=π(√6)2=6π,最小截面为过点M且垂直于球心O与M连线的圆,此时截面圆半径r=√R 2-OM 2=√6-5=1,截面圆的面积为πr 2=π,所以过点M 的平面截三棱锥P-AEF 的外接球所得截面的面积的取值范围为[π,6π],故D 正确.故选ACD .14.十字贯穿体(如图1)是美术素描学习中一种常见的教具.如图2,该十字贯穿体由两个全等的正四棱柱组合而成,且两个四棱柱的侧棱互相垂直,若底面正方形边长为2,则这两个正四棱柱公共部分所构成的几何体的内切球的体积为 .图1图2答案:4π3解析:该几何体的直观图如图所示,这两个正四棱柱公共部分所构成的几何体为两个全等的四棱锥S-ABCD 和P-ABCD.设内切球的半径为R ,AC 的中点为H ,由题意,H 为内切球的球心,连接BH ,SH ,可知SH 即为四棱锥S-ABCD 的高,在Rt △ABH 中,BH=√AB 2-AH 2=√6-2=2.又AC=SB=2√2,∴S 四边形ABCD =12×2√2×2×2=4√2.又BH=SH ,∴V S-ABCD =13SH ·S 四边形ABCD =13×2×4√2=8√23.由八个侧面的面积均为2√2,∴13R ×2√2×8=2×8√23,得R=1.故几何体的内切球的体积为4π3.创新应用组15.如图,“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象,重叠后的底面为正方形,直三棱柱的底面是顶角为120°,腰为3的等腰三角形,则该几何体的体积为( )A.23B.24C.26D.27答案:D解析:该几何体由直三棱柱AFD-BHC 及直三棱柱DGC-AEB 组成,作HM ⊥CB 于M ,如图.因为CH=BH=3,∠CHB=120°,所以CM=BM=3√32,HM=32.因为重叠后的底面为正方形,所以AB=BC=3√3.在直棱柱AFD-BHC 中,AB ⊥平面BHC ,则AB ⊥HM.由AB ∩BC=B ,可得HM ⊥平面ADCB.设重叠后的EG 与FH 的交点为I,则V I -BCDA =13×3√3×3√3×32=272,V AFD-BHC =12×3√3×32×3√3=814,则该几何体的体积V=2V AFD-BHC -V I -BCDA =2×814−272=27.。
课时规范练30《素养分级练》P367基础巩固组1.(2023·吉林长春高三月考)下列结论正确的是( )A.若向量m ,n 共线,则向量m ,n 的方向相同B.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上C.在△ABC 中,若D 是BC 中点,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) D.若a ∥b ,则∃λ∈R 使a =λb 答案:C解析:若m ,n 共线,则m ,n 的方向不一定相同,故A 错误;在平行四边形ABCD 中,满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,但A ,B ,C ,D 不在同一条直线上,故B 错误;易知C 正确;若a 为非零向量,b 为零向量,则a ∥b ,此时不存在λ∈R ,使得a =λb ,可知D 错误.故选C .2.如图,D ,E ,F 分别是△ABC 的边AB ,BC ,CA 的中点,则下列等式错误的是( )A.FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE⃗⃗⃗⃗⃗ =0 B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 C.FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 答案:D解析:FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故A 正确;AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故B 正确;FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =FE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故C 正确;AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +0=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故D 错误.故选D . 3.已知向量a =e 1-2e 2,b =2e 1+e 2,c =-6e 1+2e 2,其中e 1,e 2不共线,则a +b 与c 的关系为( ) A.不共线 B .共线 C.相等 D .无法确定答案:B解析:∵a +b =3e 1-e 2,∴c =-2(a +b ),∴a +b 与c 共线.故选B .4.(2023·山西临汾高三月考)P 是△ABC 所在平面内一点,若CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则S △ABP ∶S △ABC =()A.1∶4B.1∶3C.2∶3D.2∶1答案:A解析:由已知得3PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CP⃗⃗⃗⃗⃗ ,故C ,P ,A 共线且CP=3PA (如图所示).所以S △ABP ∶S △ABC =1∶4.故选A .5.已知向量e 1与e 2不共线,且向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+m e 2,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n e 1+e 2,若A ,B ,C 三点共线,则实数m ,n 满足的条件是( ) A.mn=1 B .mn=-1 C.m+n=1 D .m+n=-1答案:A解析:因为A ,B ,C 三点共线,所以一定存在一个确定的实数λ,使得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以有e 1+m e 2=n λe 1+λe 2,由此可得{1=nλ,m =λ,所以mn=1.故选A .6.(多选)四边形ABCD 为边长为1的正方形,M 为边CD 的中点,则( ) A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =1 答案:BD解析:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故A 错误;AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故B 正确;MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故C 错误;AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )· BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,由BC ⊥DM ,得DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +0=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=1,故D 正确.故选BD .7.在△ABC 中,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ= . 答案:2解析:由BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以λ=2. 8.矩形ABCD 的对角线相交于点O ,E 为AO 的中点,若DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ为实数),则λ2+μ2= . 答案:58解析:因为DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )-AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以λ=14,μ=-34,故λ2+μ2=116+916=58.9.在等腰梯形ABCD 中,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,M 为BC 的中点,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (用a 和b 表示);当x= 时,|b -x a |最小. 答案:32a +12b -12解析:∵M 为BC 的中点,∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12a +12b +12×2a =32a +12b .如图,设AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x a ,则b -x a =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴当ED ⊥AB 时,|b -x a |最小,此时由几何知识易得x=-12.综合提升组10.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图,某人仿照赵爽弦图,用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形,其中E ,F ,G ,H 分别是DF ,AG ,BH ,CE 的中点,若AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则xy=( )A.625 B.-625C.825D.-825答案:C解析:由题意,可得AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CH ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14CE⃗⃗⃗⃗⃗ .因为四边形EFGH 是平行四边形,所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =-CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=45,y=25,则xy=45×25=825.故选C .11.(2023·浙江金华高三开学考试)已知A ,B ,C 是圆O 上的三点,CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m+n 的取值范围是 . 答案:(-1,0)解析:由于点D 在圆外,则OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且k<-1.又OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =km OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +kn OB ⃗⃗⃗⃗⃗ .又D ,A ,B 三点共线,所以km+kn=1,m+n=1k ,而k<-1,所以m+n ∈(-1,0).创新应用组12.(2023·安徽蚌埠高三月考)如图,在△ABC 中,点O 在边BC 上,且OC=2OB.过点O 的直线分别交射线AB ,射线AC 于不同的两点M ,N ,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2m+n 的值等于 ;若tm+tn ≥2+√2恒成立,则实数t 的最小整数值为 .答案:3 2解析:连接AO ,因为OC=2OB ,所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23mAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13nAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .又M ,O ,N 共线,所以23m+13n=1,则2m+n=3.显然t>0,所以tm+t n≥2+√2等价于1m+1n≥2+√2t .因为1m+1n=131m+1n (2m+n )=133+2m n+nm ≥1+23√2,当且仅当n=√2m 且2m+n=3,即m=3-3√22,n=3√2-3时,1m+1n 取最小值1+23√2=(√2+1)23.于是(√2+1)23≥(√2+1)√2t,所以t ≥6-3√2,故实数t 的最小整数值是2.。
