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04 复习拉氏反变换有关知识 §2.3 传递函数

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第2章 2.3传递函数

第2章 2.3传递函数
K ∏ (τ i s + 1) ∏ τ i2 s 2 + 2ρiτ i s + 1
i =1 i =1 l 1 ( m−l ) 2
G(s ) =
(
)
∏ (T s +1) ∏ (T
h j j =1 j =1
1 ( n −h ) 2
2 2 j
s + 2ξ jT j s + 1
)
注意！
K 传递系数或 静态增益，常 数项归一
C (s) (s G( s ) = R(s)
C(s) b0 s + b1s + ⋯ + bm−1s + bm = n n −1 R(s) a0 s + a1s + ⋯ + an−1s + an
m
m−1
2.3传递函数
一 定义与性质 [性质] （1）传递函数的概念只适用于线性定常 系统，它是在零初始条件下定义的。 （2）传递函数是复变量 S 的有理分式函 数，即： ≥ m；各系数均为实数。 n 是系统元件参 数的函数 物理系统的固有特性是因果性；若m>n, 则这是物理不可实现的系统。
C (s) 1 = 2 2 传递函数： G ( s ) = R ( s ) T s + 2ξ Ts + 1
ω n2 1/T 2 = = 2 2ξ 1 s + 2ξω n s + ω n2 2 s + s+ 2 T T
R(s)
ωn ：无阻尼 无阻尼
ζ ：阻尼比
22
1 T 2 s 2 + 2ξ Ts + 1
振荡环节方框图
C(s)
自然振荡频率
2.3传递函数

传递函数

传递函数

这些微分环节的传递函数没有极 点，只有零点。由于n<m,一般
一阶: G(s)Tds1
不会单独存在,实际微分环节是 加入惯性环节的实现.
二阶: G (s)Td2s22Tds1
实际:
G(s)
Td s Td s 1
G(s)
T2s2
1
2Ts1
两种形式的能量转换过程中使输 出产生振荡。
G(s) es
输出和输入相同仅延迟时间τ； 不失真
原因：延时效应。信号输入环节后，由于环节传递信号的速 度有限。输出响应要延迟一段时间τ才能产生。
典型环节
比例环节 惯性环节 积分环节 微分环节
振荡环节 延迟环节
传递函数
特点
G(s) K
同步变化,不失真,不延时
G(s) 1 Ts 1
跟随输入,存在时间上的延迟
G(s)
1 s
输出随时间无限的增加
理想: G(s) Tds
i
1 zi
1 Tj pj
m
K ──时间常数形式传递函数的增益；
zi
通常称为传递系数。
K Kg
i1 n
pj
j1
2.2.2 典型环节及其传递函数
一个系统可看成由一些环节组成的，可能是电气的，机械的，液压 的，气动的等等。尽管这些系统的物理本质差别很大，但是描述他们的 动态性能的传递函数可能是相同的。如果我们从数学的表达式出发，一 般可将一个复杂的系统分为有限的一些典型环节所组成，并求出这些典 型环节的传递函数来，以便于分析及研究复杂的系统。
数微分方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。
➢传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和学
科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。而研究某传递函 数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。

传递函数

传递函数

2.3.6 典型环节及其传递函数
比例环节传递函数
输出量与输入量成正比的环节称为比例环节。 输出量与输入量成正比的环节称为比例环节。即 则传递函数为
y(t) = K (t) ， x
G(s) =
Y(s) = K ，式中 式中K——放大系数 放大系数 X(s)
惯性环节(非周期环节 惯性环节 非周期环节) 非周期环节
Y(s)=0的根称为零点。 的根称为零点。 的根称为零点 X(s)=0的根称为极点。 的根称为极点。 的根称为极点 零点和极点的数值取决于系统的参数。 零点和极点的数值取决于系统的参数。
G(s)的零极点分布决定系统动态特性。 的零极点分布决定系统动态特性。 的零极点分布决定系统动态特性
2.3.5 传递函数的特点
传递函数是经典控制理论的基础，是极其重要的基本概念。 传递函数是经典控制理论的基础，是极其重要的基本概念。
2.3.2 传递函数的概念
在零初始条件下，线性定常系统输出象函数Y(s)和输入象函数 在零初始条件下，线性定常系统输出象函数 和输入象函数X(s)之比，称为系统的传 之比， 和输入象函数 之比 递函数， 表示。 递函数，用G(s)表示。即 表示
d2 y(t) dy(t) m 2 +f +ky(t) = x(t) dt dt
2 ωn Y(s) 1 k G(s) = = 2 = 2 2 2 X(s) k s +2 ns +ωn T s +2 Ts +1 ξω ξ
则传递函数为
式中ω
k = n m
—— 无阻尼固有频率； ξ = 无阻尼固有频率；
f 1 —— 阻尼比； 阻尼比； 2 m k
dy(t) T + y(t) = Kx(t) dt

传递函数

传递函数

K
K r zi
m
p
j 1
n
i 1
j
二、传递函数的性质和含义
1.动态数学模型，不反映系统内部信息，是外 部描述，用方框表征，适用于单输入单输出系 统，多入单出系统可以传递函数矩阵表示 2.分子阶次m不大于分母阶次n:符合物理系统的 客观规律：输出不可能立刻复现输入:惯性 3.传递函数是系统（或环节）在复数域中的数 学模型，是固有特性的描述 4.传递函数只取决于系统本身的结构参数，与 外界输入无关
1
1
1
1
传递函数：
G(s)
C(s) 1 K R(s) Ts s
积分环节例
i (t )
n (t )
D
x (t )
u (t )
N (s)
D
s
X (s)
I (s)
1 Cs
U (s)
4、惯性环节(非周期环节)
特点：含有一个独立的储能元件，对突变的输入，输 出不能立即复现，存在时间上的延迟
lim f (t ) lim sF ( s)
s 0
L[ f (t )] e s F ( s)
t 0
lim f (t ) lim sF ( s)
s
F ( s) f 1 (0) L[ f (t )dt] s s
df (t ) L[ ] sF ( s) f (0) dt
；
C ( s) R( s )
K ( i s 1) [(
；
m1
m2
s
s

(
j 1
i 1 n1
j
s 1) [(
l 1
k 1 n2

自动控制原理2.3 传递函数1.3 传递函数

自动控制原理2.3 传递函数1.3 传递函数

U a (s) TaTm s 2 Tm K 0 s 1
1 K0
1 K0
(s) Mc (s)

Km 1 K0
(Ta
s
1)
TaTm s 2 Tm K 0 s 1

1 K0
1 K0
2．性质与说明：
（1）传递函数是复变量s的有理真分式，具有复变
函数的所有性质，且所有系数均为实数。

a1
d n1c(t) dt n1


an1
dc(t ) dt

a n c(t )

b0
d mr(t) dt m

b1
d m1r(t) dt m1


bm1
dr (t ) dt

bm r(t)
当初始条件为零时有：
[a0 s n a1s n1 an1s an ]C(s)
一、基本概念：
第二章 数学模型
以 RC 网络为例。
R
RC
duc dt
uc

ur，设
uc (0)

0
C
则有 RCsUc (s) Uc (s) Ur (s)
ur i
uc
即(RCs 1)Uc (s) Ur (s)
Uc (s)
1 RCs

1
U
r
(
s)。
其中 Ur (s)随
ur (t) 形式而变，
号的性质和能力，故称它为RC网络的传函。
1、定义：对于线性定常系统来说，当初始条件为零 时，输入量拉氏变换与输出量拉氏变换之 比叫做系统的传递函数 。
G(s) C(s) . R(s) R(s)

拉氏变换及传递函数详解演示文稿

拉氏变换及传递函数详解演示文稿
Fx （3）复数的共轭 F(s) Fx jFy （4）解析 若F(s)在 s 点的各阶导数都存在，则F(s)在 s 点解析。
2.复变数的各种表达形式
s j 代数形式
s
极坐标
s e jθ
指数
s (cos j sin )
三角
s 2 2 tg 1
欧拉定理：
e jθ cosθ j sin θ e jθ cosθ j sin θ cosθ 1 (e jθ e jθ )
1 (s a)
(s2 2) s (s2 2)
5 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s)
（2）微分定理 L f t s F s f 0
证
明： 左 f t estdt estdf t
0
0
e-st f
t
0
例8
L e-3t cos 5t
s 2
s 52
ss3
s3
s 32 52
例9
Le 2 t
cos ( 5t
π 3
)
Le 2t
cos5(t
π 15
)
-
π
s
e 15
s
2
s
52
s
s
2
π s2
e 15
s2 s 2 2 52
（6）初值定理 lim f (t) lim s F(s)
s
s
s
（5）位移定理 L eAt f (t) F (s A)
证明：左 e At f (t) ets dt f (t) e(sA)t dt
0
0
令 sA s
f (t)est dt

(第03讲) 第二章 拉氏变换与传递函数


t )] 1( s
(
s j
) s
2

2
4 幂函数
L (t )
n
t t) 1(
n

n s

t e
n
st
dt
st
1 s
n s
t e
n
st
0
0

n
s

e
st
t
n 1
dt
0
L[t
n
]


t
n 1
e
dt
L[t
n 1]
]
0
06-7-20
控制系统系统的动态数学模型
X ( s ) L [ x ( t )]



x (t )e
st
dt
0
式中，s是复变数； s
x (t ) 为原函数； X ( s )
j
Re( s )
为象函数。
2.3.2 简单函数的拉氏变换
1 单位阶跃函数 1( t )
0, t 0 1( t ) 1, t 0
x ( t ) y ( t ) 的卷积分的数学表示为：
x (t ) y (t ) x (t ) y (t )
06-7-20

t 0
t
x ( t ) y ( ) d
0

x ( ) y ( t ) d y ( t ) x ( t )
控制系统系统的动态数学模型 12
对于函数 x (t ) 满足， x （1）当t<0时， ( t ) 0
x (t 当t>0时， )

2.3传递函数


二、传递函数的性质和含义
（关于传递函数的说明）
1．传递函数是描述线性定常系统的重要数 学模型之一，是系统动态数学模型，传递 函数的概念只适用于线性定常系统；
2．传递函数描述的是输出变量与输入变量 间的关系，传递函数只取决于系统本身的 结构、参数，与系统输入量无关；
3．传递函数是复变量s的有理分式函数， 其分子分母都是s的有理多项式，所有的系
这是一个脉冲面积（强度）为T 、宽度为零、幅值
为无穷大的理想脉冲，显然在实际中是无法实现的。
一阶微分环节：
这是一个比例环节与微分环节的并联组合， 称为一阶微分环节，或实用微分环节。
一阶微分环节的实现电路：
5．振荡环节
振荡环节一般含有两个环节的特点是，其输出信号比输人信号 延迟一段时间。
3、输入——偏差
偏差信号E(s)对于给定 输入R(s)与干扰输入N(s) 的闭环传递函数
⑴ 给定输人R(s)单独作用时
方框图：
闭环传递函数：
⑵ 扰动输人N(s)单独作用时
方框图：
闭环传递函数：
⑶ 系统在R(s)、N(s)同时作用下的总偏差
总偏差为各自独立作用下的偏差之和，即
在上面推导中，各闭环传递函数都具有相 同的分母，这反映了系统闭环传递函数的 共同规律，即分母多项式反映了系统的固 有特性。
7．传递函数常用形式之二：时间常数表达式
特点： 各因式项中的常数项均为1（若不是
零）；
各因式中s项的系数τi和Ti 称为各
环节的 时间常数，
k 称为系统增益或放大系数。
三、典型环节的传递函数
1．比例环节（放大环节）
特点是输出量能够不失真、不延迟，成比 例地复现输人信号。

传 递 函 数

控制系统的传递函数主要具有以下性质。
（1）传递函数只适用于线性定常系统。由于传递函数是基于拉氏变换将原来的线 性常系数微分方程从时域变换至复频域而得到的，故仅用于描述线性定常系统。
（2）传递函数是在零初始条件下定义的，因此它表示了在系统内部没有任何能量 储存条件下的系统描述。如果系统内部有能量储存，传递函数中将会出现系统在
1.1 传递函数的定义
传递函数的概念是在用拉氏变换求解线性微分方程的基础上提出的，它是
经典控制理论中应用最广泛的一种动态数学模型。
设描述n阶线性定常系统的微分方程为
dnc(t) dn1c(t)
dc(t)
a0 dtn a1 dtn1 an1 dt anc(t)
b0
d m r (t ) dt m
记作
G(s)
C(s) R(s)
b0 s m a0 s n
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
(n
m)
G(s) 反映了系统输出与输入之间的关系，描述了系统的特性，即为线性定
常系统的传递函数。
【定义 2-1】 线性定常系统中，在零初始条件下，系统输出量拉氏变换与输入
R(s) L (t) 1
所以，系统在单位脉冲输入信号 (t)作用下输出量的拉氏变换为 C(s) G(s)
故有：
g(t) L1 C(s) L1 G(s)
可见，传递函数 G(s) 的拉氏反变换是系统在单位脉冲输入信号 (t) 作
用下的输出量，它完全描述了系统的动态特性，所以是系统的数学模型，通常 也称为脉冲响应函数。
b1
d m 1r (t ) dt m1
bm1
dr(t) dt
bm r (t )
式中 c(t) ——系统输出量；

传递函数的反拉氏变换是单位脉冲响应

传递函数的反拉氏变换是单位脉冲响应反拉氏变换是拉氏变换的逆操作，它能够将频域中的表达式转换回时域中的函数。

在工程和物理学中，反拉氏变换是非常重要的，它可以帮助我们理解和分析各种信号和系统。

其中，传递函数的反拉氏变换是单位脉冲响应。

首先，让我们回顾一下拉氏变换。

拉氏变换是一个非常强大的数学工具，它将一个时域函数转换成一个复平面上的函数，这使得我们可以在频域中进行分析和处理。

具体来说，对于一个时域函数f(f)，其拉氏变换定义为：f(f) = f{f(f)} = ∫[f^(-ff)]*[f(f)]*ff其中，f = f + ff是一个复数，f是实部，f是虚部。

f^(−ff)是复平面上的指数函数。

反拉氏变换是拉氏变换的逆运算，它将一个复平面上的函数转换回时域中的函数。

对于一个复平面上的函数f(f)，其反拉氏变换定义为：f(f) = f^(-1){f(f)} = 1/2f*∫[f^(ff)]*[f(f)]*ff在信号处理和系统分析中，我们经常遇到的是用来描述线性时不变（LTI）系统的传递函数。

传递函数是一个函数f(f)，它描述了输入和输出之间的关系。

具体来说，对于一个输入信号f(f)和一个输出信号f(f)，它们之间的关系可以用传递函数表示为：f(f) = f(f)*f(f)其中，f(f)和f(f)分别是输入和输出信号的拉氏变换，f(f)是系统的传递函数。

现在让我们来解释为什么传递函数的反拉氏变换是单位脉冲响应。

首先，我们假设输入信号f(f)是一个单位脉冲函数，即在时刻f = 0时为1，其他时刻为0。

单位脉冲函数可以用拉氏变换表示为f(f) = 1。

根据传递函数的定义，输出信号的拉氏变换可以表示为：f(f) = f(f)*f(f) = f(f)*1 = f(f)现在，我们需要将输出信号的拉氏变换反变换回时域中的函数f(f)。

根据反拉氏变换的定义，我们有：f(f) = f^(-1){f(f)} = 1/2f*∫[f^(ff)]*[f(f)]*ff这里的f(f)表示传递函数。

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m 2 m 1
C m 1(s-p1 )m C n(s-p1 )m s-pm 1 s-pn
d (s p1 )m .F(s) 0 C m 1 2C m 2 ( s p1 ) ( m 1)C1 ( s p1 )m 2 ds 1 d lim (s p1 )m .F(s) C m- 1 1! s p1 ds d2 (s p1 )m .F(s) 0 0 2C m 2 ( m 1)( m 2)C1 ( s p1 )m 3 ds 2 1 d2 lim 2 (s p1 )m .F(s) C m- 2 2! s p1 ds
复习拉普拉斯变换有关内容（16）
s3 ，求 f ( t ) ? 2 s 2s 2 s3 C1 C2 F(s) 解一. (s 1-j)(s 1 j) s 1-j s 1 j
例4 已知 F ( s )
C1 lim (s 1 j)
s3 2 j s 1 j (s 1 j)(s 1 j) 2j s3 2i C 2 lim (s 1 j) s 1 j (s 1 j)(s 1 j) 2 j
1 t 1 3t f(t) e e 2 2
s 2 5s 5 例3 已知 F ( s ) 2 ，求 f ( t ) ? s 4s 3
s2 ( s 2 4 s 3) ( s 2 ) 1 解. F(s) ( s 1)( s 3) s 2 4s 3 1 1 f(t) ( t ) e t e 3 t 2 2
f(t) 1 1 e at a


复习拉普拉斯变换有关内容（13）
用L变换方法解线性常微分方程
an c ( n ) an1c ( n1) ... a1c a0c bm r ( m ) bm 1r ( m 1) ... b1r b0 r
0 初条件
2 j ( 1 j ) t 2 j ( 1 j ) t 1 e t ( 2 j )e jt ( 2 j )e jt f(t) e e 2j 2j 2j 1 t e j2 cos t 4 sin t e t cos t 2 sin t 2j s1 1 s 1 2 s3 2 F(s) 解二： 2 2 2 2 (s 1 )2 12 (s 1 )2 12 (s 1 ) 1 (s 1 ) 1
n>m
L : (an s n an1 s n1 ... a1 s a0 )C ( s ) (bm s m bm 1 s m 1 ... b1 s b0 ) R( s )
bm s m bm 1 s m 1 ... b1 s b0 C ( s) R( s ) n n 1 an s an1 s ... a1 s a0 bm s m bm 1 s m 1 ... b0 C1 C 2 C n C ( s) s n an s n an1 s n1 ... a0 s 1 s 2 i : 特征根（极点） t t t 1 1 L : c(t ) L [C ( s)] C1e C2e Cne t e : 相对于 i 的模态


s p1
lim (s p1 )m .F(s) C m







复习拉普拉斯变换有关内容（19）
s2 ，求 f ( t ) ? 2 s( s 1) ( s 3) c c2 c c F(s) 1 3 4 解. (s 1 )2 s 1 s s 3
I. 当 A( s ) 0 无重根时 n Cn Ci C1 C2 F(s) s p1 s p2 s pn i 1 s pi 其中：
C i lim (s pi ).F(s)
s pi
Ci
B(s) A (s)
s pi
f ( t ) C 1e
自动控制原理
西北工业大学自动化学院
自动控制原理教学组
自动控制原理
本次课程作业（4）
附加: 已知 F(s) ，求 f(t)
2s 2 5s 1 (1) F(s) s(s 2 1 ) s (2) F(s) 2 s 8s 17
2 — 4, 5, 6, 7
1 (3) F(s) 3 s 21 s 2 120 s 100
（5）复位移定理 （6）初值定理 （7）终值定理
L f ( t 0 ) e τ s F ( s )
L e At f ( t ) F ( s A)
lim f ( t ) lim s F ( s )
t 0 s s0


lim f ( t ) lim s F ( s )
2
1 1 3 1 2 1 1 1 F(s) . . . . 2 (s 1 )2 4 s 1 3 s 12 s 3 1 3 2 1 f(t) te t e t e 3 t 2 4 3 12
线性定常微分方程求解
例6
R-C 电路计算
RCuc uc ur
p1 t
C 2e
p2 t
C ne
pn t
C i e pi t
i 1
n
复习拉普拉斯变换有关内容（15）
例2 已知 F ( s )
s2 ，求 f ( t ) ? 2 s 4s 3 s2 C1 C2 解. F(s) (s 1 )(s 3 ) s 1 s 3






复习拉普拉斯变换有关内容（18）
Cm C m-1 C m 1 Cn C1 F(s) m m- 1 (s-p1 ) (s-p1 ) s-p1 s-pm 1 s-pn
(s-p1 ) F(s) C m C m-1(s-p1 ) C m- 2(s-p1 ) C1(s-p1 )
例5 已知 F ( s )
1 2 1 s2 C 2 lim (s 1 ) 2 s 1 s(s 1 )2(s 3 ) ( 1 )( 1 3 ) 3 1 d s2 s( s 3) ( s 2)[ s 3 s] 2 C1 lim (s 1 ) lim 4 1! s 1 ds s(s 1 )2(s 3 ) s 1 s 2 ( s 3) 2 s2 2 C 3 lim s. s0 s(s 1 )2(s 3 ) 3 s2 1 C 4 lim( s 3) s 3 s(s 1 )2(s 3 ) 12
F ( s) f (t ) e ts dt
0

f (t )
F (s )
1 1s 2 1s 3 1s 1 ( s a)
(t )
1( t ) t t2 2
e at sin t cos t
(s2 2 ) s (s2 2 )
课程回顾(3)
4 L变换重要定理
3s 2 2s 8 (4) F(s) s(s 2 )( s 2 2 s 4)
s2 (5) F(s) s(s 3 )(s 1 )2
自动控制原理
（第 4 讲）
第二章 控制系统的数学模型
复习： 拉普拉斯变换有关知识 §2来自3 控制系统的复域数学模型自动控制原理课程的任务与体系结构
课程回顾 (1)
控制系统的数学模型
时域模型 — 微分方程
• 元部件及系统微分方程的建立 • 线性定常系统微分方程的特点 • 非线性方程的线性化 • 微分方程求解
课程回顾(2)
2 拉氏变换的定义 3 常见函数L变换
（1）单位脉冲 （2）单位阶跃 （3）单位斜坡 （4）单位加速度 （5）指数函数 （6）正弦函数 （7）余弦函数
C m lim (s p1 )m .F(s) s p1 Cm C m-1 C 1 d f(t) L1[ 1 (s p1 )m .F(s) (s-p1 )m (s-p1 )m-1 s-p1 C m- 1 slim 1! p1 ds C C m 1 n ] s-pm 1 s-pn 1 d ( j) m Cm C m-1 m 2 C m-j slim j (s p1 ) .F(s) j! p1 ds [ t m 1 t C 2 t C1 ].e p1t (m 1 )! (m 2 )! n ( m 1 ) 1 d C i e pi t m i m 1 C1 (m- 1 )! slim1 ds m 1 (s p1 ) .F(s) p
t
复习拉普拉斯变换有关内容（12）
5 拉氏反变换
（1）反演公式
f (t )
2 j j
1
j
F ( s ) e t s ds
（2）查表法（分解部分分式法）
试凑法 系数比较法 留数法
1 例1 已知 F(s) ，求 f ( t ) ? s(s a)
1 1 (s a)-s 1 1 解. F(s) a s(s a) a s s a
（1）线性性质
（2）微分定理 （3）积分定理
La f1(t) b f 2(t) a F1(s) b F2(s)
L f t s F s f 0
1 1 L f t dt F s f -1 0 s s


（4）实位移定理
r ( t ) ( t )
1 2 n
i
复习拉普拉斯变换有关内容（14）
用留数法分解部分分式 B( s ) bm s m bm 1 s m 1 ... b0 (n m ) 一般有 F ( s ) n n 1 A( s ) an s an1 s ... a0 A( s ) an s n an1 s n1 ... a0 ( s p1 )( s p2 )( s pn ) 设