高二数学新人教版选修A版选修45课件：第2章 证明不等式的基本方法 2.1 比较法.ppt

∴假设不成立，∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于12.
证法二：假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于12， 则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2， 而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥|f(1)＋f(3)－2f(2)| ≥f(1)＋f(3)－2f(2) ＝(1＋b＋c)＋(9＋3b＋c)－2(4＋2b＋c)＝2. 两式显然矛盾，∴原假设不成立． ∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于21.
反证法
• 1．要证不等式M>N，先假设M≤N，由题设及其他性 质，推出矛盾，从而肯定M>N成立．凡涉及证明不 等式为否定性命题，唯一性命题或是含“至多”、 “至少”等字句时，可考虑使用反证法．
• 2．反证法证明不等式的步骤是：反设(假设不等式 的结论不成立)→归谬(从假设出发，经过推理论证， 得出矛盾)→断言(由矛盾得出反设不成立)．反证法
证法二：∵|x＋y|≤|x|＋|y|，∴|x|＋|y|－|x＋y|≥0. 由真分数性质ba<ab＋ ＋mm(0<a<b，m>0)知 1＋|x＋|x＋y|y|≤1＋|x＋|x＋y|＋y|＋|x||＋x|＋|y||－y|－|x＋|x＋y| y| ＝1＋|x||＋x|＋|y||y|≤1＋|x||x|＋1＋|y||y|. 即1＋|x＋|x＋y| y|≤1＋|x||x|＋1＋|y||y|成立．
(7)利用常用结论：
①1＝ k
2 k＋
k>
2 k＋
k＋1＝2(
k＋1－
k)，
1＝ k
2 k＋
k<
2 k＋
k－1＝2(
k－
k－1)(k∈N＋，k&g－1 1－1k；k12>kk＋1 1＝1k－k＋1 1(程度大)；

a2 a
ab
ab 2 abba.
【拓展提升】比较法证明不等式的方法与步骤 1.作差比较法 (1)作差比较法的一般步骤是：作差、变形、判断符号、得出 结论.其中,变形整理是关键,变形的目的是为了判断差的符号,常 用的变形方法有:因式分解、配方、通分、拆项、添项等. (2)若所证不等式的两边是整式或分式多项式时，常用作差比 较法.
第二节 证明不等式的基本方法、数学 归纳法证明不等式
1.比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种
理论依 据
适用类 型
作差比较法 a>b⇔_a_-_b_>_0_ a<b⇔_a_-_b_<_0_ a=b⇔_a_-_b_=_0_
作商比较法 b>0, a >1⇒a>b
b
b<0, a >1⇒a<b
(5)数学归纳法的第一步n的初始值一定为1.( )
【解析】(1)错误.若x-y<0，则有x+2y<x-y.
(2)正确.∵a>b>-1,∴a+1>b+1>0, 1 1 .
a 1 b 1
(3)错误.
b1b a1 a
a∵aba>b1a>, 0,∴a-b<0,
a(a+1)>0,b1b,st.
a1 a
(4)错误.该不等式无论用作差法还是作商法都不好证明，最好
【互动探究】在本例(2)的条件下，证明
ab
ab 2
abba.
【证明】
abba
ab
ab 2
ba ab
a 2 b 2
(b)a2b， a
当a=b时，( b
)
a
2

2
基本不等式
我们已 经 学 过 重 要 不等式 a b 2ab2 Nhomakorabea2
a, b R , 为了方便同学们学习下面将它 ,
以定理的形式给出并给出证明 , .
定理1
如果 a, b R, 那么a b 2ab, 当
2
2
且仅当a b时, 等号成立 .
证明 因为 a b 2 ab a b 0 , 当且仅
2 2 2
a b 时等号成立 成立 .
, 所以 , 当且仅当 a b 时 , 等号
探究 你能从几何的角度解释 定理1 吗?
A
如果把实数 , b作为线段 a 长度那么可以这样来解 释定理1 :
借助几何画板 解释定理1 .
B H
I
K
b
D
G
F
a
b
J
a
C
b
E
图 1 .1 2
以 a b 为例 , 如图 1 . 1 2 , 在正方形 a ; 在正方形 S 正方形
1设总造价为S元, AD长为x米, 试建立S关于x的函数
关系式;
2 当x为何值时S最小, 并求出这个最小值 .
解
2
1 设 DQ
y米 , 则
D
2
H
Q
G
x 4 xy 200 ,
从而 y 200 x 4x
2
P
N F
C B
A
M E
.
于是
2
S 4200 x 210 4 xy 80 2 y
C B
M E
2 4000 x
400000 x
2
80000 ,

⇓ 第2步:利用基本不等式和已知条件得到a,b,c之间的不等关系
⇓ 第3步:代入求得函数值
⇓ 第4步:根据对数函数单调性得到结论
探究一
探究二
规范解答
失误警示通过阅卷统计分析,造成失分的主要原因是: (1)解答的开始没有给出结论,一开始就进行证明.对于这类问题, 应该先回答问题的结论,然后再进行证明; (2)忽视了基本不等式等号成立的条件而直接得到a+c≥2√������������ ; (3)对对数的运算性质不熟练导致变形出现错误,从而无法继续证 明; (4)不能从函数的单调性出发联系要证明的结论,导致证明无法继 续.
2
≥
3������1
+������2 2
-2·������1
+2 ������2,
因此要证3������1
+3������2 2
-(x1+x2)≥3������1+2 ������2
-(x1+x2),
即证3������1 +3������2
2
≥
3������1
+������2 2
,
因此只需证3������1 +3������2
sin2θ=sin2
������(1-cos2������) cos2������
=
sinc2o������s·2si���n��� 2������=sin2θtan2θ=右边,所以等式成立”,运
用了( )
A.分析法
B.综合法
C.综合法、分析法综合使用
D.间接证明法
解析：证明过程是由左到右,顺推证明,是综合法.
∴1
������
+
1 ������

∵ a , b 是正数，且 a b ,∴ a b 0 , (a b)2 >0
∴ (a3 b3 ) (a2b ab2 ) >0,∴ a 3 b3 a 2b ab2
注：比较法是证明不等式的基本方法，也是 最重要的方法,另外， 有时还可作商比较(如课本 第 22 页例 3).
课堂练习:
1 1 x y 1.已知 a, b, x, y R 且 , x y ,求证: . a b xa yb 2.(课本第 23 页习题 2.1 第 4 题)已知 a, b, c 是正数,

求证: a 2a b2b c 2c ≥ a b c ba c c a b 3.(课本第 22 页例 2)已知 a , b, m 都是正数,并且 a b ,
∴a b 若实数 x 1 ，求证： 3(1 x 2 x4 ) (1 x x 2 )2 . 2.非负实数 x1、x2，且 x1+x2≤1， 求证： 1 x1 1 x2 ≥ 1 x1 x2 1 3.已知 a , b 是不相等正数,且 a3 b3 a2 b2 ,
尝试2 尝试3
思考一：已知 a , b 是正数，且 a b ，求证：a 3 b3 a 2b ab2
尝试 2：转化尝试，就是不断寻找并简化欲证不等式成 立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件 为止. 其逻辑关系是： B B1 B2 Bn A . 证明：∵ a 0, b 0, 且a b ∴要证 a3 b3 a 2b ab2 ,只要证 (a b)(a2 ab b2 ) ab(a b) ,
4 求证: 1 a b . 3
4. 比较 loga (1 x) 与 loga (1 x)

第二讲 证明不等式的基本方法 一比较法
【自主预习】 比较法的定义 比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两 种.
(1)作差比较法:要证明a>b,只要证明_a_-_b_>_0_;要证明
a<b,只要证明______.这种证明不等式的方法,叫做作 a-b<0
差比较法.
(2)作商比较法:若a>0,b>0,要证明a>b,只要证明
【失误案例】
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错误的根本原因是应用不等式的性质,或对差式 的变形不彻底而引起的.
【解析】由②c-b=(a-2)2≥0,,所以b-a=a2-a+1= (a 1)2 3＞0.
所以b>a,故c≥b>a.
24
ab
ab 2 .
2.将典例中的条件改为“a>b>c>0”,求证:
a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.
【证明】由a>b>c>0,得ab+cbc+aca+b>0,a2ab2bc2c>0.
所证不等式左边除以右边,得
=aa-baa-cbb-cbb-acc-acc-b=
a 2a b2bc2c a b bc cacab
【变式训练】1.(2015·浙江高考)有三个房间需要粉 刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间 颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分 别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位: 元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的 总费用(单位:元)是( )
类型二 作商比较法

思路点拨 由于两边都是低次的整式，宜用作差法.
【证明】 (1)a2＋b2－2(a－b－1) ＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0， ∴a2＋b2≥2(a－b－1). (2)bc2＋ca2＋ab2－(b2c＋c2a＋a2b) ＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－a2b) ＝c2(b－a)＋c(a－b)(a＋b)＋ab(b－a) ＝(b－a)(c2－ac－bc＋ab) ＝(b－a)(c－a)(c－b)， ∵a>b>c，∴b－a<0，c－a<0，c－b<0. ∴(b－a)(c－a)(c－b)<0， ∴bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b.
解，然后得出结论.
【解析】 设原来的窗户面积与地板面积分别为 a，b， 窗户面积和地板面积同时增加的面积为 c，且ab≥10%. 则现有的窗户面积与地板面积分别为 a＋c 与 b＋c， 于是原来窗户面积与地板面积之比为ab，面积均增加 c 以 后的窗户面积与地板面积之比为ab＋＋cc，因此要确定采光条件的
题型三 比较法的实际应用 建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地
板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比不应小 于 10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好.问同时 增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好 了，还是变坏了？请说明理由.
思路点拨 先建立数学模型，再利用不等式的知识求
a＋b 综上可知，对任意实数 a、b，都有 aabb≥(ab) 2 .
●方法技巧 (1)当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数不等式 时，常采用作商比较法. (2)作商比较法的证明步骤是：判断符号、作商、变 形、判断与1的大小.
变式训练
2.已知a>2，求证：loga(a－1)<log(a＋1)a.

【例 1】 已知 a>0，a>0,c>0 且互不相等，求证：bac＋cba
＋acb＞a＋b＋C．
【解题探究】 不等式中 a，b，c 为对称的且两边都是和 式，所以从基本不等式入手，再根据不等式的可加性导出证明 的结论．
【解析】因为 a>0，a>0,c>0 且互不相等，
所以bac＋cba＞2 bac·cba＝2C．
【答案】a2＋b2 【解析】取 a＝13，b＝23，则 a2＋b2＝59，2ab＝49， 因为 0＜a＜b，所以 a2＋b2＞a2＋ab＝a(a＋b)＝a， a2＋b2＞2ab，a2＋b2＞a＋2b2＝12.所以最大的是 a2＋b2.
4．已知 a>0，a>0,c>0 且 a＋b＋c＝1，求a＋1a＋b＋1b＋
【解题探究】 要证不等式左边是积的结构，且条件是和 x＋y＋z 为定值 1，所以可通过基本不等式将和转化为积．
【解析】∵x＋y＋z＝1， ∴(1－x)(1－y)(1－z)＝(y＋z)(z＋x)(x＋y)． 又∵x>0，y>0,z>0,∴(y＋z)(z＋x)(x＋y)≤y＋z＋z＋3 x＋x＋y3 ＝[2x＋2y7＋z]3＝287， 当且仅当 x＝y＝z＝13时取等号． 故(1－x)(－ab－ac－bc ＝12(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc) ＝12[(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2]≥0， 则 a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc(当且仅当 a＝b＝c 取得等号)．
和式与积式的转化
【例 2】 若 x>0，y>0,z>0 且 x＋y＋z＝1，求证：(1－x)(1 －y)(1－z)≤287.
b＋12≤2.
∴a＋b≥2 ab，即 ab≤14，当且仅当 a＝b＝12时等号成立．

12/8/2021
第五页，共三十三页。
温馨提示 使用作商比较法证明不等式 a＞b 时，一 定要注意 b＞0 这个前提条件．
12/8/2021
第六页，共三十三页。
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)当b＞0时，a＞b⇔ab＞1.( ) (2)当b＞0时，a＜b⇔ab＜1.( ) (3)当a＞0，b＞0时，ab＞1⇔a＞b.( ) (4)当 ab＞0 时，ab＞1⇔a＞b.( )
第二讲 证明(zhèngmíng)不等式的，共三十三页。
2．1 比较法
12/8/2021
第二页，共三十三页。
[学习目标] 1.理解用比较法证明不等式的一般方法 与步骤(重点)． 2.了解比较法分为作差比较法、作商比 较法． 3.会用比较法证明具体的不等式(重点、难点)．
第十七页，共三十三页。
[变式训练] 已知 a＞b＞c，证明：a2b＋b2c＋c2a＞ ab2＋bc2＋ca2.
证明：a2b＋b2c＋c2a－ab2－bc2－ca2＝(a2b－bc2)＋
(b2c－ab2)＋(c2a－ca2)＝b(a2－c2)＋b2(c－a)＋ac(c－a)＝
(a－c)(ba＋bc－b2－ac)＝(a－c)(a－b)(b－c)．
12/8/2021
第七页，共三十三页。
解析：对于(1)，当 b＞0 时，a＞b，两边同除以 b， 所以ab＞1，所以(1)正确；对于(2)，当 b＞0 时，a＜b，两 边同除以 b，所以ab＜1，所以(2)正确；对于(3)，当 a＞0， b＞0 时，ab＞1，两边同乘以 b，所以 a＞b，所以(3)正确；
12/8/2021
第三十一页，共三十三页。
2．用比较法证明不等式时，当差式或商式中含有字 母时，一般需对字母的取值进行分类讨论．