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第九章 微分方程

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第九章微分方程1

第九章微分方程1

故所求函数为 s 1 t 3 2t 5
3
4
1. 微分方程 含有未知函数及其导数的等式.
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程.
未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x , (t 2 x)dt xdx 0,
2. 微分方程的阶
微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数。
解: 分离变量得:
dy 2xdx, y
两边积分得
:
dy y
2 xdx,
ln | y | x2 C1, C1是任意常数.
| y | e x2C1 eC1e x2 ,
y eC1e x2 ,
记 eC1 C, 得 : y Ce x2 ,C是任意常数.
此题也可以这样求解 : 两边积分得 : ln y x2 lnC,
dy 3x2, (1) dx
(1)的两边积分得: y 3x2dx x3 C, C是任意常数,
由y(1)=2, 得: 1+C=2, C=1,
所求曲线方程为: y x3 1.
3
例2.一物体作变速直线运动，开始时(t 0秒)离点O的距离为5米，
速度为 2 m / s．现以 2t m / s2 的加速度远离点O． 求物体离点 O 的距离 s 与时间 t 的函数关系 s s(t)．
y y( x)所满足的方程。
解：如图所示
y A(0, a) Q( x, y) y y(x)
a
dy y dx | NP | 又 y(0) a
y a2 y2
0 N Px
所以这是一个初值问题，
即
y
y a2 y2
y(0) a
14
例7.有一半径为1 (m)的半球形容器, 盛满水, 水从底部小孔流出. 已知小孔截面积A=1(cm2). 从水力学知: 当水面高度为h (cm)时,

常微分方程

常微分方程

dy y
P(
x)dx,
ln | y | P( x)dx lnC1 ,(C1为任意常数)
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx (C eC1 )
17
2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x) dx
线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.
线性齐次方程的通解是 Ce P( x)dx ,
（3）检验改进模型， 观察所得的解能够在多大程度或范围上反映实际问题，
用实际问题检验该模型， 如果存在问题，则需研究， 改进模型.
27
例 冷却问题 将一个温度为50º的物体，放在20º的恒温 环境中冷却，求物体温度变化的规律.
解 冷却定律：“温度为T的物体，在温度为 T0 的环境中 冷却的速率与温差T T0成正比.” 设物体的温度T与时间 t的函数关系为 T T (t),
(t2 x)dt xdx 0 一阶 z x y 一阶
x
未知函数是一元函数的方程为 常微分方程;
未知函数是多元函数的方程为 偏微分方程.
方程中所出现的导数的最高阶数称为 微分方程的阶.
一般的n阶微分方程为 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
或已解出最高阶导数 y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
9.4 微分方程的应用问题
例 把“大气压随高度变化而降低的速率与所在高度 处的气压成正比”所含关系表示出来.
解：第一步，设未知函数：
设大气压P和高度x之间的函数关系为 P P(x),
大气压随高度变化的速率为 dP
dx
第二步，根据条件写出方程 dP P, 为比例系数，
dx
第三步，取比例系数为正：因 dP 0， 故 0，
第九章 常微分方程

30第九章 连续时间：微分方程

30第九章 连续时间：微分方程

• 索罗—斯旺新古典增长模型 新古典生产函数 Y Y (K, L) 边际产品为正但递减
Y K
2Y 0, K 2
0
Y L
0,
2Y L2
0
一次齐次（规模报酬不变）性
Y (K,L) Y (K, L)
人均项目表示为
y (k)
净投资：
K I K S K sY K
同除 L可得
K / L sy k s(k) k
yk a
该非齐次方程的通解为 y(x) y y(0)eax
定义
• y(x) y，y 收敛于y ，y 的时间路径是稳定的
在上例中，当且仅当 a 0时，y(x) y
• 伯努利方程
dy ay cym dx
m 其中a 和 c为常数或者 x 的函数， 为任意除0和1之外的
实数，两边同除 ym 可得
形式 P(D)y 0的通解则非齐次方程 P(D) y f (x) 的通解
为 y yc yp 。
第3节 一阶常系数线性微分方程
最简单形式
dy ay f (x) dx
定理 其非齐次方程的特解为
y(x) eax x eas f (s)ds 0
特殊情形 dy ay k dx
其一个特解（潜在均衡点）为
dt
为常系数的一阶线性微分方程，一特解（潜在均衡点）为
通解为
P
ab
P(t) P cegt
其中c为任意常数而g (b a)
当且仅当 g 0时P(t) P ，因 0条件即为b a
在正常商品时，供给曲线不后仰，条件满足
• 马歇尔供求函数：
PD
a
Q a
PS
b
Q b
动态调整过程：
dQ dt

第九章 连续时间：微分方程

第九章 连续时间：微分方程

c c 2 4d (b )
m 两根都为负，时间路径收敛，若两根相等， 1 m2 c / d 都小于零，其时间路径也为收敛的。最后，如果为共轭复 数，其实数部分c / d 小于零， P 的时间路径同样为收敛 的，尽管此时带有不断衰减的循环。
第7节 高阶线性微分方程
• 高阶微分方程
Y 2Y 0, 2 0 K K
Y 2Y 0, 2 0 L L
一次齐次（规模报酬不变）性
Y ( K , L) Y ( K , L)
人均项目表示为
y (k )
净投资：
K I K S K sY K
同除 L 可得
• 瓦尔拉斯均衡
• 马歇尔
• 瓦尔拉斯线性模型：
动态调整过程 dP (QD QS ) dt 代入可得
QD aP QD bP
0
dP (a b) P ( ) dt
为常系数的一阶线性微分方程，一特解（潜在均衡点）为
P

• 情形2：相等实根 辅助方程有相等实根m1 m2 r ，则该齐次方程的通解为
y (c1 c2 x)e
rx
• 情形3：共轭复根 辅助方程根为共轭复根m1 a bi 和 m2 a bi ，齐次方程 的通解为
y eax (c1 cos bx c2 sin bx)t
其中 为任意常数而g (b a) 当且仅当 g 0时 P(t ) P ，因 0 条件即为b a 在正常商品时，供给曲线不后仰，条件满足 • 马歇尔供求函数： Q
c
PD
a Q PS b b
a

其中 y1 不是 y 2的常数倍，则该方程的通解为 y c1 y1 c2 y2 ， 其中 c1 , c2 为任意常数 • 定义 m2 pm q 0 • 辅助方程:

第九章-微分方程与差分方程简介市公开课一等奖省赛课获奖课件

第九章-微分方程与差分方程简介市公开课一等奖省赛课获奖课件

x
C2
例3.求解微分方程
y
y2 ，y(0) 1，y(0) 1. y
解: 设
y
p( y) ，则
y
p
dp dy
代入方程得
p dp p2 ， dy y
p(
dp dy
p y
)
0
p0
27
第27页
（三）不显含自变量 x 二阶微分方程
2
第2页
第一节 微分方程普通概念
例2.设 s=s(t) 为作自由落体运动物体在 t 时刻
下落距离, 则有
d 2s dt 2 g
s(t) g
s g
ds dt
g
ds dt
gt
C1
s(0) 0
s(0)
0
ds gdt
ds gdt
s gt C1
ds ( gt C1 )dt
ds (gt C1 )dt
于价格P线性函数: QS a bP ， QD c dP ，
且 a, b, c, d 都是已知正常数. 当 QS = QD 时, 得
均衡价格 P
ac .
当 QS
> QD 时, 价格将下降,
bd
当 QS < QD 时, 价格将上涨,故价格是时间t 函数.
假设在时刻t价格P(t)改变率与这时过剩需求量
x
因
P(
x)dx
1 x
dx
ln
x
ln
1 x
，
Q(
x)e
P
(
x )dx
dx
1
x 2eln x dx
xdx x2 ，
2
故 y ( x2 C )e(ln x) ( x2 C ) x Cx x3 .

第九章--微分方程与差分方程简介

第九章--微分方程与差分方程简介
19
于是非齐次方程的一个特解为：y* =kxa x-1 x
例5 求解差分方程 2y x+1 − 4y x = 2
解：原方程可化为 y x+1 − 2y x = 2 x % 则相应齐方程的通解为 y x =C ⋅ 2 x 由于p=2=a, 所以原方程的特解应设为 y* = Ax 2 x x 代入原方程得： A(x+1)2 x +1 − 2 Ax 2 x = 2 x , 1 ⇒A= 2 1 x * y x = x 2 =x 2 x -1 于是 2 所以原方程的通解为： y x =x 2 x -1 +C ⋅ 2 x
(2)∆(cyx ) = c∆y x (c为常数)
(3)∆ (ay x + bz x ) = a∆y x + b∆z x , b为常数) (a
(4)∆ ( yx z x ) = yx +1∆z x + z x ∆yx = y∆z x + z x +1∆yx

yx z x ⋅ ∆y x − y x ⋅ ∆z x (5) ∆( ) = zx z x ⋅ z x +1
23
1、二阶齐次差分方程的通解 由9.6节可知，要求齐次差分方程的通解，只需找出 两个线性无关的特解即可。仿照一阶齐次差分方程， 设二阶齐次差分方程存在指数形式的解： y x = λ x , （λ ≠ 0） 代入原方程得：
λ x+2 + pλ x+1 + qλ x = 0
即：
λ x + pλ + q = 0
11
9.6、常系数线性差分方程 、
9.6.1 n阶 系 线 差 方 的 本 质 常 数 性 分 程 基 性 n阶 系 线 差 方 的 般 式 ： 常 数 性 分 程 一 形 为 yx+n +p1yx+n-1+L+pn-1yx+1+pny1 = f (x) 其 ， 1，， n为 知 数 且 n ≠ 0， (x)为 知 数 中 pL p 已 常 ， p f 已 函 。 当 (x)=0时 上 方 则 n阶 系 齐 线 差 方 。 ， 述 程 为 常 数 次 性 分 程 f 当 (x) ≠ 0时 上 方 则 n阶 系 非 次 性 分 程 ， 述 程 为 常 数 齐 线 差 方 。 f

第九章 微分方程


二、确定函数关系式 y c1 sin( x c 2 ) 所含的参数,使其 满足初始条件 y x 1 , yx 0 .
练习题答案
一、1、3； 2、2； 3、1； 4、2.
二、C1 1, C 2 . 2
第九章 微分方程
第二节 一阶微分方程
§9.2 一阶微分方程 复习：
例 y y，
y y 0，
特解 y 2ex；
特解 y 2sin x cos x；
（3）初始条件: 用来确定任意常数的条件. 如：
T
t 0
100
y
x 1
2
一般地，一阶微分方程y' f ( x, y)的初始条件为：
y
x x0
y0
一般地，二阶微分方程y'' f ( x, y, y' )的初始条件为：
通解
特殊情形：
dy f ( x) dx
dy g ( y) dx
y f ( x)dx C
1 g ( y)dy x C
解微分方程：xy ' y ln y 0
解 分离变量
1 1 dy dx y ln y x
ln ln y ln x ln C,
两边积分
ln y Cx,
一阶方程的一般形式为 F ( x , y , y ) 0
初值问题： y f ( x , y )
y x x0 y 0
这个方程虽然简单，但常常很难求出解的表达式 本节只讨论几种特殊类型的一阶微分方程的解法。
教学任务
• 可分离变 量的微分 方程
分离变量法
• 齐次微分 方程
变量代换

第九章 微分方程

C1 + C2 = 1 ⇒ C1 = −1, C2 = 2 C1 − C2 = −3
满足y(0)=1,y’(0)=-6的特解为： 的特解为： 满足 的特解为
y=-e2x+2e-2x
9.2 一阶微分方程
一般形式： 一般形式： 常见形式： 常见形式：
F( x, y, y′) = 0
y′ = f (x, y)
. 例4 求方程xydx + (1+ x2 )dy = 0 通解
解 分离变量 两端积分
x 1 dx + dy = 0 2 1+ x y
1 ln(1+ x2 ) + ln y = ln c 2 c 2 为所求通解 ⇒ y 1+ x = C ∴ y =
1+ x
2
已知某商品需求量Q,对价格 例5:已知某商品需求量 对价格 的弹性ε = −0.02 p 已知某商品需求量 对价格p的弹性 ， 且该商品的最大需求量为200，求需求函数 。 且该商品的最大需求量为 ，求需求函数Q。
y′′ + 2 y′ − 3 y = e , (t 2 + x)dt + xdx = 0,
x
∂x
常微分方程
偏微分方程
实质: 含有未知函数的导数(或微分)的等式. 实质: 含有未知函数的导数(或微分)的等式.
2、微分方程的阶: 微分方程的阶: 微分方程中所含的未知函数的导数的最高阶数称 微分方程中所含的未知函数的导数的最高阶数称 最高 为微分方程的阶. 为微分方程的阶.
正规型
一、可分离变量的微分方程 能化成： 能化成：f(x)dx=g(y)dy 的方程 称为可分离变量的微分方程 解法：分离变量，两边直接积分即可。 解法：分离变量，两边直接积分即可。 例1 求解微分方程 (2x −1)dx − dy = 0 的通解 . 解：分离变量，得 (2x-1)dx=dy 分离变量， 此即所求的通解. 两边积分得： 此即所求的通解 两边积分得：y=x2-x+C,此即所求的通解

第九章 微分方程与差分方程简介

第九章 微分方程与差分方程简介基 本 要 求一、了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。

二、掌握变量可分离的方程、齐次方程和一阶线性方程的求解方法。

三、会用降阶法解下列方程：),(),,(),(//////)(y y y y y y f x f x f n ===。

四、会用微分方程解决一些简单的应用问题。

五、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。

习 题 九1、试说出下列微分方程的阶数：(1)x yy y x =-'2'2)(； ………………………………一阶 (2) 02)(22=+-xydy dx y x ；…………………………一阶 (3)022'''''=++y x y xy ；………………………………三阶 (4)x y y y =++'2''')1(.…………………………………二阶 2、验证下列各题中所给函数是否是所对应的微分方程的解： (1)y xy x y 2,5'2==；解：由x y x y 105'2=⇒= ∴y x xy 2102'== ∴25x y =为y xy 2'=的解.(2) 02,sin '''=-+=xy y xy xxy . 解：∵2''sin cos )sin (x x x x x x y -==，32''sin 2cos 2sin xxx x x x y +--= ∴0sin 22'''≠-=-+x xy y xy ，即xxy sin =不是02'''=-+xy y xy 的解.3、求下列微分方程的通解：(1)0'2=+y y x ；解：x Ce y C x y x dx y dy 12ln 1ln =⇒+=⇒-=(2) xy dxdyx =+)1(2； 解：)1(ln )1ln(21ln 122222x C y C x y x xdx y dy +=⇒++=⇒+=(3) y yex x dx dy 12+=； 解：C x e ye dx x x dy ye yyy++=-⇒+=2322)1(311(4) 3'ln xy xy xy +=；解：C x y y C x y y dx x x dy y y +=+⇒+=+⇒=+24212423)(ln 22)(ln 2142ln )( 4、解下列初值问题：(1)0)1(,12=+=y y dx dy； 解：∵)tan(arctan 12C x y C x y dx y dy+=⇒+=⇒=+ 由10)1(-=⇒=C y ∴)1tan(-=x y (2)1)0(,==-y e dxdyy x ；解：∵C e e dx e dy e x y x y +=⇒=由11)0(-=⇒=e C y ∴1-+=e e e x y (3)1)0(,)1(212-=-+=y y x dx dy ；解：∵C x x y y dx x dy y ++=-⇒+=-222)12()1(2由31)0(=⇒-=C y ∴3222++=-x x y y (4)2)2(,132=++=y x x yx dx dy .解：∵13ln )1ln(213ln 13222+=+⇒++=+⇒+=+x C y C x y x xdx y dy 由52)2(=⇒=C y ∴)1(5)3(22x y +=+ 5、求下列齐次方程的通解： (1)xyx y -='；解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为：xdx u du =-21 积分得：xC x C y Cx u C x u 2222121)21(ln ln 21ln 21-=⇒=-⇒+=--- (2) yx y x y -+='； 解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为dx x du uu u u u u xu 1)111(1122'=+-+⇒-+=+ 积分得：Cx u e C x du u u u =+⇒+=+--212arctan 2)1(ln ln )1ln(21arctan即Cx xy exy =+-2122)1(arctan(3)xy xe y xy +='； 解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为dx xu d e e u dx du x u u u 1)(=--⇒+=+- 积分得：)ln ln(ln x C x y C x e u --=⇒-=--(4)x xy y x y xy -=sin sin' x x yy x y x y -=sin sin /；解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为dx xudu 1sin -=积分得：C x xyC x u +=⇒--=-ln cos ln cos(5) 1,02)3(022==--=x y xydx dy x y .解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为x dx du u u u uu =--++--)]25151(1035[2 积分得：C y x y C x u u u =-⇒+=+----3251225ln ln ln 1065ln 1035ln 216、求下列微分方程的通解：(1) x e y y =-3'；解：2)()(2333xx x x dx x dx eCe C dx e e C dx e e e y -=+=+⎰=⎰⎰-⎰-(2)22'x e y xy =+；解：方程整理为xe y x y x 22'=+∴)2(1)(1)(222222C e xC dx xe x C dx e x e ey x x dx x x dx x+=⎰+=⎰+⎰⎰=-(3)'xy xy e x =+；解：方程整理为xe y y x=-'∴)(ln )1()(C x e C dx xe C dx e x e ey x x dx x dx+=⎰+=+⎰⎰=-⎰ (4))2,2(,1tan ππθθθ-∈=-y d dy ； 解：方程整理为1tan '=⋅-y y θ∴θθθθθθθθθθcos tan )cos (cos 1)(tan tan CC d C d e e y d d +=+=⎰+⎰⎰=⎰- (5))0('>=++-x e y xy xy x；解：方程整理为xe y x x y x-=++1'∴)1()()(ln )ln (11xC e C dx e x e eC dx e xe ey x x x x x x dx xx x dx xx +=+⎰=+⎰⎰=-+-+-⎰+-+-*(6)21y x dx dy +=. 解：方程整理为2'y x x =-∴y y y dydy Ce y y C dy e y e C dy e y e x +---=+=+⎰⎰=⎰⎰-22)()(2227、求下列微分方程的通解： (1)x x y sin ''+=；解：∵12'cos 2)sin (C x x dx x x y +-=+=⎰ ∴⎰++-=+-=21312sin 6)cos 2(C x C x x dx C x x y(2) '''''44y y xy +=； 解：令 (3)0'''=+y xy ；解：令''''P y P y =⇒=，则原方程为dx xP dP P xP 10'-=⇒=+ 积分得x C P C x P 11ln ln ln =⇒+-=，即211ln C x C y xC dx dy +=⇒= (4) 222x dxy d =； 解：∵132'3C x dx x y +==⎰ ∴2141312)3(C x C x dx C x y ++=+=⎰ (5)xy y xy ''''ln =；解：令''''P y P y =⇒=，则原方程为x P x P P ln '=，令dxdu x u P x P u +=⇒=' ∴原方程为xdxu u du =-)1(ln ，积分有2111111)1(1ln ln ln 1ln ln 11C C x C e y e x P x C x P C x u x C x C +-=⇒=⇒=-⇒+=-++(6) '22''')(y y y yy =-； 解：令dy dP Py y P y =⇒=''')(，原方程化为y P ydy dP =-1∴)()1()(11111C y y C dy yy y C dy yeeP dyy dyy +=⎰+⋅⇒+⎰⎰⎰=-∴xC xC e C e C C y dx C dy C y y C y y y 11221111'1)11()(-=⇒=+-⇒+= (7)x x y y sin cot 2'''=+；解：令''''P y P y =⇒=，则原方程为x x P P sin cot 2'=+，即)cos cos 31(csc )sin ()sin (1321321cot 2cot 2C x x x C xdx x csx C dx e x e P xdx xdx +-=+⎰⇒⎰+⎰⋅⎰=-∴2121222cot 3sin 3csc 2csc sin sin 1sin sin )sin 1(31C x C x x xdx C x d x xx d x y +--=+--=⎰⎰⎰ (8)'''''y y =；解：令''''''P y P y =⇒=，则原方程为dx pdP=，积分得x e C P 1= ∴21'C e C y x += ∴321C x C e C y x ++= (9)2,1,30'0''=====x x y y y y .解：令dydP P y y P y =⇒=''')(，原方程化为dy y PdP 3=，积分得12324C y P +=∵2,10'0====x x yy∴由上式得01=C ，即43'2y y =∴24124C x y +=，同理可得22=C ∴2241+=x y8、求下列函数的差分. (1)C y x =（C 为常数）； 解：0=-=∆C C y x (2)x x a y =；解：)1(1-=-=∆+a a a a y x x x x (3)ax y x sin =；解：2sin )21(cos 2sin )1(sin a x a ax x a y x +=-+=∆(4) 2x y x =；解：12)1(22+=-+=∆x x x y x 9、确定下列差分方程的阶. (1)23123=+-++x x x y y x y ； 解：∵3)3(=-+x x ∴其阶为3. (2) 242+--=-x x x y y y .解：∵6)4()2(=--+x x ∴其阶为6.第九章 单 元 测 验 题1、指出下列题的叙述是否正确：（1）方程y x y y xy 2'2)(=-是齐次的；…………………………………………错 （2）方程0)13()2(3'22=+++y x xy x 是线性的；………………………………正确 （3）方程1623'-+-=xy x y y 是可分离的.……………………………………正确 2、求下列微分方程的通解：(1))(cos 2'x yx y xy +=；解：∵)(cos 2'x y x y y += 令''xu y y x y u +=⇒=，原方程化为dx x udu 1sec 2=积分得)arctan(ln ln tan C x x y C x u +=⇒+= (2)xy x x y 1ln 1'=+； 解：xCx C dx x x x y C dx e x ey dx x x dxx x ln 2ln )ln (ln 1)1(ln 1ln 1+=⎰+=⇒+⎰⎰⎰=-*(3) 0)2(22=-+-dy x xy y dx y ； 解：原方程整理得1)21(2=-+x y y dy dx ∴)1()1()(121212)21()12(22y y ydyy y dyy y Ce y x C dy e ye y x C dy eex +=⇒⎰+=⇒⎰+⎰⎰=---2(4)0)1('''2=--xy y x ，且满足1,00'0====x x y y .解：：令''''P y P y =⇒=，则原方程为dx x xP dP 21-=，积分得 2121ln 1ln 21ln xC P C x P -=⇒+--= ∴2121arcsin 1C x C y dx x C dy +=⇒-=又∵1,00'0====x x y y ∴代入上式得0,121==C C ∴x y arcsin =3、求曲线方程)(x y y =，它满足方程y x dxdy34=，且在y 轴上的截距等于7. 解：由题得dx x ydy34=，积分有4x Ce y = 又∵曲线在y 轴上的截距等于7 ∴当0=x 时7=y ，代入上式得7=C∴曲线方程为47x e y =.4、求一条曲线，使该曲线的切线、坐标轴与切点的纵坐标所围成的梯形面积等于2a ，并且该曲线过),(a a 点. 解：设该曲线方程为)(x f y =则曲线上任意一点),(00y x A 的切线方程为))((00'0x x x f y y -=-设此切线与y 轴交于点C ，过切点A 作AB 垂直于x 轴于点B ，对梯形ABOC 有：000'0000'0,),()0)((y AB x OB x f x y x x f y OC ==-=-+=∴)](2[22)(0'0002x f x y x a OBAB OC S ABOC -=⇒+=由于点),(00y x A 的任意性，上式可以改写为2'2)2(a xy y x =-整理得22'22xa y x y -=-，积分得)32()2()2(3224222222C xa x C dx x a x C dx e x a ey dx x dxx +=+⎰-=+⎰⎰-⎰=-- 又∵曲线过),(a a 点 ∴a C 31= ∴ax x a y 33222+=。

微积分(下册)第二版 第9章 微分方程


又y 0是原方程的解 ,
方程的解为: y C 1 x2 , C为任意常数.
二、齐次方程 形式：
dy dx
f
y x
解法 作变量代换 u y , 即 y xu, x
dy u x du , u x du f (u),
dx
dx
dx
即
1 du f (u) u
1 dx. x
du f (u) u
◆微分方程的分类： 分类1: 常微分方程, 偏微分方程.
分类2: 一阶微分方程 F ( x, y, y) 0, y f ( x, y); 高阶微分方程 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
2023/8/29
2
分类3: 线性与非线性微分方程: y P( x) y Q( x), x( y)2 2 yy x y 0.
1 dx, x
例3
求解 dy x y 1. , 令u y，
dx
x
x
则y xu， dy u x du ,
dx
dx
u x du 2 u, dx
即 x du 2, dx
x du 2, dx
du 2 dx, 两边积分,得 u ln x2 c, x
如: y y, 通解 y cex;
y y 0, 通解 y c1 sin x c2 cos x.
(2)特解: 通解中任意常数为确定值的解.
初始条件: 用来确定任意常数的条件.
2023/8/29
5
§9.2 可分离变量的微分方程 一、 可分离变量的微分方程 二、 齐次方程
一、可分离变量的微分方程
dx
dx
2 y3 dy 2xy2 2x3 dx
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(9 7) 是方程 (9 1) 所有解的一般表达式 .
定义9.3 如果方程 (9 5)的解中含有n个独立的任意 常数，则称这样的解为方程 (9 5) 的通解. 而通解中 给任意常数以确定值的解, 称为方程 (9 5) 的特解. 求特解的步骤： 然后再根据实际 首先要求出方程 (9 5) 的通解， 情况给出确定通解中n个常数的条件, 称为定解条件, 最后根据定解条件求出满足条件的特解. 由定解条件求特解的问题，称为微分方程的定解问题.
2
3 2 y 4
( C 为正常数 )
dy 例3 求解逻辑斯蒂方程 ay( N y ) 的通解 , 以及 dx 1 y(0) N 的特解 , 式中 a 0 , N y 0 . 4 dy 解 分离变量, adx y( N y )
即有
1 1 y N
dy aNdx y
净资产增长速度= 资产本身增长速度 职工工资支付速度
dW 0.05W 30 得到方程 dt dW (2) 分离变量, 得 0.05 dt W 600
积分, 得 于是 或
ln W 600 0.05 t ln C
(C为正常数 )
W 600 Ce0.05t
W 600 Ae0.05t ( A C )
形如 (9 3)的方程通常称为逻辑斯谛方程, 在很多领 域有广泛应用.
例4 若设某商品在时刻 t 的售价为 P , 社会对该商品
的需求量和供给量分别是 P 的函数 D( P ), S ( P ), 则 在 t 时刻价格 P (t )对于时间 t 的变化率可认为与该 商品在同时刻的超额需求量 D( P ) S ( P )成正比, 即
第九章
微分方程
§9.1 微分方程的基本概念 §9.2 一阶微分方程
§9.3 二阶常系数线性微分方程
§9.4 微分方程在经济学中的应用
机动
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结束
§9.1 微分方程的基本概念
一、微分方程的定义
二、微分方程的解
一、微分方程的定义
定义9.1 含有自变量、未知函数以及未知函数的导 数(或微分)的函数方程, 称为微分方程. 微分方程中 出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 称为微分方 程的阶. 例如， y xy ,
常见的定解条件是
( n1) y( x0 ) y0 , y ( x0 ) y1 , , y ( x0 ) yn1 ,
( 9 8)
(9 8) 又称为初始条件 , 其中 y0 , y1 ,, yn1 为给定 常数 .
相应的定解问题又称为微分方程的初值问题.
作业
P
§9.2 一阶微分方程
dy 2( x 1)2 (1 y 2 ) 的通解 . 例1 求方程 dx
解
分离变量, 得
1 2 d y 2 ( x 1 ) dx 2 1 y
两边积分, 得
1 2 d y 2 ( x 1 ) dx 1 y2
2 即得通解 arctan y ( x 1)3 C ( C为任意常数 ) 3
有微分方程
dP k[ D( P ) S ( P )] ( k 0) dt
系.
( 9 4)
在 D( P )和 S ( P )确定的情况下, 可解出价格与 t 的关
未知函数为一元函数的微分方程定义为常微分方程; 未知函数为多元函数的微分方程定义为偏微分方程.
n 阶 ( 常 ) 微分方程的一般形式是
( xy y )dx ( x 2 xy )dy 0 ,
2
y y 2 dy xy y x x 2 . dx x 2 xy y 1 2 x 所以该方程是齐次方程.
dy y 齐次方程 f 的解法： dx x y 令 u 或 y xu x 其中 u 是新的未知函数 u u( x ) ,
F ( x, y, y,, y( n) ) 0
n 阶线性常微分方程的一般形式：
(9 5)
y ( n ) a1 ( x ) y ( n1) an1 ( x ) y an ( x ) y f ( x ) ( 9 6) 不能表示成形如 (9 6) 形式的微分方程，统称为非 线性方程.
其中 r 为常数, 方程表述的定律称为群体增长的马尔
萨斯律.
例3 在推广某项新技术时, 若设该项技术需要推广
的总人数为 N , t 时刻已掌握技术的人数为 P (t ), 则
新技术推广的速度与已推广人数和尚待推广人数成 正比, 即有微分方程
dP aP ( N P ) (a 0) dt ( 9 3)
1 1 2 ~ ln u u ln x ln C 2 2
积分, 得
即 ue
u2
~2 Cx 2 , C C
y 将 u 回代, 得方程通解 x
ye
y2 2 x
Cx 3
其中 C 为任意常数 .
例7 设商品 A 和商品 B 的售价分别为 P1 , P2 , 已知
价格 P1 与 P2 相关 , 且价格 P1 相对于 P2 的弹性为 P2dP1 P2 P1 , 求 P1 与 P2 的函数关系式 . P1dP2 P2 P1
两边积分, 得
y ln aNx ln C ln CeaNx Ny
y 由于 0 , 整理得通解 Ny CNe Nax y 1 Ce Nax
1 1 将 y(0) N 代入 , 得 C , 4 3
(C为正常数 )
于是所求特解为
Ne y Nax . 3e
Nax
例4 某公司t 年净资产有 W (t ) (单位 : 百元) , 并且
所给方程为齐次方程, 整理得 p1 1 dP1 P2 P1 dP2 1 P1 P2 P2 P1 1 u 令 u , 则有 P2 u u u P2 1 u 解
2
y 2 y 3 y e x ,
z x y x
(t x )dt xdx 0,
实质: 联系自变量、未知函数以及未知函数的某些 导数(或微分)之间的关系式.
例1
著名的科学家伽利略在当年研究落体运动时
发现, 如果自由落体在 t 时刻下落的距离为 x, 则
d2 x 加速度 2 是一个常数 , 即有方程 dt d2 x 2 g dt
则 u a 是新方程的解, 代回原方程 ,
得齐次方程的特解 y ax .
y y 例5 求方程 y tan 的通解 . x x 解 所给方程为齐次方程, 令 u y , 代入原方程, x xd u 即 tan u 得 xu u u tan u, dx 1 积分, 得 分离变量, 得 cot udu dx x
二、微分方程的解
定义9.2
设函数 y ( x )在区间 I 上存在 n 阶导数.
如果将 y ( x )代入方程(9 5)后, 使方程(9 5)在 I
上为恒等式 , 则称函数 y ( x )是方程(9 5)在 I 上
的解. 如果关系式 ( x, y ) 0所确定的隐函数 y
ln sin u ln x ln C ln xC
y 即 sin u Cx 将 u 代入上式 , 即得方程通解 x y sin Cx ( y x arcsin Cx ) 其中 C 为任意常数 . x
例6 求方程 ( x 3 2 xy2 )dy (2 y 3 3 yx 2 )dx 0 的通解 .
y xu u
(9 13)
代入方程 ( 9 12 ) ，得 分离变量再积分，得
du x f ( u) u dx

du dx ln x C f ( u) u x
(9 14)
y 将 u 回代 , 即可得通解 . x
注意
当有常数 a , 使 f (a ) a 0,
资产本身以每年 5% 的速度连续增长 , 同时该公司每
年要以30百万元的数额连续支付职工工资.
(1) 给出描述净资产 W (t ) 的微分方程;
(2) 求解方程 , 这时假设初始净资产为W0 ;
( 3) 讨论在 W0 500, 600, 700 三种情况下 , W ( t ) 的变 化特点.
解 (1) 利用平衡法, 即由
将 W (0) W0 代入 , 得方程通解:
W 600 (W0 600)e
0.05t
上式推导过程中W 600,
dW 0, 可知 W 600 W0 , 当W 600 时 , dt 通常称为平衡解, 仍包含在通解表达式中.
(3) 由通解表达式可知, 当W0 500 百万元时 ,
从而解得落体运动的规律:
1 2 x ( t ) gt , 2
(9 1)
这是微分方程应用的最早的一个例子.
例2 设某地区在 t 时刻人口数量为 P (t ), 在没有人员 迁入或迁出的情况下, 人口增长率与 t 时刻人口数
P (t )成正比, 于是有微分方程
dP ( t ) rP ( t ) dt ( 9 2)
对（9-10）两边积分, 得通解
f ( x ) d x g( y ) d y C
例如 dy ( x )h( y ) , dx
(9 11)
M 1 ( x ) M 2 ( y )dy N 1 ( x ) N 2 ( y )dx 0 .
均为可分离变量方程. 将微分方程化为分离变量形式求解方程的方法， 称为分离变量法.
( x )是方程(9 5)的解, 则称 ( x , y ) 0 是方程 (9 5)
在区间 I 上的隐式解 .
1 2 1 2 可以验证， 函数 x gt , x gt C1t C 2 ( C1 , C 2 2 2 是任意常数 ) 都是方程 (9 1) 的解 .