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拉氏变换

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拉氏变换

拉氏变换

于是 L[ f (t )] e
skT
所以
对周期函数来说，求广义积分就转化为求
0
1 L[ f (t )] 1 e sT
k 0

T
T
0
1 f (t ) e dt 1 e sT
st

T
0
f (t ) e st dt
f (t ) e st dt
在一个周期区间[0, T]上的定积分，上式就是 周期函数的拉氏变换公式．
15
故
1 1 2 sb 1 1 sb sb 2 L[ f (t )] [ ( e 2 e 1 )] [ ( 1 e )] 2 sb 2 st 2 2 1 e s 1 (e ) s 1 e sb 1 sb 2 2 th( ) sb s (1 e ) s 2
0
f (t ) e st dt
st ( k 1)T kT
f (t ) e dt f (t ) e dt ..........
k 0 ( k 1)T kT
2T
f (t ) e st dt ......
f (t ) e st dt
kt kt st ( s k )t
所以
1 L[e ] sk
kt
(s k )
为了简便起见，求拉氏变换时，可以不再指出 收敛区域。
7
二、常用函数的拉氏变换 我们已经求了常值函数，指数函数的拉氏变
换，下面我们再求其它常用函数的拉氏变换。
例3 求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的拉氏变换。
19
2.求下列函数的拉氏变换 (1) 0t 4 1

拉氏变换详细解读

拉氏变换详细解读
2
s+a
（二）、拉氏变换的主要定理 ）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理
L[ f1(t ) + f2 (t )] = L[ f1(t )] + L[ f2 (t )] = F1(s) + F2 (s)
L[kf (t )] = kL[ f (t )] = kF(s)
2．微分定理
df (t ) L = sF(s) − f (0+ ) dt
n −at
s 2 2 s +ω n! sn+1 n!
( s + a)
1
n+1
( s + a) ( s + b)
1 s ( s + a) ( s + b)
( s + a) ( s + b)
s
序号
−at
f(t)
F(s)
13
e sinωt e cosωt
− at
( s + a ) + ω2
2
ω
14
s + a ) + ω2 (
） 式中 f (−1) (0+ ) 为 ∫ f (t dt 在t时间坐标轴的右端 趋于零时的f 的值，相当于初始条件。 趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。
f (t )(dt )2 = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) + 1 f (−2) (0+ ) L ∫∫ s2 s2 s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0

拉氏变换

拉氏变换

控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。

一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。

f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。

2)当时，，M，a为实常数。

2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。

—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。

二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。

注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表 序号 F(s) f(t) 序号 F(s) f(t)11 1121(t) 123t13414511+Ts Tte T-1 156)(1a s s +ate --1167)1(1+Ts sTt e--117)1sin(122ϕξωξωξω----t e n t nn8189191020三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。

2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。

信号与系统第6章拉氏变换

信号与系统第6章拉氏变换

t
L[
f ( )d ] F(s) f 1(0)
s
s
其中：
f (1) (0)
0
f ( )d ，为常数
4、延时（时域平移）
若： L[ f (t)] F(s) ，则
L[ f (t t0)u(t t0)] est0 F(s)
5、S域平移
若： L[ f (t)] F(s) ，则
L[ f (t)eat] F(s a)
]/
ds
显然
K12
d[(s
p1)k ds
F (s)]
s p1
继续微分：
K13
1 2
d
2[(s
p1)k ds2
F (s)]
s p1
一般形式：
K1i
(i
1 1)!
d i1[(s
p1)k dsi1
F (s)]
i 1,2,,k
s p1
举例：
F (s)
s2 s(s 1)3
F(s)
K11 (s 1)3
K12 (s 1)2
如果A(s) 的阶次高于B(s) ，可以先用长除法，后用上面
的方法：
举例：
F
(s)
s3 (s
5s2 1)(s
9s 2)
7
则展开后应有：
F
(s)
s
2
(s
s3 1)(s
2)
F(s) s 2 2 1 s 1 s 2
f (t) ' (t) 2 (t) 2et e2t t 0
E(s) D(s)
为求 K1i ，上式两边同乘以(s p1)k
(s
p1)k
F
(s)
K11
K12

拉氏变换

拉氏变换
确定。可对应于平面上的点 (x, y)，这样表示复数的
平面称为复平面或 z 平面。其中 x 轴称为实轴，y
轴称为虚轴。
y
Z（a，b）
z=a+bi uuur OZ (a,b)
O
x
复数的表示
• 代数形式： z x iy
• 三角形式： z r(cos i sin ) r | z | Arg z
例1
求 : f (t) sin( t)的象函数
解
F(s)
sin(t )

1

2
j
(e j t

e j t
)

1 2j

S
1
j

S
1
j


S2 2
注：欧拉公式 re jt r[cos(t) sin(t)]
2）. 微分性质
➢ 斜坡信号（Ramp Function）
r(t)

R

t

u(t)

Rt 0
r（t）
t0 t0
u(t)-----单位阶跃函数
Rt t g（）=R

时间 t
斜坡信号为匀速信号，适于测试匀速系统。
➢抛物线信号（Parabolic Function）
r
(t
)

0.5R

t
2

u(t
)

0.5R 0
t
s0
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
证：
df (t) dt

sF (s)

信号与系统第6章拉氏变换

信号与系统第6章拉氏变换
s 3 s 3 5s 2 9s 7 F ( s ) s 2 F ( s) (s 1)(s 2) (s 1)(s 2) 则展开后应有：
F ( s) s 2 2 1 s 1 s 2 f (t ) ' (t ) 2 (t ) 2e t e 2t
6.1 引言



19世纪末，英国工程师赫维赛德采用了一种算 子解决电子工程计算中的问题。但由于当时缺 乏数学证明遭到一些数学家的指责。 而另外一些人如卡尔逊、布罗姆维奇等坚信这 一方法的正确性。 后来，法国数学家拉普拉斯从数学上重新给予 该算法严格的数学定义和证明，称之为拉普拉 斯变换或拉氏变换
k 1
E (s)(s p1 ) k D(s)
上式两边对 s 求微分：
d [( s p1 ) k F ( s)] E ( s)(s p1 ) k k 2 K12 (k 1) K1k ( s p1 ) d [ ] / ds 有： ds D( s )
d[( s p1 ) k F (s)] 显然 K12 ds s p
1 d 2 F1 (s) ， K13 2 ds2 s1 2
于是 F (s)
3 2 2 2 (s 1)3 (s 1) 2 s 1 s
于是
3 f (t ) t 2e t 2tet 2e t 2 t 0 2
6.6 双边拉氏变换
对信号 f ( t ) ，
K1 sF ( s) |s 0 100 / 3
， K 2 (s 1) F (s) |s 1 20 ， K3 (s 3) F (s) |s 3 10 / 3
t 0
f (t ) 100 / 3 20e t 10 / 3e 3t

拉氏变换详细解读


φ = arctan
1− 1 1−ζ
2
ζ
e−ζωnt sin ωn 1 − ζ 2 t + φ 1−ζ 2
(
18
φ = arctan
2 ωn 2 s ( s2 + 2ζωn s + ωn )
ζ
根据表格直接写出结果
L [δ (t )] = 1, L e
− at
1 L [1(t )] = , s
ω s L [sin ωt ] = 2 , L [ cos ωt ] = 2 2 2 s +ω s +ω
e sinωt →
−at
1 = s+a,
1 L [t ] = 2 s 1 at L e = s−a
s + a ) + ω2 (
2
ω
e cosωt →
−at
s + a ) + ω2 (
3
2
5s3Y (s) + 6s2Y (s) + sY (s) + 2Y (s) = 4sX(s) + X(s) (5s3 + 6s2 + s + 2)Y (s) = (4s + 1) X(s)
Y (s) 4s + 1 = 3 X (s) 5s + 6s2 + s + 2
3.积分定理 积分定理
f (t )dt = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) L ∫ s s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0

拉氏变换的基本性质

频移性质的意义
频移性质表明信号在时域中乘以指数函数对应于频域中的平移。
微分性质
微分定理
若$f(t)$的拉氏变换为$F(s)$，则$f'(t)$的拉氏变换为$sF(s)-f(0^-)$。
微分性质的意义
微分性质建立了信号时域微分与频域之间的关系，便于通过拉氏变换求解微分方 程的初值问题。
积分性质
积分定理
拉氏变换的基本性质
目录
• 引言 • 拉氏变换的基本性质 • 拉氏变换的收敛域 • 拉氏反变换 • 拉氏变换在电路分析中的应用 • 拉氏变换在信号处理中的应用
01 引言
拉氏变换的定义
拉氏变换是一种线性积分 变换
它将一个有实数变量t（t≥0）的函数转换为 一个复数变量s的函数。
转换公式
对于实数变量t的函数f(t)，其拉氏变换F(s)定 义为F(s)=∫[0,∞)f(t)e^(-st)dt，其中s为复数
电路分析
在电路分析中，拉氏反变换常用 于将电路的频率响应转换回时域 响应，以便分析电路的动态行为。
控制系统
在控制系统中，拉氏反变换可用于 将控制系统的传递函数转换回时域， 以便分析系统的稳定性和性能。
信号处理
在信号处理中，拉氏反变换可用于 将信号的频谱转换回时域信号，以 便进行信号的重构和分析。
05 拉氏变换在电路分析中的 应用
确定收敛域。
收敛域与函数性质的关系
函数增长性与收敛域
函数增长越快，其拉氏变换的收敛域越小；反之，函数增长越慢， 其收敛域越大。
函数奇偶性与收敛域
对于偶函数，其拉氏变换的收敛域关于实轴对称；对于奇函数，其 收敛域关于原点对称。
函数周期性与收敛域
周期性函数的拉氏变换在相应的周期内收敛，而在其他区域可能发 散。

拉氏变换_精品文档

拉氏变换什么是拉氏变换拉氏变换（Laplace Transform）是一种将函数从时间域转换到复频域的数学工具。

它在工程学科和物理学中有广泛的应用，特别是在控制系统分析和信号处理领域。

拉氏变换通过积分运算将一个函数从时间域（t-domain）变换到频域（s-domain），其中s是一个复变量。

拉氏变换的定义给定一个函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0, ∞] e^(-st) f(t) dt这里，s是复变量，e是自然对数的底数，t表示时间。

拉氏变换的性质拉氏变换具有许多有用的性质，以下是一些常见的性质：1.线性性质：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)，其中a和b是常数。

2.移位性质：L{f(t - a)} = e^(-as)F(s)，其中a是常数。

3.初值定理：lim_[s→∞] sF(s) = f(0)，其中f(0)是函数f(t)在t=0时的初值。

4.终值定理：lim_[s→0] sF(s) = lim_[t→∞] f(t)，即函数f(t)在t→∞时的极限等于F(s)在s=0时的极限。

这些性质使得拉氏变换成为了解决微分方程问题以及计算复杂电路的有效工具。

拉氏变换的应用1. 信号处理在信号处理领域，拉氏变换用于分析和处理连续时间信号。

通过将信号从时间域转换到频域，可以更好地理解信号的频谱特性，并进行滤波、降噪、调制等处理。

2. 控制系统在控制系统分析中，拉氏变换被广泛用于研究和设计控制系统的性能和稳定性。

通过将控制系统表示为拉氏域的传输函数，可以方便地进行频率响应、稳定性分析和控制器设计。

3. 电路分析在电路分析中，拉氏变换用于求解电路的幅频特性、相频特性和传输函数。

通过将电路中的电压和电流转换到拉氏域，可以更方便地进行复杂电路的分析和计算。

4. 信号传输拉氏变换在信号传输中的应用非常广泛。

信号的拉氏变换可以帮助我们理解信号在传输过程中的衰减、失真和干扰等问题，从而优化信号传输的方案。

拉氏变换


s 3
7
f (t ) 3e (t ) 7e (t )
3t
N ( p1 ) p t N ( p2 ) p t N ( pn ) p t f (t ) ' e ' e ' e D ( p1 ) D ( p2 ) D ( pn )
1 2 n
原函数的一般形式
二 单位冲激函数
1. 单位脉冲函数 p(t) p(t) 1/ 0
1 p( t ) [ ( t ) ( t )]
t



p( t )dt 1
2. 单位冲激函数 (t)
1/
p(t)
- / 2
定义
/2
t
lim p( t ) ( t )
0
利用部分分式可将F(s)分解为：
待定常数
Kn K1 K2 F ( s) s p1 s p2 s pn
f (t ) K1e K 2e
p1t
p2t
K n e
返 回
pn t
上 页 下 页
待定常数的确定： 方法1
K i F ( s)( s pi ) s pi i 1 、 2、 3、 n
K1， 2 F ( s )( s j )s j
返 回 上 页 下 页
(2) 若 D(s) 0 具有共轭复根
p1 j p2 j
N (s) N (s) F (s) D(s) (s j )(s j ) D1 (s)
K1 K2 N1 (s) s j s j D1 (s)
st 0

(s c ) t
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收敛轴 收敛区
0 0
收敛坐标
电工中常见信号为指数阶函数，即
f (t) MeCt
t [0, )
M是 正 实 数 ，C为 有 限 实 数
0
f (t )et dt
0
Me( C )tdt
选 C M
C
例f (t ) e5t， 选 5( 0 5)， 则e5tet为 衰 减函 数 ，
就可以对f (t )进行拉氏变换。
f(t) t [0,)
复频域 (complex frequency domain) 象函数(transform function) F(s) 复频 率 (complex frequency) s j
定义式
正变换
F (s) f (t )estdt 0
(Laplace transformation)
T
f (t) t (t) (t T ) (t T ) T (t T )
F(s)
1 s2
1 s2
e sT
T s
e sT
例3 周期函数(periodic function))的拉氏变换
f(t)
1 ...
设f1(t)为第一个周期的函数
L[ f1(t)] F1(s)
0 T/2 T
t
则：L[ f (t)]
式相同
F(s) 1
s
当取上式的反变换时，只能表示出 t 0 区间的函数式
L1[ 1 ] e- t
s
t0
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13.3 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性(linearity)性质
若L[ f1(t)] F1(s) ,L[ f2(t)] F2(s)
则L[a f1(t) b f2(t)] aF1(s) bF2(s)
本章重点
. . . . . .
常用函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的基本性质 复频域中的电路定律 运算阻抗和运算导纳 拉普拉斯变换法分析电路的动态响应 网络函数
返回目录
13.1 拉普拉斯变换
一、拉氏变换(Laplace transformation)的定义 时域(time domain)
原函数(original function)
由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单，在下面的讨论 中一般不再写出其收敛范围。
返回目录
13.2 常用函数的拉普拉斯变换
1. f (t) (t)
L[ (t)]
(t)estdt 0
0
estdt
0
1 est s
0
1 s
2. f (t ) eat (t )
L[eat ] eatestdt 0
1 1 esT
F1 ( s )
证：f (t) f1(t) (t) f1(t T ) (t T ) f1(t 2T ) (t 2T )
例1 L[ A] A S
例2 L[ A(1 et )] A(1 1 )
s s
例3 L[sint] L[ 1 (ejt ejt )] 2j
1[ 1 1 ]
2j S j S j
S2
2
二、原函数的微分(differentiation)
设：L[ f (t)] F(s)
L[df (t)] sF (s) f (0 ) dt
象函数F(s) 用大写字母表示 ，如 I(s)，U(s)
二、拉氏变换存在条件
当 0 时
lim f (t )et 0
t
则f (t )et在
的
0
全
部
范
围
内
收
敛
，
即 0
f (t )et
dt 存在 ，
f (t)可 进 行 拉 氏 变 换 。
j
不同的 f (t)，0的值不同，称 0为复平面s内的收敛横坐标。
L[dn f (t )] snF (s) n1 snk1 f (k) (0 )
dt n
k0
例1
L[cos t] L[ 1 d (sin t)] dt
1
[s
s2
2
sint
0
]
s2
s
2
例2
L[ (t)] L[ d (t)]
dt
s
1 s
(t
)
0
1
三、原函数的积分(integration)
L[ejt ] 1
s j
1
e( sa )t
1
sa
0 sa
3. f (t) (t)
L[ (t)] (t)estdt 0
0
(t)dt 0
=1
4. f (t ) t n
L[t n]
t nestdt
0
0
t n dest s
t n est e st dt n n t n1estdt
s
0
s 0
s 0
lim tn
t est 0
L[t n ] n L[t n1] s
当n＝1
1 L[t] s2
当n＝2
依次类推，得
L[t n ]
n! sn1
L[t 2 ]
2 s3
求图示两个函数的拉氏变换式
f1(t)
f2(t)
1 e-t
1 e-t
t
t
0
0
解 由于定义的拉氏变换积分下限是0－，两个函数的拉氏变换
设：L[ f (t)] F(s)
L[ t f ( )d ] 1 F(s)
0
s
例
t
L[t] L[ ( )d ] 0
L[ (t)]
s
1 s2
四、时域平移(time shift)
设：L[ f (t)] F(s)
L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F(s)
f(t-t0) (t-t0) 平移 f(t) (t) 不是平移 f(t) (t-t0)
反变换
f (t) 1
j
F
( s )e st ds
2j j
(inverse Laplace transformation)
记号
L[f(t)]表示取拉氏变换
L-1 [F(s)]表示取拉氏反变换
拉氏变换对 (Laplace pairs)
一 一对应
积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。
积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。
f(t-t0) (t-t0)
f(t) (t)
f(t) (t-t0)
0 t0
t 0
t
t
0 t0
例1 求图示函数的拉氏变换式
f(t) 1
f (t) (t) (t T)
F (s) ss
例2 求图示函数的拉氏变换式
f(t) T
f (t) t[ (t) (t T )]
0
0+ 拉氏变换和0拉氏变换的区别
F (s) f (t )estdt 0
0 f (t )estdt f (t )estdt
0
0
当f(t)含有冲激函数项时，此项 0
为了把0- 0+时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变 换定义式中积分下限从 0- 开始 注意 原函数f(t ) 用小写字母表示，如 i(t )， u(t )