实变函数复习题46336.docx

实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设nE ⊂¡是可数集，则*m E 07．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈¡，()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是 ，则称()f x 在E 上可测8．可测函数列的上极限也是 函数9．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x +⇒ 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题1．下列集合关系成立的是（ ）A ()\B A A =∅I B ()\A B A =∅IC ()\A B B A =UD ()\B A A B =U2．若nR E ⊂是开集，则（ ）A E E '⊂B 0E E =C E E =DE E '=3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ）A ()()lim lim n n E En n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰ B ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰C ()()lim lim n n E En n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰ D ()()lim lim n n EE n n f x dx f x →∞→∞≤⎰⎰三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ）A E 是不可数集B E 是闭集C E 中没有内点D 1mE =2．设nE ⊂¡是无限集，则（ ）A E 可以和自身的某个真子集对等B E a ≥（a 为自然数集的基数）C E '≠∅D *0mE >3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ）A 函数()f x 在E 上可测B ()f x 在E 的可测子集上可测C ()f x 是有界的D ()f x 是简单函数的极限4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ）A ()f x 在[],a b 上可测B ()f x 在[],a b 上L 可积C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数四、判断题1. 可数个闭集的并是闭集. （ ）2. 可数个可测集的并是可测集. （ ）3. 相等的集合是对等的. （ ）4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？六、计算题1. 设()[]230,1\xx E f x xx E⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，其中E 为[]0,1中有理数集，求()[]0,1f x dx ⎰.2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩L L ，求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.七、证明题1．证明集合等式：(\)A B B A B =U U2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE =3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1[|()|]|()|E mE x f x a f x dx a≥≤⎰5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞=，则lim ()0nE n f x dx →∞=⎰实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1.=2.≤3.闭集4.开集5.≤6.=7.可测集8.可测9.()()f x g x + 10.可积 二、单选题 ABB三、多选题ACD AB ABD ABC 四、判断题 × √√√ 五、定义题1.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A ，A 的幂集2A 的基数大于A 的基数.2.答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.3.答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限4.答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差.六、解答题1.解：因为0mE =，所以()3,.f x x a e =于[]0,1，于是()[][]30,10,1f x dx x dx =⎰⎰，而3x 在[]0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系，[]()41331000,11|44x x dx R x dx ===⎰⎰ 因此()[]0,114f x dx =⎰.2.解：显然()n f x 在[]0,1上可测，另外由()n f x 定义知，()0,.n f x a e =于[]0,1()1n ≥ 所以()[][]0,10,100nf x dx dx ==⎰⎰因此()[]0,1lim0nn f x dx →∞=⎰七、证明题 1.证明(\)()c A B B A B B =U I U ()()()c c A B A B B A B B B A B ===I U I U I U U U2.证明 设F 是[0,1]中的有理数集，则F 是可数集，从而*0m F =，因此F 是可测集，从而c F 可测，又[0,1]\[0,1]cE F F ==I ，故E 是可测集.由于E F =∅I ，所以1[0,1]()0m m E F mE mF mF ===+=+U ，故1mF =3.证明 设{}n r 为全体有理数所成之集，则()11[|()()][|()()][|()][|()]n n n n n E x f x g x E x f x r g x E x f x r E x g x r ∞∞==>=≥>=≥<I U U因为(),()f x g x 是E 上的可测函数，所以[|()]n E x f x r ≥，[|()]n E x g x r <是可测集，1,2,n =L ，于是由可测集性质知[|()()]E x f x g x >是可测集4.证明 因为()f x 在E 上可测，所以|()|f x 在E 上非负可测，由非负可测函数积分性质，[|()|][|()|]|()||()|E x f x a E x f x a Eadx f x dx f x dx ≥≥≤≤⎰⎰⎰而[|()|][|()|]E x f x a adx a mE x f x a ≥=⋅≥⎰，所以1[|()|]|()|E mE x f x a f x dx a≥≤⎰5.证明 因为lim 0n n mE →∞=，所以0,1N δ∀>∃≥，当n N ≥时，n mE δ<，又()f x 在E 上L -可积，所以由积分的绝对连续性，0,0,εδ∀>∃>当,e E me δ⊂<时|()|ef x dx ε<⎰于是当n N ≥时，n mE δ<，因此|()|nE f x dx ε<⎰，即lim ()0nE n f x dx →∞=⎰。

实变函数本科试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 实变函数论主要研究的是：A. 数学分析B. 复变函数C. 函数的实值性D. 函数的连续性答案：C2. 以下哪个命题是实变函数论中的基本定理？A. 中值定理B. 泰勒公式C. 勒贝格控制收敛定理D. 柯西-施瓦茨不等式答案：C3. 勒贝格积分与黎曼积分的主要区别在于：A. 定义方式B. 积分值C. 积分对象D. 积分方法答案：A4. 若函数f在区间[a,b]上连续，则以下哪个命题一定成立？A. f在[a,b]上可积B. f在[a,b]上可微C. f在[a,b]上单调D. f在[a,b]上一致连续答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f在区间[a,b]上处处有定义，则f在[a,b]上是______的。

答案：有界2. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的勒贝格积分值为______。

答案：1/33. 勒贝格积分的一个重要性质是______。

答案：可加性4. 若函数f在区间[a,b]上单调增加，则f在[a,b]上是______的。

答案：可积三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述实变函数论与复变函数论的主要区别。

答案：实变函数论主要研究实数域上的函数，关注的是函数的实值性质，如连续性、可积性等。

而复变函数论研究的是复数域上的函数，关注的是函数的解析性质，如解析延拓、复积分等。

2. 描述勒贝格积分的定义过程。

答案：勒贝格积分的定义过程首先将积分区间划分为若干子区间，然后选择每个子区间上的样本点，计算函数在这些样本点上的值与子区间长度的乘积之和，最后取这个和的极限，当这个极限存在时，就定义为函数的勒贝格积分。

3. 举例说明实变函数论在数学分析中的应用。

答案：实变函数论在数学分析中的应用非常广泛，例如在研究函数的极限性质、连续性、可微性和可积性等方面都有重要应用。

一个具体的例子是勒贝格控制收敛定理，它在处理函数序列的极限问题时非常有用，特别是在概率论和统计学中，勒贝格积分被用来定义随机变量的期望值。

复习题1 一、判断1、若N 是自然数集，e N 为正偶数集，则N 与e N 对等。

（对）2、由直线上互不相交的开间隔所成之集是至多可列集。

（对）3、若12,,,n A A A 是1R 上的有限个集，则下式()1212n n A A A A A A ''''+++=+++成立。

（对）4、任意多个开集的交集一定是开集。

（错）5、有限点集和可列点集都可测。

（对）6、可列个零测集之并不是零测集。

（对）7、若开集1G 是开集2G 的真子集，则一定有12mG mG <。

（错） 8、对于有界集1ER ⊆，必有*m E <+∞。

（对）9、任何点集E 上的常数函数()f x =C ，x E ∈是可测函数。

（错）10、由()f x 在()1,2,k E k = 上可测可以推出()f x 在1kk E E ∞==∑上可测。

（对）二、填空1、区间（0,1）和全体实数R 对等，只需对每个()0,1x ∈，令 ()tan()2x x πϕπ=-2、任何无限集合都至少包含一个 可数子集3、设12,S S 都可测，则12S S ⋃也可测，并且当12S S ⋂为空集时，对于任意集合T 总有***1212[()]()()m T S S m T S m T S ⋂⋃=⋂+⋂4、设E 是任一可测集，则一定存在F ∂型集F ，使F E ⊂，且 ()0m E F -=5、可测集n ER ⊂上的 连续函数 是可测函数。

6、设E 是一个有界的无限集合，则E 至少有一 个聚点。

7、设π是一个与集合E 的点x 有关的命题，如果存在E 的子集M ，适合mM=0，使得π在E\M 上恒成立，也就是说，E\E[π成立]= 零测度集 ，则我们称π在E 上几乎处处成立。

8、E 为闭集的充要条件是'(E E)E E ⊂∂⊂或 。

9、设A 、B 是两个非空集合，若,A B B A ≤≤，则有 A =B。

三、证明 1、证明：若A B ⊂，且~A A C ⋃，则有~B B C ⋃。

《实变函数》 一、单项或多项选择题1、下列正确的是(234(3) (?1UB )\C = ?1U (B C UC )C 2、下列正确的是(24)(1) 无理数集是可数集；(2) 超越数构成的集合是不可数集；(3) 若/?屮两个Lebesgue 可测集A 和B 的基数相等，则它们的测度也相等;(4) 0表示全体有理数集，则Q?。

也是可数集.3、在R 中令A = {1,丄丄…丄,…},则(2 3 n6、设几九 wM(X),则(12 3 4(3) /2 G M(X)7、若/在［0,1］上乙可积，则下列成立的是8、设= 1,2,3,…)是X 上儿乎处处有限的可测函数，则下列结论正确的是(1(1)若人 则£—/,心.;(1) A\(B\C) = (A\B)\C(2) AU(BAC) =(AUB )n (AUC )(4)⑷B)\C = A\(BUC )(1) A 为闭集 (2) A 为开集 (3) 几{0}(4) A 为疏集4、设 AuR 满足 mA = 0 ,贝 ij ( 1 3 (1) A 为Lebesgue 可测集)(2)(3)任意可测函数/在A 上可积(4) 4为疏集5、在/?上定义/(%),当兀为有理数时, f(x) = 1 ,当x 为无理数时，/(x) = 0,贝ij( 3(1) /儿乎处处连续 (2) /不是可测函数(3)/在上处处不连续(4) /在/?上为可测函数⑴\f <+oo 在［0,1 ］上儿乎处处成立 (2) |.f|在［0,1］上厶可积 (3) /在［0,1］±几乎处处连续(4)兀在［of 上非厶可积(2) 若九 T/,d.e.,则九(3) 若 f n —> f ,a.u.,则 f n T f ； (4) 若 f 厶 f,则£->/•,“.・9、若｛A“｝为降列,且 M = 2，贝(4 )n —>oc、“8 、(1) 0(2) 0(3) “U4(4) “CM1心10、有界实函数/在区间［G , /?］± Riemann 可积的充要条件是/的不连续点集为（ 4 ）11、设f eBV ［a,b ］f 则下列成立的是（1 416、超越数的个数为（3(1) 2 (2) a (3) c (4) 2C（1）空集（2）有限集 （3）可数集 （4）零测度集(1) 于在［a 问上有界; (2) /在［a 问上连续; (3) /在［a 问上可微; (4) /是两个增函数Z 差.12、整数集 的内部和闭包分别为（1）（3） 0,(1) 0, (2) (4)13. 设/(%) =x,xe[0,l]2-x,x w(l ，2]' 令 A = <x\f(x)(1) 0(2) 1(3) 2(4)14、下列哪些集合是测度为零的不可数集（3 ）(4)(1) 031O )XEB(2) 1 ，则（1(3) 2 ⑷3100,XG [0,1]\17、f G AC[0,1],/(O) = 2,Kf = 0,a.e , B'J/(x)=_318、 设A ，%是R 的可测集，且A 0A 2，则下列正确的是( 2 4 )(1)< mA.(2) mA l <mA 2(3) mA x -mA 2 =\ A 2)(4) mA x =777(71^X2) + mA 219、 当/在[1,+00)上连续且Lebesgue 可积时，则lim f(x)=1L7X->4<0(1) 0 (2) 1 (3) -1 (4) +0020、 人2”-1=[°」]，A” =[°，2],(斤= 1,2,…)，则limA “和lim 人分别为" >1(I) [0,1],[0,2] ⑶[0,2],[0,1]21、下列正确的是(1 4 )(1) (4UB )\C =(A\C )U (B\C ) (3) A\(B\C) = (A\B)\C ⑵[0,1],[0,2](4) [0,2],[0,2](2) ACl(BUC) =(4nB )UC (4) (A\B)\C = A\(BUC ))⑵ r 1 2 3(Aus )=r ,(A )ur 1(5) ⑷ /-i (An5)=r i (A )ny 1(B )2 3 )24、 设人是[0,1]上所有有理数构成的集合，则川二(3 )(1) A (2) [0,l]\A (3) El(4)以上都不对25、 下列说法正确的是(12 3)1 A =(3) B = P 7(B )23、下列与 有相同基数的集合是( (1) [0,1] (2)3(4)(1) 0(2) 1 (3) 2 (4) 322、设f:X —X 是一个映射，4,B u X ,下列正确的是(2 4(2)上的开集都可以表示成互不相交的开区间的并（4） 的了集不是开集就是闭集 26、 下列正确的是（1 ） （1） 有理数集是可数集；（2） 代数数构成的集合是不可数集；（3） 若中两个Lebesgue 可测集A 和B 的测度相等,则它们的基数也相等; （4） ［0,2］内包含的点比［0,1］内包含的点多。

《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

《实变函数试卷一一、单项选择题(3分X5=15分)1、下列各式正确的是( )_________ oo oo oo oo(A) limA = u n A ; (B) lim A = n u A ;n—H=1k=n，?一z?=l k=n00 00 00 00(C) limA" = n u ; (D) lim= A k ;打一＞oo z:=l k=n z?=l k=n2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( )(A) ~P= c (B) mP = 0 (C) P = P (D) P=P3、下列说法不正确的是( )(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设以(4是£上的E有限的可测函数列，则下而不成立的是( )(A)若又(x)=>/(x),则又(x) + /(x) (B)sup{/…Cr)}是可测函数(O inf{//%)}是可测函数；(D)若/T H又⑺=>/U)，则/(X)可测5、设f(X)是上有界变差函数，则卜*面不成立的是()(A) /(X)在［6Z，/7］上有界(B) /(X)在［6/，刎上儿乎处处存在导数c b(C) / (X)在上L 可积(D) J a f\x)cbc=f(b)-f(a)二.填空题(3分X 5=15分)1、(C s AuC v5)n(A-(A-B))= ________________2、设£是［0，1］上有理点全体，则E - ______ , E- ________ , E- _______ .3、设£是/?。

中点集，如果对任一点集r都,贝1J称£是£可测的4、/⑶可测的________ 条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必要”，“充要”)5、设/(x)为上的有限函数，如果对于的一切分划，使_____________________________________ ，则称/(x)为［6Z，/7］上的有界变差函数。

实变函数积分理论部分复习题（附答案版）2022级实变函数积分理论复习题一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例）1、设fn(某)是[0,1]上的一列非负可测函数，则f(某)可积函数。

（某）2、设fn(某)是[0,1]上的一列非负可测函数，则f(某)可测函数。

（√）3、设fn(某)是[0,1]上的一列非负可测函数，则fn1n(某)是[0,1]上的Lebeguefn1n(某)是[0,1]上的Lebegue[0,1]nlimfn(某)d某limn[0,1]fn(某)d某。

（某）4、设fn(某)是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在fn(某)的一个子列fnk(某)，使得，[0,1]klimfnk(某)d某limk[0,1]fnk(某)d某。

（某，比如fn(某)为单调递增时，由Levi定理，这样的子列一定不存在。

）5、设fn(某)是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在fn(某)的一个子列fnk(某)，使得，[0,1]klimfnk(某)d某limk[0,1]fnk(某)d某。

（某，比如课本上法都引理取严格不等号的例子。

）6、设fn(某)是[0,1]上的一列非负可测函数，则[0,1]nlimfn(某)d某limn[0,1]fn(某)d某。

（√）7、设fn(某)是[0,1]上的一列非负可测函数，则[0,1]nlimfn(某)d某limn[0,1]fn(某)d某。

（某）8、设f(某)是[0,1]上的黎曼可积函数，则f(某)必为[0,1]上的可测函数。

（√，Lebegue积分与正常黎曼积分的关系）9、设f(某)是[0,)的上黎曼反常积分存在，则f(某)必为[0,)上的可测函数。

（√，注意到黎曼反常积分的定义的前提条件，对任意自然数n>0，f(某)在[0,n]上黎曼可积，从而f(某)是[0,n]上的可测函数，进而f(某)是[0,)n1[0,n]上的可测函数）10、设fn(某)是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，G([0,1],fn)表示fn(某)在[0,1]上的下方图形，f(某)=limfn(某)，则G([0,1],fn)单调递增，且nnlimG([0,1],fn)=UG([0,1],fn=1￥n)=G([0,1],f)，mG([0,1],f)=nlimmG([0,1],fn)。