江苏省南京师范大学附属中学2016届高三数学一轮同步测试：不等式综合 Word版含答案

8. 不等式综合【基础训练】1．有下列函数：①x x y 1+=；②y =sin x ＋cos x ；③12-+=x x y ；④2322++=x x y ；⑤22y x x =．这些函数中最小值为2的有_______（注：把你认为正确的序号都填上）．2．已知x ＞y ＞0且xy ＝1，求yx y x -+22的最小值及此时x ，y 的值．3．（1）若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围；（2）若x ，y 都是正数，且2x ＋8y －xy =0，求x ＋y 的最小值．4． 已知a ＞b ＞0，求216()a b a b +-最小值．5．已知f (x )＝1＋x 2 ，试用不同方法证明：|f (a )－f (b )|≤|a －b |．【典型例题】例1 （1） 已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，求正实数a 的最小值．（2）求使y x +≤y x a +（x ＞0，y ＞0）恒成立的a 的最小值．例2 已知0απ<<，求2sin cos y αα=的最大值．例3 如图，某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为,x y (单位:米)的矩形,上部是斜边长为x 的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米. （1）求,x y 的关系式，并求x 的取值范围； （2）问,x y 分别为多少时用料最省?例4 如图，要把三边AB、AC、BC的长分别为3,5,7的△ABC边角地辟为生物园，图中的观光路线DE把生物园分成面积相等的两部分，D、E分别在AB、AC上．欲使DE的长l最大，试确定D、E的位置？*例5 设a＝x2－xy＋y2，b＝p xy，c＝x＋y，若对任意的正实数x，y，都存在边长分别为a，b，c的三角形，求实数p的取值范围．【课后练习】 1．解不等式：232(1)lg(3)0x x x ---≤．2．不等式223221x x x x ++++≥m 对任意实数x 都成立，则满足条件的自然数．．．m 的集合 为 ．3． 已知x ＞0，y ＞0，求证：114x y x y+≥+．4．设220,0,1,2b a b a ≥≥+= 则的最大值为 ．5．(08江苏卷)设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则2y xz的最小值为 ．6．已知01b a <<+,若关于x 的不等式2()x b -＞2()ax 的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围．7．解关于x 的不等式：21ax x a -<+（a ∈R ）．8．设方程mx 2－4mx ＋1=0的两根α， β（α， β为正实数）满足不等式|lg α－lg β|≤1，求实 数m 的取值范围．9． （1）当x ∈[1, 3]时，不等式x 2＋mx ＋4≤0恒成立，求实数m 的取值范围；（2）存在x ∈(1, 3)时，使得不等式x 2＋mx ＋4＜0成立，求实数m 的取值范围．10．某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H (单位：m ）．如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β．（1）该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。

1. 命题及其关系1、写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假。

（1）若|a｜＝｜b|，则a＝b；(2)若x＜0,则x错误!＞0;（3）若x2＝1,则x＝1；（4）若mn＜0,则方程mx错误!－x＋n＝0有实数根.2、从“充分不必要条件"、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分又不必要条件"中,选出适当的一种填空：（1)“a＝0”是“函数f(x）＝x2＋ax(x∈R)为偶函数”的_____________；(2）“sin α＞sin β"是“α＞β"的_____________;（3）“M＞N”是“log2M＞log2N”的_____________；（4）“x∈M∩N”是“x∈M∪N”的_____________.3、指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：(1）:p x y=；22=:q x y(2）:p三角形的三条边相等；:q三角形的三个角相等.（3）:0=+的图象过原点p b=; :q函数y kx b（4) :2q a>p a>；:||24、在平面直角坐标系中，22，在第一象限的充要条件是+-(51)x x_____________5、如果x、y R∈，那么“0+=+"的_____________条件x y x yxy>"是“||||||6、已知p：A＝{x｜x＜3｝，q：B＝｛x |x＜m｝，p是q的充分不必要条件，则m的范围是______.7、已知p：x错误!＋x－6＝0和q：mx＋1＝0，且p是q的必要不充分条件，求实数m的值.8．求2210(0)++=≠至少有一个负根的充要条件.ax x a【回顾反思】1. 命题及其关系1、(1）原：若|a|＝｜b｜,则a＝b假（2）原：若x＜0,则x错误!＞0 真逆：若a＝b，则｜a|＝｜b｜真逆：若x错误!＞0,则x＜0 假否：若｜a｜≠｜b|,则a≠b 真否：若x≥0，则x错误!≤0 假逆否:若a≠b，则|a|≠|b| 假逆否：若x2≤0，则x≥0 真（3）原:若x错误!＝1，则x＝1; 假逆：若x＝1，则x2＝1；真否：若x2≠1，则x≠1；真逆否：若x≠1，则x2≠1；假（4）原:若mn＜0，则方程mx错误!－x＋n＝0有实数根. 真逆：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn＜0. 假否:若mn≥0，则方程mx错误!－x＋n＝0没有实数根. 假逆否:若方程mx错误!－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0。

5。

等差数列的前n 项和（第二课时）1．求和:（1）∑=+100)25.03(k k ； (2）∑=-200)21(n n ．2．在等差数列}{n a 中，（1)已知106=a ，55=S ，求8S ；(2）已知24=S ,69-=S ，求12S ；(3)已知3642-=++a a a ，6753=++a a a ，求20S ；（4）已知63=S ，86-=S ，求9S ．3．在等差数列}{n a 中，已知2=d ，40020=S ．(1)求19531a a a a ++++ ； （2）求20852a a a a ++++ ．4．在等差数列}{n a 中，(1)已知1144=+a a ，求17S ； （2）已知2011=a ，求21S ；（3）已知6611=S，求6a ; (4）已知24=S ,68=S ，求16S ．5．一个等差数列的前12项和为354，前12项中,偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，求公差d ．6．已知等差数列}{n a 的前n 项和n n S n 352+=，写出它的前3项，并求这个数列的通项公式．7．一个物体从1960m 的高空落下，如果该物体第1秒降落4.90m ，以后每秒比前一秒多降落9.80m ，那么经过几秒钟才能落到地面？8．已知等差数列}{n a 中，31-=a ,85511a a =,求前n 项和nS 的最小值．9．观察：11+2+11+2+3+2+11+2+3+4+3+2+1……（1）第100行是多少个数的和？这些数的和是多少？（2)计算第n 行的值．反思回顾]5。

等差数列的前n 项和(第二课时)1．（1）1)46。

75； （2）—3992． 1）44； （2）—82/5； （3）370; （4）—423．（1）190; （2）1474．(1）8。

5； （2）420; （3）6； （4)205． d = 56． 8,18,28210-=n a n 7． 20秒8．最小值42-=S9．(1)第100行是199个数的和; 这些数的和是10000 （2）2n。

5.正弦定理、余弦定理的应用【基础训练】120ABC ︒∠=，如何锯断木条，才能使第三条边AC 最短3. 如图所示，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在这一岸定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝60°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°，∠ADC ＝60°，求AB 的长．【典型例题】例1.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c --= （1）求A （2）若2a =，ABC ∆的面积为3，求,b c .例2. 如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA=2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，问：点Ｂ在什么位置时，四边形OACB 的面积最大？CBAO例3.如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。

一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为min /50m ．在甲出发min 2后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留min 1后，再从匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ，山路AC 长为m 1260，经测量，1312cos =A ，53cos =C ． （1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟， 乙步行的速度应控制在什么范围内？【巩固练习】1．线段AB 外有一点C ，∠ABC ＝60°，AB ＝200 km ，汽车以80 km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B 向C 行驶，求运动开始多少h 后，两车的距离最小．2．某人向正东方向走xk m 后，他向右转150°，然后朝新方向走3 k m ，结果他离出发点恰好3k m ，那么求x 的值．CBADMN3. 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且53cos =A ，135cos =B ,3=b 则求c 的值4．如图，在ABC ∆中，,已知45B ︒=，D 是BC 边上一点AD=10，AC=14，DC=6，求AB 的长6．在ABC ∆中，求证：(1)CBA c b a 222222sin sin sin +=+； (2))cos cos cos (2222C ab B ca A bc c b a ++=++．CD B A7．在ABC ∆中，已知cos cos a b c B c A -=-，判断ABC ∆的形状．8．在ABC ∆中，角..A B C 所对的边分别为a,b,c ．已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =．（1）当5,14p b ==时，求,a c 的值；（2）若角B 为锐角，求p 的取值范围。

一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分．）1. 设集合}2,1,0{=A ，}3,2{2++=a a B ，}1{=B A ，则实数a 的值为________．2. 设复数z 满足5)43(=-z i （i 是虚数单位），则=z ________．3. 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是________．4. 在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果 如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为h km /90～h km /120，试估计2000 辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 辆．5. 将函数)0)(2sin(πϕϕ<<+=x y 的图象沿x 轴向左平移8π个单位，得到函数)(x f y =的图象，若函 数)(x f y =的图象过原点，则=ϕ_________．6. 已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为21，乙胜的概率为31，则甲胜的概率为________． 7. 设偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)1()12(f x f ≤-的x 的取值范围是_______．8. 在等比数列}{n a 中，已知3252-=a a ，443=+a a ，且公比为整数，则=10a ________．9. 如图，正四棱锥ABCD P -的底面一边AB 长为cm 32，侧面积为238cm ，则它的体积为________．A B C DP10. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线与圆1)2(22=++y x 没有公共点，则该双曲线的离心 率的取值范围为_________．11. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-2,log 2,)21()(3x x x x f a x （,0>a 且1≠a ）的值域是),2[+∞，则实数a 的取值范围是________．12. 已知ABC ∆外接圆O 的半径为2，且AO AC AB 2=+，||||=，则=⋅CB CA ________． 13．已知y x ,为正实数，则xy y x x ++22的最小值为________． 14．设0))(3(2≤-+b x ax 对任意),0[+∞∈x 恒成立，其中b a ,是整数，则b a +的取值的集合为________． 二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且ac b c a -=+222．（1）求B 的大小；（2）设BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，,1,32==BD AD 求C cos 的值． ABC D16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，BC AD //，且AD BC 2=，CD PB CD AD ⊥⊥,，点E 在棱PD 上， 且ED PE 2=．（1）求证:平面⊥PCD 平面PBC ；（2）求证://PB 平面AEC ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率22=e ，且点)1,2(P 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点B A ,都在椭圆C 上，且AB 中点M 在线段OP （不包括端点）上．①求直线AB 的斜率；②求AOB ∆面积的最大值．18．（本小题满分16分）如图，B A ,是海岸线OM ，ON 的两个码头，Q 为海中一小岛，在水上旅游线AB 上，测得Q km OA MON ,6,3tan =-=∠到海岸线ON OM ,的距离分别为km 2，km 5107． （1）求水上旅游线AB 的长；（2）海中km PQ P 6(=，且OM PQ ⊥处的某试验产生的强水波圆P ，生成t 小时时的半径为 km t r 23 66=．若与此同时，一游轮以h km / 218的速度自码头A 开往码头B ，试研究强水波是否波 及游轮的航行?O M NPB A Q19．（本小题满分16分）设R b a ∈,，函数a x a e x f x--=ln )(，其中e 是自然对数的底数，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切 线方程为0)1(=+--b y x e ．（1）求实数b a ,的值；（2）求证:函数)(x f y =存在极小值； （3）若),21[+∞∈∃x ，使得不等式0ln ≤--x m x x e x 成立，求实数m 的取值范围．20．（本小题满分16分）正项数列:*),4(,,,21N m m a a a m ∈≥ ，满足: *),(,,,,1321N k m k a a a a a k k ∈<- 是公差为d 的等 差数列， k k m m a a a a a ,,,,,111+- 是公比为2的等比数列．（1）若8,21===k d a ，求数列m a a a ,,,21 的所有项的和m S ；（2）若2016,21<==m d a ，求m 的最大值；（3）是否存在正整数k ，满足)(3121121m m k k k k a a a a a a a a ++++=++++-++- ?若存在，求出k 的 值；若不存在，请说明理由．附加题部分【选做题】本题包括D C B A ,,,四个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知圆上是弧AC =弧BD ，过点C 的圆的切线CE 与BA 的延长线交于点E ．（1）求证：BCD ACE ∠=∠；（2）求证：CD AE BD ⋅=2．B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121a A 的一个特征值3=λ所对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 为 θθρsin 2cos 4+=．曲线C 上的任意一点的直角坐标为),(y x ，求y x -的取值范围．D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知关于x 的不等式b a x <+||的解集为}42|{<<x x ．（1）求实数b a ,的值；（2）求bt at ++12的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）某商场举行抽奖促销活动，在该商场消费的顾客按如下规则参加抽奖活动：抽奖中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不 放回抽取），若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元．（1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，求该顾客获得奖金70元的概率；（2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，获奖金ξ元。

1. 数列1． 根据数列{a n }的通项公式，写出它的前5项：（1）a n ＝1n 2 ； （2）a n ＝(－1)n (n 2－1) ； (3) a n ＝|2n －7|.2． 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）2，4，8，16； （2）1，8，27，64；（3）－1，12，－13，14（4）1，2，3，2.3． 已知数列{n (n ＋2)}.（1） 写出这个数列的第8项和第20项；（2） 323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项?4. 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋3n ＋2，56是数列中的项吗？如果是，是第几项？5. 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－8n ＋5，（1）写出这个数列的前5项，并作出它的图象；（2）这个数列所有项中有没有最小的项？6.下图中的三角形称为希尔宾斯基三角形. 图中从左到右的四个三角形，着色三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项，写出数列{a n}的一个通项公式，并作出它的图象.*7. 设函数f (x)＝log2x－log x2（0＜x＜1），数列{a n}满足f (2 a n)=2n（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）判断数列{a n}的单调性.反思回顾]1. 数列1．(1) a 1＝1，a 2＝14，a 3＝19，a 4＝116，a 5＝125； (2) a 1＝0，a 2＝3，a 3＝－8，a 4＝15，a 5＝－24；(3) a 1＝5，a 2＝3，a 3＝1，a 4＝1，a 5＝3.2. (1) a n ＝2n ； (2) a n ＝n 3； (3) a n ＝(-1)n n ； (4) a n ＝n 3 . (1) a 8＝80，a 20＝440；(2) a 17＝323.4. a 6＝56.5．(1) a 1＝－2，a 2＝－7，a 3＝－10，a 4＝－11，a 5＝－10；图略(2) a 4＝－11最小.6．a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27；a n ＝3n -1，图略7．(1) f (2 a n )= a n － 1 a n=2n ，解得a n ＝n ±n 2+1 由0<2 an <1，得a n <0，所以a n ＝n －n 2+1；(2)1a n = 1n －n 2+1=－(n ＋n 2+1)单调减，所以数列{a n }单调增。

9. 三角恒等变换复习课（第二课时）【基础训练】1. 已知α，β均为锐角，sin α，tan β＝12，求α－β的值．2．已知在ABC ∆中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1,A B B A +=+=求角C 的值．3. 已知θ满足),,0(,1cos )cos()22sin(sin 3πθθθπθπθ∈=⋅+--求θ的值．4．求证：)6(sin )3cos(cos sin 22α-π-α+πα+α的值是与α无关的定值．【典型例题】例1已知113cos ,cos()714ααβ=-=，0<β<α＜2π． （1） 求tan 2α的值；（2）求β．例2 己知22,(0,)3sin 2sin 12παβαβ∈+=且，3sin 22sin 20αβ-=，2αβ+求的值．例3 已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．【巩固练习】1.(1)已知cos2α＝35,求sin 4α－cos 4α的值; (2)已知sin θ+cos θ＝1－ 32,求sin2θ的值.2.如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠B ＝90°，E ，F 将BC 三等分，求∠EAF ，∠F AC 的正切值.C F B E A3.求证：tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos α sin α.4．求值：tan20°＋4sin20°．5．在△ABC 中，角A 、B 、C 满足4sin 22C A +－cos2B =，求角B 的值.6. 在△ABC 中，已知tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝1，求角C 的值.(P131复习题14题)7. 求函数y ＝cos2x －2cos x ＋1的值域.8．已知sin sin αβ+=，求cos cos αβ+的取值范围．9．化简sin 2α·sin 2β+cos 2αcos 2β-21cos2α·cos2β.10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为102，552.（1）求tan(+)的值；（2）求+2的值.11. （1）已知,均为锐角，sinα＝ 55，sinβ＝1010，求＋的值；（2）已知,均为锐角，sinα＝2 5 5，sinβ＝1010，求－的值【反思回顾】9. 三角恒等变换复习课（第二课时）【基础训练】1. 【答案】4π 2．【答案】6π22(3sin 4cos )(4sin 3cos )37,2524sin()37A B B A A B +++=++= 11sin(),sin 22A B C +==，事实上A 为钝角，6C π∴= 3. 答案】323πθπθ==或 4．证明：)3cos(cos )]23cos(1[21)2cos 1(21α+πα+α-π--α-=原式 ——降次 )sin 3sin cos 3(cos cos ]2cos )23[cos(21απ-απα+α-α-π= )sin cos 23cos 21)2cos 2sin 3sin 2cos 3(cos 212αα-α+α-απ+απ= 41)2sin 43)2cos 1(412cos 212sin 232cos 41=α-α++α-α+α= ∴)6(sin )3cos(cos sin 22α-π-α+πα+α的值与α无关 【典型例题】例1 【答案】解：（1）由1cos ,072παα=<<，得sin α===∴sin 7tan cos 1ααα===22tan tan 21tan1ααα===--（2）由02παβ<<<，得02παβ<-<又∵()13cos 14αβ-=，∴()sin 14αβ-=== 由()βααβ=--得：()c o s c o s βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()c o s c ααβ=-+11317142=⨯=所以3πβ=例2 详细解答： 因为3sin α＋2sin β＝1，3sin 2α－2sin 2β＝0，所以，αβ2sin 32cos = （1）， 3sin 2sin 23sin cos 2βααα== （2）． 解法一：因为 sin(2)sin cos2cos sin2αβαβαβ+=+323sin 3sin cos 3sin .αααα=+=（1）2 ＋（2）2得： 4229sin 9sin cos 1ααα+=．所以，29sin 1α=．又α（0，2π），所以，3sin 1α=．所以，sin(2)1αβ+=． ,(0,),222ππαβαβ∈+=由得． 解法二：因为c o s (2)c o s c o s 2s i n s i αβαβαβ+=-223sin cos 3sin cos αααα=-＝0． ,(0,),222ππαβαβ∈+=又所以．解法三：（1）／（2）得： cot 2tan βα=． 所以，tan tan(2)2παβ=-． 所以，22παβ+=．例3 【答案】－3π4【巩固练习】1.(1) －35(2)－32 2. 略 3. 略4． 35．解 在△ABC 中，A+B+C=180°,由4sin 22C A +-cos2B=, 得4·2)cos(1C A +--2cos 2B+1=,所以4cos 2B-4cosB+1=0.于是cosB=,B=60°.6. 【答案】3π47. －12，4]8．【答案】[ 9．解方法一 （复角→单角，从“角”入手） 原式=sin 2α·sin 2β+cos 2·cos 2β-21·(2cos 2-1)·(2cos 2β-1) =sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-21 (4cos 2α·cos 2β-2cos 2α-2cos 2β+1) =sin 2α·sin 2β-cos 2α·cos 2β+cos 2α+cos 2β-21 =sin 2α·sin 2β+cos 2α·sin 2β+cos 2β-21 =sin 2β+cos 2β-21=1-21=21. 方法二 （从“名”入手，异名化同名）原式=sin 2α·sin 2β+(1-sin 2α)·cos 2β-21cos2α·cos2 =cos 2β-sin 2α (cos 2β-sin 2β)-21cos2α·cos2β =cos 2β-sin 2α·cos2β-21cos2α·cos2 =cos 2β-cos2β·⎪⎭⎫ ⎝⎛+)2cos 21sin 2αα =22cos 1β+-cos2β·⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)sin 21(21sin 22αα =22cos 1β+-21cos2β=21. 方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次） 原式=22cos 1α-·22cos 1β-+22cos 1α+·22cos 1β+-21cos2α·cos2β =41（1+cos2α·cos2β-cos2α-cos2β）+41 (1+cos2α·cos2β+cos2α+cos2β)- 21·cos2α·cos2β=21. 方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方） 原式=(sin α·sin β-cos α·cos β)2+2sin α·sin β·cos α·cos β-21cos2α·cos2β =cos 2(α+β)+21sin2α·sin2β-21cos2α·cos2β=cos 2(α+β)-21·cos(2α+2β)=cos 2(α+β)- 21·2cos 2(α+β)-1］=21.10. 解 由条件得cos=102,cos=552.∵,为锐角,∴sin=α2cos 1-=1027, sin=β2cos 1-=55.因此tan=ααcos sin =7,tan=ββcos sin =. (1)tan(+)=βαβαtan tan 1tan tan ∙-+=2171217⨯-+=-3.(2)∵tan2=ββ2tan 1tan 2-=2)21(1212-⨯=,∴tan(+2)=βαβα2tan tan 12tan tan ∙-+=3471347⨯-+=-1.∵,为锐角,∴0＜+2＜23π,∴+2=43π.11. 【答案】（1）π4；（2）π4。

2016年江苏省南京师大附中高考数学模拟试卷（一）一.填空题1．（5分）已知边长为6的正三角形ABC ，=，=，AD 与BE 交于点P ，则?的值为．2．（5分）设函数f （x ）的定义域为R ，且为奇函数，当x ＞0时，f （x ）=﹣x 2+2x ．若f （x ）在区间[﹣1，a ﹣2]上是单调递增函数，则a 的取值范围是．3．（5分）已知曲线y=（x ∈R ，e 是自然对数的底数）在x=﹣1处的切线和它在x=x 0（x 0≠0）处的切线互相垂直，设x 0∈（，），m 是整数，则m=．4．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b=2，且cos2B+cosB+cos（A ﹣C ）=1，当a+2c 取得最小值时，最大边所对角的余弦值是．5．（5分）设集合A={（x ，y ）|x 2+y 2+2x ﹣1=0}，B={（x ，y ）|（x+t ）2≥y 2}，若A ?B ，则实数t 的取值范围为．6．（5分）已知函数f （x ）=a 2x+ma x﹣n （a ＞0且a ≠1），若存在实数x 使得f （x ）+f （﹣x ）=﹣2，则m 2+4n 2的最小值为．二、解答题7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，点A （，）在椭圆E 上，射线AO 与椭圆E 的另一交点为B ，点P （﹣4t ，t ）在椭圆E内部，射线AP ，BP 与椭圆E 的另一交点分别为C ，D ．（1）求椭圆E 的方程；（2）求证：CD ∥AB ．8．如图，某城市有一个五边形的地下污水管通道ABCDE ，四边形BCDE 是矩形，其中CD=8km ，BC=3km ；△ABE 是以BE 为底边的等腰三角形，AB=5km ．现欲在BE 的中间点P 处建地下污水处理中心，为此要过点P 建一个“直线型”的地下水通道MN 接通主管道，其中接口处M 点在矩形BCDE 的边BC 或CD 上．（1）若点M在边BC上，设∠BPM=θ，用θ表示BM和NE的长；（2）点M设置在哪些地方，能使点M，N平分主通道ABCDE的周长？请说明理由．9．数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，2a n+1=2a n+p（p为常数，n=1，2，3，…）．（Ⅰ）若S3=12，求S n；（Ⅱ）若数列{a n}是等比数列，求实数p的值．（Ⅲ）是否存在实数p，使得数列{}满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的p的值；若不存在，说明理由．10．设f（x）=lnx﹣x﹣k，x∈（0，+∞）．（1）若f[f（1）]＜0，求实数k的取值范围；（2）设函数g（x）=f（x）﹣kx2的单调递增区间为D，对任意给定的k＞0，均有D?（0，a]（a为与k无关的常数），求证：a的最小值为1．（3）求证：f（x）在区间（0，e）上有两个零点的充要条件为k∈（1﹣e，﹣1）．三、理科加试11．某班从6名干部中（其中男生4人，女生2人）选3人参加学校的义务劳动．（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及Eξ；（2）求男生甲或女生乙被选中的概率；（3）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．12．设整数n≥3，集合P={1，2，3，…，n}，A，B是P的两个非空子集．记a n为所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数．（1）求a3；（2）求a n．2016年江苏省南京师大附中高考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）（2016?南京校级模拟）已知边长为6的正三角形ABC，=，=，AD与BE交于点P，则?的值为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】综合题；数形结合；数形结合法；平面向量及应用．【分析】由题意以BC为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，建立坐标系，根据等边三角形的性质，得到点的坐标，根据三等分点坐标公式求出点E的坐标，再根据两点式，求出直线直线BE的方程，令x=0，得到P点的坐标，再根据向量的数量积即可求出答案．【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为6，=，=，∴以BC为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，∴B（﹣3，0），C（3，0），A（0，3），D（0，0），∴E（，）=（1，2），∴直线BE的方程为=，即y=（x+3），令x=0，得y=，∴P（0，），∴=（﹣3，﹣），=（0，﹣），∴?=﹣3×0+（﹣）×（﹣）=．故答案为：2．（5分）（2016?南京校级模拟）设函数f（x）的定义域为R，且为奇函数，当x＞0时，f （x）=﹣x2+2x．若f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上是单调递增函数，则a的取值范围是1＜a ≤3．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用．【分析】利用函数奇偶性的性质作出对应的图象，利用函数单调性的性质进行求解即可．【解答】解：因为f（x）为R上的奇函数，所以f（x）的图形关于原点成中心对称，图形如图．由图象可知函数f（x）在区间[﹣1，1]上为单调递增函数，所以，解得1＜a≤3．故答案为：1＜a≤33．（5分）（2016?南京校级模拟）已知曲线y=（x∈R，e是自然对数的底数）在x=﹣1处的切线和它在x=x0（x0≠0）处的切线互相垂直，设x0∈（，），m是整数，则m=2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用．【分析】求出x＜0的函数的导数，可得在x=﹣1处的切线斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得在x=x0（x0≠0）处的切线斜率，求出x＞0的函数的导数，可得切线的斜率，构造函数g（t）=te t﹣，求出导数，运用零点存在定理，即可判断m=2．【解答】解：当x＜0时，y=﹣的导数为y′=，可得在x=﹣1处的切线斜率为﹣2e，由在x=﹣1处的切线和它在x=x0（x0≠0）处的切线互相垂直，可得在x=x0（x0≠0）处的切线斜率为，即有x0＞0，则y=的导数为y′=﹣，即有=，即（1﹣x0）e1﹣x0=，设t=1﹣x0，即有te t=，令g（t）=te t﹣，g′（t）=（1+t）e t，当m=0时，x0∈（0，），t∈（，1）；当m=1时，x0∈（，），t∈（，）；当m=2时，x0∈（，），t∈（，）；由g（）=e﹣＜0，g（）=e﹣＞0，g（）=e﹣＞0，g（1）=e﹣＞0，且g（t）在（，1）递增，可得g（t）在（，）内只有一解，故m=2成立．故答案为：2．4．（5分）（2016?南京校级模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a、b、c，已知b=2，且cos2B+cosB+cos（A﹣C）=1，当a+2c取得最小值时，最大边所对角的余弦值是﹣．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】对应思想；综合法；解三角形．【分析】使用二倍角公式和两角和的余弦函数公式化简，借助于正弦定理得出a，b，c成等比数列，利用基本不等式得出a+2c取得最小值时的条件，代入余弦定理即可求出．【解答】解：在△ABC中，∵cos2B+cosB+cos（A﹣C）=1，∴cosB+cos（A﹣C）=1﹣cos2B，∵cosB=﹣cos（A+C），cos2B=1﹣2sin2B，∴cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sin2B，∴﹣2sinAsin（﹣C）=2sin2B，即sinAsinC=sin2B，∴ac=b2=4．即c=．∴a+2c=a+≥2=4，当且仅当a=即a=2时取等号．∴当a+2c取得最小值时，a=2，c=．∴最大边对的角为A，由余弦定理得cosA===﹣．故答案为：﹣．5．（5分）（2016?南京校级模拟）设集合A={（x，y）|x 2+y2+2x﹣1=0}，B={（x，y）|（x+t）2≥y2}，若A?B，则实数t的取值范围为t≤﹣1或t≥3．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；集合．【分析】由题意可得：集合A为以（﹣1，0）为圆心，为半径的圆上的点，集合B表示两条相交直线所成区域内的点，利用直线与圆相切，求出t的值，即可得出结论．【解答】解：由题意可得：集合A为以（﹣1，0）为圆心，为半径的圆上的点，集合B 表示两条相交直线所成区域内的点，如图所示：当直线x±y+t=0与圆相切时，d==，∴t=3或﹣1．若A?B，则t 的范围为t≤﹣1或t≥3，故答案为：t≤﹣1或t≥3．6．（5分）（2016?南京校级模拟）已知函数f （x ）=a 2x +ma x﹣n （a ＞0且a ≠1），若存在实数x 使得f （x ）+f （﹣x ）=﹣2，则m 2+4n 2的最小值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；转化思想；整体思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】换元令t=a x，t ＞0；从而可得（t+）2+m （t +）﹣2n=0，再令u=t+，则u ≥2；从而可得u 2+mu ﹣2n=0，从而化简m 2+4n 2=m 2+（u 2+mu ）2=（u 2+1）m 2+2u 3m+u 4，从而求最值即可．【解答】解：令t=a x，t ＞0；则f （x ）=g （t ）=t 2+mt ﹣n ，f （﹣x ）=g （）=（）2+m﹣n ，故f （x ）+f （﹣x ）=t 2+mt ﹣n+（）2+m﹣n=﹣2，即（t+）2+m （t+）﹣2n=0，令u=t+，则u ≥2；则u 2+mu ﹣2n=0，故2n=u 2+mu ，故m 2+4n 2=m 2+（u 2+mu ）2=m 2+u 4+2mu 3+m 2u2=（u 2+1）m 2+2u 3m+u 4，△=4u 6﹣4（u 2+1）u 4=﹣4u 4＜0，∴当m=﹣时，取最小值；故最小值为==（u 2+1）+﹣2，∵u ≥2，∴u 2+1≥5，∴（u 2+1）+≥5+，∴（u 2+1）+﹣2≥3+=，故答案为：．二、解答题7．（2016?南京校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点A（，）在椭圆E上，射线AO与椭圆E的另一交点为B，点P（﹣4t，t）在椭圆E内部，射线AP，BP与椭圆E的另一交点分别为C，D．（1）求椭圆E的方程；（2）求证：CD∥AB．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）将点A代入椭圆方程，e==，联立求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）根据对称性求得B点坐标，，，求得x1和y1，代入椭圆方程，求得，同理求得（λ2+1）?18t2=λ2﹣1，两式相减求得λ1=λ2，因此可证明CD∥AB．【解答】解：（1）将点A代入椭圆方程得：，且e==，解得：a2=1，，所以，椭圆E的方程为：x2+2y2=1．（2）∵，∴．设C（x1，y1），D（x2，y2），，，其中：λ1，λ2∈（0，1），则，代入椭圆方程并整理得，，同理得，（λ2+1）?18t2=λ2﹣1，两式相减得：（λ1﹣λ2）?（18t2﹣1）=0．∵点P（﹣4t，t）在椭圆E内部，∴18t2＜1，∴λ1=λ2，从而CD∥AB．8．（2016?南京校级模拟）如图，某城市有一个五边形的地下污水管通道ABCDE，四边形BCDE是矩形，其中CD=8km，BC=3km；△ABE是以BE为底边的等腰三角形，AB=5km．现欲在BE的中间点P处建地下污水处理中心，为此要过点P建一个“直线型”的地下水通道MN接通主管道，其中接口处M点在矩形BCDE的边BC或CD上．（1）若点M在边BC上，设∠BPM=θ，用θ表示BM和NE的长；（2）点M设置在哪些地方，能使点M，N平分主通道ABCDE的周长？请说明理由．【考点】已知三角函数模型的应用问题；正弦定理．【专题】方程思想；三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（1）根据条件结合三角形的边角公式建立函数关系即可．（2）根据正弦定理结合三角函数的性质进行求解．【解答】解：（1）当点M在边BC上，设∠BPM=θ，在Rt△BPM中，BM=BP?tanθ=4tanθ．在△PEN中，不妨设∠PEN=α，其中，则，即；（2）当点M在边BC上，由BM+AB+AN=MC+CD+DE+EN，BM﹣NE=2；即；即8tan2θ﹣8tanθ﹣3=0，解得．∵与矛盾，点只能设在CD上．当点M在边CD上，设CD中点为Q，由轴对称不妨设M在CQ上，此时点N在线段AE 上；设∠MPQ=θ，在Rt△MPQ中，MQ=PQ?tanθ=3tanθ；在△PAN中，不妨设∠PAE=β，其中；则，即；由MC+CB+BA+AN=MQ+QD+DE+EN，得AN=MQ，即；解得tanθ=0或；故当CM=4，或者时，符合题意．答：当点M位于CD中点Q处，或点M到点C的距离为3km时，才能使点M，N平分地下水总通道ABCDE的周长．9．（2016?南京校级模拟）数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，2a n+1=2a n+p（p为常数，n=1，2，3，…）．（Ⅰ）若S3=12，求S n；（Ⅱ）若数列{a n}是等比数列，求实数p的值．（Ⅲ）是否存在实数p，使得数列{}满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的p的值；若不存在，说明理由．【考点】等差数列的性质；数列递推式．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用a1=1，2a n+1=2a n+p，求出2a2=2+p，2a3=2+2p，利用S3=12，求出p，即可求S n；（Ⅱ）若数列{a n}是等比数列，则a22=a1a3，求出实数p的值，再验证；（Ⅲ）利用反证法进行证明即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，2a n+1=2a n+p，∴2a2=2+p，2a3=2+2p，∵S3=12，∴2+2+p+2+2p=6+3p=24，∴p=6，∴a n+1﹣a n=3，∴数列{a n}是以1为首项，3为公差的等差数列，∴S n=n+=；（Ⅱ）若数列{a n}是等比数列，则a22=a1a3，∴（1+）2=1×（1+p），∴p=0，∴a n+1=a n，此时，数列{a n}是以1为首项，1为公比的等比数列；（Ⅲ）p=0时，a n=1，数列{}是等差数列，满足题意；p≠0时，a n+1﹣a n=，∴数列{a n}是以1为首项，为公差的等差数列，∴a n=n+1﹣．假设存在p0≠0，满足题意，数列记为{b n}．①p0＞0，a n＞0，数列{b n}是各项均为正数的递减数列，∴d＜0．∵b n=b1+（n﹣1）d，∴n＜1﹣时，b n=b1+（n﹣1）d＜b1+（1﹣﹣1）d=0，与b n＞0矛盾；②p0＜0，令＜0，∴n＞1﹣，a n＜0，数列{b n}是各项均为负数的递增数列，∴d＞0．∵b n=b1+（n﹣1）d，∴n＞1﹣时，b n=b1+（n﹣1）d＞b1+（1﹣﹣1）d=0，与b n＜0矛盾，综上所述，p=0是唯一满足条件的p的值．10．（2016?南京校级模拟）设f（x）=lnx﹣x﹣k，x∈（0，+∞）．（1）若f[f（1）]＜0，求实数k的取值范围；（2）设函数g（x）=f（x）﹣kx2的单调递增区间为D，对任意给定的k＞0，均有D?（0，a]（a为与k无关的常数），求证：a的最小值为1．（3）求证：f（x）在区间（0，e）上有两个零点的充要条件为k∈（1﹣e，﹣1）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（1）利用f[f（1）]＜0，推出k的不等式，求解即可．（2）求出，求出g（x）的单调递增区间，讨论0＜a＜1，当给定的时，D?（0，a]不成立．得到a≥1，然后推出a的最小值．（3）设f（x）=lnx﹣x﹣k，x∈（0，e），求出导数，得到函数的单调区间，利用f（x）在区间（0，e）上有两个零点的必要条件为，转化求解k的取值范围．【解答】解：（1）f[f（1）]＜0，即f（﹣1﹣k）＜0，即ln（﹣1﹣k）﹣（﹣1﹣k）﹣k＜0，即ln（﹣1﹣k）＜﹣1，所以．（2）得2kx2+x﹣1＜0，注意到，所以g（x）的单调递增区间为．若0＜a＜1，则令，得，这说明当给定的时，D?（0，a]不成立．所以a≥1，又a=1时，，这显然正确，所以a=1满足条件，故a的最小值为1．（3）证明：设f（x）=lnx﹣x﹣k，x∈（0，e），则，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，f（1）=﹣1﹣k，f（e）=1﹣e﹣k，因此f（x）在区间（0，e）上有两个零点的必要条件为，即1﹣e＜k＜﹣1．当，即1﹣e＜k＜﹣1时，因为f（e k）=﹣e k＜0，e k＜1，结合f（x）在（0，1）上单调递增，得在区间f（x）在（0，1）上存在唯一零点，而，及f（x）在（1，e）上单调递减，得f（x）在区间（1，e）上存在唯一零点，故f（x）在区间（0，e）上有两个零点的充要条件为1﹣e＜k＜﹣1．故所求的k的取值范围为（1﹣e，﹣1）．三、理科加试11．（2012?惠州模拟）某班从6名干部中（其中男生4人，女生2人）选3人参加学校的义务劳动．（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及Eξ；（2）求男生甲或女生乙被选中的概率；（3）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，再根据题意分别求出其概率即可得到其分布列，进而求出其期望．（2）根据题意求出其对立事件的概率，进而根据有关公式求出答案．（3）记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，再求出事件A与事件A、B 共同发生的概率，进而根据条件概率的公式求出答案．【解答】解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，所以依题意得：P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==所以ξ的分布列为ξ01 2P所以Eξ=．（2）设“甲、乙都不被选中”为事件C，则P（C）==，所以所求概率为．（3）记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，所以P（A）==，所以P（B|A）=．所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为．12．（2016?江苏模拟）设整数n≥3，集合P={1，2，3，…，n}，A，B是P的两个非空子集．记a n为所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数．（1）求a3；（2）求a n．【考点】数列的求和；子集与真子集．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）当n=3时，P={1，2，3 }，由此能求出a3=5．（2）设A中的最大数为k，其中1≤k≤n﹣1，整数n≥3，则A中必含元素k，另元素1，2，…，k﹣1，可在A中，B中必不含元素1，2，…，k；元素k+1，k+2，…，k可在B中，但不能都不在B中．由此能求出a n．【解答】解：（1）当n=3时，P={1，2，3 }，其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，则所有满足题意的集合对（A，B）为：（{1}，{2}），（{1}，{3}），（{2}，{3}），（{1}，{2，3}），（{1，2}，{3}）共5对，∴a3=5．…（3分）（2）设A中的最大数为k，其中1≤k≤n﹣1，整数n≥3，则A中必含元素k，另元素1，2，…，k﹣1，可在A中，故A的个数为：，…（5分）B中必不含元素1，2，…，k，另元素k+1，k+2，…，n可在B中，但不能都不在B中，故B的个数为：=2n﹣k﹣1，…（7分）从而集合对（A，B）的个数为2k﹣1?（2n﹣k﹣1）=2n﹣1﹣2k﹣1，∴a n=（2n﹣1﹣2k﹣1）=n﹣1+1．…（10分）=（n﹣2）?2参与本试卷答题和审题的老师有：whgcn；maths；双曲线；zhczcb；lcb001；炫晨；铭灏2016；刘长柏；qiss；haichuan；zlzhan（排名不分先后）菁优网2016年11月9日。

10. 三角恒等变换复习课（第三课时）【基础训练】1．已知sin cos αβ+13=，sin cos βα-12=，则sin()αβ-=__________.2．求值：2sin50°＋sin80°(1＋3tan10°)1＋cos10° ．3．.设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，求sin(2α＋π12)的值．4．已知函数2()sin sin()(0)2f x x x x πωωωω=+>的最小正周期为π．（1）求ω的值； （2）求函数f (x )在区间[0，23π]上的取值范围．【典型例题】例1已知2tan 2tan tan βαβ=+，求证：|tan()|1αβ-≤．例2已知()cos 2sin 22f x a x x a b =--++，其中a ＞0，[0,]2x π∈时，－5≤f （x ）≤1，设2()3g t at bt =+-，[1,0]t ∈-，求g （t ）的最小值．例3在半径为1，圆心角为α⎪⎭⎫⎝⎛<<20πα的扇形OAB 的弧AB 上取一点P ，作内接矩形PSQR ，使顶点,Q R 在OA 上，S 在OB 上，求矩形PSQR 面积的最大值及此时POA ∠的值．【巩固练习】O1. 若f (x)=2tan x -2cos2sin 12sin 22x x x -，则 f ⎪⎭⎫ ⎝⎛12π的值为. 2. 求值：cos 48π+cos 483π+cos 485π+cos 487π.3. （1）已知tan α=34，cos(α+β)=1411-，α、β均为锐角，求cos β的值. （2）已知2π<α<β<43π，cos(α－β)= 1312，sin(α+β)=－53求cos2α的值.4. 已知40,sin 25παα<<=． （1）求22sin sin 2cos cos 2αααα++的值；（2）求5tan()4πα-的值．5. 求值：sin15°cos5°－sin20°cos15°cos5°－cos20°. (P131复习题第8题)6. 已知2cos(2α＋β)＋3cos β＝0，求tan(α＋β)tan α的值.7. 已知cos(2βα-)=－91，sin(2α－β)=32，且2π＜α＜π,0＜β＜2π，求cos 2βα+的值.8. 已知函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x －3cos 2x ，x ∈R.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的最大值. (P131复习题第17题)9. 已知sinα＋sinβ＝a，cosα＋cosβ＝b，求cos(α－β)的值. (P131复习题第15题)10.(1)求(1＋tan1°) (1＋tan44°)的值；(2)求(1＋tan1°) (1＋tan2°) (1＋tan3°) (1＋tan4°)．．．(1＋tan44°) (1＋tan45°)的值.11. 如图，在半径为R，圆心角为60°的扇形AB弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，求这个矩形面积的最大值及相应的∠AOP的值.BO M【反思回顾】10. 三角恒等变换复习课（第三课时）【基础训练】 1．【答案 】5972-2213(sin cos )(sin cos )36αββα++-=,592sin()36αβ-=- 2．【答案】23．【答案 】∵π6＜α＋π6＜2π3，cos(α＋π6)＝45，∴sin(α＋π6)＝35，∴sin(2α＋π3)＝2 sin(α＋π6) cos(α＋π6)＝2425，∴cos(2α＋π3)＝725，∴sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4)＝sin(2α＋π3)cos π4－cos(2α＋π3)sin π4＝175024．【答案】（1）1cos 2()22x f x x ωω-=11cos 222x x ωω-+=1sin(2).62x πω-+因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，所以22ππω=，解得ω=1．（2）由（1），得 1()s i n (2).62f x x π=-+ 因为0≤x ≤23π，所以12-≤26x π-≤．所以12-≤sin (2)6x π-≤1．所以0≤1sin(2)62x π-+≤32．即f (x )的取值范围为[0，32]【典型例题】例1解：2tan 2tan tan βαβ=+，所以2224tan tan (3tan )tan 2tan 2tan tan 1tan tan βββαβββββ+=-=-=-，1-所以，2222tan (3tan )tan tan tan tan tan()tan (3tan )1tan tan 1tan tan βββαββαβββαβββ+---==++⋅-⋅1-1-2222tan (1tan )(1tan )βββ+=+222sin 22tan cos sin 2sin 1tan 1cos βββββββ===++．又|sin 2|1β≤，所以|tan()|1αβ-≤．例2 思路点拨：注意和差角公式的逆用，二次函数求最值时要注意定义域的限制．解：()cos 2sin 22f x a x x a b =-++＝122cos 2]22a x x ab -+++ ＝2sin(2)26a x ab π-+++因为[0,]2x π∈， 所以，72666x πππ≤+≤，所以1sin(2)126x π-≤+≤． 又a ＞0 所以，－2a ＜0． 所以，22sin(2)6a a x a π-≤-+≤．所以，2sin(2)236b a x a b a b π≤-+++≤+．所以，()3b f x a b ≤≤+．由－5≤f （x ）≤1得 55312b b a b a =-=-⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩所以，222549()32532()48g t at bt t t t =+-=--=-- 因为[1,0]t ∈-，所以，当t ＝0时，g （t ）min ＝g （0）＝－3． 例3详细解答：设(0)POA x x α∠=<<．Rt △POR 中，因为OP ＝1，所以PR ＝sin x ，OR ＝cos x ． Rt △SOQ 中，因为SQ ＝PR ＝sin x ，所以sin tan xOQ α=，所以．sin cos tan xQR x α=-． 矩形PSQR 面积为sin sin (cos )tan x S x x α=⋅-(0)2x πα<<< ＝2sin sin cos tan xx x α⋅-＝11cos 2sin 222tan xx α--＝1cos cos sin 2cos 222sin 2sin x x αααα-+ O＝1cos cos (sin 2cos 2)2sin 2sin x x αααα+-＝1sin 2sin cos 2cos cos 2sin 2sin x x ααααα⋅+⋅⋅- ＝1cos(2)cos 2sin 2sin x αααα-⋅-因为02x πα<<<，所以22x παπ-<-<．所以，当20x α-=，即2x α=时，cos(2)x α-取得最大值1，矩形PSQR 面积取得最大值1cos 2sin S αα-=．【巩固练习】 1. 82.233. （1）12（2）－63654. 解：（1）由40,sin 25παα<<=，得3cos 5α=，所以22sin sin 2cos cos 2αααα++＝22sin 2sin cos 203cos 1αααα+=- （2）∵sin 4tan cos 3ααα==，∴5tan 11tan()41tan 7πααα--==+5.－(2＋3)6.－5 7. 解222βαβαβα+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-, ∵2π＜α＜π,0＜β＜2π ∴4π＜α-2β＜π,- 4π＜2α-β＜4π. ∴sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2cos 12βα=954,cos ⎪⎭⎫⎝⎛-βα2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--βα2sin 12=35∴cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βα=cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βαcos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα2+sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βαsin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα2=2757. 8. π,5 －1 9. a 2＋b 2－2210.(1) 2(2) 223.。