下载文档原格式
《逆命题和逆定理》
教学目标
1、经历逆命题的概念的发生过程，了解一个命题都是由条件与结论两部分构成，每个命题都有它的逆命题，命题有真假之分.
2、了解逆命题、逆定理的概念.
教学重点、难点
重点：会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，了解原命题成立，其逆命题不一定成立．
难点：能判断一些命题的真假性，并能运用推理的思想方法证明一类较简单的真命题，同时了解假命题的证明方法是举反例说明．
教学过程
一、回顾旧知，引入新课
1、命题的概念：对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题.我们还知道，命题都有两部分，即条件和结论，它的一般形式是“如果…，那么…”
例1．命题：“平行四边形的对角线互相平分”条件是，结论是 .
命题：“对角线互相平分的四边形是平行四边形”条件是，结论是 .
以上两个命题有什么不同？请你说一说.
归纳：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题.
填表并思考
行
问：每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题是否一定为真命题？
二、例题教学
例1、说出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.
注意：①注意组织适当的语句叙述出逆命题，不能只是把原命题的条件和结论交换位置.
②引导学生运用分类考虑的必要性.
练习：⑴作业题4
三、小结：这节课我们学到了什么？
①逆命题、逆定理的概念.
②能写出一个命题的逆命题.
四、作业
作业：1．课后作业题.。
第十一讲逆命题和逆定理2.5逆命题和逆定理【学习目标】1.了解命题与逆命题、定理与逆定理、互逆定理以及它们之间的关系.2.线段垂直平分线定理的逆定理及其运用.【基础知识】一、命题与逆命题，定理与逆定理在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理. 要点：每一个定理不一定都有逆定理，如果它存在逆定理，那么它一定是正确的.二、线段垂直平分线定理的逆定理到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.已知：AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上．证明 (1)当点P在线段AB上时，结论显然成立．(2)当点P不在线段AB上时，作PC⊥AB于点O．PA=PB，PO⊥AB，∵ OA=OB，∴PC是AB的垂直平分线．∴点P在线段AB的垂直平分线上．【考点剖析】例1．下列各命题的逆命题不成立的是（）A．两直线平行,同旁内角互补B．若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等C．对顶角相等D ．如果22a b =，那么a b =【答案】C【解析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．【详解】A 、逆命题是同旁内角互补，两直线平行，成立；B 、逆命题是如果两个数也相等，那么这两个数的绝对值相等，成立；C 、逆命题是相等的角是对顶角，不成立；D 、逆命题是如果a b =，那么22a b =，成立，故选C ．点睛：本题考查的是逆命题例2．下列说法错误的是（ ）A ．E ，D 是线段AB 的垂直平分线上的两点，则AD BD =，AE BE =B ．若AD BD =，AE BE =，则直线DE 是线段AB 的垂直平分线C ．若PA PB =，则点P 在线段AB 的垂直平分线上D ．若PA PB =，则过点P 的直线是线段AB 的垂直平分线【答案】D【解析】根据垂直平分线的性质和判定逐项判断即可．【详解】解:A 、E 是线段AB 的垂直平分线上的点，AE BE ∴=，AD BD =．故A 正确，不符合题意；B 、若AD BD =，D ∴在AB 的垂直平分线上．同理E 在AB 的垂直平分线上．∴直线DE 是线段AB 的垂直平分线．故B 正确，不符合题意；C 、若PA PB =，则点P 在线段AB 的垂直平分线上，故C 正确，不符合题意；D 、若PA PB =，则点P 在线段AB 的垂直平分线上．但过点P 的直线有无数条，不能确定过点P 的直线是线段AB 的垂直平分线．故D 错误，符合题意．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质与判定，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质与判定，准确进行推理判断．例3．下列命题中，其逆命题成立的是（）A．两条直线平行，内错角相等B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等C．全等三角形的对应角相等D．如果a=b，那么a2=b2【答案】A【解析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】A、两条直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，成立；B、如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等，不一定相等也可能是相反，不成立；C、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，不一定全等，不成立；D、如果a=b，那么a2=b2的逆命题是如果a2=b2，那么a=b，也可能是a=﹣b，不成立；故选：A．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．例4．下列说法正确的是（）A．一个命题一定有逆命题B．一个定理一定有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题D．假命题的逆命题一定是假命题【答案】A【解析】命题由题设和结论两部分组成，所以所有的命题都有逆命题，但是所有的定理不一定有逆定理，真命题的逆命题不一定是真命题，假命题的逆命题不一定是假命题．解：A 、每个命题都有逆命题，故本选项正确．B 、每个定理不一定都有逆定理，故本选项错误．C 、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项错误．D 、假命题的逆命题不一定是假命题，故本选项错误．故选A ．【点睛】本题考查命题的概念，以及逆命题，逆定理的概念和真假命题的概念等．例5．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a ＞2，那么a 2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（ ）A ．两直线平行，同位角相等B ．如果|a |＝1，那么a ＝1C ．全等三角形的对应角相等D ．如果x ＞y ，那么mx ＞my【答案】C【解析】分别判断原命题和其逆命题的真假后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；B 、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a ＝1，那么|a |＝1，正确，是真命题，不符合题意；C 、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；D 、当m ＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．例6．已知下列命题：①若0a >，0b >，则0a b +>；②若a b ，则22a b ≠； ③内错角相等，两直线平行；④等角的补角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】 先写出各命题的逆命题，再对每个命题进行判断即可得出答案.【详解】解：①若0a >，0b >，则0a b +>，是真命题；它的逆命题是：若0a b +>，则0a >，0b >，是假命题；②若a b ，则22a b ≠，是假命题；它的逆命题是：若22a b ≠，则a b ，是真命题； ③内错角相等，两直线平行，是真命题；它的逆命题是：两直线平行，内错角相等，是真命题；④等角的补角相等，是真命题；它的逆命题是：若两个角的补角相等，则这两个角相等，是真命题.综上，原命题与逆命题均为真命题的是③④，有两个，故选B.【点睛】本题考查了命题与定理以及真假命题的判断，判断命题的真假关键是要熟知常见的性质定理.例7．如图，AC AD =，BC BD =，则下面说法正确的是（ ）A ．AB 垂直平分CDB ．CD 垂直平分ABC ．AB 与CD 互相垂直平分D ．CD 平分ACB ∠【答案】A【解析】 根据题意，由SSS 判定ABC ABD ≅，再结合全等三角形的性质解得=CAB DAB ∠∠，最后根据等腰三角形的性质解题即可．【详解】在ABC 与ABD △中，AC AD BC BD AB AB =⎧⎪=⎨⎪=⎩()ABC ABD SSS ∴≅=CAB DAB ∴∠∠又∵AC=AD∴AB 垂直平分CD （三线合一），故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质、线段垂直平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．例8．已知，在△ABC 中，AB AC =，如图，（1）分别以B ，C 为圆心，BC 长为半径作弧，两弧交于点D ； （2）作射线AD ，连接BD ，CD ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误．．的是（ ）A ．BAD CAD ∠=∠B ．△BCD 是等边三角形C ．AD 垂直平分BCD ．ABDC S AD BC =【答案】D【解析】 根据作图过程及所作图形可知BD BC CD ==，得出△BCD 是等边三角形；又因为AB AC =，,BD CD AD AD ==，推出ABD ACD ≅，继而得出BAD CAD ∠=∠；根据，BAD CAD ∠=∠，可知AD 为BAC ∠的角平分线，根据三线合一得出AD 垂直平分BC ；四边形ABCD 的面积等于ABD △的面积与ACD △的面积之和，为12AD BC ⋅． 【详解】解：∵BD BC CD ==∴△BCD 是等边三角形故选项B 正确；∵AB AC =，,BD CD AD AD ==∴ABD ACD ≅∴BAD CAD ∠=∠故选项A 正确；∵BAD CAD ∠=∠，AB AC =∴据三线合一得出AD 垂直平分BC故选项C 正确；∵四边形ABCD 的面积等于ABD △的面积与ACD △的面积之和 ∴12ABCD S AD BC =⋅ 故选项D 错误．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的判定、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的判定以及四边形的面积，考查的范围较广，但难度不大．【过关检测】一、单选题1．已知下列命题：①若a ＞b ，则a 2＞b 2；②若a ＞1，则(a －1)0＝1；③两个全等的三角形的面积相等．其中原命题与逆命题均为真命题的有( )A ．0个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A【解析】交换原命题的题设和结论得到四个命题的逆命题，然后利用反例、零指数幂的意义、全等三角形的判定与性质判断各命题的真假．【详解】：①当a=0,b=−1时, a 2< b 2,所以命题“若a>b,则a 2＞b 2”为假命题,其逆命题为“若a 2＞b 2，则a>b“，此逆命题也是假命题，如a=−2，b=−1；②若a>1,则(a －1)0＝1,此命题为真命题,它的逆命题为：若(a －1)0＝1,则a>1,此逆命题为假命题,因为(a－1)0＝1，则a≠1；③两个全等的三角形的面积相等，此命题为真命题，它的逆命题为面积相等的三角形全等，此逆命题为假命题；故选A.【点睛】本题考查命题与定理-原命题、逆命题、互逆命题.2．将下列命题改下成逆命题，仍然正确的个数是( )①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；④全等三角形对应角相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】先确定各个命题的逆命题，然后判断真假即可．【详解】①两直线平行，内错角相等的逆命题为内错角相等，两直线平行，正确；②对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，错误；③如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题为如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，错误；④全等三角形对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，正确的有1个，故选A．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出所有命题的逆命题，难度不大．3．把命题“如果x=y，那么=”作为原命题，对原命题和它的逆命题的真假性的判断，下列说法正确的是（）A．原命题和逆命题都是真命题B．原命题和逆命题都是假命题C．原命题是真命题，逆命题是假命题D．原命题是假命题，逆命题是真命题【答案】D【解析】写出该命题的逆命题，结合“算术平方根的意义”分别判断出原命题和逆命题的真假性即可确定四个选项中说法的正误了.【详解】解：∵命题“如果，则”在“是负数时，不成立”，∴原命题是假命题；∵命题“如果，则”的逆命题“若，则”是真命题，∴该题中，原命题的逆命题是真命题.即在该题中，“原命题”是假命题，“逆命题”是真命题.故选D.【点睛】能由“原命题”写出“逆命题”并结合“算术平方根的意义”判断出命题的真假，是解答本题的关键.4．下列定理中，有逆定理的个数是（）①有两边相等的三角形是等腰三角形;②若三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2,则该三角形是直角三角形;③全等三角形的对应角相等;④若a=b，则a2 =b2.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】试题解析：①“有两边相等的三角形是等腰三角形”的逆命题为“等腰三角形有两边相等”，此逆命题为真命题；②“若三角形三边a，b，c满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形”的逆命题为“若一个三角形是直角三角形，则此三角形三边a，b，c（c为斜边）满足a2+b2=c2”，此逆命题为真命题；③“全等三角形对应角相等”的逆命题为“对应角相等的三角形全等”，此逆命题为假命题；④“若a=b，则a2=b2”的逆命题为“若a2=b2，则a=b”，此逆命题为假命题．故选B．5．下列命题的逆命题为真命题的是( )A．直角都相等B．钝角都小于180°C ．若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0D ．同位角相等【答案】C【解析】A 选项中，“直角都相等”的逆命题“相等的角都是直角”是假命题；B 选项中，“钝角都小于180°”的逆命题“小于180°的角都是直角”是假命题；C 选项中，“若220x y +=，则0x y ==”的逆命题“若0x y ==，则220x y +=”是真命题；D 选项中，“同位角相等”的逆命题“相等的角是同位角”是假命题；故选C.6．在锐角三角形ABC 内一点P ,，满足P A =PB =PC ,则点P 是△ABC （ ）A ．三条角平分线的交点B ．三条中线的交点C ．三条高的交点D ．三边垂直平分线的交点【答案】D【解析】利用线段的垂直平分线的性质进行思考，首先思考满足PA=PB 的点的位置，然后思考满足PB=PC 的点的位置，答案可得．【详解】∵PA=PB ，∴P 在AB 的垂直平分线上，同理P 在AC ，BC 的垂直平分线上．∴点P 是△ABC 三边垂直平分线的交点．故选D ．【点睛】本题考查的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．注意做题时要分别进行思考．7．对于问题：如图1，已知∠AOB ，只用直尺和圆规判断∠AOB 是否为直角？小意同学的方法如图2：在OA 、OB 上分别取C 、D ，以点C 为圆心，CD 长为半径画弧，交OB 的反向延长线于点E ，若测量得OE=OD ，则∠AOB=90º.则小意同学判断的依据是（ ）A ．等角对等边B ．线段中垂线上的点到线段两段距离相等C ．垂线段最短D ．等腰三角形“三线合一”【答案】B【解析】由垂直平分线的判定定理，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∵CD=CE ，OE=OD ，∴AO 是线段DE 的垂直平分线，∴∠AOB=90°； 则小意同学判断的依据是：线段中垂线上的点到线段两段距离相等；故选：B ．【点睛】本题考查了垂直平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定定理进行判断．8．下列说法：①若直线PE 是线段AB 的垂直平分线，则EA EB =，PA PB =；②若PA PB =，EA EB =，则直线PE 是线段AB 的垂直平分线；③若PA PB =，EA EB =，则AB 垂直平分PE ；④若PA PB =，则点P 必是线段AB 的垂直平分线上的点；⑤若EA EB =，则过点E 的直线垂直平分线段AB ．其中正确的个数有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】运用垂直平分线的定理，线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等，即可判断①是否正确；运用垂直平分线的逆定理，到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可判断②③④⑤是否正确.【详解】①若直线PE 是线段AB 的垂直平分线，则EA=EB ，PA=PB ，符合性质定理，是正确的；②若PA PB =，EA EB =，则直线PE 是线段AB 的垂直平分线；符合性质定理，正确：③若PA PB =，EA EB =，则AB 垂直平分PE ；不符合性质定理，是错误的;④若PA=PB ，则点P 必是线段AB 的垂直平分线上的点，符合逆定理，是正确的；⑤若EA=EB ，则过点E 的直线垂直平分线段AB ，不符合逆定理，是错误的；故选C.【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的定理对选项进行判断.9．给出下面两个定理:①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;②到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.应用上述定理进行如下推理:如图,直线l 是线段MN 的垂直平分线.∵点A 在直线l 上,∴AM=AN.( )∵BM=BN ,∴点B 在直线l 上.( )∵CM ≠CN ,∴点C 不在直线l 上.这是∵如果点C 在直线l 上,那么CM=CN , ( )这与条件CM ≠CN 矛盾.以上推理中各括号内应注明的理由依次是 ( )A ．②①①B ．②①②C ．①②②D ．①②①【答案】D【解析】解：根据题意，第一个空，由垂直平分线得到线段相等，应用了性质，填①；第二个空，由线段相等得点在直线上，应用了判定，填②；应用了垂直平分线的性质，填①．应所以填①②①，故选D ．点睛：本题考查了垂直平分线的性质及判定．前提是在线段垂直平分线上，应使用性质；最后得到线段垂直平分线，应使用判定，分清这点是正确解答本题的关键．10．如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC ，BE 平分∠ABC ，且AD ，BE 交于点O ，延长AC 至点P ，使CP=CD ，连接BP ，OP ；延长AD 交BP 于点F ．则下列结论：①BP=AD ：②BF=CP ：③AC+CD=AB ：④PO ⊥BE ；⑤BP=2PF ．其中正确的是（ ）A ．①③⑤B ．①②③④C ．①③④⑤D ．①②③④⑤【答案】C【解析】 根据三角形全等的判定定理与性质，角平分线的定义，垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质逐个分析即可．【详解】∵AC=BC ，∠ACB=∠PCD=90°，CP=CD ，∴()PBC DAC SAS ≅，则BP=AD ，故①正确；由PBC DAC ≅得∠PBC=∠DAC ，则90BFA BCP PFA ∠=∠=∠=︒，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAF=∠PAF ，BAF PBC ∠=∠∴，假设BF CP =，在BPC △和ABF 中，PBC BAF BCP AFB CP BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BPC ABF AAS ∴≅，BC AF ∴=，AC BC =，AC AF ∴=，在Rt ACD △中，AD AC >，又AF AD DF AD =+>，AF AD AC ∴>>，与AC AF =相矛盾，则假设不成立，②错误；在APF 与ABF 中，PFA BFA AF AF PAF BAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()APF ABF ASA ≅，AB AP AC CP AC CD ∴==+=+，即AC CD AB +=，故③正确；由APF ABF ≅得BF=PF ，则2BP BF PF PF =+=，故⑤正确；BF PF =，AD 平分∠BAC ，∴AF 为BP 的垂直平分线，∴OB=OP ，OBP ∴△为等腰三角形，,90AC BC ACB =∠=︒，45BAC ABC ∴∠=∠=︒， 又AD 平分∠BAC ，BE 平分∠ABC ，22.5OBC OAC ∴∠=∠=︒，22.5PBC OAC ∴∠=∠=︒，∴45PBO PBC CBO ∠=∠+∠=︒，OBP ∴△为等腰直角三角形，且90POB ∠=︒，即PO BE ⊥，故④正确；综上，①③④⑤正确，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、角平分线的定义、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，能够根据所学综合分析图中的全等三角形是解题关键．二、填空题11．“等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：_________________．【答案】有两个角相等三角形是等腰三角形【解析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．【详解】解：逆命题为：有两个角相等三角形是等腰三角形，故答案为：有两个角相等三角形是等腰三角形．【点睛】此题主要考查了命题与定理，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．12．写出命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等”的逆命题____________________．该逆命题是______命题（填“真”或“假”）．【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等假【解析】交换原命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题．【详解】解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写成它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假．【点睛】本题考查逆命题的概念，以及判断真假命题的能力以及全等三角形的判定和性质．13．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：_____，该逆命题是_____命题（填“真”或“假”）．【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等假【解析】交换原命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题．【详解】解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写成它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假．【点睛】本题考查逆命题的概念，以及判断真假命题的能力以及全等三角形的判定和性质．14．命题：“任意两个奇数之和是偶数”的逆命题是__________命题．（填“真”或“假”）．【答案】假【解析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．【详解】解：命题：“任意两个奇数之和是偶数”的逆命题是：偶数是两个奇数之和，错误，为假命题，故答案为：假．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．15．下列命题，①对顶角相等；②两直线平行，同位角相等；③全等三角形的对应角相等．其中逆命题是真命题的命题共有_________个．【答案】1【解析】根据逆命题、对顶角、平行线、全等三角形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】对顶角相等的逆命题为：相等的角是对顶角，故①错误；两直线平行，同位角相等的逆命题为：同位角相等，两直线平行，故②正确；全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的三角形为全等三角形，故③错误；逆命题是真命题的命题共有：1个故答案为：1．【点睛】本题考查了逆命题、对顶角、平行线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握对顶角、平行线、全等三角形的性质，从而完成求解．16．下列的真命题中，它的逆命题也是真命题的有________①两直线平行，同旁内角互补；②等边三角形是锐角三角形；③两个图形关于某直线成轴对称，则这两个图形是全等图形；④若a b =，则22a b =；⑤等腰三角形两底角相等．【答案】①⑤【解析】分别写出各个命题的逆命题，判断真假即可．【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题；②等边三角形是锐角三角形的逆命题是锐角三角形是等边三角形，是假命题；③两个图形关于某直线成轴对称，则这两个图形是全等图形的逆命题是两个图形是全等图形，则两个图形关于某直线成轴对称，是假命题；④若a b =，则22a b =的逆命题是若22a b =，则a b =，是假命题；⑤等腰三角形两底角相等的逆命题是两角相等的三角形是等腰三角形，是真命题．故答案为：①⑤．【点睛】本题考查了逆命题，以及命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．17．BC 是等腰△ABC 和等腰△DBC 的公共底（A 与D 不重合），则直线AD 必是__________的垂直平分线．【答案】BC【解析】根据题意作图，再由“到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”及“两点确定一条直线”即可解答．【详解】如图，根据题意得AB ＝AC ，DB ＝DC ，∴点A 、D 都在BC 的垂直平分线上．∵两点确定一条直线，∴直线AD 是BC 的垂直平分线．故答案为：BC ．【点睛】此题考查了线段垂直平分线性质的逆定理及直线的公理，属基础题．18．如图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD________DC，点D在______的垂直平分线上【答案】= AC【解析】首先结合图形易得AD=DC，再根据线段垂直平分线的判定即可得出答案．【详解】解：∵BC=BD+DC，又BC=BD+AD，∴AD=CD，∴点D在AC的垂直平分线上．故答案为= AC．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，熟记知识点是解题的关键．19．如图，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，那么对于（1）∠DAO=∠CBO，∠ADO=∠BCO （2）直线l垂直平分AB、CD（3）△AOD和△BOC均是等腰三角形（4）AD=BC，OD=OC中不正确的是_____．【答案】（3）【解析】由对称变换可得：△AOD≌△BOC∴∠DAO=∠CBO∠ADO=∠BCOAO=BO DO=CO∴直线l垂直平分AB、CD（3）不正确20．如图，已知等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O 是线段AD上一点，OP=OC，下面结论：①∠APO=∠ACO；②∠APO+∠PCB=90°；③PC=PO；④AO+AP=AC；其中正确的有________.(填上所有正确结论的序号)【答案】①②③④【解析】=，利用等腰三角形的性质可判断结论①；由线段垂直平分线的性质定理，等腰三连接OB，证明OP OB∆是角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出∠APO与∠DCO的和等于30°，再证明POC等边三角形，可判断结论②，③；, 在线段AC上截取AE=AP，连接PE，证明△APO≌△EPC可判断结论④．【详解】OB解：如图，连接,∵AD ⊥BC ，,AB AC =AD ∴是BC 的中垂线，A ABC CB =∠∠， ,OB OC ∴=,OBC OCB ∴∠=∠,ABO ACO ∴∠=∠,OP OC =,OP OB ∴=,OBP OPB ∴∠=∠,APO ACO ∠=∠ 即结论①正确；连接BO ，如图1所示：,120,AB AC BAC =∠=︒30,ABC ACB ∴∠=∠=︒由,APO ACO ∠=∠30,APO DCO ACO DCO ACB ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒ 1803030120,OPC OCP ∴∠+∠=︒-︒-︒=︒ 60,POC ∠=︒,OP OC =POC ∴∆是等边三角形，60,PCO ∴∠=︒60603090,PCB APO PCO DCO APO DBO ABO ∴∠+∠=∠+∠+∠=︒+∠+∠=︒+︒=︒ 即结论②正确；POC ∆是等边三角形，,PC PO ∴=即结论③正确；在线段AC 上截取AE=AP ，连接PE ，如图所示：∵∠BAC+∠CAP=180°，∠BAC=120°，∴∠CAP=60°，∴△APE 是等边三角形，∴AP=EP ，又∵△OPC 是等边三角形，∴OP=CP ，又∵∠APE=∠APO+∠OPE=60°，∠CPO=∠CPE+∠OPE=60°，∴∠APO=∠EPC ，在△APO 和△EPC 中，AP EP APO EPC OP CP⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△APO ≌△EPC （SAS ），∴AO=EC ，又∵AC=AE+EC，AE=AP，∴AC=AO+AP，即结论④正确；综合所述，①，②，③，④都正确，故答案为：①，②，③，④．【点睛】本题综合考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角的和差，线段的和差，等量代换等相关知识点，重点掌握全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质，难点是作辅助线构建等腰三角形，等边三角形，全等三角形．三、解答题21．已知命题“若a b>，则22>”写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假．若是真命题，请给予证明：a b若是假命题，请举出一个反例．【答案】见解析【解析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】解：逆命题：若a2＞b2，则a＞b．此命题为假命题．反例：a=-2，b=-1，有a2＞b2，但a＜b．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．22．已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”．（1）写出此命题的逆命题；（2）逆命题是真命题还是假命题？若为真命题，请画出图形，写出“已知”，求证并证明；若为假命题，请举反例说明．【答案】（1）两边上的高相等的三角形是等腰三角形；（2）真命题，画图证明见解析【解析】（1）把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题；（2）判断逆命题是真命题，画出图形判断即可．。
第十一讲逆命题和逆定理2.5逆命题和逆定理【学习目标】1.了解命题与逆命题、定理与逆定理、互逆定理以及它们之间的关系.2.线段垂直平分线定理的逆定理及其运用.【基础知识】一、命题与逆命题，定理与逆定理在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理. 要点：每一个定理不一定都有逆定理，如果它存在逆定理，那么它一定是正确的.二、线段垂直平分线定理的逆定理到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.已知：AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上．证明 (1)当点P在线段AB上时，结论显然成立．(2)当点P不在线段AB上时，作PC⊥AB于点O．PA=PB，PO⊥AB，∵ OA=OB，∴PC是AB的垂直平分线．∴点P在线段AB的垂直平分线上．【考点剖析】例1．下列各命题的逆命题不成立的是（）A．两直线平行,同旁内角互补B．若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等C．对顶角相等=D．如果22=，那么a ba b【答案】C【解析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．【详解】A 、逆命题是同旁内角互补，两直线平行，成立；B 、逆命题是如果两个数也相等，那么这两个数的绝对值相等，成立；C 、逆命题是相等的角是对顶角，不成立；D 、逆命题是如果a b =，那么22a b =，成立， 故选C ．点睛：本题考查的是逆命题例2．下列说法错误的是（ ）A ．E ，D 是线段AB 的垂直平分线上的两点，则AD BD =，AE BE = B ．若AD BD =，AE BE =，则直线DE 是线段AB 的垂直平分线C ．若PA PB =，则点P 在线段AB 的垂直平分线上D ．若PA PB =，则过点P 的直线是线段AB 的垂直平分线 【答案】D 【解析】根据垂直平分线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】 解:A 、E 是线段AB 的垂直平分线上的点，AE BE ∴=，AD BD =．故A 正确，不符合题意； B 、若AD BD =，D ∴在AB 的垂直平分线上．同理E 在AB 的垂直平分线上．直线DE 是线段AB 的垂直平分线．故B 正确，不符合题意；C 、若PA PB =，则点P 在线段AB 的垂直平分线上，故C 正确，不符合题意；D 、若PA PB =，则点P 在线段AB 的垂直平分线上．但过点P 的直线有无数条，不能确定过点P 的直线是线段AB 的垂直平分线．故D 错误，符合题意． 故选：D ． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质与判定，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质与判定，准确进行推理判断．例3．下列命题中，其逆命题成立的是（）A．两条直线平行，内错角相等B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等C．全等三角形的对应角相等D．如果a=b，那么a2=b2【答案】A【解析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】A、两条直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，成立；B、如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等，不一定相等也可能是相反，不成立；C、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，不一定全等，不成立；D、如果a=b，那么a2=b2的逆命题是如果a2=b2，那么a=b，也可能是a=﹣b，不成立；故选：A．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．例4．下列说法正确的是（）A．一个命题一定有逆命题B．一个定理一定有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题D．假命题的逆命题一定是假命题【答案】A【解析】命题由题设和结论两部分组成，所以所有的命题都有逆命题，但是所有的定理不一定有逆定理，真命题的逆命题不一定是真命题，假命题的逆命题不一定是假命题．【详解】解：A、每个命题都有逆命题，故本选项正确．B、每个定理不一定都有逆定理，故本选项错误．C 、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项错误．D 、假命题的逆命题不一定是假命题，故本选项错误． 故选A ． 【点睛】本题考查命题的概念，以及逆命题，逆定理的概念和真假命题的概念等．例5．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a ＞2，那么a 2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（ ） A ．两直线平行，同位角相等 B ．如果|a |＝1，那么a ＝1 C ．全等三角形的对应角相等 D ．如果x ＞y ，那么mx ＞my【答案】C 【解析】分别判断原命题和其逆命题的真假后即可确定正确的选项． 【详解】解：A 、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意； B 、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a ＝1，那么|a |＝1，正确，是真命题，不符合题意； C 、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意； D 、当m ＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意， 故选：C ． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．例6．已知下列命题：①若0a >，0b >，则0a b +>； ②若ab ，则22a b ≠；③内错角相等，两直线平行； ④等角的补角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】先写出各命题的逆命题，再对每个命题进行判断即可得出答案. 【详解】解：①若0a >，0b >，则0a b +>，是真命题； 它的逆命题是：若0a b +>，则0a >，0b >，是假命题； ②若ab ，则22a b ≠，是假命题；它的逆命题是：若22a b ≠，则ab ，是真命题；③内错角相等，两直线平行，是真命题；它的逆命题是：两直线平行，内错角相等，是真命题； ④等角的补角相等，是真命题；它的逆命题是：若两个角的补角相等，则这两个角相等，是真命题. 综上，原命题与逆命题均为真命题的是③④，有两个，故选B. 【点睛】本题考查了命题与定理以及真假命题的判断，判断命题的真假关键是要熟知常见的性质定理.例7．如图，AC AD =，BC BD =，则下面说法正确的是（ ）A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分ABC ．AB 与CD 互相垂直平分 D ．CD 平分ACB ∠【答案】A 【解析】根据题意，由SSS 判定ABC ABD ≅，再结合全等三角形的性质解得=CAB DAB ∠∠，最后根据等腰三角形的性质解题即可． 【详解】在ABC 与ABD △中，()ABC ABD SSS ∴≅又∵AC=AD∴AB 垂直平分CD （三线合一），故选：A ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质、线段垂直平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．例8．已知，在△ABC 中，AB AC =，如图，（1）分别以B ，C 为圆心，BC 长为半径作弧，两弧交于点D ； （2）作射线AD ，连接BD ，CD ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误．．的是（ ）A ．BAD CAD ∠=∠B ．△BCD 是等边三角形C ．AD 垂直平分BC D ．ABDC S AD BC =【答案】D 【解析】根据作图过程及所作图形可知，得出△BCD 是等边三角形；又因为AB AC =，,BD CD AD AD ==，推出ABD ACD ≅，继而得出BAD CAD ∠=∠；根据，BAD CAD ∠=∠，可知AD 为BAC ∠的角平分线，根据三线合一得出AD 垂直平分BC ；四边形ABCD 的面积等于ABD △的面积与ACD △的面积之和，为12AD BC ⋅． 【详解】 解：∵∴△BCD 是等边三角形 故选项B 正确；∵AB AC =，,BD CD AD AD == ∴ABD ACD ≅ ∴BAD CAD ∠=∠ 故选项A 正确；∵BAD CAD ∠=∠，AB AC = ∴据三线合一得出AD 垂直平分BC 故选项C 正确；∵四边形ABCD 的面积等于ABD △的面积与ACD △的面积之和∴12ABCDS AD BC=⋅故选项D错误．故选：D．【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的判定、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的判定以及四边形的面积，考查的范围较广，但难度不大．【过关检测】一、单选题1．已知下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②若a＞1，则(a－1)0＝1；③两个全等的三角形的面积相等．其中原命题与逆命题均为真命题的有( )A．0个B．3个C．2个D．1个【答案】A【解析】交换原命题的题设和结论得到四个命题的逆命题，然后利用反例、零指数幂的意义、全等三角形的判定与性质判断各命题的真假．【详解】：①当a=0,b=−1时, a2< b2,所以命题“若a>b,则a2＞b2”为假命题,其逆命题为“若a2＞b2，则a>b“，此逆命题也是假命题，如a=−2，b=−1；②若a>1,则(a－1)0＝1,此命题为真命题,它的逆命题为：若(a－1)0＝1,则a>1,此逆命题为假命题,因为(a－1)0＝1，则a≠1；③两个全等的三角形的面积相等，此命题为真命题，它的逆命题为面积相等的三角形全等，此逆命题为假命题；故选A.【点睛】本题考查命题与定理-原命题、逆命题、互逆命题.2．将下列命题改下成逆命题，仍然正确的个数是( )①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；④全等三角形对应角相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】先确定各个命题的逆命题，然后判断真假即可．【详解】①两直线平行，内错角相等的逆命题为内错角相等，两直线平行，正确；②对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，错误；③如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题为如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，错误；④全等三角形对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，正确的有1个，故选A．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出所有命题的逆命题，难度不大．3．把命题“如果x=y，那么=”作为原命题，对原命题和它的逆命题的真假性的判断，下列说法正确的是（）A．原命题和逆命题都是真命题B．原命题和逆命题都是假命题C．原命题是真命题，逆命题是假命题D．原命题是假命题，逆命题是真命题【答案】D【解析】写出该命题的逆命题，结合“算术平方根的意义”分别判断出原命题和逆命题的真假性即可确定四个选项中说法的正误了.【详解】解：∵命题“如果，则”在“是负数时，不成立”，∴原命题是假命题；∵命题“如果，则”的逆命题“若，则”是真命题，∴该题中，原命题的逆命题是真命题.即在该题中，“原命题”是假命题，“逆命题”是真命题.【点睛】能由“原命题”写出“逆命题”并结合“算术平方根的意义”判断出命题的真假，是解答本题的关键. 4．下列定理中，有逆定理的个数是（ ）①有两边相等的三角形是等腰三角形;②若三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2,则该三角形是直角三角形;③全等三角形的对应角相等;④若a=b ，则a 2 =b 2. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】B【解析】试题解析：①“有两边相等的三角形是等腰三角形”的逆命题为“等腰三角形有两边相等”，此逆命题为真命题；②“若三角形三边a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形”的逆命题为“若一个三角形是直角三角形，则此三角形三边a ，b ，c （c 为斜边）满足a 2+b 2=c 2”，此逆命题为真命题；③“全等三角形对应角相等”的逆命题为“对应角相等的三角形全等”，此逆命题为假命题； ④“若a=b ，则a 2=b 2”的逆命题为“若a 2=b 2，则a=b”，此逆命题为假命题． 故选B ．5．下列命题的逆命题为真命题的是( ) A ．直角都相等 B ．钝角都小于180° C ．若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0 D ．同位角相等 【答案】C 【解析】A 选项中，“直角都相等”的逆命题“相等的角都是直角”是假命题；B 选项中，“钝角都小于180°”的逆命题“小于180°的角都是直角”是假命题；C 选项中，“若220x y +=，则0x y ==”的逆命题“若0x y ==，则220x y +=”是真命题；D 选项中，“同位角相等”的逆命题“相等的角是同位角”是假命题； 故选C.6．在锐角三角形ABC 内一点P ,，满足P A =PB =PC ,则点P 是△ABC （ ） A ．三条角平分线的交点B ．三条中线的交点C ．三条高的交点D ．三边垂直平分线【答案】D【解析】利用线段的垂直平分线的性质进行思考，首先思考满足PA=PB的点的位置，然后思考满足PB=PC的点的位置，答案可得．【详解】∵PA=PB，∴P在AB的垂直平分线上，同理P在AC，BC的垂直平分线上．∴点P是△ABC三边垂直平分线的交点．故选D．【点睛】本题考查的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．注意做题时要分别进行思考．7．对于问题：如图1，已知∠AOB，只用直尺和圆规判断∠AOB是否为直角？小意同学的方法如图2：在OA、OB上分别取C、D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若测量得OE=OD，则∠AOB=90º.则小意同学判断的依据是（）A．等角对等边B．线段中垂线上的点到线段两段距离相等C．垂线段最短D．等腰三角形“三线合一”【答案】B【解析】由垂直平分线的判定定理，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∵CD=CE，OE=OD，∴AO是线段DE的垂直平分线，∴∠AOB=90°；则小意同学判断的依据是：线段中垂线上的点到线段两段距离相等；故选：B．【点睛】本题考查了垂直平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定定理进行判断．8．下列说法：①若直线PE 是线段AB 的垂直平分线，则EA EB =，PA PB =；②若PA PB =，EA EB =，则直线PE 是线段AB 的垂直平分线；③若PA PB =，EA EB =，则AB 垂直平分PE ；④若PA PB =，则点P 必是线段AB 的垂直平分线上的点；⑤若EA EB =，则过点E 的直线垂直平分线段AB ．其中正确的个数有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】运用垂直平分线的定理，线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等，即可判断①是否正确；运用垂直平分线的逆定理，到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可判断②③④⑤是否正确.【详解】①若直线PE 是线段AB 的垂直平分线，则EA=EB ，PA=PB ，符合性质定理，是正确的；②若PA PB =，EA EB =，则直线PE 是线段AB 的垂直平分线；符合性质定理，正确：③若PA PB =，EA EB =，则AB 垂直平分PE ；不符合性质定理，是错误的;④若PA=PB ，则点P 必是线段AB 的垂直平分线上的点，符合逆定理，是正确的；⑤若EA=EB ，则过点E 的直线垂直平分线段AB ，不符合逆定理，是错误的；故选C.【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的定理对选项进行判断.9．给出下面两个定理:①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;②到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.应用上述定理进行如下推理:如图,直线l 是线段MN 的垂直平分线.∵点A 在直线l 上,∴AM=AN.( )∵BM=BN ,∴点B 在直线l 上.( )∵CM ≠CN ,∴点C 不在直线l 上.这是∵如果点C 在直线l 上,那么CM=CN , ( )这与条件CM ≠CN 矛盾.以上推理中各括号内应注明的理由依次是 ( )A ．②①①B ．②①②C ．①②②D ．①②①【答案】D【解析】解：根据题意，第一个空，由垂直平分线得到线段相等，应用了性质，填①；第二个空，由线段相等得点在直线上，应用了判定，填②；应用了垂直平分线的性质，填①．应所以填①②①，故选D ．点睛：本题考查了垂直平分线的性质及判定．前提是在线段垂直平分线上，应使用性质；最后得到线段垂直平分线，应使用判定，分清这点是正确解答本题的关键．10．如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC ，BE 平分∠ABC ，且AD ，BE 交于点O ，延长AC 至点P ，使CP=CD ，连接BP ，OP ；延长AD 交BP 于点F ．则下列结论：①BP=AD ：②BF=CP ：③AC+CD=AB ：④PO ⊥BE ；⑤BP=2PF ．其中正确的是（ ）A ．①③⑤B ．①②③④C ．①③④⑤D ．①②③④⑤ 【答案】C【解析】根据三角形全等的判定定理与性质，角平分线的定义，垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质逐个分析即可．【详解】∵AC=BC ，∠ACB=∠PCD=90°，CP=CD ，∴()PBC DAC SAS ≅，则BP=AD ，故①正确；由PBC DAC ≅得∠PBC=∠DAC ，则，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAF=∠PAF ，，假设BF CP =，在BPC △和ABF 中，，()BPC ABF AAS ∴≅，BC AF ∴=，AC BC =，AC AF ∴=，在Rt ACD △中，AD AC >，又，，与AC AF =相矛盾，则假设不成立，②错误；在APF 与ABF 中，，∴()APF ABF ASA ≅，，即AC CD AB +=，故③正确；由APF ABF ≅得BF=PF ，则，故⑤正确；BF PF =，AD 平分∠BAC ，AF 为BP 的垂直平分线，OB=OP ，OBP ∴△为等腰三角形，,90AC BC ACB =∠=︒，，又AD 平分∠BAC ，BE 平分∠ABC ，，，∴，OBP ∴△为等腰直角三角形，且，即PO BE ⊥，故④正确；综上，①③④⑤正确，故选：C．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、角平分线的定义、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，能够根据所学综合分析图中的全等三角形是解题关键．二、填空题11．“等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：_________________．【答案】有两个角相等三角形是等腰三角形【解析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．【详解】解：逆命题为：有两个角相等三角形是等腰三角形，故答案为：有两个角相等三角形是等腰三角形．【点睛】此题主要考查了命题与定理，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．12．写出命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等”的逆命题____________________．该逆命题是______命题（填“真”或“假”）．【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等假【解析】交换原命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题．【详解】解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写成它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假．【点睛】本题考查逆命题的概念，以及判断真假命题的能力以及全等三角形的判定和性质．13．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：_____，该逆命题是_____命题（填“真”或“假”）．【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等假【解析】交换原命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题．【详解】解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写成它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假．【点睛】本题考查逆命题的概念，以及判断真假命题的能力以及全等三角形的判定和性质．14．命题：“任意两个奇数之和是偶数”的逆命题是__________命题．（填“真”或“假”）．【答案】假【解析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．【详解】解：命题：“任意两个奇数之和是偶数”的逆命题是：偶数是两个奇数之和，错误，为假命题，故答案为：假．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．15．下列命题，①对顶角相等；②两直线平行，同位角相等；③全等三角形的对应角相等．其中逆命题是真命题的命题共有_________个．【答案】1【解析】根据逆命题、对顶角、平行线、全等三角形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】对顶角相等的逆命题为：相等的角是对顶角，故①错误；两直线平行，同位角相等的逆命题为：同位角相等，两直线平行，故②正确；全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的三角形为全等三角形，故③错误；逆命题是真命题的命题共有：1个故答案为：1．【点睛】本题考查了逆命题、对顶角、平行线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握对顶角、平行线、全等三角形的性质，从而完成求解．16．下列的真命题中，它的逆命题也是真命题的有________①两直线平行，同旁内角互补；②等边三角形是锐角三角形；③两个图形关于某直线成轴对称，则这两个图形是全等图形；④若a b =，则22a b =；⑤等腰三角形两底角相等．【答案】①⑤【解析】分别写出各个命题的逆命题，判断真假即可．【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题；②等边三角形是锐角三角形的逆命题是锐角三角形是等边三角形，是假命题；③两个图形关于某直线成轴对称，则这两个图形是全等图形的逆命题是两个图形是全等图形，则两个图形关于某直线成轴对称，是假命题；④若a b =，则22a b =的逆命题是若22a b =，则a b =，是假命题；⑤等腰三角形两底角相等的逆命题是两角相等的三角形是等腰三角形，是真命题．故答案为：①⑤．【点睛】本题考查了逆命题，以及命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．17．BC 是等腰△ABC 和等腰△DBC 的公共底（A 与D 不重合），则直线AD 必是__________的垂直平分线．【答案】BC【解析】根据题意作图，再由“到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”及“两点确定一条直线”即可解答．【详解】如图，根据题意得AB ＝AC ，DB ＝DC ，∴点A 、D 都在BC 的垂直平分线上．∵两点确定一条直线，∴直线AD 是BC 的垂直平分线．故答案为：BC．【点睛】此题考查了线段垂直平分线性质的逆定理及直线的公理，属基础题．18．如图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD________DC，点D在______的垂直平分线上【答案】= AC【解析】首先结合图形易得AD=DC，再根据线段垂直平分线的判定即可得出答案．【详解】解：∵BC=BD+DC，又BC=BD+AD，∴AD=CD，∴点D在AC的垂直平分线上．故答案为= AC．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，熟记知识点是解题的关键．19．如图，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，那么对于（1）∠DAO=∠CBO，∠ADO=∠BCO （2）直线l垂直平分AB、CD（3）△AOD和△BOC均是等腰三角形（4）AD=BC，OD=OC中不正确的是_____．【答案】（3）【解析】由对称变换可得：△AOD≌△BOC∴∠DAO=∠CBO∠ADO=∠BCOAO=BO DO=CO∴直线l垂直平分AB、CD（3）不正确20．如图，已知等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O 是线段AD上一点，OP=OC，下面结论：①∠APO=∠ACO；②∠APO+∠PCB=90°；③PC=PO；④AO+AP=AC；其中正确的有________.(填上所有正确结论的序号)【答案】①②③④【解析】=，利用等腰三角形的性质可判断结论①；由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形连接，证明OP OB∆是等边的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出∠APO与∠DCO的和等于30°，再证明POC三角形，可判断结论②，③；, 在线段AC上截取AE=AP，连接PE，证明△APO≌△EPC可判断结论④．【详解】OB解：如图，连接,∵AD⊥BC，,AB AC=∴是BC的中垂线，，ADOB OC∴=,∴∠=∠OBC OCB,∴∠=∠ABO ACO,=OP OC,∴=OP OB,∴∠=∠OBP OPB,∠=∠即结论①正确；APO ACO,连接BO，如图1所示：=∠=︒,120,AB AC BAC由,APO ACO ∠=∠60,POC ∠=︒,OP OC =POC ∴∆是等边三角形，60,PCO ∴∠=︒即结论②正确；POC ∆是等边三角形，,PC PO ∴=即结论③正确；在线段AC 上截取AE=AP ，连接PE ，如图所示：∵∠BAC+∠CAP=180°，∠BAC=120°，∴∠CAP=60°，∴△APE 是等边三角形，∴AP=EP ，又∵△OPC 是等边三角形，∴OP=CP ，又∵∠APE=∠APO+∠OPE=60°，∠CPO=∠CPE+∠OPE=60°，∴∠APO=∠EPC ，在△APO 和△EPC 中，，∴△APO ≌△EPC （SAS ），∴AO=EC ，又∵AC=AE+EC ，AE=AP ，∴AC=AO+AP，即结论④正确；综合所述，①，②，③，④都正确，故答案为：①，②，③，④．【点睛】本题综合考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角的和差，线段的和差，等量代换等相关知识点，重点掌握全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质，难点是作辅助线构建等腰三角形，等边三角形，全等三角形．三、解答题21．已知命题“若a b>，则22>”写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假．若是真命题，请给予证明：a b若是假命题，请举出一个反例．【答案】见解析【解析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】解：逆命题：若a2＞b2，则a＞b．此命题为假命题．反例：a=-2，b=-1，有a2＞b2，但a＜b．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．22．已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”．（1）写出此命题的逆命题；（2）逆命题是真命题还是假命题？若为真命题，请画出图形，写出“已知”，求证并证明；若为假命题，请举反例说明．【答案】（1）两边上的高相等的三角形是等腰三角形；（2）真命题，画图证明见解析【解析】（1）把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题；（2）判断逆命题是真命题，画出图形判断即可．【详解】。
2.5 逆命题和逆定理一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知命题：如果a=b，那么∣a∣=∣b∣．该命题的逆命题是 ( )A. 如果a=b，那么∣a∣=∣b∣B. 如果∣a∣=∣b∣，那么a=bC. 如果a≠b，那么∣a∣≠∣b∣D. 如果∣a∣≠∣b∣，那么a≠b2. 下列定理：①同角的余角相等；②线段垂直平分线上的点，到这条线段两端的距离相等；③同位角相等，两直线平行；④同角的补角相等．其中有逆定理的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3. 下列定理中，没有逆定理的是 ( )A. 内错角相等，两直线平行B. 直角三角形中，两锐角互余C. 相反数的绝对值相等D. 同旁内角互补，两直线平行4. 下列定理中，有逆定理的是( )A. 对顶角相等B. 同角的余角相等C. 全等三角形的对应角相等D. 在一个三角形中，等边对等角5. 下列说法中，正确的是 ( )A. 每一个命题都有逆命题B. 假命题的逆命题一定是假命题C. 每一个定理都有逆定理D. 假命题没有逆命题6. 下列命题的逆命题是真命题的是 ( )A. 全等三角形的周长相等B. 对顶角相等C. 等边三角形的三个角都是60∘D. 全等三角形的对应角相等7. 下列定理中，逆命题错误的是( )A. 两直线平行，内错角相等B. 直角三角形两锐角互余C. 对顶角相等D. 同位角相等，两直线平行8. 已知下列命题：其中原命题与逆命题均为真命题的是( )①若a2≠b2，则a≠b；②垂直于弦的直径平分这条弦；③角平分线上的点到这个角的两边距离相等；④平行四边形的对角线互相平分；⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．A. ②③④B. ①②④C. ③④⑤D. ①③⑤9. 已知下列命题：①若a=b，则a2=b2；②若x>0，则∣x∣=x；③一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形；④一组对边平行且不相等的四边形是梯形．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是 ( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. 已知下列命题：① 若a≤0，则∣a∣=−a；② 若ma2>na2，则m>n；③ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④ 垂直于弦的直径平分弦．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是 ( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（共10小题；共50分）11. 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是．12. “对顶角相等”的逆命题是．13. 命题“如果a2=b2，那么∣a∣=∣b∣”的逆命题是( )．14. 写出命题“如果a=b，那么3a=3b”的逆命题：．15. 命题“如果a<0，b<0，那么a+b<0”的条件是，结论是，这个命题的逆命题是．16. 命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：．17. 把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果⋯，那么⋯”的形式：．18. 命题“相等的角是对顶角”的条件是，结论是；它的逆命题是．19. 命题“对顶角相等”的逆命题是，是（填“真命题”或“假命题”）．20. 写出“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是．三、解答题（共5小题；共65分）21. 写出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假．Ⅰ如果a>b，那么∣a∣>∣b∣．Ⅱ如果a=b，那么a2=b2．22. 下列命题是否成立，说出它们的逆命题，这些逆命题成立吗?Ⅰ两直线平行，同旁内角互补；Ⅱ若x=1，则x2−1=0．23. 写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例．24. 已知命题“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合”，写出它的逆命题，判断该逆命题的真假，并证明．25. 写出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，并证明该逆命题是真命题．答案第一部分1. B2. B3. C4. D5. A6. C7. C8. C9. A 10. B第二部分11. 同位角相等，两直线平行12. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角13. “如果∣a∣=∣b∣，那么a2=b2”14. 如果3a=3b，那么a=b．15. a<0，b<0；a+b<0；如果a+b<0，那么a<0，b<0．16. 两直线平行，同位角相等．17. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行18. 两个角相等，这两个角是对顶角，对顶角相等19. “相等的角是对顶角”；“假命题”．20. 两个角相等的三角形是等腰三角形第三部分21. （1）如果∣a∣>∣b∣，那么a>b，原命题与逆命题都是假命题．（2）如果a2=b2，那么a=b，原命题是真命题，逆命题是假命题．22. （1）命题成立．逆命题：同旁内角互补，两直线平行．逆命题成立（2）命题成立．逆命题：若x2−1=0，则x=1．逆命题不成立．23. 逆命题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直．原命题是假命题.反例：如解图①，∠CAD的两边与∠EBF的两边分别垂直，但∠CAD=45∘，∠EBF=135∘，∠CAD≠∠EBF．逆命题是假命题.反例：如解图②，∠CAD=∠EBF，但显然AC与BE，BF都不垂直．24. 逆命题：一边上的中线与它所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形，是真命题．已知：如解图，在△ABC中，BD=CD，AD平分∠BAC .求证：△ABC是等腰三角形．证明：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，CE .∵BD=CD，DE=DA，∠BDE=∠CDA，∴△BDE≌△CDA( SAS)．∴BE=CA，∠BED=∠CAD .∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD .∴∠BAD=∠BED .∴AB=BE .∴AB=AC .∴△ABC是等腰三角形．25. 逆命题：如果一个三角形一边上的中点到另两边的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如解图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE=DF .求证：△ABC为等腰三角形．证明：连接AD .∵D是BC的中点，∴S△ABD=S△ACD .∵DE⊥AB，DF⊥AC，AB⋅DE，∴S△ABD=12AC⋅DF .S△ACD=12∵DE=DF，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形．初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。
浙教版八年级数学上册：2教学目的1、阅历逆命题的概念的发作进程，了解一个命题都是由条件与结论两局部构成，每个命题都有它的逆命题，命题有真假之分.2、了解逆命题、逆定理的概念.教学重点、难点重点：会识别两个命题是不是互逆命题，会在复杂状况下写出一个命题的逆命题，了解原命题成立，其逆命题不一定成立． 难点：能判别一些命题的真假性，并能运用推理的思想方法证明一类较复杂的真命题，同时了解假命题的证明方法是举反例说明．教学进程一、回忆旧知，引入新课1、命题的概念：对某一件事情作出正确或不正确的判别的句子叫做命题.我们还知道，命题都有两局部，即条件和结论，它的普通方式是〝假设…，那么…〞例1．命题：〝平行四边形的对角线相互平分〞条件是 ，结论是 .命题：〝对角线相互平分的四边形是平行四边形〞 条件是 ， 结论是 .以上两个命题有什么不同？请你说一说.归结：在两个命题中，假设第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.假设把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题.填表并思索命题条件 结论 命题真假 ⑴两直线平行，同位角相等⑵同位角相等，两直线平行⑶假设a b =，那么22a b =⑷假设22a b =，那么a b = 问：每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题能否一定为真命题？二、例题教学例1、说出定理〝线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.留意：①留意组织适当的语句表达出逆命题，不能只是把原命题的条件和结论交流位置.②引导先生运用分类思索的必要性. 练习：⑴作业题4三、小结：这节课我们学到了什么？①逆命题、逆定理的概念.②能写出一个命题的逆命题.四、作业作业：1．课后作业题.。
